方向小波变换

2024-09-01

方向小波变换（精选八篇）

方向小波变换篇1

图像最基本的特征是边缘,边缘是图像分割所依赖的最重要特征。经典的边缘检测方法,是对原始图像按像素的某领域构造边缘检测算子。常用的边缘检测方法有:差分边缘检测、梯度边缘检测、Roberts边缘检测算子、Sobel边缘检测算子、Prewitt边缘检测算子和Laplace边缘检测算子等。

其中差分边缘检测方法是最原始的基本方法。根据灰度迅速变化处一阶导数达到最大(阶跃边缘情况)原理,利用导数算子检测边缘。这种算子具有方向性,要求差分方向与边缘方向垂直,运算繁琐,目前很少采用。

梯度边缘检测方法利用梯度幅值在边缘处达到极值检测边缘。该法不受施加运算方向限制,同时能获得边缘方向信息,定位精度高,但对噪声较为敏感。

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘,定位精度高,对噪声敏感。

Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差,在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用,提供较为精确的边缘方向信息,边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时,是一种较为常用的边缘检测方法。

Prewitt算子利用像素点上下、左右邻点灰度差,在边缘处达到极值检测边缘,对噪声具有平滑作用,但定位精度不够高。

Laplace算子是二阶微分算子,利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理检测边缘,不具方向性,对灰度突变敏感,定位精度高,对噪声敏感,且不能获得边缘方向等信息。

边缘提取可以通过在空域内或频域内进行。在空域中,Canny用梯度算子搜索局部最大值作为边缘点,Marr, Hildreth和Haralick等人利用图像拉普拉斯算子的过零点作为边缘点,为了抑制边缘检测中噪声的影响,Canny,Marr和Hildreth等人在利用梯度或拉普拉斯算子作用于图像后,又采用高斯平滑函数进行处理。在频域中,边缘对应着信号的高频部分,可以合理的设计一个带通滤波器来平滑背景,滤除噪声,从而提取图像的边缘。但是这些传统的方法都受到了各个方面的限制。比如说,在频域处理方法中,噪声和边缘、纹理等都具有高频特性,因此如果门限设定过低的话,不能彻底地滤除噪声,门限过高的话,很容易把有效的信息也滤除掉了。因此选择一种合适的,能够有效的提取图像边缘的方法显得非常重要。

近十几年来,小波理论为图像处理带来了新的理论和方法,它能较好的解决时域和频域的矛盾,是检测突变信号强有力的工具,利用小波的奇异性检测来提取图像边缘,消除噪声,较之传统方法具有很大的优越性。

2 基于传统小波变换边缘检测

关于小波分析当中的一些基本理论这里就不详细介绍了,文献[1]中有详细说明。可分离情况下的2维离散小波变换,实际上是对原图像依次做水平方向和垂直方向的一维离散小波变换。因此,在一级小波分解后得到4个子带,如图1(a)所示。LL是原图像的近似,其他三个子带均含有很强的边缘和纹理信息。其中HL子带反映了水平方向的高频变化,因而携有垂直方向的边缘纹理信息,LH子带反映了垂直方向的高频变化,因而携有水平方向的边缘纹理信息,HH子带反映了垂直和水平方向共同变化的高频信息,因而携有斜方向的边缘纹理信息。图1(b)是原图像,图1(c)是对原图像进行四个子带分解的结果。那么,能否利用3个方向的小波系数来判断该像素是否位于边缘或纹理上呢?显然,对于水平方向边缘或纹理上的点,它在HL子带的系数接近于零,而在LH子带的系数较大;对于垂直方向边缘或纹理上的点,它在HL子带的系数较大,而在LH子带的系数接近于零,因此,利用HL和LH子带小波系数的方差,就可以确定对应点是否位于水平或垂直方向的边缘或纹理上。然而,仅利用这两个子带不足以确定所有方向的边缘或纹理,例如,对于斜方向边缘上的点,HL和LH子带的小波系数很接近,而且同HH子带的系数也很接近,因此,即使附加上HH子带也不足以确定斜方向的纹理[2]。这种利用小波分解,求子带模值来判定边缘的方法,在识别某一具体方向的边缘或是检测产品瑕疵方面显然是受限的。因此,采用不同方向扫描线来扫描图象,再利用小波变换分解,才能较好的获得斜向的边缘、纹理,文献[3]中这一方法得到了很好的体现。另外一种方法就是利用小波变换梯度模极大值或二阶倒数过零点提取边缘,传统的大部分都是这种算法[4,5,6]。

3 方向小波变换边缘检测

图像的方向性(如边缘)、纹理方向性是图像的一种重要特征,在图像分析和图像处理中具有重要意义。一般的二维小波只能描述出图像在水平方向和垂直方向上的属性,不能反映出在其他方向上的特征。为了更好的描述图像的方向性,在二维空间中定义了方向小波变换,如下:

undefined

其中f(x,y)是原信号,0≤θ<π,s是变换尺度,undefined,当γ和θ确定下来后,xcosθ+ysinθ-γ=0表示一条直线,它代表方向小波变换的方向,可以证明,f的方向小波变换实际上相当于对f沿各个方向上做投影,而后做一般意义下的一维小波变换的“两步合一”运算。因此它具有传统小波变换所具有的时频局部化分析能力和良好的方向分析特性。下面给出基于方向小波变换的边缘检测的方法步骤:

a) 选取小波变换的若干尺度和方向角度{s, θ}s∈R+, 0∈[0, π];

b) 对图象f(x,y)作各方向角度的投影Tf(γ, θ), θ∈[0, π];

c) 对某个方向角度上的投影Tf(γ, θ)作小波变换WsTf(x);

d) 找出WsTf(x)系数的零交叉点,从两个零交叉点间检出极值|WsTf(x)|,设定一门限T,滤去噪声;

e) 对其它角度重复b),c)和d)步骤;

f) 对各角度分别得到的极值点的地方认为有边缘,否则认为无边缘;

