高中数学课问题解决

高中数学课问题解决（精选十篇）

高中数学课问题解决 篇1

关于数学教学中的 “问题解决”这一模块, 对于我们来说其实并不陌生, 它也不是一个近些年来才刚刚出现在数学教育领域中的内容。作为一种实践性较强的数学学习方式, “问题解决”也或多或少的存在于许多我们日常的数学教学之中, 只是一直没有形成一个完整的体系而已。这就要求我们在日常的高中数学教学中, 重视对于学生自主学习能力的培养, 重视综合性学习的实践, 将学科内部知识和能力、过程与方法、情感态度价值观三个维度目标进行整合。

然而虽然 “问题解决”是数学教学的一大特色内容, 但在目前的应试教育大环境下, 却一直没有被当作一个重要的部分重视起来, 在 “问题解决”的教法与课堂实践的研究领域依旧有不少空白。下面就来谈谈在数学教学实践中, 针对 “问题解决”学习实践中存在的问题所提出的研究。

1. 打破课堂内容固化, 提升教师本身的素质与扩展知识面

数学教学虽然要以课本为大纲以及核心, 但这并不代表数学学习所涵盖的知识面仅限于教材, 恰恰相反, 数学教学并不应该仅仅局限于教材中所涉及到的公式与定理。一名优秀的数学教师要想为一堂内容丰富的课程做好准备, 首先要提高自身的专业知识素养, 广泛阅读数学教学方面的书籍, 学习特级教师的授课经验和经典的教案, 学会借鉴他人新颖的教学方法, 来丰富自身的教学技能。

在多媒体逐渐进入课堂的当下, 教学过程中借助幻灯片放映与音乐、视频相结合的形式越来越普遍。作为一门互动性与知识性较强的学科, 在数学的教学中, 教师经常利用多媒体课件来帮助学生将单一的书面知识转变为生动形象的多维理解。而且, 多媒体的应用能够扩大课堂知识容量与效率, 成为了广大数学教师们辅助讲解的首选。但数学教师也不能在课堂上过于依赖于参考资料, 数学知识并不是只靠单纯的记忆, 应该多多与学生互动, 将课堂重心放在知识点的理解与运用上。

同时, 教师还应该与时俱进, 多多了解时下社会的发展, 阅读与数学方面有关的期刊杂志, 让自己与学生跟上时代发展的脚步, 不再 “两耳不闻窗外事, 一心只读圣贤书”, 努力做到让数学的学习也与生活接轨, 不掉队不脱节。

2. 打造师生互动的开放性学习课堂

由于数学学习的形式灵活多变, 所以要达到利用 “问题解决”这一教学方法调动学生们学习数学的积极性, 就要求教师要敢于突破传统 “填鸭式”的只讲不用的授课模式, 带领学生找到将知识运用到生活中的方法。

作为一名二十一世纪的数学教师, 不能只满足于 “传道、授业、解惑”这三个方面, 更应该重新衡量自身的能力, 端正自己的态度, 对待学生要既做知识的传播者, 同时也要适时放下长辈的架子, 这样可以方便我们更好地与学生沟通。综合性学习不仅仅是提升学习能力的机会, 更是促进师生关系发展的机会。

以人教版高中数学“立体几何”这一部分内容为例子, 判定空间直线和平面的位置关系, 并不只是一条定理, 但我们在教学中往往把每一条判定的定理割裂开来, 先让学生们死记硬背, 然后再利用书上的例题给学生们讲解如何运用。这样的授课方式未免有些本末倒置, 先背后用, 完全忽略了课本中关于探索问题的部分, 把活跃学生思维的重要环节从课堂里删除, 这是传统的数学授课中最大的弊端。

因此, 我们可以尝试着把 “灌输知识”, 转化为引导学生自主解决问题, 发现知识。比如可以提出 “直线和平面之间一共有几种位置关系”与 “一个平面和一条直线有无公共点对他们的位置关系有何影响”这种从不同角度来发散思维的问题。

3. 重视 “问题解决” 这一部分并集中研究与讨论

教师在进行 “问题解决”教案研究的时候, 不应该采取 “闭门造车”的方式, 一个人的力量是始终有限的, 所以在遇到教学问题时应该多与领导同事们交流。在平时教研组的讨论会中, 可以适当加入一部分固定的时间专门来分享近期的经验, 为彼此的课程设计提出意见和建议, 不断审视与反思自身的问题, 吸取他人在教学方法与教案设计的优点以及长处, 真正做到互相学习, 共同进步。

还可以多多组织几堂公开课, 既可以锻炼自己的教学能力, 又可以给学生一个展现自己的机会。同时也要多多听取其他老师与领导的指导意见, 不断改进自己的缺点与不足, 从短板处提高自己的教学水平。同时也可以多去旁听其他老师的公开课, 善于发现他人课堂设计上的闪光点, 不断推动 “问题解决”教案教法的完善。

4. 结语

“问题解决”这一教学方式与学习方法虽然日益被广大的教师重视起来, 但时至今日依旧没有形成相对完整的理论体系, 在日常的课堂实践中仍存在着许多不容忽视的问题。所以我们更应该发挥探索与研究的精神, 善于反思自己的不足, 积极尝试各种教学方法, 努力总结实际经验。相信在未来的日子里, 我们数学学习的课堂一定会变得更加多姿多彩!

参考文献

[1]丁大江.数学史知识融入高中数学问题解决教学的探讨[J].科教文汇 (下旬刊) , 2007, 03:71-72.

[2]曹雨涵.高中数学“问题解决”教学的误区及对策[J].江苏第二师范学院学报, 2014, 05:71-74.

[3]黄光荣.浅析高中数学教学中问题情境的创设与运用[J].黑龙江科技信息, 2011, 22:194.

