高中数学恒成立问题

高中数学恒成立问题（精选十篇）

高中数学恒成立问题 篇1

一、数形结合,直观求解

数形结合法是高中数学解题中至关重要的数学思想法,它根据数量与图形之间的对应关系,巧妙地将抽象的数与直观的形有效结合起来,从而化繁为简、变抽象为直观,快速有效地找到解题途径。教师要引导学生根据恒成立问题的题设条件,找出其结构特征,画出符合条件的图形,通过观察分析图形,挖掘数与形之间内在的对应关系,得出求解方法,从而巧妙解题。

二、尝试反证,逆向求解

反证法是从命题反面出发,推导出结论是矛盾的,从而肯定命题成立的论证方法。求解某些恒成立问题时,若直接正面求解难度较大,此时不妨逆向思维,从问题的反面入手。巧用反证法,不仅可以优化解题过程,使问题快速、准确、有效获解,还能培养学生的多向思维能力。

三、赋予特值,巧妙求解

赋值法是数学解题常用的方法之一,在填空题和选择题中有着十分广泛的应用。它主要借助特殊值进行求解,体现了由一般到特殊的转化思想,往往可以简化运算过程,节省解题时间,提高解题效率。巧用赋值法,赋予特值和考虑特殊情形,探求出参数的值或范围,从而使问题轻松获解。

四、结束语

总之,恒成立问题的解题策略灵活,解题方法多样,不拘一格。在高中数学课堂教学中,教师要重视恒成立问题,结合典型例题分析,有效渗透数学思想方法,引导学生善于总结和归纳,不断积累解题方法和经验,掌握解题技巧。

摘要：恒成立问题是高中数学教学中的重、难点,对训练学生的综合应用能力有重要的作用。文章从数形结合、直观求解,尝试反证、逆向求解,赋予特值、巧妙求解等方面入手对高中数学恒成立问题的解题策略进行探究。

关键词：高中数学,恒成立,数形结合,反证法,特值

参考文献

[1]薛大勇.探讨如何实施高中数学解题策略教学[J].新课程导学,2013(29).

高中含参不等式的恒成立问题整理版 篇2

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

基本结论总结

例1  对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

例2：已知不等式对于Ｒ恒成立，求参数的取值范围．

解：要使对于Ｒ恒成立，则只须满足：

（1）

或（2）

解（1）得，解（2）＝２

∴参数的取值范围是－２＜２．

练习1.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。

2.若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

3.若不等式的解集是R，求m的范围。

4.取一切实数时，使恒有意义，求实数的取值范围．

例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

O

x

yx

关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

解：，则当时，恒成立

当时，显然成立；

当时，如图，恒成立的充要条件为：

解得。综上可得实数的取值范围为。

例4

。已知，求使不等式对任意恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合函数的草图可知时恒成立

。所以a的取值范围是。

解法2：转化为最值研究

1.若上的最大值。

2.若，得，所以。

综上：a的取值范围是。

注：1.此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。

2.恒成立；

解法3：分离参数

。设，注：1.运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2.本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：即

读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处也合题。

例5.已知：求使恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合的草图可得：

或得：。

解法2：转化为最值研究

1.，所以。

2.若矛盾。

3.若矛盾。综上：a的取值范围是。

解法3：分离参数

1.时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；

2.时。因为上单调递减，所以；

3.时。因为在（0，1）上单调递减，所以

。综上：a的范围是：。

注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的范围求并集是不同的，应引起注意！

例6.已知：，求使对任意恒成立的x的取值范围。

解：习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在上任意变化时不等式恒成立，故可将a视为主元。

变更主元法：设，则的图像为一直线，则时恒成立

即x的范围是：

总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。

二、利用函数的最值（或值域）

（1）对任意x都成立

（2）对任意x都成立。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得

而抛物线在的最小值得

例2

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立

或或，即a的取值范围为.点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：是增函数对于任意恒成立

对于任意恒成立

对于任意恒成立，令，所以原问题，又即

易求得。

三、变更主元法

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.用一次函数的性质

对于一次函数有：

例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，原不等式可化为

令是关于m的一次函数。

由题意知解得∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了

例2．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。

故的取值范围为。

例3

已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0

恒成立，求x的取值范围.解析

本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒成立，则，得.点评

对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

例4

对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把

p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为

(x-1)p+x2-2x+1>0,令

f(p)=

(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：o

y

x

y

x

方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：∴x<-1或x>3.例5

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.设

（1）当时，上恒成立，上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

例6

若时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

（1）

当即：时，又所以不存在；

（2）

当即：时，又

（3）

当

即：时，又

综上所得：

四、分离参数法

此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。

例2．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

解：

将问题转化为对恒成立，令，则

由可知在上为减函数，故

∴即的取值范围为。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例3

已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析

本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时,k的取值范围是k>2.变式

若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，，k的取值范围是k>.点评

本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.五、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1　已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是

.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

x

y

o

y1=(x-1)2

y2=logax

例2

当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),<恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需

故loga2>1,a>1,1

若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和

观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.练习1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

练习2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

高中数学不等式恒成立问题的探讨 篇3

（一）函数法

1、转换主元解决恒成立问题

例1、设 ，当 时恒有 ，则 的取值范围是

分析：令 ，这是一个以 为自变量的一次函数，图象是一条直线，则 对 恒成立 ,

得 .

