极限思想教学

极限思想教学（精选十篇）

极限思想教学 篇1

一、从微积分的发展认识极限的作用以指导教学

微积分的创立首先是为了解决17世纪主要的一些科学问题, 它们是求运动物体的速度、求曲线的切线、求函数的最大值与最小值以及求曲线的长度这四类典型的问题。随着微积分的概念与技巧的扩展, 人们努力想去补充被遗漏了的基础理论。Netwon和Leibniz都尝试解释概念并证明他们的程序是正确的, 但他们都没有清楚的理解也没有严密的定义他们的基本概念。其间, 包括Taylor、Euler、Lagrange等人, 18世纪的几乎每一个数学家都对微积分的逻辑作了一些努力, 但多数努力都没有结果[1]。通过对微积分这段发展史看来, 认识无穷小和无穷大才是难点之所在, 是问题的关键。到了18世纪, 达朗贝尔等一些数学家先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念用以解决微积分理论基础的问题, 然而极限概念的第一次比较完整的被阐述是19世纪, 法国数学家柯西在《分析教程》中提出:当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小, 这个定值就叫做所有其他值的极限值, 特别地, 当一个变量的数值 (绝对值) 无限地减小使之收敛到极限0, 就说这个变量成为无穷小。但柯西的叙述中还存在描述性的词语, 如“无限趋近”、“要多小就多小”等, 因此还保留着几何和物理的直观痕迹, 没有达到彻底严密化的程。直到维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义, 排除极限概念中的直观痕迹, 给微积分提供了严格的理论基础。由此我们可以看到, 直到19世纪以前, 微积分的严密化一直未完成。然而用微积分的思想解决问题却推动着很多学科分支的发展。所以, 在学生初学高等数学, 第一章就要接受极限这个定义方式不同于以往的静态定义, 并且极其严密的概念时, 可以借助于学生已经建立起来的对图像和函数的直观的概念进行理解。然后再给出精确定义, 关于这一点将在下面一个方面里详细叙述。

二、运用从感性认识到理性认识、从特殊到一般的方法设计教学过程

这些直观的数据和生动的例子, 可以让学生对于“趋近”这个词有一个感性的认识, 并且简单易懂, 这是教学的第一个阶段。教学的第二个阶段即为去掉实际的应用背景, 用函数和数列的例子, 通过观察图形、数据表的方法看到对自变量变化而产生的函数值的变化过程。这时的例子要涵盖自变量趋于无穷时函数值收敛、无穷型发散、振荡的类型;自变量趋于有限常数时函数收敛、发散、间断等类型。尤其要列举出发散的各种情况, 因为认识了事物的反面更有助于认识事物的本质含义。教学的第三个阶段即引入极限的精确定义, 即ε-N定义和ε-δ定义。然后列举简单的例子进行验证。而验证的过程也建议用表格的形式列出ε, N的取值并且对比图像直观理解趋近的过程。例如:验证, 表2列出相应ε, N的取值。

对ε-N定义和ε-δ定义这两个定义的理解是极限教学中的难点, 可以说是难点中的难点, 教师要认识到难点的关键是什么。笔者通过自身的学习领会和与学生交流看来, 无论学生的提问方式是什么样的, 他们的关键在于, 对这种复杂条件下的定义方式不能正确理解。在初等数学中, 定义的模式基本为:若条件P成立, 则定义结论A, 反之也成立, 因为定义为充分必要条件。但极限定义中条件P本身就是一个判断语句, 所以教师在教学中应该通过证明极限的存在性, 即验证条件;以及利用极限定义证明函数的性质, 即利用条件两方面的练习使学生理解这种定义方式。

三、了解极限中体现的哲学思想有助于更好的组织教学语言

从哲学的角度来界定事物发展变化过程中所呈现的无限性是正确理解极限的基础。在这个知识点中, 体现的最为显著的就是“量变到质变”的哲学思想。从前面的两个实例看来, 第一个例子中, 无论边数的取值如何增加, 只要是给定的正数, 那么计算结果仍然是正多边形的面积, 但取极限之后, 结果则表示圆的面积。第二个例子中, 精确的瞬时速度只能通过缩短时间间隔来近似, 时间间隔在实际的操作过程中不可能取为零, 但极限运算可以求出最终的极限状态。此外, 该定义还体现着“有限和无限的对立统一”。具体说来, 无限由有限构成, 无限不能脱离有限而独立存在;有限包含无限, 有限体现无限。利用有限和无限的这种辩证统一, 通过有限认识无限, 通过有限去把握无限, 通过有限的、相对的各种事物和现象逐步把握事物在无限发展过程中所体现的本质和规律。极限概念这是这种有限与无限的统一, 所以能够正确把握无限的内涵, 对于组织教学, 进而通过课堂的讲授让学生体会有限与无限的辩证关系是学习极限概念重要前提和重要的教学要求。

利用科学的思维指导教学, 通过了解历史的发展过程揭示概念的重要本质, 科学有效地设计教学过程, 能够更好地通过课堂讲授的手段让学生了解、领会到熟练掌握极限的思想并用于指导后面知识的学习是本文研究的重点。在教学改革的过程中, 我们利用这个方法进行教学得到的良好的教学效果。所以我们将在此基础上进一步改进这一教学模式, 用科学思维、科学的方法指导高等数学的教学。

摘要：本文首先从微积分的发展着手分析极限在高等数学教学中的重要性, 然后根据科学思想的指导设计教学过程。让学生通过感性认识到理性认识的过程理解极限中的重要思想, 体会极限过程中的量变到质变、无限和有限的辩证关系。

关键词：极限,科学思想,高等数学,教学过程

参考文献

[1]古今数学思想 (第二册) [M].上海科学技术出版社, 2002.

