二次根式

二次根式（精选十篇）

二次根式 篇1

一、数形结合思想

数形结合思想是将数与形结合来进行分析、研究解决问题的一种思想方法. 解决“二次根式”数形结合问题的方法一般是将“形”的直观结合“数”的细微, 有助于找到解题思路, 达到事半功倍的作用.

点评本例先由数轴上点的位置判断出a, b的符号, 再确定被开方数中的底数的值的符号, 最后运用进行化简.

二、转化思想

把复杂的变为简单的, 把陌生的变为熟悉的, 把未知的知识变为已知的知识, 把此知识点变为彼知识点, 把综合的变为单一的, 是数学转化思想的具体体现.

例2函数的自变量的取值范围是___ .

解析要确定函数自变量的取值范围, 必须使x的取值范围满足如下两个条件:1二次根式中的被开方数为非负数;2分式中分母不能为零.

点评把确定函数自变量的取值范围问题转化为解不等式或不等式组的问题, 而本例确定不等式的根据为:1二次根式中被开方数为非负数;2分式中分母不能为0, 从而实现此知识点的有效转化.

三、整体思想

整体思想是指从题目的整体性质出发, 着重对题目的整体结构的分析和改造, 发现题目的整体结构特征, 善于用“集成”的方法把所研究对象的具有共同特征的一部分 (或全部) 看成是一个整体, 把握它们之间的联系, 进行有目的、有意识的整体处理.

槡槡点评解本例时, 先要将注意力和出发点放在问题整体结构上, 从而触及问题的本质, 即把x +1/x视为一个整体, 从而避开烦锁的计算, 使问题得以简洁快速的解决.

四、换元思想

运用数学元素的等量代换原理, 把某一部分看成一个整体并用一个新字母代替来解题的方法称为换元法. 换元法的本质是引进一个变量, 对原来给定的关系进行分解或组合, 达到把繁、难的计算简化的目的, 从而沟通已知与未知, 简化代数的结构形式, 实现化繁为简的目标.

解析本例中的数值较大, 若直接求解很麻烦, 观察题目数值的特征及“二次根式”的结构特征, 可考虑用常值换元解题, 就简单多了.

设 2009 = a,

显然:a2+ a - 1 > 0, ∴上式 = a2+ a - 1 - a2= a - 1 =2009 - 1 = 2008.

点评本例的解决除了“换元法”起了“功不可没”的作用外, 还巧妙地 运用了“完全 平方公式 法”及| , 也是至关重要的, 从而使较复杂的“二次根式”的计算“曲径通幽”“柳暗花明”.

五、分类讨论思想

分类讨论思想主要是针对所研究数学对象的性质差异, 分各种不同的情况予以分析解决, 并做到“不重复”“不遗漏”. 解决“二次根式”分类讨论问题的方法一般是根据题目中已给出的明显条件或隐含的条件, 将未知数的值的取值范围分为若干个部分, 再按这几个部分分情况讨论化简.

因为题目中没有给出a的取值范围, 所以应就a - 2与5 - a的值的符号进行分析讨论. 一般分三步进行:

1找零点:令a - 2 = 0得a = 2, 令5 - a = 0得a = 5;

3按区间逐个化简, 于是有:

1°当a≤2时, 原式 = 2 - a + 5 - a = 7 - 2a;

2°当2 < a < 5时, 原式 = a - 2 + 5 - a = 3;

3°当a≥5时, 原式 = a - 2 + a - 5 = 2a - 7.

二次根式 篇2

对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

(1)式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗? 呢?

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

(2) 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.

例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?

分析： ， ， ， 、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a<-10时，a+10<0;又如当0

例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义?

解：略.

说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义.

例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：

(1) (2) (3) (4)

分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.

解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时， 是二次根式.

(2)-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是二次根式.

(3) ，且x≠0，∴x>0，当x>0时， 是二次根式.

(4) ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x>2.当x>2时， 是二次根式.

例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(1) ; (2) ; (3) ; (4)

分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的.条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.