点评：主元思想是指在含有两个或两个以上字母的问题解决过程中，选择其中一个字母作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余字母视作参数或常量， 是主变量, 是参变量（参数）,与习惯的变量形式相反，可以在解题中变换变量的表达形式，即把所有的 换成 ,同时把所有的 换成 ,通俗讲可以认为已知哪个变量的范围就将这个函数看做以哪个为自变量的函数.

2、化归思想，转化为二次函数恒成立问题

例2、已知函数 的定义域为R，则a的取值范围是 .

分析： 对 恒成立.

时恒成立

点评：此题属定义在 上恒成立，借助于图象理解得

恒正 且c>0或

恒负 且c<0或

例3、已知函数 在 上为单调递减函数，求 的取值范围

分析： 在 上恒成立

的图象是一条开口方向向上的抛物线，由图象得

得 ；此题还可用分离参数法求解.

点评：充分利用导数这样的工具来解决函数单调性问题，转化为导函数值的恒正（或负）问题，思路明确，方向清晰.

若函数 在区间 上是增函数， 在区间 上恒成立；

若函数 在区间 上是减函数， 在区间 上恒成立.

3、构造函数法

例4、设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.

分析：考虑使用分离参数法还是比较容易上手的.由f(x)=(x+1)ln(x+1)≥ax对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，a R. （2）当x>0时， 接下来求 的最小值遇到了困难.

重新分析：由f(x)≥ax得(x+1)ln(x+1)- ax≥0，构造函数g(x)= (x+1)ln(x+1)- ax，问题转化为 恒成立，故 ，显然g(x)的最小值是用a表示的，从而得到关于a的不等式.下面看看能不能把g(x)的最小值求出来.

在同一坐标系中作出它们的图象如下：

从图中可以看出，直线y=x与曲线 恰好切于点（1，1），因此当x>1时， 恒不成立，所以a无解.

当a 时， 列表如下：

综上，a .

点评：在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，因为一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立问题，用初等方法难以处理，而利用导数来解，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向.因此，越来越受到高考命题者的青睐.

（二）分离参数法，转化为求函数的最值问题

例5、已知 对任意 恒成立，求 的取值范围。

分析：利用分离参数法将主变量和参数分别位于不等式的左右两边，转化为

恒成立，使得 解得

点评：分离参数法可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 ；若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 .如果分离参数后的函数没有最值，只有上限或下限，那要专门对上限或下限进行检验，研究参数能否取到上限或下限.

例6、设 为常数，数列 的通项公式为

，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.

分析：由 得 对 恒成立

当n为偶数时， ∴ ∴

当n为奇数时， ∴ ∴

综上，

点评：数列中的不等式恒成立问题涉及的主要方法是分离参数法，通过分离参数转化为数列的最值问题，与函数处理思路是一脉相承的，数列本质上是函数，形散而神不散.

（三）数形结合法

例7、已知不等式 在 上恒成立，则a的取值范围是 .

分析：令 在同一坐标系中画出两者的图象.当a>1时，显然不成立；当0

例8、如果不等式 在 内恒成立，求参数k的取值范围.

分析：令 原命题的否定： 在 有解.即 有交点，在同一坐标系中画出两者的图象.

当直线过（0，2），（5，0）时， 当直线与曲线相切时，解得

∴ ∴所求参数k的取值范围为

点评：当不等式两边的函数图象可以作出，或通过移项可以作出，我们作出图象，利用图象的直观性和运动变化的观点，将数的大小关系化归为图象的上下关系，再从图形的角度还原，寻求代数限制条件，从而求参数的范围，常用角度有某一极端情形如端点、相切等.在上述过程中，反复体现数形结合的重要数学思想.

（四）最值法

例9、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.

（1）对任意x [-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

（2）对任意x1 、x2 [-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围.

分析：(1)8x2+16x-k≤2x3+5x2+4x 对x [-3，3]恒成立

设 ，∴ .

变式训练：看看下面的问题与（1）、（2）有何不同？

存在x [-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

分析：存在x [-3，3]，使得 成立，

∴

反思：利用补集思想解题，原命题的否定： 使得 恒成立，

∴ ，故 满足题意.

对于存在性问题（亦即有解问题），我们可以得到下面一组结论：

（1）不等式f(x)

（2）不等式f(x)>k在x I时有解 x I.

不等式恒成立和有解是有明显区别的，各自的充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一谈.

点评：此题（1）中利用分离参数法可求出k的取值范围，但是（2）中利用分离参数法则是完全错误的，因为（2）中左右两边不是同一变量，只能分别求出左右两边函数的最值，需要区别对待. 当然如果不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.

恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.

高中数学恒成立问题 篇4

一、“一次函数型”

若给定一次函数y=f (x)=ax+b (a≠0)，则根据函数的图像(直线)可得：在[m, n]内f (x)>0恒成立等价于

我们将能利用上述等价关系解决的恒成立问题称之为“一次函数型”恒成立问题。

例1.对于满足|a|≤1的所有实数a，求使不等式x2+2ax+1>a+x恒成立的x的取值范围。

分析：若将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-1, 1]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。

略解:原不等式可化为 (2x-1) a+x2-x+1>0, 设f (a) = (2x-1) a+x2-x+1, 则原问题转化为f (a) 在[-1, 1]上恒大于0的问题, 等价于

二、“二次函数型”

1.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 大于0恒成立, 等价于

2.二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理和根与系数的分布知识求解。

我们将能通过上述两种途径解决的恒成立问题称之为“二次函数型”恒成立问题。

例2.设g (x)=x2-2ax+2，若当x≥-1时，都有g (x)≥a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明g (x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。

略解：设G (x)=g (x)-a=x2-2ax+2-a，则：

(1) 当△=4 (a-1) (a+2)<0时，即-2

(2) 当△=4 (a-1) (a+2)≥0时，由图可得x∈[-1，+∞)时，G (x)≥0恒成立的充要条件如下：

综合可得a的取值范围为[-3, 1]。

例3.关于x的方程9x+(4+p) 3x+4=0恒有解，求p的范围。

分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。

略解(利用韦达定理)：

设3x=s，则s>0，原问题即转化为关于s的方程s2+(4+p) s+4=0有正根的问题，由韦达定理知其充要条件是：

解得p≤-8。

此题亦可利用根与系数的分布知识求解，此处不再赘述。

三、“变量分离型”

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。我们将此类恒成立问题称之为“变量分离型”恒成立问题。

例4.已知当x∈R时，不等式4a+sin2x<-4sinx+a2恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x∈R，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

略解：原不等式可变形为：sin2x+4sinx

要使上式恒成立，只需a2-4a大于sin2x+4sinx的最大值，故上述问题转化成求f (x)=sin2x+4sinx的最值问题。而f (x)=sin2x+4sinx= (sinx+2) 2-4≤5。

∴要使原不等式恒成立，需且只需a2-4a>5。

解得a>5或a<-1。

注：注意到题目中出现了sinx及sin2x，故若把sinx换元成t，则可将原问题转化为关于t的“二次函数类型”恒成立问题。

四、“函数基本性质型”

若函数f (x)是奇函数，则对一切定义域中的x, f(-x)=-f (x)恒成立;

若函数f (x)是偶函数，则对一切定义域中的x, f(-x)=f (x)恒成立;

若函数f (x)的周期为T，则对一切定义域中的x, f (x+T)=f (x)恒成立。

我们将能利用上述函数基本性质解决的恒成立问题称之为“函数基本性质型”恒成立问题。

例5.若f (x)=sin (x+α)+cos (x-α)为偶函数，求α的值。

略解：由题得：当x∈R时，f(-x)=f (x)恒成立，

五、“图解型”

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，并可通过图像直接判断得出恒成立问题的结果。则将此类恒成立问题称之为“图解型”恒成立问题(尤其适用于选择题、填空题)。

例6.设则使f (x) =ax恒有解的a取值范围是_______。

分析：f (x)=ax恒有解问题转化为y=f (x)和y=ax图像恒有交点问题。

略解：作y=f (x), y=1/2x, y=-2x图像如图，由图像及一次函数性质可知，要使y=f (x)和y=ax图像恒有交点需且只需a≥1/2或a<-2，即a∈(-∞，-2)∪[1/2，+∞)。

摘要：本文针对高中数学中的恒成立问题, 从解题过程角度进行分类, 并通过实例探讨各类恒成立问题的解法。

关键词：高中数学恒成立问题,类型,解法

参考文献

[1]高三数学教学与测试.苏州:苏州大学出版社, 2000.

高中数学恒成立问题 篇5

教学目标:

1.通过对不同问题的解题探讨归纳该类问题的一般解法

2.培养学生的分析问题和灵活应用知识解决问题的能力

3.培养学生的数形结合能力

重难点:

分析解决问题的能力,数形结合思想方法的应用 教学方法:

指导练习法

教学过程:

一、复习回顾

引例：（9月月考）

23、已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x且f(0)1．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在区间1,1上的最大值和最小值。

