二项式定理教学

二项式定理教学（精选十篇）

二项式定理教学 篇1

一、设计思想

本小节内容在本章中起着承上启下的作用,由于二项式定理与概率理论中的三大概率分别有其内在联系. 本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计知识作准备; 又由于二项式系数是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数的认识.

二、教学目标

1. 理解和掌握二项式定理,运用开展式中的通项公式求展开式中的指定项和二项式系数及项系数等.

2. 提高学生的归纳推理能力和树立由特殊到一般的归纳意识.

3. 运用启发引导学生的教学方法.

三、教学重点

1. 二项式定理及结构特征:

2. 展开式的通项公式 Tr + 1= Crnan - rbr,其中 r = 0,1,…,n 表示展开式中第 r + 1 项.

3. 当 a = 1,b = x 时,得公式:

四、教学难点

1. 展开式中某 一 项 的 二 项 式 系 数 与 该 项 的 系 数 的区别;

2. 通项公式的灵活应用.

五、教学过程

1. 课程导入

师: 在初中,我们学过两个重要公式,即

那么,将( a + b)4,以至于( a + b)5,( a + b)6……展开后,它的各项是什么呢?

2. 讲授新课

师: 不妨,我们来研究一下这两式的特点,看它们的展开式是否有什么规律可循?

即等号右边的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项的次数相同.

这样看来,( a + b)4的展开式应有下面形式的各项:

a4,a3b,a2b2,ab3,b4.

这些项在展开式中出现的次数,也就是展开式中各项的系数是什么呢?

生: ( 讨论)

( a + b)4= ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) .

在上面4个括号中:

每个都不取b的情况有一种,取C04种,所以a4的系数是C04;

恰有1个取b的情况有C14种,所以a3b的系数是C14;

恰有2个取b的情况有C24种,所以a2b2的系数是C24;

恰有3个取b的情况有C34种,所以ab3的系数是C34;

4个都取b的情况有C44种,所以b4的系数是C44.

师: 也就是说,

依此类推,对于任意正整数n,上面的关系也是成立的.

此公式所表示的定理,我们称为二项式定理,右边的多项式做( a + b)n的二项展开式,它一共有n + 1项,其中各项系数Crn( r = 0,1,2,…,n) 叫做二项式系数,式中的Crnan - rb叫做二项展开式的通项,用Tr + 1表示,即通项为展开式的第r + 1项: Tr + 1= Crnan - rbr.

另外,在二项式定理中,如果设a = 1,b = x,则得到

师: 下面我们结合几例来熟练此定理.

分析只需设a = 1,b = 1 /x,用二项式定理展开即可.

分析可先将括号内的式子化简,整理,然后再利用二项式定理.

3. 课时小结:

1要掌握二项式定理及其通项公式;

2灵活运用通项公式求出指定项.

六、教学反思

二项式定理教学反思 篇2

汾口中学

叶轶群

《二项式定理》这节内容我采用以知识点 “问题串”的形式引导学生自主探究的教学方法，在循序渐进中以小问题带动大问题，环环相扣，将知识点落实。而学生在自主讨论中，初步认识二项式定理是初中多项式乘法的继续，初步掌握展开式的规律，充分而有效地训练了学生的思维。

整节课在学生讨论探究中进行，通过一连串层层递进的问题，引导学生掌握展开式形成的规律，比如：(问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a4 b0的单项式a：(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)---------问题2：请在多项式中用不同颜色的笔标出得到(a+b)4展开式中的项a3 b的单项式a和b(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)------------问题3：请你用组合的观点来探究(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)展开式中的项a2 b2的系数)以上三个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。然后马上引

导学生完成问题4：类比以上探究项a4b0和a3b 及a2b2构成规律的方法，请你写出(a+b)4 二项展开式的每一项（把展开式按照a的降幂,b的升幂进行排列）(a+b)4 ＝ ____。

在这个过程中非常具有挑战性问题的引入能使学生产生新奇感，激发了学生的学习兴趣和积极性．进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，又把这一问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

教学中我特别注重运用通项意识，凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。但也有意外出现，对于二项式定理的逆运用，上课过程中重视不够，以为学生在推导展开式的同时也能够推导它的逆公式，所以在上课过程中一笔带过，导致作业中的问题比较多，基于此，在另一个班级的教学中，我决定把这个知识点跟展开式的推导融为一体来落实知识点。

本节课的亮点：

1、从“特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，带给学生积极的情感体验和无尽的思考．数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现．

2、课堂小结顺其自然地引导学生把握知识之间的内在本质联系，引导学生用扩展、深化等方式提出新问题，并用问题链引向课外或后续课程。

3、掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理

有机结合起来，教学过程中，学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发他们发现一般性问题的解决方法

4、本节课教学，我采用“问题――探究”的教学模式，以“问题链”组织课堂教学，让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课不足之处：

1、我认为在师生互动环节中再多一些效果会更好。但是我认为这样面对学生的展示课,难以操作.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课。

2、本节课教学过程中还不够生动有趣。正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？

《二项式定理》教学设计与思考 篇3

1. 知识与技能

（1）能利用组合数的方法证明二项式定理;

（2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用.