解：(1)由2a+3≥0，得 .

(2)由 ，得3a-1>0，解得 .

(3)由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1>0，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1.式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.

2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.

(四)练习和作业

练习：

1.判断下列各式是否是二次根式

分析：(2) 中， ， 是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x<0时，又如当x<-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.

2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?

五、作业

教材P.172习题11.1;A组1;B组1.

永不言“负”的二次根式 篇3

一 知识要点

1.二次根式的性质：

（1） （3）积的算术平方根：

（4）商的算术平方根：

2.二次根式的运算法则：

（1）乘法运算：

（2）除法运算：

（3）二次根式的加减：先将各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

二 解题技巧

1.对于二次根式的概念及其性质的复习，要抓住两个关键点：一是二次根式的概念，在理解二次根式意义的时候，应注意被开方数非负的条件，并会确定其中字母的取值范围：二是弄清二次根式的性质：（1）、

2.与整式的乘除类似，二次根式的乘除也可以运用运算律、乘法公式等来化简运算，解题时要抓住三个关键点：

（1）最简二次根式应满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

（2）二次根式的乘法法则，即.运用法则进行二次根式的乘法运算时，要结合两个公式进行：①

（3）二次根式的除法法则，即运用法则化简二次根式时，要结合公式

3.与整式的加减类似，二次根式的加减中，化简后被开方数相同的根式类似于同类项.加法的运算律也同样适用，合并被开方数相同的二次根式，类似于合并同类项.

三 典型题赏析

解析：2x-5与5-2x应同时为非负数，即2x-5≥o且5-2x≥o，故代人已知式求得y=-3，所以应选A.

反思：二次根式中的被开方数是非负数，由此可以解出x的值，进而求出y的值.

例2 已知a为实数，求代数式的值，

简析：由，所以a=0，从而可求，

例3 实数a在数轴上的位置如图1所示，则化简后为（）.

解析：从数轴可知30，所以故选D.

解析：原式

反思：化去分母中的根号时，若分母仅有一项，则分子分母同时乘以分母中的根式：若分母有两项，则分子和分母同时乘以分母中根式的有理化因式（以便使分母能运用平方差公式将根号化去）.

例5 先化简，再求值：其中x=

解析：略.

反思：与二次根式有关的条件求值，一直是中考的热点之一，常与整式、分式的化简结合在一起.这类问题往往要求先化简求值式，再将数值代入求值：有时还需要将所给的条件式进行化简或变形.这类题目解法灵活多变，技巧性较强，

反思：把被开方式通分并把分子写成完全平方式的形式，是解题的关键.

例7 图2是一辆自行车的侧面示意图.已知车架中AC的长为42cm，座杆AE的长为18cm.点E，A，C在同一条直线上，后轴轴心B与中轴轴心C所在的直线BC与地面平行，且BC=50cm.ED⊥BC于D.BD=32cm.ED的延长线交地面于F，求车座E到地面的距离EF

简析：欲求EF的长，只需求DE的长，因为DF已知.可在Rt△EDC中利用勾股定理求出ED.再利用EF=ED+DF即可，具体计算略.

例8（2014年·镇江）读取下面表格中的信息，然后解决后面的问题.

因，故n可以取得的最小整数是7.

反思：通过求和，找出与n的关系，是解题的关键.

四 易错点析

1.概念理解不透彻

例9 如果是二次根式，那么x的取值范围是______.

错解：由题意可知，所以2-x≤0，即x≥2.

剖析：本题忽视了分母2-x≠0的情况.正确的答案是x>2.

2.忽视二次根式的非负性

例l0 已知xy<0，則化简的结果是（）.

错解：故选A.

剖析：上解忽略了隐含条件.而由xy<0，知x≠0且y≠0，所以，y>0，x<0.上面化简的结果显然是个负数.

二次根式复习导航 篇4

知识归纳

1.二次根式的概念

2.二次根式的性质

3.最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二词根式。 (1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数中不能含开得尽方的因式或因数。

4.二次根式的运算

二次根式加减时, 可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将被开方数相同的二次根式进行合并。

考点攻略

考点1二次根式的非负性

答案:C.

