费马定理

费马定理（精选六篇）

费马定理 篇1

1政府对数学传播的主导与社会培育

1978年“陈景润成功证明哥德巴赫猜想”和1993年“怀尔斯破解费马大定理”两大数学科学事件都曾轰动一时。媒体的相关报道不仅让各界极大关注着数学的发展进程,同时数学神话的媒介事件也成为公众多年来津津乐道的话题。例如,费马大定理被怀尔斯证明的消息传出后,美国公众广播网对怀尔斯进行专访。英国广播公司BBC相继拍摄了《费马大定理》电视纪录片并斩获大奖。类似的情景也同样发生在中国,20世纪70、80年代,各类讲座、报刊、广播、传记、影像媒体如同盛宴一般纷纷采访并邀请陈景润,数学以从未有过的公开方式向大众广泛传播。

2科学的大众消费文化

霍尔顿认为分析媒介事件另外一个重要成分,是探讨科学以外的文化发展。如今的怀尔斯已不再是单纯的费马大定理的数论专家,他更是全球大众文化闪耀的数学明星。《纽约时报》曾在头版以《终于欢呼“我发现了”久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。有人透露,《人物》杂志将他与戴安娜王妃、克林顿总统等一起列为“本年度25位最具魅力者”;一家国际企业曾邀请这位腼腆的数学家为其新系列男装做广告。在这场盛宴中,大众媒体借助传奇、魔幻、争议、时尚的方式吸引眼球,制造出“公众人物”和“名人”,来显示科学专家的神秘莫测和数学的无限威力,以此激发公众的狂热、震撼与痴迷。充满好奇和充当无知看客角色的公众体会着科学娱乐文化。科学逐渐沦落为大众休闲消费的一件商品。

数学猜想有着巨大的诱惑,多年来一直被媒体认为有着文化商机。2000年3月18日,美国布卢姆斯伯里出版社和英国费伯出版社向世界悬赏,宣布在两年之内“哥德巴赫猜想”破解者将获得100万美元的奖金。消息一出,全球掀起了一股“哥德巴赫猜想”的热潮。而实际上,有相关人员指出此次活动是由两家出版社策划为希腊作家阿波斯托洛斯·袄克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》所作的商业宣传。从20世纪起,科学作为传播内容就已经被纳入到大众媒介的生产运营规则中,并被进行着不同方式的编码。大众媒介诸如讲座、书籍、报纸、杂志、广播、电视、博物馆展览和互联网等不断地创造各种科学意象和商业活动来刺激公众的科学文化消费。媒体记者、编辑和策划人也巧妙运用商业文艺手法对科学信息进行选择、加工和制造,创造出面向普通大众的休闲阅读文本。

3“数学猜想”的媒介涵化研究

明星数学家怀尔斯、学习楷模陈景润的象征性意象已经成为媒介科普文化的一个重要组成部分。它体现的不仅是数学家特立独行的行为方式,更是不同时代的意识形态与价值理念。媒介的文艺包装让这种意象唯美化、通俗化,便于公众陶醉其中,并形成普遍的认同。崇尚科学、追捧科学不仅成为生活时尚风潮,同时也是人们羡慕科学精英身份的重要标志。

但是,这种理想却与现实不符。法兰西科学研究院拒绝公众对费马定理的证明、中科院告诫人们避免误入哥式猜想歧途,明显说明一个事实,“费马大定理和哥德巴赫猜想”的数学神话造成公众科学世界观与现实常规科学严重分离。这种分离导致公众与专家的兴趣点和语境出现鸿沟,造成彼此话语对接的缺失。公众的科学世界很大程度来自媒介的教化培养,我们称之为媒介的涵化效果。

参考文献

2016考研数学 费马定理 篇2

对于中值定理这部分的学习，很多同学都感到很困惑。然而中值定理又是我们考研数学中的难点，这部分的试题灵活性，综合性比较强，对考生的思维要求比较高，同时这一部分在考试中经常是出证明题，学生的得分率比较低，这里我帮助同学们一起学习中值定理。首先是要理解并记忆定理的内容;二是记住定理的证明过程，并掌握这一部分试题主题的证明思想。费马定理是三大中值定理的引理，很多同学在复习的时候经常忽略，下面中公考研数学辅导老师就带大家来看费马定理。