2. 过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力，体会从简单到复杂的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳.

3. 情感、态度与价值观

培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受数学史.

二、教学重点、难点

重点：探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程，并由此得到二项式定理.

難点：1. 展开式中的项的特点;2. 展开式中各项系数的确定.

三、教学设想

为了突破难点、突出重点，我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的（a+b）2，（a+b）3，设计展开（a+b）4，进而探究（a+b）10，引出课题，启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题.

四、教学过程设计

1. 数学史

屏幕展示科学家牛顿，陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现，引出课题.

2. 创设情境

设计问题串，创设情境，引出二项式定理的推导过程.

问题1：大家可能会问，二项式定理是用来研究什么的？

二项式定理就是用来研究（a+b）n（n∈N*）是如何展开的.

问题2：（a+b）2等于什么？

问题3：快速计算（a+b）3，并回答你是用什么方法得到的.

问题4：用同样的方法可以快速展开（a+b）10吗？

我们要展开（a+b）10就须要知道（a+b）9，要展开（a+b）9就须要知道（a+b）8 ……

这个过程是相当复杂的，那么我们就来研究怎样能够更快地展开（a+b）n.现在如果你是牛顿，你会怎么想（应该从这里面寻找一个规律）？

引出寻找一个新的方法，快速展开（a+b）n，保证后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法准确、快速地得到答案.

3. 教授新课

寻找规律。请大家思考一下：第一，我们从什么地方开始寻找规律？第二，这个展开式虽然很复杂，但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开，那么，这几个关键环节是什么？

我们要找一个规律，这个规律肯定是n∈N*，只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手，以此类推.第二，虽然展开的式子很复杂，但是只要我们抓住这几条：（1）展开后有多少项;（2）各单项式的形式;（3）各单项式的系数.

这节课我们将从这三个方面来重点研究问题.首先，让我们对（a+b）2的展开式的形成过程重新进行分析. 2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的.接下来，用新的思想重新考虑系数2是怎样形成的，引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做：从这两个因式中选择一个因式，让其中一个出现a，另一个出现b. 对于一个因式来说，它里面要么出现a，要么出现b，且只能出现一个. 因此，出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a .事实上，以谁为研究对象都可以，在这里，我们不妨以b为研究对象，所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象.

接着分析ab这一项，ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b，有C21种可能性，剩下的因式自然就出现a，则只有一种可能，因此我们始终以b为研究对象，就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2，可以看做从两个因式中选0个因式出现b。因此，对它来说应该是C20a2;最后一项，从两个因式中选出2个，让它们都出现b，就有了C22b2这一项.

如此，我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的（a+b）2，那么接下来再用同样的方法探索一下（a+b）3具体会出现哪些项（按b的升幂的顺序写出每一项），每一项的形成过程是什么（请学生回答）.强调在以b为研究对象的前提下，在每一项的形成过程中产生了相应项的系数，而系数是用组合数定义的，这是我们最关心的.根据刚才的规律，可以快速推出（a+b）4，利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44.

现在，以（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4作为最基本的研究对象，你能不能从中找到一些规律？还是从我们所说的三点总结，即项数、项数特点、项数系数的特点.学生讨论，并将讨论的结果与大家一起分享.

注意：在讨论的过程中，从项数特点上渗透通项，从每一项的形成过程得到每一项的系数，而且按照b的升幂的顺序列出每一项，既简洁又可体现数学里的对称美.

从三个方面来寻找规律，从简单到复杂，用归纳推理的思想猜测出二项式定理，进而对其证明.

表明二项式定理的特点：

（1） Tk+1=Cnkan-kbk k=0，1，2…n.

（2）每个式子都有n次，a降幂，b升幂.

（3）共有n+1项.

（4）Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二项式系数.

（5）用加号连接.

4.课堂巩固

例1：求（2-）6的展开式.

从本例总结出一个二项式展开式的某一项的二项式系数和系数是两个不同的概念.

例2：（1）求（1+2x）7的展开式4项的系数.

（2）求（x+）9的展开式x3的系数.

本例题中体现了二项式展开式的通项的作用，强调重点内容：Tk+1=Cnkan-kbk k=0，1，2…n.

（1）为二项展开式中的第k+1项.

（2）利用通项可以求出二项展开式中某些特殊的项：如常数项，含x的n次幂的项，某项的系数等.

学习了公式，要学会正用、逆用，还要学会变形用.

例3：化简（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1.

5.课堂小结

请大家思考：

（1）本节课新学习的基本知识点;

（2）本节课新知识点的得出用了什么思想方法？

让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结.

6.作业

（1）在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到什么公式？

（2）试写出（1+b）n的展开式.

五、设计思考

《二项式定理》教学设计与思考 篇4

1. 知识与技能

( 1) 能利用组合数的方法证明二项式定理;

(2) 理解并掌握二项式定理, 并能简单应用.

2. 过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程, 培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力, 体会从简单到复杂的思维方式, 并形成从特殊到一般的归纳.

3. 情感、态度与价值观

培养学生的自主探究意识、合作精神, 体验二项式定理的发现和创造历程, 感受数学史.