考点2二次根式的意义

解析:代数式有意义的条件为:x﹣1≠0, x≥0.即可求得x的范围根据题意得:x≥0且x﹣1≠0.解得:x≥0且x≠1.故选D.

归纳总结:本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件。式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件:分式有意义的条件为, 分母≠0;二次根式有意义的条件为, 被开方数≥0。此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件, 导致漏解情况。

考点3二次根式的性质运用

例3 (2013年日照) 实数a在数轴上的位置如图1所示, 则化简后为 ()

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

答案:-2b

考点4二次根式的化简

方法指导:分别对每个二次根式进行化简, 然后合并被开方数相同的二次根式。易错点警示:不会被开方数为分数的二次根式的化简。

变式练习5下列运算正确的是 ()

答案:D

考点5二次根式的估算

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

答案:C.

考点6二次根式的综合计算

解析:原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算, 同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算, 约分得到最简结果, 将x的值代入计算即可求出值。

二次根式教案 篇5

代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式

5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)

6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)

7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .

8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.

9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.

10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.

解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以 ≠a-,而应是 =-a.

本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.

在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.

在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.

练习(教材第4页)

1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.

2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.

习题16.1(教材第5页)

1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.

2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.

3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.

4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.

5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.

6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.

7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.

8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.

9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.

10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.

如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.

〔解析〕 根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.

解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,

∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.

[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.

已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .

〔解析〕 根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.

[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.

化简:.

〔解析〕 题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.

解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;

当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.

[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.

5

O

解二次根式竞赛题的常用技巧 篇6

一、巧用因式分解

例1计算 - ，最后得到

__________.(第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试)

分析：通过仔细观察我们会发现，若将每个分母先分解因式,分子、分母有公因式，可以约分化简.

解： -

=-

=-

=+

== =- .

说明：解答本题时，若直接进行分母有理化会非常繁琐，甚至会求不出结果，所以当遇到类似的计算题时，先不要急着进行分母有理化，而应仔细观察，看能否对其进行因式分解.

二、巧用字母代数

例2计算 －20062的结果是__________．

（第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试）

分析：若直接计算此题，显然计算量大且过程很复杂，如果用字母代数，则可快速地解决问题.

解：设2006=a，则2005=a－1,2007=a+1,2008=a+2.则有

－20062

=－a2

= -a2

= -a2

= -a2

= -a2

=a2+a-1-a2=a-1=2006-1=2005.

三、巧平方

例3已知m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（ ）.

A.－5B.5 C.－9 D.9（2006年全国初中数学竞赛试题）

分析：将已知条件变形后再平方，然后整体代入，就可快速地求出a的值.

解：m=1+ 可变形为m－1= ，两边平方后整理，得m2－2m=1.

同理，由n=1- 得n2-2n=1 ．

又∵ （7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，即[7（m2－2m）+a][3(n2－2n)－7]=8，

∴ （7+a）（3-7）=8.

解得a=-9．故选C．

四、巧用整体代入

例4已知x= ，y= 则x2－xy+y2的值为_________.

（2005年辽宁省八年级数学竞赛试题）

分析： 由于x、y的值互为倒数，故可先求出xy与x+y的值，再整体代入.

解:∵ x= ，y= ，

∴ xy=1，x+y=（ -1）2+（ +1）2=6.

∴ x2－xy+y2=（x+y）2－3xy=62－3×1=33.

说明：在解题时，若已知条件中的两式（如题中的x、y）互为倒数，且所求的代数式是对称的，这时可采用整体代入的方法来求解（如通常把x+y，xy，x2+y2的值先求出来，再代入代数式求值）.

五、巧用非负性

例5若m满足关系式

+ = × ，试确定m的值.（北京市初二数学竞赛题）

分析：观察方程右边两个根式的被开方数，发现它们恰好互为相反数，这样就找到了解题的突破口.