高中数学课问题解决 篇2

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

高中数学问题解决教学研究 篇3

关键词：高中数学；问题解决教学 ；函数教学

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）12-004-01

问题解决教学模式是一种全新的教学模式，通过对学生问题的解决，就能够极为有针对性的对学生进行教学。在我国高中数学的教学过程中，由于高中数学内容繁杂，难度大等特点，大多数学生在学习的过程中会感受到极为困难，并且有相当一部分学生产生了畏难情绪，对数学学习失去了兴趣和信心。但是高中数学对于高中学生有着相当重要的意义，新课改也对高中数学教学提出了新的要求，因此在高中数学教学的过程中就需要使用问题解决教学的模式进行教学。文章讨论了如何在函数教学方面使用问题解决模式进行教学的方法。

一、问题解决教学的概念和意义

（一）问题解决教学的概念

对于我国的高中数学教学而言，问题解决教学方法就是以数学问题为中心，并且通过数学教师的引导，学生使用独立思考以及分组讨论等形式将数学问题进行解答，并且将问题进行发展和迁移。在进行问题解决教学的过程中，首先需要为学生提供一种轻松的环境，并且教师需要从学生已经拥有的经验来提出问题，并且通过问题来让学生进行解决，而在学生进行解决的过程中，教师需要观察学生的解题思路以及在对问题解决过程中出现的问题，在学生将问题解决后需要对学生的解题过程进行点评。

（二）问题解决教学的意义

对于高中数学教师而言，在实际的教学过程中遇到的最大问题往往是无法了解到学生的具体信息，在教学时只能够凭借自己的经验来进行教学。但是在这样的教学方法下，学生往往无法得到高效的教学，教师教学的针对性也不强。但是通过问题解决的教学形式，教师能够在学生解决问题的过程中深入了解到学生在数学学习过程中出现的问题，并且能够及时的对这些问题进行解答，让高中数学教师的教学过程有的放矢。对于学生而言，以往的教学过程往往只是教师在讲台上进行知识的讲授，由于高中数学知识的枯燥，学生对高中数学知识的吸收效率也不高。但是通过问题解决教学的形式，学生在自己解答问题的过程中能够产生较高的自豪感，让学生对高中数学知识产生极大的兴趣，这对学生而言是很有帮助的。

二、如何在函数教学过程中引入问题解决教学的方法

（一）在函数教学过程中设置问题的方法

对于数学问题而言，都是具有情境性的特征的，因此教师在对学生进行问题提出的过程中需要注意问题设置的情境性。而创设问题的情境性就是需要将问题和生活实际相联系，引起学生的好奇心。对于函数而言，由于函数图像和生活实际之间有着重要关系，因此教师可以利用这一点，来将情境进行较好的设置，从而帮助学生进行快速的进入问题的思考当中。而在情境设置的技巧上，教师可以通过实物，图片和多媒体设施来进行，通过这些物品都能够极为形象的为学生展示问题设置的情境，帮助学生较好地融入到情境中，从而思考问题和解决问题。

（二）引导学生进行问题解决的方法

在学生对问题进行解决的过程中，教师需要积极地引导学生，以帮助学生能够真正的在问题解决的过程中学习到函数的相关知识。而在学生对函数问题解决的过程中，高中数学教师不仅需要为学生进行函数基础知识的讲授，同时更加重要的是要为学生强调，并且帮助学生发现所学知识是如何在实际的生活中进行运用的。在教师引导学生进行问题解答的过程中，教师也需要观察学生的思维方向以及学生的思考行为，如有必要，教师可以在学生进行问题解决的过程中提供相应的帮助和引导，并且让学生知道应该如何将问题进行解决。而当学生将问题解决后，教师可以通过一定的方式来让学生进行反思以及评价，让学生切身体会到问题解决的欣喜。

（三）在学生解决问题后引导学生进行反思的方法

在学生将函数问题进行解决后，对问题解决过程的反思也是十分重要的。而在实际的学生对函数问题进行反思的过程中，首先教师需要对问题再次进行提出，让学生对问题有更加深刻的印象，同时教师需要将学生解决问题的方法进行汇总，为学生介绍一些解决问题的新方法，而对学生在解决问题过程中出现的问题以及缺点，教师也需要及时的对学生提出，并且针对这些问题提出解决策略，帮助学生在日后的学习过程中避免再次出现类似的问题。同时教师也可以为学生提出可思考的问题，让学生在课后对问题再次进行思考，加深学生对函数问题的印象，也能够帮助学生锻炼自己的思维能力。

三、结语

在我国的高中数学教学的过程中，传统教学方法的效果往往不佳，因此使用一种全新的教学方法就显得十分重要。问题解决教学方法就是一种较好的教学方法。文章通过函数教学为实例，说明了问题解决教学法的流程以及意义，为我国高中數学教师提供了可参考的依据。

[参考文献]

[1] 牛萍萍.高中数学问题解决教学的理论与实践探究[D].河南大

学，2012.

[2] 蔡迪.问题解决教学在高中数学教学中的应用[J].课程教育研

究（新教师教学），2013（32）.

[3] 郑元.问题解决教学应用于高中数学教学的价值探讨[J].课程

教育研究（新教师教学），2014（26）.

[4] 郑勇军.新课程背景下高中数学问题解决教学的认识与实践

高中数学一类函数应用问题解决方法 篇4

一、解应用题的一般程序

(一) 读

读理解文字表达的题意, 分清条件和结论, 理顺数量关系, 这一关是基础。

(二) 建

将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型, 熟悉基本数学模型, 正确进行建“模”是关键的一关。

(三) 解

求解数学模型, 得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义, 更要注意巧思妙作, 优化过程。

(四) 答

将数学结论还原给实际问题的结果。

二、中学数学中常见应用问题与数学模型

(一) 优化问题

实际问题中的“优选”“控制”等问题, 常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决。

(二) 预测问题

经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决。

(三) 最 (极) 值问题

工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”, 转化为求函数的最值。

(四) 等量关系问题

建立“方程模型”解决。

(五) 测量问题

可设计成“图形模型”利用几何知识解决。

三、典型题例示范讲解

例1为处理含有某种杂质的污水, 要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱 (如图) , 污水从A孔流入, 经沉淀后从B孔流出, 设箱体的长度为a米, 高度为b米, 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比, 现有制箱材料60平方米, 问当a、b各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A、B孔的面积忽略不计) ?

