极限状态方程（精选五篇）
极限状态方程 篇1
国内外实践经验表明, 机械结构可靠性是由设计阶段决定, 由制造和使用阶段来保证的[1]。为了保证机械结构具有足够可靠性, 需要将可靠性分析技术应用到机械结构的设计阶段。常用的可靠性计算方法包括一次二阶矩法 ( FOSM) 和Monte Carlo方法。一次二阶矩法计算精度偏低, Monte Carlo方法计算可靠性时需要采用大量的抽样来实现[2]。当机械结构比较复杂, 极限状态方程需要采用有限元方法计算时 ( 此时极限状态方程为隐函数) , 一次二阶矩法和Monte Carlo方法均难以有效应用到机械结构设计中, 从而限制了可靠性计算方法在机械结构设计中的应用。
为了使可靠性计算具有一定的效率和精度, Zhao等[3-7]研究了可靠性计算的高阶矩方法, 该方法在可靠性计算过程中不需要迭代求解, 仅需要求出极限状态方程的高阶矩信息即可直接求出可靠性, 具有很高的计算效率和精度。Zhang等[8-13]将随机摄动技术、Edgeworth级数方法相结合, 提出了一种可靠性计算的四阶矩法, 该方法可计算设计变量服从任意分布的可靠性, 具有很强的通用性。Zhang等[8-13]同时也指出, 当机械结构比较复杂, 极限状态方程需要采用有限元方法计算时, 其方法还需要结合响应面方法来实现。
在机械设计过程中, 除了可靠性要求外, 往往还需要知道设计变量的变化对可靠性的影响。当设计变量对结构可靠性影响较大时, 需要在设计、生产和使用过程中严格控制该变量; 当设计变量对结构可靠性影响程度较小时, 则可以放松对该设计变量的要求[2], 这就需要对可靠性进行灵敏度分析。Zhang等[8-13]和Lee等[14]通过将可靠性对设计变量求偏导数, 给出了可靠性灵敏度计算方法。刘成立等[15]基于改进一次二阶矩法提出了计算隐式极限状态方程可靠性灵敏度的方法, 对极限状态方程的定义也是基于线性展开的, 计算精度较低, 计算量较大。因此当机械结构比较复杂, 极限状态方程为隐函数时, 其可靠性灵敏度计算也需要结合响应面方法来实现。
本文将Zhang等[8-13]提出的四阶矩法与响应面方法相结合, 建立了一种适用于隐式极限状态方程的可靠性灵敏度计算方法, 该方法不仅继承了四阶矩法可靠性灵敏度计算效率高的优点, 还可与有限元方法相结合, 扩大了四阶矩法应用范围, 为机械结构可靠性灵敏度计算提供了一种新思路。
1 可靠性灵敏度计算方法
1. 1 可靠性的基本概念
可靠性是结构可靠性的度量, 其本质是保证结构在给定的使用条件下、给定的使用时间内不发生破坏或失效的概率。可靠性计算的一般表达式为
式中, fX ( X) 为基本随机参数向量的联合概率密度, 这些参数代表结构中的随机参数; g ( X) 为极限状态方程, 表示式 ( 2) 结构的两种状态[16]。
Zhang等[8-13]将随机摄动方法和Edgeworth级数相结合, 提出了适用于极限状态方程为任意分布的可靠性计算方法, 即
式中, μg、σg2、θg、ηg分别为极限状态方程的均值、二阶中心矩、三阶中心矩和四阶中心矩; β 为可靠性指标; Φ ( β) 为标准正态分布的概率累计函数; φ ( β) 为标准正态分布的概率密度函数; Hk - 1 ( β) 为Hermite多项式。
通过随机摄动方法推导求得的 μg、σg2、θg、ηg为[2-4]
式中, Var ( X) 、C3 ( X) 、C4 ( X) 分别为设计参数的二阶矩、三阶矩和四阶矩向量; (·) [k]为Kronecker幂, 定义为, 符号为Kronecker积, 定义为Ap × qBs × t= [aijB]p s × q t;为极限状态方程相对于设计参数的偏导数。
