线性系统稳定性的判断

2024-05-01

线性系统稳定性的判断（精选十篇）

线性系统稳定性的判断篇1

关键词：非线性电路,脉冲控制系统,稳定性

1 鲁里叶系统

鲁里叶系统最早是由苏联数学控制学家在研究飞机的自动驾驶仪控制问题时提出的。因这一系统含有非线性函数反馈系统, 所以被广泛应用于各大工程系统之中, 但是不管是线性系统还是非线性系统都存在时滞情况。电子信号在电子线路上传输时存在时滞, 生物系统中也存在时滞。时滞在单位时间内分为时变时滞和固定时滞两种, 当时滞出现时可能会造成系统振荡, 我们称这种反应为时滞效应。

1.1 鲁里叶系统的脉冲建模及其控制

我们引入脉冲控制律在鲁里叶系统之中, 得到的鲁里叶系统脉冲模型就是非线性脉冲反馈控制系统, 而根据脉冲的控制思想, 利用李雅普诺夫函数研究了系统的渐进稳定性和全局稳定性。其实鲁里叶系统实质就是非线性的脉冲反馈控制系统, 由此来看, 鲁里叶系统的脉冲模型实际上就是作用在非线性系统上的, 目的是使非线性系统在李雅普诺夫函数上达到稳定。

1.2 时变时滞非线性系统的脉冲建模及其控制

对于非线性的时变时滞脉冲控制系统, 我们要先利用渐进稳定性、全局指数稳定性定理, 再运用李雅普诺夫函数证明时变时滞脉冲控制系统, 进而分析出脉冲控制器的设计程序原理, 最后我们在运用所得数值对时变时滞非线性控制系统的脉冲控制方法进行验证, 其实非线性时变时滞控制系统的渐进稳定脉冲设计方法是可以根据定理设计脉冲控制器程序的。而在时变时滞非线性系统脉冲控制器的设计中, 我们对于时变时滞的处理必须要提前, 这也是非常重要的环节, 如果不进行提前处理的话, 可能会影响到其他控制器的设计程序, 所以我们还是要根据所需的环境、情况等因素来决定选取何种脉冲控制器。

2 模糊混沌系统与脉冲时滞模糊系统的稳定性

模糊系统理论的创建最早是在1965年提出的, 后来在1968年提出其算法的概念。1973年建立了模糊控制的理论基础, 模糊控制是基于模糊集合与模糊逻辑的理论, 模糊控制对于较为复杂的非线性系统的稳定性分析以及控制设计是比较有效的。而在模糊控制系统的分析中, 我们为了简化非线性系统的结构而建立了模糊模型。主要有T-S模糊模型、神经模糊模型。目前T-S模糊模型的运用主要集中于各大工程体系当中, 这一模型最大的特点就是每一条模糊规则都会对应着一个线性系统, 而这些线性系统最终会构成一个整体的模糊模型, T-S模糊模型自提出以来以其稳定性能和优良的模糊特点, 在非线性电路与系统中取得了较大的进展, 并且在发展的同时不断更新, 目前已经建立了自身完整的系统, 其实我们所熟知的很多系统都是用T-S模糊模型进行表示的。可以说T-S模糊模型在非线性系统的稳定分析中是很受欢迎的工具之一。

T-S模糊模型的脉冲时滞系统指数稳定性。

我们通过构造T-S模糊模型来研究非线性系统, 引入脉冲控制律得到T-S模糊模型的脉冲时滞微分方程。再利用李雅普诺夫函数推出固定时刻脉冲控制的模糊时滞系统的指数稳定准则。

3 不确定性时滞系统的脉冲建模及其控制研究

由于各种不确定因素的出现, 使我们在实际的操作中就会遇到很多不确定参数。目前我国不确定描述的模型有很多, 较为常用的有模有界不确定、不确定满足匹配条件两种, 时滞情况在各大工程以及电路系统中经常出现。而近些年, 由于我国的脉冲控制系统具备了控制装置成本低、能源消耗小等优点, 因此也吸引了国外专家的关注。

4 总结

本文针对非线性电路与系统的脉冲建模及其稳定性进行了分析探讨, 而对于非线性系统的脉冲建模控制方面, 我们利用李雅普诺夫函数法、比较法和线性矩阵等工具对鲁里叶系统和时变时滞非线性系统以及其全局稳定的脉冲控制进行了研究。而在鲁里叶系统实际的操作过程中, 我们综合考虑了模型状态和脉冲的混合控制, 在相对理论上研究了混合控制使原系统渐进稳定和全局指数稳定。在模糊混沌系统与脉冲时滞模糊系统的稳定性研究中, 我们着重研究了混沌系统的基于T-S模糊模型的脉冲时滞系统的全局指数稳定性, 对于模糊T-S模型的控制器问题, 我们就是将一个整体的模糊空间进行分割, 分成均匀的多个小型的线性空间, 使整个系统的控制器成为局部控制器的总控制器。此外我们针对非线性小时滞系统通过脉冲控制和模糊控制使全局指数稳定, 模糊T-S模型与脉冲模型的融合, 得到了混合脉冲切换控制系统。最后运用李雅普诺夫函数法进行分析从而得到其稳定准则, 我们将这一脉冲控制方法用到不确定性时滞线性系统中, 也是为了更为清楚地得出鲁棒渐进稳定准则, 另外这一方法也可以运用到不确定性时变时滞非线性系统中。

我国的脉冲控制领域尚处于起步阶段, 但其发展还是非常快的。随着我国脉冲控制领域的不断发展, 脉冲建模及其稳定性的研究也会出现新的技术方法, 目前存在的问题也会逐一解开, 进而推动这一领域的发展。

参考文献

[l]欧阳莹之.复杂系统理论基础[M].上海:上海科技教育出版社, 2002.

[2]陈森发.复杂系统建模理论与方法[M].南京:东南大学出版社, 2005.

[3]魏诺.非线性科学基础与应用[M].北京:科学出版社, 2004..

[4]曹建福, 韩崇昭, 方洋旺.非线性系统理论及应用[M].西安:西安交通大学出版社, 2006.

线性系统稳定性的判断篇2

随机线性系统依概率稳定的若干等价条件

在系统分析与设计时,需要对系统的动态行为有所了解.为此,讨论了It微分方程描述的线性随机系统依概率稳定性问题.借助Cauchy矩阵,利用测度的单调性与连续性,得到了该类系统在概率意义下的稳定性,包括稳定、一致稳定、渐近稳定和全局稳定的`若干充要条件,这些条件只与Cauchy矩阵的有界性和吸引性有关.

作者：廖伍代沈轶廖晓昕作者单位：华中科技大学控制科学与工程系刊名：华中科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURE SCIENCE)年，卷(期)：30(7)分类号：O231.13关键词：It 随机微分方程依概率稳定测度连续与单调

四阶非线性系统的零解稳定性篇3

【关键词】四阶非线性系统稳定性李雅普诺夫函数

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）11-0252-02

Stability of A Class of Fourth-order Nonlinear System

Yu xia

（Nantong university，Nantong， Jiangsu，226007.，China）

This paper studies the asymptotic stability of the nonlinear fourth order differential equation. By applying the Similitude-comparison method， a theorem of stability in the large of equilibrium position of equation is obtained， and stability of the nonlinear fourth order differential equation is solved.

【Key words】 Nonlinear fourth order differential equation;Tability;Liapunovs function

一、引言

微分方程的稳定性在物理、航天等许多科学领域都得到了非常广泛的应用，因而对于微分方程的稳定性的研究具有很大的实际意义。本文研究如下的四阶非线性系统：

（1）

其中是依赖于变量的连续可微函数，且为大于零的常数.

文献[1]给出了四阶常系数线性系统李雅普诺夫函数公式，文献[2]应用相应的公式研究了一类四阶非线性系统的平凡解的稳定性，本文将通过类比法来解决一类更广泛的四阶非线性系统的零解渐近稳定性问题.

作变换将系统（1）化成等价系统：

（2）

系统（2）所对应的线性系统为：

（3）

其中均为大于0的常数，且.下面运用类比法得到系统（2）的李雅普诺夫函数，并建立其零解稳定的判别准则.

1. 零解的稳定性

取系统（3）的李雅普诺夫函数为[2]：

应用类比法可得系统（2）的李雅普诺夫函数：

下面我们可以叙述并证明如下结果：

定理1：对于系统（2），如果存在常数

及连续可微函数，满足以下条件：

则系统（2）当时零解渐近稳定.

证明：由条件（1）可知当且仅当，从而得出正定.

由条件（1）、（2）、（3）得在.，且集合中不包含除原点外其它轨线，所以系统（2）的零解渐近稳定.

参考文献：

[1]王联，王慕秋.非线性常微分方程定性分析[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987 .