二、教学重点、难点

重点:探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程, 并由此得到二项式定理.

难点:1. 展开式中的项的特点;2. 展开式中各项系数的确定.

三、教学设想

为了突破难点、 突出重点, 我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的 ( a+b) 2, ( a+b) 3, 设计展开 ( a+b) 4, 进而探究 ( a+b) 10, 引出课题, 启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题.

四、教学过程设计

1. 数学史

屏幕展示科学家牛顿, 陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现, 引出课题.

2. 创设情境

设计问题串, 创设情境, 引出二项式定理的推导过程.

问题1:大家可能会问, 二项式定理是用来研究什么的?

二项式定理就是用来研究 ( a+b) n ( n∈N*) 是如何展开的.

问题2: ( a+b) 2等于什么?

问题3:快速计算 ( a+b) 3, 并回答你是用什么方法得到的.

问题4:用同样的方法可以快速展开 ( a+b) 10吗?

我们要展开 ( a+b) 10就须要知道 ( a+b) 9, 要展开 ( a+b) 9就须要知道 ( a+b) 8……

这个过程是相当复杂的, 那么我们就来研究怎样能够更快地展开 ( a+b) n.现在如果你是牛顿, 你会怎么想 ( 应该从这里面寻找一个规律) ?

引出寻找一个新的方法, 快速展开 ( a+b) n, 保证后面能选取最便捷的方法, 并且运用该方法准确、快速地得到答案.

3. 教授新课

寻找规律。 请大家思考一下:第一, 我们从什么地方开始寻找规律?第二, 这个展开式虽然很复杂, 但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开, 那么, 这几个关键环节是什么?

我们要找一个规律, 这个规律肯定是n∈N*, 只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手, 以此类推.第二, 虽然展开的式子很复杂, 但是只要我们抓住这几条: ( 1) 展开后有多少项; ( 2) 各单项式的形式; ( 3) 各单项式的系数.

这节课我们将从这三个方面来重点研究问题. 首先, 让我们对 ( a+b) 2的展开式的形成过程重新进行分析. 2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的. 接下来, 用新的思想重新考虑系数2 是怎样形成的, 引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做:从这两个因式中选择一个因式, 让其中一个出现a, 另一个出现b. 对于一个因式来说, 它里面要么出现a, 要么出现b, 且只能出现一个. 因此, 出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a .事实上, 以谁为研究对象都可以, 在这里, 我们不妨以b为研究对象, 所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象.

接着分析ab这一项, ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b, 有C21种可能性, 剩下的因式自然就出现a, 则只有一种可能, 因此我们始终以b为研究对象, 就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2, 可以看做从两个因式中选0 个因式出现b。 因此, 对它来说应该是C20a2;最后一项, 从两个因式中选出2 个, 让它们都出现b, 就有了C22b2这一项.

如此, 我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的 ( a+b) 2, 那么接下来再用同样的方法探索一下 ( a+b) 3具体会出现哪些项 ( 按b的升幂的顺序写出每一项) , 每一项的形成过程是什么 ( 请学生回答) .强调在以b为研究对象的前提下, 在每一项的形成过程中产生了相应项的系数, 而系数是用组合数定义的, 这是我们最关心的.根据刚才的规律, 可以快速推出 ( a+b) 4, 利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44.

现在, 以 ( a+b) 2, ( a+b) 3, ( a+b) 4作为最基本的研究对象, 你能不能从中找到一些规律? 还是从我们所说的三点总结, 即项数、项数特点、项数系数的特点.学生讨论, 并将讨论的结果与大家一起分享.

注意:在讨论的过程中, 从项数特点上渗透通项, 从每一项的形成过程得到每一项的系数, 而且按照b的升幂的顺序列出每一项, 既简洁又可体现数学里的对称美.

从三个方面来寻找规律, 从简单到复杂, 用归纳推理的思想猜测出二项式定理, 进而对其证明.

表明二项式定理的特点:

( 2) 每个式子都有n次, a降幂, b升幂.

(3) 共有n+1项.

( 4) Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二项式系数.

(5) 用加号连接.

4.课堂巩固

例1:求的展开式.

从本例总结出一个二项式展开式的某一项的二项式系数和系数是两个不同的概念.

例2: ( 1) 求 ( 1+2x) 7的展开式4 项的系数.

(2) 求的展开式x3的系数.x

本例题中体现了二项式展开式的通项的作用, 强调重点内容:Tk+1=Cnkan-kbkk=0, 1, 2…n.

( 1) 为二项展开式中的第k+1 项.

( 2) 利用通项可以求出二项展开式中某些特殊的项:如常数项, 含x的n次幂的项, 某项的系数等.

学习了公式, 要学会正用、逆用, 还要学会变形用.

例3:化简 (x-1) 4+4 (x-1) 3+6 (x-1) 2+4 (x-1) +1.

5.课堂小结

请大家思考:

( 1) 本节课新学习的基本知识点;

( 2) 本节课新知识点的得出用了什么思想方法?

让学生回顾知识形成过程, 梳理思路, 自我归纳总结.

6.作业

( 1) 在二项式定理中, 如果设a=1, b=x, 则得到什么公式?