将式 ( 6) 代入式 ( 5) 可以求得极限状态方程的 μg、σg2、θg和 ηg, 将式 ( 5) 的计算结果代入式 ( 3) 可以求得极限状态方程的可靠性。
Zhang等[8-13]指出, 采用上述公式进行可靠性计算时, 有可能会出现可靠性R > 1 的情况, 当这种情况出现时, 可采用经验修正公式对可靠性的计算结果进行修正。其经验修正公式为
实际上, 当可靠性很低时, 采用Edgeworth级数也会出现可靠性R < 0 的情况, 当出现可靠性R < 0的情况时, 也可以采用经验公式进行修正。
1. 2可靠性灵敏度计算
结构可靠性对设计变量均值Xd和偏差Xp的灵敏度为[8]
其中, 当可靠性R ∈[0, 1]时, 有
当可靠性R∉[0, 1]时, 采用式 (7) 进行修正, 此时, ∂R/∂β应当用∂R*/∂β代替。∂R*/∂β可表示为
1. 3隐式极限状态方程偏导数解法
从式 ( 5) 可以看出, 极限状态方程对设计变量的偏导数是将随机摄动方法和Edgeworth级数联系起来进行可靠性计算的基础。当极限状态方程为隐函数时, 需要将隐式极限状态方程转化为显式极限状态方程。有研究表明, 当极限状态方程的阶数小于2 时, 二次响应面方法具有较高的近似精度, 当极限状态方程的阶数大于2 时, 二次响应面仍然有较高的精度。 二次响应面计算模型为
此响应面方程含有2n + 1 个待定系数, 只要选取m ( m ≥ 2n + 1) 个样本点, 代入极限状态方程g ( X) , 即可求出二次响应面方程的所有待定系数。试验点的选择采用Bucher试验设计方法, 首先将名义设计点作为第一个样本点, 然后依次在各个设计变量的正负方向上偏离一定距离选取2n个样本点, 图1 所示为设计变量为2 时的5 个试验点的分布。
将2n + 1 个样本点代入隐式极限状态方程, 可得设计变量与隐式极限状态方程之间的关系为
式中, A为待定系数。
将式 ( 19) 连同随机变量的二阶矩向量、三阶矩向量和四阶矩向量代入式 ( 5) , 可以求得极限状态方程的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩, 最后将极限状态方程的均值、二阶矩、三阶矩和四阶矩代入式 ( 3) 求得可靠性。最后当可靠性R [0, 1]时, 采用式 ( 7) 进行修正, 得到极限状态方程的可靠性。
2计算算例
2. 1非线性极限状态方程
设非线性极限状态方程为[17]
假设设计变量x、y均服从标准正态分布, 极限状态方程设计变量参数的四阶中心距如表1 所示, 要求计算g ( x, y) ≥ 0 的可靠性。
先对极限状态方程进行Bucher试验设计, 并构建响应面方程; 然后经计算得到状态方程对设计变量的偏导数, 其表达式为
最终计算得到的可靠性为0. 9981, 采用Monte Carlo方法计算得到的可靠性为0. 9904, 两者的相对误差为
设计变量均值对应的可靠性灵敏度为
方差对应的可靠性灵敏度为
2. 2压力容器管接头
某带接头的内压压力容器结构[18]如图2 所示, 图中, R1为压力容器的半径, R2为压力容器管接头半径, 容器内压为p, 材料的弹性模量为E, 强度极限为 σb, 当结构的最大应力 σmax大于材料的许用强度极限[σb]时, 结构失效。压力容器管接头处的应力水平复杂, 是其薄弱环节, 需要确定其可靠性。内压容器接头处的简化有限元模型如图2b所示。
