高等数学中的极限教学

高等数学中的极限教学（精选十篇）

高等数学中的极限教学 篇1

一、注重极限概念的形成过程

任何一个数学概念, 都是通过对客观事物进行观察、分析、综合、抽象形成的.极限概念亦如此.我在教学中, 考虑到学生的认知水平, 通过创设问题情景, 积极引导他们去认识极限概念的形成过程.

问题情景1:割棒话无限

我国古代哲人庄子曾说过:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.”意思是说:有一尺长的木棒, 如果每天截一半, 那么这根木棒永远也截不完.随后, 利用课件动画演示上述过程, 每日截后剩下的木棒长度依次排列, , 构成了一个无穷等比数列.随着所截天数n的不断增加, 棒越变越短.若把该数列表示在数轴上, 显见, 随着天数n的不断增加, 对应点越来越接近原点.

问题情景2:割圆求周长

魏晋时期著名数学家刘徽在“割圆术”中说道:“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆周合体无所失矣.”同样, 动画演示一组边数依次为4, 8, 16, 32, …的圆内接正多边形, 图像生动地展示了求圆周长的思想过程, 即内接正多边形的边数越多, 它的周长越接近圆周长.

以上两情景, 虽然论及的问题不同, 但究其本质, 都是揭示变量的动态趋势, 由“逐步趋近”到“无限趋近”.至此, 归纳抽象出它们的本质属性, 引入极限定义.这样讲授, 虽然耽搁了一些时间, 但磨刀不误砍柴工, 它能让学生充分领略极限思想的形成过程, 又能使学生学会概括和归纳无疑, 这为学生透彻理解极限思想奠定了坚实的基础.

二、深化极限概念的理解过程

从极限概念的形成过程看, 对极限概念的内容和结构进行分析, 有助于理清概念的脉络, 把握本质.教学中, 根据高职教育的培养目标和任务要求, 结合学生的认知结构, 对极限定义不过分追求精确严密, 多采用定性描述法对此, 笔者引导学生从以下两方面进行分析.

1. 确立极限的研究对象

首先让学生认识到, 函数是极限的研究对象.函数极限分两类:数列xn=f (n) 极限和一般函数y=f (x) 的极限数列是一种定义域为自然数集的特殊函数.先从数列极限着手讨论, 便于对一般函数y=f (x) 的极限的研究.

2. 考察查函数在某种状态下的确定性变化趋势

当函数在某种状态下无限趋近于一个确定常数时, 则称该常数为函数在此状态下的极限;反之, 则称函数在此状态下无极限或极限不存在.从极限定义的内容和结构来看, 极限刻画的是变量的动态状态, 它的结构包含两层:一是函数, 它必须无限趋近于一个确定常数 (唯一性) ;二是函数的自变量, 它的状态是前者的条件.当然, 自变量的取值, 又受限于函数形式.若是数列xn=f (n) , 它的变化趋势是“n→∞” (且n取自然数) ;若是y=f (x) , 它有两种变化趋势, x→x0 (x≠x0) 或x→∞ (x取实数) .两层间彼此关联, 缺一则构不成极限.通常基本初等函数的极限两就是利用直观图像来解决的.

三、加强极限方法的分类指导过程

困扰学生学习极限的另一因素是:求极限的方法多, 思路活.虽然学生知道的极限方法不少, 但遇到具体的求极限问题时, 往往仍无从下手.为此, 笔者在教学中, 一方面注意进行数学学法渗透, 另一方面积极引导学生对所学的极限知识和方法进行系统化整理归类, 指导他们去构建有效的极限解法系统, 让学生觉得求极限“有章可循, 有法可依”, 从而减少了思路上的混乱.通常我把求极限的方法分为以下几类:

1. 利用极限的四则运算法则

这是求极限的最基本方法, 即直接或间接利用极限的运算法则.间接法中, 题型丰富, 通常是一些未定式、和式等极限问题.解法要点:把未定式转化为定式.如, 求, 只要将0/0未定式有理化分子, 问题就迎刃而解了.

2. 利用两个重要极限

两个重要极限公式, 变式很多, 必须认清公式的本质特征, 才能活学活用.如, 求, 利用代换思想, 令, 问题就化归为重要极限了.

3. 利用无穷小性质

利用“有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小”这一性质求极限, 往往能出奇制胜.如, .

4. 利用函数的左右极限

利用极限的概念 (唯一确定性) , 解决分段函数或含绝对值的函数在分界点处的极限问题.如:讨论在x→1时的极限.根据左右极限可知不存在.

学完极限, 还须让学生知道, 随着数学学习的深入, 求极限的思路将进一步拓宽, 方法也将更多 (如, 利用函数的连续性、利用等价无穷小、利用导数, 等等) .

摘要：极限是高等数学中的最基本、最重要的概念之一.它的思想方法直接影响到高等数学及后继专业课程的学习.针对当前极限教学中存在的问题, 结合多年的教学实践探索, 提出了行之有效的解决方法.