（3）当x[1,1]时，不等式：f(x)2xm恒成立，求m的范围。

二、归纳：（恒成立问题的基本类型）

类型1：设f(x)ax2bxc(a0)，（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0。

类型2：设f(x)ax2bxc(a0)

bbb

（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立2a或2a或2a，f()00f()0

f(x)0在x[,]上恒成立f()0

)0

f(

（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立f()0

f()0

b

f(x)0在x[,]上恒成立b

2a

或2a

或b

2a

f()00f()0

类型3：

f(x)对一切xI恒成立f(x)minf(x)对一切xI恒成立f(x)max。类型4：

f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或(xI)恒成立。

f(x)ming(x)max

三、例题讲评

例1：若不等式2x1m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x21)(2x1)0，；f(2)0令f(m)m(x21)(2x1)，则2m2时，f(m)0恒成立，所以只需即

f(2)0

12(x1)(2x1)0

x(，所以x的范围是

222(x1)(2x1)0

71,32)。

例2：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

m10

（2）m10时，只需，所以，m[1,9)。2

(m1)8(m1)0

变式：

（1）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（2）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（3）若不等式x2mx20在m1,2上恒成立，求x的范围。例3：已知a0,a1,f(x)xa,当x(1,1)时,有f(x)解析：由f(x)xa

x

x

恒成立，求实数a的取值范围。

12，得x

a，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函12

a及(1)

x

数分别在x=-1和x=1处相交，则由1

a



1得到a分别等于2和0.5，并作出函数

1x1x2xx

y2及y()的图象，所以，要想使函数xa在区间x(1,1)中恒成立，只须y2在22

区间x(1,1)对应的图象在yx在区间x(1,1)对应图象的上面即可。当a1时,只有a2

才能保证，而0a1时，只有a

才可以，所以a[,1)(1,2]。

四：小结

对不同的问题的采取的方法是不一样的，要根据具体的情境灵活选择。但一定要借助图像去分析才能选择好恰当的方法去解题。在分类讨论时要注意分类的完整性和合理性，在等号成立的情况下一定要仔细思考。五：同步练习

1、设f(x)lg

12a

4xx

如果x(.1)时，f(x)恒有意义，求a的取值范围。,其中aR，分析：如果x(.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为12xa4x0恒成立，即参数分离后a解。

解：如果x(.1)时，f(x)恒有意义12xa4x0，对x(,1)恒成立.a

124

xx

124

x

x

（2x

2

2x)，x(.1)恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求

(2

x

2

2x)x(.1)恒成立。

令t2x，g(t)(tt2)又x(.1)则t(,)ag(t)对t(,)恒成立，又

113

3g(t)在t[,)上为减函数，g(t)maxg()，a。

2244

112、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a对于任意x[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：f(x)是增函数f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立

1axx2a对于任意x[0,1]恒成立

xax1a0对于任意x[0,1]恒成立，令g(x)xax1a，x[0,1]，所以原

问题g(x)min0，又g()xnim)(0ag,0



a

(g,)20a

2

2a2,即g(x)min

1a,a0

2aa1,2a0易

4

2,a2

求得a1。

3、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。

分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：



0(a1)(a2)0

即a30 f(1)0

a1,2a

1,2

得-3a-2;

综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

4、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:f(x)=(x1)2,T2:g(x)logax,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), f(x)

T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只

需g(2)f(2)

故loga2>1,a>1,1

分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所

示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=

1636

;

2当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[

1636，

12）。

6、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

x10x10

方法一：或∴x<-1或x>3.f(2)0f(2)0

x3或x1f(2)0x4x30

方法二：即2解得：∴x<-1或x>3.f(2)0x1或x1x10

lg2ax

7.若不等式lg(ax)



1在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x1



解：由题设知2ax0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(ax)0。原不等式变形为lg2axlg(ax)。2]，可得2x10 2axax，即(2x1)ax。又x[1，a

x2x1



1111f(x)11

22x1恒成立。设22x1，在x∈［1，2］上为减函数，可得

f(x)minf(2)

23，知

a

3。综上知

0a

23。

lg2ax

关键点拨：将参数a从不等式lg(ax)

1

中分离出来是解决问题的关键。

f(a)f(b)ab

0

8.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数且f(1)1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

11

fxf2x

22。（2）解不等式。

1]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。（3）若f(x)m2am1对所有x[1，解：（1）设1x1x21，则

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

x1x

2(x1x2)0，可知f(x1)f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

11x12

1

12x

12

11x2x（2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

11

x|xx

42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值。依题意有

m

2am11，对a∈［－1，1］恒成立，即m

2am0恒成立。

令

g(a)2mam，它的图象是一条线段，那么

g(1)m2m0

2

g(1)m2m0m(，2]{0}[2，)。

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于

“恒成立”与“能成立”问题辨析 篇6

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提问： 有道题是这样的：“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.当a=，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求实数b的值”.

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

提问： 有道题是这样的：“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx （a，b∈R）.令h（x）=f（x）+g（x）.当a=，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立，求实数b的值”.

“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”这句话，我不是太理解，究竟意味着什么呢？

回答： 这位同学的困惑其实是由于不理解恒成立的含义造成的. “恒成立”和“能成立”问题是一类非常典型的数学问题. 只有先准确理解其含义，才能实现问题的等价转化.

恒成立，要求自变量在给定区间内可取任意值，即给定区间内所有x均能满足条件.