具体列子如下述经MATLAB软件处理后的图与原图以及传统小波变换处理的图的仿真图。

原始图像f(x,y)如图2(a)所示,传统一维小波变换边缘图如图3(f1)、图3(f2)和图3(f3),传统二维小波变换边缘图如图3(e1)、图3(e2)和图3(e3),方向小波变换边缘图像如图2(b1)、图2(b2)和图2(b3)。从原图中可看出图像有明显的方向。图2(c1)、图2(c2)和图2(c3)是undefined方向小波变换的边缘图像,从原始图像可以看出undefined变换不能体现图像的方向性,因此这个方向上的边缘图看不出明显的边缘,且边缘点很少,但也反映出了一些左上角和中间三椭圆的这个方向的特征。图2(d1)、图2(d2)和图2(d3)是方向小波变换边缘图像,由于符合图像的极大部分的方向特性,所以边缘图的纹理极好,边缘十分清晰。

4 结束语

从理论分析和实验结果可以知道,方向小波变换比传统的小波变换在图像边缘检测中更符合图像本身的纹理特征,能更好的反映边缘信息。文献[7]和[8]中是利用了方向小波的梯度模值,还有文献[9]和[10]利用方向小波的不同特性来进行边缘检测。另外有的文献还提出了双域值法结合方向小波,先进行分类(噪声、后选边缘、边缘),再对后选边缘进一步处理。这些方法的效果较传统的小波变换好的多。

摘要：讲述了方向小波在图像处理中的应用,介绍了传统小波变换边缘检测方法,详细介绍了方向小波变换边缘的方法步骤,最后通过实例比较得出了方向小波变换比传统的小波变换在图像边缘检测中更优越。

关键词：传统小波,方向小波,边缘检测

参考文献

[1]陈武凡.小波分析及其在图象处理中的应用[M].北京:科学出版社,2002.

[2]郭小卫,田铮.基于小波域边缘方向特征的SAR图像噪声抑制方法[J].中国图像图形学报,2003(4).

[3]王慧燕,诸静.基于小波变换的边缘检测及其在绝缘瓷瓶故障诊断中的应用[J].电力系统自动化,2004(10).

[4]黄军芬,蒋力培.基于二维小波分析的焊接坡口边缘检测[J].焊接学报,2003(12).

[5]屈稳态,诸静.基于Gauss小波的焊接检测技术[J].焊接学报,2002(8).

[6]万振凯,杨晓光,刘其电.基于小波变换的复合材料预制件花节长度测试研究[J].中国图像图形学报,2001(12).

[7]付丽华,陈涛,李落清.基于方向小波变换的边缘检测[J].湖北大学学报,2003(7).

[8]王成儒,等.虹膜身份鉴别系统算法研究[J].仪器仪表学报,2002(6).

[9]Mallat S and Zhong S.Characterization of signals from muliscaleedges[J].IEEE Trans,PAMI,1992,14(7):710-732.

循环小波变换及其应用篇2

介绍了循环小波的概念及其循环小波变换的快速算法,详细描述了由原正交小波获得其相应的循环小波的过程,从其中的缠绕叠加过程中,给出了信号的循环小波分解的`一般公式,对任意长度数据的信号使用任意偶数的Daubechies小波的变换矩阵的构成给出了统一的描述.接着对使用循环小波变换识别结构系统脉冲响应函数的思想进行了仿真研究.在仿真中以两自由度和悬臂梁结构系统为例考虑了不同的小波对识别精度的影响,还讨论了循环小波变换方法的总体平均性能.

作者：于开平邹经湘谢礼立作者单位：于开平,谢礼立(哈尔滨工业大学航天工程与力学系;中国地震局工程力学研究所,哈尔滨,150001)

邹经湘(哈尔滨工业大学航天工程与力学系)

方向小波变换篇3

在图像测量领域, 一般的边缘检测方法是基于微分技术, 如Laplacian算子、Sobel算子和LOG算子等[1], 他们的边缘检测和定位精度仅能达到一个像素的精度, 亚像素边缘检测与定位受到广泛注意目前已有许多亚像素的边缘提取方法, 如插值法[2~3], 这些方法存在有原理误差或是计算量大、抗噪性能差等缺点。

一般的二维小波变换只能描述出图像的方向性, 在二维空间中定义了方向小波变换。方向小波不仅保持了传统小波变换的良好的时频局部化的分析能力, 还具有良好的方向分析能力。它能反映出图像在不同分辨率上沿任意方向的变化情形, 充分体现了图像的方向属性。小波分析是一种多分辨率分析, 他能在时频两域小波分析是一种多分辨率分析, 突出信号的局部特征, 现已广泛运用于去噪和边缘检测等图像处理领域。但是目前基于小波变换的边缘提取, 其定位精度仅能达到像素级[4], 很难满足高精度测量领域的要求该文提一种基于方向可调小波图像亚像素边缘检测, 其定位精度可以达到亚像素级, 且具有较好的抗噪性[5]。

1 亚像素边缘检测原理

1.1 小波变换模极大值边缘检则原理

通过高斯函数导数检测图像边缘, 实质是方向可调小波变换检测边缘。

任意方向小波变换定义为:

所以

这说明了方向小波变换值的平方恰恰与函数平滑后的梯度模值的平方成正比。于是, 我们可利用求方向小波变换值来代替求梯度模值。

方差为σ2 的2-D旋转对称高斯函数为

高斯函数的两个方向导数为

如果尺度为2 j , x和y方向的2-D二进小波变换为

令, 则 (2-7) 为

这说明了方向小波变换值的平方恰恰与函数平滑后的梯度模值的平方成正比。于是, 我们可利用求方向小波变换值来代替求梯度模值。Canny检测子在灰度图像边缘检测过程中需要确定梯度方向及梯度模值, 然后进行非最大值抑制。而采用方向小波变换进行图像边缘检测过程中, 由于梯度值与函数小波变换值的联系, 可以沿小波变换方向寻找极大值, 并不需要计算梯度方向及梯度模值。

