线性代数模型（精选十篇）
线性代数模型 篇1
关键词：线性代数,欧氏空间,正交基,理论,RMI模型,RMI方法,构造化方法,教学思路
欧氏空间正交基理论是线性代数的重要理论之一, 并且也是非数学专业线性代数的重要教学内容。内容包括: (1) 欧氏空间正交组的定义; (2) 欧氏空间标准正交组的定义; (3) 正交基[直角坐标系]的定义; (4) 标准正交基[标准直角坐标系]的定义; (5) 欧氏空间正交组的构造方法; (6) 标准正交基[标准直角坐标系]的定理。
本论述给出线性代数欧氏空间正交基理论的RMI模型理论, 并且应用关系映射反演思想方法论述欧氏空间正交基理论的教学思路。教学实验证实, 这一教学思路具有可行性和可操作性, 并且是适宜的和有效的。更一般的理论研究和具体教学实验, 请参看有关文献[1]-[5]。
n维欧氏空间是否存在标准正交基[直角坐标系]?在空间解析几何里, 通常选取三个彼此正交的单位向量作成V3的一个基。这个基对应于一个直角坐标系。我们知道, 直角坐标系用起来特别方便。在一个n维欧氏空间V里, 由于有了向量的长度和夹角的概念, 自然会想到, 是否能够找到一组两两正交的单位问量, 使它们构成V的一个基。这样一个基用起来似乎应该更方便一些。下面的讨论说明, 这个想法是可以实现的。首先引入概念。
定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组。
定理8.2.1设α={α1, α2, …, αn}是欧氏空间的一个正交组。那么α1, α2, …, αn线性无关。
证设有a1, a2, …, ar∈R, 使得
因为当i≠j时, <αi, αj>=0, 所以
但<αi, αi>≠0, , ai=0, i=1, 2, …, n, 所以α1, α2, …, αr线性无关。
定理8.2.2 n维欧氏空间V的α={α1, α2, …, αn}如果是一个正交组, 那么这n个向量构成V的一个基[坐标系]。
证明n维欧氏空间V中n个向量α={α1, α2, …, αn}如果构成V的一个正交组, 那么由定理8.2.1, 这n个向量构成V的一个基[坐标系]。
定义2 n维欧氏空间V的α={α1, α2, …, αn}如果是一个正交组, 那么这n个向量构成V的一个基[坐标系]。称这个基是正交基[直角坐标系]。
如果V的一个正交基[直角坐标系]还是一个标准正交组, 那么就称这个基是标准正交基[标准直角坐标系]。
定理8.2.3 n维欧氏空间V的α={α1, α2, …, αn}如果是一个正交组, 那么这n个向量构成V的一个正交基[直角坐标系]。
RMI方法的框图见图1:
如果α={α1, α2, …, αn}是n维欧氏空间V的一个标准正交基。令ξ是V的任意一个向量。那么ξ可以唯一地写成
X是ξ关于基α={α1, α2, …, αn}的坐标。由于α={α1, α2, …, αn}是标准正交基, 有
这就是说, 向量ξ关于一个标准正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积。
其次, 令
那么
由此得
这些公式是解析几何里熟知公式的推广。由此可以看到, 在欧氏空间里引入标准正交基的好处。
自然发生这样的问题:在一个n维欧氏空间里, 是不是存在标准正交基[标准直角坐标系]?下面的定理不但给予肯定的回答, 而且还给出一个方法, 使得我们可以从一个任意基出发, 构造一个标准正交基。
让我们先在V2内考虑。设α={α1, α2}是V2的一个基, 但不一定是正交基。我们希望从这个基出发, 得出V2的一个标准正交基。自然, 只要能够得出V2的一个正交基β={β1, β2}, 问题就解决了, 因为将β={β1, β2}再分别除以它们的长度, 就得到一个标准正交基。
先取β1=α1.借助于几何直观, 为了求出β2, 我们考虑线性组合α2+aβ1从这里决定实数a, 使α2+aβ1与β1正交。由
及β1≠0得
我们取
那么β=<β1, β2>=0.又因为α1, α2线性无关, 所以对于任意实数a, α2+aβ1=α2+aα1≠0, 因而β2≠0.这样就得到V2的一个正交基β={β1, β2}。
上面的考虑给我们一个启发, 使我们能够在欧氏空间里, 从一组线性无关的向量出发, 得到一个正交组。
定理8.2.2设α={α1, α2, …, αm}是欧氏空间V的一组线性无关的向量。那么可以求出V的一个正交组β={β1, β2, …, βm}, 使得βk可以由α1, α2, …, αk线性表示, k=1, 2, …, m.
证先取β1=α1。那么β1是a, 的线性组合且β1≠0.其次, 取
那么β1是α1, α2线性组合, 并且因为α1, α2线性无关, 所β2≠0.又由
所以β2与β1正交。
假设1
由于假定了βi是α1, α2, …, αi的线性组合, i=1, 2, …, k-1, 所以把这些线性组合代入上式, 就得到
所以βk是α1, α2, …, αk的线性组合。由α1, α2, …, αk线性无关得出βk≠O, 又因为假定了β={β1, β2, …, βk-1}两两正交, 所以
这样, β={β1, β2, …, βk}也满足定理的要求。定理被证明。
这个定理实际上给出了一个方法, 使得我们可以从欧氏空间的任意一组线性无关的向量出发, 得出一个正交组。这个方法称为正交化方法。
定理8.2.3任意n (n>0) 维欧氏空间一定有正交基, 因而有标准正交基。并且, 正交基可以由正交化构造方法给出。
证明设V是一个n (n>0) 维欧氏空间。令α={α1, α2, …, αn}是V的任意一个基。利用正交化构造方法, 可以得出V的一个正交基β={β1, β2, …, βn}, 再令
那么γ={γ1, γ2, …, γn}就是V的一个标准正交基。
参考文献
[1]窦永平.数学教育整体思路导言[J].兰州商学院学报, 2002, (4) :127-128.
[2]平云.高等学校数学教学中的德育教育初探[J].兰州商学院学报, 1993, 增刊 (1) :51—52.
[3]窦永平.线性规划模型建立的教学思路[J].兰州商学院学报, 1990 (, 2) :66—70.
[4]窦永平线性代数的教学思路 (I) [J].高等理科教育, 2004, 教育教学研究专辑 (二) :8—10.
[5]平耘.教学组织论的研究与建立[J].社科纵横, 1992, (5) :47-49.