内压容器设计变量及其分布如表2 所示, 假设设计变量相互独立。
压力容器主体的载荷用面力P1来模拟, P1与设备内压p之间的关系为
压力容器接管处的载荷用面力P2来模拟, P2与设备内压p之间的关系为
设计变量的前四阶中心距如表3 所示。
内压容器管接头名义设计点的应力分布如图3 所示。
在设计点, 极限状态方程g = 246 - 224. 01 =23. 29。对极限状态方程进行Bucher试验设计, 并构建响应面方程, 最后可以得到状态方程对设计变量的偏导数:
最终计算得到的结构可靠性为Rg=0. 9646。利用Monte Carlo方法计算得到的可靠性为RMCS= 0. 9508, 两者之间的相对误差为
极限状态方程与设计变量均值和方差对应的可靠性灵敏度如表4、表5 所示。
3结论
本文将随机摄动方法、Edgeworth级数和响应面方法相结合, 提出一种适用于隐式极限状态方程的可靠性灵敏度计算方法, 该方法可以将可靠性灵敏度计算方法同有限元方法相结合, 为复杂结构的可靠性灵敏度计算方法提供了一种新的思路。
( 1) 通过对两种不同类型的数值算例进行可靠性灵敏度计算, 并采用Monte Carlo方法对计算结果进行验证, 表明本文方法与Monte Carlo方法之间的误差很小, 且本文可靠性计算方法的计算量远小于Monte Carlo方法。
( 2) 本文方法可以对隐式极限状态方程进行可靠性灵敏度计算, 同时还具有相对较高的计算效率和计算精度, 为复杂机械结构进行概率稳健设计奠定了基础。
摘要：将四阶矩方法与响应面方法相结合, 提出一种适用于隐式极限状态方程的可靠性灵敏度四阶矩估算方法。该方法将可靠性灵敏度计算方法与有限元方法相结合, 可以准确、快速地计算具有任意分布设计变量的复杂模型可靠性灵敏度, 为复杂结构可靠性灵敏度计算提供了一种新思路。对曲柄滑块机构和压力容器管接头两个不同类型的数值算例进行了可靠性灵敏度计算, 并采用Monte Carlo方法对计算结果进行了验证。结果表明, 两种方法计算得到的可靠性差异很小, 且四阶矩估算方法的计算效率远高于Monte Carlo方法的计算效率。
极限状态方程 篇2
关键词：桩基础,静荷载,地基沉降,监测
建筑结构的设计和施工中地基和基础是最为重要的, 近年来我国高层建筑如雨后春笋般大量涌现。由于高层建筑的受力复杂, 对基础的强度、刚度和稳定性的要求更加严格。某工程位于宁波市鄞州区, 由1幢28层住宅, 2幢26层住宅、1幢25层住宅、1幢11层住宅、10幢4层联排别墅、4幢3层联排别墅、2幢1层配电房房、1幢1层门卫室和1个一层地下室 (地下室基坑开挖深度约5.50米左右) 组成, 总用地面积为45066平方米, 总建筑面积为121312平方米, 是一个大型房地产项目, 基础形式采用桩基础。其有关经济技术指标 (见表1) 。
本文通过对层数为28的高层住宅的桩基设计极限承载力检测, 和其封顶即桩基达到正常使用状态后, 持续长达一年的建筑物沉降监测成果分析, 分析本幢住宅地基基础的可靠性。
1 场地工程地质概况
根据地质勘查报告, 桩基设计参数建议值详见表2。
本建筑采用钻孔灌注桩, 以第2~10层作为桩基持力层。
2 桩基设计极限承载力静荷载检测成果
2.1 试验方法和内容
(1) 加载装置:采用油压千斤顶加载, 千斤顶平放于试验桩中心, 其上下部设置足够刚度的钢垫或钢箱, 并使千斤顶的合力通过试验桩中心。