[2]梁在中.关于一类四阶非线性系统李雅普诺夫函数构造的研究[M].应用数学与力学1995.

[3]康慧燕.，斯力更.一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性[J].大学数学2009，25（1）：40-42

[4]李涛，谢景力，孙长军.一类四阶非线性系统的全局稳定性[J].成都大学学报（自然科学版）， 2010，29（2）：115-117

线性系统稳定性的判断篇4

Lyapunov意义下的稳定性指的是系统平衡点附近的解的性态. 现实中经常存在这样的情形, 有些系统在Lyapunov意义下是稳定的, 但保证其稳定的区域很小, 在实际中无法应用; 还有一些系统在Lyapunov意义下不稳定, 但解的偏差却在可接受的范围之内, 基于这一事实, 实用稳定性的概念被提了出来. 实用稳定性就是研究那些系统, 其平衡点在数学上可能是不稳定的, 但是在实用上是可以接受的, 因此, 研究系统的实用稳定性具有一定的现实意义.

对于不同的微分系统, 已有学者给出了实用稳定的充分条件, 文献[1]研究了初始时刻不同的非线性微分方程的实用稳定性, 文献[2][4]讨论了脉冲系统的实用稳定性, 利用比较原理给出其实用稳定的充分条件, 其中文献[4]利用两个类李雅普诺夫函数研究了非线性脉冲系统的严格实用稳定性; 对于带扰动的脉冲系统, 文献[3]给出了该类系统一致实用指数稳定的充分条件; 文献[5]利用Lyapunov第二方法, 在无穷时间区间上分析了切换系统的实用稳定性及时变子系统稳定化的设计问题.

研究系统的实用稳定性, 尤其是在脉冲系统中往往采用比较原理. 本文利用类Lyapunov函数法及比较原理, 对于不同的初始时刻, 研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性, 给出了该类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

2. 预备知识

考虑非线性奇异系统

C1[R+, R+]表示定义域为R+, 值域为R+的连续可微函数全体.

定义1. 1系统 ( 1) 的解被称为:

( 1) 实用稳定的, 如果对于给定的估计 ( λ, A) : 0 < λ 0, 可由不等式‖Ex0Ey0‖ < λ, |μ| < δ, 得出估计‖Ex ( t + μ, τ0, y0) - Ex ( t, t0, x0) ‖ < A对所有t≥t0成立;

( 2) 一致实用稳定的, 如果对于所有的t0∈R+, 满足定义 ( 1) 的条件;

( 3) 吸引的, 如果对给定的σ > 0, ε > 0, 与某个t0∈R+, T = T ( t0, ε) , δ = δ ( σ, ε) , 使由不等式‖Ex0- Ey0‖ < σ, |μ| < δ, 得出估计‖Ex ( t + μ, τ0, y0) - Ex ( t, t0, x0) ‖ < ε对所有的t≥t0+ T成立;

( 4) 一致吸引的, 如果对于所有的t0∈R+, 满足定义 ( 3) 的条件;

( 5) 实用渐近稳定的, 如果当λ = σ时同时满足定义 ( 1) 与 ( 3) 的条件.

引理1. 1[1]假设V∈C R+×Rn[, R ]+, V ( t, m) 关于m满足局部李普希茨条件, 且

3. 主要结果

定理3. 1假设:

( Ⅰ) 给定 ( λ, A) : 0 < λ < γ;

( Ⅱ) D+ ( 1) V1 ( t, Ex, μ) ≤F1 ( t, V1 ( t, Ex) , | u | ) , F1∈C[R3+, R], 其中V1 ( t, Ex) ∈C[R+×S ( γ) , R+]关于m = Ex满足局部李普希茨条件且V1 ( t, Ex) ≤α1 ( t, ‖Ex‖) , α1∈Ck;

( Ⅲ) β (‖Ex‖) ≤V2 ( t, Ex) ≤α2 (‖Ex‖) , α2, β∈K, 其中V2 ( t, Ex) ∈C[R+×Sc ( λ) ∩S ( γ) , R+]且关于m = Ex满足局部李普希茨条件, D+ ( 1) V1 ( t, Ex, μ) + D+ ( 1) V2 ( t, Ex, μ) ≤F2 ( t, V1 ( t, Ex) + V2 ( t, Ex) , |μ| ) , 其中F2∈C[R3+, R];

( Ⅳ) 0≤φ01< α1 ( t0, λ) 且当t≥t0时, φ1 ( t, t0, φ01) <α1 ( t0, λ) , 其中φ1 ( t, t0, φ01) 是比较系统

4. 结语

对非线性奇异系统 ( 1) 实用稳定性的研究, 往往是基于初始时刻不变的情况下, 本文我们利用类李雅普诺夫函数法和比较原理, 研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性, 给出了该类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

摘要：本文利用类李雅普诺夫函数方法和比较原理, 研究了初始状态变化的非线性奇异系统的实用稳定性、一致实用稳定性及实用渐近稳定性.通过借助类李雅普诺夫函数, 同时给出相应的比较系统, 得到了这一类系统实用稳定、一致实用稳定及实用渐近稳定的充分条件.

关键词：实用稳定性,奇异系统,不同初始状态

参考文献

[1]Xinyu Song, Senlin Li, An Li.Practical stability of nonlinear differential equation with initial time difference.Mathematics and Computation 203 (2008) 157-162.

[2]Yu Zhang, Jitao Sun.Eventual practical stability of impulsive differential equations with time delay in terms of two measurements.Journal of Computational and Applied Mathematics 176 (2005) 223-229.

[3]OHSEN DLALA and MOHAMED ALI HAMMAMI.Uniform exponential practical stability of impulsive perturbed systems[J].Dynamical and Control Systems, Vol.13, No.3, July 2007, 373-386.

[4]Senlin Li, Xinyu Song, An Li.Strict practical stability of nonlinear impulsive systems by employing two Lyapunov-like functions[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications 9 (2008) 2262-2269.

线性系统稳定性的判断篇5

一类离散的非线性切换系统的鲁棒镇定性问题

是基于切换Lyapunov函数方法,讨论了一类具有非线性扰动的线性切换系统的.状态反馈镇定性问题,并深入讨论了时滞切换系统的鲁棒镇定问题,给出了反馈控制律的设计,所得到的结果均以矩阵不等式表示便于实现.

作者：毛北行卜春霞 Mao Beixing Bu Chunxia 作者单位：毛北行,Mao Beixing(郑州航空工业管理学院数理系,郑州,450015)

卜春霞,Bu Chunxia(郑州大学数学系,郑州,450001)

刊名：河南科学 ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCE 年，卷(期)： 27(10) 分类号：O23.1 关键词：切换系统鲁棒镇定非线性扰动

非线性水轮机调节系统稳定性分析篇6

水轮机调节系统是集水力、机械、电气为一体的综合型控制系统,调节对象为复杂的非线性非最小相位系统[1]。水轮机调节系统的安全稳定地运行对水力发电机组的安全经济运行有着直接地影响,水轮机调节系统的调节品质对电网系统的安全运行和供电品质也有重要影响。因此,深入研究水轮机调节系统显得尤为重要,非线性水轮机调节系统的动力学过程也已成为水利水电工程的研究热点之一。

由于线性控制理论无法适应系统运行点的大范围变化,近几年来非线性控制理论被引入到水轮机调节系统的研究中。Luz Alexandra曾指出基于非线性水轮机模型的调节系统是研究水力系统与电力系统相互作用的最精确的模型[2]。在非线性水轮机调节系统的研究成果中,基于微分几何的反馈线性化方法及基于反馈线性化的非线性鲁棒控制方法居于主流地位,取得较好结果。此外,水轮机调节系统的混沌现象分析[3]、Hopf分岔分析[4,5]、模糊控制及神经网络等控制理论的研究为水轮机调节系统的控制器设计提供了新的方法。本文在对非线性水轮机调节系统分析的基础上,运用非线性动力系统线性化的方法对系统进行分析,为非线性调节系统的参数整定及稳定运行提供理论依据。

1 非线性水轮机调节系统建模

本文采用1992年IEEE提出的单机单管无调压室的非线性水轮机模型,如图1所示[6]。图中G为导叶开度相对值;qnl为空载相对流量;q't为水轮机过流流量相对值;h't为水轮机进口处水头相对值;f为水头损失系数;D为转速偏差阻尼系数;At为水轮机出力增益系数。

假设水为不可压缩流体,引水管道为刚体,则有压引水系统发生水击时为刚性水击,有压引水系统的动力学方程为:

采用相对值形式表示为:

式中:称为水流惯性时间常数。

设各变量的相对值与偏差相对值之间有如下关系:

式中:nr、Qr、ar分别表示水轮机额定工况下的转速、流量、导叶开度。

本文采用一阶发电机模型,其方程为:

式中:Ta为水轮机惯性时间常数;Pm、mg分别为水轮机出力和发电机阻力矩。

本文的调速器模型采用目前实际应用中较为广泛的PID型调速器,如图2所示。

调速器的时域方程为:

式中:u为调速器的输出;ω'为转速相对值。

液压随动系统的动态特性方程:

结合式(1)~式(8)和非线性水轮机模型图,可得到非线性水轮机调节系统模型为:

2 非线性调节系统的稳定性分析

不动点的线性化稳定性:考虑含有n个变量且具有双曲不动点x*的微分方程x*=F(x),设都是连续的,则非线性系统的不动点与其线性化系统在这一点具有相同的稳定性类型。特别地,若DF(x*)所有特征值的实部都为负数,则非线性系统的不动点是渐进稳定的。在这种情况下,不动点的吸引域Ws(x*)是一个包含不动点的开集[7]。

水轮机调节系统的各参数取自文献[6],Qr=71.43 m3/s,QNL=4.3 m3/s,Hr=138.9 m,A=15.2 m2,L=465 m,Ta=5.4,Ty=0.2,f=0.01,D=0.5,本文仅分析当ki、kd固定时,系统稳定时kp的取值范围,此处取ki=0.2、kd=0.2。

可以看出,系统模型是一个C∞系统,则当不动点特征根都具有负实部时,系统不动点是一个双曲不动点。此时线性化系统不动点与非线性系统不动点具有相同的稳定类型。式(9)的偏导数矩阵为:

矩阵J的特征多项式为:

下面将根据Hurwitz判据对特征方程(10)式进行稳定性判断,式(10)的Hurwitz矩阵为:

根据Hurwitz判据,只要保证矩阵H行列式的各阶主子式均大于零,则线性化系统的特征根都具有负实部。各阶主子式如下:

综合(10)式,可得:

即-0.01<kp<3.1时,线性化系统的不动点的特征根都具有负实部,此时的不动点为双曲不动点,且是稳定的,则对应的非线性系统不动点具有相同的稳定类型。

3 非线性系统仿真

从线性控制理论可知,控制器参数从稳定域中心向边界运动时,系统由强稳定状态向弱稳定状态转变,在边界处,系统处于临界稳定状态。这同样可以从Lyapunov稳定理论得到证明。图3为最大Lyapunov指数随kp的变化曲线。Lyapunov稳定理论指出:仅当系统最大Lyapunov指数为零,其他均为负时,系统处于临界稳定状态。图3中-0.014<kp<3.155时,最大Lyapunov指数小于零,系统稳定域为-0.014<kp<3.155,当kp=-0.014和kp=3.155时系统为周期运动。为进一步了解控制器参数对系统动力学特性的影响,经比较选取kp为-0.014、1.25、和3.155在系统流量扰动为10%时对系统进行仿真。

当kp=-0.014时,系统转速变化、压力管道的流量变化和系统的三维相图如图4所示。从图4可以看出,流量和转速呈等幅周期变化,由于控制器比例环节的作用很小,系统流量的振荡幅值比扰动幅值要小,不足5%。从相空间可以看出,相轨迹将在一段时间后进入一个极限环。

当kp=3.155时,系统转速变化、压力管道的流量变化和系统的三维相图如图5所示。从图5可以看出,流量和转速呈等幅周期变化,由于控制器比例环节的作用较强,系统的振荡幅值比扰动幅值要大,达到15%。对比图4可以看出,随着比例作用的增强,各变量的振荡频率显著增加。这是由于较大的比例系数导致控制器对误差的响应较敏感。从相空间可以看出,相轨迹将在一段时间后进入一个极限环,且该极限环比图4的极限环要大。

图6是kp=1.25时,非线性系统的时域图和相图。从相图可以看出,此时系统不动点是一个强稳定型焦点,相轨迹会在短时间内进入不动点的一个小邻域范围内。反映在时域图上,可以看到流量和转速能够快速收敛到不动点。

4 结语

水轮机调节系统是一个复杂的非线性系统。本文考虑了水轮机的非线性特性,建立了水轮机调节系统的非线性模型。在此基础上,运用非线性动力系统线性化的方法对系统进行分析,计算得到控制器参数的稳定域,且该方法有较高的精度。从仿真结果的分析可以看出,当控制器参数向稳定域边界运动时,系统稳定性开始恶化,且系统调节过程的振荡次数增加,随后会进入等幅振荡状态,最终将出现失稳现象。此外,还可以看到,线性化系统与非线性系统间存在一定的误差,但线性化系统的稳定域一定能使非线性系统稳定,且线性化系统的稳定域一定包含了使非线性系统强稳定的控制器参数。

摘要：水轮机调节系统的本质是非线性的。为了深入了解非线性水轮机调节系统的调节规律,在考虑水力发电机组非线性特性的基础上,建立了一个水轮机调节系统的非线性模型。运用非线性系统线性化的方法和线性系统的Hurwitz判据对系统进行稳定性分析,得到了令非线性系统稳定的控制器参数。非线性系统的仿真结果表明:线性化系统的稳定参数一定能使非线性系统稳定,且线性化系统的稳定参数中一定包含了令非线性系统强稳定的控制器参数。这为非线性水轮机调节系统的控制器参数整定及稳定运行提供了理论依据。

关键词：水力发电机组,非线性调节系统,线性化系统,稳定运行,参数整定

参考文献

[1]凌代俭,陶阳,沈祖诒.考虑弹性水击效应时水轮机调节系统的Hopf分岔分析[J].振动工程学报,2007,20(4):374-379.

[2]Tenorio Luz Alexandra lucero.Hydro Turbine and Governing Modeling[D].Trodhein:University of Science and Technology,2010.

[3]陈帝尹,杨朋超,马孝义,等.水轮机调节系统的混沌现象分析及控制[J].中国电机工程学报,2011,31(14):113-120.

[4]凌代俭.水轮机调节系统分岔与混沌特性的研究[D].南京:河海大学,2007.

[5]凌代俭,沈祖诒.水轮机调节系统的非线性模型、PID控制及其Hopf分岔[J].中国电机工程学报,2005,25(10):97-102.

[6]Working group on prime mover and energy supply models for system dynamic performance studies.Hydraulic turbine and turbine control model for system dynamic studies[J].Tansactions on Power System,1992,7(1):167-179.

[7]韩茂安,邢业朋,毕平.动力系统导论[M].北京:机械工业出版社,2007:117-118.

[8]袁璞,把多铎,宋亮.考虑限幅环节的水轮机调节系统建模与分析[J].人民长江,2014,45(1):82-86.

线性系统稳定性的判断篇7

柔性交流输电系统(FACTS)技术是现代电力技术发展的重要方向，它可以提高电力系统的传输能力和稳定水平[1,2]。相间功率控制器(IPC)作为FACTS元件的一种，最早是由加拿大魁北克输电技术革新中心提出来的[3]。IPC通过等效改变线路的电抗、移相角等参数改变线路的输送能力，在增加线路的传输功率、限制短路电流及电压解耦等方面的优良特性已得到公认[4]。目前利用可控相间功率控制器(TCIPC)快速提高电力系统的稳定性已得到电力工作者一定的关注。

目前对TCIPC参数进行控制来提高系统稳定性的研究集中在采用传统的PI控制方式[5,6]。电力系统是典型的非线性系统，非线性控制能够反映系统的非线性特性和不确定性，因而具有较好的适应性和鲁棒性。本文基于微分几何理论的状态反馈精确线性化方法对TCIPC参数进行控制来提高系统的稳定性。

1 IPC功率控制特性分析

对IPC参数的调节可以分为2种情况：同时调节电容和电感参数，使IPC工作于调谐状态;单独调节电感或电容参数，使IPC工作于非调谐状态。由于单独调节电容参数涉及电压及无功部分，情况较复杂，因此仅研究单独调节电感的情况。为了研究这2种情况下的IPC调节功率的性能，必须对可调IPC功角特性进行分析。

以文献[7]中IPC240连接于两系统间联络线为例，图1中仅给出了IPC连接点一相接线图，另外两相类同。图中，UAS、UBS、UCS为IPC入口A、B、C三相对称电压相量;UAR、UBR、UCR为IPC出口A、B、C三相对称电压相量;IAR为联络线A相电流相量;PAR为联络线A相有功功率;以UAR作为参考相量，UAS超前UAR的角度为δ。