其中: (x, y) 是像素点的坐标;θ 是搜索的旋转角度;a尺度参数 (取2j ) ;σ 高斯函数的标准方差;

1.2 二次多项插值亚像素定位

基于方向小波模极大值检测出像素级边缘后, 为了得到亚像素级的边缘, 要对灰度边缘图像进行插值处理。本文采用二次多项式插值, 具体算法步骤如下:

(1) 利用基于方向小波模极大值检测出像素级边缘梯度图像Grad{i, j}边缘点设为{m, n};

(2) 对于以确定的边缘点, 在梯度图像的X方向上取三点Grad{i -1 , j} Grad{i, j}和Grad{i +1 , j} , 以这三个点的梯度幅值作为函数值, m -1 , m和m+1为插值基点, 代入二次多项式插值函数ø{x}, ;

(3) 同理, 在Y方向上取三点Grad{i, j -1} , Grad{i, j}和Grad{i, j +1} 进行相同的处理, 由此可得亚像素边缘坐标{x, y} ;

其中:x i为插值基点;yi 为函数值。

2 亚像素边缘检测方法的实现

亚像素边缘检测求解步骤如下:

(1) 选择一个尺度S, 对给定数据执行方向小波变换;

(2) 找出在尺度S下的小波变换的模极大值;

(3) 设定阈值, 去除弱边缘点;

(4) 连接各个尺度下的边缘点, 形成边缘图像;

(5) 利用二次多项式插值对边缘图像进行插值处理, 找出亚像素级的边缘点。

3 实验分析与结论

3.1 实验分析与比较

对基于Sobel算子二次多项式亚像素边缘检测与本文提出的算法进行比较。取固定的20个像素点进行误差分析比较。如下列图所示。图4, (a) 是不含噪声的边缘检测误差曲线对比, 图 (b) 是含高斯噪声 (μ=0, σ2=0.01) 的边缘检测误差曲线对比。图 (c) 是含高斯噪声 (μ=0, σ2=0.04) 的边缘检测误差曲线对比。图 (d) 是含高斯噪声 (μ=0, σ2=0.08) 的边缘检测误差曲线对比。

3.2 结论

从图4的误差分析与判断可以得到以下结论:

(1) 在没有噪声干扰时, 基于Sobel算子二次多项式亚像素边缘检测与本文提出的算法的亚像素定位的误差波动基本相同;

(2) 随着高斯噪声的方差增大, 基于Sobel算子二次多项式亚像素边缘检测亚像素定位的误差波动越来越大, 而本文提出的算法亚像素定位误差波动稳定;

(3) 基于方向可调小波图像亚像素边缘检测比基于Sobel算子二次多项式亚像素边缘检测更具有抗噪声干扰的特性;

(4) Canny算子检测法和各种变种, 因为它是高精度指标下的“最佳”边缘检测滤波器, 其边缘误检率低, 定位准确, 其实际应用效果在各种“最佳”边缘检测滤波器中也是相当突出的。但在Canny算子定位精度只在像素级, 而且对噪声图像检测效果不佳。

4 结束语

本文提出的基于方向可调小波变换的二次多项式插值图像亚像素边缘定位, 实现了图像测量的亚像素边缘定位, 方法的边缘识别精度达到了0.06 (像素) , 相比其他算法如Roberts算子, 如小波模极大值法, Sobel算子精度提高了一个数量级;不仅如此, 该方法还有很强的抗噪性而且简单, 通用性强。

参考文献

[1]Rafael, C.Gonzalez, And Richard, E.Woods.Digital Image Processing Second Edition中国:电子工业出版社, 2008.

[2]吴晓波.应用多项式插值函数提高面阵CCD尺寸测量的分辨力[J].仪器仪表学报, 1996, 7 (2) :154.

[3]王建民.空间矩亚像素细分算法的研究[J].光学技术, 1999, (4) :37.

[4]王建民.空间矩亚像素细分算法的研究[J].光学技术, 1999, (4) :37.

方向小波变换篇4

在实际光学成像中,由于光学镜头焦距的限制,人们在对一场景进行拍照时,聚焦区域图像清晰,而非聚焦区域的图像就会模糊不清,为了得到不同目标都清晰的彩色图像,多聚焦图像融合[1]是一种有效的实现手段。彩色图像各颜色分量之间存在一定的相关性[2],若直接在彩色图像的各个颜色分量上进行图像融合,难度较大且容易造成融合后图像颜色信息的丢失和错乱,因此常用的一种方法是对图像进行彩色空间变换。近年来,由于小波变换杰出的多尺度分析能力,在图像融合领域得到了成功应用,利用小波变换的多分辨率特性可以使图像的细节和边缘在一定尺度范围内独立存在[3]。综合采用小波变换和彩色空间变换,首先将彩色图像从RGB空间变换到YIQ空间; 然后在YIQ空间进行小波分解[4],对分解后的高频分量和低频分量采用不同的融合规则,并以亮度分量Y为衡量标准,通过一致性检测得到融合图像的小波系数,最后通过小波逆变换和YIQ反变换得到融合后的图像。