命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力。

知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式。

错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来, 或a与b间的等量关系找不到。

技巧与方法:关键在于如何求出函数最小值, 条件最值可应用重要不等式或利用导数解决。

思路一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y, 则由条件 (k>0为比例系数) 其中a、b满足2a+4b+2ab=60 (1)

要求y的最小值, 只须求ab的最大值

由 (1) (a+2) (b+1) =32 (a>0, b>0) 且ab=30– (a+2b)

应用重要不等式

∴ab≤18, 当且仅当a=2b时等号成立

将a=2b代入 (1) 得a=6, b=3

故当且仅当a=6, b=3时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

思路二:由2a+4b+2ab=60, 得,

记 (0

由, 令u′=0得a=6

且当00, 当6

在a=6时取最大值, 此时b=3。

从而当且仅当a=6, b=3时, 取最小值。

例2某城市2001年末汽车保有量为30万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%, 并且每年新增汽车数量相等为保护城市环境, 要求该城市汽车保有量不超过60万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

命题意图:本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力

知识依托:数列极限、等比数列、解不等式

错解分析: (1) 不能读懂题意, 找不到解题的突破口; (2) 写出bn+1与x的关系后, 不能进一步转化为极限问题; (3) 运算出错, 得不到准确结果

技巧与方法:建立第n年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易, 但解题过程中的准确性要求较高。

解:设2001年末的汽车保有量为b1万辆, 以后各年汽车保有量依次为b2万辆, b3万辆, ……每年新增汽车x万辆, 则

对于n>1, bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+ (1+0.94) x, …

所以

当≥0, 即x≤1.8时, bn+1≤bn≤…≤b1=30

当<0, 即x>1.8时,

并且数列{bn}逐项递增, 可以任意靠近

因此如果要求汽车保有量不超过60万辆, 即bn≤60 (n=1, 2, …) 则有所以x≤3.6

高中数学重难点的确定和解决 篇5

成都经济技术开发区实验中学曹荣君

2009-12-13

一、高中数学重点难点的确定

我认为要先做好以下的工作：（1）吃透教材，教纲以及高考考纲，理清知识体系，确定好双基；（2）针对考纲要求弄清考查知识点的具体要求，归纳出题型构建相应的数学模型；（3）了解学生的学情以便在例题与练习题的选取上体现层次性，目标性；（4）同时我们不得不思考数学教学到底教给学生什么数学？数学的产生与发展有两种不竭的动力。一是解决现实问题的需要，由此生成的是数学与现实生活的联系；二是数学理论本身发展的需要，由此生成的是抽象的数学知识之间的联系。在新课程背景下，数学教育的价值是什么？数学到底要教给学生什么？数学文化的核心是数学的观念、意识和思维方式。做了以上这些工作重点难点也就确定了。

二、结合自己的教学经验，体会到数学教学中应这样处理重点难点新课程强调以教学方式的转变促进学习方式的转变。教学中不仅要教给学生数学知识，而且要揭示获取知识的思维过程，把知识与思想的种子播种在学生的心田，促进学生对数学思想方法的领悟。数学家乔治.波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”

以前上课时，我经常只顾自己的想法，觉得讲的题目越多越好，很少顾及学生的思维与感受。慢慢地，发现学生上课听得懂，自己做却不会，后来意识到，我们现正在倡导的许多新课程理念就是来之于这个理论背景,也使我的困惑茅塞顿开。原来我的教学方式大大压缩了学生的自主思考、自主探究的时间和空间，打击了学习数学的积极性，磨灭了自我体验、自我创新的个性。因此，1

学生的思维被定向了，无法进行更好的建构，形成不了有效的认知结构，导致我们的教学效果不好。所以，我们必须转变教育观念，以学生为本，以学生的发展作为教学改革的出发点，走出一条优质高效、可持续发展的新路。基于对以上问题的分析和认识，经过实践，我得到以下几点在突出和突破教学重点难点上的教学感悟：

1、关注学生的“预习”，淡化课堂笔记。

对于有些浅显易懂的课应该让学生提前预习，给学生一个自主学习的机会；对于有些概念性强、思维能力要求比较高的课则不要求学生进行预习。为什么呢？对于大多数学生而言，他们的预习就是把课本看一遍，他们似乎掌握了这节课的知识。但是，他们失去了课堂上钻研问题的热情；他们失去了思考问题时所用到的数学思想方法；更为可惜的是，由于他们没有充分参与解决问题的过程，失去了直面困难、迎难而上的磨练！

大家知道，老师只有一个脑袋，而一个班上却有几十个学生，老师的思维怎能涵盖所有学生的思维呢？何况，老师的思维就真的比学生思维好吗？就真的容易被学生所接受吗？如果老师总觉得自己比学生行，总是让学生做自己的跟屁虫，那我们的人类又怎能向前发展呢？

2、以老师的无为造就学生的有为。

在教学中，我曾尝试这样一种做法：上课时老师尽量少讲，主要是给学生腾出大量的时间与空间，让学生更主动、更积极、更亲历其境地去学。正是由于有了学生的深层次的参与，才能取得过去我们以老师的教为主所不可能达到的高效。

中国古代哲学家认为治理国家的最高境界就是“无为而治”，与此类比，我们的教学是否也可以“不教而学”呢？如果是这样，哪上课讲什么呢？先打一个

比方：假定一个数学老师只会做一道数学题，那么他会觉得解这道题的每一个步骤都是十分重要的，因而他会非常详细地讲解每一步；假定一个数学老师只会做两道数学题，那么他会觉得解这两道题时所用到的共同的方法是最重要的，因而他在讲课时就会重点讲授这些共同的方法，这位老师如果站在系统的高度去讲解这两道题，他所需要的讲课时间也许并不比第一位老师多；……依此类推，一个教师会解决的问题越多，他就越能从系统的高度去把握本学科的知识，要讲的东西就会越少。因此，我在备课的时候主要思考如何对教材进行重构，突出主干知识。我在备课时想的第一个问题，也是想得最多的一个问题就是：什么内容是非讲不可的？什么内容可以不讲？

3、练在讲之前，讲在关键处。

有一位数学教育专家曾经总结过这样一个经验：静看3分钟。意思是指一道题拿出来以后，应先给3分钟时间让学生看看、想想、做做，再由老师进行讲解，以便让学生更好地领悟。

教学是一种特殊的认知活动。在课堂教学中，教师是主导，学生是主体，等等。但问题是我们的教师是否真的读懂了这个“导”字？我们的学生是否真的成为了学习的主体？大家知道，高中生正处于身心发育时期，与生俱来有着一种逆反的天性。他们希望尝试，他们希望创新，他们希望走出自己的路！但是，我们的教学却想方设法、千方百计地把学生的思维导入我们事先预设好的轨道，学生甘心吗？情愿吗？久而久之，这些学生还能感受到数学求知的无穷魅力吗？难怪我们的学生经常会问类似的问题：老师，为什么我这样做不行？这样做行吗？可以肯定地说：没有真正理解教师的“主导”，就不可能有学生的真正“主体”。因此，我更认同一种新的观念：教学的本质是交往，是以教师和学生都作为主体，以教学内容为中介的交往。