如图1所示，由IPC出口流入联络线的功率为：

则由式(1)可得：

对于非调谐型IPC,则,其中XL是可变量，则由式(1)可得：

分析式(2)可知，调谐型IPC的功角特性曲线为一系列的余弦曲线，当XIPC增大时，功角特性曲线极限值减小，传输能力减小;而非调谐型IPC的功角特性比较复杂，当XC一定时，对于可调节的XL，其功角特性曲线各不相同，由式(3)可知，在其功角特性表达式中余弦项占主导作用，正弦项较小。调谐型IPC与非调谐型IPC的功角特性曲线如图2所示。

对式(2)、(3)分别求导可得联络线传输功率与IPC可调参数变化量的关系为：

IPC两端电压相角差并不大，通常在-25°<δ<25°范围内[8]。对比式(4)和式(5)，显然在XIPC=XL的条件下联络线功率的变化率ΔP1>ΔP2，即调谐型IPC调节功率的灵敏度比非调谐型IPC要高。这说明了调谐型IPC对联络线潮流的调节能力比非调谐型IPC的强。

2 调谐型TCIPC非线性控制器设计

电力系统是典型的非线性系统，非线性控制能够反映系统的非线性特性和不确定性。本文基于微分几何理论的状态反馈精确线性化方法设计了调谐型TCIPC非线性控制器以提高系统的暂态稳定性。

2.1 调谐型TCIPC的仿射非线性系统模型

假设在单机无穷大系统的输电线路中间安装TCIPC，并经双回输电线与无穷大母线侧相连，等效电路图如图3所示，图中X为双回输电线的等效电抗，1、2分别为TCIPC电感支路和电容支路的移相角。

如图3所示，TCIPC利用移相器PST1和PST2实现IPC的移相功能。将IPC的电感支路与2个反并联的晶闸管串联，通过控制晶闸管的触发延迟角α等效地改变电感支路的电抗参数;通过晶闸管控制投切不同组数的电容器等效地改变电容支路的电容参数。TCIPC电感支路的晶闸管触发延迟与电纳之间的关系为[9]：

其中，0≤α≤π/2。

通过投切不同组数的电容器来实现电容支路等值参数的调节，为了能对参数进行接近于无级调节，按照二进制系统来选择不同组成部分的电容器的容量。在这种方案中，n-1个电容器的电纳选择为BC，而另外一个电容器的电纳选择为BC/2，这样电容器容量变化的总步数就扩大为2n。

TCIPC电容支路电容器投切组数与电纳之间的关系为[9]：

由图3可以得到联络线上的有功功率为[10]：

其中，XL(α)为可调节感抗，XC′为可调节容抗。选择调谐型IPC，则XL(α)=XC′=XIPC。

若略去线路和TCIPC的电磁暂态过程，则由图3可求出发电机电磁功率表达式：

研究单机无穷大系统暂态稳定性时，发电机采用二阶模型，其转子运动方程为：

其中，δ为功角(rad);H为发电机组的惯性时间常数(s),Pm为发电机输入机械功率(标幺值);Pe为电磁功率(标幺值);PD为阻尼功率(标幺值)，PD=D[ω(t)-ω0]/ω0,D为阻尼系数。

若假定发电机暂态电势和机械输入功率Pm恒定，则安装TCIPC的单机无穷大系统可用以下非线性状态方程表示：

其中，δ(t)、ω(t)为状态变量;XIPC为控制变量，是调谐型IPC的电抗。

若选择控制变量：

则式(11)可以写成仿射非线性系统[11]：

其中，状态变量x=[ω，δ]T且xRn。可以得出：

2.2 基于状态反馈精确线性化方法的调谐型TCIPC非线性控制模型

对于上述非线性系统，假如选定其额定运行点处作近似线性化，并按线性控制理论和方法进行设计,那么当实际系统运行在远离近似线性化所选的状态点时，所得到的控制规律很难满足控制系统所要求的稳定性能和动态品质。如果在整个(或足够大)状态空间上能导出一种使非线性系统能精确线性化的理论和方法，按这种方法通过非线性状态反馈和恰当的坐标变换，可将式(13)表示的仿射非线性系统进行精确线性化，那么就能保证控制系统的稳定性且具有良好的动态品质。

Frobennius定理[12]给出了状态反馈精确线性化方法的充要条件。在安装TCIPC的单机无穷大系统中，发电机转子运动方程所描述的仿射非线性系统可精确线性化的充要条件为矩阵式(16)[13,14]在x=x0点邻域内是非奇异的。

其中，adfg(x)为向量场g(x)沿向量场f(x)方向的李导数。

将式(14)、(15)与式(17)代入式(16)，并整理得：

其行列式的值为：

行列式值在邻域Ω={δ，ω襔0<δ<π}上不等于零，因此，在发电机功角δ(0°，180°)内，TCIPC非线性控制系统是可精确线性化的。按照仿射非线性系统精确线性化的基本步骤，经过推导，可将式(12)所描述的非线性系统精确线性化为布鲁诺夫斯基标准型[15,16]的完全可控的线性状态方程的新系统输出函数。最后可求得其控制规律为：

将上式代入式(12)中，并整理得：

由式(10)可得：

将式(22)代入(21)中有：

式(23)即为最终所要得到的TCIPC电抗的非线性控制规律，由此可实现TCIPC非线性控制器，如图4所示。

当参数δ、ω、Pe、1、2给定后，由式(23)计算出系统对TCIPC所期望的电抗值XIPC，然后求解非线性方程式(24)，以确定TCIPC的晶闸管的触发延迟角α，同时通过式(25)可以确定投切的电容器组数。

3 仿真分析

以图5所示的单机无穷大系统为例，对TCIPC在大干扰作用下提高运行稳定性的作用进行验证。模拟一条传输线末端在0.1 s时发生三相短路接地故障，0.2 s后故障切除。分别对TCIPC装置采用非线性控制和PI控制方式进行仿真。此时，PI控制中，Kp=0.6,Ki=17。而非线性控制中通过以上测算环节求出的XIPC=0.053 4 p.u.。

图6给出了Pe=1 200 MW时，故障情况下的发电机功角曲线。从图中可以看出，采用PI控制时，系统是保持暂态稳定的，但阻尼不足，振荡衰减比较缓慢，直到0.6 s以后系统才恢复稳定;而采用TCIPC非线性控制时，系统具有良好的阻尼性能，振荡在0.3 s以后迅速衰减至稳态。因此，用非线性控制规律设计的TCIPC装置非线性控制器可以较显著地改善在大干扰作用下系统的稳定性。

图7给出了Pe=800 MW时，采用TCIPC非线性控制和PI控制下的发电机功角变化情况。从图中可以看出，即使系统的运行工况发生了变化，与PI控制相比，采用TCIPC非线性控制后系统仍会较快地恢复稳定，即系统进入稳态所用的时间明显减少，整个扰动过程明显缩短。可见，无论系统的运行工况怎样变化，采用TCIPC非线性控制都可以较大幅度地提高系统的暂态稳定性。

4 结论

a.根据IPC的功率控制特性，分析说明了调谐型IPC对联络线功率的调节能力比非调谐型IPC强。

b.基于微分几何的精确线性化方法，将安装调谐型TCIPC的单机无穷大系统的非线性状态方程精确化为线性方程，并在此基础上设计了调谐型TCIPC非线性控制器。

线性系统稳定性的判断篇8

四川电网处于全国互联电网的末端,是“西电东送”中部通道的送端系统。根据规划,到2012年,向家坝—上海、锦屏—苏南直流工程将建成投运;到2020年,溪洛渡—株洲、溪洛渡—浙西等特高压直流工程也将建成。从此,四川电网将成为典型的送端多直流落点系统。因此,研究送端多直流落点系统的协调控制策略,充分利用HVDC的快速恢复能力以提高系统暂态稳定性和阻尼系统振荡对电网安全运行具有重大意义[1,2,3]。

近年来,混合交直流系统非线性控制策略的研究多建立于线性化模型基础之上,利用特征值分析、频域分析和线性最优控制理论等方法进行控制器设计[4]。文献[5]对多馈入直流输电系统的调制控制器进行了研究,采用近似线性化模型。这种思路尽管能够抵消或补偿部分系统某一运行点附近的非线性特性,但在其偏离运行点之后的行为却得不到合理描述[6]。文献[7]将整个交直流混合电力系统建模为一个级联系统,通过直流子系统的调制作用增加交流系统阻尼以提高系统暂态稳定性,却并未考虑HVDC附近发电机励磁控制的协同作用。

本文基于微分代数方程广义Hamilton理论的推广,在只研究送端系统的情况下,将送端直流输送的有功功率等效为整流侧交流节点的正的有功功率负荷,直流消耗的无功视为就地平衡,在建立送端多直流落点系统微分代数方程模型的基础上,给出了HVDC与发电机励磁的协调控制策略。