高等数学中的极限教学 篇2

谷亮

（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学

一、极限的概念

1、数列极限：设{xn}为一个数列，a为一常数，若0，总存在一个正整数N，使得

limxnaxna{x}nNn当时，有，称a是数列的极限。记作n

2、函数极限：设函数f(x)在点a的某去心邻域内有定义，A为一常数，若0，总存在一个正数，使得当的极限。记作xa0xa。

时，有

f(x)A，称A是当x趋向于a时函数f(x)limf(x)Axa,xa,x,x，极限的定义类似。自变量变化过程还包括：在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，„„如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中

1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故

比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n边形的边长代替圆的周长,n越大,正n边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想

在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念

高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子：（1）函数连续的概念中就用到极限式：

xx0limf(x)f(x0)

（2）导数的概念中有极限式：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：abbf()xf(x)dxlim0ii1bbni

（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：af(x)dxlimf(x)dxba，bbf(x)dxlimaf(x)dxa，0af(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxa0

（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数

un1nlimsns{s}n的部分和数列的极限n存在，称级数un1n为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有xalimf(x)0，称f(x)为此自变量的变化过程中的无穷小量。

（7）二元函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分的定义也用到了极限，f(x,y)dlimf(,)Dd0iii1ni

（8）二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：Lf(x,y)dslimf(i,i)sid0i1n

（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，f(x,y)关于x的偏导数为：

f(x0x,y0)f(x0,y0)flimx(x0,y0)x0x，关于y的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想

高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。（1）如何求平面上曲边梯形的面积？

计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题；（2）如何求圆面积？

我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；

除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语

综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：

极限思想在小学数学教学中的渗透 篇3

一、数学教学中融合极限思想

小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。

如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明：

假设x＝０．９９９……

１０x＝９．９９９……

１０x－x＝９．９９９……－０．９９９……

即９x＝９，所以x＝１。

这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。

二、数学概念推导中渗透极限思想

数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。

如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。

随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从圆柱体的高出发，把圆柱体切割成了无数个细长的长方体，长方体的体积公式是底面积乘以高，无数个长方体的体积和正好是圆柱体的体积，根据乘法分配率，最终也可以得出圆柱体的体积公式。

三、数学练习中运用极限思想

在数学练习中，学生如能体会极限思想并能够在习题练习中灵活运用，不仅能够加强学生的计算熟练度，还能够提高学生学习数学的兴趣和钻研能力。

如在五年级下册“认识分数”这一章节中，在进行分数的基本性质教授后，学生已经初步掌握了分数的概念，因此在进行习题练习时，我在黑板上写下一组分数：４ ／ ５，８ ／ １０，１２ ／ １５……要求学生以此为例，在一定的时间内写出几组等值的分数。接着提问：“如果时间延长，是不是还能够再写一些？如果不限定时间的话，是不是能够一直写下去？”最后学生得出的答案是肯定的，当没有时间限定时，与４ ／ ５等值的分数有无数个。

又如，行程问题的教学练习中，小明与小王相距１００米，两人同向而行，小明每分钟１０米，小王每分钟５米，问：小明什么时候能与小王相遇？答案是小明永远追不上小王。当小明走１０米时，小王走了５米；当小明走１米时，小王同时向前走了０．５米……周而复始，小明永远也追不上小王。

从解题的角度来看，这个答案是简单的，学生并不需要过多地耗费脑力，而且一直写下去也起不到锻炼的效用。但是学生可以由此得到启发，为什么与原分数等值的分数有无数个，为什么小明永远追不上小王，这其中包含着一个怎样的规律？由此，学生能够在初等数学的学习中初步体会到极限的魅力，这为他们以后的数学学习打下了基础，并很好地锻炼了学生的抽象思维能力。

人类的生存与发展离不开数学，正如华罗庚所说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面无处不存在数学的贡献。因此，在教学过程中渗透极限思想对小学数学教学有着潜移默化的作用，不但能够巩固学生的记忆能力，还能增加学生的思维发散能力，从而提高小学教学的有效性。

（责编金铃）

浅论极限在高等数学中的作用 篇4

一、极限的产生和发展是高等数学产生的基础

在西方, 极限观点的萌芽起源于对量的可分性的质疑.早在古希腊时代, 一些智者就提出质疑:它是无限可分的, 还是由无穷多个极微小的不可分的部分组成的?对于两种设想, 不同学派有不同的看法, 但无论哪种看法, 都包含了最朴素的极限思想:无穷逼近.如, 古希腊的数学家欧多克索斯所提出的穷竭法, 他认为量是无限可分的, 并建立了下列原理:

“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分, 从余量中再减去不小于它的一半的另一部分, 如此继续下去, 则最后留下一个小于任何给定的同类量的量.”

极限观点在我国古代也有记载, 战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”, 也就是说一根长为一尺的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以无限地进行下去.此外, 《墨经》中“端, 体之无厚而最前者”“端, 无问也”“非半弗斯则不动, 说在端”等都包含了对物体经“化整为零”后的微分思想.随后, 三国时的数学家刘徽在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他用正n边形内接于圆, 随着边数不断增加, 正n边形的面积越来越接近圆面积, 其面积之差也越来越小, 当差为无穷小量时, 与圆面积无限逼近.这种当n无限增大, 用差值趋于零的无限逼近思想, 正是现代微积分中的极限思想的本质.