我认为：只有在老师讲解之前学生已经深入地钻研了问题，他才能有“资本”与老师进行平等的对话、交流，他才能真正成为学习的主体。我们甚至可以这样认为：只要练在讲之前，哪怕是以老师的讲为主要形式，它也是一种交往。因为在老师讲的过程中，学生必然在心里把自己的想法和老师的想法进行了对比、评价。何况，我们现在还有小组讨论、合作学习、师生答疑等多种形式，使师生、生生之间更好地进行交往呢！“练在讲之前”的另一个重要作用在于能够让学生充分感受到数学求知的无穷乐趣。我们要用学科的内在魅力去打动每一个学生。大家知道，学生学习数学最兴奋的时候就是他们通过苦思冥想终于“做出来了”！

4、“内部问题内部解决”。

我反思自己的教学，有一种做法是比较特别，效果也不错：当学生刚进入高中的时候，他们由于习惯了那种长期的“就范”式的教学，一下子要过渡到没有“拐杖”的独立思考，因而感到很不适应。于是他们产生了很多学习上的问题，特别是三五个学生一起来问问题时，我总是力争不直接地回答，尽量充当一个组织者、引导者，尽量不以自己的思维左右他们的思维，让他们畅所欲言。对于A同学提出的问题，我让B同学在我们面前说说看；对于B同学提出的问题，我又让C同学在我们面前说说看；对于C同学提出的问题，我反过来让A同学在我们面前说说看……。偶尔的，当他们的解答有不正确或不严谨的地方时，我会装着不懂的样子提出疑问，以便把他们的思维引向深入。久而久之，学生在潜意识中形成了自己是能够学好数学的观念，逐渐摆脱了对老师的依赖。更为可喜的是，通过这样的一种学习形式，在学生中间形成了一种互相探讨的风气，在班级里形成了学习型的小“社会”。既培养了学生的合作精神，又使课堂内外充满了活力！

新课程理念下的高中数学教学现在进行时，我希望通过课堂教学的不断实践，追求这样的一种境界：让学生真正成为课堂学习的主人；让学生充分感受数学求知的乐趣；让学生在不断的探究和合作中发现规律；让学生在解决问题的过程中全面提高素质！数学学习中的重点难点也就迎刃而解。

5、精讲精练，适时巩固

教学中例题的选取与定位，教材中的例题都是很典型的，是经过精选．具有一定的代表性的．中学数学教学中，例题教学占有相当重要的地位，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的剖析教学，不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力，培养和提高学生解决问题的能力等方面，能发挥其独特的功效．另一方面课本上的例题一般只给出一种解法，而实际上许多例题经过认真的横向剖析，能给出多种解法．如果我们对课本例题的解法来一个拓宽，探索其多解性，就可以重现更多的知识点，使知识点形成网络．这样，一方面起到强化知识点的作用，另一方面培养了学生的求异思维和发散思维的能力．课堂上剖析例题的多解性，还可以集中学生的学习注意力，培养学生“目不旁骛”的良好学习习惯．教师在授完教材一节或一章内容后，要根据教材的特点，有重点的对课本知识进行深入浅出地归纳．这种归纳不是概念的重复和罗列，也不同于一个单元的复习，而是一种源于课本而又高于课本的一种知识概括．“概括”需要有一定的思维能力，这种能力不同于其它思维能力，它是通过对众多事物的观察，以及对许多知识的提炼而得出的条理化、规律化的东西，经过概括的知识易记、易懂．

谈高中数学问题解决教学的运用 篇6

关键词：高中数学 问题解决 问题情境

一、借助学生已有的知识，设置恰当的数学问题

设置问题，就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有的知识经验，将学习内容设计成若干个学生能解决，能激发学习积极性的问题，使学生在动手实践、自主探索和与他人合作交流的过程中获取数学知识、技能、思想和方法。教师设置的问题，要求教师把握整个教学大纲，新知识体系之间的联系与要求，根据教学目的与要求来考虑问题的设置，并引导学生逐渐实现从教师设置问题到学生设置问题的过渡。问题设置时要注意所提出的问题是否明确，难易程度是否恰当，提问对象是否普遍性，提出的问题是否有启发性。例如，在解析几何中讲"抛物线及其标准方程"时，在回顾椭圆、双曲线定义后，提出问题"平面内到定点与定直线相等（即e=1）的点的轨迹是什么？"实际上，学生在学习了椭圆与双曲线后，心中就有一个疑问，即e=1时，点的轨迹是什么？教师提出的问题与学生心中的疑团相吻合，从而激起了学生探究问题的兴趣，促使学生产生要进一步研究下去的动力。

二、模拟创建问题情景，激发学生学习兴趣

数学问题，不但反映在数学教材内，实际生活中也蕴含着丰富的数学知识。以学生熟悉的事物和场景为出发点，以他们关注的热点和焦点为背景材料，采取多样化的教学手段，为他们模拟创建真实的问题场景，不但能使学生自主地发现问题、提出问题，还能有效激发他们的学习兴趣和学习欲望。如在教学“立体几何初步”中“直线与平等线判定定理”时，笔者首先让学生观察两个生活实例：（1）门扇的两边是平行的。当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，门扇转动的一边与门框所在的平面是不是平行的？（2）将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，让学生观察，猜想线线平行与线面平行之间是否存在联系。在这个过程中，教师通过生活实例创设问题情景，提出了两个探究性问题，然后引导学生通过观察、交流、探索，猜想出线面平行的判定定理。在“问题解决”的过程中，培养了学生自主探索问题的能力。最后教师通过说理与辨析的方式鼓励学生对结论进行验证，并对定理做了解读，加强了学生对定理的认识和理解以及应用定理的能力。