( 2) 试写出 ( 1+b) n的展开式.

五、设计思考

二项式定理教学反思 篇5

上班已有六年时间，带了两轮的高中数学，在知识方面我严格要求自己，勤思多问，“教然后而知困”，不断发现陌生的自己，促使自己拜师求教，书海寻宝，不断的提高自己的专业素质。在教学技能方面也是严格按照学校的要求多听课、多请教、多反思;备好每一堂课，上好每一堂课;课后做好反思，注意课堂中的每一个细节;同时也大胆的尝试和实践一些新的教学手段、思路和方法，形成和完善自己独有的教学风格。

学习的过程是新旧知识互相碰撞的过程，旧知识不断被新知识所补充所完善。通过学习者不断的思维，才能把新的知识内化，来完善原有的知识结构。对于数学教学而言，教会学生思维才是根本，无论教师的讲解多么精彩，思维活动过程是任何人无法替代的。

在本节课的教学设计中，我很好的把握了重点和难点，通过简单例子反复强调二项展开式的特点和通项公式的特点及功能，学生的理解很轻松。对于例题的选择也是结合近几年的高考特点由浅入深，总体的设计还比较满意。但在上课的过程中忽视了一个很重要的因素――学生。我班是一个文科普班，数学基础不是很好，虽然是复习课，但仍有部分学生跟没学过一样，我在讲课过程中语速过快，一部分学生没能跟上。因此在今后的教学中，一定要多关注学生的原有知识水平和个性差异，灵活机动地随机处理课堂上的问题，把学生出现的错误当成是一种珍贵的教学资源，并加以合理利用。同时也要认真观察学生的微妙变化和反应情况，随机的调整教课的速度，让每个学生都能消化吸收。今后我要在讲课中多下功夫，多收集好的教学方法，教案;多积累典型的例题;认真研究考试大纲，把握教学的重点和难点，上好每一堂课。在其他细节方面，我将以最快的速度去改进、完善。

关于切线长定理应用的教学反思 篇6

它的应用形式：

∵PA、PB分别切圆O于A、B

∴PA=PB ∠BPO=∠APO

在初中数学教材上，这是一个综合性比较强的图形，它贯穿了很多的初中几何知识点 ，包括

① 等腰三角形的性质

∵PA=PB ∠BPO=∠APO

∴BE=AEOP⊥AB

这其实就是等腰三角形“三线合一”

②三对全等三角形 Rt△OBP≌Rt△OAP,

Rt△OBE≌Rt△OAE Rt△EBP≌Rt△EAP

利用切线长定理或三角形全等可以得：

∠BOP=∠AOP ∠EBP=∠EAP∠OBP=∠OAP

以及线段BE=BAOA=OB PA=PB

③实际上这六个直角三角形连起来相似

Rt△OBP∽Rt△OAP∽ Rt△OBE∽Rt△OAE∽Rt△EBP∽Rt△EAP

④有射影定理的基本图形，所以又出现了一些相等关系的等式OB²=OE•OP =OA EB²=OE•EP= EB²

⑤有OP⊥AB以及切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP这就引出了更重要的知识点:三个垂直关系

OA⊥AP,OB⊥BP，OP⊥AB

可以列出图形的面积关系。

即SAPBO=OA•AP=OB•BP=OP•AB

⑥在圆O中有OP⊥AB这就引出了圆中更重要的定理出现了垂径定理

∵在圆O中OP⊥AB

∴NB=NABM=MA

⑦事实上利用切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP可以得到四边形OAPB四点共圆

⑧如果在圆周上任意取一点Q（或Q′） 有可以把圆中的圆心角、圆周角定理联系起来，这样图中∠APB、∠OPA、∠OPB、∠Q、∠AOB、∠BOA、∠OBA、∠OAB、∠EBP、可以已知其一可求其他

⑨当然过AB任意点做切线后图中又出现两组切线长MB=MT,NT=NA，于是有△PMN的周长=PA+PB=2PA

二项式定理教学 篇7

沪教版高中数学教材把二项式定理安排在高三年级第16章第5节。它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块,也是初中学习的多项式乘法的一个自然推广。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系,利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识,又是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具,同时也是后面的数学期望等内容的基础知识。因此,二项式定理起着承上启下的作用,是本章教学的一个重点,可划分成3个课时,本节课是第一课时。

本节课的难点在于二项式定理的证明。传统教材是用数学归纳法给出证明。但因为很难被学生掌握,书写冗长,证明方法抽象,因而新教材干脆略去不证,只给出了直观解释,从数学的严密逻辑而言,不能不说是一件憾事。我执教的班级是区内优秀学生,数学的严密推理对学生形成理性思维有很重要的意义,因而,怎样证明二项式定理,既能让学生感觉是顺理成章,不让学生(特别是学习能力稍差一点的学生)因为思维受到打压而影响情绪,又能得到定理的严格证明,使学生受到理性思维的洗涤,是一件很有意义的事情。本设计在这方面进行了积极的探索。

[问题提出]

二项式定理是初中的完全平方式和完全立方式的自然推广。由于项数多,用初中多项式乘法的方法会感觉无能为力,且要将二项式系数写成组合数的形式,传统的方法显得有些牵强,跨越大,不便于学生理解。我们的设计是利用学生熟悉的现实情境,以两种不同的方法解决同一问题,立即可以得到二项式展开式的规律,使得二项式展开式的规律一目了然。

[教学设计]

我们知道:(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b,那么对一般的(a+b)n(n∈N*)的展开是否有规律可以遵循呢?