17世纪上半叶, 解析几何的产生标志着变量数学的开端, 结束了希腊时期形成的数学几何化的一统天下;反过来, 用方程表示曲线, 在一定程度上又使数学代数化.同时, 代数符号体系的形成和发展, 都为微积分的建立奠定了基础.伴随着微积分的建立过程, 对无穷小量的探讨也越来越引起人们的注意.17世纪下半叶, 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作, 创立了一个新的学科——高等数学.这个学科的特点是, 需要运用无限过程运算, 即极限运算.高等数学的核心内容是微分学和积分学, 而微分和积分的概念是通过极限来定义的.

18世纪的许多科学家, 如达兰贝尔、欧拉、拉格朗日等都提出了自己的看法, 都不同程度用极限概念作为微积分基础, 但并不成功, 占优势的还是“无穷小方法”, 至于“无穷小”到底是什么, 没有公认的精确定义.在19世纪20年代以后, 柯西在1821—1823年间出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》两本书, 在这两本书中, 柯西给出了极限的精确定义, 终于解决了“无穷小”问题, 确立了极限论作为微积分的基础.

由上可见, 在极限的整个发展过程中, 我们确定了微积分在高等数学中的基础地位, 也肯定了极限论在微积分中的重要地位.因此, 极限的产生和发展是与高等数学紧密联系在一起的.

二、极限在高等数学各组成部分的研究中起到了工具作用

高等数学研究的对象是函数, 使用的工具是极限.极限方法是用来研究变量问题的基本方法, 是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一, 本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础, 用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的各组成部分进行统一处理.

本文仅以定积分的定义来阐述极限的工具作用:

高等数学极限习题500道汇总 篇5

当xx0时，设1＝o()，1o()且limxx0存在， 1求证：limlim．xx0xx01 21若当x0时，(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小，则a1313A．　B．　C．　D．． 2222 答（）当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 答（）求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nnsin(n22)．nnn11)ln(1)． 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnn 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． x0x2 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)x11(x1)2 A． B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(12x)x0 A．1 B．e2 C．e D．2 答（）设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在233答：（）(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 ．xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值． x0x(x5)3已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）设limf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanxarctanx01x　D. 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答（）A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x) 32e1x，则f(0)___________ limarccotx01x 2 答（）A.0 B. C.不存在.D.limacosx0，则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答（）x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答：（）px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．已知limx1(ab)xb3x1x34，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？为什么？ (x)＂若lim(x)0，则limxx0xx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：limx1 2x1． 用无穷大定义证明：limlnx． x1x0用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：limx20x101． x1 ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limxxf(x)A＂的：0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件 答（）若limxxf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．0xx0证明：limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0．0g(x)1用数列极限的定义证明：liman0 用数列极限的定义证明：limann，(其中0a1)．n1用数列极限的定义证明：limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2． x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值．(0a1)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0xx0 f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散？若数列同发散，试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数，0a2)，设f(x)lim(1)求f(x)的表达式；x2n1sinxcos(abx)(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1应用等阶无穷小性质，求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x)． ． 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1． 求极限lim(n为自然数)．a0． x0x0xx(52x)x2． x3x3131213求极限lim 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)a1，limA，xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x)且lim 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答（）1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答（）已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答（）xn1设limx0及lima存在，试证明：a1． 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1)，试证明liman0． nannan满足an0且limnanr，设有数列(0r1)，试按极限定义证明：liman0． n设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2，n(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limxf(x)Ab，当x00则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（1cosax设f(x)x2，当x0，且limf(x)b，当x0x0A则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2(B)a，b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答（））设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数 答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a 当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数 答（）设(x)(1ax)213 ex2ex求lim． 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8，则a____________． lim(13x)x____________． xx0xa 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答（）计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx)．x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx11________________。lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论“存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0；设有数列r，0r1，试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0xx0g(x)f(x)A0，则是否必有limg(x)0．xx0g(x)若limf(x)0，limxx0xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答（）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明limxx0g(x)0．f(x)若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x)则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答（）x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.答（）x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答（）设当x0，(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。3x22求a，b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。xx1x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn． n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn，(n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）12 exex极限lim的值为（）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）极限lim1cos3x的值为（）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列极限中不正确的是 xtan3x32A．lim；　B．lim；x0sin2xx1x122 x21arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx 答（）cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量． 答（）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组（m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1kx)x0xe，则k的值为1A．1；　B．1；　C．；　D．2． 2 答（）1极限lim(1)2的值为x2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e1414x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1)2xe2；　B．lim(1)2xe2；xxxx 11C．lim(1)x2e2；D．lim(1)x1e2．xxxx 答（）1极限lim(12x)xx0A．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x1x4xx1)的值为（）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 答（）2x1极限lim2x1x2x1的值是A．1；　B．e；　C．e12；　D．e2． 答（）下列极限中存在的是A．limx2111xx；　B．limx01e1；C．limxsin；　xxx 答（）极限limtanxsinxx0x3的值为A．0；B．1b　C．12　D．． 答（）极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 答（）已知limacosxx0xsinx12，则a的值为A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 答（）已知limsinkxx0x(x2)3，则k的值为A．3；　B．32；　C．6；　D．6． 答（）D．lim1x02x1 x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2． 答（）极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 答（）数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（）ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limf(x)x0xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，x0设f(x)xx1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．xlim0f(x)xlim0f(x)；C．xlim0f(x)存在，xlim0f(x)不存在； D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim(x1xx3)4；B．xlim0e0；1C．limsin(x1)x0(12)x0；D．limx1x0． 答（）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn必收敛；命题“a”，若数列xn单调且有下界，则命题“b”，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛 数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0；g(x)命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。答（）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A．必为无穷大量;B．必为无穷小量;C．必为非零常数;D．极限值不能确定 ．设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则 n 答（）anA．，bn必都收敛，且极限相等;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等;an收敛，而bn发散;C．an和bn可能都发散，也可能都D．收敛． 答（）下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答（）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x);B．limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0g(x)答（）设函数f(x)xcos1，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； B．无界，但非无穷大量； C．无穷小量； D．无穷大量． 答（）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量;C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷小量 ． 答（）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;D．无穷小量． 答（）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条件． 答（）