压重平台采用矩形反力平台形式 (见图1) , 堆载材料采用预制混凝土块, 压载重量不得小于预估最大试验荷载的1.2倍。 (2) 沉降测量:沉降变形由4只对称分布的量程50.00mm的位移传感器测读;荷重及沉降变形直接通过静力载荷测试仪显示和存储, 所用测试设备的精度满足相关规范的要求。 (3) 加载方式:采用“慢速维持荷载法”, 那逐级加载, 每级荷载达到规定的“相对稳定标准”后加载下一级荷载, 加载至设计极限值后, 逐级卸载到零。
2.2 试验成果及分析
根据相应国家规范, 工程受检桩随机选取具有代表性的单桩3枚。受检桩有关成桩参数 (见表3) , 受检桩检测结果 (见表4、图2) 。
试桩1、试桩2、试桩3的荷载-沉降变形曲线均属缓变型, 故按《建筑基桩检测技术规范》 (JGJ106-2014) 规定, 单桩竖向抗压极限承载力均取最大加载值为8950k N满足设计要求。
2.3 工程封顶后建筑物监测成果
监测方法和内容。监测对其主体承重结构进行沉降监测, 时间从封顶开始持续一年, 现监测结果趋于稳定。①监测仪器:GTS-102N全站型电子速测仪、DS03水准仪。②主体沉降测量成果 (见表5) 。
2.4 监测成果及分析
根据沉降曲线图可以看出, 本幢高层住宅在其封顶正常使用至沉降稳定后, 沉降量不超过10mm且沉降差较小, 符合设计及相关要求。
3 结束语
万丈高楼平地起, 再怎么强调地基基础的重要性都不为过, 桩基础目前是我国高层建筑的主要基础类型, 特别是在建筑物场地上部的土层比较软弱时, 桩基础得到了广泛应用。在对本工程从桩基的静荷载检测到对其建筑主体沉降的测量即桩基正常工作状态的监测, 两种测试方法相互佐证, 通过这些检测和监测数据可以看出本工程地基基础的设计还是比较可靠的, 施工质量也满足设计和相关规范要求。
参考文献
极限状态方程 篇3
关键词：耐久性设计,可靠度,极限状态
1 已有耐久性设计的主要理论和方法
1.1 环境指数评定法[2]
环境指数评定法首先由日本土木工程师协会混凝土委员会于1989年提出,曾列入日本《混凝土结构物耐久性设计准则(试行)》中。对于混凝土结构物的耐久性探讨,要求构件各部位的耐久指数Tp大于或等于环境指数Sp,即:Tp≥Sp。与以往的结构设计方法相比,该方法明确提出了结构耐久性设计的概念,并将设计条件写成R≥S的形式,与规范的设计表达式相同,而且较全面地考虑了影响耐久性的各个因素,特别是考虑了结构体系和构造的影响,直到今天这种思路仍值得借鉴。但该法在耐久性指数的选取上,人为的主观性较大,不同设计者可能给出的结果差别很大。
1.2 基于时变可靠度耐久性设计法[3]
基于时变可靠度耐久性设计法是直接计算不同时刻t的抗力效应R(t)与荷载效应S(t),用Monte-Carlo法求对应时刻功能函数的可靠度,从而求出结构的动态可靠度变化。从理论上讲,这种方法很适合结构的耐久性研究。从强度降低的计算、某一时刻结构抗力随机变量计算、功能函数可靠度计算到最终回归出动态可靠度函数,每个步骤都可使用计算机来实现。失效概率的计算方法可以采用现行规范的方法。混凝土结构耐久性失效的功能随机过程为:Z(t)=R(t)-S(t)。式中R(t)为结构抗力随机过程;S(t)为结构荷载随机过程。该方法已经考虑了抗力和荷载的随机变化特性,较环境指数评定法减少了人为因素的影响;但其可靠指标随时间变化的函数β(t)要靠很多现场试测工作和专家经验相结合才能求得。另外,Monte-Carlo法作为一种校核其他算法精度的方法,由于计算量大的缺点,应用于实际工程尚有一定困难。
1.3 基于耐久性的优化设计方法
