有限元法（精选十篇）
有限元法 篇1
有限元法 (Finite Element Method, FEM) [1,2]为工程数值分析的有力工具, 是基于网格的数值方法。然而, 有限元法在分析高速撞击、动态裂纹扩展等涉及特大变形的问题时遇到了因网格畸变而产生的困难。而无网格法 (Mesh Less Method, MLM) [3]在处理大变形或网格畸变等问题时具有明显的优势。目前已经提出了十余种MLM, 常用的主要有广义有限差分法[4]、光滑质点流体动力学法[5]、EFGM[6]等。EFGM是MLM中较为成熟的方法, 文章从基本理论出发, 针对一维杆, 依照计算流程顺序在结构体离散、刚度矩阵和等效节点荷载、边界条件、精度和效率等方面对EFGM和FEM进行比较分析。
1算例
图1, 图2均为承受轴向荷载的一维杆模型。受线性分布荷载f (x) =x作用。左端固定, 右端自由, 长度L=1, 杆材料的弹性模量E=1。位移和应力的解析解为:
2结构体离散
无网格法基于节点对结构体进行离散, 而有限元法基于单元对结构体进行离散。这样的差别使得无网格法对结构体进行离散的时候更加灵活, 在处理大变形、应力变化剧烈的问题上具有优势。
1) 无网格法。
如图1所示, 用N个节点离散一维杆 (实际计算取N=11, 等间距分布) 。无网格法部分或彻底取消网格或单元, 虽然在EFGM中引入了背景网格 (见图1) , 但是背景网格仅仅用于数值积分计算。其他无网格法诸如配点型无网格法、局部伽辽金法等均不需要网格。
2) 有限元法。
如图2所示, 将杆件划分为N-1个单元, 通过N个节点连接 (实际计算取N=11, 等间距分布) 。
3刚度矩阵和等效节点荷载
3.1 形函数
1) 无网格MLS法。
图1中用N个节点xI (I=1, 2, …, N) (图中实心点) 离散求解域Ω, 假设待求位移场函数u (x) 在求解域Ω中的N个节点的函数值是已知的, uI=u (xI) , 利用移动最小二乘法可得待定系数向量:
a (x) =A-1 (x) B (x) u (3)
近似函数: u (x) ≈uh (x) =N (x) u (4)
其中, N (x) =PT (x) A-1 (x) B (x) (5)
A (x) , B (x) 分别为:
B (x) =[w1 (x) P (x1) , w2 (x) P (x2) , …, wN (x) P (xN) ] (7)
2) 有限元法。
图2中求解域Ω被离散成N-1个相互连接的单元, 假设待求位移场函数u (x) 在求解域Ω中的N个节点xI (I=1, 2, …, N) 处是已知的, 即uI=u (xI) 。单元的位移模式或位移函数采用二项式作为近似函数, 可得待定系数向量:
(8)
单元近似函数:
其中, 形函数:
单元近似函数uh (x) 在各单元中是独立定义的, 所有单元近似函数uh (x) 的集合就构成了全局近似函数。
3.2 积分方案
1) 无网格法。
在图1中求解域Ω是用节点来离散的, 采用的位移场近似函数一般不是多项式, 难以用高斯积分精确计算。因此在EFGM中常采用特殊的方案进行计算。EFGM中刚度矩阵和载荷矩阵的积分常采用蒙特卡洛积分、梯形积分等来计算。
2) 有限元法。
图2中由于求解域Ω被离散成一系列单元, 各单元被积函数一般是多项式, 可以用高斯积分精确计算。
4位移边界条件
1) 无网格法。
在图1近似中, uh (xI) ≠u (xI) =uI, uI仅仅是虚拟节点参数, 不是待求位移场近似函数在节点xI处的值uh (xI) , 其形函数一般不具有Kronecker delta函数的性质, 即:
(11)
其中, δIJ为Kronecker delta函数。因此边界上点的值不仅依赖边界点, 而且也与内部点有关, 使得施加边界条件较为困难, 不能像有限元法那样直接施加节点值。常用的施加边界条件的基本方法有Lagrange乘子方法、罚函数法[7]等。
2) 有限元法。
在图2中位移近似函数uh (x) 一般都是基于节点的插值函数, 因此其形函数满足NI (xJ) =δIJ。
5精度和效率
如图1, 图2所示, 在相同材料参数条件下, 采用基于MLS的EFGM和有限元法分别计算节点位移和应力, 并与解析解进行比较 (见图3, 图4) 。无网格法布置11个节点离散杆件。有限元法将杆件划分为11个节点连接的10个单元。
表1, 表2分别给出了运用两种方法所得到位移和应力的误差。
图3, 图4与表1, 表2比较结果表明, 运用 EFGM数值解与解析解吻合较好, 精度高但计算量大。在有限元近似 (式8) 中待定系数向量a在各单元内是常向量, 因此在每个单元中只需计算一次常数矩阵C的逆矩阵;而在MLS近似 (式3) 中, 待定系数向量a (x) 是坐标x的函数, 在每个点x处都需要计算矩阵A (x) 的逆矩阵, 这使得EFGM计算量大于有限元法近似的计算量。
6结语
通过以上基于一维杆的基本理论比较和精度效率的分析, 可得出以下结论:1) 有限元法基于单元对结构体进行离散, 而无网格法基于节点对结构体进行离散, 只需要准备节点数据, 不必划分单元, 因而节点的布置相对于单元的划分更具有任意性。2) 相对于有限元法, 无网格法容易构造高阶形函数。有限元法在各个单元内可以用高斯积分精确计算, 而无网格法需要采用蒙特卡洛积分、梯形积分等积分方案。3) 由于有限元法的形函数满足Kronecker delta函数的性质, 可以直接施加边界条件。无网格法边界上点的值依赖边界点和内部点, 需要采用特殊方法施加边界条件。4) 无网格法具有更高的求解精度, 但计算量更大。
摘要：采用无网格伽辽金法和有限元法对一维问题进行了数值模拟, 对结构体离散、刚度矩阵、等效节点荷载、边界条件、计算精度和效率等进行了比较, 数值模拟结果表明, 同样的节点划分, 无网格伽辽金法得到的数值解精度较高、与解析解吻合较好, 但是计算量大于有限元法。
关键词：无网格伽辽金法,有限元法,移动最小二乘法,拉格朗日乘子法
参考文献
[1]王勖成, 邵敏.有限元法基本原理和数值方法[M].第2版.北京:清华大学出版社, 1997.