小学数学教学中极限思想的渗透 篇2

【关键词】 小学数学；极限思想；课堂实际教学

也许许多人会不明白为什么要在小学数学的学习过程中渗透极限的思想方法，这本身就是一个大学生都不一定会完全理解的难度系数比较高的思想，而且在学即使没有这种思想也可以学好小学数学。其实不然，虽然就小学数学的学习而言，极限的思想是否运用并没有什么太大的意义，但小学数学只是以后学习的一块垫脚石，如果在小学中就渐渐渗透这一种极限的思想，那等他们真正进入初中高中真正接触时，就能更好地理解和运用了。而且我们这里说的只是在小学数学中渗透极限的思想，而不是真正地系统地教授极限的思想。

一、小学数学可以学习的有关极限思想的内容

小学生的认知水平并不高，很多东西都难以理解，这些小学数学老师都应该考虑到。所以在渗透极限的思想的过程之中，老师要注意教学的难度，我个人认为在小学这个阶段只要让学生渐渐了解“无限”和“逼近”即可，更深层次的讲解估计就小学现有的认知水平也无法接受。即使说起来比较简单，但做起来还是有一定难度的，许多小学老师在教学的过程中都会错误的教授这些知识，老师在讲授圆周率的小数位数还有直线射线的长度时，都会提及极限的思想。显而易见这些最多只能算是有无限的思想，与极限的思想相差甚远。虽然这些概念比较抽象，但老师还是要认真地分析，有时候给学生灌输错误的思想，也会陪伴学生的一辈子，作为老师一定要认真地思考好教学的内容。不少学生正是因为曾经受过错误的观点的引导，真正遇到正确的观点也无法接收了。

二、极限教学的具体的策略

每个老师都有自己的教学的风格，下面的教学策略只是我个人的看法，希望可以给读者一些小小的参考。

1.在直观感知中渗透极限的思想。在现代的中小学的教育大纲中都明确指出要重视直观，合理地将抽象的东西转换为直观来教学。正如我们所接触到的一样数学本身就不是一门直观的学科，更具体来说就是抽象化的，但基于目前小学生的认知水平而言，他们根本就没有办法去理解这么抽象的学科，所以我们要小学生在直观感受中了解极限这种更加抽象化的数学思想。在这过程中，多媒体等现代化的教学设备的广泛应用，可以给我提供巨大的便利，可以将许多抽象的东西以动态图标的形式直观地表现出来，让学生更加直观地理解记忆。就拿我们小学六年级教授的圆柱的表面积为例，我们可以直观地利用多媒体等现代化的设备，将圆柱的底面分成许多的扇形。开始时可以是两个，渐渐上涨分成四个、六个等等。最后将底面的圆分成尽可能小的扇形，最后在拼起来，最后可以直观地让学生感受到分的越多，圆的面积越接近长方的面积，这整个理的过程就是极限思维的一种有效的渗透。

2.在实践的操作上渗透极限的思想。其实在许多理论性的科目的学习过程之中，如果能够很好地与实践操作相结合，可以产生意想不到的良好的教学结果的。我个人是十分提倡在实践的小学数学的教育过程中结合实际操作的。有些理论，学生通过自己的双手印证过，会记忆得更加的深刻，也会更加地理解其中的意义。同样的就拿六年级课本上的一条思考题为例，1+1+1+1+1+1+……，这如果放在初中的学习过程中就是等比数列求和，许多老师都认为这条题目超出小学数学的教学大纲了，选择让学生自己看看答案，不讲。其实老师完全可以以另外一种找规律的方式来慢慢地向学生渗透一些极限的思想。开始时老师可以以鼓励学生从假设只有一个1开始，然后渐渐增加，最后让学生自己归纳总结，更多时候只有学生自己操作过，才能更好的理解。老师毕竟只是学习的引路人，真正学习的主体还是学生。这样学生自己已经在不知不觉中学习了解了极限的思想。当然老师也可以让学生假设一个线段为1，用线段之间的延续来表示加，这样也可以可直观地表现出这条题目的出题意义，这样学生可能没有办法得出具体的答案，但学生通过自己的实际的操作已经基本上掌握了这条题目的存在一意义，在小学这个阶段学生只要认识了解极限的意义即可，没有必要得出正确具体的答案。

也许还是有很多人都对在小学数学中渗透极限思维有疑惑，但是在小学数学教学过程中渗透极限的思想确实是很有必要的。许多人在初高中时出现数学学习的瓶颈，其实在很大程度上来讲就是不能正确地掌握极限的思想，极限的思想几乎贯穿了所有更深层次数学学习的始终。在小学如果就能掌握基础的极限思想，那么在以后的数学学习的过程中一定会愈加的顺利。而且在小学这个阶段如果就对极限的思想有错误的理解，那么在以后的学习数学过程中一定会产生比别人更多的困惑。所有老师应该在小学数学的学习过程中渗透极限的思想，其实这不仅仅是现代素质教育对小学数学教学提出的新的要求，也是小学数学教学在不断的发展的过程中为了更好地发展对自身提出的要求。

【参考文献】

[1]教育部基础教育司组织编写，《走进新课程——与课程实施者对话》，北京师范大出版社，2002年.

试析物理教学中极限思想的渗透 篇3

极限是一种重要的科学思维方法,静与动、曲与直、变与不变、部分与整体等辩证关系,都需要用极限的思想去理解。在人教版《物理》必修1“运动的描述”这一主题(包括《运动的描述》和《匀变速直线运动的研究》两章)中,多处渗透了极限的思想。在新课程教学要求中,也指出“本章要结合瞬时速度、瞬时加速度、位移公式的推导等具体教学内容让学生体会极限的思想,体会数学工具在解决物理问题中的重要作用”。

那么,在教学过程中如何进行极限思想的渗透呢?