1 图像的彩色空间变换

人眼的视网膜上存在大量的锥状细胞,它们能分辨红( R) 、绿( G) 和蓝( B) 3种颜色,因此,红、绿和蓝3种颜色被称为三基色。RGB模型[5]是面向机器的,其他彩色模型必须最后转化成RGB系统才能在彩色显示器上显示。但是RGB模型在空间感知上是非常不均匀的,各个颜色分量存在很大的相关性,颜色分量不仅能表示色度,也包含着亮度信息,对3个分量分别处理将会带来颜色信息的丢失和错乱。另一方面,对人眼视觉特性的研究表明,人眼是通过感知不同物体颜色的亮度、色调以及饱和度来感知丰富多彩的景观的,而不是通过三基色的比例。为了在颜色的表示方法上更符合人眼的感知特点,可以将色彩空间的RGB表示法转换到YIQ空间,从而将颜色的三维分量表示为亮度Y和色度IQ信号再进行处理。RGB空间向YIQ空间转换公式[6]如下:

YIQ空间向RGB空间转换公式如下:

2 二维离散小波变换

为了实现图像的小波变换及其逆变换,在进行图像的小波分解与重构时要选择合适的小波基。设原始图像f( x,y) 为X0,H与G是一维小波滤波器矩阵,则二维的小波分解算法[7]如下:

式中,h、v和d分别为水平、垂直和对角分量; H' 与G' 分别为H与G的共轭转置矩阵; N为分解的层数。相应的小波重构算法为:

3 多聚焦图像融合

3. 1 图像融合原理

对聚焦在不同目标的二维图像进行N层的小波分解后,最终可以得到3N + 1个不同的频带,其中有3N个高频带和1个低频带。以2幅图像A和B为例,简单说明了基于彩色空间变换和小波变换的多聚焦彩色图像融合[8]过程,如图1所示。

从图1可知,首先把彩色图像A、B变换到YIQ空间,对图像的各个颜色分量进行小波分解。之后对分解后的高频分量和低频分量采取不同的融合规则得到融合系数。最后依次进行小波和YIQ的反变换得到融合后的图像。

3. 2 融合规则

在融合过程中,融合规则的选取是影响图像融合效果的关键因素。在图像信号中,较大突变往往产生高频成分,而缓慢变化的区域则产生低频成分。在小波分解后,图像中的高频成分主要对应小尺度的小波系数,而低频成分主要对应大尺度的小波系数,对图像的高频子带与低频子带采用不同的融合规则。由于图像的方差能有效描述图像的高频特征[9],因此采取局部方差最大的准则对图像同级的水平、垂直2个方向的高频成分进行融合,组成新的2个方向的高频成分。例如: 图像中物体边缘的方差比其他位置的方差要大,图像越清晰的部分方差越大。所采用的融合规则[10]如下:

1将小波变换后的各子带图像进行分块( 本实验选用3×3大小子块) ;

2计算每个子块的方差;

3比较每个子块的方差,选取大方差也就是较清晰图像的方差作为图像融合值。即:

式中,i表示第i个子块,F表示融合后的图像,A和B分别表示待融合的2幅图像,E为方差。

对于图像的低频子带,即小波分解最后一层的尺度系数,使用局部梯度K值对源图像的变换系数进行选择,获取融合图像对应的低频系数。如果图像A和B的低频系数矩阵中元素 ( i,j) 的值的数目大于1,则采用平均法求融合后的低频系数; 否则,在3×3的邻域中,求低频系数矩阵中的元素 ( i,j)与它周围8个元素的一阶差分,然后对元素 ( i,j)进行归一化,求取平方和,得到局部梯度K值; 最后,选择图像A和B的低频系数矩阵中K值较大的元素 ( i,j) 的值,作为融合后图像F的低频系数矩阵的对应值[11]。其原理表达式如下:

通过比较K( A,p) 与K( B,p) 的大小,确定融合的低频域系数如下:

3. 3 一致性检测

为了获得好的融合效果,应选择相同的规则来构成合成系数,同时需要对系数进行一致性检测[12]。以融合图像中的点 ( i,j) 为例,在以 ( i,j)为中心的9个点中,如果从图像A中选出的点数比从图像B中选出的点数多,则以 ( i,j) 为中心的9个点全部取为图像A中相应的点,否则全部取为图像B中相应的点。在融合策略的选取上,对高频分量与低频分量分别采取局部方差与局部梯度最大的融合规则,同时以亮度分量Y作为衡量标准,通过一致性检测对融合系数做进一步的优选,以保持融合后图像的区域连续性。然后对各层融合系数进行小波逆变换,最后进行YIQ反变换得到融合图像。

4 实验结果及分析

为了说明所提出的基于颜色变换及小波变换融合算法的正确性和有效性,给出了多聚焦图像的融合实验,并与传统的加权平均融合法及小波变换融合法进行了比较。实验中,待融合图像数为2幅,选择小波分解的层数为2层。对两幅图像在YIQ空间的各个颜色分量进行小波分解,小波基选用“db4”。

图2中给出了2幅待融合的多聚焦图像,图( a) Pepsi A中聚焦在右半部分,图( b) Pepsi B中聚焦在左半部分; 图3给出了不同方法的融合结果和采用本文方法实现融合图像的一致性检验结果。结合图2和图3,从融合效果来看,采用加权平均法融合后图像中左半边的易拉罐和右半边的广告牌略显模糊且存在伪影; 采用小波方法融合后的图像比加权平均法清晰,但是同样存在伪影; 采用本文方法融合后的图像字迹和边缘细节效果都优于其他2种方法。

在主观视觉效果上对融合图像进行评价外,还采用了客观的评价标准。使用了信息熵H、均方根误差RMSE和交叉熵C对不同算法的融合结果进行了评价。

其中,融合图像的信息熵反映了融合图像所包含的平均信息量,图像的信息熵H定义[13]为:

式中,pi表示灰度值i出现的概率。其熵值越大,融合效果越好。而均方根误差RMSE的定义[14]如下:

交叉熵C反映了两幅图像之间的差异,值越小,说明融合后图像与参考图像的差异越小,融合效果越好。假设源图像G灰度值为i的像素出现的概率为qi,融合图像F灰度值为i的像素出现的概率为pi,则交叉熵的定义[15]为:

表1给出了3种具体的评价指标。可以看出,在不同的评价指标上,明显优于小波方法和加权平均法。

5 结束语

提出了一种基于小波变换和彩色空间变换的多聚焦图像融合算法,通过对多聚焦图像进行融合实验,并与传统的加权平均法及小波变换融合法进行了比较,克服了传统融合方法存在的伪影现象,证明了算法的有效性。实验表明,本文方法对多聚焦图像进行处理后融合在图像清晰度以及边缘细节方面的效果较好,并且处理速度较快。因此,本文方法可以在多聚焦图像融合时得到实际应用。

摘要：提出一种结合小波变换及彩色空间变换的多聚焦图像融合方法。首先把彩色图像从RGB空间变换到YIQ空间,将颜色分量与亮度分量进行分离,从而克服RGB空间各颜色分量的相关性造成融合后图像颜色信息的丢失和错乱;接着,将待融合的多聚焦图像进行小波分解以刻画图像的多尺度信息,在小波域实现融合处理。在融合策略的选取上,对高频分量与低频分量分别采取局部方差与局部梯度最大的融合规则,同时以亮度分量Y作为衡量标准,通过一致性检测对融合系数做进一步的优选,以保持融合后图像的区域连续性。实验表明,该方法的融合结果无论在视觉质量及定量指标上都明显优于传统方法。

小波变换的Fourier实现方法篇5

关键词：小波变换,卷积定理,相似性定理

20世纪80年代中期, 法国地质物理学家Morlet提出了小波变换[1]。在其后的近20多年里, 小波变换理论得到了丰富和发展并逐渐成熟。作为Fourier变换的发展, 小波变换既保留了Fourier变换的优点, 又弥补了Fourier变换无法有效分析非稳定信号的不足。如今, 小波分析已经广泛的应用到了很多领域, 如图像处理、生物、物理、水文水资源和地球物理等。

小波变换计算有两种算法:1) 利用积分公式, 逐点直接进行数值积分;2) 快速小波变换方法, 即Mallat算法和小波包算法[2], 但是它们只针对正交小波的离散小波变换[3]。方法1) 计算运行时间较长, 效率很低;而方法2) 只能适应正交小波变换, 具有局限性。在这里, 希望找出一种既能适应正交小波和非正交小波, 又能比直接逐点变换算法效率更高的算法。

1 时域小波变换

与Fourier变换相似, 连续小波变换利用的内积的大小来度量信号和分析方程 (小波) 的相似性:

连续小波变换的结果反应在图上就是一个等值线图, 频率 (或者尺度) 为y轴, 能量为z轴, 时间为x轴。将尺度a和时间b按照2的幂次离散化, 就得到信号的离散小波变换。

母小波包含两个参数, 即尺度参数a和时间位置参数b:

参数a是用来生成不同频率水平的子小波;参数b是用来把子小波变换到时间轴上, 从而识别在任一时间上是否存在给定的频率。这样, 任何一个尺度 (频率) 都将在整个序列时间上被分析一遍, 从而能够很好的分析非稳定序列的频率特征。

假设有时间序列x (n) , 具有相同时间步长δt, n=0, 1, …, N-1, 时间序列x (n) 的连续小波变换为:

这里, *代表复数的共轭, n表示局部时间, s表示小波尺度。

2 小波变换的Fourier方法

长度为N的时间序列xn的离散Fourier变换 (DFT) 为:

其中, k=0…N-1为频率数。

根据Fourier变换的“相似性定理”[4], 对于连续变量, 函数ψ (t/s) 的Fourier变换为。设, 符号表示Fourier变换与逆变换, 则卷积定理[5]可以描述为:

则, 根据卷积定理 (公式 (5) ) , 结合Fourier变换的“相似性定理”, 小波变换 (公式 (3) ) 可以转换为Fourier变换的逆变换:

因为分别是时间序列xn和小波函数ψ (t/s) 的Fourier变换, 那么就可以引入快速Fourier变换的 (FFT) 算法, 通过公式 (6) 计算出序列的小波变换。

3 小波变换计算量对比

由于计算机上乘法运算所需时间远比加法运算多, 故以乘法为例, 比较利用公式 (6) 和FFT算法与直接计算小波变换 (式 (3) ) 计算量。设时间序列的数据点数为N, 则直接计算小波变换需要的乘法次数是N2, FFT算法中乘法次数是, 计算量之比为。若时间序列数据点数N取2到2048, 对比直接用小波公式 (3) 和FFT算法求小波变换的计算量。从对比结果来看, 当N=2时, R=4;随着N增大, 计算量比值R快速上升, 当N=2048时, R=372。可见, 随着时间序列数据点数的增加, FFT算法中乘法的次数远远少于小波变换直接算法的乘法次数。

为了对比实际运行过程中小波变换直接算法和FFT算法的时间差异, 作者利用Matlab软件, 随机产生一个具有10000个数据的序列, 选择Mexican hat小波 (DOG, m=2) , 分别用直接算法和FFT算法计算序列的小波变换, 运算100次。直接算法和FFT算法所耗用的平均时间分别为92.86秒和27.66秒, 它们所用时间的比值为3.36, FFT算法的速度是直接算法的3倍多。可见, 将小波变换转换到Fourier空间并结合FFT算法, 能够极大的提高小波变换的计算速度。

4 结论

小波变换的Fourier算法把时间域的卷积运算转换到了频域的内积运算, 从而能够将FFT算法应用到小波变换, 明显地减少了运算中的乘法运算量。实例运算结果表明, 小波变换的Fourier实现方法结合快速Fourier变换算法, 能够明显缩短小波变换的计算时间, 使得计算效率得到了极大的提高。因此, 在处理、分析具有较大数据量的时间序列时, 小波变换的这种Fourier实现方法尤其具有优势。

参考文献

[1]Grossman, Morlet.Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape[J].SIAM J.Math.Anal., 1984, 15 (4) :14.