[2]丁科, 陈月顺.有限单元法[M].北京:北京大学出版社, 2006.
[3]张雄, 刘岩.无网格法[M].北京:清华大学出版社, 2004:7-118.
[4]Liszka T.An interpolation method for irregular net of nodes[J].International Journal for Numerical Methods in Engineer-ing, 1984 (20) :1599-1612.
[5]Monaghan J J.An introduction to SPH[J].Computer PhysicsCommunications, 1998 (48) :89-96.
[6]Belytschko T, Lu Y Y, Gu L.Element-free Galerkin methods[J].International Journal for Numerical Methods in Engineer-ing, 1994 (37) :229-256.
分片实验与有限元法 篇2
摘要：本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用，它是近代有限元发展的一个主要特色。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求，这些要求便是一个好的有限元法所应保证的;分析了几何方程弱形式与分片试验的关系，借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求，以及在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响;分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参数法如何保证分片试验的满足;最后作为位移条件的应用例子，改进了BCIZ元。
关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法
1引言
连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的.单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。
众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的公共的位移插值函数，文[9]把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线函数”的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。
目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变(或应力)的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变(或应力)的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。
2分片检验的要求
因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：
(1)
其中,A：单元域，为位移的不协调部分,有：
(2)
为位移，为位移的协调部分。
方程(1)可以理解为：在常内力情况下，不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方程(1)
(3)
对(3)式中的项应用格林公式，并应用坐标变换公式：
(4)
其中、分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数，即为文中的网线函数，、
为单元边界外法线的方向余弦。对含的项再分步积分得：
(>r时)(5)
r表示单元的边数，表示结点的位移参数。对(3)中的含项也进行分步积分并整理有：
(6)
同样，对项再分步积分得：
(7)
ai、bi、ci为由各边的nx与ny组成的参数，表示位移函数在结点处的值。
(4)、(5)、(6)、(7)便是通过分片检验所需满足的方程。
(4)、(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为应变约束条件;(6)、(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为位移约束条件。成熟的有限元法都自觉或不自觉地应用了这些条件。
有限元法 篇3
关键词无网格Galerkin法;EFG-FE
中图分类号TU348文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)081-0134-01
本文采用有限元与无网格耦合的方法,只在裂尖附近区域布置无网格元,而在其他区域采用一般的有限元。这样,不仅可以充分利用无网格元精度高,处理裂纹扩展灵活的特点,而且可以容易地处理力学边界条件,并提高了求解的效率。
1无网格Galerkin法及其和有限元法的耦合
MLS方法构造出来的形函数并不具有插值性质。本文采用与有限元耦合的方法来处理这一问题。
过渡单元的近似函数为:
(1)
式中,R(x)称为坡度函数,它保证了过渡单元实现从无网格边界到有限元边界的光滑过渡。它可采用与有限元形函数相同的定义,即:
由式(1)可以得到过渡单元的形函数为
,x在过渡单元内。(3)
式中,是有限元形函数;是EFG方法的形函数。
而过渡单元形函数的导数为
式中, x在过渡单元内
所以,对于EFG-FE耦合方法,它的位移近似函数可以写为
式中,是EFG-FE耦合方法的形函数
2算例
如图2所示为具有单边裂纹的有限板。板宽度W=1m,高度L=2m,裂纹长度a=0.4m,σ=1Pa。设其处于平面应力状态,弹性模量E=2.07×1011Pa,泊松比μ=0.3。
网格的划分以及节点的布置图如图3,节点沿x方向均匀分布,在y方向上,裂纹附近的节点布置得最密。包括只用来积分的背景单元,共划分为20×40个单元,包括无网格节点,共有21×41个节点。无网格节点布置在裂纹两边,有21×18个,用来积分的背景单元有20×17个。在计算过程中,有限元区域采用2×2阶高斯积分,无网格区域采用4×4阶高斯积分。
用此方法计算沿四条不同回路的积分J*,这四条回路分别为:
Γ1:(0.48,0)→(0.48,0.08)→(0.32,0.08)→(0.32,-0.08)→(0.48,-0.08)→(0.48,0)
Γ2:(0.56,0)→(0.56,0.16)→(0.24,0.16)→(0.24,-0.16)→(0.56,-0.16)→(0.56,0)
Γ3:(0.64,0)→(0.64,0.24)→(0.16,0.24)→(0.16,-0.24)→(0.64,-0.24)→(0.64,0)
Γ4:(0.72,0)→(0.72,0.32)→(0.08,0.32)→(0.08,-0.32)→(0.72,-0.32)→(0.72,0)
计算结果列于表1中。J*1、J*2、J*3、J*4分别是沿回路Γ1、Γ2、
Γ3、Γ4的积分,且分别采用了线性基函数,二次基函数和部分扩展基。其中线性基向量为,二次基向量为,部分扩展基向量为。其次,由于在线弹性问题中,J*是裂尖处的能量释放率,因此在求出J*后,可由式(7)求得在平面应力状态下的应力强度因子KI: (7)
计算结果列于表2,并于精确解比较,Err为应力强度因子的相对误差,,其中精确解为2.358。可以看出,积分回路的选择对线性基和二次基计算结果的影响较大,对部分扩展基计算结果的影响较小,部分扩展基由于引入了项,能较准确地捕捉裂纹尖端的奇异性。
图2单边裂纹有限板
3结论
本文采用无网格Galerkin方法与有限元(EFG-FE)耦合的方法来计算裂纹问题,只在裂尖附近区域布置无网格元,而在其他区域采用一般的有限元。这种耦合的方法不仅解决了无网格Galerkin法力学边界条件施加的难点,而且还克服了无网格Galerkin法耗时较多的缺点。由于采用背景有限元网格作为无网格元的积分网格,因此有限元与无网格元耦合非常便利,也便于在计算时划分网格及布置节点,从而大大提高了精度
参考文献
[1]宋祖康,陆明万,张雄.固体力学中的无网格方法[J].力学进展,2000,30(1):55～65.