高等数学中极限教学的教学方法初探 篇6

1. 极限教学的现状

1.1 教师“教得法单一”

在目前的高等数学的极限教学中, 大部分以教师讲授为主, 教学方法和教学手段单一, 在教学方法上, 过分注重符号运算和练习训练, 忽视从问题背景和应用的引导, 导致不能充分调到学生的主观能动性。现阶段大部分高等数学教学淡化了数学思想, 漠视了学生的参与和学生的个体差异性, 导致学生在学习的过程中始终保持被动的状态, 没有达到大学开设高等数学课程的目的。

1.2 学生“学法单一”

学生在刚进入大学的初期, 还没有完全适应大学的课程教育, 使得学生在学习过程中还处于半游离状态。大部分学生在大学高等数学课堂上都是被动听课, 最多动手抄抄, 考试背背公式完成任务。因此, 很多学生在专业学习中很难利用数学知识解决专业方面的问题。

1.3 极限内容在教材编排中没有创新

高等数学中的极限内容大都用数学语言表示, 课堂教学中教师用言语表达出极限的含义, 导致整个课堂以教师讲授为主, 学生参与的部分很少。

2. 极限教学的策略

2.1 融入数学史

数学是一门古老的学科, 来源于生活实践, 同时也广泛应用于各个学科, 极限教学中融入数学史, 一方面, 不但可以让同学们了解数学是一门怎样的科学, 同时可以增强学习数学的兴趣, 激发学生的学习动机;另一方面, 讲述数学史的过程也是讲述数学思想应用的过程, 极限知识在讲述的过程中, 可能只是知识点的讲述, 缺乏对极限数学思想的解说, 通过数学史的补充, 学生能更深层次的了解极限的来源, 从而体会到数学思想在极限知识中的应用。

在教学过程中可以采取下面几种方式融入数学史:

2.1.1 通过比较方法, 探究式学习。

数学思想方法有很多, 每一种数学思想方法都凝聚着古人的聪明才智。因此在数学学习过程中, 可以引导学生在数学的发展轨迹中寻找学习点, 对比学习古今中外的解决方法。比如在学习函数极限的时, 先让学生分析, 并描述出极限, 然后给出函数极限的定义的;再让学生比较在各个时期的数学家给出的函数极限的定义, 这样, 学生能够更深层次的理解数学内容, 并更加能体会到数学语言的精炼。

2.1.2 针对某个数学体系, 讲述发展史。

数学史中, 每个体系的形成, 发展都经历了漫长的时间。在教学过程中, 教师可以根据某一个体系的从形成, 到发展, 摸清数学发展方向。例如在讲解极限的概念时, 可以从数的发展史讲起, 学生就能明白极限的意义;在学习定积分时, 可以从古代的割补术讲起, 讲到无限逼近方法, 最后讲到现在的定积分的应用。

2.2 渗透数学思想

学习数学的目的不仅是作为专业学习的工具, 更应该是大学生必备的素养。这种素养指的是不但能利用数学知识解答专业和生活所遇到的数学问题, 而且还能把数学思想融入到平时的日常生活和工作中。笛卡尔说过:“数学是使人变聪明的一门科学, 而数学思想的教学则是传导数学精神, 形成世界观不可缺少的条件”。因此, 我们在教学过程中可以从以下方面进行数学思想的渗透:

2.2.1 创设情境, 让学生体会数学思想:

如在极限知识新授时, 可以引入“一尺之棰, 曰取其半, 万世不竭”的古语, 并通过相应的动画演示及数列展出, 让学生真实感受到极限思想。

2.2.2 问题引出, 掌握数学思想。

问题是数学的灵魂, 解决数学问题的过程, 实际上就是使用数学定理和数学思想的过程。如在讨论曲形面积的求法问题时, 可以从逼近思想得到启发, 推理到定积分定义, 从而感受到极限从一维到二维的推广, 并更能理解极限思想。

3. 应用数学实验

现代科技飞速发展, 传统的数学课程已不能满足现在教学的要求, 现代人才培养不仅需要运算能力, 逻辑思维思维能力, 还应具备建模, 数值计算和数据处理的能力, 数学实验正是培养这些能力作准备。数学实验是借助数学软件, 结合所学的数学知识解决实际问题的一门实践课.本书包括数学软件MATLAB的入门知识, 数学建模初步及运用高等数学、线性代数与概率论相关知识的实验内容.亦尝试编写了几个近代数学应用的阅读实验, 对利用计算机图示功能解决实际问题安排了相应的实验.实验选材贴近实际, 易于上机, 并具有一定的趣味性。

参考文献

[1]蔡文俊.中国传统教学文化视野下数学教学观的分析[J].中小学教师培训, 2008 (04) .