三、调动问题解决需要的非智力因素

教师的对话和指导应突破认知领域而延伸到情感等其他领域。在课堂教学中，要动态地对学生进行指导和评价。要善于发现学生的闪光点，及时地给予鼓励和肯定；当学生思维受阻时，教师应用一些充分肯定、具有明确指导意义的过渡语给予学生评价和引导，这样既指出了思考、讨论的方向，又教给了学生学习的方法，增强了学生战胜困难的信心，形成了良好的学习态度；面对学生的“失败”过程，教师也应肯定“失败”的思维价值。用“想法很好”“要发现真理就要敢于失败”“尽管失败，但再想一想是否还有别的办法，也许离成功不远了”等春雨般的语言来滋润学生“愤”“悱”之心，使学生的感情需要得到满足，面对挫折学生还保持乐观的态度。课堂教学中，教师热情洋溢的赞美、肯定、鼓励和褒奖，是学生创新精神和能力的生长剂。无疑会使学生受到极大的鼓舞，会使学生认识到自己的潜能和才智。这种积极的评价和引导，不但会有利于问题的解决，而且会使学生增强战胜困难的勇气和努力学好数学的决心，学生在学习过程中形成积极的心理影响会使他们终生受益。

四、借助学生对问题的探究，引导学生完善自己的探索成果

分析探究问题的过程是对学生进行思维训练、能力训练的一个过程。在此过程中，学生需要进行适当的运算，以提高运算能力，同时需要运用逻辑思维能力，在分析探究问题的过程中能力得以提高。例如，在“抛物线及其标准方程”这节课里，如何求抛物线的标准方程，可提出这样的问题：“如何由抛物线的定义导出抛物线的标准方程？”（教师组织学生分组讨论）然后，进一步引导如何建立直角坐标系；问：（1）如何选z轴，为什么？（2）如何确定坐标原点，为什么？学生分组讨论后，各组派一名代表回答。通过这种方式，全班学生在这一过程中能集思广益，不仅使学生主动获得了知识，而且增强了每位学生的思考能力。

总之，高中生之间存在的数学认知水平的差异，究其原因，并不完全是知识的匮乏，而是学生发现问题、解决问题的思路、方法、技巧存在差异。因此，数学教师要注重传授学生“问题解决”的策略和方法，提高学生的“问题解决”能力，为高中数学“问题解决”教学提供有效的新思路和新途径。

参考文献：

[1] 于晓强.高中数学教学存在的问题及对策[J].甘肃教育，2016，（10）.

[2]耿玲玲.浅析高中数学的效率教学[J].理科考试研究，2016，（13）.

高中数学课问题解决 篇7

“迁移”是指人们将已经掌握的知识技能运用到新的学习情境中,并能够对新的学习产生一定的影响,无论这种影响是正面的或是负面的一种心理现象。数学本身就是一门比较严谨的学科,它的各个分支之间的联系也是非常紧密的,这样就促成了“迁移”理论在数学教学与学习中的广泛出现与普遍应用[1]。因此,在实际的数学教学过程中,应该如何正确地、科学地运用 迁移规律 解决具体 的数学问 题 ,从而提高 教学的效率与质量问题,是广大数学教师应该认真思考与研究的重要问题。

一、对迁移理论的认识

-迁移,简单地说,就是一种学习对另外一种学习产生的作用,这种作用在心理上被称为学习的迁移。而迁移又分为正迁移、顺向正迁移、逆向正迁移和负迁移、顺向负迁移、逆向负迁移。若是一种学习对另外一种学习产生的作用是积极的、促进的作用,那么就被称为正迁移;若是之前的学习能够有效促进后面的学习,那么这种促进作用便被称为顺向正迁移; 若是后面的学习能够反过来 推动促进 之前的学 习 ,使得前面的 学习有一 个很好的 巩固与吸 收 , 那么这种 促进作用便被称为逆向正迁移。但若是一种学习对另外一种学习起到的是干扰、妨碍的阻碍作用, 那么这种作用便被称为负迁移 ;而若是之 前的学习 对接下来 的学习起 到的也是干 扰、妨碍等 一些阻碍 的作用 ,那么这种 作用便被 称为顺向负 迁移 ;若是之后 的学习反 过来影响 着之前的 学习 ,不利于之前 学习的相 关知识的 巩固与吸 收 ,阻碍了之 前的学习 ,对其产生 了巨大的消极影响,那么这种作用便被称为逆向负迁移。

就迁移的实质来说,迁移实际上是学生以自己本身具备的知识结构为基础, 将这些观念运用到新的知识学习中,通过对新知识的概括、分析,从而揭示出新知识与旧知识在本质上的共同特征, 这也就是新知识与本身的认知结构的一个“同化”过程。迁移建立在学生充分发挥自己的主观能动性的基础上,主动运用所具备的知识架构解决新的问题。教师主要是为了迁移而教学, 而学生则是为了迁移而学习,因此,“迁移”已成为越来越多的师生所普遍形成的一个共同的认知基础。

二、迁移理论在数学教学中的具体体现

(一 )落实双基 ,为学生创造联想的条件。

落实双基是学生创造联想的前提条件与基础, 而基础知识的学习及基本技能的掌握则是学生思维获得发展的前提与基础,同时能有效帮助学生更好地解题。因此,在实际数学教学过程中,若是双基能够得到反复的强化与加强,那么对于提高学生在解题过程中对相关知识与技能的联想的速度将会是非常有帮助的,能够帮助学生更好地理解问题,从而掌握相应的知识点。比如:在32x-3x+1-4=0这一方程的解答过程中,若是学生有着比较扎实牢固的双基知识, 那么就能够由此迅速地联想到一元二次方程的基本技能、指数性质、指数函数与对数函数的转化知识, 这样就能够有效帮助学生快速解答出该方程式。由此可以看出,扎实牢固的知识基础对于启发学生的创造性思维是非常重要的。同时,需要确保数学知识之间相关联系的加强,确保新旧知识之间能够更好地衔接起来,从而加深学生记忆。比如:在三角积化和差、和差化积公式的教学中,学生普遍存在的问题便是对知识记不住、知识难记的问题。若是学生能够记住三角形的正余弦加法定理, 并在此基础上对知识进行迁移,那么学生对于新知识的学习,也就不会出现经常遗忘的问题了。