多元线性模型中的有偏估计 篇2
刘金山在给出了多元线性模型参数分量βi和参数矩阵B的有偏估计-βi=(X′X)-1Y-Ci,i=1,…,m和B=(-β1,-β2,…,-βm)以及-βi的性质.本文从另一角度得到了同样的.估计,证明了刘金山文中所给的两个检验是UMP检验,估计βi是βi的线性可容许估计,证明了B不是B的可容许估计,由此给出了两种改进估计.
作 者：程正东 陈桂景 作者单位：程正东(合肥电子工程学院数学室,合肥,230037)
陈桂景(安徽大学数学系,合肥,230039)
一类微分经济模型的非线性动力分析 篇3
引言
国内外有不少学者专家对经济周期模型进行了研究分析，取得了非常丰富的研究成果。1930年法国的Corbeiller提出可以基于非线性动力学的混沌分岔理论对经济系统进行分析。随后，基于非线性动力学理论对经济微分系统进行分析成为学界的共识。1950年，Goodwin通过改进希格斯的消费函数，并结合时滞系统的思想，建立了一个非线性“乘数-加速数”经济周期模型，在该模型中，他通过非线性动力学理论研究了系统的分岔和混沌现象，并发现系统在参数变化时会出现周期极限环等典型的非线性动力学特征。随后，Puu同样以希格斯消费函数为基础建立了一个考虑非线性投资函数的周期经济学动力系统模型，重点对该模型的局部和全局动力学现象进行详细研究。
我国学者也对经济系统的非线性动力学展开了广泛的研究。李伟通过对综合消费函数和投资函数进行综合考虑，并考虑自发性函数项，建立了一类新的经济动力学模型。文献研究时考虑了时滞项对系统的影响，得到了系统发生Hopf分岔的判别式条件，从而研究了系统的周期与非周期特性。
综上所述，包含消费函数、投资函数、时滞等因素的经济学动力系统，往往包含有周期项，导致系统出现了典型的周期倍化分岔、Hopf分岔、极限环等多种非线性响应。在参数变化时，系统随着动力学参数的变化，经济模型动态响应也随之改变。
本文针对一类非线性周期经济动力学系统，建立了考虑多种参数的经济学微分方程，重点研究了基于借贷模式的经济周期的非线性模型，通过非线性动力学理论对系统的微分方程进行求解分析。本文的研究对于宏观经济政策决策有一定的理论指导意义。
基于借贷消费的经济周期模型
借贷消费起源于美国，近年来在中国开始逐渐研究借贷消费对我国经济发展的影响。特别是经济危机的出现，使得越来越多的专家学者开始对借贷消费的优劣更多关注。因此，如何合理利用和控制借贷消费，成为经济学领域研究的热点之一。
式（6）表示的系统中，外部激励项f为国家宏观调控的力度，下面研究系统随该参数变化时系统的非线性动力学特性。当f连续变化时，以f=0.4275为系统的周期倍化分岔临界值。在分岔点附近，系统的轨线的拓扑结果有实质性的差异，焦点由稳定变为不稳定，极限化由无到有，由大到小，且极限环的周期性发生了明显改变从周期2变为周期4，如图2a～b所示。
（一）f=0.4275是系统分岔临界值，可以发现，该系统随着系数的波动出现了模型的周期性波动，而且随着参数改变，系统的周期同样明显改变。这与世界经济发展确实存在周期波动完全一致。
（二）f=0.423左右，系统在该参数没有出现周期解。出现了明显的混沌现象，这样的现象说明，系统在该参数下是混沌的，暗示这样的参数条件下该系统可能爆发经济危机。由于经济危机比如影响到世界经济的正常发展和前进，而且这样的状态具有随机遍历性，因此对任何经济系统都是十分危险的。需要努力去控制，因此，使得中国的经济发展处于混沌状态。因此，要避免经济危机对中国经济发展的危害，保证经济的持续增长，宏观调控的力度一定要保持在0.4230以上。
（三）当f的取值从依次减小时候，极限环的半径也在依次变大。这说明f的值越大，发生一个经济周期所经历的时间越长，即经济发展相对稳定。
（四））f的值越小，发生一个经济周期所经历的时间越长，而且经济发展的波动性较大。
综上，我们可以发现外部干扰f对系统的影响较大，我们可以通过加以较小的外力干扰就可以使经济由混沌状态进入到确定状态。随着f的变化，要想使得经济由混沌状态进入到确定状态，需要施加的外力 也需要不断增加。在现实中，这就说明当宏观调控力度较小时，政府使用比较单一的经济调控手段就可以控制经济的发展方向，而当 较大时，政府需要联合使用较多的经济调控手段才可以控制经济的发展。
结论
本文建立了考虑借贷消费及借贷投资的经济周期模型，对模型的动力学参数进行估计，在此基础上，分析了外部干扰项对该系统的分岔和混沌行为的影响规律，得到参数变化时系统动力学响应的变化和转迁规律，研究发现选择合理的外部控制项，能够对系统的周期与非周期性产生十分明显的作用，达到控制借贷消费率及借贷投资率的目的，从而对我国的解决发展起到明显的促进作用。
蛛网模型的线性与非线性分析 篇4
1. 模型结构
蛛网模型的基本假定是:产品的本期产量 (供给量) Q取决于前期的价格P, 即产品的供给函数为S=f (p) ;产品的本期的需求量D取决于本期的价格P, 即需求函数D=f (p) 。根据上述基本假设, 蛛网模型的数学模型为:
2. 模型分析
上述解表明实际价格Pt是时间t的函数, 由于可正可负, 因此实际价格Pt将围绕均衡价格上下波动, 的波动将出现三种情况:
3. 模型启示
以上稳定性分析, 在一定范围内揭示了市场经济的规律, 对实践具有一定的指导作用:它要求企业在生产经营活动中, 既不要因产品的价格高而盲目扩大生产规模, 也不要因产品的价格低而过分压缩生产规模, 而要认真调查研究, 正确分析和把握市场走向, 从而冷静地做出决策。同时, 由于该模型使用了极强的假设, 即生产者总是根据上期的价格来决定本期的产量, 而在现实的经营活动当中, 生产者只能按照本期的价格来出售由预期价格决定的产品;生产者与需求者的不完全理性又与假设条件“完全竞争”存在矛盾。为了摆脱这种困境, 将重新采用非线性分析的方法来解决蛛网模型的量化分析问题。