对于费马定理这个内容主要是说明，如果要证函数发f(x)在一点的导数为零，只要证明在这点取极值(极大值或极小)，则存在导数等于零。

中公考研

http:// 考研交流学习群【198233974】

罗尔定理的证明是会用到费马定理的，对于费马定理一定要掌握。

中公考研

费马大定理的“终结者” 篇3

至今，据费马大定理被成功证明已经过去了21年，作为一个数学家，怀尔斯的生活并没有改变，他还是像以前一样，早晨起来，去办公室，研究新的数学问题。怀尔斯现为牛津大学皇家学会教授（2011年起任），曾为普林斯顿大学教授、数学系主任，普林斯顿的数学系被称为“定义什么是好数学的地方”。怀尔斯的主要研究领域为数论。

安德鲁·怀尔斯，1953年4月11日出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。怀尔斯从小就机敏、聪慧，并着迷于数学。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过，我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天，怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题，而且没有解答，怀尔斯被吸引住了。E.T.贝尔在他的《大问题》一书中写到：文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。可见，证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏。

1993年，怀尔斯在剑桥大学牛顿研究所做了3次学术报告，在最后一次演讲结束时，他完成了对费马大定理的证明。这个消息迅速登上世界各大报纸头版的位置，在数学界更是一石激起千层浪。经过审查的论文，最终发表在国际顶尖数学期刊《数学年刊》1995年5月期上，总长为130页。

1995年，怀尔斯获得欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典皇家学会颁发的舍克数学奖。1996年，获得沃尔夫奖，同年当选为美国科学院外籍院士并获该科学院数学奖。1997年，获美国数学会科尔奖，并获10万马克奖金（1908年沃尔夫斯科尔为解决费马大定理而设置的）。1998年，怀尔斯获国际数学家大会颁发的特别贡献奖。2005年，他摘取邵逸夫数学奖及100万美元奖金，该奖为表彰他对最终解决费马大定理所做出的巨大贡献。

著名数学家约翰·科茨评价道：“这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌。同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我来说，安德鲁·怀尔斯成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

358年世界名题——费马大定理

3000多年前，勾股定理（又称“毕达哥拉斯定理”）表述为：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即：x2+y2=z2。类似于勾股定理，17世纪，法国数学家费马给出这样的一个猜想：当n>2时，关于x，y，z的不定方程xn+yn=zn没有正整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论，同时写下评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”在数学上这被称为“费马大定理”，又名“费马猜想”，是留给后世的一个不解之谜。

这个比哥德巴赫猜想更悠久、更有名的难题曾经吸引、困惑了无数智者，难倒许多杰出的大数学家。据称，使用现代的电子计算机可证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布证明过程，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。

全世界数学家历经三个半世纪（358年）的努力，1995年这个世纪数论难题才由普林斯顿大学的数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒联手成功证明。该定理证明中利用了诸多数学的前沿知识，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦群论和赫克代数、谷山-志村猜想、岩泽理论和科利瓦金-弗莱切方法等，这个复杂的证明过程使人们怀疑：在当时费马是否真的找到了正确证明。

其实，怀尔斯10岁时就被费马大定理吸引住，并从此选择了数学作为终身职业。在采访中他说：“上大学之后，我一直在想，历史上许多人把可想到的办法都想到了，最终也没有解决费马大定理，所以我觉得必须要学习更高深的数学。从研究生阶段，我把更多的精力放在了拓宽自己的视野方面。看起来我似乎是暂时离开了费马大定理。”

1977年，怀尔斯与科茨共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想——伯奇-斯温耐顿-代尔猜想的特殊情形（即对于具有复数乘法的椭圆曲线）。1984年，他和马祖尔一起证明了岩泽理论中的主猜想。1986年，安德鲁·怀尔斯决定向费马大定理发起冲击。他先用18个月的时间，收集了这次冲击所必要的数学工具，而他全面的估计是：他接下来要做的，是可能长达10年的专心致志的努力。1994年，在此前工作的基础上，怀尔斯通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山-志村-韦伊猜想，从而完全证明了费马大定理。