结构可靠度的研究达到高潮以来,许多学者在这方面做了大量的工作。早期结构经济优化是从结构初始造价与结构倒塌损失期望值的和最小角度着眼。然而,大量工程调查表明,由于结构的耐久性不足,在设计使用期的费用甚至超过了结构初始的造价。在这种条件下,建立着眼于在结构的全生命过程中使结构的初始造价、倒塌损失期望值和维护费用的总和最小的基于寿命周期成本分析(Life Cycle Cost Analysis)方法进行耐久性设计优化[4]。在结构经济优化设计中,一个比较棘手的问题是如何估计结构倒塌的损失,它除了包括一些可以定量的因素外,还包括许多难以定量的因素,这方面的研究并不充分。另外,目前的可靠度分析只处于构件水平上,已有的结构体系可靠度分析方法尚不能完全反映结构整体可靠度的本质,况且结构的倒塌损失与结构的失效模式有关,不同的失效模式造成的损失也各不相同。因此,目前全寿命耐久性经济优化设计还只是一种概念,尽管如此,它对保持结构设计的合理性仍具有重要的指导意义。
2 基于概率极限状态理论的耐久性设计方法
耐久性设计应相对独立化进行,将可靠度理论引入环境指数评定法,进行基于概率极限状态理论的耐久性设计,将是探明耐久性设计的必经之路。
2.1 基本原理
极限状态模式失效概率的概念与结构承载能力极限状态相似。其特点是以等效的作用和材料抵抗环境的作用能力作为基本变量,分别以环境作用和构件材料抵抗环境作用的能力为随机变量,形成R和S,控制R-S≤0的概率。
2.2 耐久性极限状态
根据ISO 2394、WD13823和我国《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2002)的情况,并考虑结构工程设计的具体特点,混凝土结构耐久性的极限状态应该取类似的使用极限状态。也就是结构构件的适用性受到影响,承载能力的影响可以忽略不计。
根据上述耐久性极限状态的原则,提出在各种侵蚀环境下混凝土构件的耐久性极限状态标志。
(1)碳化造成的钢筋锈蚀。对于钢筋混凝土构件来说,钢筋出现锈蚀并使保护层混凝土出现锈蚀造成的裂缝可以作为碳化造成钢筋锈蚀情况的耐久性极限状态标志。此时对于直径较大的钢筋来说,钢筋的截面损失率较小,构件的承载能力不会受到明显的影响,但损伤的迹象已经明显。对于预应力钢筋和直径较小的受力主筋,宜以钢筋具备锈蚀条件作为耐久性的极限状态。此时保证构件延性破坏的性能可能已经受到了影响。(2)冻融作用。混凝土表面出现冻融损伤,约相当于标准冻融试验终结的程度。此时,构件出现表面损伤或动弹模下降到一定的程度,内部混凝土未受到明显影响,构件的承载能力没有受到明显影响。混凝土的硫酸盐侵蚀、酸侵蚀、碱侵蚀、生物侵蚀等情况下的耐久性极限状态,可参照冻融损伤情况确定。也就是以表面出现明显的损伤作为耐久性极限状态的标志。(3)碱骨料反应。碱骨料反应情况宜以构件表面出现AAR反应造成的裂缝等作为耐久性的极限状态。而不以碱含量或骨料的碱活性作为耐久性极限状态的标志。(4)有害物质的影响。无论是掺加在混凝土内部的有害物质还是外部侵入到混凝土内部的有害物质都以造成实际的影响作为耐久性极限状态的标志。例如氯离子的侵入,以钢筋开始锈蚀作为耐久性极限状态的标志或以其浓度达到使钢筋开始锈蚀的程度作为耐久性的极限状态。
3 结语
混凝土结构耐久性设计方法应给予相对于抗力设计的独立性考虑,这是耐久性设计所需经历的发展阶段,而最终随着耐久性设计的成熟发展,会与抗力设计融为一体,或者基于实际设计需要而相对独立进行。
参考文献
[1]段金树.日本《混凝土结构耐久性设计准则(试行)》简介[J].华东水利水电学院学报,2001,12(4):56-60.
[2]李田,刘西拉.混凝土结构的耐久性设计[J].土木工程学报,1994,27(2):47-55.