二、蛛网模型的非线性分析
1. 模型结构
下面采用单一系数的二次方程来分析反映专业人才市场供求关系特殊性的蛛网模型。单一系数的二次方程:, 此处, 取系数ω=3.5绘出微分方程的图象:
(1) 当ω<1时, 曲线完全处于正象限的45°射线之下,
当ω>1时, 曲线与45°射线相交, 均衡点的值为E (yt>0) ;
(2) 当1<ω<2, 曲线与相交点的斜率为正;
(3) 若2<ω<3, 交点斜率为负, 但小于1的绝对值;
(4) 若ω>3, 曲线斜率将小于-1, 其绝对值大于1。
混沌经济学的基本原理表明, 当曲线的均衡点的斜率为负时, 时间轨迹一定会出现波动;当曲线相交时的斜率大于1的绝对值时, 波动将是发散型的, 时间轨迹在y值的附近越来越偏离均衡值yt。
2. 模型启示
(2) 模型的供需曲线无法趋于均衡, 专业人才就业就无法达到最佳状态, 因而有必要实施有效的市场政策, 采用积极的人才市场政策合理调整供需两条曲线, 使它们可能趋于均衡, 从而对专业人才市场产生长期影响。政府应该采取有形的手辅助市场”看不到的手”进行人才需求管理。
总之, 高技术人才市场的蛛网模型作为一个特例, 很好地说明了波动和偏离的趋向性。
三、结束语
在以上的阐述中, 本文已经通过线性分析与非线性分析量化解决了微观经济领域与教育领域的供需波动问题, 对该模型的上述分析其实不止用于以上领域, 在宏观领域如货币市场也可以得到应用。
摘要：本文运用蛛网模型的有关理论, 通过线性与非线性分析, 研究供需曲线与模型的运行结果, 结合解决微观经济领域与教育领域的供需波动问题, 提出相应的对策与措施来实现模型的均衡。
关键词：供需波动,均衡点,需求弹性,混沌经济学
参考文献
[1]龚晓华:关于专业人才市场蛛网模型的混沌思考[J].中国经济问题, 2004年第三期
[2]齐晓波:一类线性动态非均衡蛛网模型的稳定性分析[J].新疆昌吉学院学报, 2004, 12:25-27
线性代数模型 篇5
微观接触颗粒岩土非线性力学分析模型
建立了一个基于细观层次数值分析研究具有内部粘连接触特征的岩土材料非线性力学行为的力学模型,给出了细观非线性问题分析,尤其是考虑了粘连接触面的求解技术,在此基础上给出了加载条件下不同内摩擦系数的`宏观介质的非线性力学行为,研究了两种不同细观颗粒排列介质在剪切性能上的差别.研究成果可以作为材料与其他相关科学研究工作的借鉴.
作 者：张洪武 作者单位：大连理工大学,工程力学系、工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁,大连,116024 刊 名：岩土工程学报 ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF GEOTECHNICAL ENGINEERING 年，卷(期)：2002 24(1) 分类号：O241 TU43 TU45 关键词：颗粒材料 粘连本构模型 接触 细观分析线性代数模型 篇6
关键词：多元线性；分析；学生成绩
学生接受教育是连续的，所以评价一名学生不能只依靠某次考试成绩，要纵向地连续观察学生在各阶段情况做综合评价。中考成绩是衡量学生进入高中之前学习情况的一项重要指标，所以选择这两个变量作为二模成绩的解释变量是含有一定的合理性。
图3是学校类别x2，学生性别x3以及班级类别x4的直方图，图4表示的是二模成绩y关于中考成绩x1和一模成绩x3的散点图。通过观察可以对新添加解释变量的情况有初步了解。
R软件对样本数据做多元回归得表4.可以得到多元线性回归模型虽然已经得到回归方程，但还要对模型的合理性进行检验。由上文多元回归模型的理论可知，首先要对回归方程做显著性检验，分析数据发现该检验得到p值很小，与此同时相关系数R2为0.9298，说明建立的多元回归模型比较合理，解释变量能很好解释因变量。
接下来还要对模型的解释变量逐个进行t检验，表4中显示中考成绩、一模成绩的p值很小，说明二者对二模成绩影响很显著。
学生性别这个变量对二模成绩影响的p值为0.0271也很显著。人们通知认为高中男生的学习能力要强于女生，但分析结果表明这种说法不是很正确。学生性别变量的回归系数估计值为3.1393，表明女生成绩普遍较好。高中阶段的学习，不仅要求接受新知识能力强，而且要求有丰富的知识积累量。可能是女生学习态度较好，对知识掌握情况较好。
学校类别变量对因变量影响不是很显著，也就是说学校水平对学生成绩影响不大。样本的五所学校可以分为两个水平：重点高中和普通高中。学校水平不同对学生二模影响的功能贡献率不是很大，这个结果与只有去好学校才有优异成绩的想法不符。
二模成绩与一模成绩的散点图说明一模成绩可以很好的预测二模成绩。图中有很清晰的两条直线，可能是由于学校所处水平不同引起的，重点高中学生成绩整体上要比普通高中要好。图5是多元回归方程的残差图，图中点散乱分布在y轴的两侧，说明所选择的中考成绩，学生性别等5个解释变量可以很好的解释二模成绩，也就是说建立的模型有一定的合理性上述多元回归模型残差平方和，对上文五个解释变量做显著分析时知，学生个人对二模成绩影响很大，学生类别与班额对学生成绩影响不是很显著。残差平方和的意义在于除了学生个人之外其他所有因素对因变量的影响，其中也包括学校的教学质量。因此，我们就可以利用各自学校的残差平方和去比较学校之间教学质量差异。利用上式可以得到每所学校的学校对学生的影响程度表示为
利用样本数据计算得到的结果见表6.
