复数中的热点问题

复数中的热点问题（精选四篇）

复数中的热点问题 篇1

高中数学新教学大纲对新编教科书《复数》一章的内容有了较大精减, 因此应按大纲要求进行教学, 不能任意拔高扩展, 为了帮助同学们学好这部分内容, 本文对近几年高考复数题进行研究, 总结出几个热点问题.

一、复数中的概念题

概念题是指复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数及共轭复数等概念.其解法是正确理解概念, 充分运用模、纯虚数、共轭复数等性质来解题.

例1 (2009年江西卷理) 若复数z= (x2-1) + (x-1) i为纯虚数, 则实数x的值为 ( ) .

A.-1 B.0 C.1 D.-1或1

分析 根据复数纯虚数的概念, 得出该题的解法.

解 由$\{\begin{array}{l}x{}^2-1=0,\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow x=-1$.故选A.

评注 概念是解数学题的基础, 所以概念一定要熟悉.

相关训练题 (2009年重庆卷理) 已知复数z的实部为-1, 虚部为2, 则

$\begin{array}{l}\frac{5i}{z}=().\\ \text{A}.2-i\text{B}.2+i\text{C}.-2-i\text{D}.-2+i\end{array}$

答案:A.

二、复数中的几何意义问题

复数a+bi与复平面上的点Z (a, b) 以及向量$\overrightarrow{{\rm O}{\rm Z}}$建立起一一对应的关系.解题关键在于深刻理解复数的几何意义, 用数形结合法来解决.

例2 (2008年江西卷) 在复平面内, 复数z=sin2+icos2对应的点位于 ( ) .

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析 根据复数的几何意义, 确定sin2, cos2的符号即可.

解 ∵2弧度是钝角, ∴sin2>0, cos2<0, 故复数z对应的点位于第四象限, 选D.

评注 掌握复数的几何意义, 提高自己对知识的灵活运用能力.

相关训练题 (2009年北京卷理) 在复平面内, 复数z=i (1+2i) 对应的点位于 ( ) .

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析 ∵z=i (1+2i) =i-2=-2+i,

∴复数z所对应的点为 (-2, 1) .故选B.

三、复数中的计算题

复数的加、减、乘、除、乘方等计算要掌握, 同时要掌握常见的结论, 如in的周期性, ω的系列性质以及 (1±i) 2=±2i能提高运算速度.

例3 (2009年山东卷理) 复数$\frac{3-i}{1-i}$等于 ( ) .

A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i

分析 复数的计算题, 就是化简成a+bi的形式.

解$\frac{3-i}{1-i}=\frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+2i-i{}^2}{1-i{}^2}=\frac{4+2i}{2}=2+i.$

故选C.

评注 本题考查复数的除法运算, 分子、分母需要同乘以分母的共轭复数, 把分母变为实数, 将除法转变为乘法进行运算.

相关训练题 (2009年宁夏海南卷理) 复数

$\begin{array}{l}\frac{3+2i}{2-3i}-\frac{3-2i}{2+3i}=().\\ \text{A}.0\text{B}.2\text{C}.-2i\text{D}.2\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{析}\frac{3+2i}{2-3i}-\frac{3-2i}{2+3i}=\frac{(3+2i)(2+3i)}{13}-\\ \frac{(3-2i)(2-3i)}{13}=\frac{26i}{13}=2i.\end{array}$

故选D.

四、复数中的最值题

复数中的最值型问题主要是模的最值, 解决这类问题往往是利用复数模的性质、共轭复数的性质等来解题.

例4 (2003年北京卷) 若z∈C, 且|z+2-2i|=1, 则|z-2-2i|的最小值是 ( ) .

A.2 B.3 C.4 D.5

分析 此题已知复数的模, 又要求另一复数的模的最值, 应用复数的模的几何意义.

解 (数形结合) |z+2-2i|=1表示以C (-2, 2) 为圆心, 1为半径的圆.则|z-2-2i|的最小值是指点A (2, 2) 到圆的最短距离, 显然为3.故选B.

评注 本题能否发掘出复数题中的几何意义, 是检验对复数知识理解层次的一个重要标志.

相关训练题 已知复数z1=cosθ-i, z2=sinθ+i, 求|z1·z2|的最大值和最小值.

$\begin{array}{l}\text{解}|z{}_1\cdot z{}_2|=|1+\sin \theta \cos \theta +(\cos \theta -\sin \theta )i|\\ =\sqrt{(1+\sin \theta \cos \theta ){}^2+(\cos \theta -\sin \theta ){}^2}\\ =\sqrt{2+\sin {}^2\theta \cos {}^2\theta }\\ =\sqrt{2+\frac{1}{4}\sin {}^{2}2\theta }.\end{array}$

故|z1·z2|的最大值为$\frac{3}{2}$, 最小值为$\sqrt{2}.$

新一轮数学课程改革从理念、内容到实施, 都有较大变化, 要实现数学课程改革的目标, 教师是关键.教师在教学中应转变观念, 充分认识数学课程改革的理念和目标, 帮助学生养成良好的习惯, 形成积极探索的态度, 强化勤奋好学、勇于克服困难和不断进取的学风, 为学生未来发展和进一步学习打下坚实基础.