我国著名数学大师陈省身曾经说过：“20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚-辛格指标定理，另一个是费马大定理。”可见，怀尔斯有着极高的国际学术水准。

秘密进行的艰苦研究

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。

1980年，怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。后来，怀尔斯做了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

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有一种普遍的说法是，怀尔斯在完全保密的状态下进行专心研究，不让任何人知道他所做的事情，也不与任何人进行交流。在那7年时间里，只有他的妻子知道他在做什么。在采访中，怀尔斯澄清了这种说法：“其实一开始的时候，我还是告诉了一些同事。但他们知道之后，只要一见到我，就不断地问进展情况，使我感到了很大的压力和干扰。所以我觉得还是不要讲出来更好一些。并且我意识到，要解决这个问题，需要很长很长的时间。在这个过程中被人不断问及，我就要承受很大很大的压力。就像一个小孩在成长的过程中，如果老是被人问怎么了，到什么地步了，那这个小孩就会很难堪。”就这样，他逐渐转入一种秘密状态下的战斗。

无论如何，如果我们只是强调客观困境，沉迷在外界无止境的消耗和诱惑、内心无止境的欲望和算计之间，我们的头脑就会永远纷乱复杂下去。对于子女的教育态度，怀尔斯认为：“我希望孩子们选择自己喜爱的东西，不见得一定是数学。一个人最重要的是做他自己真正喜欢的事情，特别是在年轻的时候。”

勇于追求自己挚爱的事业

数学从思维和技术等方面为人类文化提供了方法论基础和技术手段，极大地丰富了人类文化，因此，数学文化是人类文化重要的组成部分。一次，在北京进行的学术报告会上，怀尔斯讲述了费马大定理的历史过程，他从古希腊先贤讲述到费马，再讲述到高斯，其中也讲述到他自己。“虽然他证明出了费马大定理，但他还是把这一过程讲述了很少，可以看出他的谦和之处……”数学家文兰院士认为，其实怀尔斯自己7年的证明过程是他最困难的时期，但他却没有过多地强调这一点。他讲述前人的历史主要是想说明自己的研究是站在前人的肩上的。

怀尔斯希望年轻人能勇于追求自己所挚爱的东西，因为对事业的投入和热爱将使他们在前进的途中所向披靡。科学研究是极其艰苦的探索过程，需要坚强的意志和百折不挠的努力，需要竭尽全身心的投入，需要排除一切来自外界的干扰和诱惑。出于对科学研究这种特殊劳动的理解和尊重，不少国家的大学、研究机构为科学家的研究工作提供了宽松的环境和条件。怀尔斯在一心破解费马大定理的近10年间，没有发表过一篇论文，但他所在的普林斯顿大学并未因此对他有所责难。由此可见，科学上的“隐士”精神实质是集中、专注、执著地全身心投入与对名利的淡泊，以及心态上的平和。伟大的科学突破既需要科学工作者本身的修养，更需要社会、环境的宽容和支持。

相关链接

挪威设立的国际数学大奖——阿贝尔奖

2002年，为纪念挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔诞辰200周年，挪威政府设立阿贝尔奖，奖励在数学领域做出卓越贡献的科学家。挪威自然科学与文学院接受来自任何个人或机构的提名，但需要提供候选人的简历和具体工作介绍，并推荐相关专家供联系参考。自2003年以来阿贝尔奖每年颁发，是国际数学界最高荣誉之一，奖金高达600万挪威克朗（约70万美元）。

【责任编辑】张小萌

费马定理 篇4

中国画论有“意在画先”一说, 课堂教学的设计也是一个意在教先、以意统教的过程.

费马点是2006年版浙江课程实验教材数学八下4.2.3课后的设计题, 它是以实际问题为背景呈现出来的.假设点A, B, C表示三个村庄, 要选一处建车站, 使车站到三个村庄的公路路程的和最短, 若不考虑其他因素, 那么车站应建在费马点上.

这个问题的实质是以三角形内一点与各顶点组成的夹角都是120°为条件, 证明三条线段之和最小;运用“两点之间线段最短”, 将三条线段和转化为一条线段, 问题得以解决.

1.课程立意

根据学生认知规律和心理需求, 设计教法和学法, 设计有梯度的问题串, 像折扇一样慢慢铺展开来, 鼓励学生观察、思考、猜想、证明.