解： 由题意可知x－199+y≥0及199－x－y≥0，得x+y≥199及x+y≤199.

∴ x+y=199， × = 0.

∴+ =0.

∴ 3x+5y-2-m=0且2x+3y-2－m=0.

由此可得方程组3x+5y-2-m=0 ，2x+3y-2-m=0，x+y=199.

解得m=201.

说明：若两个二次根式中的被开方数（式）互为相反数，则这两个二次根式都为零.

探索二次根式的奥秘 篇7

在数轴上表示数，这个很容易，画好数轴的三要素，标上数字即可.但那些都是有理数，标出表示无理数的点可真难倒我们了.

就在我们无从下手的时候，老师给了我们一个突破口：利用勾股定理和圆的知识.对啊，我们怎么没想到呢？对于这些无理数，只要在数轴上画出一个直角三角形.例如，只要画出直角边都是1的直角三角形.以原点为圆心，斜边长为半径画弧，交数轴的点即为表示的点.由此类推，画直角边分别为2,1的直角三角形，它的斜边为，以原点为圆心，的长度为半径画弧，交数轴的点为.直角边分别为3,1的直角三角形，斜边即为，以原点为圆心，的长度为半径画弧，交数轴的点即为.真好玩呀！综上所述，在数轴上找一个无理数，就是构造一个斜边长为该无理数的直角三角形.以原点为圆心，该斜边长为半径画弧，交于数轴的点即得所找的无理数.

接下来老师又让我们在网格纸上画，有了之前的经验和方法，我们很轻松地就画出了.因为网格纸上小正方形的边长是相等的，只要画出4个全等的直角三角形，斜边是无理数，合在一起就变成了以无理数为边长的正方形.

第三个部分是给你一个长方形，通过剪拼后，拼成一个正方形.方法当然和上面一样，都是利用勾股定理.虽然这些题目的问法不同，但内在的联系都是一样的.做起来自然水到渠成.

通过这堂课的学习，我们不仅掌握了这一数学题型的解法，还学会了在网格纸上画出以无理数为边长的三角形、多边形，求无理数为边长的图形的面积.可谓受益匪浅！

原来数学这门科目，都是由大大小小的模型构成的，我们要积极探索，善于发现，把每一类的数学题归纳成一个数学模型，会帮我们解决不少麻烦呢.

数学课真是有趣，里面的学问大着呢，从今以后，我要探索更多的数学奥秘.

数学，你真是一门既有趣，又深奥的大学问！

【教师评语】数学的魅力来自于它的平易近人，不过，数学高深之处，也很明显，就是需要一定的逻辑思维，光靠观察、操作是不够的，需要接触它的人，能在此基础上动脑筋，思考其中的规律，透过现象看数学本质.通过本次实验，你能够建立起数学模型，这是很了不起的事情，生活中用到数学模型的地方还有很多，希望你能用发现的眼光去寻找这些模型，探究未知的领域.

“二次根式”教学分析及施教建议 篇8

1. 教材整体感知

本章主要内容是二次根式的概念、运算和最简二次根式, 与实数、整式、勾股定理等内容紧密联系, 旨在拓宽学生对“式”的认识.教学内容的呈现方式遵循从“特殊”到“一般”的原则, 活动设计延续本套教材的体系, 让学生乘坐“观察”、“思考”、“探究”、“讨论”和“归纳”之舟, 去认识数学的本质, 提高学生的合情推理、运算和思辨能力, 培养学生严谨的科学态度.本章也是学生后续学习解直角三角形、一元二次方程等内容的重要基础.

2. 重点与难点分析

教学重点: (1) 二次根式的概念及其运用; (2) 二次根式的化简和运算; (3) 最简二次根式的概念.

教学难点: (1) 对二次根式 (a≥0) 的非负性, 的理解及应用; (2) 理解二次根式的乘、除法的应用条件和二次根式的性质、运算的合理性; (3) 利用最简二次根式的概念进行化简和运算.