一、让学生在形成物理概念的过程中体会极限的思想

概念是构成物理知识的基石,正确地理解物理概念是学好物理的基础。物理学中很多物理概念(如速度、加速度、动量、瞬时功率等)的建立过程,都蕴涵着极限的思想。有些概念的教学,如瞬时速度,应在教学中精心设计,让学生体会极限的思想。当然,有些概念,如加速度相对比较抽象,不易理解,学生日常生活中对其感受不深,不需要过多突出极限思想。

例如,瞬时速度概念的教学中,教材中提到:平均速度只能粗略地描述运动的快慢。为了使描述精确些,可以把Δt取得小一些。物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内,运动快慢的差异也就小一些。Δt越小,运动的描述就越精确。可以想象,如果Δt非常非常小,就可以认为表示的是物体在时刻t的速度,这个速度叫做瞬时速度。

这里的“非常非常小”,就渗透了一种典型的极限思想。由于学生在学习中第一次接触这种思想方法,所以教学中应充分展开,但又要注意教学的难度.在教学实践中感受到,一般来说学生对这段内容还是比较容易接受的,但是往往提出这样一些问题:

[问题1]任何运动是且只能是一个过程,而绝不是一个位置点或一个时刻,那么什么是物体在某一位置(或某一时刻)的速度?

[问题2]即使Δt无限趋近于零,它还是一段时间,并不等于零,那么相应的速度还是平均速度,为什么现在认为是等于瞬间速度而不是近似等于瞬时速度?

[问题3]在平均速度的公式v=Δx/Δt中,如果v表示某一时刻或某一位置的瞬时速度,分母上的Δt就应该等于零,可是分母怎么能为零呢?

上述三个问题是非常容易困扰学生的,问题的症结就在于对极限的思想不习惯、不理解、难接受,教师在教学中要充分讲解,让学生明白极限思想中的“趋近于零”、“无限小”的含义。Δt“非常非常小”,它是无法测量的。人类可以测量万分之一秒的平均速度甚至千万分之一秒的平均速度,却无法测量“无限短”时间的平均速度,无法表述“无限短”到底是多短。从这个意义上说,瞬时速度是无法只在某一点测量的,因为蕴涵极限思想,所以瞬时速度是一个具有数学意义的物理概念。理解了这些,三个问题也就迎刃而解了。当然,由于学生数学知识的限制,不需要非常详细、深入地跟学生讲解关于极限的更多知识。

二、让学生在探寻物理规律的过程中体会极限思想

新课程理念下的物理教学,不过于追求用最简明、轻快、直接的方式给出知识结论,而是努力把得到知识的过程适当展现给学生。因为让学生体会科学探究的过程与方法同样是新课程的重要教学目标。这对教师的教学方式也产生了积极的影响,在一些规律的得出过程中应更多地关注类似于极限思想方法的渗透学习.如匀变速直线运动中位移与时间关系的得出,匀速圆周运动向心加速度方向的得出等过程,都需要教师及时把握渗透点,让学生获得更多思想方法的体验。

例如,在匀变速直线运动位移与时间的关系教学中,本节的中心内容是学习匀变速直线运动的位移规律,而重点在于让学生经历匀变速直线运动位移规律的探究过程,感悟科学探究方法,体验无限逼近的方法并尝试用数学方法解决物理问题。实际上本节教材是以定积分的思想得出了匀变速直线运动的公式x=v0t+1/2at2。

学生的学情分析如下:学y生已学会近似计算各测量点的瞬时速度的方法,知道能用v—t图像描述物体运动规律.但从知识上来说,学生还不知道v—t图像中面积与位移的对应关系;从能力上来说,学生对数学思想的了解不深入,运用数学方法解决物理问题的能力还不强。

基于这一现状,教材在开始时,从匀速运动的v—t图像中矩形面积与位移的对应关系提出猜想:对于匀变速直线运动(如上图所示),是否也有类似的关系?这一问题将前后知识联系起来,并且为结论的得出埋下伏笔。

极限的方法及哲学思想 篇4

关键词：极限概念；极限思想；对立统一

一、极限的概念与方法

极限理论是微积分学的基础理论，它贯穿整个微积分学.极限的描述性定义是当自变量无限增大（无限减小或者和某个常数无限接近）时，函数值和某个常数无限接近，以数列为例：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限.”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义.但是，这里的无限增大、无限接近是一个模糊概念，该定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础.“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜an－Ａ｜＜ε恒成立.”而ε－Ｎ定义，虽然术语抽象，符号陌生，但它是从数量角度给出的准确的定义.

所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法.极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数.很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决.

就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的.如果要问：“微积分是一门什么学科？”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科.”

极限法的思想可以追溯到古代.刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用.古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确.

二、极限的哲学思想

1.极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化.例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp.除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率k，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系.当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近.当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不變的统一关系.

2.极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp是变化结果.一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k化为kp，这体现了过程与结果的统一性.所以，通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp是过程与结果的对立统一.

3.极限思想是有限与无限的对立统一.在辩证法中，有限与极限是对立统一的.无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限.例如，在极限式xn→，n→∞中xn对应数列中的每一项，这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性.数列中的每一项xn和a是确定不变的量，是有限数；随着n无限增大，有限数xn向a无限接进，正是这些有限数的xn无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的.

4.极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法.