(二 )提高学生的数学概括能力 ,为迁移创造条件。

就迁移的本质而言,它实际上就是概括能力,学生的概括能力与学生的适应性是呈现正相关的。学生的概括能力若是越强,那么他的学习适应性肯定也会随之增强。因此,在实际的数学教学中,教师必须有针对性地提升学生的概括水平。通过对相关的概念与基本原理的讲解, 帮助学生更好地掌握相应的学习技巧, 从而使得学生的概括水平在此过程中得到提高,为迁移创造出更好的条件与环境。比如:在棱柱概念的教学过程中,教师可以按照以下步骤开展教学:首先,教师可以先列举出具体的、形象的物体,比如:长方形盒子、棱镜片、螺帽头部,等等,让学生能够根据线与面的关系分析出物体的属性。然后,教师可以鼓励学生根据这些物体的共同特征,有针对性地提出相关的假设:1.两个面以上平行的几何体为棱柱;2.棱柱由不同的面围成 ;3.相邻两个四边形公共边平行几何体为棱柱。通过对以上三个假设进行反例的列举并对其进行否定, 从而让学生在此过程中能够快速地将棱柱的本质属性分析与概括出来,即两个面相互平行、各面均为四边形,相邻四边形公共边相互平行。因此,教师在教学过程中,应该注重对学生在深层结构的基础上对知识的进一步深入有效引导,从而确保高效迁移的实现。

结语

高中数学课程创新的问题及解决对策 篇8

一、高中数学课程创新的问题

多年来我国高中数学改革创新的步伐一直放缓, 创新方面一直不明显, 课程改革的步伐仅仅停留在了课程内容的删减、课程编辑的调整上, 这种缓慢的变动利于教师的讲授经验的积累, 从另一个方面来看, 也将高中数学的课程中的问题都显现出来。主要问题在于“应试”的目的驱动下, 湮灭了学生对数学学习的兴趣, 更多的是分数的要求。课程的内容上偏旧, 课程设置比较单一。初中与高中的数学课程内容上关联和衔接不够, 重点仅仅放在了理论上, 同实际相关的地方比较少。还需注意的是在高中数学的教育中, 更应重视的是思想, 而不是教学结果, 灌输式的教学中忽略了学生这一重点, 缺乏独立思考能力和创新精神的培养。从课程的评价角度来看, 方式单一, 考核仅仅以笔试的一次成绩为准, 不能真正考虑到学生的本身发展来进行全面考查。针对以上, 在1989年我国的数学教学工作者们, 成立了课题组, 将数学教学的改革创新作为一个重点进行研究、解决。

针对我国高中数学的基本特征, 高中数学的课程改革创新从以下几方面做突破:课程内容的调整;课程结构根据不同的要求、侧重转变为可选择性和多变性的;让学生真正成为学习的主人, 把学习方法、学生的学习态度、情感、价值观作为重点。在高中数学的课程改革创新中, 改革创新的步伐中仍然保留了义务教学改革的思路, 没从根本上总结反思, 遇到了很多的问题亟待解决。主要总结为以下几点:

第一, 将高中数学的推理证明简单化, 让学生更好地掌握知识。把学生的自主学习探索作为强调的重点。保留数学本身严密性, 数学是通过逻辑思维转换以及公式推导而形成具有严谨思维特性的工具学科, 在教学的过程当中我们可以针对推理的复杂进行简单化的处理, 但不能破坏其严密性。

第二, 学习方式的改良。现代教学倡导积极探索的学习方法, 教师通过课堂的情境创设, 既保持了与数学的紧密联系又活跃了课堂气氛, 同时让学生自主地参与到日常的课堂学习当中, 不仅增强动脑能力, 同时还增强了动手能力。

第三, 学习程度, 换句话来说也可以称作高中数学的学习负担。数学是一个具有系统性且渗透能力强的学科。各个章节的模块限制较大, 灵活运用空间较小, 且现有的数学教学教案是否完全符合高中学生学习进程还有待商榷。有些章节难度过大, 而有些章节却明显低估了学生的能力, 不利于学生数学水平的提高。

第四, 考试的内容也有待商榷, 我国数学高考通常是28道固定题型, 虽然题目千变万化, 但是内容万变不离其宗, 这样稳定的题型以及可预知的考试空间, 是否是数学应当遵循的考试模式, 是否符合了高中课程的学习程度, 是否降低或超越了学生学习的范围, 这些问题都是亟待解决的。

二、高中数学课程创新的解决对策

针对以上问题, 具体地说, 目前要突出抓好以下三个方面工作:

(一) 更新教学理念, 转换教学角色

教师不再是知识的权威、真理的化身, 学生不再是被动接受知识的容器;教师的职责越来越多地体现在激励学生进行思考, 除了他的正式职责以外, 他将越来越像一名顾问, 一位交换意见的参考者, 一位帮助发现矛盾论点而不是拿出现成真理的人。教师与学生在人格上是平等的, 是教学活动的合作伙伴。在教学过程中, 教师要主动与学生站在同一个平台上互动探究, 在平等的交流中作“裁判”, 在激烈的争论中做“首席”。

(二) 加强课程研究, 提升教学能力

高中新课标要求教师不仅是课程的实施者, 而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。新的数学课程增加了教学中本来就存在的不确定性, 教材不等于教学内容, 教学内容大于教材, 教师可以自己“改”教材。不少课改教师已经感到新教材不好教, 到处需要补充, 到处都想讲清、讲透, 就是时间不够。这固然有高考怎么考的问题, 但更重要的是观念和能力的问题。教师一方面要自觉钻研, 另一方面还要积极参加教研活动, 加强相互学习和交流, 充分利用集体智慧, 把握好教学的目标, 适应新课程的要求。

(三) 关注教学过程, 改善教学方式

新课程改革的核心就是要改善教与学的方式, 由封闭式的教学变成指导学生“开放式”学习。新课标对教学方式的改善主要有两方面新要求, 过去我们的数学教学更多的是关注学习的结果, 对学生的学习方式和策略关注不够。改变学生的学习方式, 就是要转变目前“满堂灌”的被动学习方式, 让学生真正成为学习的主体。古人云:学之道在于“悟”, 教之道在于“度”。在教学中, 学生要在参与实践探索中获得对知识本质的理解、对知识意义的领悟, 教师则要在学生学习过程中, 把握好恰当的“干预度”。

(四) 针对考试方式进行修改

在日常的随堂考试当中, 针对类型化的题目进行重点研究, 数学的学习考试、通常来讲就是“死记硬背”, 任何学习方式只是针对学习内容以及形式做得最好调整, 而在学习数学的过程当中如果对题型不了解, 对公式理解不透彻, 对需要掌握的理论知识不扎实, 那么再好的改革也仅仅是一句空谈, 我所倡导的改革理念是针对现有模式下的一种提升, 是一种教学理念与形式的提升。所以打牢基础不仅是应对数学学习的关键, 也是考试成功与否的关键。