[3]张苑竹,金伟良.基于可靠度的混凝土梁耐久性优化设计[J].浙江大学学报,2003,37(3):325-330.
方程建模分析泵的运行状态 篇4
本文中所有单位依据国际单位制[1]即:
压力单位:Mpa、Kpa、pa, 均为表压;长度单位:m;
体积单位:m3;时间单位:h、s;
密度单位:kg/m3;
计算校核依据:
以上公式为伯努利方程或者其推导公式, 具体推导过程这里不再累述 (3) 。本文将以实际泵的校核计算为线索, 分析泵校核计算的功能以及作用。
1 对系统及管线进行核算
对实际运行中泵性能的校核, 首先需要对实际运行系统及系统管线进行核算, 确定系统性能曲线并绘制出, 或者确定性能曲线方程。
1.1 系统运行假设
我们这里以一般流体为例, 即假设系统运行中, 液体属于不可压缩流体 (4) (即qv吸=qv出) , 流体输送处于阻力平方区 (即管线阻力损失f损={k, qv}, 关于管线阻力系数以及流量的函数) 。如果为可压缩流体, 我们需要添加压缩比例系数, 但是基本方法一致。
实际工况参数如下:
液下泵一台, 安装高度离地面0.5m, 罐地出口高度5.5m, 罐内液位高度维持在4m, 泵出口高度20m, 罐液位以下安装有压力表一台, 泵出口安装有压力表一台, 流量计一台, 流体密度1470kg/m3, 罐内143℃, 进口管线DN200, 出口管线DN150, 入口管线长16m, 出口管线长30m, 吸入管路设置90°弯头7个, 贯通型球阀3个, DN200变DN100变径1个;排出管线设置90°弯头10个, 设置贯通型球阀3个, 设置止回阀1个, DN80变DN150变径1个, 容器内液位表面压力1.8Mpag, 流体入口压力2Mpa, 泵出口压力2.3Mpa, 当前运行流量65000kg/h。
1.2 相关常数的计算
首先计算泵吸入管线系统摩擦系数 (5) , 根据经验公式 (6) 得:
取管道粗糙度为0.01 (6)
计算进出口管件阻力系数, 因为所使用球阀为直通式球阀, 全开状态下在管线等效为直管段, 不额外增加阻力。查相关资料得知以下管件阻力系数 (7) :
90°标准弯头ξ=0.75;变径DN200变DN100ξ=0.25;
变径DN80变DN150ξ=0.15;单向阀ξ=2;
流入大容器ξ=1;容器中流出ξ=0.5;
球阀半开ξ=110;
系统性能中不包括泵, 泵的阻力等这里忽略不计。
流体回到同一罐内, 仅存在液位差则:
式中h为急冷塔底部液位高度;
可知势能差仅于也为高度有关;
2 求解泵特性曲线
因为泵资料缺少, 无法找到泵特性曲线标准图, 无法按照以上方法计算。为了计算方便, 利用建立了数学模型的方法, 根据泵特性曲线, 可知泵的特性曲线为一开口向下的抛物线,
则方程应为:
2.1 特定工况点的确定
设计工况点作为第一个工作点
根据现在实际工况点为第二个工作点
根据式1, 可以计算此时的泵压头, 计算式不计管线阻力损失。
同理, 可以确定第三个方程式qv3=0.0296m3/s
联立8) 、9) 、10) , 可以计算方程中A、B、C三个常数项。
通过解方程, 得到泵特性方程:
2.2 方程的验证
解出后, 发现方程中A值为一负值, 说明方程曲线形式符合一般泵曲线形式为开口向下抛物线, 初步认为次方程有正确, 对此方程进行校合, 得出图形如下:
3 实际工况性能比较分析
3.1 与系统阻力进行对比
将系统特性方程与泵特性曲线方程联立, 并画在同一张图中 (如图2) , 可以对现运行状态进行分析对比。得知在流量约达到0.022m/s时, 泵的运行状态是最稳定的, 这与设计给值相吻合, 也就说明在设计工况下运行是最稳定的。
3.2 实际工况及运行分析
实际工况下, 泵流量现在控制在65000kg/h, 即 , 大大偏离了最佳工作状态, 故在此状态下运行不经济。
问题分析:管线使用时间较长, 在长期运行中磨损较大, 粗糙度增大, 增大了系统阻力, 使系统曲线斜率增大。
此泵所输送流体为液体浆料, 系统长期运行后, 浆料浓度变化, 重组分含量增大使流体密度增大, 增加了能量消耗, 使泵做功情况发生了变化, 造成流量降低。
泵为此生产区内的关键装置, 曾经通过技改提高了泵的使用寿命, 但是技改也有可能对泵本身特性造成影响, 设计值有可能无法体现现有泵的真实情况。
4 解决方法
通过以上分析, 可以通过以下手段对泵的操作参数以及系统进行提高, 做到节能降耗。
首先在停车检修期间, 对泵进出口管线以及容器内部进行彻底清洁, 对部门磨损较大管线进行更换。其次, 加大清液进量, 降低流体中重组分含量, 降低系统浆液浓度。最后, 按照文章方法建立新的模型, 通过实验找到在不同系统阻力下泵的运行状态点, 拟合新的泵特性曲线, 为以后工艺操作做指导。
5 结论
通过以上解决方法, 有效提高了泵的效率, 提高了生产率降低的消耗。同时, 证明了通过建立数学模型, 并根据实际工况以及设计工况来确定泵的特性曲线的方法是可行的, 并且与实际运行状况拟合的很好。改变工况, 最简便的方法就是改变系统阻力, 使系统特性曲线斜率增大或减小, 但是系统特性曲线的改变, 都不影响泵特性曲线, 本文就是利用此原理, 成功拟合了泵特性曲线, 对实际工作具有一定的指导作用。
摘要：化工生产中泵是最常见的一种流体增压输送设备, 而泵的实际应用往往利用经验操作或者对照泵出厂说明书进行比照。而对于资料缺失或者泵性能偏离设计点需要分析原因时, 作为使用单位往往比较困难。本文通过数学建模以及方程模拟的方法, 能够简单方便的对现有任何泵进行状态分析, 能够根据实际运转情况建立数学模型反推泵性能曲线, 按照此方法可以对照经过技改后或者部件维修后的泵与设计参数的分析比较, 指导化工单元操作。
关键词：性能曲线,方程拟合,阻力计算
参考文献
[1]聂玉昕.中国大百科全书第二版.国际单位制[S].中国大百科全书出版社, 2010.
[2]鲁钟琪.流体力学[M].北京:机械工业部出版社, 1979.
[3]赵凯华, 罗蔚茵.新概念物理教程:力学[M].北京:高等教育出版社, 2004.
[4]Crane Co.Engineering Div.Technical Paper N o.410, Flow of Fluids Through Valves, Fittings and Pipe[M].1976.
[5]E.E.路德维希编著.中国寰球工程公司, 清华大学, 天津大学, 北京大学合译, (化工装置实用工艺设计) .原著第三版[M].2006.
[6]陈恒敏.阻力损失.化工原理第三版[M].化学工业出版社, 2006.