二、学情分析

1. 学情基础分析

学生已学习了“整式”“平方根”“算术平方根”“勾股定理”等内容, 这些知识和经验已具备了建构二次根式的知识基础和心理基础, 但值得提出的是, 学生的学习过程是学生对新知识、新技能的内化过程.在这个内化过程中, 要让学生在情感、思想、心理等方面做好接收新知识的准备, 因此, 本章教学应在“实数”和“整式”的基础上进行.

2. 思维障碍分析

二次根式的运算比整式、分式复杂得多, 学生对此会产生一些认知上的思维障碍.主要表现在: (1) 忽略二次根式的被开方数是非负数和二次相式本身的非负性; (2) 对最简二次根式的理解和运用不到位; (3) 对教材备注“在本章中, 如果没有特别说明, 所有的字母都表示正数”会产生字母只表示正数的片面认识; (4) 利用二次根式的运算解决实际问题, 学生会在一开始计算时就取近似值, 造成其结果不准确, 等等.

3. 学习方法探究

数学学习能力包括观察、记忆、思维、想象、注意以及自学、交往、表达等方面.教师在教学中要善于疏通信息渠道, 架设起知识与能力相融合的桥梁. (1) 鼓励自主探索, 引导合作交流.要鼓励学生自主探索与合作交流, 引导学生通过观察、计算、猜想、归纳和交流等数学活动, 提高学习兴趣、积累活动经验、发展思辨能力, 进而提高他们的数学素养; (2) 注意探究归纳, 关注代数推理.对于二次根式的性质, 教材中考虑到学生的年龄特征, 首先, 在“探究”栏目中给出几个具体问题, 让学生根据具体数据进行计算、分析得出结果, 然后再分析这些结果的共同特征, 由特殊到一般, 归纳得出结论, 旨在培养学生利用代数语言进行推理的能力; (3) 重点在于理解, 力求灵活运用.二次根式的性质是后续学习的基础, 因此教学中要注意让学生在理解的基础上加以记忆, 并灵活应用.

三、施教建议

1. 把握教材精髓

(1) 明确编写意图.教材编写意图是: (1) 淡化概念, 突出概念实质.教材对二次根式和代数式等概念, 只要求让学生有所体会, 不必深究, 这样做的目的是为了淡化概念, 突出概念实质; (2) 通过探究活动, 经历认识过程.教材让学生通过观察、思考、讨论等探究活动, 利用发现的规律进行计算, 然后利用计算器进行验证, 最后归纳得出二次根式的运算法则, 这个过程实际是让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程, 通过这样的探究活动改变了学生的学习方式, 发展了学生的思维能力.

(2) 凸显数学本质.本章的重点是让学生理解和掌握二次根式的性质和运算, 因此教材的重点是说明其性质和法则成立的合理性, 突出其数学本质.如教材在介绍二次根式的性质时;首先让学生通过探究活动感受这个性质, 然后再从算术平方根的意义出发, 结合具体例子对这个性质进行分析, 最后由特殊到一般得出这个性质, 这样就可以使学生对这个性质的数学实质有了较深刻的认识.又如在介绍二次根式的乘除运算时, 没有给出分母有理化的概念, 而是结合具体例子说明了分母有理化的要求.再如对于二次根式的加减运算时, 回避了同类二次根式的概念, 突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理的目的是让学生将学习的重点放在理解数学的本质上来, 以提高学生的数学能力.

(3) 注意教材要求.为了把握好教材的精髓, 还必须注意教材要求: (1) 讨论二次根式的被开方数中字母的取值范围, 这样可以加深学生对二次根式定义的理解.但这类问题只限于用在一元一次不等式解决的范围内, 不宜扩充到较复杂的情况; (2) 二次根式的性质中, 教材中仅考虑了a≥0这种情况, 对的情形不做考虑; (3) 本章的重点是二次根式的运算, 主要让学生掌握二次棍式的运算方法, 既要注意到它与有理数、整式之间的关系, 又要注意其自身的特点, 等等.