雅思听力常见问题-单复数 篇2

1、一些专有名词常以单数形式出現：

集体名词,以单数形式出現,但实则复数.如：people,police ,cattle,offspring,staff 等自身便是复数,不能说 a people,a police,a cattle;

不可数名词,不能加-s,如：furniture;sugar; traffic.

2、一些专有名词则以复数词出現的机遇较多,如：

clothes; shorts超短裤; scissors剪子; spectacles/glasses近视眼镜; boots; antibiotics

3、一部分专有名词单复数同形,如:

sheep, deer, salmon 大马哈鱼; trout 虹鳟鱼,Chinese,Japanese

4、一些专有名词复数形式较独特,如：

mouse(单)---mice(复),ox(单)---oxen(复),goose (单)---geese(复),datum → data,index →indices,analysis → analyses,phenomenon → phenomena,focus → foci

5、一些专有名词变复数形式后,含意有转变,如：

paper(纸)—papers (毕业论文,报刊),custom(风俗习惯)---customs(中国海关),goods货品,waters海域,fishes(各种各样)鱼

应对雅思听力考试的6个实用小贴士

Tip 1 As in any part of the exam, there are no lost marks for wrong answers. So, if you dont know- guess!

Tip 2 All the parts of the paper are heard only once- so dont do lots of textbook listenings where they hear twice. It can be useful, however, to occasionally play IELTS exam listenings through again while they read the tape script.

Tip 3 Although the question papers will be collected in, only the answer sheets will be marked. Students can therefore write anything they like on the question sheet. In fact, making a few notes as they listen will give students a chance to guess any answers they have missed during the time given to transfer answers to the answer sheet.

Tip 4 Grammar, spelling and punctuation (e.g. capital letters) must also be correct for all answers.

Tip 5 There are things that students must get right to get the points which do not have anything to do with listening comprehension (e.g. getting grammar right, see Tip 4). These things can therefore be practiced in the classroom without even using a tape. Simply give students an answer sheet where the answers are written out wrongly (e.g. 5 words or with a common spelling mistake) and get them to correct it. Give them a strict time limit, as they wont have much time to do this in the exam. See example worksheets and Lesson Plan. Alternatively, give them a question paper with these kind of errors on it and get them to transfer the answers to the answer sheet whilst correcting any mistakes.

Tip 6 Of course, the best practice for the listening paper is to listen to as much English as possible. Students should try to listen to radio as well as watch TV, as they can’t rely on visual prompts in the exam. If they want to watch movies etc, then anything in an academic setting should include relevant vocabulary, e.g. Educating Rita or The Dead Poets Society.

雅思听力考试流程介绍

准备工作：

准备一张照片(背面写上中文名字、拼音和考号)、准考证、证件(如身份证、护照等)橡皮(他们的橡皮很小的，最好自己带一个)

考前流程：

早上8：00钟到考点后，在指定的地方找到考号所对应的考场，然后去该考场的Waiting Room。当听到老师叫就可以排队了，大家就去各自的考场门口排队，等待进入。

进入考场后，考官(老外)会问你叫什么名字，有没有带手机啊(如果你当时开着的话，需要关了)?有没有带其他的东西啊?等等一些问题。然后把你随身带的包给另一个考官(中国人)放到指定的大袋子中，之后带你入座。

入座后，把耳机带上，试试耳机的质量，里面有段录音的，大家听听吧。等全部入座了，考试就正是开始了。

雅思听力：

首先是听力，这时老外会用英文把考试方式简单的介绍一下，之后试耳机，他会放一段录音，然后问是响或轻，是否耳机有问题(如果你有的话就提出来)?大家都没问题了就会把答题纸发下来的，之后他会教你怎么填姓名、考号、日期等等。

大家填好后，就会将考卷发下来，在这之前他会说：不要打开(千万别打开哦)。然后大家带上耳机，等听到开始后，打开考卷开始考试。

雅思听力场景的出题规律总结

问：老师好，雅思听力各个部分的场景有固定规律吗?

复数问题中的恒等式 篇3

结论1:虚数单位i的幂的周期性:i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, n∈N*.

显然in+in+1+in+2+in+3=0;in·in+1·in+2·in+3=-1, n∈N*.

【例1】 计算:in+1+in+2+in+3+…+in+2012.