设计意图:沿着发展的逻辑,引起认知冲突,把问题作为教学的出发点,直接引出课题,激发学生的求知欲望,明确要解决的问题。

情景1:一所学校有三个班级,每个班级都有a个男生,6个女生,现在要在每个班级各取一名学生,有多少种取法。

解法1(乘法原理):第一个班级有a+b种取法,第二个班级有a+b种取法,第三个班级有a+b种取法,则所有取法有(a+b)3种取法。

解法2 (加法原理):每个班级都取男生,有a3种取法;在一个班级取女生,剩下的两个班级取男生,有种取法;在两个班级取女生,剩下的一个班级取男生,有种取法;三个班级都取女生,有种取法,于是:。

设计意图:二项式定理难在系数是组合数的解释,即怎样能将二项式系数用组合数表示是难以跨越的沟壑,常常解释起来显得非常牵强。而这样的一个简单的情景设计,使这个问题迎刃而解了。

情景2:某校设有n个班级,每个班都有a个男生,6个女生,现在要在每个班各取1名学生,有多少种取法?(注:n是比较大的数。)重复上面的方法可得:。

设计意图:这样得到的二项式定理的结构自然而然,水到渠成。

因为上面的a、b是正整数,是不是对任意的实数a、b,上述等式都成立?我们要加以严格的证明。为此,写成(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+6)…(a+b)(a+b),从上面的猜测可知,要求的an的系数为。

提问学生:为什么an的系数是?为什么an-1b的系数为?为什么an-2b2的系数是?为什么bn的系数为?

设计意图:引发学生积极思考,在师生的交流中,突破二项式定理证明的难点。

称为二项式定理，它是初中的平方和、立方和定理的推广。

注:在二项式定理中,令a=1 b=x,则可得一种重要的特殊情形:

联想这个等式的左端:与我们常见到的和:1+2x+3x2+…+nxn-1非常相似,能否用这样的和式常见的求和方法解决这样的问题呢?答案是肯定的。

相加得:

而当1+x≠0由等比数列可知Sn=(1+x)n;当l+x=0,这个式子也成立,即在这个式子中,令也可以得到二项式定理的证明。此外,二项式定理还有一些其他证法。

设计意图:此段设计是为增强学生学习兴趣而特意穿插的。加强重要方法的运用,强调知识之间的联系,既对旧知识的巩固有强化作用,又为公式的理解和掌握添砖加瓦。由于前面的设计没有思维障碍,故设计一种新的证法,增大思维容量。

我们把二项式定理的右边称为二项式展开式,观察展开式有哪些特征?(由学生完成。)

(1)右边共有n+1项。

(2)次数:a是降幂排列,6是升幂排列,字母a与b的指数和是n。

(3)其中的称为二项式系数。

(4)二项式展开式中的第k+1项即为叫做二项展开式的通项,用表示,即,(k=0,1,2,…,n)。

(5)特别的,令a=l,b=x,则

例1:(1)求(a-b)6的二项展开式;(2)求的二项展开式。

设计意图:使学生熟悉二项式定理的内容,培养计算能力。

例2:(1)求(1+a)12的二项展开式中的倒数第5项;(2)求(2x+1)7的二项展开式的第4项的二项式系数和系数。

设计意图:使学生熟悉通项公式的运用,分别求出一共有几项,倒数的第5项是正数的第几项。通项公式中的k+l与中的k是易错的地方,要澄清。另外,系数与二项式系数的区别要注意识别。

[自我反思]

数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此,在教学中,让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之,深固之”。本节课的教法贯穿启发式教学原则,以启发学生主动学习,积极探求为主,创设一个以学生为主体,师生互动,共同探索的教与学的情境。在本课中,我采用引导发现法,由学生熟悉的递推公式、熟悉的情景入手,进行分析,也利用组合的有关知识加以分析、归纳;通过对二项式规律的探索过程,培养学生由特殊到一般,经过观察分析、猜想和归纳(证明)来解决问题的数学思想方法。本节课设计不仅重视知识的结果,而且注重知识的发生、发现和解决的过程,贯彻了新课程标准的教学理念,培育了教学内容最佳的“知识生长点”,这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

本设计沿着提出问题、设计情景、解决问题、反思应用的脉络,搭建起适合的“脚手架”,有利于突破核心思想,有利于引导学生探究。本设计注重知识之间的联系,其中的第二种证法是为基础较好的学生而设计的,旨在培养学生的论证推理能力,拓宽视野,突出方法,提高境界。