2. 教法探讨

(1) 注意纵向联系.本套教材将实数内容分为两章, 即第十章“实数”和本章内容.通过第十章的学习, 学生对数的认识已由有理数的范围扩大到实数范围, 并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感知, 实际上在“实数”一章中, 学生对二次根式的加减运算已经有所接触, 本章在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则, 所以教学时要充分在“实数”基础上进行教学, 使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性.同时还要注意与第十五章“整式”的联系, 由于数式通性, 当把二次根式中的实数看成字母时, 二次根式的运算实际上就是整式的运算.因此, 教学中要注意加强知识的纵向联系, 使学生的学习形成正迁移.

(2) 渗透数学思想.掌握好数学思想方法能使学生对数学知识本质的认识不断深化, 使学生在解决问题的过程中避免盲目性, 提高学生分析问题和解决问题的能力.本章中渗透数学思想的方法主要有数形结合法、类比法、分类讨论法和不完全归纳法等.如在“二次根式的加减”中, 教材上的两个提示语“比较二次根式的加减与整式的加减, 你能得出什么结论?”和“例5第 (1) 、 (2) 小题分别利用了多项式乘法法则和公式 (a+b) (a-b) =a2-b2, 在二次根式的运算中, 多项式乘法法则和公式仍然适用”, 这些都用到了类比思想, 又如在介绍二次根式的乘除运算时, 通过探究栏目引导学生从具体数据 (用计算器) 由特殊到一般, 归纳 (不完全归纳法) 得出二次根式乘法 (除法) 的运算法则, 不仅渗透了不完全归纳思想, 同时也提高了学生的合情推理能力.

(3) 开展探究活动.学生的数学活动经验是通过观察、体验、感悟与思考, 从感性向理性飞跃时所产生的.认识和获得解决问题的策略, 是学生发展的基础.为了使学生获得更多的数学活动经验, 在本章的教学中应积极开展探究活动. (1) 开展探究交流.在知识发生发展过程中要针对教学的重点和难点, 开展自主探索与合作交流, 促使学生学习行为的转变; (2) 加强实际应用.以教材中的裁截板材、确定纸张规格、电视塔的传播半径问题为切入点, 加强实际应用, 让学生感受二次根式的应用价值; (3) 亲密数学文化.教材中介绍了海伦公式和秦九韶公式的历史, 教学中还应引导学生阅读有关数学文化史料, 加强爱国主义教育和提高学生的数学素养; (4) 开展数学活动.教材中的“数学活动”有两个:通过测量计算发现书籍、纸张的长与宽之间的关系和做一个长、宽、高都是用二次根式表示的无理数长方形纸盒.教学中, 还应鼓励学生在生活中发现更多地有关二次根式应用的实例.

(4) 弹性设计教学.本章主要内容是二次根式的化简和运算, 需要一定的练习才可以掌握化简方法和运算规律.因此, 教学中可以适当增加教学内容的弹性和灵活性, 使学生更好地理解二次根式的意义, 更好地掌握二次根式的性质和运算, 在加强练习的过程中, 要注意知识之间的相互联系, 使学生养成一种以联系和发展的观点学习数学的习惯, 为后续的学习打下良好的基础.为了加强学生对二次根式的运算与整式运算之间联系的理解, 可补充一些计算题.

解析:让学生认识到可以将看作两个整体, 先用平方差公式, 再用完全平方公式进行计算, 这样加深了二次根式与整式的联系, 拓宽了学生的视野, 深化了学生对“式”的认识.

还可以补充一些开放性的问题:

若 (a、b均为实数) , 请回答下列问题: (1) a=______, b=______; (2) 写出第n个关系式______; (3) 验证你写出的关系式的正确性.

解析:通过本例中三个问题的训练, 不仅使学生学会观察、归纳的学习能力, 而且提高了学生应用二次根式解决问题的能力.