能成立，要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即给定区间内有一个x能满足条件即可.

我们再来看题目，“对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立”，就是要求区间[1，2]上所有的实数x1，x2（x1≠x2）都能够使f（x1）-f（x2）>g（x1）-g（x2）成立.也就是说f（x1）-f（x2）的最小值要大于g（x1）-g（x2）的最大值，即f（x1）-f（x2）min>g（x1）-g（x2）max.

对于我省高考中常见的恒成立与能成立问题，存在以下结论（结论均建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

①对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

②对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

③若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

④若存在x∈D，使不等式f（x）≥g（x）能成立[f（x）-g（x）]max≥0.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，对任意的实数x∈[1，2]，f（x）≤g′（x）恒成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≤g′（x）在x∈[1，2]上恒成立，只需φ（x）max≤0，即φ（1）=b-1≤0.所以实数b的取值范围为（-∞，1].

例2 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx，若存在实数x∈[1，2]，使不等式f（x）≥g′（x）成立，求实数b的取值范围.

解析： 令φ（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x+b.因为x∈[1，2]，所以φ′（x）=-1≤0，函数φ（x）单调递减.要使f（x）≥g′（x）在x∈[1，2]能成立，只需φ（x）max≥0，即φ（1）=b-1≥0，所以实数b的取值范围为[1，+∞）.

有时题目中会包含两个自变量，要求分析两个函数大小关系恒成立或能成立的条件.通过对函数图象的分析，我们可以得到以下几个结论（结论同样建立在函数在给定区间内存在最值的前提下）：

⑤对任意x∈D1，任意X∈D2，不等式f（x）≤g（X）恒成立f（x）max≤g（X）min.

如图1所示，要使f（x）≤g（X）恒成立，则给定区间D2内函数g（X）的图象要恒在给定区间D1内函数f（x）的图象上方，即f（x）max≤g（X）min.同理，以下结论同学们可以参照结论⑤自行推导.

⑥对任意x∈D1，若存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）max≤g（X）max.

⑦若存在x∈D1，对任意X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）min.

⑧若存在x∈D1，存在X∈D2，使不等式f（x）≤g（X）成立f（x）min≤g（X）max.

解答恒成立与能成立问题，首先要理解其含义，只有准确理解了含义，才能实现问题的正确转化.上述结论是比较常用的，但因为问题形式千变万化，题目亦常考常新，因此在平常的训练中需要不断领悟和总结，提高这类题的解答能力.

对任意x∈D，不等式f（x）≤g（x）恒成立[f（x）-g（x）]max≤0；

对任意x∈D，不等式f（x）≥g（x）恒成立[f（x）-g（x）]min≥0；

若存在x∈D，使不等式f（x）≤g（x）能成立[f（x）-g（x）]min≤0；

高中数学恒成立问题 篇7

1数学思想在不等式恒成立问题中的应用

1.1函数思想在不等式恒成立问题中的应用

题目: 若不等式 ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4 < 0对x ∈ R恒成立,求a的取值范围。

分析: 引入函数f( x) = ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4 ,对 x ∈ R ,函数值f( x) < 0恒成立,即该函数图像位于x轴下方。

解: ( 1) 当a - 2 = 0时,f( x) = - 4 ,不等式恒成立,所以a = 2满足。

( 2) 当a - 2 ≠ 0时,函数需保证开口向下,

综上,a的取值范围是 - 2 < a ≤ 2

1.2分类讨论的思想在不等式恒成立问题中的应用

题目: 若不等式 ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4 < 0对 x ∈[- 1,1]恒成立,求a的取值范围。

分析: 同样引入函数f( x) = ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x 4,分类讨论依据开口方向,及 Δ 是否大于0。

解: ( 1) 当a - 2 = 0时,f( x) = - 4 ,不等式恒成立,所以a = 2满足。

( 2) 当a - 2 ≠0时,只需保证函数f( x) = ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4在x ∈[- 1,1]部分的图像位于x轴下方,抛物线的对称轴

( a) 当a > 2时,抛物线开口向上,

( 此时f ( - 1 ) < 0且f ( x ) < 0 ,不必保证 Δ > 0 ) 解得2 < a < 10/ 3

( b ) 当a < 2时,抛物线开口向下,则1解得 - 2 < a < 2

或 2即 ( f ( x ) 在[ - 1 , 1 ]递减,只需最大值小于0即可 )

解得 φ

综上, a的取值范围是 ( - 2 , 10 /3 ) 。

1.3数形结合的思想在不等式恒成立问题中的应用

题目: 不等式 ( x - 1)2< logax在x ∈ ( 1,2) 上恒成立,求a的取值范围。

解: 令y1= ( x - 1)2,y2= logax 。在同一直角坐标系中画出y1和y2的图像,对 x ∈ ( 1 ,2) ,都有y1> y2成立,易解得1 < a ≤ 2