本设计着重引出和推导二项式定理,而简单的应用次之,重在突出重点,突破难点。在设计中,我注重知识的内部联系,注重从特殊到一般的研究问题的思维方式,也着重在培养学生观察、分析、类比、归纳、猜想等推理能力方面作了一定的努力。我启发学生在学习数学中关注两个问题:一是数学内部问题,即如何从数学的内部建构相关知识,为解决问题提供足够的有效工具;二是数学与现实世界的联系。国学大师王国维在《人间词话》中说:“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外。入乎其内,故能写之。出乎其外,故能观之。入乎其内,故有生气,出乎其外,故有高致。”反思我们的数学教学,是否也应当入乎其内,又须出乎其外。我们在学科外看数学,可能也有一番景致。本设计的情景设计就是在数学知识之外寻找适合于数学教学的问题情景。这样的想法将有利于提高数学教师的专业素养和人文素养。数学教学的设计理想境界,我们力求做到:“潮平两岸阔,风正一帆悬。”为了这样的境界,我们在不断地努力着。

[专家点评]

1.教学定位合理到位

二项式定理的证明原理、证明过程的理解和应用是本节课的难点,也是教学的重点。对于学生而言,掌握一个原理的证明过程,明白定理证明过程中运用的原理,比知道这个定理是什么更重要,更具有潜在的教学价值。当然,从高中数学学科基本教学要求角度去分析,明白二项式定理中最主要的精华是什么,是用来算什么的,也是本节课的一个重要教学目标。

2.呈现学科教育价值所在

王志和老师的课以二项式定理的形成过程为主线,让学生思维由特殊到一般,通过演绎、归纳,得出定理,培养了学生猜想、归纳的能力,整节课以学生为主体,师生互动,体现了以学生发展为本的教学理念。

本节课采用引导发现法,由学生熟悉的多项式乘法入手,进行分析,利用组合的有关知识加以分析、归纳,不仅重视知识的结果,而且注重知识的发生、发现和解决的过程。这样做一方面让学生进一步领悟和明白了为什么以前要先学习乘法原理的道理,另一方面也形成了本节课内容最佳的“知识生长点”,这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

3.适当进行德育渗透会使本设计更出彩

优化教学策略, 搞好定理教学设计 篇8

从教育与发展心理学的特点出发, 原理与公式教学的基石是探究发现:通过一类具有本质共性问题的个体解决, 抽象概括, 得到此类问题一般性条件与解决的基本范式, 进而得到基本公式与定理。重视学生数学原理的认知生成、探究过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。

一般而言, 原理与公式教学应经过以下几个基本环节:

(1) 中心问题提出; (2) 通过典型同类问题, 引导学生探究个体解决方法; (3) 把握共性问题本质与解决问题的共性特征, 归纳出解决普遍性问题的一般性经验方法; (4) 给出课本定理与公式; (5) 对定理、公式精加工, 包括条件把握定理中关键词、逻辑意义及记忆编码策略进行深入而细化分析; (6) 给出例题或习题, 帮助学生形成运用公式、定理解题的规范性步骤与技能; (7) 公式、原理的精练:引导学生建立良好的认知结构, 深刻把握公式定理背后的思想方法与一般性策略。

数学公式、定理教学要注意以下问题:

1.在公式、定理教学中, 要把探究公式、定理学习的套路作为核心目标之一。

2.把握公式、定理的应用情境, 其中的逻辑关系、关键词应逐步引导学生自主把握, 注重学生认知策略的优化, 提高学生对公式、定理精加工水平是有效教学的基本任务。

3.例题、习题选择必须典型, 必须引导学生运用概念与法则来解题, 且忌机械模仿, 因为技能的本质就是按规则办事。在解题教学中要引导学生把握定理运用的细节, 例解题过程规范化、模式化与技能化, 体会数学思想在其中作用。

4.引导学生回顾与反思, 学习三维目标是否达到?是否掌握了定理学习的一般范式?学生对知识精加工水平是否提高?认知策略是否优化?

下面以“分步乘法计数原理”为例进行教学设计

先行组织者:同学们, 你们会科学的计数吗?我们已学的计数方法有哪些?

通过以上问题, 使学生的注意处于警觉与指向状态, 告知学生计数必须把握所数对象, 运用科学方法与相关知识来完成计数, 引导学生充分回忆相关知识与技能, 使之进入工作状态。

引出具体问题:

问题1: (1) 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置, 问共有多少种不同的挂法?

(2) 从A村去B村的道路有3条, 从B村去C村的道路有2条, 从A村经B去C的路线有_条。

(3) 从5名同学中选出正、副组长各1名, 有多少种不同的选法?

设计意图:通过几个小题, 逐步获取分步乘法计数经验

活动预设:对于 (1) (2) 引导学生运用树图列举法, 字典查序法不重不漏的计数, 通过对之计数过程剖析, 得到朴素的分步乘法计数经验, 并运用经验完成对 (3) 的计数。

分步加法计数原理获得:

问题2:通过上述3题, 你获得了什么计数经验?

设计意图:提高学生自主抽象、概括信息的能力。

活动预设:通过学生思考、讨论, 引导学生把握计数对象, 树立初步的分步思想, 在学生有了一定程度领悟后给出课本定理。

原理把握与精加工:

问题3:计数原理的本质是什么?计数原理中的关键词是什么?如何理解原理中的第一个“有”字?