构造等边三角形, 运用旋转变换、线段公理、全等三角形等知识, 做到突出重点, 突破难点, 抓住关键点;领会转化的数学思想, 重视实际问题的数学建模.

为实现费马点设计题的价值, 笔者以课标、教材为依托, 以学生需求为目标, 以科学精神为核心, 以提高自身素质为支持.

2.研究立意

以费马点研究为载体, 以课堂教学为环境范围, 以课堂教学中各种变量为要素, 从个性化角度对教学细节进行深入研究, 笔者从费马点所反映的数学本质去挖掘, 以凸现费马点研究的重要性和必要性, 折射出费马点对提高几何证明质量和学生数学素养形成及数学文化的渗透起到积极的推动作用.

二、教学流程设计

1.数学文化———费马点的数学意蕴

2006年版八下“4.2.3证明”课后设计题是一道反映数学本源性的距离问题即费马点问题, 目的是突出数学文化的内涵, 由三角形内一点到各顶点距离和最短引出费马点;但是没有证明, 只简单地介绍了费马的生平简历及费马大定理的发现, 问题提出形成一股冲击波, 荡涤着教师们固有的解读教材、演绎教材的陈旧模式.

2.低起点、高落点———由轴对称作图到两点之间的距离

教师:在一条数轴上, 有两点A (3, 0) , B (-1, 0) , 要在数轴上找一点P, 使点P到两个已知点A, B的距离之和最短, 点P的位置在哪里?

问题一抛出学生很快就答出来了:线段AB上任何一点都可以.

师:不错, 我们在学习轴对称图形时, 有这么一道题:在一条公路的同侧有两个村庄, 要在公路旁建一个站点, 使得两村庄到站点距离和最短.这点在哪里?

生1:如图1所示, 把公路抽象成直线, 村庄抽象成点A, B, 过A点作直线l的对称点A′, 连结A′B, 交直线l于点P, 则点P即为所求.

师:如何证明这点使PA+PB的和最小?

生2:可以在直线任取一点P′, 并连结P′A, P′B, P′A′在△A′BP′中, P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA+PB.

3.老图新用———以一道被教师惯常使用的老题作为切入口

道生一、一生二、二生三, 三生万物.笔者由一点到两点再到三点提出问题.

师:在同一平面内有不共线的三个点A, B, C, 平面内是否存在这样的点P, 使PA+PB+PC的和最小?如果存在, 这样的点在哪里?

生3:作△ABC, 问题转化为平面内有一个任意锐角三角形△ABC, 以AB, AC为边向形外作等边三角形△ABC′, ACB′, 如图2, 连结B′B, C′C.

师:说得好, 请大家思考几个问题:

(1) 找出图中的全等三角形并说明理由;说出相等线段、相等的角、特殊的三角形、特殊的角、并说出理由;你能证明B′B =C′C吗?

(2) 在上一题中, 请猜测PA+PB+PC与B′B或C′C的数量关系;

(3) 求证∠APC=∠APB, 探求∠BPC的大小;

(4) 能否证明∠APC=∠APB=∠BPC=120°.

这一环节很重要, 旨在为费马点的研究做个铺垫, 学生对此问题的提出感到亲切、自然, 学生很快就能找到三个条件并顺利证明全等三角形, 从而得到B′B =C′C.对于问题 (3) , 学生能猜测到∠BPC=120°, 但怎么证明, 一时还有些想不清楚, 笔者稍加引导:只需证明∠PCB′+∠CB′P=120°.由△ABB′≌△ACC′, 知∠AB′P=∠ACP.

证明∠APC=∠APB时, 个别学生有卡壳现象, 怎么办?笔者不想让学生对老师产生依赖, 就给学生时间, 让他们讨论交流.

师:要证这两个角相等, 但所在的两个三角形不全等, 又不是等腰三角形.

学生的思维处于愤悱状态, 似乎找不到解决的方法, 课堂气氛有些窒息, 突然有个学生打破了沉寂, 举手要发言.