[2]刘更,刘天祥,谢琴.著.无网格法及其应用[M].西北工业大学出版社,2005:203
～213.
[3]张雄,刘岩.无网格法[M].北京:清华大学出版社,2004:61～91.
有限元法 篇4
关键词：有限元,二次样条有限元,桥梁挠度
桥梁挠度是桥梁安全性评价的一项重要指标, 随着近几年计算机的飞速发展, 计算桥梁挠度的方法也相应得到了快速发展, 出现了许多中计算方法, 而有限元计算桥梁挠度的方法具有、编程简单、速度快、精度高等特点, 越来越被工程界所采用。
1 有限元概述
有限元法是使类型广泛的工程问题获得近似解的一种有效的数值分析方法。
有限元法把结构分割成单元, 采用分段插值或分区插值。常用的分段多项式有Lagrange插值、Hermite插值和样条函数等形式。与其他多项式相比, 样条函数具有许多优点:待定系数少, 连续性强逼近精度高。
样条元是样条函数与有限元法相结合的产物。
2 有限元计算桥梁挠度
用有限单元法分析梁弯曲问题时, 通常采用2结点Hermite单元 (如图1所示) 。
单元内挠度函数w (ξ) 的插值表示如下:
其中:N为形函数;
将梁用上述单元离散, 并将上列挠度函数代入泛函∏p (w) 后从δ∏p=0, 可以得到有限元求解方程, 即:Ka=P式 (2)
上式中和分别表示对作用于单元内的横向集中载荷和弯矩求和, ξj和ξk分别是它们作用点的自然坐标。在计算式 (2) 式应将边界条件代入。
3 二次样有限元的刚度矩阵
假定桥梁变形在线性范围之内, 不考虑剪切变形的样条厚梁单元。如图2为一个二次样条梁单元。
那么单元节点位移向量含4个自由度, 即:δe=[v1, θ1, v 2, θ2]T
将单元等分成2个分段13和32。挠度v (x) 设为每个分段上的三次多项式。
其中:为任意常数。
式 (4) 共含6个待定系数, 可由挠度及其一阶在端点处边界条件以及在中间虚结点的连续条件确定, 可解得A0~A5的值, 因此v (x) 可用4个形函数表示:v (x) =φ1*v1+φ2*θ1+φ3*v2+φ4*θ2式 (5)
式 (5) 可以写成矩阵形式, 即:v=Nδe式 (6)
显然Kije=Kjie, 即Ke为对称矩阵。Ke的元素由单元的几何性质和材料常数完全确定。同理, 与传统有限元方法一样可以计算出相应的自由度值。
4 算例分析
为了比较两种方法在计算桥梁挠度中的精确性, 下面以跨度为L的简支梁, 跨中受集中力p作用, 梁的截面抗弯刚度为EI, 如图3所示, 来计算比较两种方法, 计算结果如表1所示。
从上面可以看出随着单元个数的增加, 二次样条有限元的计算精度逐渐增加, 而传统的有限元方法, 没有发生变化, 并且其计算值与解析解相对误差达到3%。
5 结语
以上内容简单介绍了这两种不同的方法, 从简支梁计算结果可看出, 二次样条有限元计算方法更接近于实际情况, 比传统的有限元计算方法更有效率, 计算精度更高, 值得更广泛的推广。
参考文献
[1]单辉祖.材料力学[M].北京:国防工业出版社, 1986.
[2]王勖成.有限单元法[M].北京:清华大学出版社, 2003.
[3]龙驭球, 包世华.结构力学[M].北京:高等教育出版社, 1994.
有限元法 篇5
基于有限元法的自卸车副车架轻量化设计
介绍了某自卸车副车架的有限元分析、结构优化和轻量化设计,并对优化前后的`副车架进行了强度刚度对比分析,为自卸车的轻量化设计提供了一种设计方法.