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内接多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时，内接多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确.又如在极限式xn→a，n→∞中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，...，xn...反映变量xn无限的变化过程，而a映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a的近似值，并且当n越大，精确度越高；当n趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化.因此，近似与精确既是对立又是统一的.

5.极限思想是量变与质变的对立统一.在唯物辩证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体.质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性.量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用.对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性.但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一.

6.极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一.

极限思想贯穿唯物辩证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一.在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维.数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段.

参考文献：

[1]周述岐.数学思想和数学哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1993.

[2]沈长华.微积分概念的发展及其哲学解析[D].兰州大学硕士学位论文，2007：10-15.

[3]吴振英，陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报，2003，（10）：410-412.

[4]王娟.微积分教学中哲学思想的渗透[J].高等函授学报，2007，（12）：8-10.

[5]白淑珍.对极限思想的辨证理解[J].中国校外教育，2008，（2）：39-40.

小学数学教学中极限思想的渗透 篇5

一、小学数学可以学习的有关极限思想的内容

小学生的认知水平并不高, 很多东西都难以理解, 这些小学数学老师都应该考虑到。所以在渗透极限的思想的过程之中, 老师要注意教学的难度, 我个人认为在小学这个阶段只要让学生渐渐了解“无限”和“逼近”即可, 更深层次的讲解估计就小学现有的认知水平也无法接受。即使说起来比较简单, 但做起来还是有一定难度的, 许多小学老师在教学的过程中都会错误的教授这些知识, 老师在讲授圆周率的小数位数还有直线射线的长度时, 都会提及极限的思想。显而易见这些最多只能算是有无限的思想, 与极限的思想相差甚远。虽然这些概念比较抽象, 但老师还是要认真地分析, 有时候给学生灌输错误的思想, 也会陪伴学生的一辈子, 作为老师一定要认真地思考好教学的内容。不少学生正是因为曾经受过错误的观点的引导, 真正遇到正确的观点也无法接收了。

二、极限教学的具体的策略

每个老师都有自己的教学的风格, 下面的教学策略只是我个人的看法, 希望可以给读者一些小小的参考。

1. 在直观感知中渗透极限的思想。

在现代的中小学的教育大纲中都明确指出要重视直观, 合理地将抽象的东西转换为直观来教学。正如我们所接触到的一样数学本身就不是一门直观的学科, 更具体来说就是抽象化的, 但基于目前小学生的认知水平而言, 他们根本就没有办法去理解这么抽象的学科, 所以我们要小学生在直观感受中了解极限这种更加抽象化的数学思想。在这过程中, 多媒体等现代化的教学设备的广泛应用, 可以给我提供巨大的便利, 可以将许多抽象的东西以动态图标的形式直观地表现出来, 让学生更加直观地理解记忆。就拿我们小学六年级教授的圆柱的表面积为例, 我们可以直观地利用多媒体等现代化的设备, 将圆柱的底面分成许多的扇形。开始时可以是两个, 渐渐上涨分成四个、六个等等。最后将底面的圆分成尽可能小的扇形, 最后在拼起来, 最后可以直观地让学生感受到分的越多, 圆的面积越接近长方的面积, 这整个理的过程就是极限思维的一种有效的渗透。

2. 在实践的操作上渗透极限的思想。

其实在许多理论性的科目的学习过程之中, 如果能够很好地与实践操作相结合, 可以产生意想不到的良好的教学结果的。我个人是十分提倡在实践的小学数学的教育过程中结合实际操作的。有些理论, 学生通过自己的双手印证过, 会记忆得更加的深刻, 也会更加地理解其中的意义。同样的就拿六年级课本上的一条思考题为例, 1+1+1+1+1+1+……, 这如果放在初中的学习过程中就是等比数列求和, 许多老师都认为这条题目超出小学数学的教学大纲了, 选择让学生自己看看答案, 不讲。其实老师完全可以以另外一种找规律的方式来慢慢地向学生渗透一些极限的思想。开始时老师可以以鼓励学生从假设只有一个1开始, 然后渐渐增加, 最后让学生自己归纳总结, 更多时候只有学生自己操作过, 才能更好的理解。老师毕竟只是学习的引路人, 真正学习的主体还是学生。这样学生自己已经在不知不觉中学习了解了极限的思想。当然老师也可以让学生假设一个线段为1, 用线段之间的延续来表示加, 这样也可以可直观地表现出这条题目的出题意义, 这样学生可能没有办法得出具体的答案, 但学生通过自己的实际的操作已经基本上掌握了这条题目的存在一意义, 在小学这个阶段学生只要认识了解极限的意义即可, 没有必要得出正确具体的答案。

也许还是有很多人都对在小学数学中渗透极限思维有疑惑, 但是在小学数学教学过程中渗透极限的思想确实是很有必要的。许多人在初高中时出现数学学习的瓶颈, 其实在很大程度上来讲就是不能正确地掌握极限的思想, 极限的思想几乎贯穿了所有更深层次数学学习的始终。在小学如果就能掌握基础的极限思想, 那么在以后的数学学习的过程中一定会愈加的顺利。而且在小学这个阶段如果就对极限的思想有错误的理解, 那么在以后的学习数学过程中一定会产生比别人更多的困惑。所有老师应该在小学数学的学习过程中渗透极限的思想, 其实这不仅仅是现代素质教育对小学数学教学提出的新的要求, 也是小学数学教学在不断的发展的过程中为了更好地发展对自身提出的要求。

摘要：其实极限的思想相信对于受过高等教育的各个年级的数学老师来讲都不陌生, 在大学甚至更深层次的数学的学习之中, 都有很多的渗透, 是学习不定积分与微积分的基础。基于小学生的认知理解的基础, 怎样将这种极限的教学思想渗透到小学数学的实际教学之中, 值得我们所有的小学数学老师思考。像这种抽象性思维, 小学生很难理解明白的, 只能在实际的教学过程之中渗透一些具体的方法, 下文就是我个人基于我的教学经验, 浅谈的一些个人看法。

关键词：小学数学,极限思想,课堂实际教学

参考文献

[1]教育部基础教育司组织编写, 《走进新课程——与课程实施者对话》, 北京师范大出版社, 2002年.