生4:如果∠ACC′=∠ABB′, 那么, PA就是∠C′PB′的角平分线, 根据角平分线上的点到角两边的距离相等, 可以过P点作B′B, C′C边上的高线, 有前面的证明△ABB′≌△ACC′则对应高相等. 用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上, 大家豁然开朗.

对于问题 (2) , 可以设计一个表格, 让学生通过先猜想后测量的实验几何方法初步得到关系, 提醒学生:猜测与测量属于实验几何, 测量得到的数据有误差, 得到的结论未必正确, 所以要用推理方法进行论证. 这样做旨在培养学生严谨的几何论证习惯.

4.架桥铺路———点、线、形的自然过渡

用推理的方法论证:在三角形内部找一点P使得PA+PB+PC=BB′=CC′.

问题提出还是比较难的, 学生一时找不到证明的思路, 而老师也往往是把想法停留在前两个问题上, 引导作辅助线的添法, 如何证明全等的层面上, 但对于第三个问题往往都会忽略掉, 而这正是要解决问题的症结所在;而学生感觉证明过程很难, 难以理解辅助线的添法;如何把这道呆板、毫无生气的问题开发好、利用好, 从而激发学生问题意识和强烈的数学热情?

师:在平面内找到一点到三角形三个顶点距离之和最短, 这样的点存在吗?如果存在, 这点在三角形内部还是在三角形外部, 你准备找一个怎样的三角形来研究?

生5:我找等边三角形, 因为等边三角形是轴对称图形, 它有三条对称轴, 其交点到每个顶点的距离等于到对边中点距离的2倍, 我认为这个交点就是所求的点, 它到各顶点距离和最短. 但为什么最短我还没想好.

生6:找等腰三角形, 我认为一般等腰三角形即可, 三个顶角的平分线的交点就是所求的点, 因为角平分线上的点到角两边的距离相等.

师:但我问的是到各顶点距离和最短的点是否存在?若存在, 在哪里?

生7:找直角三角形.

生8:找等腰直角三角形.

生9:找一般三角形.

生10:先从特殊入手再得出一般情况, 使结论更具一般性.

师:好, 请学生5谈谈证明思路.

生5:以AC为边在三角形ABC的外部做等边三角形ACB′, 连结BB′, 由等边三角形三线合一性, 得到∠PAB′=90°, ∠AB′P=30°, AP=1/2PB′, PC=1/2PB′, BP=BP, ∴AP+PC+BP =BB′ (或C′C) .

师:生5同学从特殊图形入手证明了等边三角形时点P位置的确定方法. 对于一般的三角形, 在内部能否找到这样的点, 使这点到三个顶点的距离之和最小?

生10:可以模仿老师最初出现的那个题的做法, 以AB, AC为边, 向外做等边三角形ABC′和等边三角形ACB′, 连结BB′, CC′;通过实验操作, 可得结论是PA+PB+PC=BB′ (CC′) .

师:如何严格证明呢?

生11:老师, 可以通过旋转将三条线段转化成一条线段, 根据两点之间线段最短, 得到PA+PB+PC最短.

师:请详细说说你的解题过程.

生11:以C为圆心, CP长为半径画弧, 交BB′于点C′ , 可得△PCC′为等边三角形, 得到∠CC′B′=120°, 因为△ACB′是等边三角形, 所以AC=B′C, ∠ACB′=60°, 由已作图, 知∠PCC′=60°, 于是得到∠ACP=∠C′CB′, 得△APC≌△B′C′C.∴AP=B′C′, 即PC+PA+PB=PB+PC′+C′B′=BB′.

师: 你从特殊图形入手探寻出一般规律, 但要证明△PCC′是等边三角形条件不充分, 你知道∠B′PC=60°吗?我觉得按照你的做法以C为圆心PC长为半径作60°角与BB′交于点C′, 这样同时满足几个条件的图形不一定做得出来. 这时大家也注意到根据同学11的说法, 必须得到∠BPC′=60°.

笔者沿着学生的设想, 借助多媒体做动态演示、说明点P存在且唯一. 当学生的解题思路出现障碍时, 教师的主导作用就要发挥出来. 笔者不失时机地引导学生利用全等三角形对应边上的高相等, 再逆用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上, 得到∠APC′=∠B′PC′=60°, 这时△PCC′才是等边三角形, CP=CC′, ∠PCA=60°-∠ACC′=∠C′CB′=60°-∠ACC′, 得△APC≌△B′C′C, ∴AP=B′C′, 又∵B, P, C′, B′四点共线, 根据两点之间线段最短, 得到BP+PC′+C′B′=BB′, 即PA+PB+PC之和最短, 到此问题得到解决.