作 者：李少东 左t文 韩术亭 作者单位：福田雷沃重机股份有限公司,北京,101400 刊 名：专用汽车 英文刊名：SPECIAL PURPOSE VEHICLE 年，卷(期)： “”(z1) 分类号：U469.4.02 关键词：副车架 有限元 轻量化有限元法 篇6
摘要：为提高求解含界面裂纹结构断裂参数的精度，基于界面断裂力学和CellBased光滑有限元法，提出了求解双材料界面裂纹断裂参数的CellBased 光滑有限元法，给出了求解应力强度因子的光滑子域交互积分法，对含中心界面裂纹双材料无限板进行了模拟，并与FEM计算结果和解析解进行了对比，讨论了光滑子元数和单元个数与正则应力强度因子的关系及其收敛性.数值算例结果表明该方法具有很好的收敛性和精度，可为研究人员和工程师设计制造多层材料提供必要参考.
关键词：光滑有限元法；界面裂纹；应力强度因子；交互积分
中图分类号：TB115文献标识码：A
随着科学技术的发展，航空航天、机械工程和生物医学等领域对多层材料（如复合材料层合板、粘接接头、薄膜/基体系统）的需求日益增多.多层材料的整体力学特性和响应完全依赖于界面的性能.裂纹或类似裂纹缺陷往往出现在界面处，裂纹尖端的应力集中导致裂纹扩展或胶粘层脱黏.借助计算机模拟双材料界面裂纹能量释放率或应力强度因子[1]，可进一步得到界面裂纹力学性能失配及裂纹扩张机理，为研究人员和工程师预测材料的寿命及提升多层材料的应用空间奠定基础.
England[2]和Rice[3]的研究奠定了界面断裂力学的理论基础.对于含界面裂纹复杂结构的断裂参数的求解不得不借助于数值计算方法.Bjerkén[4]采用FEM对双材料界面裂纹问题进行了研究.Belytschko[5]等提出了研究界面裂纹问题的无网格法.Sukumar[6]等和江守燕[7]等基于扩展有限元，通过相互作用积分[8]求解了双材料界面裂纹的应力强度因子.姚振汉等[9]采用边界元对界面裂纹进行了模拟.Zhao[10]和Gao[11]等分别采用数值流形方法和无网格流形方法对双材料界面裂纹的断裂参数进行了求解.Pathak等[12]基于无网格法和扩展有限元法对界面裂纹的应力强度因子进行模拟.可见，采用数值计算方法求解界面裂纹的断裂参数是目前解决界面裂纹问题的主要手段.基于位移有限元求解的位移解偏小；边界元的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提；无网格计算效率低；扩展有限元在包含不连续界面的单元中需对间断函数进行数值积分，采用高斯积分求解时会存在较大误差.
为提高求解精度，Liu等[13]将无网格法中的光滑应变措施[14]引入有限元，提出了光滑有限元法.光滑有限元法具有网格要求低、形函数简单、计算精度高等优点，目前已应用于很多领域[15-16]，但关于界面裂纹问题的光滑有限元法研究还未见报道.
本文基于光滑有限元法，结合界面断裂力学提出了求解双材料界面裂纹断裂参数的CellBased 光滑有限元法，计算应力强度因子时采用互交积分法，对无限大含中心裂纹的双材料板进行了模拟，并与FEM求解结果和解析解进行了对比.
5结论
本文提出求解含界面裂纹问题的CellBased 光滑有限元法，对无限大含中心界面裂纹的双材料板进行了模拟，并与FEM计算结果和解析解进行了对比，得到以下结论：
1）在相同单元数下，CellSFEM的计算精度高于FEM.
2）CellSFEM具有很好的收敛性，光滑子元取4时就具有了较高的求解精度.
3）基于CellSFEM的交互积分M求解简单.
参考文献
[1]CHEN L， YEAP K B， ZENG K Y， et al. Finite element simulation and experimental determination of interfacial adhesion properties by wedge indentation[J]. Philosophical Magazine， 2009， 89（17）：1395-1413.
[2]ENGLAND A H. A crack between dissimilar media[J]. Journal of Applied Mechanics， 1965，32（2）：400-402.
[3]RICE J R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks[J]. Journal of Applied Mechanics， 1988，55（1）：98-103.
[4]BJERKN C， PERSSON C. A numerical method for calculating stress intensity factors for interface cracks in bimaterials[J]. Engineering Fracture Mechanics， 2001，68（2）：235- 246.
[5]MOS N， DOLBOW J， BELYTSCHKO T. A finite element method for crack growth without remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1999，46（1）：131-150.
[6]SUKUMAR N， HUANG Z Y， PRVOST J H， et al. Partition of unity enrichment for bimaterial interface cracks[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2004，59（8）：1075-1102.
[7]江守燕，杜成斌，顾冲时，等.求解双材料界面裂纹应力强度因子的扩展有限元法[J]. 工程力学，2015，32（3）： 22-27.
JIANG Shouyan， DU Chengbin， GU Chongshi， et al. Computation of stress intensity factors for interface cracks between two dissimilar materials using extended finite element methods[J]. Engineering Mechanics， 2015，32（3）：22-27.（In Chinese）
[8]YU H J， WU L Z， GUO L C， et al. Interaction integral method for the interfacial fracture problems of two nonhomogeneous materials[J]. Mechanics of Materials， 2010，42（4）： 435-450.
[9]张明，姚振汉，杜庆华，等.双材料界面裂纹应力强度因子的边界元分析[J].应用力学学报，1999，16（1）：21-26.