本文只是从理论上对数学创新方法进行了研究, 并没有落实到实质当中, 在此笔者特别强调的是, 在日常的教学当中, 教师创新之余不能“忘本”, 应当牢记数学是一个工具学科, 我们讲课的过程当中应当把最浅显的道理教给学生, 而不是自己“胡乱创新”将原本简单化的问题复杂化, 这样就本末倒置了, 从基础抓起、从每一条公式抓起, 这才是数学创新之道的基础所在。

摘要：高中数学课程作为我国高中生学习的重要课程, 一直受到广大师生和家长的关注与重视。多年来如何将高中数学课程不断发展创新, 同时和学生相适应一直是教师关注的重点, 既要从学生的本身出发, 又要不断加强教师本身的培训。确保教师从主观更新教学的理念, 角色真正转换, 从各个方面不断解决矛盾, 坚持实践课程创新的理念。

关键词：高中数学,课程改革,创新,现状,对策

参考文献

[1]李建华.TMSS2003与美国数学课程评介[J].数学通报, 2005 (3) .

[2]徐文彬, 杨玉东.英国国家数学课程标准的确立与变革及其启示[J].数学教育学报, 2002.

[3]曹一鸣.义务教育数学课程改革及其争鸣问题[J].数学通报, 2005 (3) .

高中生画图解决数学问题能力的培养 篇9

一、画图解决数学问题能力的重要性

斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以转化为一个图像, 那么我们就能整体地把握住问题.”图是高中数学的生命线.数学有三种语言:自然语言、符号语言和图形语言.在这三种语言中, 图形语言具有很强的直观性, 最易理解;符号语言简捷, 但最抽象;自然语言直白明了, 但比较繁杂.在解题过程中, 如果我们能将自然语言、符号语言翻译成图形语言, 那么很多问题就会变得容易多了.有的时候, 只要我们把图画出来, 一些问题的答案就直接出来了.在遇到难题时, 我们更应该画图, 因为图可以清楚地呈现出已知条件和待解决问题以及它们之间的关系.积极引导学生画图解决问题, 通过构造几何图形提供代数问题的几何背景, 能给学生以直观体验, 使学生切实感受“有形数学”的存在, 能在很大程度上提高学生学习数学的积极性和自觉性, 锻炼学生数学思维的敏捷性、广泛性和灵活性, 从而提升学生的思维品质, 增强学生的解题能力, 培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.

二、影响高中生画图解决数学问题能力的主要因素

画图解决数学问题在数学学习中有很重要的地位, 是解决数学问题的一种重要方法.笔者在教学中发现, 很多学生在解数学题时头脑里闪现的只是一些定义、公式和定理, 想不到去画一个联系已知条件和未知项目的简单表格, 总是埋怨自己不知道从哪儿下手来解决问题.究其主原因有以下几点:

1. 适应高中数学学习的时间不一

初中数学主要以形象、浅显和通俗的语言进行表达, 而高中数学一开始就是集合、函数等概念, 比较抽象.学生要适应这一突变需要一个适应的过程.这个过程的长短, 取决于学生把这些抽象的概念转化为图形语言的领悟能力.但是, 很多学生在理解这些抽象概念时只会机械地记忆, 不会画图理解.由于初、高中阶段教学内容的深度和广度均有差距, 数学语言在抽象程度上也发生了重大变化, 仅有少部分初中生能够在教师的引导下通过画图领会.这导致了学生适应高中数学学习的时间不一.

2. 主观意识比较强, 凭感觉胡乱猜测

学生在解决数学问题时, 受主观意识的影响, 不可避免地会与以前的知识和技能相联系, 从而想当然地写出一些错误的式子.如, 学生在解不等式x2>16时, 受“x2=16⇒x=±4”的影响, 一些学生便想当然地得出了x>±4的错误结果.对于这样的错误, 我们只要引导学生画出函数y=x2-16的图象, 就可以使学生知道错在哪儿了.

3. 只想着套用公式, 画图解决问题的少

在做练习时, 很多学生只想着套公式, 得出最后的答案就行了, 如果想不出套用哪个公式就不知道该怎么办了, 没有养成画图分析问题的习惯.例如, 对于用自然语言描述的问题:“某年级先后举行数学、物理、化学三科的竞赛活动, 其中有75人参加数学竞赛, 68人参加物理竞赛, 61人参加化学竞赛, 17人同时参加数学、物理竞赛, 12人同时参加数学、化学竞赛, 9人同时参加物理、化学竞赛, 还有6人三科竞赛都参加.求参加竞赛的人数.”很多学生只会用方程解决, 而画图解决的学生却很少.如果我们分别用集合A、B、C表示参加数学、物理、化学比赛的学生组成的集合, 再用图形语言来表示上述问题中的关系, 那么这一问题的解决就会变得容易多了.

4. 部分学生分析数学问题时缺乏耐心, 急于求成

很多高中数学问题需要通过画图分析来求解, 尤其是集合、方程与不等式、函数、线性规划、数列、解析几何、空间几何等问题, 画图可以使学生思路清晰, 答案精准.在分析和解决数学问题的过程中, 我们要花一定的时间去研究画些什么图, 怎么画图.如果画了半天还是找不出解决办法时, 学生就会觉得很麻烦, 很难分析, 就会没有耐心去分析了, 也不去想着画图了.这样, 他们学起来就会觉得困难重重了.

5. 数学教师不够重视学生画图能力的培养

教师在指导学生分析问题时常常一边指导一边不经意地随手画出草图, 相当于是替学生画图了.学生看到了教师画的图一下子就明白了, 但是过后自己再做这个题时却经常会忘记画图或者不知道如何画图.这样, 学生就会不知道或者不习惯通过画示意图来复现数量关系的情境进行“视觉思维”, 以至于面对题目的一大段文字百思不知其解.“看着老师画出的图, 学生觉得抽象的数学也不过如此, 但在自己做题时就不知道怎么画图了”.