极限思想教学 篇6

一、极限思想渗透于公式推导之中

数学思想方法呈隐蔽形式,应有机渗透在知识形成和解决问题的过程之中。为此,我们教师要挖掘蕴含知识背后的数学思想与方法。即推导图形面积公式时,把未知的问题转化为已知的问题是常用的思想方法,而“化曲为直”是推导圆面积公式的基本思想,教材注重这些思想方法的渗透,引导学生用这个思想方法在“推导圆面积公式”的过程中渗透隐藏的“极限”思想。

如教学“圆面积的计算”一节课时,首先,教师可以引导学生回顾以前学习过的平行四边形、三角形、梯形面积的计算的推导过程,让学生思考这些图形的面积计算方法是怎么推导出来的;其次,教师引导学生猜想今天所学习的圆能否也转化为以前学过的图形来推导出它的面积计算公式,让学生在旧知的驱动下积极地思考如何转化;最后,教师放手让学生动手操作,可以将圆转化为什么图形,怎么转化?通过剪一剪、拼一拼、议一议,让学生进行小组合作交流,通过讨论交流得出结论:将圆分割成若干等份,拼成近似的长方形或平行四边形。同时,让学生明白分的份数越多,拼成的图形就越接近长方形。再用课件进行演示,把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。教师适时进行点拨“若一直这样分下去,拼出的结果会怎样?启发学生独立思考,并进行小组交流,让学生感悟到若一直这样分下去,拼成图形的边越来越直了,越来越像是长方形了,或许真的是长方形。如此,这个从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程,“图形就真的变成了长方形”,就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程,经历化生为熟、化难为易、化曲为直、化圆为方的探索过程,感悟到数学的“转化、极限”思想。

二、极限思想渗透于概念形成之时

小学数学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时,教师可让学生体会自然数是数不完的,奇数、偶数的个数有无限多个,循环小数的小数点后面的数字是写不完的。另外,在几何概念中有许多概念是具有无限性的,如直线、射线、角的边、平行线的长度等等,它们都是可以无限延伸的。这些方面让学生初步体会“无限”思想,教学时都应该进行有机地渗透。

如教学“射线的初步认识”一节课时,先让学生复习回顾线段与直线相关知识,为认识射线做好铺垫,让学生在白纸上画一条3厘米长的线段,并说一说线段有什么特点。在线段两端无限延长,得到的是什么?让学生明白直线可以向两边无限延长;同时也应该明白无限延长是什么意思?(就是无限的长,没完没了的意思……)再引导学生认真观察多媒体的演示:用红外线光电筒照射出一束光线,若将红外线光电筒照射向天空,没有受到阻碍的话,请大家想象一下并把它画出来,再指名展示,说出理由。然后教师指出这就是今天我们要学的射线。那么,它有什么特点呢?让学生明确只有一个端点、可以向一个方向无限延长、不可度量。最后,让学生独立思考:射线与直线是否能比较它们的长短?从而使学生体验到它们都是可以无限延长的,所以无法比较。

这样,通过学生独立思考,动手画一画,相互交流,建立起对“射线”与“直线”在认知上的矛盾冲突,使得学生轻松地建立了对“直线”、“射线”的“无限”的空间感观,真实、自然又不失严密,同时也渗透了极限思想。

三、极限思想渗透于习题计算之中

任何一种数学思想方法的学习和掌握,绝非一朝一夕的事,它需要有计划、有意识地进行训练。通过训练这一途径来渗透数学思想方法,无疑是一个明智的选择。学生的数学思想的形成是靠不断的积累、不断的运用来形成的,而练习作为学生数学学习的重要环节,也应该承担这方面的任务。因此,教师在练习题的设计时要注意极限思想的体现。如,有一位教师在学生学习分数加减法后,设计了这样的练习题(下图),组织学生进行训练,既巩固了知识技能,又有机地渗透了数学思想方法,一举两得。

练习过程中,教师利用下图帮助学生理解:

极限思想教学 篇7

西师版教材六年级数学P133“可能性”例4.

教学目标:

1.通过实践操作,体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性;

2.让学生明白“公平”的意义;

3.进一步感受事件发生的可能性是有大小的,知道可以用一个数来表示可能性的大小;

4.会求简单事件发生的可能性;

5.渗透数形结合和极限思想.

教学过程:

一、情境导入

1.师:同学们,老师这里有4张扑克牌,我们一块来玩一个抽牌的游戏,抽到黑桃算你们获胜,抽到红桃算我获胜,谁愿意来试一试.

2.结果学生每次都输,师:有同学在议论什么,现在我们转过来看一下,你们有可能获胜吗?(生:不可能)老师呢?(一定)为什么?(因为里边没有黑桃)也就是说你们获胜的可能性为(0),真好,可以用一个数来表达,那老师获胜的可能性呢?(引出1)

3.师:要使得我们双方都有获胜的可能,你觉得怎么办?(加入黑桃)那现在获胜的可能是你们,也可能是我,那我们获胜的可能性究竟有多大呢?今天我们就在0和1之间来研究可能性,并用一个数来表示它的大小.(板书课题:可能性)

二、探究新知

(一)“抛硬币”实验

1. 师:我们一起来看看足球比赛开始了(课件:足球比赛开场用硬币决定开球方).