ZHANG Ming， YAO Zhenhan， DU Qinghua， et al. Boundary element analysis of stress intensity factors of bimaterial interface crack[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics， 1999，16（1）：21-26. （In Chinese）
[10]AN X M， ZHAO Z Y， ZHANG H H， et al. Modeling bimaterial interface cracks using the numerical manifold method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2013，37（2）：464-474.
[11]GAO H F， WEI G F. Stress intensity factor for interface cracks in bimaterials using complex variable meshless manifold method[J]. Mathematical Problems in Engineering， 2014， 353472：1-8.
[12]PATHAK H， SINGH A， SINGH I V. Numerical simulation of bimaterial interfacial cracks using EFGM and XFEM[J]. International Journal of Mechanics and Materials in Design， 2012，8（1）：9-36.
[13]LIU G R， DAI K Y， NGUYEN T T. A smoothed finite element method for mechanics problems[J]. Computational Mechanics， 2007，39（6）：859-877.
[14]CHEN J S， WU C T， YOON S， et al. A stabilized conforming nodal integration for Galerkin meshfree methods[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2001，50（2）：435-466.
[15]ZHOU L M， MENG G W， LI F， et al. Cellbased smoothed finite element methodvirtual crack closure technique for a piezoelectric material of crack[J]. Mathematical Problems in Engineering， 2015， 371083：1-10.
[16]周立明，孟广伟，王晖，等. 基于光滑有限元的含裂纹复合材料的虚拟裂纹闭合法[J]. 湖南大学学报：自然科学版，2014，41（8）：36-40.
有限元法 篇7
1 成桥线形计算分段悬链线理论
1.1 基本假定
主缆为柔性索, 不计其弯曲刚度;索的本构关系符合虎克定律, 即应力应变关系符合线性关系;主缆的截面面积和自重集度在外荷载作用下的变化量很小, 可以忽略不计;在悬索桥的成桥状态, 对于主缆而言, 所受荷载为沿弧长均布的主缆自重和通过吊索传递的局部荷载, 后一部分可近似作为集中荷载处理。
1.2 理论推导
在沿其弧长均匀分布的自重和吊索传递的集中力作用下, 主缆成桥线形既非抛物线, 也不是悬链线, 而是由分段的悬链线组成。以中跨为例, 将主缆以吊杆为界分为n段, 取主缆相邻吊杆间任一段悬索, 用一悬链线可以精确模拟其线形。以分段吊点 (从左端起) 为原点建立坐标系, 竖坐标为y, 其方向向下, 任一点处的拉格朗日坐标为s, 相应的笛卡尔坐标为 (x, y) 。
1.2.1 第i段沿索均布荷载作用下的单索分析
根据图2经推导, 悬链线方程为
平衡条件:
几何条件:
由式 (1) 得
将式 (2) 、 (4) 和式 (5) 代入式 (3) 得
式中:li, hi——分别为i号梁段吊杆间距和主缆吊点高差;
q, si——分别为主缆恒载集度和i号梁段主缆长度;
Hi, Hi+1——分别为i号梁段主缆i号端和i+1号端水平力;
Vi, Vi+1——分别为i号梁段主缆i号端和i+1号端竖直力。
将li, hi分别换成x, y即得到笛卡尔坐标和拉格朗日坐标的换算公式, 并且可求得i号梁段主缆长度si由吊杆间距li表示的关系式:
1.2.2 第i段均布荷载和集中荷载作用下单索的分析
在均布荷载和集中荷载作用下, 单索段的端点力与坐标 (li, hi) 的关系仍应满足式 (6) 和式 (7) 的函数关系, 力的平衡条件有所不同:
式中:Pi——i号吊点处集中外荷载大小。
此外还应满足变形相容条件:
(1) 索上任一点应通过给定点, 即给定跨度l和矢高f, 跨中点则通过给定的矢高坐标点:
(2) 高差闭合, 即各段悬链线高差之和应等于两个主鞍座IP点 (或两个支点) 的高差Δy:
式 (10) 、 (11) 中:m, n——分别为左鞍座 (或左支点) 到跨中的吊杆数和吊索总数;
Δy——两个主鞍座IP点的竖标差。
1.3 整段悬索线形的迭代计算