设计意图:抓住本质——对计数经验的模式化概括, 对原理中关键词、逻辑意义进行精加工, 初步树立以计数为目标, 把握计数对象, 对事件完成合理分步的意识。

活动预设:指导学生分析关键词——“完成一件事, 需要……”是一种把握事件完成, 对之合理分步的策略。原理中的“需要”是在把握计数对象的前提下, 为计数而采取的分步策略基础上产生的, 原理中的第一个“有”是有且只有。

问题4:如果完成一件事需要三个步骤, 做第1步有种___不同的方法, 做第2步有种不同的方法, 做第3步___有种不同的方法, 那么完成这件事共有多少种不同的方法?

设计意图:对原理进行推广。

反思小结:

问题5:今天你学到了什么?请从原理探究, 原理剖析, 技能形成、思想方法及学习方法优化几方面小结。

设计意图:内省力是第一智力, 认知结构需内省, 认知策略、学习方法也需内省与优化, 把握分步的思想方法。

问题6:五名学生报名参加四项体育比赛, 每人限报一项, 报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比赛的冠军, 获得冠军的可能性有多少种?

中心极限定理的教学体会 篇9

关键词：中心极限定理,正态分布,教学体会

中心极限定理在概率论与数理统计这门课程中具有极其重要的作用,它是连接概率与统计的桥梁,但此定理理论性极强,学生理解起来很费力.为了使学生能够全面了解中心极限定理、掌握其使用的方法与技巧,现将教学中的体会阐述如下

1.中心极限定理

定理1[1](独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1X2,… ,Xn,…相互独立 ,服从同一分布 ,且具有数学期望与方差:E(Xk)=μ,D(xk)=σ2>0(k=1,2,…),则对于任何实数X,有摇摇.

若定义,则有,即当n充分大时,Yn近似服从N(0,1),从而近似服从.

定理2[1](棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量η(n=1,2,… )服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布 ,则对于任意实数x,有

对于定理2,相当于定理1中取E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p)>0(k=1,2,… ),可见定理2是定理1的特殊情况 , 当n充分大时 ,近似服从N(0,1).定理2在应用时需要注意,p固定时,当n→+∞时,np→+∞,即当np充分大时,可以用正态分布近似代替二项分布.另外,需要指出的是,若较小,则可以令λ=np,用泊松分布近似计算较准确.

2.定理的应用

定理1和定理2在使用时,均要求随机变量独立同分布,随机变量的数学期望和方差是已知的,并且定理2在使用时是针对二项分布的.虽然定理2的使用条件为np→+∞,但在实际应用时,只要np充分大,即可用正态分布进行近似计算.下面举两个例子说明定理1和定理2的使用方法.

例1:某产品成箱包装,每箱的重量是随机的.若每箱平均重50kg,标准差为5kg,现在用最大载重量为5吨的汽车装,试分析一辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977.

解:设Xi(i=1,2,…,n)是第i箱的重量,则X1,X2,…Xn可以看成是独立同分布的随机变量,n箱的总重量为i,易知,E(Xi)=50,,,.由定理1知,Tn近似服从N(50n,25n),从而有,所以,得到n<98.0199,即最多装98箱.

例2:某药厂断言,该厂生产的一种药对治疗某种疑难病的治愈率为0.8,医生任意抽查100个服用此药的病人,如果有75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言.若实际此药品对这种病的治愈率为0.8,则接受这一断言的概率是多少?

解: 由题意知,100人中治愈人数X服从二项分布B(100,0.8),由定理2知 ,X近似服从N(100×0.8,100×0.8×0.2)=N(80,42),所以接受断言的概率

3.结 语

“叠加定理”的教学设计 篇10

1.1 教材的作用与地位

“电工基础”是高职自动化类专业必修的一门专业基础课, 这门课学习的好坏, 直接影响后续专业课的学习。而其中的叠加定理是求解复杂电路应用的一个重要定理和有效方法, 因此其是本课程的重点内容, 也是难点内容。

1.2 教学目标

知识目标:掌握叠加定理的内容和应用叠加定理的解题方法。能力目标:培养学生学会观察实验现象, 分析、总结、归纳实验结果;培养学生应用叠加定理进行电路分析、计算的能力。情感目标:培养学生勇于探索、团结协作的精神;培养严谨的治学态度和创新精神。

1.3 教学重点和难点

教学重点:叠加定理的内容和应用叠加定理的解题步骤。突出方法:通过自主探究, 加深对叠加定理内容的记忆和理解。通过课上练习和课后作业巩固解题步骤。

教学难点为:叠加定理引出时的探究过程;叠加定理的应用。突破方法:在实验的过程中, 教师多启发、多引导, 发现问题及时纠正。通过例题和练习, 提高定理的应用能力。

2 学情分析

教学对象是高职大专一年级的学生, 其知识基础较差, 对理论知识的学习积极性不高, 对实验感兴趣;善于交流, 有合作的意愿。具备了一定的探究学习能力, 知识基础不扎实, 对抽象的理论知识接受能力较差, 理解能力不够好, 能用Protues软件进行电路的仿真实验。其掌握了支路电流法、回路电流法、节点电压法和基尔霍夫定律等。