三、培养高中生画图解决数学问题能力的建议

1. 重视画图教学, 加强学生画图和用图的意识

学生学习数学离不开图形, 也免不了要画图分析解决数学问题.培养学生画图分析问题的能力是数学教学的重要任务.如, 在必修2中, 画空间几何体直观图水平的高低是学生学好这一内容的关键.通过画直观图, 学生的空间想象能力可以得到进一步增强, 从而可以轻松地找出空间中点、线、面的位置关系.教师要让学生在学习的过程中意识到边动脑边动手画图分析对解决数学问题的重要作用.随着这种意识的逐渐增强, 学生画图、用图的能力就慢慢培养起来了.

2. 做好示范, 耐心指导, 引导学生通过画图解决数学问题

苏霍姆林斯基在《给教师的建议》一书中说过:“教师要教会学生把应用题‘画出来’……”教师在讲解与画图有关的问题时, 要做好示范, 注重图形的规范, 然后引导学生理清问题的思路.如, 当研究的问题与函数有关时, 教师要边审题边确定函数图象的类型, 并把已知条件和所要解决的问题用符号标注在图上, 通过观察所画的图象帮助学生理解题意, 寻找数量关系, 建立已知量与未知量之间的关系式, 从而列出相关式子进行求解.教师在指导的过程中要慢慢地教会学生如何审题, 如何画图, 从易到难, 逐步消除学生的思维障碍, 从中培养学生画图分析问题的能力.

3. 加强作图训练, 规范作图

著名的法国数学家A·彭加勒描写过数学家体验到的真正美感———数和形式的和谐感, 几何图形的优美感.如何让学生感受到几何图形的优美感呢?教师除了让学生学会识图, 还要训练他们的作图技能.从高一开始, 教师就要从规范画出初等函数的图象等做起, 培养学生的画图习惯, 让学生在做作业时把练习本的某一侧空出, 专门用来画图, 把图象作为建立数量关系和列方程的依据, 训练学生将抽象的问题用“图形语言”表达出来, 锻炼学生的抽象思维能力, 培养学生的画图分析能力, 从而提高学生画图解决数学问题的能力.

4. 运用TI图形计算器优化课堂教学过程

新的《高中数学课程标准》要求推广使用科学型计算器以及各种教育平台, 加强数学与信息技术的整合.利用TI优化组合, 动静结合, 能充分地发挥各种媒体深刻的表现力和良好的重现力.它所展现的信息既看得见, 又能动手操作, 能使学生获得亲身体验, 有利于启发和培养学生的思维能力, 有利于学生知识的获取和保持.例如, 教师在讲解利用椭圆的定义作椭圆的图象时, 一般的方法是利用自制教具演示, 现在却可以利用TI图形计算器动态演示作图的过程.

运用图论知识解决高中数学染色问题 篇10

例1 (2007天津高考题) 如图1, 用6种不同的颜色给四个格子染色, 每个格子涂一种颜色, 要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同, 则不同的染色方法共有__种.

常规解法:分2种染色与3种染色讨论, 共390种.

例2 (2008全国卷高考题) 如图2, 一环形花坛分成A, B, C, D四块, 现有4种不同的花供选种, 要求在每块里种1种花, 且相邻的2块种不同的花, 则不同的种法总数为__.

常规解法:A42+2A43+A44=84.

例3 (2003广东高考题) 如图3, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色现有4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有__种.

常规解法:分2、4同花与2、4不同花两种情况讨论或是枚举法, 共72种.

二、相关图论知识

定义1 (图) :一个图G定义为一个有序对 (V, E) , 其中V为点集或顶点集, E为边集.

定义2 (平面图) :图G的边不交叉的图.

定义3 (路图) :每个点只与其相邻的2个或1个点相连, 首位不连的平面图, 如图4, Pn:n+1个顶点, n条边.

定义4 (圈图) :首尾相连的路图, 如图5, Cn:n个顶点, n条边.

定义5 (轮图) :圈图的中间还有一个点, 该点与圈上每个点有一条连线的平面图, 如图6, Wn:n+1个顶点, 2n条边.

定义7 (数图) :不包含圈的图, 如图8.

定理1 (圈图着色定理) :用k (k为正整数) 种颜色给圈图Cn的顶点着色, 方法数为:fn, k= (k-1) n+ (-1) n (k-1) , 其中n≥2, f1, k=k.

定理2 (轮图着色定理) :用k (k为正整数) 种颜色给轮图Wn的顶点着色, 方法数为:gn, k=k[ (k-2) 2+ (-1) n (k-2) ], 其中n≥2, g1, k=k (k-1) .

其中, gn, k=kfn, k-1, n≥2.

三、问题解决

由于点的着色与面的着色是等价的, 所以例1至例3中的问题可以转化为图论中的图的染色问题, 这为我们解决问题带来了方便.特别是遇到一些需要烦琐的枚举或是分多种类型进行思考的问题, 图论方法也可以作为检验常规方法是否做对的一个有效工具.下面利用图论方法解决例1至例3.

例1可以转化为路图P3的3染色与2染色问题, Pn的k染色方法数为k (k-1) n-1.所以, 例1的解答为:C63C31A33+C62A22=390.

例3可以直接转化为轮图的W4的4染色问题, 解法为:g4, 4=4×[24+ (-1) 4×2]=72.

可见, 利用图论知识解决高考中的染色问题会带来很大的方便, 运用图论知识解决高中数学中的染色问题也是十分可行的.

四、问题的变式及解决

利用图论知识, 有很多类似例1至例3的问题便可以轻松得到解决, 只需要把原问题转化为某一类型的图, 并结合该类型图的特点即可.这里给出一些问题的变式及解答, 以供参考.

变式1如图9, 每个顶点染一种颜色, 要求相邻顶点染不同的颜色, 共有k种颜色, 求共用多少种不同的染法.

变式2如图10, 每个顶点染一种颜色, 要求相邻顶点染不同的颜色, 共有k种颜色, 求共用多少种不同的染法.

解答:k (k-1) (k2-3k+3) n.

变式3如图11, 每个顶点染一种颜色, 要求相邻顶点染不同的颜色, 共有k种颜色, 求共用多少种不同的染法.

解答:k (k-1) 7 (k-2) 11.

摘要：笔者利用图论知识解决高中数学中与染色有关的问题, 给出其一般情况下的通法通解, 并对其变式进行研究.

关键词：染色问题,图论,高中数学

参考文献

[1]张先迪, 李正良.图论及其应用[M].北京:高等教育出版社, 2005.