计算所需的基本参数, 如主缆恒载集度q, 吊杆间距li和矢高f, 鞍座上IP点坐标均已知, 而鞍座处主缆水平分力H和竖直分力V未知, 索形计算时需根据抛物线形算得的水平分力和竖直分力确定。根据以上分析可建立以下迭代计算过程:
(1) 假定鞍座IP点主缆水平分力和竖直分力
(2) 将式 (12) 代入式 (8) 可计算出该段相应的悬索长度s1, 再根据式 (7) 可求得该段两端高差h1, 进而根据式 (9) 可建立下一段的H2、V2并计算出s2、h2等。
(3) 依此类推, 可求得h3、h4、…、hn+1等。
(4) 根据预估的H1、V1, 如果步骤2、3计算得到的hi不能使式 (10) 和 (11) 成立, 则设误差向量为:
(5) 修正H1、V1, 可通过影响矩阵法按如下步骤求解:
(1) 索端力分别产生单位增量, 使H1=H1+1和V1=V1+1, 分别代入式 (13) , 计算出相应的ef和ey, 从而得到影响矩阵:
矩阵中第一列为H改变引起的ef和ey, 第二列为V改变引起的ef和ey。
(2) 根据步骤 (1) , 可得到方程
解方程求出H、V的修正量ΔH, ΔV。
(3) 修正索端力H=H+ΔH, V=V+ΔV, 重新由步骤 (2) 、 (3) 、 (4) 计算hi、ef和ey。
由于方程的非线性, 具体计算时可以根据 (1) ~ (3) 步进行迭代。设定误差向量[ef, ey]’的一种向量范数如欧氏范数 (2-范数) 作为收敛范围, 当误差值达到收敛范围时, 迭代计算结束。这样, 就可以得到主缆在IP点处真实的水平分力H和竖直分力V, 而且也得到了每段索的有应力长度si以及相应的吊点坐标 (因坐标系的设定而异) , 在图1所示坐标系下, 吊索作用点的竖坐标Yi:
对于边跨主缆成桥线形, 根据以上求得的中跨实际的H、V以及主鞍座与散座鞍IP点处确定的高差等条件, 可采用上述相同办法计算。
2 解析法和非线性有限元法综合应用
上述迭代过程可以编制MATLAB程序进行求解, 计算所需的基本参数, 如主缆恒载集度q, 跨径l, 吊杆间距li和矢高f, 鞍座上IP点坐标均已知, 而吊点处的集中荷载值Pi未知。吊点处集中荷载包括吊杆力、索夹和锚头自重力, 以及吊杆所传递的加劲梁自重以及二期恒载等, 近似计算中可把后一部分力按照均分的方式处理。显然, 由悬索桥的施工过程和体系特点可知按照这种方式仅能得到近似的成桥线形。另外在ANSYS中建模求解时, 需要给定主缆的初始线形, 这要经过多步迭代试算才能完成。本文根据编制的成桥线形MATLAB程序并结合ANSYS非线性有限元方法, 可以方便准确的计算出成桥线形。
3 算例
3.1 主要计算参数
润扬长江大桥的结构模型如图1所示, 矢跨比为1/10。
3.2 两种方法计算结果的比较
注:上述材料密度均为最终成桥状态折算。
表2中列出了本文解法和将恒载集度按照吊杆间距直接分配给各吊杆时的解析法部分计算结果及两种解法的比较结果, 可以看出, 二者计算结果差别不能忽略, 尤其在L/8跨附近y坐标差值最大为0.079m。
4 结语
根据以上的分析计算可以得到结论:通过本文计算发现, 成桥时的吊杆拉力是很不均匀的, 并不能简单地用恒载集度按照吊杆间距直接分配给各吊杆;而用解析法计算成桥线形时, 不能将整个结构体系作为一个整体分析。所以, 第一次用解析法计算成桥线形时可以用平均分配的方法假定初始吊杆力, 将解析法和有限元法相结合, 通过迭代计算, 能够方便地确定悬索桥的成桥线形。
参考文献
[1]周孟波.悬索桥手册[M].北京:人民交通出版社, 2003.
[2]项海帆.高等桥梁结构理论[M].北京:人民交通出版社, 2001.
[3]郝文化.ANSYS土木工程应用实例[M].北京:中国水利出版社, 2005.
[4]狄谨, 武隽.自锚式悬索桥主缆线形计算方法[J].交通运输工程学报, 2004, 4 (3) :38～43.
有限元法课程的教与学 篇8
现代先进设计制造技术 (CAE/CAM) 是我国实现从制造业大国向制造业强国跨越的关键。有限元法作为计算机辅助工程分析 (CAE) 的先进方法之一, 是工程结构设计不可缺少的重要手段。有限元法基于先进的数字模型, 通过数值模拟技术能够在产品设计阶段预测产品各方面性能, 避免了加工物理样机并通过试验测试产品性能所带来的高成本低效率问题, 大大缩短了产品的研发周期和研发费用。在我国实现从制造业大国向制造业强国跨越的趋势下, 企业对具备有限元分析能力的毕业生需求越来越大。有限元法课程作为机械、土木等工程本科专业的重要选修课之一, 对于培养高素质、高质量的高级专门人才有着重要作用。根据“90后”大学生的求知特征, 开展有限元法课程教学改革, 是培养和提高学生解决实际问题能力的重要途径, 也是实现高等教育人才培养战略必然要求。
一、有限元法课程的教学特点
有限元分析技术涉及数学力学基础、单元技术、计算机应用技术、工程中的应用四个方面。“数力基础+单元技术+软件工具+应用对象”是工程有限元法课程的四个主要特征[2]。有限元法课程的教与学必须抓住“理解基础理论, 熟练掌握软件工具应用, 广泛涉猎工程应用对象”这一主线。
二、有限元法课程教学中的问题
有限元法的基本思想是离散和分片插值, 其理论涉及泛函分析、矩阵理论、数值计算、计算机技术以及各应用领域 (结构、热、电、磁、光等) 基本理论。有限元教学如果只是一味强调理论分析, 就无法使既“求新求变”又“注重实际、利害、功用”的“90后”大学生切实感受到先进方法的魅力, 反而因为繁琐的公式推导而对有限元法产生望而生畏的感觉[3]。当前有限元法课程教学的主要问题有两个方面。一方面是, 过分强调有限元分析的基础理论教学, 却又局限于课程学时少、学生数学力学基础不足而流于形式。学生觉得理论深奥、晦涩难懂, 半生不熟, 事倍功半。另一方面, 实践环节片面地强调对有限元分析软件的掌握, 对工程应用对象涉猎不足, 上机实验根据指导书按部就班完成, 学生缺少自主性、探索性实践锻炼。使学生觉得上手容易, 用起来茫然, 无法自主完成实际问题的研究、探索性分析过程。