从表6可以看出，C、D两所学校残差平方和比较大，表明与其他几所学校有明显差异。从实际意义上看，说明这两所学校在师资力量、办学条件、生源质量等方面与其他三所学校有很大不同。
模型拓展
本文之前的分析都是在样本数据的基础上，利用数据中包含比较直观的信息（学生成绩、性别等），从学生角度分析影响学生的二模成绩因素。在样本中没有任何关于学校办学条件，师资力量等代表学校教学质量相关信息情况下，是否可以利用简单线性回归模型挖掘出潜藏在样本中的信息，进而估测学校的教学质量的差异为学校排名。
其中表示来自第i所学校的第j学生的第二次模拟考试成绩。
表示来自第i所学校的第j 学生的中考成绩。由最小二乘法估计方法，我们有将样本数据代入上式推导出的公式中，计算结果如表7所示。
数据分析之前，已经大致了解学校的基本情况。其中学校编号为CDE的三所学校为省级示范高中，编号为AB的两所学校为普通高中，实际学校排名情况与上表现是排名大体一致。
本文建立的多元回归模型对三组学生成绩分别从学生以及学校角度进行分析，并结合统计学知识、R软件对数据分析处理的结果进行了有效的分析与合理解释。
当统计学与数据相遇总会有这样那样的火花，不一样的风景。样本只包含几次考试成绩和关于学生自身的一些信息，没有直接关联教学质量的信息。但是简单的分析就可以挖掘到许多隐藏在数据背后的信息，这就是统计学的魅力所在。通过上述分析再一次验证了数据力量是巨大的，合理、高效地利用为教学服务，将具有重大的意义。
参考文献：
节点边际电价线性规划模型分析 篇7
在市场经济的基本原理和运行规则中,商品价格是作为“杠杆”而被使用的。在成熟敏感的市场中,价格杠杆的使用,通常能够“撬动”多重因素,起到综合调节的作用。因此电能定价机制的设计是电力市场能否成功实现和实现好坏的关键问题,国外电力市场的实践中既有成功的范例也有失败的教训,因此对电能定价机制的设计必须慎重对待。
能量市场中定价机制的发展经历了一个从全系统统一边际电价(Unit Marginal Price,UMP)到区域边际电价(Zonal Marginal Price,ZMP)到完全节点边际电价(Locational Marginal Price,LMP)的发展过程[1]。只有在输电网络容量充足,也就是说,系统不会发生阻塞的情况下,UMP才能发挥作用,否则统一电价将给出错误的价格信号,致使调度员为保证系统安全经常发出强制性的运行命令,从而违背市场竞争的目的,同时大量的附加费用也将降低市场效率。目前UMP已基本淘汰。ZMP是LMP的近似和简化,因此它的使用范围有限,个别国家或地区由于其特殊的网架结构和负荷特性才采用ZMP定价机制,例如挪威、瑞典和美国佛罗里达州[2,3]的市场。发展至今,LMP被普遍认为是当前最有效和最可靠的电力市场定价机制,它已成功应用于世界上多种结构的电力市场,例如:PJM(Pennsylvania,New Jersey,Maryland)市场,New England ISO,New York ISO和NZEM市场等[4]。在美国联邦能源管制委员会(FERC)的推动下,LMP正在成为其倡导的“标准化市场设计(SMD)”的基石[1]。在我国,华东电网的基于全电量报价、节点电价与合同电价同时结算的市场模式也已经得到国家发改委和电监会的认可,正处于积极的测试运营和完善阶段。
LMP线性规划模型以其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用。本文通过对LMP线性规划模型的分析指出,由该模型计算得到的电价能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,使输电网各方得到正确的经济激励信号和投资引导。本文采用IEEE30节点算例分析指出,基于网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。
1 节点边际电价的线性规划模型
节点实时电价理论从20世纪70年代开始发展[5],它是基于经典经济调度模型,在资源配置和各约束条件满足情况下得出的边际电价,所以,它与经济调度和最优潮流有着深刻的联系。LMP计算模型大致可分为线性规划模型和非线性规划模型两大类。一般来说,非线性规划模型较复杂,但是能全面地考虑各种因素对节点电价的影响,例如:无功源/负荷的影响,节点电压的影响等[6,7,8]。因此非线性规划模型多用于理论研究和分析。相对于非线性规划模型而言,LMP线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到广泛的应用,例如PJM市场,我国的华东市场等。
典型的LMP线性规划模型可概括为如下形式:
目标函数(购电费用最小):
等式约束条件:
不等式约束:
(1)发电机出力限制
(2)支路功率约束:
式中:NG为系统中发电机的数量,Nl为支路数,NB为系统中节点数,Ci为第i台发电机的报价系数,PGi为第i台发电机的有功出力,Lossi为节点i的网损系数,PDi为第i节点的有功负荷,PCi,max,PGi,min为第i台发电机的有功出力上、下限,Ski为第i台发电机对支路k的功率灵敏度系数,Plk,max为支路k的功率上限。
由模型(1)—(4)可得到节点i的电价为:
式中:ρi为节点i的电价,λ为反映系统能量平衡约束条件系数,即等式约束条件(2)的拉格朗日乘子,μk为反映网络第k条线路输电功率约束条件系数,即不等式约束条件(4)的拉格朗日乘子。
2 节点电价的构成
一般来说,任何商品的价格都应该包括商品的生产成本、运输成本和运输损耗成本3部分。商品的生产成本是该商品生产过程中所耗费的自然资源成本、人力资源成本和设备折旧等一系列成本之和,它是决定该商品价格的主要因素。商品运输成本指的是商品从生产地运输到销售地所产生的交通运输费用,如果商品直接在生产地就地销售,则不会产生运输成本。运输损耗成本指的是一些商品在运输过程中由于存在损坏或损毁的可能性而产生的经济损失。一般运输损耗成本会随着运输距离增加,或者运输时间的延长而增加。与之相符,电能的节点电价也包括这三部分,但是各部分的意义稍有不同。
(1)生产成本。当不考虑网络损耗,同时不考虑线路输电约束时(或者说线路输电容量足够大输电网络不会发生阻塞),系统有能力调用网络中任何一台机组来满足系统负荷的需求。那么满足负荷微增长的机组,即最后一台竞价成功的机组,它在该出力下的报价就是节点电价的生产成本。
(2)运输成本。当线路阻塞情况发生时,阻塞导致某些节点的负荷不能调用系统中较为经济的机组,结果只能由较为昂贵的机组通过其他非阻塞线路为这些节点提供电力,导致系统中各节点出现电价差异。这些差异体现了节点电价中的运输成本。但是与一般商品价格中的运输成本意义不同,电价中的运输成本体现的不是电能运输过程中发生的费用(电能的运输费用,技术上称为输电费用,另有一套完整的理论体系和计算方法),它体现的是各节点对完成输送电能这一任务的贡献程度,专业术语称为阻塞成本。因此电价中的阻塞成本有正有负,正表示该节点对完成输送电能这一任务承担着积极的作用,而负则表示该节点对完成输送电能这一任务起着消极的作用。