注: 直接求解这种类型的不等式难度很大,把不等式两端看成两个函数,再利用图像可直观获解。

以上是数学思想在不等式恒成立问题中的应用,以下介绍在不等式恒成立问题中应用的数学方法。

2数学方法在不等式恒成立问题中的应用

2.1分离参数法

在不等式中求含参数范围的问题中,把不等式的参数与其他变量分离出来,并且分离后把一边函数的范围或最值求出来,便可得到参数的范围。

题目: 已知函数f( x) = x2- 2x + 5

( 1) 是否存在实数m使不等式m + f( x) > 0对 x ∈ R恒成立,并说明理由。

( 2 ) 若存在一个实数x 0使不等式m - f ( x 0 ) > 0成立, 求实数m的取值范围 。

( 1) 解: m + f( x) > 0∴ m > - f( x) 即 m > - x2+ 2x - 5 ,

令g( x) = - x2+ 2x - 5 = - ( x - 1)2- 4 ,g( x) 的最大值是 - 4

因为对x ∈ R恒成立,m应大于g( x) 的最大值,所以m > - 4。

注: 若 x ∈ R , m < f ( x ) 恒成立,则m < f ( x ) min ;

若 x ∈ R , m > f ( x ) 恒成立,则m > f ( x )max。

( 2 ) 解:成立, ∴ m > f ( x 0 )min

由于

∴ m的取值范围是 ( 4 , + ∞ ) 。

注:成立,则m > f ( x )min成立,则m < f ( x )max。 注意存在和恒成立问题的区别 。

2.2变更主元法

5、若不等式 ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4 < 0对 m ∈[- 1,1]恒成立,求x的取值范围。

分析: 此题与第2题很类似,但又不同,可以将x看成参数,引入函数g( a) = ( a - 2) x2+ 2( a - 2) x - 4 = ( x2+ 2x) a - 2x2- 4x - 4。

g( a) 的函数图像在a ∈[- 1,1]部分的图像应位于x轴下方,需使

以上方法用的是变更主元法。

不等式恒成立问题,因题目涉及知识面广,解题方法灵活多样,技巧性强,难度大等特点,要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力,上述方法是比较常用的,但因为问题形式千变万化,考题亦常考常新,因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,在平时的训练中不断领悟和总结,教师也要介入心理辅导和思想方法指导,从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。

摘要：针对不等式恒成立问题的解法,及其运用的数学思想进行分类归纳,通过具体实例对此类问题进行简单的整理。

高中数学中的“恒成立” 篇8

一、“恒成立”问题中的恒正恒负问题

我们常常会遇见诸如“f (x) 恒大于0”“f (x) 恒为负”之类的字眼，究竟如何考虑，我们下面以“f (x) 恒大于0”为例.作为函数f (x) ，所谓的恒大于0，就是指在它的定义域内能取到的函数值，都应当比0大.我们只要能够找到定义域上的最小值，使得最小值大于0.下面我们看一个具体的实例.

例求a的取值范围.

这是典型的“恒大于0”的问题, 要求在定义域[1, 2]上, 对于函数的函数值, 都是正数.我们可以看到, 在函数f (x) 上只要最小值能够大于或等于0就可以了.即化为fmin≥0的问题.下面求f (x) 的最小值.对于这样的函数, 我们可以通过求导找到最小值.在区间[1, 2]上, 最小值易得

当然，除了恒大于0，在学习中，也常常会出现恒小于0的情况，分析也大抵相同.这类问题，我们主要是考察某个函数在其定义域内为恒正或恒负问题.

二、“恒成立”的姐妹———“存在性”问题

在高中学习过程中，“恒成立”问题的思想往往也会在“存在性”问题中得到体现，下面我将举几个例子来分别探讨一下.

例2x∈[1,2]，使得f (x) =x2+2x+a≥0，求a的取值范围.

这个问题，在形式上和问法上，应该说和我们上面说的“恒成立”问题都很相似.我们要求函数上至少存在点能使函数值大于等于0，就是要求函数的最大值fmax大于等于0就可以了.那么我们只需对函数求导f' (x) =2x+2，在定义域上，导数大于0，函数为增函数，则它的最大值fmax=f (2) =8+a≥0，得到a≤-8.当然，我们也可以去考虑x∈[1,2]，使得f (x) =x2+2x+a≤0，也是相仿.

对于“存在性”问题的探讨，我们要和“恒成立”问题一样，着手于它们的最大值、最小值的取值范围.当函数的最大值比零大，那么必定存在大于零的函数值;而当函数的最小值比零小，那么必定存在小于零的函数值.

当然，在高中阶段，我们还常常遇见不是恒正恒负的问题，而是恒大于或恒小于某个值，我们对这类问题，常常要化简为恒正恒负问题来解决，比如下面这个例子.

例3 f (x) =x2+2ax+3, g (x) =-2x2+4，x∈R，都有f (x) ≥g (x) ，求a的取值范围.