2. 师:用抛硬币来决定谁先谁后对两队而言,公平吗,并说明理由.

3. 抽生读读活动要求,师示范抛掷动作要求.

4. 生动手操作,填写表格.

5. 汇报结果,输入答案.

6. 我建议同桌两人先加在一起,然后按照我们事先分的几个组快速汇报给小组长进行统计,看看哪个小组最先完成,完成后用动作告诉老师.

7. 请完成的组长起立,进行全班统计.

8. 师:

现在我们把3个数据跟刚才同学们的数据放在一起,(师操作)(然后引导学生观察单个正反面之间的差距以及总体正反面之间的差距.)你有什么发现?

9. 师:

刚才大家所进行的这个试验就是历史上非常有名的抛硬币试验,数学家们也做了同样的试验,我们看一看他们试验的结果,(课件)请仔细看数据,对比一下,你又发现了什么?

1 1. 师:回过头来想想,足球比赛用抛硬币来决定谁先谁后,对两队而言,公平吗?(公平)

(二)游戏“掷骰子”

1. 师:下面我们来一块玩一个游戏,好不好?(好)

2. 师:玩过这个游戏吗?(玩过)那你给大家介绍一下怎么玩的?(掷骰子看点数走步子)

3. 把全班分成两队:

红队、黄队.师:那哪个队先来玩这个游戏呢?(学生都想)师:都想先来玩,那怎么办呢?(抛硬币)抛硬币决定谁先来.

5. 各组选两名队员进行游戏(一个扔骰子,一个走步子).

6. 根据其中游戏的实际情况插入和可能性有关的数学知识.

(三)“转转盘”

3. 如果有4个人玩这个游戏呢?

5个呢?6个呢?(生先回答,然后课件展示)从这个地方,你发现了什么?(有几人参与就把转盘平均分成几份,使得每个人先走的可能性相等,这样才公平)

三、小结

师:回顾一下,这节课咱们学了什么?谈谈你的感受.

摘要：通过实践操作体验事件发生的等可能性及游戏的公平性,让学生明白“公平”的意义,进一步感受事件发生的可能性是有大小的,通过观察—操作—分析—判断,渗透数形结合和极限思想.

极限的方法及哲学思想 篇8

极限理论是微积分学的基础理论, 它贯穿整个微积分学.极限的描述性定义是当自变量无限增大 (无限减小或者和某个常数无限接近) 时, 函数值和某个常数无限接近, 以数列为例:“如果当n无限增大时, an无限地接近于常数A, 那么就说an以A为极限.”这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义.但是, 这里的无限增大、无限接近是一个模糊概念, 该定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础.“如果对任何ε>0, 总存在自然数N, 使得当n>N时, 不等式|an-A|<ε恒成立.”而ε-N定义, 虽然术语抽象, 符号陌生, 但它是从数量角度给出的准确的定义.

所谓极限法, 是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法.极限法的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量, 先设法构思一个与它有关的变量, 确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果.极限法不同于一般的代数方法, 代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数, 而在极限法中则是由无限个数来确定一个数.很多问题, 用常量数学的方法无法解决, 却可用极限法解决.

就像坐标法是解析几何的基本方法一样, 极限法是微积分的基本方法, 微积分中的一系列重要概念, 如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的.如果要问:“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说:“微积分是用极限法来研究函数的一门学科.”

极限法的思想可以追溯到古代.刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用.古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用, 这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系, 是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限法, 人们可以从有限认识无限, 从“不变”认识“变”, 从直线形认识曲线形, 从量变认识质变, 从近似认识准确.

二、极限的哲学思想

1. 极限思想是变与不变的对立统一.

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态, 不变是相对的, 变是绝对的, 但它们在一定条件下又可相互转化.例如, 平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp.除P点外曲线上点的斜率k是变量, kp是不变量, 曲线上不同的点对应不同的斜率k, 斜率k不可能等于kp, k与kp是变与不变的对立关系;同时, 它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系.当曲线上的点无限接近P点过程中, 斜率k无限接近kp, 变化的量向不变的量逐渐接近.当无限接近的结果产生质的飞跃时, 变量转化为不变量, 即“变”而“不变”, 这体现了变与不变的统一关系.

2. 极限思想是过程与结果的对立统一.

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系, 在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.在上例中, 当曲线上的点无限接近点P的变化过程中, k是变化过程, kp是变化结果.一方面, 无论曲线上点多么接近点P, 都不能与点P重合, 同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp, 这体现了过程与结果的对立性;另一方面, 随着无限接近过程的进行, 斜率k越来越接近kp, 二者之间有紧密的联系, 无限接近的变化结果使得斜率k化为kp, 这体现了过程与结果的统一性.所以, 通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp是过程与结果的对立统一.

3. 极限思想是有限与无限的对立统一.

在辩证法中, 有限与极限是对立统一的.无限与有限有本质的不同, 但二者又有联系, 无限是有限的发展, 同时借助极限法, 从有限认识无限.例如, 在极限式xn→, n→∞中xn对应数列中的每一项, 这些不同的数值xn既有相对静止性, 又有绝对的运动性.数列中的每一项xn和a是确定不变的量, 是有限数;随着n无限增大, 有限数xn向a无限接进, 正是这些有限数的xn无限变化, 体现了无限运动的变化过程, 这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展, 有限是无限的结果, 他们既是对立又是统一的.

4. 极限思想是近似与精确的对立统一.

近似与精确是对立统一的关系, 在一定条件下可相互转化, 这种转化是理解数学运算的重要方法.