1 送端多直流落点系统的动态模型

考虑具有励磁控制的多台发电机经无损输电网络与负荷及多条送端直流线路连接而成的电力系统[8]。该系统共有n+m+1个交流节点,其中1,,n表示发电机节点,n+1表示平衡节点,n+2,,n+l+1表示负荷节点,n+l+2,,n+l+h+1表示送端直流线路r与换流变压器一次侧相连的节点(l+h=m)。节点导纳矩阵为Y=[Y ij]=[j Bij](忽略转移电导),Bij为连接节点i和节点j的电纳。每个发电机端点通过无损线路(忽略定子阻抗)与其内节点相连。第i(i=1,,n)台发电机的内电压向量用E'qi∠δi表示,节点i(i=n+2,,n+m+1)的电压向量用Vi∠θi表示,所有的相位角均相对平衡节点(Vn+1∠θn+1=1∠0)而言。负荷节点的有功和无功功率分别用dP和Qd(V)表示,即考虑恒定有功负载和依赖于电压的无功负载。

在系统需考虑交直流协调控制的情况下,发电机采用三阶模型,发电机励磁电压EFi作为动态系统输入变量,同时不计调速器作用,即输入机械功率Pmi恒定。根据直流系统的快速响应特性,直流线路等效为一阶惯性环节[9]。故送端多直流落点系统的动态方程为

式中:

δi为发电机转子q轴与同步参考轴之间的夹角;iω为发电机角速度;ω0为同步转速;E'qi为发电机q轴暂态电势;Pmi为发电机机械功率;iD为阻尼系数;Mi为惯性常数;xdi和xqi为发电机直轴和交轴同步电抗;x'di为发电机直轴暂态电抗(x'di

本文的研究对象为送端多直流落点系统,其代数方程模型为

对第i(i=1,…,n)个发电机节点,功率平衡方程为

对第i(i=n+2,…,n+l+1)个负荷节点,功率平衡方程为

对第i(n+l+2,…,n+l+h+1)个节点(送端直流线路r与整流侧换流变压器一次侧相连的交流节点),功率平衡方程为

式中:

2 NDAS的拟哈密尔顿实现

非线性微分—代数系统为

式中:x=[x1,…,xn]T是n维状态矢量;y=[y1,…,ym]T是m维约束矢量;u=[u1,…,ut]T是t维输入矢量;f:Rn×Rm→Rn;G:Rn×Rm→Rn×t;

式(3)具有相容的初始条件(x0,y0),即σ(x0,y0)=0。假设在开连通集M⊂Rn×Rm上,f、G和σ为二次可微的光滑矢量场。σ(x,y)对应y在M内满足rank[∇yσ(x,y)]=m,∀(x,y)∈M,且系统在M内存在平衡点(xs,ys)。

定义1对于式(3)所示的NDAS,如果可表示为

沿式(4)的系统轨迹对Hamilton函数求导得

当H在平衡点(xs,ys)有严格极小值,令

则

故Hamilton函数H为平衡点(xs,ys)的Lyapunov函数[11]。

相对广义哈密顿系统,式(4)并不要求∇yH=0,即Hamilton函数可与代数方程中的变量相关,因而更易获得系统的Hamilton实现。

3 送端多直流落点系统的拟哈密顿实现

假设送端多直流落点系统满足NDAS(3)的假设条件,由其非线性微分方程(1)和代数方程(2)定义如下预置反馈完成拟Hamilton实现。

定义如下Hamilton函数

式中:kH1r>0,kH2r<0,

H2包含由于直流的动态产生的暂态能量函数,它在稳定点达到最小值零,且H2≥0。H1为系统中不含直流动态时的暂态能量函数,平衡点处的能量在其稳定邻域内取得严格极小值[12,13,14]。

通过预反馈控制(8),可将送端多直流落点系统非线性微分方程(1)和代数方程(2)写为

根据式(6),针对送端多直流落点系统,可以得到直流与励磁控制规律分别为

此控制规律与网络参数无关,所以对于不同的负荷水平、网络拓扑、故障地点及扰动类型具有鲁棒性。

4 仿真分析

采用图1所示系统对以上控制规律的有效性进行验证,参数详见文献[15],直流线路采用CIGRE标准测试系统模型[16],整流侧连接到四机交流系统,逆变侧直接落入无穷大系统。基于能量的控制规律参数设置如下:TH1=TH2=0.15,kH11=8.5,kH21=-0.1,kH12=2.9,kH22=-1.3,K=2。

数字仿真考察了两种瞬时故障:(1)1.0 s时,系统12号节点交流母线附近发生三相接地短路,0.2s后故障切除;(2)2.0s时,系统10号节点甩负荷,0.2s后恢复。测试系统分别采用如下两种控制方式:(1)励磁系统PSS控制,HVDC恒定I-γ控制;(2)基于能量的发电机励磁与HVDC的协调控制。选取无穷大系统为平衡节点,与直流输电系统电气距离较近的发电机G2和G4为观测机组,在不同控制策略下的发电机功角、机端电压和直流线路1传输功率的响应曲线如图2所示。

从图2可知,无论是在甩负荷还是三相短路故障,基于能量的控制策略不仅能提供后续摆的阻尼,而且对首摆有利,明显提高系统功角稳定性。通过图2(d)可知,在系统发生故障2时,控制方式(2)通过直流传输功率在系统正摆阶段的提升和回摆阶段的回降,起到了功率支援的作用。在三相短路接地的情况下,基于能量的控制策略改善了发电机机端电压特性,使其迅速地回到平衡点。

5 结论

线性系统稳定性的判断篇9

在文献[1—3]的基础上, 本文研究了以下非性系统

$x^{'} (t) = A (t) x + f (t) g (t ‚ x) (1)$

式 (1) 中t∈R, x∈Rn, A (t) = (aij (t) ) n×n是R上的一个n阶连续的函数矩阵;f (t) 是R上一个有界的连续函数, g (t, x) 是R×Rn上的一个n+1维的连续函数。本文研究了方程 (1) 的概周期解的存在性、唯一性和不稳定性问题, 得到了此方程存在唯一的不稳定的概周期解。

引理[3] 设h (t) 是一个a.p.函数, 若M[h (t) ]=-a1<0, 则对任意的τ∈R, 有

$\exp (\int_{s}^{t} h (u + τ) d u) \leq β \exp (- α (t - s)) ‚ (t \geq s) ‚$

其中α, β是不依赖于τ的正常数。

1 主要结果

我们约定记号如下

(1) 一个连续的概周期函数简称为a.p.函数。

(2) 一个a.p.函数h (t) 的平均值记为M[h (t) ], 即 $Μ [h (t)] = \lim_{Τ \to \infty} \frac{1}{Τ} \int_{0}^{Τ} h (t) d t = a (a$ 为常数) 。

(3) 对于x∈Rn, 取其范数为 $| x | = \sum_{j = 1}^{n} | x_{j} |$ ;对于矩阵A (t) = (aij (t) ) n×n;其范数为 $| A (t) | = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i j} |$ 。

对于方程 (1) , 假定以下3个条件成立

(1) A (t) 是一个n阶的a.p.函数矩阵;g (t, x) 关于t对x∈T (这里T是Rn中的任意一个紧集) 是一致概周期的。

(2) $a (t) = \min_{1 \leq j \leq n} {a_{j j} (t) - \sum_{i = 1, i \neq j}^{n} | a_{i j} |}$ , 则有M[a (t) ]=a1>0。

(3) 存在一个非负a.p.函数b (t) 具有M[b (t) ]=b1<a1 (其中a1由条件 (2) 给出) 使得对任意的t∈R, x, y∈Rn都有下式成立:

$| g (t ‚ x) - g (t ‚ y) | \leq \frac{b (t)}{B} | x - y |$ , 其中B为一正常数。

(4) f (x) 是R上有界的连续函数。

于是有

定理1 如果条件 (1) —条件 (3) 被满足, 则方程 (1) 存在唯一的不稳定的a.p.解x=φ (t) 。

定理2 如果条件 (1) —条件 (2) 被满足, 并且如果a (t) , b (t) , A (t) , h (t) 及g (t, x) 还是t的ω-周期函数, 则方程 (1) 存在唯一的不稳定的ω-周期解。

2 定理的证明

2.1 定理1的证明

2.1.1 存在性的证明

因为f (t) 是R上有界的连续函数, 所以存在正常数B, 使得 $| f (t) | \leq B$ 。又g (t, 0) 也是a.p.函数, 所以存在正常数C使得 $| g (t ‚ 0) | \leq \frac{C}{B}$ 。

(1) 先证方程 (1) 的任一解x (t) 当t≤0时有界。

设x (t) 是方程 (1) 的任一解, 取Liapunov函数 $V (t) = - | x (t) | = - \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} (t) |$ , 于是, 对方程 (1) 的解计算V (t) 的Dini右导数, 有