这个问题，乍一看是两个函数在比较大小，但我们仔细一比较，会发现f (x) ≥g (x) ，就是f (x) -g (x) ≥0在R上恒成立，这样，我们代入计算记F (x) =f (x) -g (x) =3x2+2ax-1≥0恒成立，就变成了我们前面例子所讨论的问题了.我们只需要F (x) 的最小值Fmin≥0就可以了.

分析对于这类问题，虽然我们遇见的不一定是恒大于0或恒小于0的描述，但仍然是“恒成立”的问题，这时我们需要做的事，就是将不等式的一边化为0，另一边看作为一个新的函数，那么我们就将这类问题转化为新构造的函数恒大于0或恒小于0的问题，当然，在“存在性”问题的讨论上，这种思想依然有用.

三、“恒成立”问题的优化讨论

在高中阶段，上述的两类情况，只是“恒成立”问题与“存在性”问题的最基本的出现形式，但是我们在高中学习中，还常常会遇见变化后的“恒成立”问题.有些问题给出后，我们在解决问题时，可以以恒正恒负的思想来解决，但其中计算量过大，有的可能还涉及复杂的分类讨论，笔者认为，我们可以适当地考虑，能否有更为便捷、更为学生理解的方法呢?下面我们来看一个问题.

例4求a的取值范围.

(方法一) 记函数f (x) =x2-a在定义域上恒为正，我们只需要求解fmin≥0即可.

(1) 当时，即a≤2时，对称轴在定义域的左侧，函数f (x) 在定义域[1,2]上为单调增函数，fmin=f (1) =1-a≥0，解得a≤1，所以a≤1.

(2) 当时，即2

(3) 当时，即a>4时，对称轴在定义域的右侧，这时函数f (x) 在定义域[1,2]上为单调减函数，fmin=f (2) =4-a≥0，解得a≤4，与前提条件矛盾，故不取.

综上所述，该例中a的取值范围应该是a≤1.这个方法应该说在分类讨论上，要具有较高的严谨性，相对比较花时间，那么下面笔者给出另一种解法，作为比较.

(方法二) x∈[1,2]，x2-a≥0，就是a≤x2恒成立.我们要求在定义域上，a比x2的每一个函数值小，只需要a比x2的最小值小就可以了.而y=x2这个函数，是非常熟悉易操作的，不需要讨论，最小值就是1，我们只需要a≤1就解决问题了.

分析上述两个方法，应该说第一个方法需要学生有较高的逻辑思维能力，能够将分类讨论的思想分析得很透彻，无论在思维上和计算上都有较高的要求.在高中的学习中，笔者以为方法二更加容易为学生掌握和理解.当然，作为数学教学本身，这两种方法都有其各自的特点，都有着锻炼不同思维方式的优点.

作为“恒成立”问题，应该说可以自成一个体系，可以从不同的角度来分析问题，将该类问题深入浅出，的确很值得一探究竟.

摘要：高中数学教学中, 有很多值得探讨的热点、难点问题, “恒成立”问题就是一个很有魅力、很值得探讨的问题.本文以高中数学中“恒成立”问题不同的出现形式, 来探讨一下函数与导数的关联问题, 尽可能地详细表述这类问题的真谛.

关键词：恒成立,函数,数学

参考文献

[1]2010版创新设计高考总复习 (江苏版) .太原:山西人民出版社, 2009.

[2]三年高考两年模拟2010版.北京:首都师范大学出版社, 2009.

[3]汪江松.高中数学解题方法与技巧.武汉:湖北教育出版社, 2006.

解恒成立问题的方法 篇9

策略一利用公式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|是高中数学中一个重要的不等式链, 在解决绝对值不等式问题中有广泛的应用, 应用其求最值时要注意取“=”的条件。

例1对任意实数x, |x-1|+|4-x|≥a2+2a+2恒成立, 则a的取值范围是__。

解:∵|x-1|+|4-x|≥| (x-1) + (4-x) |=3,

且对任意实数x, |x-1|+|4-x|≥a2+2a+2恒成立,

∴a2+2a+2≤3, 即。

策略二变更主元

将不等式中的参数与变量的地位对换, 反客为主。由于思考的主要对象或方向发生了变化, 通过解不等式, 往往能找到解题突破口, 实现难题巧解, 繁题简解。

例2已知二次方程-ax2=2 (2a-1) x+4a-7=0中的a为正整数, 问a取何值时, 此方程至少有一个非负整数根。

解:把a视为主元, 则方程可改写为关于a的一次方程 (x2+4x+4) a=2x+7, 于是。因为a为正整数, 所以, 即x2+2x-3≤0, 解之得-3≤x≤1且x≠-2。