1. 对有限元法基础理论理解不透彻。
目前有限元法教材及课程教学内容, 大多以大量篇幅和课时讲授有限元法和各种单元的力学原理。课堂讲授花费很多时间进行数学力学推导, 而用很少时间讲授应用。实践表明, 教学效果很差, 多数学生感觉深奥难懂, 枯燥乏味且不懂应用。
2. 对分析对象的工程背景不熟悉。
有限元课程教学的最终目标就是引导学生“广泛涉猎工程应用对象”, 提高学生对实际问题进行研究、探索性分析的能力。实现这一目标的途径就是做实实践环节。目前有限元课程实践教学环节主要形式有:⑴课堂实例分析演示;⑵上机实验;⑶课外工程实例研究分析。这些实践过程基本都是学生根据指导书完成, 缺少自主性、探索性实践锻炼。由于缺少自主性, 多数学生对分析对象的工程背景不熟悉。不清楚研究对象模型如何简化, 导致分析过程中不能合理的设置参数, 对分析中出现的问题找不出原因予以解决或者对分析结果不能做出合理的解释。无法培养和有效提高学生用有限元法分析实际问题能力。
3. 对分析软件功能模块应用不熟练。
对于复杂的实际问题, 很少有学生能够通过直接编程完成对结构的分析过程。利用商业软件进行工程问题有限元分析, “熟练掌握软件工具应用”是目前有限元课程实践教学的基本要求。目前教学实践环节存在的问题是, 上机实习题目少, 涉及的工程问题较简单, 使得学生对软件功能模块的应用不熟练。在遇到实际问题时, 不清楚先后步骤;不会合理的设置参数, 导致问题不能求解或求解结果不正确。分析解决实际问题的能力受到限制。
三、有限元法课程教学改革实践
教学过程中如何贯彻“理解基础理论, 熟练掌握软件工具应用, 广泛涉猎工程应用对象”这一主线, 是有限元法教学成与败的关键。加强基础理论教学理解性教学, 强化实践教学环节, 增强学生分析解决工程实际问题的能力是教学改革的大方向。因此, 针对目前有限元课程教学中的问题, 我们对课程教学内容与教学方法进行了改革。
1. 基础理论教学化繁为简, 虚实结合。
基础理论从平面杆系结构开始, 再到弹性体平面问题, 把有限元法基本原理和分析过程循序渐进、完整、清晰地讲授出来。简化理论推导过程, 提高了学生的理解和接受程度。讲授平面杆系结构有限元分析过程时, 以图1所示的简单静定桁架内力分析为例;讲授弹性体平面问题时, 以图2所示的两端固定平面深梁为例。用这些实例, 把结构离散, 单元分析, 整体刚度矩阵集成, 整体结点平衡方程, 位移边界条件应用, 有限元最终解等完整的分析过程展现给学生。虚实结合, 这一方法有效地提高了学生对基础理论的理解和接受程度。
2. 采用案例教学, 广泛涉猎分析对象的工程背景。
基于ANSYS软件平台, 精选机械工程中应用实例, 如齿轮、飞轮、主轴等零部件进行课堂有限元分析演示, 广泛涉猎分析对象的工程背景, 使学生认识到该课程的广阔应用前景。讲授单元类型时, 结合具体工程实例来介绍轴对称单元、板壳单元、实体单元等类型单元的应用。讲授单元位移模式和结构分析的h方法与p方法时, 结合工程实例分析演示, 采用讨论式、启发式的教学方式, 让学生从中体会不同分析方法的优缺点。案例教学法, 使学生逐步体会到如何将一个工程实际问题转换为有限元求解模型, 树立了牢固的工程观。
3. 强化实践教学环节, 使学生对分析软件“练中学, 学中用”。
“练中学”。安排16学时的课程上机实习环节, 提供8个左右的实际问题有限元分析题目, 使学生在上机练习中逐步熟悉和掌握ANSYS软件的功能模块应用。同时, 通过这些练习, 使学生逐步学会将一个工程实际问题转换为有限元求解模型的技能, 初步具备解决实际问题的能力。“学中用”。课程教学的终极目标是使学生学以致用。因此, 课程实践环节考核的最有效指标就是学生能否“学中用”。在教学实践环节改革中, 我们在上机实习之外增加了课程论文考核环节, 同时增大这一自主实践环节的考核权重。课程结束时, 教师给出15个左右工程实际问题题目, 让学生按小组选题并完成分析过程, 提交课程论文。学生也可以自己寻找工程中实际问题作为课程论文题目, 藉此可以锻炼学生发现问题、分析解决问题的能力。通过几年教学改革实践, 效果显著。学生利用课程论文这个实践环节, 熟练、系统地对所学知识和分析软件进行应用。一部分学生结合教师的科研项目, 自找题目完成课程论文。例如, 有学生自拟“不同筋板结构井盖的有限元分析”题目并以优异成绩完成课程论文;也有学生结合教师科研项目开创性地完成“马铃薯覆膜穴播种机机架有限元分析”课程论文。“学中用”的目标, 通过课程论文题目这一实践环节得到充分体现。
通过几年来有限元法课程教学改革实践, 本科生对有限元法基础理论理解加深, 软件的操作应用熟练掌握。同时, 通过课程论文环节的实践锻炼, 学生对有限元法有了更深刻的认识, 达到了“学中用”的教学目标。通过有限元课程教与学, 极大提高了学生的数值计算应用能力, 为将来从事CAE相关研究工作打下了坚实的基础。
摘要：本文分析了有限元法课程教学的特点与存在问题, 提出了教学改革的主要措施。通过教学改革实践, 加深了学生对基础理论的理解, 提高了学生对分析软件的掌握程度和工程应用能力。
关键词：有限元法,课程,案例教学
参考文献
[1]高文兵.聚焦90后——高校当前的人才培养[N].光明日报, 2012-12-5 (14) .