$\begin{array}{l} D^{+} V (t) = - \sum_{i = 1}^{n} S g n x_{i} (t) \frac{d x_{i} (t)}{d t} = - \sum_{i = 1}^{n} S g n x_{i} (t) \times \\ [\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} (t) x (t) + \sum_{i = 1}^{n} b_{i j} (t) g (t ‚ x)] \leq \\ - \sum_{j = 1}^{n} [a_{i j} (t) - \sum_{i = 1, i \neq j}^{n} | a_{i j} (t) |] x_{j} (t) + \\ | f (t) | {| g (t ‚ x) - g (t ‚ 0) | + | g (t ‚ 0) |} \leq \\ - a (t) \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} (t) | + b (t) | x (t) | + C = [a (t) - b (t)] V (t) + C 。 \end{array}$

此时有

$\begin{array}{l} D^{+} {V (t) \exp (\int_{t}^{0} [a (r) - b (r)] d r)} \leq \\ C \exp (\int_{t}^{0} [a (r) - b (r)] d r) (2) \end{array}$

设t≤0, 对 (2) 在[t, 0]上积分得

$\begin{array}{l} V (0) - V (t) \exp (\int_{t}^{0} [a (r) - b (r)] d r) \leq \\ C (\int_{t}^{0} \exp (\int_{s}^{0} [a (r) - b (r)] d r) d s ‚ - V (t) \leq \\ - V (0) \exp (- \int_{t}^{0} [a (r) - b (r)] d r) + \\ C \int_{t}^{0} \exp {- \int_{t}^{s} [a (r) - b (r)] d r} d s ‚ \end{array}$

所以有

$\begin{array}{l} | x (t) | \leq | x (0) | \exp (- \int_{t}^{0} [a (r) - b (r)] d r) + \\ C (\int_{t}^{0} \exp {- \int_{t}^{s} [a (r) - b (r)] d r} d s (t \leq 0) (3) \end{array}$

由定理的条件得

M[-a (t) +b (t) ]=-M[a (t) ]+M[b (t) ]=

-a1+b1<0。

所以根据引理可知存在正常数α, β使得

$\begin{array}{l} \exp (- \int_{t}^{s} [a (r) - b (r)] d r) \leq \\ β \exp (- α (s - t)) ‚ (s \geq t) (4) \end{array}$

由式 (2) 、式 (3) 、式 (4) 易得

$| x (t) | \leq | x (0) | β \exp (α t) + C \int_{t}^{o} β \exp [- α (s - t)] d s = β | x (0) | + \frac{C β}{α} [1 - \exp (α t)] \leq β | x (0) | + \frac{C β}{α} ‚ (t \leq 0)$ (5)

因此, 方程 (1) 的任一解x (t) 当t≤0有界。

(2) 再证方程 (1) 的任一解x (t) 都是渐近的a.p.解。

设x (t) 是方程 (1) 的任一解, 由 (1) 的证明部分可知, 存在正常数M使得当t≤0时, 有 $| x (t) | \leq Μ$ 。我们再取τj<0 (j=1, 2, 3, …) 且当j→+∞时, τj→-∞。因为{x (τj) }是一个有界序列, 所以存在着{τj}的一个子序列{τjk}是收敛的。记T={x|x∈Rn且 $| x (t) | \leq Μ}$ 。由于g (t, x) 关于t对x∈T是一致a.p.函数, 而A (t) 又是a.p.函数矩阵, 故存在着子序列{tk}⊂{τjk}使得{g (t+tk, x) }及A (t+tk) 分别在R×T及R上是一致收敛的。

以下证明{x (t+tk) }在R-上是一致收敛的。

记zk (t) =x (t+tk) , 显然zj (t) 是方程

z′ (t) =A (t+tk) z+f (t+tk) g (t+tk, x) (6)

过点 (0, x (tk) ) 的解, 且当t≤0时, 有 $| z_{k} (t) | \leq Μ$ 。

$\begin{array}{l} 记 V_{k m} (t) = - | x (t + t_{k}) - x (t + t_{m}) | = \\ - \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} (t + t_{k}) - x_{i} (t + t_{m}) | \end{array}$

, 于是对方程 (6) 的解求Vkm (t) 的Dini右导数得

$\begin{array}{l} D^{+} V_{k m} (t) = - \sum_{i = 1}^{n} S g n [x_{i} (t + t_{k}) - x_{i} (t + t_{m})] [x^{'}_{i} (t + \\ t_{k}) - x^{'}_{i} (t + t_{m})] = - \sum_{i = 1}^{n} S g n [x_{i} (t + t_{k}) - \end{array}$

xi (t+tm) ] $\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (t + t_{k}) x_{j} (t + t_{k}) - \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (t + t_{m}) x_{j} (t + t_{m}) + f_{i} (t + t_{k}) g_{i} (t + t_{k} ‚ x (t + t_{k})) - f_{i} (t + t_{m}) g_{i} (t + t_{m} ‚ x (t + t_{m}))$ $\leq - \sum_{i = 1}^{n} [a_{j j} (t + t_{k}) - \sum_{i = 1, i \neq j}^{n} a_{i j} (t + t_{k})] | x_{i} (t + t_{k}) - x_{i} (t + t_{m}) | +$ A (t+tk) -A (t+tm) x (t+tm) +fi (t+tk) gi (t+tk, x (t+tk) ) -gi (t+tk, x (t+

tm) ) +fi (t+tm) gi (t+tk, x (t+tm) ) -gi (t+tm, x (t+tm) ) +fi (t+tk, x (t+tm) ) fi (t+tm) -fi (t+tk) ≤

-a (t+tk) xi (t+tk) -xi (t+tm) +

b (t+tk) xi (t+tk) -xi (t+tm) +

MKkm+BLkm+Clkm=[a (t+tk) -b (t+tk) ]Vkm (t) +MKkm+Lkm+lkm。

其中

$Κ_{k m} = \sup {| A (t + t_{k}) - A (t + t_{m}) |$ ;t≤0} (7)

Lkm=sup{gi (t+tk, x (t+tm) ) -gi (t+tm, x (t+tm) ) ;t≤0} (8)

$l_{k m} = \sup {| f_{i} (t + t_{m}) - f_{i} (t + t_{k}) |$ :t≤0} (9)

于是有

$\begin{array}{l} D^{+} [V_{k m} (t) \exp (\int_{t}^{0} [a (r + t_{k}) - b (r + t_{k})] d r)] \leq \\ (Μ Κ_{k m} + B L_{k m} + C l_{k m}) \exp \end{array}$

∫ $_{t}^{0}$ [a (r+tk) -b (r+tk) ]dr (10)

即当t≤0时, 有

Vkm (0) -Vkm (t) exp∫ $_{t}^{0}$ [a (r+tk) -b (r+tk) ]dr≤ (MKkm+BLkm+Clkm) (∫ $_{t}^{0}$ exp∫ $_{s}^{0}$ [a (r+tk) -b (r+tk) ]drds。

所以

$| x (t + t_{k}) - x (t + t_{m}) | \leq$ x (tk) -

$\begin{array}{l} x (t_{m}) | \exp (- \int_{t}^{0} [a (r + t_{k}) - b (r + t_{k})] d r) + \\ (Μ Κ_{k m} + B L_{k m} + C l_{k m}) (\int_{t}^{0} \exp (- \int_{s}^{t} [a (r + t_{k}) - \end{array}$

b (r+tk) ]drds, (t≤0) (11)

由定理的条件及引理知, 存在正常数α, β使得

$\begin{array}{l} \exp (- \int_{t}^{s} [a (r + t_{k}) - b (r + t_{k})] d r) \leq \\ β \exp (- α (s - t)) ‚ (s \geq t) (12) \end{array}$

由式 (10) 、式 (11) 、式 (12) 易得

$| x (t + t_{k}) - x (t + t_{m}) | \leq$

x (tk) -x (tm) βexp (αt) + (MKkm+BLkm+

Clkm) ∫ $_{t}^{o}$ βexp[-α (s-t) ]ds≤βx (tk) -x (tm)

$\begin{array}{l} + \\ \frac{β}{α} (Μ Κ_{k m} + B L_{k m} + C l_{k m}) [1 - \exp (α t)] \leq \\ β | x (t_{k}) - x (t_{m}) | + \frac{β}{α} (Μ Κ_{k m} + B L_{k m} + \\ C l_{k m}) ‚ (t \leq 0) (13) \end{array}$