又x是非负整数, 所以x=0或x=1, 而当x=0时, ;当x=1时, a=1。故当a=1时, 此方程至少有一个非负整数根。

策略三分离参数

把含有参数的项移到不等式的一边, 含有主变量的项及常数移到另一边, 并将含主变量的式子构造为函数f (x) , 求其最值, 得出参数的取值范围。

例3若对所有的x∈[e, +∞) 都有xlnx≥ax-a恒成立, 求实数a的取值范围。

解:因为x≥e, 所以。

令, x∈[e, +∞) , 则。

因为当x≥e时,

所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2>0。

所以f' (x) >0, f (x) 在[e, +∞) 上是增函数。

所以。所以。

策略四数形结合

关于恒成立问题的讨论 篇10

一、形如kx+b>0在区间[m, n]恒成立的问题

这类问题成立的充要条件

例如：ax+2>0在x∈[-3, 2]上恒成立，求实数a的取值范围。

解析：(1) a=0时，2>0恒成立;

综上，所以-1

二、形如ax2+bx+c>0在x∈R上恒成立的问题

这类问题成立的充要条件或

例如：若函数f (x)=lg (mx2+mx+1)的定义域为R，则m的取值范围是.

解析：要使f (x)=lg (mx2+mx+1)的定义域为R，即mx2+mx+1>0恒成立，x∈R.

(1) m=0时，1>0时，成立;

综上，所以0

注：学生在解题过程中易忽略m=0这种情况。

三、形如ax2+bx+c>0在x∈[m, n]上恒成立的问题

这类问题讨论起来比较复杂，方法较多，常见的有：

(1)利用函数与方程的关系，根据根的分布情况解决令ax2+bx+c不等式成立的充要条件为：

(2)也可结合函数图像求f (x)=ax+bx+c的最小值，f (x) min>0即可.

(3)还可用分离变量的方法，转换成求函数求最值，a≥g (x)恒成立，等价于a≥g (x) max;a≥g (x)等价于a≥g (x) max.

例如：已知不等式x2+px+1>2x+p，如果当2≤x≤4时不等式恒成立，求p的取值范围。

解析：原不等式等价于

所以p>-1.

四、恒成立问题注意变量的确定

例如：不等式x2+px+1>2x+p，如果当|P|≤2时，不等式恒成立，求x的取值范围。

解析：此题粗略一看与上例类似，但实际上是关于P的不等式。

原不等式化为(x-1) p+x2-2x+1>0.

成立的充要条件, 所以x<-1或x>3.

五、数形结合与恒成立问题

例如：设函数g (x)=4/3x+1, f (x)=，若恒有f (x)≤g (x)恒成立，则求a的取值范围。

解析：此题学生可能采用分离变量的方法，但求函数最值时会遇到困难，我们可以采用数形结合的方法。设可得(x+2) 2+(y-a) 2=4，它表示以(-2, a)为圆心，2为半径的上半圆。y=4/3x+1表示斜率为4/3，在y轴上的截距为1的一条直线。由下图可知直线与圆相切且在直线下方a取值最大。由圆心(-2, a)到直线y=4/3x+1距离等于半径2，得a=-5或a=5/3(舍去)，所以a∈(-∞，-5]。

六、恒成立问题中的不同变量与相同变量

例如：已知两个函数f (x)=7x2-28x-a, g (x)=2x2+4x2-40x

(1)若对任意的x∈[-3, 3]都有f (x)≤g (x)成立，求实数a的取值范围;

(2)若对任意的x∈[-3, 3]都有f (x1)≤g (x2)成立，求实数a的取值范围。

解析：第一个问题是取相同x时f (x)≤g (x)，可用分离变量的方法解题。

原不等式等价于a≥-2x3+3x2+12x, x∈[-3, 3]恒成立.

令h (x)=-2x3+3x2+12x，利用导数求得h (x) max=45，所以a≥45.

第二个问题是指任取一个x对应的函数值f (x)都不比任取一个x对应的g (x)大，这里的f (x)与g (x)中自变量可以不一样，解此题必须符合f (x) max≤g (x) min, f (x) max=147-a, g (x) min=-48，所以a≥195.

七、导数与恒成立问题

例如：已知函数f (x)=x3+1/2x2+bx+c，若f (x)在x=1时取得极值，且x∈[-1, 2]时，f (x)

解析：当x=1时，f (x)=3x2-x+b=0, b=-2.

f (x)

即, x∈[-1, 2]时成立.

令, 利用导数求g (x) max=2.

八、与对称性、周期性相关的恒成立问题

例如：f (x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴方程x=π/4，求实数a的值。

解析：由题意可知x∈R时，恒有f (x)=f (π/2-x).

即sinx+acosx=sin (π/2-x) +acosx (π/2-x) =cosx+asinx.

则(a-1) (cosx-sinx)=0, x∈R都成立，只有a=1.

九、与数列相关的恒成立问题

例如：不等式[(1-a) n-a]lga<0对于一切正整数n都成立，求实数a的取值范围。

解析：令f (n)=[(1-a) n-a]lga，则：

a>1, f (n)递减数列，f (n) max<0，即f (1)<0，所以a>1.

0

十、反证法

例如：设0

解析：假设(1-a) b>1/4， (1-b) c>1/4， (1-c) a>1/4

因此，abc (1-a) (1-b) (1-c)≤1/64，与假设矛盾，所以原结论成立。