3 教学策略设计

3.1 教法分析

打破传统教学模式, 倡导教师为主导、学生为主体的自主探究式教学, 理实一体。基于此思想, 本课采用了任务驱动法、实验法、启发引导法。

任务驱动法:在教学中设计了3个学习任务, 随着一个个任务的完成, 学生会获得成就感, 学习兴趣、自信油然而生。

实验教学法:以学生感兴趣的实验探究的方式进行学习, 激发学生的学习积极性, 培养学生的实验能力及对实验现象的分析综合能力。

启发引导法:本课中的学习都是在教师的启发引导下进行, 通过教师的提问、学生的思考与回答, 充分发挥学生的主体作用, 让学生愉快、主动地接受知识和技能。

3.2 学法分析

学生的学习采用了自主探究法、分组讨论法。

自主探究法:在教师的引导下, 通过观察实验、总结归纳实验数据, 自主探究叠加定理的内容, 使学生对所学知识有较深的记忆, 同时也培养了学生科学探索的精神。

分组讨论法:教师提出问题, 学生发表各自见解, 小组成员间互相讨论, 相互启发, 最后达到正确认知;同时在小组合作中, 互相竞争, 激发了学生的进取心。

4 教学过程

4.1 创设情境, 导入新课

通过提问“复杂电路的系统分析方法有哪些?它们的适用范围如何?”, 通过对这一问题的思考回答来达到复习旧知识的目的, 同时又使学生对这3种分析方法有一个更深入的理解和把握, 提高对知识的应用能力。接下来提出问题:如图1所示的电路中, 什么方法求解I3最简单呢?

比较3种以上分析方法, 节点电压法最简单, 但也需要列方程, 而且在列方程的时候还要计算相关节点各支路的自电导和互电导, 仍然是比较繁琐的, 那么有没有一种方法, 把求解复杂电路的问题, 转换成求解简单电路的问题呢?提出新问题引发学生思考, 自然把学生的思想吸引到课堂上来, 又自然地引出本课的新内容。

4.2 实验探究, 验证猜想

仿真实验:用PROTEUS软件仿真测量以上电路a、电路b、电路c中各电阻R2、R3上的电流和电压, 并将数据填入下面的表格。 (其中。)

实验结论:一个复杂电路可以分解成几个简单电路, 复杂电路中某一支路上中的电流或电压等于简单电路中对应的电流或电压的叠加。

通过上述实验, 在教师的启发、点拨、引导下, 学生一步一步地分析实验的结果、总结实验结论, 最后得出正确的认知。

得出实验结论后, 引导学生迁移猜想:如何得到分解后的简单电路呢?如果能通过复杂电路的变换得到简单电路, 问题就迎刃而解, 所以问题的关键变成:如何对复杂电路进行变换。

引导学生对复杂电路进行变换:当US1单独作用时, 电路a=电路b, 当US2单独作用时, 电路a=电路c。

结论:一个复杂电路分解后的简单电路就是各个电源单独作用时对应的电路。

通过总结实验的结果, 前面的猜想得到验证;通过综合分析实验的结论, 引出叠加定理。

4.3 理论论证, 知识升华

这是本课程的第二个任务, 用支路电流法求电路啊中R2上的电流及电压。

由这两个表达式中可以看出:I2、U2、包含两项, 分别是两个分解电路中的对应的R2上的电流和电压。

通过理论推导, 验证前面的实验结论, 培养学生严谨的科学态度。

接下来播放有关叠加定理的动画, 加深学生对定理的理解。

4.4 实战演练, 学以致用

这是本课程的第3个任务。

4.4.1 例题讲解

通过解决具体问题来加强定理的理解和应用, 在教师的启发、点拨下, 通过小组探讨, 概括出求解步骤和注意事项, 使学生加深对叠加定理的理解, 提高叠加定理的应用能力。

4.4.2 拓展训练

练习分析含有独立电压源电路和含有独立电压源、独立电流源的电路, 使学生巩固所学知识并且能举一反三, 提高知识的应用能力。

4.5 小结与延伸

提纲挈领对本课内容进行小结, 帮助学生理清知识结构, 突出重点, 使学生课下复习变得简单。

4.6 布置作业

把学生按知识基础分成3组, 给每组布置难度不同的作业, 不同层次的学生能力都得到提高。

5 教学反思

(1) 本节课以实验探究的方式进行学习, 使本来抽象的知识变得直观、形象, 对难点的突破起到了很好的帮助作用。 (2) 教学过程中的例题讲解和拓展练习, 进一步强化了教学的重点, 突破了难点。

摘要：文章以“电工基础”中的“叠加定理”作为研究对象, 分析该部分课程的内容, 根据学生的特点, 从教学目标、教学方法到教学过程进行了设计。采用理实一体教学法, 激发了学生的学习兴趣, 调动了学生的学习积极性。

关键词：叠加定理,教学设计,理实一体

参考文献

[1]陈菊红.电工基础[M].北京:机械工业出版社, 2008.

[2]任建强.仿真软件在课程教学中的应用[J].廊坊师范学院学报, 2011 (1) :99-101.