[2]徐长发, 李国宽.实用小波方法[M].武汉:华中科技大学出版社, 2005.

[3]Kaiser, G.A friendly guide to wavelets[M].Boston:Birkh覿user, 1994.

[4]Xu, C., G.Li.Practical Wavelet Method[M].Wu Han, China:Huazhong University of Science&Technology Press, 2005.

基于小波变换的图像分割研究篇6

图像分割技术在图像工程中占据重要地位,其分割结果关键性地决定了图像处理系统高层模块的性能[1]。在图像分割中有两种常用的算法,一种是区域阈值法,另一种是边缘检测法。使用阈值规则进行图像分割时,所有灰度值小于或等于某阈值的像素都被判为属于物体,所有灰度值大于该阈值的像素都被排除在物体之外,但由于物体和背景的灰度级分布是有交叠的,在直方图中灰度阈值很难确定一个较合理的位置,尤其是目标较多,出现多峰现象,选取较多阈值,增加了一定的难度。边缘检测法以基于图像边缘信息的方法为代表,是最早的分割方法之一,但是由于进行边缘跟踪处理的不精确性和易受噪声干扰的缺点,它的应用范围受到了限制。

基于形态学分割算法是目前使用较为广泛的算法之一[2]。传统的形态学分割即分水岭算法,是对图像的梯度图分割。梯度算子由于受噪声或量化误差的影响通常产生很多局部最小值,从而导致过度分割现象[3]。为了解决上述这些问题,本文提出了一种小波变换多分辨率分析方法和改进分水岭分割算法相结合的综合分割策略来作进一步的分割研究,提高了图像分割效果,以期望为下面精确地进行目标缺陷检测作准备。

1 目标与背景的分割

1.1 改进分水岭算法

图1 描述了一维分水岭算法的经典模型:浸没模拟。假设图1(a)中的一维函数是一幅地形地貌图。首先确定这个地形的所有局部极小点,并假设在每个局部极小点处刺穿一个小孔,然后把它随着时间匀速地浸入一个湖中。湖水开始从局部最小点处向对应的聚水盆地注水形成水库(如图1 (b)所示)。为了防止两个不同的局部最小点对应的水库汇聚到一起,在它们的相接处建立起一个水坝(如图1 (c)所示),当地形被完全浸没在湖面以下之后,所有的水坝就构成了分水岭(如图1 (d)所示)。

为了获得物体的轮廓,通常在待分割图像的形态梯度信号上计算分水岭。然而,用分水岭算法对形态梯度信号进行分割时,梯度信号中每个独立的局部底谷都划归为不同区域,最终导致“过分割”,即产生大量虚假的轮廓以致无法确认哪些是真正的轮廓。

如何克服过分割一直是研究的热点,本文提出了一种改进的分水岭算法。其方法为:在分水岭算法之前,通过对图像进行多尺度形态滤波,从而有效地抑制噪声带来的干扰,然后求形态梯度图像,再利用区域内灰度相似性的原则,用区域生长法分割图像。结合小波变换多分辨率分析方法,这样就可以得到分割图像的初步效果,而且较好地保持了图像的轮廓。

1.1.1 多尺度形态滤波

在分割之前,输入图像的噪声必须被有效地滤除,以便能够准确计算图像的梯度。Salembier等[4]基于连通算子的形态滤波近年来得到了广泛的关注,将图像中的一个平坦区域合并到另一个平坦区域,不会丢失形状信息,这种形状保持特性使基于连通算子的滤波器较其他滤波器更适用于分水岭变换。我们选取开重建滤波器,结构元素取 3×3。结构元素不能取得太大,否则会将灰度变化剧烈的小区域滤掉。

1.1.2 求形态梯度图像

图像经滤波后求形态梯度图像,形态梯度图像等于膨胀变换减去腐蚀变换[5]。如式(1) 求得:

g(x,y)=δB(I)(x,y)-εB(I)(x,y) (1)

其中,图像I的膨胀算子δB(I)定义为:

δB(I)(x,y)=max(k,l)∈BI(k,l) (2)

类似地,图像I的腐蚀算子 $ε_{B} (Ι)$ 定义为:

εB(I)(x,y)=min(k,l)∈BI(k,l) (3)

1.1.3 区域生长型分水岭算法

基于同一区域内图像灰度值相似形原则,用区域生长法分割图像[6],首先要选定一些代表不同区域的起始像素,即种子。然后按照一定的规则在种子周围进行区域的生长,直到这些区域覆盖整个图像。区域生长法的输入是待分割的含有种子的图像,种子逐渐生长。对于每个区域的当前边界像素,检查其8 邻域像素的特性,以确定是否可以将其并入边界所属的区域。

1.2 小波变换

小波变换是在傅里叶分析的基础上发展起来的,与传统的Fourier变换相比,小波变换是一种在空间域和频率域同时拥有分辨性的多尺度的分析方法[7]。它是把信号f(x)分解为由母小波函数 ϕ(x)经过位移和膨胀而产生的函数族,可用 $\sqrt{s} ϕ (s (s - u))$ 来表示。f(x)的连续小波变换为:

wf(s,u)= $\int_{- \infty}^{+ \infty}$ $f (x) \sqrt{s} ϕ (s (s - u)) d x (4)$

其中s=2i,u=n/2i,n∈Z。通过小波变换可对目标图像进行二维小波分解,分解为不同的频带的子图,得到相应的小波系数。这些小波系数即是对图像总体和细节特征的表征,常采用金字塔分解算法。分解过程如下:将低通(以L表示)和高通滤波器(以H表示)同时作用于图像的水平和垂直方向,对每个输出进行2取1的抽样,生成 4个频带的小波系数子图像,即L/L, L/H,H/L,H/H,此即一级分解。经分解后的子图像中,低频子图像L/L包含了图像的主要特征,其它三个高频子图像包含了细节特征或次要特征。继续对L/L重复上述过程,可得到四个次一级的子图像,即二级分解(如图2所示)。