因为{x (ti) }是收敛的, 所以对给定任意小的正数ε, 存在着充分大的自然数N1使得当k>N1和m>N1时, 有 $| x (t_{k}) - x (t_{m}) | \leq \frac{ε}{4 β}$ ;又{A (t+tk) }在R上是一致收敛的, 因此存在着充分大的自然数N2使得当k>N2和m>N2时, 有 $Κ_{k m} \leq \frac{α ε}{4 β Μ}$ ;又因为{g (t+tk, x) }在Rn×T上是一致收敛的, 故存在着充分大的自然数N3使得当k>N3和m>N3时, 有 $L_{k m} \leq \frac{α ε}{4 B β}$ ;又由于{f (t+tk) }在R上也是一致收敛的, 故存在着充分大的自然数N4使得当k>N4和m>N4时, 有 $l_{k m} \leq \frac{α ε}{4 C β}$ ;所以取N=max{N1, N2, N3, N4}, 且当k>N和m>N时, 有

$\begin{array}{l} | x (t + t_{k}) - x (t + t_{m}) | \leq \\ β \frac{ε}{4 β} + \frac{Μ β}{α} \frac{α ε}{4 β Μ} + \frac{B β}{α} \frac{α ε}{4 B β} + \frac{C β}{α} \frac{α ε}{4 C β} = ε ‚ (t \leq 0) 。 \end{array}$

即{x (t + tk) }在R-上是一致收敛的。因此x (t) 是方程 (1) 的一个渐近的a.p.解。

(3) 从 (2) 的证明部分及定理5.1[4]可知, 方程 (1) 至少存在一个a.p.解x=φ (t) 。

(4) 证明a.p.解x=φ (t) 是唯一的但是不稳定的。

2.1.2 不稳定性的证明

设φ1 (t) 和φ2 (t) 是方程 (1) 两个任意不同的a.p.解。

记 $V (t) = - | φ_{1} (t) - φ_{2} (t) |$ 。

利用 (2) 的证明方法可得

V+ (t) ≤[a (t) -b (t) ]V (t) (14)

于是有

-V (s) ≤-V (t) exp-∫ $_{s}^{t}$ [a (r) -b (r) ]dr≤

-V (t) βexp (-α (t-s) ) , (t≥s) (15)

即

$\begin{array}{l} | φ_{1} (t) - φ_{2} (t) | \geq \\ \frac{1}{β} \end{array}$

φ1 (s) -φ2 (s) exp (α (t-s) ) , (t≥s) (16)

所以方程 (1) 的任意一个解都是不稳定的。

2.1.3 唯一性的证明

假设φ1 (t) 和φ2 (t) 是方程 (1) 的两个不同a.p.解, 那么存在正常数K使得

$\sup {| φ_{1} (t) - φ_{2} (t) | ‚ t \in R} ＜ Κ$ (17)

但由式 (15) 可知, 当t→+∞时, 有φ1 (t) -φ2 (t) →+∞。

显然这是矛盾的, 即方程 (1) 的a.p.解是唯一的。定理1证毕。

2.2 定理2的证明

由定理1可知, 方程 (1) 存在着唯一的不稳定的a.p.解x=φ (t) 。又因为g (t+ω) =g (t+x) 及A (t+ω) =A (t) , 所以φ (t+ω) 也是方程 (1) 的一个a.p.解。而从方程 (1) 的a.p.解的唯一性可知φ (t+ω) =φ (t) (t∈R) 。故φ (t) 是方程 (1) 的唯一ω-周期解。证毕。

参考文献

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线性系统稳定性的判断篇10

20世纪60年代, 美国西北联合系统和西南联合系统互联试运行时发生了功率振荡, 造成联络线过流跳闸[1], 这是有记载的最早的低频振荡事故。随着电网规模的日益扩大, 大容量机组和快速、高放大倍数励磁系统的不断投运, 使得低频振荡现象在大型互联电网中时有发生, 严重威胁电网安全。为此, 文献[2]在自动电压调节器 (AVR) 的基础上将转速偏差作为附加反馈, 通过超前滞后环节与AVR的输出并联, 提出电力系统稳定器 (PSS) 。理论分析和长达半个世纪的工业应用均表明, PSS可有效增加励磁系统阻尼, 抑制低频振荡[3,4,5]。然而PSS的参数整定是一个复杂而困难的问题[6], 若整定不当, 不但不能增加阻尼, 甚至可能提供负阻尼[7], 使系统动态品质恶化。另一方面, 由于现代电力系统多运行在重载工况并时常受大干扰影响, 因此系统非线性不可忽略, 进一步限制了传统PSS性能的发挥。传统PSS参数整定方法可分为两类。一类是基于频域测试的方法。由于此类方法物理意义明确, 仅依赖测试数据, 因此在工业应用和行业标准中广泛采用。此类方法中具有代表性的是角度补偿法[2]和电磁转矩补偿法[8]。但是按此类方法整定的参数只适用于较窄的频段[9], 若实际振荡频率在设计参数所适用的阻尼频带之外, 控制效果会大打折扣。此类方法的另一个不足是难以量化控制性能指标[10], 因此也无从优化系统的动态性能。另一类是优化类方法。按照优化目标的不同, 此类方法可分为对特征值的优化[11,12,13]和对时域性能指标的优化[14]。前者旨在设计PSS参数使闭环系统特征根位于某一特定区域, 从而使得系统具有良好的阻尼;后者则试图寻找使指定故障集下系统动态性能指标 (通常是转速偏差平方的积分) 达到最优的一组参数作为实际参数。但此类方法对系统参数准确度和网络拓扑较为敏感。

为解决传统PSS在理论上和应用上面临的困难, 文献[15-17]根据反馈线性化和鲁棒控制理论设计了非线性鲁棒电力系统稳定器 (NR-PSS) 。NR-PSS在设计过程中充分考虑了不确定因素的影响, 因而其控制率对外部干扰 (如测量噪声等) 和内部不确定性 (如参数误差和未建模动态等) 具有显著的抑制作用, 并且其控制率中只含有局部可量测量, 独立于网络参数, 因此对网络结构具有较强的适应性, 进而保证了控制率的分散性和鲁棒性。NR-PSS的上述优点使得该控制器具有广阔的应用前景。目前NR-PSS已投运于国内若干电厂的数10台机组, 到目前为止运行状态良好。

NR-PSS的设计方法基于时域状态空间方程, 然而工业标准[18,19,20]要求励磁装置在投运时需要进行频域测试并满足相应指标[21]。文献[17]提出了一套基于频域测试的NR-PSS参数整定方法, 将基于时域状态空间方程的现代控制理论与基于频域传递函数的经典控制理论联系起来, 为其在工业生产中推广应用提供了便利。一般来讲, 满足工业标准的参数组并不是唯一的, NR-PSS (乃至基于经典控制理论的线性PSS) 参数整定的目标不但应当使其在期望的阻尼频带内能够充分发挥作用, 还应该使其尽可能具有较宽的阻尼频带。同时考虑到励磁控制器的输出是有限的, 还应尽可能减小控制增益。

为了满足上述目标, 在深入研究了PSS参数整定原理和文献[17]所提方法的基础上, 本文提出了一种基于双层规划的NR-PSS线性部分参数整定方法。该方法将参数选取建立在最优性准则的基础上, 能够以最小的控制增益提供最宽的阻尼频带, 同时又不改变参数整定的实验过程, 便于应用。

1 NR-PSS参数整定方法概述

文献[17]提出的NR-PSS励磁控制率为:

式中:C1和C2分别为线性和非线性部分的增益系数;VL和VN分别为NR-PSS线性部分输出和非线性部分的输出;l1, l2, l3为线性部分待整定参数;Δδ, Δω, ΔPe分别为发电机功角、角速度和电磁功率偏差量;Eq和Eq′分别为q轴电势和q轴暂态电势;Td0′为励磁绕组时间常数;id和iq分别为发电机d轴和q轴电流;xq和xd′分别为q轴电抗和d轴暂态电抗。

NR-PSS的参数整定可分为2个阶段。第1阶段是整定线性部分的增益系数l1, l2, l3, 保证在低频振荡的典型频带内NR-PSS提供的补偿角度满足国家标准。第2阶段是整定系数C1和C2, 以及和AVR的配合系数, 保证系统在大干扰下具有良好的动态品质。本文关注的是第1阶段线性部分的参数整定。

NR-PSS线性部分的作用是提供良好的阻尼以抑制低频振荡, 其参数整定需满足相应的国家标准。文献[17]指出, NR-PSS线性部分相对于Δω轴的超前滞后角度αL为:

式中:H为机组惯性时间常数;ω0=314rad/s, 为稳态角速度;f为输入信号频率;D为机组阻尼系数。

若将计算得到的αL加上测量得到的无补偿特性曲线, 可以得到补偿后的机组特性曲线。进一步通过调整参数l1, l2, l3, 可以使得机组在附加励磁控制线性部分补偿后的超前滞后角度满足行业测试标准要求。但上述方法并没有给出l1, l2, l3的具体求解方法, 在现场试验中, 需要通过经验来给定一组l1, l2, l3的数值, 检验该组参数下补偿角度是否满足标准, 否则需要改变参数重新检验。因此, 工程技术人员期望使用一种确定性的准则来确定NR-PSS的参数。此外, 出于抑制各种低频振荡的考虑, 极大化NR-PSS的有效阻尼频带在工程应用中也备受关注, 并且在提高控制性能的同时也希望极小化控制代价。综上所述, 需要寻求一种系统的方法合理给定l1, l2, l3的取值。

2 基于双层规划的NR-PSS线性部分参数整定方法

为了满足极大化阻尼频带和极小化控制增益两方面的要求, 本文将通过双层优化模型确定NR-PSS线性部分的参数。关于双层优化的数学基础, 可参考文献[22]。

由式 (4) 可知NR-PSS对不同频率的振荡提供的补偿角度为:

由于l1, l2, l3大于0, 因此由式 (5) 知αL随f的增加单调增加。由于励磁系统通常需要提供超前角度以抑制低频振荡, 因此αL通常小于0。另一方面, 由于机组需要提供的补偿角度的绝对值通常随频率的增加而减小, 因此对于两个频率f1

式中:fmin和fmax分别为阻尼频带的下界和上界, 是优化变量;αmin和αmax分别为fmin和fmax处需要提供的补偿角度。

另一方面, 由于Δδ, Δω, ΔPe的增益系数l1, l2, l3决定了控制输出的大小, 因此在一定程度上反映了控制代价, 应用中希望在满足要求的前提下尽量减小控制代价。当fmin和fmax给定时, 极小化控制代价的要求可描述为以下线性规划模型:

式中:limin和limax分别为li下界和上界。

此处有两点需要说明。第一, 由式 (2) 可知, NR-PSS的非线性部分VN即使在小干扰时输出也不为0。但是仿真实验与实际运行均表明, 在NR-PSS工业装置中的滤波环节以及导数的限幅环节作用下, 非线性部分VN在小干扰时输出确实很小, 可以忽略, 于是频域分析时可以只考虑线性部分的作用。第二, 目标函数中l1, l2, l3的权系数也可取其他值, 此处直接相加是一种简单有效的处理方法。

若希望在扩大阻尼频带的同时, 又极小化控制代价, 则应使式 (6) 中l1, l2, l3恰好是线性规划模型 (式 (7) ) 的最优解。因此NR-PSS线性部分的参数整定可归结为如下双层规划模型:

式 (8) 的上层变量是fmin, fmax, l1, l2, l3, 上层目标是阻尼频带最大化, 而l1, l2, l3需要使下层优化达到最优, 即极小化控制代价。需要指出的是, 双层规划模型 (式 (8) ) 的最后两个约束保证了NR-PSS提供合适的补偿角度使系统具有足够的相角裕度, 由Nyquist判据可知闭环系统稳定。

3 求解算法

记x=[fmin, fmax], y=[l1, l2, l3], 则双层规划模型 (式 (8) ) 可写为:

式中:

求解双层优化模型时, 通常将下层优化模型用其最优性条件代替, 变为上层优化问题的约束, 从而将原双层规划模型转化为传统形式的优化模型。本文采用文献[23]提出的方法, 将下层优化模型用关于原变量和对偶变量的约束代替, 并采用对偶罚函数方法求解所得非线性规划模型。基本思路如下。

双层规划模型 (式 (9) ) 中下层线性规划模型的对偶线性规划模型为:

根据线性规划的强对偶定理, 双层规划模型 (式 (9) ) 等价于以下非线性规划模型[23]:

由于在上述优化问题的可行域内, dTy≥λTb普遍成立, 因此可以通过在目标函数中引进惩罚项将最优性条件松弛, 构成如下优化模型:

文献[23]指出, 存在正数M*>0, 使得对任意M>M*, 式 (11) 与式 (12) 的最优解相同。与文献[23]不同的是, 该文中下层线性规划模型对x和y都是线性的, 而本文中下层线性规划模型仅对y是线性的, 不过这并不影响将该文的结论推广至本文的模型, 因为对下层优化模型而言, 上层变量x是给定的, 只是本文所提方法最终仍需求解非线性规划模型获得原问题的解, 而文献[23]可以通过求解一系列线性规划模型得到原问题的解。

综上所述, NR-PSS线性部分的参数整定双层规划模型求解步骤如下。

步骤1:初始化。调整被试验机组运行工况为有功功率大于0.9 (标幺值, 下同) , 无功功率为0~0.2 (标幺值, 下同) 。利用频谱仪的白噪声信号代替NR-PSS输出, 测量并记录NR-PSS输出点到机端电压的0.2~2.0 Hz无补偿频率特性曲线, 得出NR-PSS需要提供的最小补偿角度αmin和最大补偿角度αmax。获取发电机参数H, D, ω0=314rad/s。设置limin=1和limax=40 (i=1, 2, 3) 。选取合适的收敛误差ε以及初始罚因子M=10。

步骤2:求解罚问题。根据发电机参数和M值求解非线性规划模型 (式 (12) ) , 最优解为x*, y*, λ*。

步骤3:判断收敛性。若dTy*-bTλ*<ε, 计算结束, 输出最优解x*=[f*min, f*max]和y*=[l1*, l2*, l3*], 并根据y*设置控制器参数;否则M=M+10, 返回步骤2。

4 仿真分析

为了验证本文所提方法的有效性, 将该方法应用到图1所示的3机9节点系统中。

在PSASP平台上进行的仿真实验中, 发电机G2安装NR-PSS, 根据本文所提方法得到的线性部分参数为:l1=31.87, l2=16.78, l3=1.05。有效阻尼频带为0.09~3.27Hz。根据检验, 若NR-PSS线性部分参数设置为l1=42, l2=23, l3=3也能够使补偿角度满足相应的国家标准。其他参数的整定仍通过文献[17]所提方法确定。

首先采用PSASP软件对系统特征值进行分析, 比较两组参数对系统阻尼的影响。参数优化前后系统两种机电振荡模式下的特征根和阻尼比如表1所示。由表1可见优化后的参数可以给系统提供更强的阻尼。就控制代价而言, 优化后的参数之和更小, 说明本文所提方法有效。下面通过几种典型扰动实验对比两组参数下系统的动态响应。

4.1 2%电压阶跃响应仿真

仿真中设置发电机G2在负载情况下, 其电压给定值发生2%阶跃。图2为发电机G2的机端电压 (VG2) 与电磁功率 (PeG2) 的仿真曲线。

从两组仿真曲线可以看出, 优化前的参数虽然具有较大增益, 但有一定超调量;优化后的参数可以有效减少振荡次数, 缩短暂态过程的持续时间。这说明参数之间的合理搭配是至关重要的, 在参数整定中极小化控制代价可以免去不必要的超调, 提高动态响应速度。

4.2 负荷冲击仿真

仿真中设置5s时位于STNB-230节点的负荷发生突变, 有功功率增加0.1, 无功功率不变, 持续时间为2s。图3为发电机G2的机端电压与电磁功率的仿真曲线。可以看出, 尽管参数优化后发电机输出功率第1摆超调略大, 但总体上能够更快镇定负荷冲击所引起的发电机机端电压以及电磁功率振荡。

4.3 三相短路仿真

仿真中设置节点STNC-230至GEN3-230线路5s时发生三相短路故障, 0.1s后故障线路停运。图4为发电机G2的机端电压与电磁功率的仿真曲线。可以看出, 两组参数下控制效果相差不多, 但总体而言参数优化后的仿真效果略好。这是因为大扰动下系统动态性能主要由NR-PSS非线性部分的参数决定, 线性部分仅能起到辅助的效果。进一步计算了NR-PSS参数优化前后的极限切机时间分别为0.58s和0.64s, 与没有NR-PSS的极限切除时间0.27s相比, NR-PSS可以有效延长三相短路故障的极限切除时间, 因为设计时充分考虑了电力系统的非线性。

4.4 扰动信号仿真

仿真中设置AVR的输入端叠加不同频率的正弦干扰信号。对NR-PSS抑制不同频率的干扰信号的能力进行测试。图5显示了1.5 Hz干扰信号下的仿真结果。

由图5可以看出, 无NR-PSS时, 机端电压由于外界的持续干扰而发生了相应频率的波动, 从而引起有功功率的振荡, 而投入了NR-PSS后, 机端电压和有功功率的振荡幅度明显降低, 且经过优化后的参数控制效果略好, 从而证实了NR-PSS的优越性和本文所提方法的有效性。

5 结语

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