(5) 关注有效生成.学生掌握知识、形成能力是一个厚积薄发的过程, 这就要求我们在平时的教学中应不失时机地对学生进行培养.对于课堂教学, 要十分关注其有效生成, 注意综合运用.二次根式很多时候都是和其他知识联系在一起的, 这一点应让学生了解.

例3若, 求a-19952的值.

解析:先由a-2000≥0, 判断出1995-a的值是负数, 去掉绝对值后便可求得结果.本例主要是让学生看出解决这个问题的“钥匙”是二次根式的被开方数是非负数, 因此应加深对二次根式的被开方数是非负数的认识和应用, 鼓励不同的解法.在二次根式的运算中, 有些算式可以鼓励学生有不同的解法.

但值得注意的是, 鼓励不同解法的目的是为了引导学生注意观察、分析运算式的特点, 选择一种简便的方法进行运算, 培养学生思维的灵活性和合理性.

(6) 加强错误辨析.二次根式在学生已学过的数学知识中是符号感最强的内容之一, 因此学生在二次根式的学习过程中会发生各类错误, 我们要加强思辨训练, 做到防患于未然.如最简二次根式是本章的一个重要概念, 它在二次根式的性质、运算中扮演十分重要的角色, 必须使学生准确理解和正确掌握, 可举一些辨析例题.

例5下列计算正确吗?为什么?

解析:通过这几道辨析题向学生说明: (1) 只有化成最简二次根式后, 被开方数相同的二次根式才能合并; (2) 只有积和商的算术平方根性质, 而没有和差的算术平方根性质, 等等.

二次根式的重、难点大突破 篇9

例1下列各式中，哪些是二次根式？

【概念深入】二次根式的定义是从形式上界定的（不是本质定义），只要具备的形式就是二次根式，这里a可以是数，也可以是字母，还可以是代数式，同时a必须是大于或等于0的.

【分析】

解：（3)(4)(5)(7)(8）是二次根式.

【总结提升】判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看式子是否完全具备二次根式的两个特征：（1）含有二次根号，（2）被开方数大于或等于0（非负数）.不满足其中任何一个特征，就不是二次根式.

【变式】（1）已知，求x,y的值.

(2）已知，求的值.

【分析】（1）由于都是二次根式，由题意及二次根式的双重非负性可知，几个非负数的和为0时，这几个非负数都是0.

(2）要求的值，则需要求出x,y的值或者x,y之间的关系式.而由被开方数2-x和x-2是非负数即可求出x的值.

解：（1）∵，即x+y-3=0,2x-y+6=0,

(2）由二次根式被开方数的非负性可知：∴x-2=0,x=2，当x=2时，y=5,

【总结提升】（1）常见的三个具有非负性的式子：(1)a2≥0,(2)|a|≥0,(3)≥0(a≥0);(2）若几个非负数的和为零，则每个非负数均为零；（3）形如的代数式的值为b.

例2(2013·上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）.

【概念深入】最简二次根式的概念不要刻意去记，一般的二次根式按化简要求化简后的结果都是最简二次根式.对于最简二次根式可以进一步理解为：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含有根号.

【分析】选项A；选项C：;

选项D：不能再化简，根据最简二次根式的概念，可知选B.

解：选B.

【总结提升】判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点：

(1）被开方数不含分母；

(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

【变式】化简下列各式：

【分析】被开方数是整式的二次根式的化简就是将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它们的算术平方根代替后移到根号外面，如32,x3y5.

【总结提升】化简小技巧：（1）被开方数是单项式时应先将单项式中指数大于2的因式化成（am)2或（am)2·a的形式；（2）当被开方数是多项式时，应先将多项式分解因式；（3）当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式.

突破点2：对二次根式的两个性质的再理解

例3计算：

【再探性质】化简二次根式要严格按照进行求解，掌握的异同点是正确化简二次根式的关键；注意化简的结果应是|a|，再根据a的正负性去掉绝对值符号.

【分析】第（1）题直接利用性质(a≥0）即可；第（2）题需先利用积的乘方的性质（ab)2=a2b2变形，再利用上述性质计算；第（3)(4）题利用性质即可.