工程上一般应用的是Mallat 算法,它是一种计算离散栅格上小波变换的快速算法。图像第j级离散平滑分量是对第j - 1级平滑分量的变换:

$X^{(j)} (k) = \sum_{n} h_{0} (n - 2 k) X^{(j - 1)} (n) (5)$

相应第j级离散细节信号(也就是小波变换)为:

$d^{(j)} (k) = \sum_{n} h_{1} (n - 2 k) X^{(j - 1)} (n) (6)$

信号重建方程为:

$X^{(j - 1)} (k) = \sum_{n} g_{0} (k - 2 n) X^{(j)} (n) + \sum_{n} g_{1} (k - 2 n) d^{(j)} (n) (7)$

其中j 和k 分别表示离散的尺度和位移,k=0,1,…,N-1;j=0,1,…,m-1;2m-1 =N;原始N 点离散信号可视为X(k);h0(k),h1(k)是由小波函数ϕ( t) 决定的低通和高通滤波器系数,g0(k),g1(k)是相应的重建滤波器系数。

经Matlab图像处理软件进行仿真得到的结果如图3所示,对rice 图像进行二级小波变换可以得到其多分辨率图像。其中图3(a) 表示原始图像,图3(b)为一级小波变换结果,图3(c)为二级小波变换结果,是对一级分解结果中的近似分量进行二次小波分解得到的。对应着图3的小波分解过程是很容易理解的。

1.3 高分辨率投影

使用小波变换产生金字塔图像后,在对最低分辨率图像使用改进分水岭方法进行分割后,会使原始图象产生许多区域,图像中仍然存在一些噪声,过分割现象就不可避免。因此需要对过分割图像区域进一步地合并,区域合并的基本原则是通过小波系数的同质性和相似性的标准来判决。

区域合并后的图像ML需要逐步影射到原始图像上,如果采用直接做影射的方法,那么投射到金字塔的每层上的图像区域边界将出现严重的块状现象。

为了克服上述问题,使用改进的分水岭算法获得每层的分割图象,然后,对最低分辨率分割图像区域进行合并处理,再利用小波逆变换的方法进行影射。由在L层合并后的区域融合图像SL(t),通过小波逆变换将SL(t)影射到L-1层上得到S′L-1 (t),用L-1层的低频子图象的分割图像ML-1(t)来光滑图像S′L-1 (t)的边缘,得到区域融合图像SL-1(t),再将此图像逐层影射到高分辨率图像中去。重复该算法,这样就会得到较好的分割效果。

2 实验结果及分析

使用Matlab 7.0图像处理软件对图3中的图像处理结果作进一步分割处理,应用改进分水岭分割算法,并结合小波的多级变换,进行编程仿真,得到图像分割结果如图4所示。图4(a)~(c)分别是对原始图像、原始图像的一级小波变换平滑分量和二级小波变换平滑分量进行应用改进分水岭分割算法的分割结果。其中图4(a)的区域个数为209个;图4(b)的区域个数为77个;图4(c)的区域个数为48个。可见,结合小波变换可有效防止过度分割。图4(d)是对原始图像直接进行传统分水岭分割算法的结果,区域个数为294个,出现了过分割现象。这说明了随着对小波分解级数增加,区域个数的逐渐减少,有利于相似区域的融合,便于准确分割。总之,应用小波变换的改进分水岭分割算法比传统的分水岭分割算法更好地防止了过度分割。

3 结论

本文提出了一种基于小波分解和改进分水岭相结合的图像分割方法。此方法有效地保留了边界的信息,达到了预期分割的目的,为后期的试验做了很好的铺垫。实验结果表明本文所提出的方法无论是对含有等效噪声还是人为噪声的图像都有很好的分割效果。

参考文献

[1]Gonzalez R C,Woods R E.Digital Image Processing[M].北京:电子工业出版社,2004:500-507.

[2]Kim JongBae,Kim HangJoon.Multiresolution-based watersheds for efficient image segmentation[J].Pattern Recognition Letters,2003,24:473-488.

[3]陈晓棠.基于时空域联合的视频对象分割[D].华南理工大学工学博士学位论文,2002,5.

[4]Salembier P,Serra J.Flat zones filtering,connected operator and filterby reconstruction[J].IEEE Transactions on Image Processing,1995,4(8):1153-1160.

[5]崔屹.数字图像处理技术与应用[M].北京:电子工业出版社,1997.

[6]卢官明.区域生长型分水岭算法及其在图像序列分割中的应用[J].南京邮电学院学报:自然科学版,2000,20(3):51-54.

