射影定理

2024-08-23

射影定理（精选三篇）

射影定理篇1

射影定理在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 则有

下面仅通过2016年高考数学有关试题予以说明.

由射影定理, 可得

例3△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知2cosC (acosB+bcosA) =c.

(1) 求C;

(2) 在△ABC中, 由余弦定理, 可得

故△ABC的周长为

三角形射影定理篇2

射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理

直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD）=BD·DC，（2）（AB）=BD·BC，（3）（AC）=CD·BC。

证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（A

D）^2=BD·DC。其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）+（AC）=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）

即（AB）+（AC）=（BC）。22222222

2任意三角形射影定理

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。

1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．

相交弦定理

：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线

段长的积相等

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC=PA·PB（相交弦定理推论）

割线定理：

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB。容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证：

直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

圆内接四边形的判断定理定理1：圆内接四边形的对角互补；定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆幂定理

圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OPR

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 APPDAPBPPCPD PCBP

（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPAPT2PAPB PBPT

（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD。

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在：PAPBPCPD

进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于

A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则 PCPD(POR)(POR)PO2R2|PO2R2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为RPO|POR|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）

射影定理篇3

关键词：蝴蝶定理,射影几何,证明

0 引言

射影几何与初等几何、解析几何有着非常密切的联系和重要的指导意义,可以说这就是师范院校为什么要开设高等几何这门课的原因。

1 射影几何发展简史[1]

欧洲文艺复兴时期,由于绘图和建筑等的需要,透视画的理论逐步形成,以后便建立了画法几何。由于画法几何理论的发展,几何学家彭色列(Jean Poncelet,1788-1867)于1822年完成了一部理论严谨、构思新颖的巨著——《论图形的射影性质》,它是射影几何方面最早的专者。

到了19世纪上半叶,几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间,古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象,射影几何学正式成为一门新学科。德国人克莱因(Christian Felix Klein,1849-1925)等人用变换群的方法研究了这个分支,射影几何便成为完整独立的学科。克莱因的几何学群论思想,以简单明了的方式把相当多的几何学统一了起来,他给已有的多种几何学提供了一个系统的分类方法,并提示了许多可供研究的问题。它引导以后的几何学家的研究工作达50年之久,对几何学的发展产生了深刻的影响。

射影几何进入中国,应归功于我国数学教育家、几何学家姜立夫(1890—1978)教授。早在1916年,他就在当时的《科学》杂志上发表《形学歧义》,首先将射影几何介绍给国人。他亲自从事射影几何等数学课程的教学,他还将大几何学家嘉当阐述正交标架法和外微分法的名著《黎曼几何学》介绍到中国,为我国几何学发展做出了重要贡献。

我国著名数学家苏步青教授在学生时代就发表了《关于Fekete定理的注记》的出色论文,从1928年起,他陆续发表了《仿射空间曲面论》、《射影曲线概论》、《射影曲面概论》、《射影共轭网概论》等专著和大量论文。在我国他首先用分析工具研究仿射和射影几何,并在这个领域做出了举世闻名的杰出贡献。苏先生十分注重人才的培养,他亲自参加高等几何的教学工作,写出了《射影几何五讲》等教科书,直到八十高龄还为中学数学教师讲授射影几何知识。苏步青教授是我国几何领域的代表人物,他的奋斗史是我国几何发展史的重要组成部分。

随着科学的发展,射影几何理论还在不断地发挥重要作用,如齐次坐标被应用于计算机运算中,射影法被用于X光和CT扫描中的成象技术等。

2 蝴蝶定理的射影几何研究

射影几何是师范院校重要的专业基础课程,影响到未来的基础教育中的数学教学。现在以蝴蝶定理为例,讨论射影几何在基础教育数学教学中的应用,使人们形成射影几何观点下的几何研究。

2.1 蝴蝶定理

命题1如图一,过圆O弦AB中点M引两弦CD、EF,连接CF、DE分别交AB于P、Q,则PM=MQ。

此题最早出现在1815年英国的一份通俗杂志《先生日记》征解栏内,不知是编辑大意还是其它原因,未能提供命题人的姓名。1944年第2期的《美国数学月刊》,由其外形结构将它称为“蝴蝶定理”[2]。

1929年,Roger Johnson在《近世欧氏几何学》中,指出:“这个貌似简单的定理出奇地难证”;1972年,Howard Evesz在《几何学基础》中,写道:“如果限用几何知识的话,这的确是一个棘手的问题”。正是定理的挑战性,成为数学学习的各种测试题。1946年的美国普特南大学生数学竞赛,出现了蝴蝶定理的证明题;1990年的中国数学竞赛,出现了“筝形”蝴蝶定理;2003年北京市高考数学题中,出现了“椭圆型”蝴蝶定理;2009年江西高考数学题中,出现了“抛物线型”蝴蝶定理[2,3]。

2.2 蝴蝶定理解决方法

(1)利用对合对应

如图二,在圆中,由于角∠AFC=∠ADC,∠CFE=∠CDE,∠EFB=∠EDB,则有F(ACEB)∧D(ACEB)射影对应,于是有关系(APMB)∧(AMQB),即APMB)∧(BQMA)。

此时,有对合对应关系:A→B,P→Q,M→M,B→A,即有对合对应(APMB)∧(BQMA)。

由代沙格对合定理[4],当M点为AB中点,知该对合是以M为中心的对称变换,于是P、Q必是关于M为中心的对称点,即PM=MQ。

现在,更广义的设则在对合对应式子[4]:

在式(1)中,当a=b时,有x=y,蝴蝶定理获证,而且获得蝴蝶定理的推广命题。

命题2过图一圆O弦AB上一点M引两弦CD、EF,连接CF、DE分别交AB于P、Q,设则式(1)成立。

(2)利用射影交比不变量

在式(1)中,得到射影点列对应:(APMB)(AMQB)。于是,由射影交比不变量关系[4],得:

(3)利用二次曲线射影定义

证明:如图二,记A、E、G、B为二次曲线Γ上的四点,F、D为二次曲线Γ上的另外两点,则由二次曲线射影定义[4],知式(2)成立,于是式(1)成立。