【总结提升】在进行计算时要分清，在中的a≥0；而，在中a是任意实数，因而两者的结果是不同的.

【变式】设△ABC的三边长为a,b,c，试化简：.

【分析】先根据三角形三边之间的关系确定a+b+c、b+c-a、c-a-b的符号，再根据二次根式的性质化简.

解：∵a是△ABC的三边长，

【总结提升】运用进行化简时，一定要结合具体问题，如数轴、相关的几何图形特征等，先确定被开方数中a的符号，然后进行化简.

【变式】在实数范围内分解下列因式：

【分析】(1)在有理数范围内分解因式的方法和公式，在实数范围内仍然适用.

(2)逆用(a≥0）可以得出，利用平方差公式和完全平方公式可在实数范围内对（1)(2）两式分解因式.

突破点3：二次根式相关运算

例4比较大小：

【运算拓展】对二次根式的加减乘除运算的掌握可以帮助我们解决很多问题，如比较两数大小.

【分析】本题直接比较有一定难度，可以采用平方法、作差法、估值法等.

【总结提升】二次根式的大小比较是中考的常考内容，其核心是将不能比较的两个二次根式转化为两个有理数的大小比较.比较两数大小通常有两种方法：一是作差法，即作差之后与0比较；二是作商法，即作商后与1比较（注意符号）.还可以用估值法、倒数法等方法比较大小.

【变式】已知的小数部分分别为a,b，试求代数式ab-a+4b-3的值.

【分析】先明确的整数部分是2，然后再表示出的整数部分，再由，可求出a,b的值，最后代入即可.

解：∵的整数部分是2,

“二次根式”中常见的数学思想方法 篇10

一、挖掘隐含条件

隐含条件是指没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理.

例1已知，求xy的值.

【解析】本题是已知一个方程含有两个未知数，一般情况下无法解出x,y，只有利用已知的式子有意义的隐含条件是被开方数为非负数.，再将x的值代入原式求出y=-2，∴.

例2已知实数x,y,m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）.

【解析】本题的隐含条件是二次根式和绝对值的非负性，并且几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.根据非负数的性质列出方程（组）求出x,y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围.

解：根据题意，结合非负数的性质，得，|3x+y+m|=0,

解得则6-m<0，解得：m>6.

【答案】A.

二、转化思想

转化思想就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，化复杂为简单，化不熟悉为熟悉，化不规范为规范，或转化成可套用某一模式来解决.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.

二次根式中常用以下两种转化方法：

1. 确定二次根式中字母的取值范围，可用不等式或不等式组解决问题.

例3已知在实数范围内有意义，求x的取值范围.

【解析】本题要考虑两个方面：一是对于二次根式来说被开方数x-1≥0，二是分母x-2≠0，所以得不等式组解得x≥1且x≠2.

2. 利用二次根式的性质或同类二次根式、最简二次根式的有关知识将有关二次根式的问题转化为方程或方程组来解决.

例4已知a,b是有理数，，求a,b的值.

【解析】本题要将二次根式进行化简，根据同类二次根式的系数相等就可以得到方程组.

3. 将某些数学问题转化为逆用二次根式的有关性质或运算公式.

例5在实数范围内分解因式：x2-6.

【解析】本题需要将二次根式的性质(a≥0）逆用为：

当a≥0时，.

三、整体思想

整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理.整体代入、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.

例6已知，求（a-1)(b+1）的值.

【解析】利用乘法法则，并将a-b和ab作为整体得到.

三、分类讨论思想

当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.分类讨论要做到不重复、不遗漏.

例7化简

四、数形结合思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，由数思形，以形想数，做好数形转化.数形结合有助于找到解答思路，并使解答简捷.

我们可以利用数形结合将无理数用数轴上的点表示.

例8在数轴上作出表示的点.

【解析】只需要画一个直角边分别为2和1的直角三角形，根据勾股定理可求出斜边为，再用圆规在数轴的负半轴上画出表示的点A.