基于小波变换的图像融合算法篇7

(1) 直方图:通过分析所要融合的图像光谱信息的特点, 可以发现在待融合信息光谱不同的情况下, 直方图之间的分布差异比较大, 反之, 则比较小。

(2) 使用最小二乘法拟合。

A.基本原理:设图像的离散灰度的分布为y, p (x) 则是多个项式拟合以后的逼近函数。在全局上分析近似函数p (x) 和所给的点 (xi, yi) (i=0, 1, 2, …, m) , 以及误差ri=p (xi) -yi (i=0, 1, …, m) 。数据拟合时的用到的具体方法是:对于给定的数据 (xi, yi) (i=0, 1, 2, …, m) , 在选取函数类覫时, 求出p (x) ∈覫同时使误差ri=p (xi) -yi (i=0, 1, …, m) 的平方和达到最小, 也就是:

在几何意义范围内讲, 也就是找寻与相应给定的点 (xi, yi) (i=0, 1, 2, …, m) 距离的平方和达到最小的曲线y=p (x) 。此时, 函数p (x) 称为拟合函数, 求出拟合函数的方法则称为拟合的最小二乘法。

B.多项式的拟合:设给定的相应的点为 (xi, yi) (i=0, 1, 2, …, m) , 覫为多项式次数不超过n (n≤m) 的函数类, 现在求函数, 使

拟合函数为多项式且满足式1.1时, pn (x) 称为最小二乘的拟合多项式。

显然地, , an的一个多元函数, 所以上述问题也就成为了求I=I (a0, a1, …, an) 极值的问题。从多元函数的求极值条件得出:

式1.4是关于a0, a1, …, an的线性方程组, 可以用矩阵表示:

式1.4或式1.5称之为正规方程组。

可以从证明得出式1.5的矩阵是对称正定矩阵, 因此有唯一解。从式1.5当中解出ak (k=0, 1, …, n) , 因此可得:

经过论证, 公式1.6中的pn (x) 满足公式1.2, 也就是说pn (x) 就是所要求的拟合多项式。把称为pn (x) 的平方误差, 记为:

从式1.3得出:

2. 选取小波基

基于小波基的特性分析[2,3,4], 将图像的区分类别和进行融合的目标相结合, 得出了一种较为优化的选取规则:

(1) 相同光谱信息融合时小波基的选取。

此时的主要目标是提升分辨率, 这个时候要注重考虑提升待融合图像的频率。同时, 对称性和消失矩是影响产生空间频率的主要指标。在光谱信息相同或类似的情况下不会发生剧烈的方块效应, 因此可以选择正交小波。

(2) 不同光谱信息融合时小波基的选取。

当不同光谱信息进行融合时, 主要的目标是最大程度的使图像有比较高的信息熵和频率。信息熵主要由滤波器的长度以及平滑性影响。所以在不同光谱信息融合中要需要着重考虑以上两个方面。经过论证, 支集长度增加时, Db小波的对称性也随之会变好。另一方面, Db5小波的两个主要参数指标都比较适中。因此可以选取Db5小波用来融合。

3. 选择融合方法

待融合图像经过以上规则的选取后, 大致有两个方面:

(1) 相同光谱信息融合的选取:此时的目标主要是提高图像的分辨率。因为灰度图像的色彩和光谱的特性都比较相似, 因此此时需要选取像素的绝对值取大值的算法。只有这样, 才能使高频的成分较多、亮度和对比度较高的特性更加突出, 此时应该着重使用两个图像中分别较为准确的部分以实现增强空间分辨率的目标。

(2) 不同光谱信息融合的选取:此时的主要目标是在维持光谱信息的前提下, 尽可能增强空间分辨率。因为分辨率的提高依赖高频细节系数的选择, 所以在选择融合方式时低频应当从提升信息量范围内来分析, 而高频则应当在提升空间频率来思考。所需进行融合的图像为灰度图像时, 低频应该使用基于区域熵加权的规则, 区域熵越大, 图像的权系数越大, 反之越小。高频则应当基于区域空间频率取大的规则。

4. 结果分析

在以上论述和分析的基础上, 本文在提出优化算法的同时, 进行了实验结果的比对及分析。源图像1是红外图像, 源图像2是可见光图像。图3是本文提出的优化结果。图4、5、6分别为基于Harr (Db1) 小波、Sym4小波变换及简单平均的融合结果。

从实验结果可以看出, 本文提出的算法更加具有可行性和改进性。

参考文献

[1]李伟.像素级图像融合方法及应用研究[D].广州:华南理工大学, 2006.

[2]陶观群, 李大鹏, 陆光华.基于小波变换不同融合规则的图像融合研究[J].红外与激光工程, 2003 (2) :173-176.

[3]程正兴.小波分析算法与应用[M].西安:西安交通大学出版社, 1998.

小波变换去面波方法研究篇8

关键词：面波,二维小波变换,小波基

面波是地震勘探中广泛存在的一种规则干扰波, 在近地表地震记录中占主导地位, 而在数据采集阶段未采取预防措施时更会产生这种波。小波变换是近几年发展起来的一个新的数学分支。它是一种信号的时间-尺度 (时间-频率) 分析方法, 具有多分辨分析的特点, 在时频两域都具有表征信号局部特征的能力[1]。小波分析的这些特长决定了它是地震勘探中对面波这种噪声信号提取和去除的有效工具。利用小波变换的上述特点, 实际数据用二维小波变换进行了多层多次的分解, 并对小波分解后的各个细节系数进行识别和处理, 重构系数后与原始信号进行对比, 取得了理想的结果。相比于其它方法, 小波分析更能体现出处理快、效果直观的优点[2]。

1 方法原理

1.1 小波基本理论

我们把对信号f (t) 的积分变换:

称为小波变换, 其中:

称为小波序列, 是由基小波 (母小波) ω (t) 经过伸缩因子a缩放和平移因子b平移的结果。当ω (t) 满足下列条件时, 称为允许小波函数或者基小波。

其中是ψ (t) 的傅立叶变换。

1.2 小波基概述

小波分析中所用到的小波函数不具有唯一性, 即小波函数ψ (x) 具有多样性。但小波分析在工程应用中, 一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题, 这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏, 并由此选定小波基。

根据不同的标准, 小波函数具有不同的类型, 这些标准通常有以下几点。

(l) 的支撑长度:即当时间或频率趋向无穷大时, 从一个有限值收敛到零的速度。

(2) 对称性:它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

(3) ψ, φ (如果存在的情况) 的消失矩阶数:它对于数据压缩是非常有用的。