(3)运输损耗成本。电能通过电网进行传输的过程将产生电能损耗,损失的电能成本将根据每个节点对网损的影响程度进行分摊,从而在节点电价中体现出运输损耗成本,这部分专业术语称为网损成本。
很明显,式(5)的第一部分,即乘子λ体现的就是电能的生产成本;第二部分,即Lossi×λ体现网损成本;第三部分,即体现阻塞成本。
3 模型分析
3.1 网损系数的作用
在电价模型(1)—(4)中网络损耗以网损系数的形式,作为体现各市场主体在电网中位置不同的影响因素而计入模型,它在电力系统安全运行和电力市场结算等方面起着重要的作用。
3.1.1 影响运行调度。
由于网损系数是对实际网损的近似估计,因此计算结果必然与实际的系统网损存在偏差,这样的近似可能引发由电价模型得到的发电计划在实际系统运行时是不可行的,主要表现为以下两种情况。
(1)网损过估计,也就是由网损系数估计的网损大于实际系统中的网损。以IEEE14节点系统为例(IEEE14的系统参数可参见IEEE标准,),在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=130 MW,PG2=70MW,PG6=70 MW,网损为11 MW。而实际潮流计算系统运行网损只有7.7 MW,因此网损过估计。为保证电网运行安全必须削减机组的出力3.3 MW。然而减少哪台机组的出力以及如何减少就成为一个影响各方利益的有争议的问题。
(2)网损欠估计,也就是由网损系数估计的网损小于实际系统中的网损。同样以IEEE14节点系统为例,在某一时刻,由模型(1)—(4)得到的发电调度计划是:PG1=168.26 MW,PG2=70 MW,PG6=30 MW,网损为9.26 MW。而实际潮流计算系统运行网损是9.65 MW,因此网损欠估计。实际运行时需要从实时平衡市场购买电力补充。因此如何购买以及购买的成本如何分摊也是一个容易引起争议的问题。
3.1.2 影响市场收益。
在电力市场的运营规则中,网损系数将从两个方面影响用户的收益。
(1)机组中标。电力市场的竞价过程如下:首先,各发电商向市场交易中心提交各机组的报价;接着,市场交易中心根据各节点的网损系数对报价进行修正;然后,以修正后的报价,通过模型(1)—(4)得到调度计划和节点电价。由于竞价采用的是修正后的报价,因此网损系数在一定程度上将影响机组的中标。中标与否或者中标电量的多少都会直接影响发电商的收益。
(2)节点电价。从上一节的分析知道,节点电价由生产成本、网损成本和阻塞成本3部分构成。其中网损成本的大小受网损系数的影响,进而影响节点电价的大小。市场各参与者(无论是发电商还是用户)最后都是根据节点电价进行市场结算,因此即使是电价上存在着微小的差异,在乘以电量之后的结算金额也会相差很大。
3.2 常用的网损系数计算方法
由电价模型(1)—(4)计算得到的节点电价中网损成本为Lossi×λ,其中最重要的因素是网损系数,它直接反应了各节点对网络损耗的影响程度,从而体现其应承担的网损成本。在实际市场中网损系数的计算一般采用网损微增率法。具体步骤如下:
(1)给定一种典型的系统运行方式,在上网点增加一单位的发电出力,在系统参考点增加相应负荷,全网仍能保持电能平衡,计算系统网损的增加量。网损系数定义为该增量与单位发电出力的比值。
(2)取多个典型电力系统运行方式下的网损系数的加权平均作为最终采用的网损系数。
由该网损系数产生的网损成本具备以下几方面的特点:1)公平性。公平意味着市场参与者承担的网损经济费用横向比较与实际网损分布情况相适应,使各市场参与者容易接受。此外,公平性还体现在其计算结构不与某些主观因素相关。2)透明性。指各市场参与者清楚地掌握自身和其他参与者的网损修正额度,便于制定合理的竞价策略。3)简单。亦即方法原理易于理解,便于实现。
3.3 存在的问题
由于网损系数是基于网损微增的概念产生的,其计算过程主要通过潮流计算实现。在潮流计算过程中,平衡节点起到平衡系统网损的作用,因此在平衡节点处网损微增没有意义,即平衡节点的网损微增为零。另一方面,系统中各个节点的网损微增是以平衡节点为参考而言的。从物理意义上说,就是将平衡节点看作是虚拟的负荷中心,各个节点与负荷中心的电气距离决定了各节点的网损系数,因此平衡节点选取位置的不同将会导致各节点网损系数的不同。
以下以IEEE30节点系统为例,说明平衡节点选取对于节点电价和市场结算的影响。IEEE30的系统参数可参见IEEE标准,系统中各发电机的报价见表1,其中将各节点的机组作为一台机组考虑,每台机组的出力范围被分为10个容量段,针对每个容量段报一个价格。
分别以1节点,2节点和13节点作为平衡节点,得到的节点电价、网损成本以及各节点用户在该时刻所需支付(获得)的电费分别列于表2。从表中可以看出,在同一条件下,由于平衡节点的不同造成节点电价发生偏差,从而影响各用户的收益(表中的市场结算结果只是1小时的,如果考虑一天,甚至一年,市场收益的差别会更大)。因此,网损系数对市场参与者的收益有着举足轻重的影响,而平衡节点的选取又直接影响网损系数的值。所以平衡节点的选取必然引发公平性的争论。消除平衡节点对网损系数的影响是节点电价线性规划模型进一步实用化的关键。
4 结论
相对于非线性规划模型而言,节点电价的线性规划模型由于其原理简单、实现方便,在国内外各实际电力市场中得到了广泛的应用。本文通过对节点电价线性规划模型的分析指出,网损系数是模型中的关键因素,它对系统安全运行和市场公平结算有着重要的影响力。传统的网损微增法使电价模型对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成市场公平性争议和系统安全隐患。
对节点电价线性规划模型的分析研究,有助于得到更合理、更准确的电价信号,为我国电力市场的构建和运营提供一定的建议和参考。
摘要：文章通过对节点电价线性规划模型分析指出,节点电价包含电能生产成本,阻塞成本和网损成本,能反映系统运行中各市场参与者对网络损耗和系统阻塞的影响,能提供合理的经济信号引导发电投资和系统运行。网损系数是节点电价线性规划模型中的关键因素,实际市场中通常采用固定平衡节点的网损微增法计算网损系数。文章通过IEEE14节点和IEEE30节点算例分析指出网损微增法计算的网损系数对系统平衡节点选取存在依赖性,由此产生的网损估计误差将造成系统安全隐患和市场公平性争议,影响电力系统安全运行和电力市场稳定运营。
关键词：节点边际电价,线性规划,阻塞成本,网损成本,网损系数
参考文献
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建构非线性有机建筑模型 篇8
有机建筑模型是符合未来建筑发展方向的,它以现代主义建筑模型为参照,吸取其在发展过程中的合理内涵,针对其建构方式的式微,运用系统科学思维,承继织理性建构传统,使建筑更加契合自然、彰显人性、对应时空。
生命的隐喻