师:这点P就是著名的费马点, 费马是17世纪法国数学家, 对于这个定理费马只是猜测当点P与各顶点的夹角都为120°时, PA+PB+PC的和最短, 但是他并没有证明出来. 费马点的发现是运用两点之间线段最短解决了平面内某一点到三个不在同一条直线上的三个已知点距离和最短的问题典范, 它解释了数学的本质是最短、最简.

用一种普适的方法解决一个尖端的问题, 将一个被教师们惯常使用的一个看似呆板的、毫无生气的老题焕发出新的生机和活力, 用它来解决著名费马点的证明, 应该属于一种创新之举, 不失时机地提出费马点, 及时向学生进行数学文化的渗透, 让学生体会费马点的数学文化意蕴.

三、中考试题中的费马点

众里寻它千百度, 蓦然回首, 费马点就在中考试卷中.

1. (2009年湖州卷) 如图5, 若点P为△ABC所在平面上一点, 且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫作△ABC的费马点;若点P为锐角三角形的费马点, 且∠ABC=60°, PA=3, PC=4, 则PB的值为 _____.

2. (2008年广东卷) 如图6, 已知正方形ABCD内一点E到A, B, C三点的距离之和的最小值为求此正方形的边长.

3. (2010年湖南永州卷) 阅读理解:1如图7, 在已知△ABC所在平面上存在一点P, 使它到三角形顶点的距离之和最小 , 则称点P为△ABC的费马点, 此时PA +PB +PC的值为△ABC的费马距离;

2如图8, 若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上, 则有AB·CD+BC·DA=AC·BD. 此为托勒密定理.

(2) 知识迁移:1请你利用托勒密定理, 解决如下问题:如图9, 已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点.求证:PB+PC=PA;

2根据 (2) 1的结论, 我们有如下探寻△ABC (其中∠A, ∠B, ∠C均小于120°) 的费马点和费马距离的方法:

第一步:如图10, 在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;

第二步:在弧BC上任取一点P′, 连结P′A, P′B, P′C, P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+ (P′B+P′C) =P′A+_________ ;

第三步:请你根据 (1) 1中定义, 在图10中找出△ABC的费马点P, 并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.

(3) 知识应用:2010年4月, 我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象, 许多村庄出现了人、畜饮水困难, 为解决老百姓的饮水问题, 解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A, B, C构成了如图11所示的△ABC (其中∠A, ∠B, ∠C均小于120°) , 现选取一点P打水井, 使从水井P到三村庄A, B, C所铺设的输水管总长度最小, 求输水管总长度的最小值.

四、反思

回顾教学过程, 可由以下7个方面组成.

(1) 猜想:1PA+PB+PC=BB′=CC′;2∠APC′=∠APB′;3∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.

(2) 实验:将测量PA, PB, PC及BB′, CC′得到的数据填入表格, 从而得到结论PA+PB+PC=BB′=CC′, 使用量角器测量得到∠APB=∠BPC=∠CPA=120°;通过操作测量体悟实验结果和猜想的误差很小, 说明了猜想的合理性.

(3) 结论:锐角三角形内存在一点, 这点到三个顶点的距离和最短.

(4) 作图:学生采用更方便直观、最朴素的找费马点的方法最好, 如采用三个120°的三棱木架找费马点, 如果按照规范做法应是如图所示作图方法.

(5) 证明:构造等边三角形、利用旋转变换、全等三角形等知识证明结论.

(6) 拓展:永州中考25题把费马点拓展到圆中, 运用费马点证明托勒密定理, 把圆和三角形有机地结合起来, 这是最佳创意.

(7) 应用:学习的目的全在于应用.完成了理论证明以后, 要用费马点解决实际问题, 如永州问题3.