[2]谢明初, 肖飒.从拟经验主义到建构主义——拉卡托斯数学哲学观的影响[J].云南社会科学, 2008 (04) .

[3]林美娟.浅谈数列极限概念引入的数学文化教育[J].科技信息, 2007 (06) .

高等数学教学中极限思想的渗透 篇7

数学中有很多重要的思想和方法, 比如极限思想就是人们认识无限变化的伟大思想, 这种思想和方法的运用, 扩大了人们的思维空间。极限也是微积分中最基本、最重要的概念, 它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势, 是构成微积分的基础。微积分中的许多概念, 如连续、导数、定积分等都建立在极限的基础上。那么如何在高等数学教学中渗透极限这一伟大思想呢?我们向学生系统介绍极限的产生渊源、发展过程、极限中的辩证思想、极限思想在微积分中的作用是十分必要的。

2. 极限思想的萌芽

极限的思想和方法是社会实践的产物, 其萌芽可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中, 已不乏朴素的极限思想, 即用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国, 公元前5世纪, 战国时期的《庄子·天下篇》中就有一段话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭。”它是我国较早出现的极限思想, 而这正是数列的极限内涵。又如公元3世纪, 我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了著名的“割圆术”。他的极限思想是“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失”。该思想第一个创造性地将极限思想应用到数学领域, 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积, 接着是正十二边形面积, 然后依次加倍边数, 则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想, 他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积, 得到圆周率的近似值3.14, 之后又算到内接正3072边形时得到π≈3927/1250≈3.1416。这在当时是非常了不起了。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。

3. 极限思想的发展过程

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。微积分思想源自古希腊人的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米德于公元前225年求抛物线弓形面积的工作, 他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形, 这三角形与剩余空间同底同高, 这样无限进行下去, 最后的三角形就非常小了, 他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。

到了16世纪以后, 欧洲处于资本主义的萌芽时期, 生产力得到极大发展。生产和科学技术中发生了大量的变量问题, 如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等, 初等数学方法对此越来越无能为力, 需要的是新的数学思想、新的数学方法, 突破只研究常量的传统范围, 提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分, 给出了数列极限的描述性定义:“如果当n无限增大时, an无限地接近于常数A, 那么就说an以A为极限。”

之后, 维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹, 建立的ε-N语言, 给微积分提供了严格的理论基础。所谓an以A为极限, 就是指:“如果对任何ε>0, 总存在自然数N, 使得当n>N时, 不等式|an-A<ε|恒成立。”

这个定义, 借助不等式, 通过ε和N之间的关系, 定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此, 这样的定义是严格的, 可以作为科学论证的基础, 至今仍在数学分析书籍中使用。

4. 极限中的辩证思想

极限思想是一种重要的数学思想, 它蕴涵着丰富的辩证思想, 反映了数学发展的辩证规律, 即极限思想是过程与结果、有限与无限、近似与精确、对立统一。

极限思想充分体现了结果与过程的对立统一。比如, 当n趋于无穷大时, 数列的极限为0。一方面, 数列中任何一项无论n多大都不是0, 体现了过程与结果的对立性。另一方面, 随着n无限增大, 其项越来越靠近0, 经过极限可转化为0, 体现了过程与结果的统一性。所以极限思想是过程与结果的对立统一。

有限与无限常常表现为不可调和性。例如, 把有限情形的法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。但这并不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的, 相反极限思想是有限与无限的对立统一。

近似与精确是对立统一关系, 两者在一定条件下也可相互转化, 这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。数学中的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”, 分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值, 取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法, 从近似来认识精确的。这反映了极限思想是近似与精确的对立统一。

又如曲线形与直线形有着本质的差异, 但在一定条件下也可相互转化, 正如恩格斯所说:“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。

5. 极限思想在微积分中的作用

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。例如微积分中许多概念都把极限作为描述不同特性的重要工具, 例如函数f (x) 在x0点连续的定义、函数f (x) 在x0点导数的定义、函数f (x) 在[a, b]上的定积分的定义、数项级数的敛散性、广义积分的敛散性等, 都是用极限来定义的, 可以说这些概念确定了微积分学的框架。

6. 结语

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法, 也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题 (例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题) , 正是由于它采用了极限的思想方法。

参考文献

[1]吴振英.论极限的思想方法[J].广州大学学报 (自然科学版) , 2003, 10.

[2]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社, 1980.