[2]向家伟.机械类工程有限元法课程新体系的建设与实践[J].桂林电子科技大学学报, 2008, 28 (2) :150-152.
地道桥的有限元法结构分析 篇9
1 模型建立
本模型是以实际地道为原形来建立的, 采用ANSYS9.0作为分析软件。分析过程中, 地道侧壁、底板和拱顶及底板均采用采用SHELL43单元, 弹性地基采用COMBIN14单元。建成模型如图1所示。
2 分析过程
(1) 在跨度和温度不变情况下, 逐渐改变拱的矢高, 分析结构的变形和内力变化。
(1) 对变形的影响, 结构变形最大值随矢高变化的关系如表1所示。
从表1中可以看出, 在选定的矢高范围之内, 变形随着矢高增大呈增大的趋势。
(2) 矢高变化对结构主拉应力最大值的影响
结构的主拉应力最大值随矢高的变化, 数值关系见表2所示。
从表2中的变化趋势可以看出, 并不是拱的矢高值越大主拉应力最大值就越小, 而是当矢高在3m到3.15m范围内时, 最大的主拉应力随着矢高增大而减小, 当矢高大于3.15m时, 主拉应力最大值随着矢高增大而减小。
(3) 矢高变化对结构X轴向弯矩的影响
在温度和跨度一定的情况下, 结构沿X坐标轴的弯矩随矢高增大而变化, 数值关系见表3。
从表3中可以看出, 在给定的矢高变化范围内, 随着矢高的增大, 结构的最大弯矩呈递减趋势。
(2) 在跨度和矢高一定的情况下, 考虑温度的变化对结构变形和内力的影响。
(1) 把地道的顶板每一个阶梯升高一度, 察看地道的变形情况, 最大变形量与温度之间的关系可以用表4表示。
从表4可以看出, 在给定的温度变化范围内, 结构的变形随着温度的增长而呈线性增长。
(3) 拱顶板的温度每升高一度, 相应的主拉应力, 由记录数据可以得到主拉应力随温度的变化关系如表5和沿X轴的弯矩随温度的变化关系图6。
从表5可以看出, 最大主拉应力随温度的升高变化总体呈增大趋势, 只是在温度6度到7度时出现了一个小的回落。
(3) 拱顶板的温度每升高一度, 沿X轴的弯矩随温度的变化关系见表6
从表6可以看出, 结构沿X轴弯矩变化随着温度的升高总体呈增大趋势。
3 结束语
本次分析通过综合考虑通道桥矢高及环境温度对结构的变形和内力影响, 以便对结构设计及施工提供有效的理论依据。
参考文献
【1】郝文化等.ANSYS土木工程应用实例【M】.北京:中国水利水电出版社, , 2005.
【2】博弈创作室.ANSYS基础教程及实例详解【M】.北京:中国水利水电出版社, 2004.
两节点直杆索单元有限元法综述 篇10
1几何非线性情况下的Lagrangian应变
在几何非线性情况下,可以用Lagrangian轴向应变几何方程来定义应变和索单元变形前后长度的关系:
由ds * 和ds的定义可知:
将上式代入式( 1 )可得:
经过对式( 3 )的一系列推导之后, Lagrangian应变几何方程可写为:
其中,
由此可知,几何非线性结构中应变与位移的非线性关系主要体现在上式右边的二次项部分。
再对式( 4 )变分,可得:
其中,应变矩阵 [ B ] 可以写为:
2物理关系
由于假定索单元始终处于弹性工作状态,且力学特性符合虎克定律,因此其应力应变关系应满足:
式中,σ 为索单元的轴向应力,E为索材料的弹性模量,ε 为索单元的轴向应变,σ0为索单元的初始轴向应力。将式( 4 ) 代入上式,有
3单元的切线刚度矩阵
根据虚功原理可建立单元平衡方程为:
为求解非线性平衡方程( 12 ),则需要得到单元的切线刚度矩阵 [ KT]e。而 [ KT]e可由下式确定:
对式( 12 )取微分,有:
由式( 7 )可得:
由式( 11 )可得:
将式( 15 )代入式( 14 )可得等式右边第一项为:
式中, [ Kσ]e称为初应力矩阵,且有:
再将式( 16 )代入式( 14 )可得等式右边第二项为:
式中, [ Ke]e是线性的,称为弹性矩阵, [ Kg]e与几何方程中的非线性项有关,称为初始位移矩阵,且有:
由此,可以得到单元切线刚度矩的具体表达式为:
式中,A为索单元截面积,L为索单元长度,E为索材料弹性模量,σ0为索单元内的初始应力,矩阵 [ C ] 的具体表达式见式( 4 )} 为索单元节点的位移列阵,为索单元节点的整体坐标列阵。
对于整体结构而言,它的切线刚度矩阵是其每个单元切线刚度矩阵的集成: [ K T ]= ∑ e [ K T ] e ( 23 )