在极限抽象的概念中, 引入实例如“圆内接正多边形面积”, 其内接多边形面积是该圆面积的近似值, 当多边形的边数无限增大时, 内接多变形面积无限接近圆面积, 取极限后就可得到圆面积的精确值, 这就是借助极限法, 从近似认识精确.又如在极限式xn→a, n→∞中, 当n无限增大时, 数列的项x1, x2, ..., xn...反映变量xn无限的变化过程, 而a映了变量xn无限变化的结果, 每个xn都是a的近似值, 并且当n越大, 精确度越高;当n趋于无穷时, 近似值xn转化为精确值a.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念, 但是通过极限法, 建立两者之间的联系, 在一定条件下可以相互转化.因此, 近似与精确既是对立又是统一的.

5. 极限思想是量变与质变的对立统一.

在唯物辩证法中, 任何事物都具有质和量两个方面, 都是质和量的统一体.质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性, 量是指事物存在的规模、发展程度和速度, 以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性.量变和质变既有区别又有联系, 两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备, 量的变化达到一定的度, 就不可避免地引起质变, 只有质的变化才是事物根本性质的变化, 量变质变规律在数学研究工作中起重要作用.对任何一个单位圆的内接正多边形, 事物的质是圆的内接多边形, 量是内接多边形的边数, 当边数无限增加, 得到的仍是圆内接正多边形, 是量变, 不是质变, 量变体现事物发展的连续性, 在事物量变过程中, 保持事物本身质的稳定性.但当边数增加的无限过程中, 由于量的动态变化, 多边形越来越接近圆, 为质变创造条件, 多边形面积就变转化为圆面积, 促进量质转化, 达到矛盾统一.

6. 极限思想是否定与肯定的对立统一.

任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素, 都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面, 内接正多边形是事物对自身的肯定, 其中也包含着否定, 这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时, 内接多边形的面积转化为该单位圆的面积, 促使该事物转化为自己的对立面, 由肯定达到自身的否定, 这体现了否定与肯定的对立;圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物, 但是二者之间有紧密的联系, 圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积, 而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的, 从而建立了这二者的联系, 体现了否定与肯定的统一.

极限思想贯穿唯物辩证哲学的范畴, 它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一.在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维.数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求, 领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维, 是提高学生数学素养、理解数学知识, 培养学生数学能力的重要方法和手段.

参考文献

[1]周述岐.数学思想和数学哲学[M].北京:中国人民大学出版社, 1993.

[2]沈长华.微积分概念的发展及其哲学解析[D].兰州大学硕士学位论文, 2007:10-15.

[3]吴振英, 陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报, 2003, (10) :410-412.

[4]王娟.微积分教学中哲学思想的渗透[J].高等函授学报, 2007, (12) :8-10.

[5]白淑珍.对极限思想的辨证理解[J].中国校外教育, 2008, (2) :39-40.

极限思想在高中数学解题中的应用 篇9

一、 寻找极限位置，化一般为特殊

注：针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸显了试题的选拔功能.化一般为特殊，是一种重要的数学能力，特别是对数数学中的选择题和填空题，此法使用的好，能使一般问题特殊化，降低分析问题的难度，会给解题带来意想不到的效果.如能在平时的学习中，多注意此类方法的积累，将有利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查.因此，这类数学试题给高中数学教与学的方向以启示，拓宽思维，提高思维含量.

注：通过分析有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，从而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸显了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性.

极限思想在数学解题中的应用 篇10

1.利用极限思想, 简化解题, 深化思维

在求不等式的解集和变量的取值范围问题中, 利用极限思想来寻求解题的途径, 常常能达到简化计算过程, 化难为易, 深化思维, 使问题轻松获解的效果。

例1 (2004年全国高中数学联赛试题) :不等式的解集是 (%%) 。

2A.[2, 3) %%B. (2, 3]%%C.[2, 4) %%D. (2, 4]

简析:本题为不等式解集问题, 通常考查变数字母取其区间的端点和端点的极限情况。当x趋近时, 左边结果趋近21, 且当x=2时, 不等式有意义, 排除B、D, 又当x趋近于4时, 不等式成立, 排除A, 因此答案选C。

例2 (2004年高中数学联赛四川赛区试题) :已知不等式m2+ (cos2θ-5) m+4sin2θ>0恒成立, 则参数m的取值范围是 (%%) 。

A.0≤m≤4%%B.1≤m≤4%%C.0≤m或m≥4%%D.m≤0或m≥1

简析:本题为参变量的取值范围问题, 当m趋近∞时, 左边结果大于0, 排除A、B, 又当m趋近1+时, 不等式不一定成立, 排除D, 因此答案选C。

评注:极限思想是特殊值法的延伸, 它提供了从变量变化中研究趋势的数学方法。减少计算量是使问题迅速、准确获解的关键;利用极限思想, 着眼于问题的极限状态是减少计算量的重要途径。

2.利用极限思想, 优化解题, 活化思维

在立体几何问题中, 利用运动变化的观点对最大、最小、最近、最远等特殊位置进行极端位置的考察, 以达到发现问题的解题思路和问题结果的目的, 活化思维, 培养思维的灵活性。

例3 (1992年全国高中数学联赛试题) :设四面体的四个面的面积分别为S1, S2, S3, S4, 它们中的最大值为S, 记, 则λ一定满足 (%%) 。

简析:如图1, 不妨设底面ABC的面积最大, 若四面体为正四面体, 则λ取最大值为4;当顶点P无限趋近底面ABC时, 则侧面PAB、PBC、PCA无限趋近底面, 则λ无限趋近于2。因此从以上两种情况可得出结论, 答案为A。