有机建筑赋予建筑生命的内涵,建构则是生命有机体的内在特征与外在表现形式。使物质性材料与结构体现生命价值是有机建构的真谛,这与建筑作为产品的“工具性”或作为“居住机器”的“机械性”形成鲜明对比。人居于建筑中,定位在环境中,创作主体不仅要构思空间与形式,更应注重材料组织与精致建造。结构设计需符合自然规律,材料选择与连接方式需传递情感。
有机建构在于塑造建筑的持久性生命力而非某种时尚或风格,有机建筑隐喻着生命的意义与形式,或以某种特有的方式接受生命的礼赞并体现与生命的交融。建构方式承载文化价值、表现文化内涵,建筑师通过设计与建造赋予建构形式灵性,以达到居者与环境的有机共生。阿尔托在玛丽娅别墅雨篷与楼梯的设计中,以独特的材料和连接方式成就了空间的意境,并以宜人的尺度塑造了人性的家园而非冰冷的理性空间。
有机建构注重人的多重体验,以营造回归家园的诗境。伟大的诗篇具有经久不衰的魅力,但当诗句被拆解成独立的单词时,原先的意义便消失。词本身是中性的,而词与词的组合以及组合框架的优劣是作品能否体现长久生命力的关键。优秀的建构形式需要创作主体良好的组“词”修养以及对事物的整体把握。
建筑之所以和音乐、舞蹈被并称为三大宇空艺术,在于其建构本身兼具科学性和艺术性。建构的一切原理蕴含于生命体中,一片叶子、一个手掌、活动的关节均有其存在的道理。哥特建筑一直以其高耸的姿态、丰富的色彩、恰到好处的飞扶壁以及精美绝伦的装饰著称。歌德作过如下描述:“增多你将要立在空中的巨大的墙并把它们穿孔吧。这样,它们就会像崇高而扩展的上帝之树一样升起。它上千的枝条、上百万的枝叶……宣告了主的美……”有趣的是,哥特建筑与树林不只是形似,詹姆斯·霍尔在一次有关葡萄藤与长杆棒的实验中,偶然发现了哥特教堂的结构、装饰与树木生长的关联。在试验中,他以木棒作为束柱,用柳条绑扎为尖券,并用草枝搭建成屋顶。建筑的侧面由横向柳条以各种方式捆扎于直立树棍之间,糊上黏土。第二年,霍尔惊奇地发现,柳条开始发芽,而发芽的部位竟与哥特石构中雕刻树叶的地方完全一致。哥特建筑虽然是石构,但其无数的柱子以树状的形式矗立于地面之上,细柱子和尖券很好地分解了拱的侧推力,形成如街道一般的中庭。可见,建构蕴含着生命的隐喻。
使建筑具有持久的生命力在于合理的建造逻辑与诗意的呈现。毫无疑问,在未来,建筑将以复杂的姿态呈现并隐喻不确定时空。因此,建筑师的工作不应仅停留在建筑概念设计与空间发展层面,更应注重诗意的建构形式,通过对建造术的熟练掌握完成作品的升华。
织理性建构
编织物,其自身生产的过程便形成了空间,并形成了居住概念本身。建筑与编织同步,建筑起源于用编织物定义出社会性空间的过程。
—森佩尔
“织物”通过编织行为获得两种基本功能—“绑扎”与“覆盖”。前者对应于“结”,体现了建构的手段;后者对应于“编织材料”,体现建构的目的。“绳”与“结”的作用在整个连接过程中不可或缺。编织的行为不仅仅是将材料处理成“结”、“辫”、“织物”,更重要的是通过“结点”将材料转化为物质性器具以及为人所用的缜密整体,建筑也正是基于这样的构建原则而诞生。森佩尔的编织理论赋予了“结点”特殊的含义。他甚至认为:“所有建造形式的最初原型都可以在编织产品中找到归宿,而绳结又是编织产品中的最基本节点。”他指出编织艺术是原始的艺术,而且是四种原始工艺中最早的一种,并从中发展出了建筑的四要素,因此他将杆系结构的筑造原理—编织、打结和编织物描述为人类最早掌握的技术(1)。
织理性思维方法是人类与生俱有的。在科学技术诞生之前,人类模仿自然,通过编织的方法构筑自己的棚屋以求遮风避雨,这种编织方式随着时间的推进不断演化。建造的织理性功能反映在结构的联系、材料的排列以及建筑的装饰上。然而在现代主义建筑运动中,理性思维、技术革新、机械美学对人工美学的置换使建造的织理性功能开始退化。现代主义思想与功效主义以及城市快速、低成本建设成为国际主义建筑成长的土壤。赖特是例外,他不仅继承了传统的织理性思维,而且赋予其特有的时代精神,这种思维不仅表现在建筑的空间与形式中,亦反映在建构形式中。约翰逊制蜡公司行政大楼是赖特织理性建构的杰作,弗兰普顿在《建构文化研究》中作了如下描述(2):在该作品中,织理的隐喻再次出现。在这里,玻璃管组成的元素取代了1904年建成的拉金大厦内向性的织理思维,宛如一层玲珑剔透的面纱笼罩在建筑的外表。这种中空元素很像一种经过改良的耐火材料,甚至有点接近清水砖墙的肌理,被固定在上下砖墙之间,宛如悬空的砖头砌层,形成发转的建筑檐部,也在某种意义上再现了森佩尔的“材料置换理论”。
如果将赖特的作品与柯布西耶和密斯的作品进行比较,不难发现其反映出丰富的绳结情结,体量的穿插与咬合、建筑表皮强烈的编织性以及对混凝土材料的饰面加工,赖特将织理性思维贯穿在空间塑造、界面设计、材料编排以及结构组织中。日本帝国饭店是另一个典型的案例。为实现建筑的安全性,赖特在设计前用了数月的时间研究地震和震害的特点及规律,同时对基地的地质作了仔细的勘查。在结构师的配合下,他们选择了一种浮筏基础与悬臂结构相结合的基础形式,上部建筑通过一层密实的混凝土柱桩将重量传递到下层的淤泥层,由这层淤泥层“浮起”整个上部结构。该决定对后来帝国饭店抵御东京大地震的冲击起了很大作用。建筑外墙选用了日本本土的一种火山熔岩作为饰面材料,该熔岩经雕凿加工后与马赛克相配合镶嵌在墙体上,形成了具有日本乡土气息的特殊艺术效果。考虑到地震时减少伤害,赖特用手工铜板瓦代替了容易掉落的日本黏土瓦(3)。
在建构设计中,织理性思维的核心是建筑的持久性。通过对材料进行编织性加工处理,一方面诠释坚固性,同时亦反映编织情结。建筑与大地的锚固与编织,建筑主体结构本身的编织以及结构与材料、同质材料与异质材料的织理设计是有机建筑设计与建造的根基。尽管技术与材料在不断更新,但由于人类与生俱来的编织性情结,织理性建构思维将永久持存。
系统性操作
建造的本质主要表现为重力、材料的结构与连接方式。地心引力是影响建造的力学因素,支撑方式、承重体系均需考虑重力学的作用;营建是将材料组成建筑的过程,故材料、结构与组成方式至关重要;连接使材料转化为建筑,而建筑形态取决于材料的选择与连接方式。建筑空间特性取决于建造过程,它是由技术条件和所使用的建筑材料等物质的结构组成所决定(4)。建筑空间与形式的塑造有其独特的方法与规律,然而离开材料、构件与建造过程,空间与形式只是某种概念或图形的表达。建构是建筑的基石,建构本身亦是一门独立的学问,有其自身的发展历史。从手工制造、机械建造到数控建造,分别对应着不同时空,各个时期的技术条件与材料选择是决定建造成败的试金石。建构研究在中国一直处于边缘状态,建筑本身是一门关于建造的学问—这个基本问题却经常被遗忘。
建构的整体性认知是有机建构的核心。如果从历时性与共时性两个时间轴进行考察,我们会发现人类有着悠久的建构传统:在空间的概念被认识之前,建筑师凭借对生活方式的朴素理解,精心地把握建筑材料的性能、不同类型材料与构件的连接方式,研究建筑结构的力学性能,参与建筑的营造。希腊神庙、罗马大跨度建筑、哥特教堂以及文艺复兴时期的杰出作品,均反映出建构的智慧;中国古代匠人们用木材建造宫殿与民居,发展了木构连接方式,实现了木构建筑的宜建性并形成了多样的建构形式;分布在世界各地的没有建筑师设计的民居,亦能表现出个体营建者将建造与生活体验结合在一起的营造方式。