解法1:设T=in+1+in+2+in+3+…+in+2012, 则

$\begin{array}{l}{\rm T}=\text{i}{}^{n+1}+\text{i}{}^{n+2}+\text{i}{}^{n+3}+\cdots +\text{i}{}^{n+2012}\\ =\text{i}{}^n(\text{i}{}^1+\text{i}{}^2+\text{i}{}^3+\cdots +\text{i}{}^{2012})=\text{i}{}^n\frac{\text{i}(1-\text{i}{}^{2010})}{1-\text{i}}\\ =\text{i}{}^{n+1}\frac{[1-(\text{i}{}^4){}^{503}]}{1-\text{i}}=\text{i}{}^{n+1}\frac{(1-1)}{1-\text{i}}=0.\end{array}$

解法2:原式= (in+1+in+2+in+3+in+4) +…+ (in+2009+in+2010+in+2011+in+2012) =in[ (i1+i2+i3+i4) + (i5+i6+i7+i8) +…+ (i2009+i2010+i2011+i2012) ]=0.

点评:对于虚数单位i的周期性的应用, 主要从两个角度来考虑:一是用4除i的幂求余数, 即可计算出结果;二是利用i的连续次幂, 依次以相邻的四个为一组.

结论2:$(1\pm \text{i}){}^2=\pm 2\text{i},\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i},\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i},(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}){}^2=(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}){}^2=-1.$

【例2】 设$f(n)=(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}){}^n+(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}){}^n(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})$, 则集合{x|x=f (n) }中元素个数是 ( ) .

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

解析:$f(n)=(\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}){}^n+(\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}){}^n=\text{i}{}^n+(-\text{i}){}^n(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})$, 再根据in取值的周期性, 给n赋值, 得集合{x|x=f (n) }={-2, 0, 2}.选C.

结论3:对于任意的复数z1, z2, 均有$z{}_1\cdot \overline{z{}_1}=|z{}_1|{}^2=|\overline{z{}_1}|{}^2,\overline{z{}_1\pm z{}_2}=\overline{z{}_1}\pm \overline{z{}_2},|z{}_1+z{}_2|{}^2+|z{}_1-z{}_2|{}^2=2(|z{}_1|{}^2+|z{}_2|{}^2).$

【例3】 设z1, z2∈C, 已知$|z{}_1|=3,|z{}_2|=5,|z{}_1-z{}_2|=\sqrt{10}$, 求|z1+z2|的值.

解:$\because |z{}_1+z{}_2|{}^2+|z{}_1-z{}_2|{}^2=2(|z{}_1|{}^2+|z{}_2|{}^2),|z{}_1|=3,|z{}_2|=5,|z{}_1-z{}_2|=\sqrt{10},$

$\therefore |z{}_1+z{}_2|{}^2=2(|z{}_1|{}^2+|z{}_2|{}^2)-|z{}_1-z{}_2|{}^2=58,\therefore |z{}_1+z{}_2|=\sqrt{58}.$

点评:涉及复数的模及共轭复数的题目, 要充分利用共轭复数的性质, 如:$z{}_1\cdot \overline{z{}_1}=|z{}_1|{}^2=|\overline{z{}_1}|{}^2$等.另外, 复数的几何意义及复数加减法的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件, 灵活应用数形结合思想可以事半功倍, 同学们不妨一试.

结论4:1的立方根为$1‚-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$, 记$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$, 则$\omega {}^3=\overline{\omega }{}^3=1‚\omega {}^{3n}=\overline{\omega }{}^{3n}=1,\omega {}^2=\overline{\omega },\omega \cdot \overline{\omega }=1,\omega {}^{n+2}+\omega {}^{n+1}+\omega {}^n=0,\overline{\omega }{}^{n+2}+\overline{\omega }{}^{n+1}+\overline{\omega }{}^n=0.$

【例4】 非零复数z1, z2满足z${}_1^2$+z1z2+z${}_2^2$=0, 则$(\frac{z{}_1}{z{}_1+z{}_2}){}^{2012}+(\frac{z{}_2}{z{}_1+z{}_2}){}^{2012}$的值是 ( ) .

$\text{A}.\pm 2\sqrt{3}\text{B}.\pm 1\text{C}.\pm \sqrt{3}\text{D}.-1$

分析:由z${}_1^2$+z1z2+z${}_2^2$=0, 得$(\frac{z{}_2}{z{}_1}){}^2+\frac{z{}_2}{z{}_1}+1=0$, 其根即为结论4中ω的或$\overline{\omega }.$

解:由z${}_1^2$+z1z2+z${}_2^2$=0, 得$(\frac{z{}_2}{z{}_1}){}^2+\frac{z{}_2}{z{}_1}+1=0,\frac{z{}_2}{z{}_1}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$, 即$\frac{z{}_2}{z{}_1}=\omega$或$\overline{\omega }.$