《费马大定理》读后感 篇5

费马大定理的过程 好似一个奥数题，需要用到无数的知识点，怀尔斯就是依赖无数的数学前辈来一一补足脚下的砖头 ，每一块都经得起检验，经得起逻辑的检验方能算是成功，不能有一丝侥幸。唯有这样 ，下一辈的数学家才能放心踩着费马大定理去到另一个地方。这是西方哲学式的逻辑严密，是绝对理性的一场胜利。

说回个人爱好 ，数学里非常喜欢几何的灵机一动 看透某条辅助线―轻松证明某题;私下里觉得提出猜想的人 比证明的人更厉害(貌似费马确实比怀尔斯要出名的多)。灵感 、玄妙 作为中国人不能不爱这样的飘逸境界。A “ 但世界是公平的 越是美 越可能在用处方面要差的多” vs B “世界就是这样 越是好的 ，可能会更好”。

费马数的教学设计 篇6

近几十年来, 数论在代数编码、密码学、信号的数字处理、计算机科学、组合数学等领域内得到广泛的应用, 尤其值得一提的是许多较深刻的结果都得到了应用, 并收到了意想不到的良好效果。注意到这些情形, 教师在讲授初等数论课程时, 除了包含通常初等数论教科书所共同具有的最基本的内容外, 应该适当拓展新的内容, 以适应不断发展的理论和应用方面的需要。在讲解那些熟知的经典结果的同时, 也要注意介绍新的证明方法和近代的进展, 并尽可能地提到它们的应用, 从而有效地激发学生的学习热情, 这就是我们设计这堂课的主要意图。费马数是初等数论在介绍素数性质时所给出的一个重要例子, 本文以费马数为例进行教学设计。

二、趣味引入

大家都知道, 核导弹爆炸的威力无疑是惊人的, 因而核导弹的安全问题就显得至关重要了。各个国家的核导弹都由安全性能极高的密码系统所控制, 而数论已成为控制成千上万颗核导弹密码系统的理论基础。实践证明, 最好的密码之一是利用大素数制造的, 极难破译。那么, 什么是素数呢?如何快捷有效地产生一些大素数以用于密码设计呢?就让我们首先做一下知识回顾。

三、知识回顾

1.素数及合数的定义[1]:一个大于1的整数, 如果它的正因数只有1和它本身, 就叫做素数, 否则就叫做合数。常见的素数, 如2、3、5、7、11、13、17、19、23、27、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97……

2.算术基本定理[1]:任意一个大于1的正整数都可以表示成一些素数的乘积, 而且如果把这些素因子按从小到大的顺序排列后, 表示方法是唯一的, 如6936=23×3×172。

从这个意义上讲, 如果研究清楚了素数的性质, 自然数的性质从某种程度上讲也就清楚了。

早在古希腊时期的欧几里德首先证明了有无穷多个素数。但是令人遗憾的是他并没有找到素数的模型或产生素数的有效工具。要是有一个公式能够表示出所有的素数, 那该多好啊!于是一场寻找素数公式的风潮席卷数学界数百年的研究历史。

四、概念的表述

1.给出费马数的概念[1]:职业为律师, 但后来却被誉为“业余数学家之王”的费马在这一问题上做出了重要探索。1640年, 他在给他的好朋友梅森的一封信中这样写道:“我已经发现形如Fn=22n+1的数永远为素数。”但他同时承认自己未能找到一个严格的证明。

的确, n=0, 1, 2, 3, 4时, 依次分别可以得到:F0=220+1=3, F1=221+1=5, F2=222+1=17, F3=223+1=257, F4=224+1=65537

不难发现, 得到的居然全部是素数!于是, 费马迫不及待地大胆宣称他找到了表示素数的公式。

2.给出费马数的一些性质。费马数有如下一些简单性质[2]:, 这些性质借助于数学归纳法都可以很容易地加以证明。

3.给出费马素数公式的“错误”。利用上述所列举性质中的第四条容易证明下述形式的哥德巴赫定理[1]:任意两个不同的费马数都没有大于1的公因数, 即任意两个费马数都互素。加之由定义很容易看出费马数都是奇数, 所有的这些都无疑极大地增强了费马对他这一猜想的自信心!然而, 就在72年后的公元1732年, 25岁的年轻数学家欧拉就发现了F5的标准分解式[1]如下:, 从而证明了F5是合数而非素数。紧接着, 公元1855年, 克劳森又发现了:, 从而证明了F6是合数而非素数。