在工业革命以前,人类的建构能力以一种特有的节奏不断进化,而世界范围内建构方式的式微出现在上个世纪上半叶,技术发展日新月异,机械加工技术在世界范围的广泛应用结束了手工艺时代的营造方式,同时人类生活方式的改变亦使得传统的建筑体系濒临瓦解。在某种意义上,近代技术的进步导致了建构文化发展的停滞。但同时亦有一批建筑师尝试在现代建筑技术条件下重新诠释传统建构内涵,赖特、密斯、路易斯·康即是其中的杰出代表,20世纪的后起之秀还有伍重、伦佐·皮亚诺、安藤忠雄、伊东丰雄等建筑师。在当代关于建构的研究,发达国家如日本、芬兰、意大利、荷兰,远远优于中国,可以说具有悠久建造传统的中国在近现代文明的进程中似乎遗忘了建构的传统,而恢复与弘扬建构文化还需要一段漫长的时间。
我们生活在一个手工艺、机械与数控制造技术并存的时代,建筑规模总体上向集成、巨构的方向发展。各种新结构体系的出现与建筑材料的不断更新,使得建筑呈现出新的发展趋势。新文明、新技术、新生活方式的出现,使如何运用悠久的建构传统体现当代生活成为建构文化发展所面临的课题。
当代建筑已经超越传统意义建筑的范畴。在今天,建造的必须同时考虑生态系统的平衡,以及与城市各个相关职能部门的协调。建筑事务所传统的运作方式似乎已不适时宜,那种由主创建筑师在同一个空间下画出节点草图,再由小组或团队具体完成、反复修改,最后建筑师再到施工现场监控以保证建造的精确性与完美性的运营方式,正面临着新的挑战。一项工程从设计到施工完成的周期似乎越来越短,而当代社会条件也给建筑师提出了愈来愈多的复杂问题—在保持建构传统活力的前提下,有效解决当代建筑工程所面临的多学科合作、规模效应、时间进度等问题,同时确保速成作品达到有机建构的目标和标准。整体性建构是未来的方向,运用系统的方法将建筑师的建构修养传达给整个团队,分项实施、协调配合,最后达成目标,将建构认知、具体方法程序和技术转变成知识体系,通过精心组织、系统规划、科学试验等手段保持建构文化旺盛的生命力。
建筑师在确立设计构思后,应将对建造逻辑、精确设计、材料品质的追求放在首位,并整合认知方法与手段以形成内部操作模式,同时注重该模式的逻辑结构与阶段层次。建筑师必须具备系统工程师的素养,有序展开各阶段工作,明确问题、确定目标、系统综合并最后确定实施计划(在时序上分为系统研究阶段、探索计划阶段、开发计划阶段与建造实施阶段)。
从手工作坊转向系统性操作,要求建筑师具备全面的掌控能力,不断通过模型制作、亲身体验、现场监控来反复验证目标的可达性与可实施性,并且不断进行信息反馈,形成多个反馈环的复杂运作方式。
关于有机建构的研究,目前尚处于宏观、概念的层面。事实上,有机建构与思维方式、有机技术密切相关,不同建筑类型的有机建构方式亦千差万别。本文研究的目的在于构建模型框架,其内部的填充需要更多的深入研究。■
参考文献
[1]参见:Christoph Wieser,Andrea Deplazes.建构建筑手册—实体结构与杆系结构.大连理工大学出版社,2007.6
[2]参见:弗兰姆普顿.建构文化研究—论19世纪和20世纪建筑中的建造诗学.王骏阳译.北京:中国建筑工业出版社,2007
[3]参见:项秉仁.赖特.北京:中国建筑工业出版社,2004.12
浅析网络RTK差分数据线性模型 篇9
网络RTK是由参考站、数据处理中心和数据通信线路组成的, 流动站和数据处理中心的双向数据通信可以通过G S M、G P R S、GDMA等方式。而网络RTK的技术关键在于流动站差分改正数的确定, 本文主要讨论内插线性模型生成的改正数。
对于线性内插模型, 距参考站的距离应为100km以下的比较适用, 精度可以达到2cm~3cm, 这是由于100km以上时, 电离层行进式的电离层扰动所产生的电离层电子密度的不均匀, 使电离层改正数的精度以及可靠性大幅度降低。所以本文的计算模型均在100km以下, 各改正数之间线性相关。
1 基本原理
1.1 线性插值法 (LIM)
首先, 可以简单话来看待这个问题, 此模型至少需要3个测站, 我们就可以假设有3个参考站为A B C, D为流动站, 且与D离得较近, 网络RTK常用站星双差模型:
其中, Δ∇ρ为双差距离值;Δ∇dρ为双差残余轨道偏差;Δ∇dion为残余的电离层延迟;Δ∇dtrop为残余的对流层延迟;Δ∇dmp双差后的多路径效应误差;εΔ∇φ为双差后的载波相位观测值的测量噪音;后两项与测站间的距离无关。令:
所以
因为基准站A离流动站最近, 这时Δ∇RAAij=0, 可假设Δ∇R是平面坐标 (Xi-XA) , 的线性函数而进行平面内插时, 有下列关系式:Δ∇RAkij=a1 (Xi-XA) +a2 (Yi-YA)
对于基准站B和C而言则有:
通过以上二式解得1a和2a的值, 即
当n>3时, 我们可以根据VRS技术, 先确定流动站的大体位置, 从而决定那个为主参考站, 设第n站为主参考站, 从而有
利用最小二乘可获得:从而求得流动站的改数。
1.2 线性组合法 (LSM)
同样是首先放在一个三角A B C内, 流动站D于三角形内, ABCD点反别进行同一历元的相位观测, 且观测值为ϕAϕBϕC和ϕD, 组成单差观测值:
将上述三个单差观测值, 按下列方法进行线性组合, 组成一个新的虚拟观测值∑:
若系数满足a1、a2和a3满足下列式子
此时线性组成的观测值∑是不受卫星星历和电离层延迟影响的, 而对流层、多路径相应和观测值噪音对流动站的影响大幅度消减, 若要略去对流层延迟和多路径误差项, 可在卫星间继续求差。Han和Rzions提出了下列模型:
其中, n为参考站的数目, i表示第i个参考站, u表示流动站, 参数ai受下列条件约束:
i=∑0nai=0, i=∑0nai[ (x u, y u, z u) - (x i, y i, z i) ]=0, i=∑0nai2=Min
将上面两式写成矩阵形式, 设有n站, 第n站为主参考站, 其它的n-1站为副参考站, 则有
若假设:
2 结语
通过上述公式的推导, 我们可以深刻的理解这两种模型, 这两种模型能够很好的消除卫星轨道误差、电离层延迟以及对流层延迟对流动站的影响, 在理论上, 如果不加权两种模型的精度应该是相同的, 但是通过加权, 线性组合模型的精度应优于线性内插法。
参考文献
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浅谈线性规划模型及其实际应用 篇10
一、物资调运问题
就是给定一项任务, 要求用最少的人力、物力、资金等资源去完成它。
例1 甲、乙两地生产某种产品, 它们可调出的数量分别为300吨、750吨。 A、B、C三地需要该产品的数量分别为200吨、450吨、400吨。甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨、5元/吨。乙地运往A, B, C三地的费用分别为5元/吨、9元/吨、6元/吨。问怎样调运才能使总运费最省?