高等数学中的极限教学 篇8

高等数学是高等院校许多专业的公共基础课, 因其内容方法和思想观点有很高的抽象性和概括性, 一直以来是大学基础课中一门难学的课程。由于高等数学使用了高度概括化的数学语言, 学生往往只是在形式上理解了所学的内容, 而对其本质特征没有完全感知, 表现出本质和形式的脱节、具体和抽象的脱节、感性和理性的脱节。因此, 高等数学的教学特别需要从具体到抽象的概括过程。近几年, 运用信息技术的多媒体作为一种新兴的教学辅助手段, 虽然在高等数学教学中得到了广泛的应用, 但仍存在效果不如"粉笔+黑板"好的呼声。究其原因, 主要是许多高等数学的课件没有将多媒体技术的优点与高等数学的特点有效地加以整合、优化, 致使教师运用这些课件进行教学时出现了许多问题, 未能达到预期的效果。本文旨在运用以计算机三维动画设计工具 (3dsmax) 来解决传统教学中的难题, 寻找高等数学教学与信息技术之间的最佳整合点。例如, 在讲极限概念时, 可以设计"一尺之棰, 日取其半, 万世不竭"一段动画。当分割次数n越来越大时, 棍子的长度an无限地、越来越接近常数0。。动态的演示将抽象的现象真实形象地模拟出来, 使学生在形象的变化过程中达到对概念的深刻理解, 弥补了常规教学的不足, 收到了事半功倍的效果。借助动画, 可以把"无限趋近"这个概念非常形象地表现出来, 帮助学生掌握了"数列极限"这个让初学者头疼的概念。

二、实例实现

1.抽象概念形象思维

形成准确概念的首要条件是要有丰富而实际的感觉材料密切联系教学学概念的现实原型, 引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例, 找出本质加以抽象, 使容易形成准确概念. (庄子·天下篇》中有一句话"一尺之棰, 日取其半, 万世不竭."让学生想象一下截棒的过程, 把每天截后剩下部分的长度记录下来, 就得到-个数列。启发学生思考截棒的最终结果或无穷数列的变化趋势怎样?

2.3dsmax设计制作

⑴建模

创建面板→标准基本体→圆柱体。用鼠标拉出圆柱体后, 在修改面板→参数→半径10.0→高度1000。得到"一尺之棰"。

⑵材质

材质编辑器→明暗器基本参数卷展栏→贴图卷展栏。选择漫反射通道双面。使用位图贴图用于加载图片, 并将木纹图片以贴图通道包裹在"一尺之棰"对象上。

⑶灯光

在前视图中创建一盏目标聚光灯, 在灯光的参数栏设置有关参数。在强度/颜色衰减卷展栏用于设置灯光的上述参数。用倍增器来控制灯光强度。值越大得到的光线越多。本例选择2。右侧颜色块可以调整光线颜色。本例选择黄色。聚光灯参数卷展栏用于设置灯光的聚光区和散光区, 以及灯光的形状。本例选用锥形光线, 聚光区光束和衰减区区域的差值越大, 照射范围内光线衰减程度越大。灯光形状为圆形。照射在"一尺之棰"对象上。

⑷动画

运用空间变换动画和参数变换动画, 把空间和参数变化结合制作动画。

(1) 把"一尺之棰"对象在顶视图中移到适当位置。

(2) 单击自动关键点按钮, 纪录第1帧。

(3) 拖动时间滑块到第10帧的位置。单击选择并移动按钮, 在顶视图中将"一尺之棰"移动一段距离 (空间变换) ;在修改面板→参数→高度500 (参数变换) (日取其半) 。

(4) 拖动时间滑块到第20帧的位置。单击选择并移动按钮, 在顶视图中将"一尺之棰"移动一段距离 (空间变换) ;在修改面板→参数→高度250 (参数变换) (日取其半) 。

(5) 重复上述操作。直到第100帧的位置。

(6) 再次单击自动关键点按钮, 结束动画制作。

(7) 单击播放动画按钮。观察动画。

⑸渲染

(1) 创建面板→图形→文本命令。在前视图中创建"数列极限一尺之棰日取其半万世不竭"字样。

(2) 执行渲染→环境命令, 给环境指定一张背景图片。

(3) 按键盘上的F9键, 渲染。

(4) 单击工具条上的渲染场景对话框按钮→公用→时间输出→范围:0-100→输出大小:宽度640, 高度480。→渲染输出→文件。设置动画保存格式为.avi, 并指定保存路径。

三、结束语

极限是高等数学入门的最重要并且也是最难的一个概念, 数形结合是化解这一难点的有效思想方法, 在教学过程中.恰当地运用计算机三维动画设计工具 (3dsmax) , 使学生在直观与抽象、感知与思维的结合中去理解、掌握定义, 同时也培养学生的思维品质。我们通过这种方法组织教学, 收到了较好的效果。

摘要：高等数学是一门比较抽象的学科, 极限概念是高等数学中最基本最重要的概念之一, 是高等数学入门的难点.本文就教学中运用3dsmax制作高等数学数列极限概念图形动画演示, 帮助学生突破数列极限概念的难点进行了探讨。

关键词：高等数学,数列极限,3dsmax

参考文献

[1].神龙工作室.新编3ds Max8中文版入门与提高.北京:人民邮电出版社, 2007:162-188

高等数学中的极限教学 篇9

1. 柯西收敛准则

因为:

2. 单调有界定理

在实数系中, 有界的单调数列必有极限。这一方法是利用极限理论基本定理:单调有界数列必有极限, 其方法为:

(1) 判定数列是单调有界的, 从而可设其极限为A。

(2) 建立数列相邻两项之间的关系式。

(3) 在关系式两端取极限, 得以关于A的方程, 若能解出A, 问题得解。

例:证明下列极限存在并求其值。

所以{an}存在上界2

又因为:

此方法用来证明看似有一些规律的数列。

3. 归结原则

同时归结原则也可简述为:

另一方面, 当n>1时有

于是由数列极限的迫敛性得

4. 含有收敛子列的单调数列收敛

二、求极限值的问题

迫敛性定理应用的情形, 即对于给定的数列{xn}, 当变量{xn}的极限不易求出时, 可考虑将其作适当的放大或缩小, 使放大或缩小后所得到的新变量均易求极限, 并且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等于此公共值。

同时迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质, 它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而, 在实际应用中, 要寻找到满足条件的{xn}和{yn}经常是困难的, 这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.即这种方法并不是适用于所有的情形。

2. 四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的, 也是不行的, 因此需寻求一些方法来求极限。

3. 等价无穷小量

求函数的极限技巧很强, 可利用无穷小等价的关系, 简化了求某些0∞, 1∞型的极限的计算。

在求极限过程中, 初学者往往对问题直接计算, 造成计算量大, 甚至死路一条, 若平时学习注意积累一些必要的素材, 对极限问题按所掌握的素材进行构造性的转换, 利用等价无穷小进行化简, 再结合洛必达法则, 就很容易得答案了。从而有效地提高学生思维的开放性, 增强其解决复杂问题的信心, 激发学生学习高等数学的兴趣。

综上所述, 我们看到等价无穷小的应用非常广泛, 但还是要具体情况具体分析, 同时结合洛必达法则, 选择合理恰当的方法进行求解。

4. 洛必达法则

再运用洛必达法则求导:

在解题的过程中, 关于极限的问题, 不外乎上述的几种情况, 通过列举整理。我们可以快速的根据它们的特点对号入座, 但也不排除毫无头绪的题目, 这时就需要我们尝试这些办法, 直到找到最优的方法。传统的极限的计算方法不下十几种, 但具体到计算不同特征的极限时, 究竟采用哪种方法, 很多人总感到无从下手.只有将这些方法进行归纳总结, 从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法, 进而简化计算。

摘要：研究极限是否存在是数学分析的基础。本文通过列举整理常见的几种证明极限存在或求极限值的方法及其应用, 使极限证明更有条理, 更有针对性地被人接受。极限是数学分析的基础, 数学分析的基本概念的表述, 都可以用极限来描述.极限是研究数学分析的基本工具.极限贯穿于数学分析的体内.学好极限要从以下两个方面着手: (1) 是考察所给函数是否存在极限; (2) 若函数存在极限, 则考虑如何计算此极限。本文主要是对这两个问题即在极限存在的条件下, 如何去判断极限存在或求极限进行综述。

关键词：极限,收敛,有界

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2001:24-43.

浅谈高等数学中“极限”概念的学习 篇10

一、影响“极限”概念学习的因素

1.“极限”概念的背景

概念背景与概念表述的差异, 概念背景的繁杂、清晰程度, 直接影响着概念的学习, 数列极限概念的背景是:在n无限变大过程中, 数列{an}的项an无限接近一个定数A.而其定义为:对于一个定数A, 无论预先指定多么小的正数ε, 都能在数列{an}中找到一项aN, 使得n>N时, 有{an-A}<ε恒成立, 则常数A称为{an}的极限.显然, 生动形象的定性描述的背景与抽象形式化的定量描述的定义差异较大, 致使学生难以理解.

2.“极限”概念的陈述

数学概念的简洁、严密、抽象等特点, 决定了其陈述的方式必定影响概念的学习.数列极限定义中的许多术语“无限变大”、“无限接近”、“预先指定多么小的正数”在以往的概念中没有碰到过, 学生初学时常常感到茫然不知所措.

3. 学生的个性品质

良好的个性品质是正确的学习目的、学习兴趣的前提, 实事求是的科学态度, 独立思考勇于创新的精神, 这些品质是克服某种消极干扰的源泉, 在相当大的程度上决定着概念学习的效益.

4. 学生原有的认知结构

学生在学习概念时, 常常以原有认知结构为基础, 去认识, 理解和区分事物.这是因为, 在概念的形成过程中, 如果学生没有“刺激物”方面的知识经验就不可能从中概括出这类“刺激物”的本质属性;在概念的同化过程中要掌握一个新的概念, 首先必须掌握作为新概念定义项的那些基本概念.极限概念中的基本概念是“不等式”、“绝对值不等式”.

5. 语言的表达能力和理解能力

数学概念往往是通过特定的“符号”反映的, 学生是由相对具体的“语言符”来学习数学概念的.如果我们把概念的学习过程粗糙地说成是抽象概括过程, 那么“语言”本身就是概念的结果.因此, 语言的表达必然成为概念学习的重要环节之一.极限概念的形式化“语言符”是

6. 抽象概括能力

学生的抽象概括能力是影响数学概念学习的重要因素.从学习数学概念的两种基本形式来看, 抽象是概念形成的必不可少的步骤;概括是概念同化的关键, 没有抽象与概括就不可能出现概念.教学实践也证明了抽象概括能力差的学生往往不易抓住事物的本质属性, 分不清概念的内涵和外延.