例4 (1995全国年高中联赛试题) :设O是正三棱锥P-ABC底面△ABC的中心, 过O的动平面与正三棱锥P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q, R, S, 则和式

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.既有最大值又有最小值, 且最大值与最小值不等

D.是一个与平面QRS位置无关的常量

简析:如图2, 考查动平面QRS, 当动平面QRS无限趋近底面ABC, 则和式趋近 (定值) ;当动平面QRS的点Q趋近A, R趋近PB的中点, 则动平面QRS与直线PC平行, 相交于无穷远点, 和式趋近 (定值) 。因此综合以上两种极限情况可得出结论:和式是一个定值, 答案为D。

例5 (2004年全国高中数学联赛试题) :在正n棱锥中, 相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (%%) 。

简析:如图3, 设侧面所成的二面角为α, 当顶点无限接近底面时, α趋于π;当顶点离底面无限远时, 侧棱无限趋于与底面垂直, 此时, α无限趋于底面正n边形内角, 所以, 二面角α的取值范围为。本例棱锥高不定, 可将顶点看作是运动变化的, 运用极限思想, 考虑两种极限位置, 从而使问题得到解决。

评注:将某些点或量看成是运动的点, 应用极限思想考查运动变化的极限情况, 使问题获解。

3.利用极限思想, 化动为静, 内化思维

在对于定点、定值等的平面几何、解析几何问题中, 利用极限思想对条件的某种极限状况进行考查, 往往能探索出问题的结论, 再将问题从极端情况过渡到一般情况, 使复杂问题迎刃而解。

例6 (1990年全国高中数学联赛试题) :设双曲线的左右焦点是F1, F2, 左右顶点为M, N, 若△PF1F2的顶点P在双曲线上, 则△PF1F2的内切圆与F1F2边的切点位置是 (%%) 。

A.在线段MN的内部%%B.在线段F1M内部或F2N内部%%C.点M或点N%%D.不能确定

简析:如图4, F1, F2, M, N为定点, 动点P在双曲线上移动。当P无限趋于M或N时, 则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置无限趋于M或N;又当时, 可计算出F2P的长度等于F2到△PF1F2的内切圆切线的长度, 故猜想得C。本例为客观题, 有选择性, 采取上述方法简化讨论过程, 当然此题可用常规方法, 但运算量较大。

例7 (IMO1959-2) :在定线段AB上任取一点M, 在AB的同一侧以AM, BM为边, 作正方形AMCD, BMEF, 设这两个正方形的外接圆的圆心分别为P, Q, 这两个圆交于M, N, 求证:MN过某定点。

简析:如图5, 设动直线MN过定点T, 由于T的位置不知, 可以考虑M的特殊位置。若M为AB的中点, 则T必在线段AB的中垂线上;若M无限趋近于A, 则N也无限趋近于A, 圆P退化为点A, 割线MN逐渐趋近于AB为弦的圆的切线AT。综合分析, 得出T的位置应是以AB为直径的半圆弧的中点。结论改证:M、N、T三点共线。可证得N、C、B共线, 得出, N在AB为直径的圆上, 又, 得出要证明的结论。

评注:通过对研究对象的特殊位置和运动过程的动态分析, 寻求出变化中的不变量, 以获得有益的启示, 做出合理的判断, 达到以静制动、动中求静的目的。

4.利用极限思想, 化动为静, 催化思维

在研究未指明形状和位置的轨迹问题时, 通过对一些特殊点和极限点等情况的研究来判断轨迹的大致轮廓, 是探求轨迹的一个极其重要的方法。

例8 (2005年全国高中数学联赛试题) :过抛物线y=x2上的一点A (1, 1) 作抛物线的切线, 分别交x轴于点D, 交y轴于点B, 点C在抛物线上, 点E在线段AC上, 且满足, 点F在线段BC上, 且满足, 且λ1+λ2=1, 线段CD与EF的交于点P, 当C在抛物线上移动时, 求点P的轨迹方程。

解析:如图6, 由题意计算知D为AB的中点, 题目中涉及两个变量λ1, λ2, 考查问题的特殊情况和极限情况: (1) 当时, 则, EF∥AB, 点P为三角形ABC的重心; (2) 当λ1趋近于 (等于) 0, λ2趋近于 (等于) 1, 或当λ1趋近于 (等于) 1, λ2趋近于 (等于) 0时, 点P仍为三角形ABC的重心。因此可以得出结论:点P为三角形ABC的重心。

对点P为三角形ABC的重心的证明也比较容易, 如图7, 过A, B分别作EF的平行线交CD于H, N, 则, λ1+λ2=1, 故, 点P为三角形ABC的重心。再根据重心的性质求出点P的轨迹方程为

评注:极限点、临界点、特殊点是轨迹上的“静点”, 其他点看成是“动点”, 通过对“静点”的情况研究来把握“动点”的变化, 以求“动中求静, 以静窥动”。

极限思想是一种基本而又重要的数学思想, 从某种意义上体现了“量”变到一定程度转化为“质”的变化过程。无限趋近的概念和性质虽然超出高中课本知识, 但在教学过程中, 教师应有意识让学生掌握和运用极限思想, 如此既可以加深对极限概念的理解, 有助于培养学生的发散思维、收敛思维和逻辑思维能力, 又可以开阔学生眼界, 增强其创新意识和创新能力。

参考文献

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[2]罗万春, 宋乃庆.极限概念的表征及教学策略[J].海南师范学院学报 (自然科学版) , 2001, (03) .

[3]桂淑英.运动变化观点及极限思想在解题中的应用[J].数学通报, 2004, (03) .