极限状态方程 篇5
1 破坏概率的计算
对在役结构安全性评价采用基于概率论的结构可靠性理论。结构可靠性理论分析中重要的是破坏概率的计算。极限状态函数Z=G(X)中,破坏概率Pf可用公式(1)来表示。
这里fZ(Z)和FZ(Z)分别指Z=G(X)的概率密度函数(PDF)和累积分布函数(CDF)。
首先,用公式来规范极限状态函数的函数值Z。
μG和σG,分别指Z=G(X)的平均值和标准差。与公式(3)相比,破坏概率更表示为公式(4)。
可是,公式(5)是2阶矩(2M)的可靠度指标。
用3、4阶矩法提出3、4阶矩可靠性指标。
这里,μG,σG,α3G,α4G分别是函数Z=G(X)的平均值、标准差、偏斜度、峰度。βnm是3,4M可靠性指标。
为了计算破坏概率,运用3、4阶矩法,可用下列公式来表示函数Z=G(X)的平均值,标准差,偏斜度、峰度的理论公式。
但是,因为难以计算G(X)的平均值,标准差,偏斜度,峰度的理论公式。因此,试图运用3、4阶矩法提出前4阶矩的简单计算式。
2 对随机变量的简单函数阶矩的推测
函数Y=Xn的平均值、标准差,偏斜度、峰度,可用公式来表示。
从公式
我们可以计算出随机变量简单函数的4阶矩,但这需要随机变量的4以上的阶矩,因此这种计算缺乏实用性。本文根据近似法和数值积分法提出了经验公式,即试图利用概率变数的前4阶矩,计算函数Y=X2,X3,X4及1/X的前4阶矩。
所谓近似法,是指
在这里将X的平均值、标准差,3、4阶矩,根据已知前提,用X的平均值,偏斜度,3、4阶矩替换,可计算出X中的(abcd)。
函数Y=Xn可用公式(16)来替换,即表示为如下:
2.1 函数Y=Xn的前4阶矩的计算
根据公式(12)和(13),用公式(18a)和(18b)简单计算函数的平均值和标准差。
偏斜度和峰度的经验公式可表示为公式(18c)、(18d)。
可知,如图1所示,这两个经验公式中得出的峰度vxα3xα4x变化的时候,与近似法得出的峰度的结果与很相似。
2.2 函数Y=X3的前4阶矩的计算
根据公式(12)、(13),可用公式(19a)和(19b)计算出函数的平均值和标准差。
公式(19c)、(19d)是偏斜度和峰度的经验公式。
从图2可看出经验公式得出的峰度vxα3xα4x变化的时候,与近似法得出的峰度近似。
2.3 函数Y=X4的前4阶矩的计算
根据公式(12)和(13),可用公式(20a)和(20b)简单计算函数的平均值和标准差。
公式(20c)、(20d)是偏斜度和峰度的经验公式。
从图3可看出经验公式得出的峰度vxα3xα4x变化的时候,与近似法得出的峰度近似。
2.4 函数Y=1/X的前4阶矩的计算
关于函数Y=1/X,当随机变量的变化系数小的时候,函数的平均值和标准差就可依据泰勒公式,简单计算出公式(21a)、(21b)。
根据积分法提出偏斜度和峰度的经验公式(21c)和(21d)。
图4中可看出经验公式中得出的峰度vxα3xα4x变化时,与积分法得出的峰度的结果相近。
3 两种分布比较
关于函数Y=G(X),X可用基于对数正态分布的PDF和CDF公式。
这里μ、σ是指平均值和标准差。
于是,X的平均值、标准差、3、4阶矩分别表示为下列公式。
这里基于正态分布的PDF和CDF表示为如下:
关于函数Y=X2,从经验公式和对数正态分布、正态分布中得出的峰度的比较反映在表1。
关于函数Y=X3,经验公式和和lognormal,normal中得出的峰度的比较反映在表2。
关于函数Y=X4,经验公式和和lognormal,normal中得出的峰度的比较反映在表3。
关于函数Y=X4,经验公式和lognormal,normal中得出的峰度的比较反映在表4。
4 结论
1)根据本文中提出的公式,可简单计算极限状态函数的4阶矩。
2)利用本文中提出的公式计算X2、X3、X4及1/X的变量时,需要将X的变化系数控制在0.4以内。
3)当X基于正态分布时,可利用所提出的公式。
参考文献
[1]欧进萍,王光远,等著.结构随机振动[M].北京:高等教育出版社,1998,121-214
[2]牛荻涛,王庆霖.服役结构抗力的概率模型及其统计参数[J].西安建筑科技大学学报.1997,29(4):355-359
[3]李桂青,李秋胜,著.工程结构时变可靠度理论及其应用[M].北京:科学出版社,2001,57-70