截至2014年, 人们先后证明了费马数Fn, 5≤n≤32全部是合数, 其中5≤n≤11时可以找到这些费马数的全部素因子, 因而可以写出它们的完全分解式。但对于其中的一些费马合数, 仅仅知道其部分素因子, 因而只能写出部分分解式, 或者叫不完全分解式, 而对于“另类分子”F20、F24, 居然连其一个素因子都没有找到。

截至2015年4月, 人们也仅仅发现了区区280个费马合数以及322个费马数的素因子。这在科学技术高度发达的21世纪, 简直是不可想象的!于是人们更倾向于认为“从第6项开始, 费马数全部是合数”以及“存在无穷多个费马合数”等结论, 但遗憾的是至今都没有严格的证明。而这些结论倘若与费马当初的猜想去比较的话, 很容易会发现二者相去甚远, 这就不免让人开始担心这将会毁了费马的一世英名。然而费马素数后来鬼魅般的出现在了另一个古老而又著名的数学问题———尺规作图。

五、应用

1.简单介绍尺规作图的发展历程[3]:这里演示一下正5边形的尺规作图法。古希腊人对于用没有刻度的直尺和圆规做正多边形的方法十分感兴趣:利用正3边形, 能做出具有3×2n个顶点的正多边形;利用正4边形, 能做出具有4×2n个顶点的正多边形;利用正5边形, 能做出具有5×2n个顶点的正多边形;利用正15多边形, 能做出15×2n个顶点的正多边形。因此我们很自然的会问, 是否所有的正n边形, 都可以尺规作图?如果不能, 哪些正n边形可以, 哪些不可以?

2.费马素数与尺规作图:1796年, 年仅19岁的高斯证明了做出正17边形的可能性, 从而首次在这一两千年来悬而未决的问题上做出了重大突破!5年后的1801年, 高斯又给出了一个正n边形可尺规作图的充分条件[1]:当奇数n是一个费马素数, 或是若干个不同的费马素数的乘积时, 正n边形才能尺规作图。对奇数n, 这一条件后来被证明也是必要的。费马数居然不可思议地出现在了用直尺和圆规做正多边形这样一个完全不同的问题当中。

从这个定理的结果可以看出:正3边形和正5边形可以做出, 因为3和5都是费马素数;但却不能做出正7边形, 因为7不是费马素数;也不能做出正9边形, 因为9=3×3是两个相同的费马素数的乘积;也不能做出正11边形和正13边形, 因为11和13都不是费马素数;但可以做出正15边形, 因为15=3×5是两个不同的费马素数的乘积;也可以做出正17边形, 因为17是费马素数;然后能够用直尺和圆规作图的正多边形依次是正51边形、正85边形、正255边形、正257边形等。

这里需要指出的是高斯本人实际上并未给出正17边形的具体作图法, 第一个真正的正17边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格 (Johannes Erchinger) 给出。

六、结论

素数公式是能够表示出所有素数的公式, 具有重要的理论意义和应用价值。费马数猜想是费马试图给出素数公式的重要尝试, 历史发展证明了这是伟大的费马在这一问题上所犯的一次美丽的“错误”, 但是, 同样伟大的高斯却出人意料地把它用于尺规作图, 从而从某种意义上“救赎”了费马的“错误”, 所以在课程设计时要重点让学生理解费马数的性质及应用, 通过对费马数的研究历程来进行讲解, 整堂课按照引入—知识回顾—概念的表述—应用—小结的模式进行设计, 全程既具有趣味性又具有启发性。“小问题, 大智慧”, 从而充分展现初等数论这一学科的无穷魅力。

摘要：本文给出针对费马数的一种教学设计, 以应用实例引入, 通过对费马数的研究历程来进行讲解, 重点让学生理解费马数的性质及应用。整堂课按照引入—知识回顾—概念的表述—应用—小结的模式进行设计, 全程既具有趣味性又具有启发性。

关键词：费马数,尺规作图,教学设计

参考文献

[1]柯召, 孙琦.数论讲义[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2]维基百科[EB/OL].https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_numbers