二、克服影响“极限”概念学习消极因素的对策

1. 开放教学系统, 畅通信息交换渠道

开放了教学系统有利于揭示学生的原有认知结构, 教师方可有的放矢地唤起学生的认知, 回忆有关知识或整理学生的知识结构, 恢复原有的编码.在师生之间、学生之间取得联系, 互相交流, 进行讨论、争辩的过程中, 学生的个性差异得以相互补充, 相互影响;学习的情趣、态度互相感染创造了一个积极向上的群体环境, 使自己有机会表达见解;通过监控、调节形成了同化或更深的效应, 体验到了成功的喜悦, 激发了学习兴趣, 提高了自己对概念的理解和表达能力.

2. 丰富感性材料, 创设“涨落”

原认知结构影响着概念的学习, 在教学中应从下列诸方面唤起丰富感知或创设“涨落”冲击“自我信息饱和”心态来充实背景.“数量”感性材料或感知经验太少, 学生的感知就不充分了, 难以去分析、比较一类对象的本质属性和非本质属性.因此教师应列举一定数量的材料或经验供学生感知.“典型性”指所选材料的本质属性要较为明显, 易于学生归纳概括.“变式”, 学生在学习概念时常常出现“自我信息饱和”心态, 满以为掌握了概念的本质, 碰到具体的数学问题却难以作出正确的判断.教学中可以通过变更对象本质属性的表现形式, 变更人们观察事物的角度或方法来创设“涨落”冲击学生的“自我信息饱和”心态, 充实背景, 突出对象中隐蔽的本质要素.

3. 引导学生参与抽象、概括过程, 增强原认知意识

所谓抽象, 是指从复杂的事物中, 排除非本质属性, 透过现象抽出其本质特征的思维过程.通过科学的抽象, 人们就能更深刻、更正确、更完全地把握事物的内部联系和本质特性.抽象是数学中常用且不可少的思维方法.事实上, 数学中的任何一个数、一个算式、一种运算, 每个概念、公理、定理、法则和有关的数学模型, 无一不是抽象、概括的结果.其中, 大多数概念是从直接观察事物的现象中抽象出来的.它是对事物所表现出来的特征的抽象, 故称之为“表征性抽象”, 如点、线、面、体、正方形、立方体、回转体等均属此类.而数学公理、原理、公式等, 乃是在表征性抽象的基础上形成的一种深一层的抽象, 它揭示了事物的因果性和规律性联系, 故称之为“原理性抽象”.在严格的数学研究中, 无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义, 我们都只能依据相应的定义去进行推理 (演绎) , 而不能求助于直观.从而, 在这样的意义上, 数学的抽象就是一种构造性的活动.数学的研究对象正是通过这种活动逻辑地得到“构造”的.

学习论综合了概念学习的两种基本形式 (概念的形成、概念的同化) , 认为归纳实例的共同本质属性与直接显示的本质属性相比较是概念学习的不可缺少的环节.在教学中, 教师要设法引导学生积极参与、充分表现这一过程, 更多地参加探索性活动.让学生在身临其境的体验中提高自己的抽象、概括能力;在同学之间、师生之间互相交流, 在评价、监控、调节中增强原认知意识, 以减少概念的情景因素影响.

学习数列极限的概念时, 同学们都能体会到在无限变大的过程中,

的项an无限趋近于0, 究竟怎样才能把它抽象成数学的形式化语言, 这就需要引导学生参与教学.

问:怎样用“距离”定量描述“无限趋近于an”?

答:无限变小.

教师追问:怎样定量表达出“无限变小”?

答:比想象的还要小.

此时学生还没能回答出上面的问题, 但已经比较接近了.教师及时指出, 在这个问题中比想象的还要小, 也就是比预先指定的任一正数还要小.

师生共同活动得出:对任一预先指定的正数ε>0,

问:对任一预先指定的正数ε>0, 是不是每一项an都满足an-0<ε.

答:不是, 在n无限变大的过程中, 当n>ε1时, 才有

由此抽象总结出:对于数列 (-1) nn1, 存在常数0, 无论预先指定多么小的正数ε, 都能在数列中找到一项aNN=ε1, 使得当n>N时, 有an-0<ε恒成立.这一过程, 师生在调节中逐步向概念逼近.这样既清楚了概念的来龙去脉 (背景) , 训练了学生的语言表达、抽象能力, 又使概念变得亲切、鲜明, 进而加深了对数学概念形式语言的理解.

概念是数学的基础, 概念教学应成为高等数学教学的核心与重点, 它是教师教好与学生学好高等数学的关键.只有当教师深刻全面地理解了概念的内涵与本质之后, 才能透彻地讲解出来, 学生才能很好地接受, 才能以此为基础进行推理、判断、分析等思维活动, 理解数学理论体系的来龙去脉, 掌握运算的技能技巧.在教学的过程中, 教师还应及时关注和了解学生学习的状态, 帮助学生分析学习概念时所遇到的困难因素, 并采取一定的方法, 从而使学生真正获得应用数学方法去分析问题与解决问题的能力.

参考文献

[1]何世芬.非数学专业高等数学.概念教学研究, 2008 (4) .

[2]秦桂香, 谢永钦.高等数学学习方法指导的改革与实践[J].数学理论与应用, 2005 (10) .

[3]于庆伟.对高职教育高等数学教学改革的思考与探索[J].辽宁高职学报, 2008 (7) .