解:设从甲地运往A、B、C三地的产品分别为x吨、y吨、 (300-x-y) 吨, 那么从乙地运往A、B、C三地的产品分别为 (200-x) 吨、 (450-y) 吨、[400- (300-x-y) ]吨。则其线性约束条件为:
其线性目标函数为: z=2x-5y+7150
由图知当把直线平移到过点 (0, 300) 时, (7150-z) 最大 , Z最小。即把甲地产品全部运往B地, 乙地产品运往A、B、C三地分别为200吨、150吨、400吨时, 总运费最省为5650元。
二、产品安排问题
就是在人力、物力、资金等一定的条件下, 确定产品品种和数量, 使其获利最大。
例2 某家具车间加工A、B型两类桌子, 每张桌子需经过木工和漆工两道工序才能完成。已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时、2小时, 漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时、1小时。又已知木工、漆工每天工作分别不超过8小时、9小时。而家具车间加工一张A、B型桌子分别获利润2千元、3 千元。试问每天应生产A、B型桌子各多少张才能使获得的利润最大?
解:设每天生产A型桌子x张, B型桌子y张。则其线性约束条件为:
其线性目标函数为: Z=2x+3y
由图知, 当把直线2x+3y=0向右上方平移使它经过直线x+2y =8和直线3x+y=9的交点 (2, 3) 时, 即当每天生产A型桌子2张, B型桌子3张时, 获得的利润最大为13千元。
三、原料搭配问题
就是在特定的限制条件下, 确定各原料的选购量, 使其指标合格且成本最低。
例3 某医院为病人配制营养餐时, 要求每餐中含有铁不低于50单位, 蛋白质不低于40单位, 钙不低于42单位。假设仅有两种食品A和B可供配餐, 相关数据如上表。 试问如果你是配餐师, 如何购买这两种食品进行搭配, 才能既使病人所需要的营养达到要求, 又能使总花费最低?
解:设购买食品A、B分别为x千克、y千克, 总花费为z元。则其线性约束条件为:其线性目标函数为:z=4x+3y
由图知, 当直线4x+3y=t经过直线2x+y=10和6x+5y=42的交点 (2, 6) 时, zmin=4×2+3×6=26, 即当购买食品A、B分别为2千克、6千克时, 总花费最低为26元。
四、损耗最小问题
就是给定一定的原料, 要求合理下料, 使废料最少, 原料利用率最高。
例4 某建筑公司在施工过程中, 需要将一批每根长度为12米的钢筋截成50厘米和60厘米的两种毛坯, 并且要求这两种毛坯数量之比大于1:3, 问怎样下料才能使损耗最小?
解:设每根钢筋截x根50厘米的毛坯, 截y根60厘米的毛坯。则其线性约束条件为:
其线性目标函数为: z=50x+60y
由图知, 当直线50x+60y=t与直线5x+6y=120重合时最合理, 而直线 5x+6y=120上落在可行域内的整点只有 (6, 15) 、 (12, 10) 、 (18, 5) 三个。这就是说最佳下料的方案有三种:第一种是截6根50厘米的毛坯和15根60厘米的毛坯;第二种是截12根50厘米的毛坯和10根60厘米的毛坯;第三种是截18根50厘米的毛坯和5根60厘米的毛坯。无论选用哪一种方案, 均有zmax=1200厘米, 即此时材料无损耗。
五、区域整点问题
就是找给定区域内的整点或求一次不等式组的整数解。
例5 求不等式组的整数解
解:先求出l1、l3 的交点A (2, 2) ;l1、l2的交点B (0, -1) ;l2、l3 的交点C (4, -2) 。再利用“布网格, 找结点”的办法找出该区域内的整点 (2, 2) 、 (0, -1) 、 (4, -2) (3, 0) 、 (1, -1) 、 (1, 0) 、 (2, 1) 、 (2, 0) 、 (2, -1) 、 (3, -1) , 从而得到原不等式组的整数解为:
六、条件最值问题
就是求一些带有限制条件的, 结构比较特殊的式子的最值。
例6 已知实数x, y满足2x+y≥1,
求z=x2 +y2 +4x-2y 的最小值。
解:把所求式配方变形易得z= (x+2) 2+ (y-1) 2-5 , 显然 (x+2) 2+ (y-1) 2=[x- (-2) ]2+ (y-1) 2表示的是动点P (x, y) 与定点Q (-2, 1) 的距离的平方。由线性约束条件2x+y≥1知, 点P (x, y) 在直线 2x+y=1的右上方区域内。于是问题转化为求定点Q (-2, 1) 到图中所示的区域内的点的最近距离。由图知点Q到直线 的距离d就是点Q到区域内的点的距离的最小值。
因为undefined,