原式$=(\frac{1}{1+\frac{z{}_2}{z{}_1}}){}^{2012}+(\frac{\frac{z{}_2}{z{}_1}}{1+\frac{z{}_2}{z{}_1}}){}^{2012}.$

当$\frac{z{}_2}{z{}_1}=\omega$时, 原式$=(\frac{1}{1+\omega }){}^{2012}+(\frac{\omega }{1+\omega }){}^{2012}=(-\frac{1}{\omega {}^2}){}^{2012}+(-\frac{1}{\omega }){}^{2012}=(-\omega ){}^{2012}+(-\omega {}^2){}^{2010}=(\omega {}^3){}^{670}\cdot \omega {}^2+(\omega {}^3){}^{1341}\cdot \omega =\omega {}^2+\omega =-1.$

同理, 当$\frac{z{}_2}{z{}_1}=\overline{\omega }$时, 原式=-1.选D.

复数中的热点问题 篇4

1、引言

工商管理实际上就是经济管理理论为主导, 应用与实际情况相契合的方法, 围绕研究内容逐步推进的工作项目。在市场经济全面发展的新趋势下, 工商管理的内容也更加丰富, 在工商管理研究体系逐步完善的过程中, 研究范畴也随之拓展, 其职能作用基于不可替代性也不断凸显。这就需要在明确工商管理现状的基础上, 从工商管理的问题入手, 摸索出工商管理的发展趋势, 为管理能效的进一步提升提供基础保障, 这同时也是推动工商管理长远发展的必经之路。本文就围绕工商管理, 对其发展趋向进行了深入分析及讨论。

2、现阶段工商管理的关键点

2.1、企业文化

煤矿企业在发展进程中并不能忽视文化的意义及价值, 这不仅代表着企业的发展理念, 更是体现企业实力的关键因素, 企业文化同时也是员工为之奋斗的动力源泉, 因此其综合性特点十分显着, 提高煤矿企业的核心竞争力也应当以此为切入点。尤其是在市场经济发展环境下, 企业之间的竞争普遍呈现白热化态势, 而企业文化作为发展实力及精神内涵的重要代表, 则应当将煤矿企业内部可利用的资源有机结合在一起, 通过优化配置, 实现对企业文化及物质形态的完美结合, 为企业管理质量的持续提升提供基础保障, 因此不难发现, 文化对于企业发展来说至关重要, 企业在发展进程中也会加大文化建设力度, 工商管理范畴中的文化建设重点主要集中在文化形象、文化影响及文化建设上, 这就说明企业文化建设是工商管理中不可或缺的一部分, 其能效作用的发挥能够为企业形象及文化的积极打造夯实基础。

2.2、企业战略

在市场经济发展进程中, 煤矿企业所处的市场环境更为复杂, 在行业竞争更加激烈的同时, 煤炭企业要想快速抢占市场份额就需要结合自身实际情况, 围绕市场环境制定与之协调的发展战略, 以更具优势的节奏带动企业的高效发展, 因此可以说, 无论是长期战略还是短期战略, 都能对企业发展进程形成直接影响。以计划经济体制为主导, 工商管理占据重要地位, 煤矿企业应当在迎合发展趋势的同时, 将工商管理纳入重点范畴, 积极制定适合企业发展的战略部署, 通过提高其针对性及有效性, 明确企业发展方向, 这不仅是企业管理的侧重点, 更是提高企业竞争实力的必经之路。

2.3、企业内部管理

在任何企业的内部管理中人力资源及财务管理都是都是关键点, 人力是企业发展实力提升的基础保障, 而财务关联着企业的经济要素, 是企业维持生产及运营动力的核心要素, 因此, 财务管理将始终贯穿于煤矿企业的各个项目中。在工商管理中, 以财务目标为基准进行预算及评价, 不仅能提高煤矿企业的财务管理效率, 更能实现对财务管理风险的合理规避。相对的, 人力资源管理在煤矿企业中也相当重要, 是提高企业发展实力及竞争优势的基础动力, 这就需要形成以人为主导的发展格局, 促使人力资源向着协调方向发展。工商管理的侧重点则集中在薪酬设计及激励政策等方面, 这不仅能满足员工需求, 提高员工满意度, 更能为企业发展实力的持续提升打下坚实的基础。

3、工商管理发展趋向分析

3.1、知识管理地位逐步提升

随着知识经济时代的不断发展, 煤矿企业自身的觉悟及认知水平也不断提高, 知识管理的.重要性及价值的进一步凸显, 也促使其管理地位逐步提高, 这就能够充分说明知识管理是煤矿企业现代化发展中的重点管理内容, 在信息技术广泛应用的同时, 技术水平及应用指标也明显提升, 以此为基准, 能够借助信息技术带动知识资源的丰富化发展, 从而调动企业员工的学习积极性, 以知识共享为核心目标创建更为完善的发展机制, 推动可行性管理方法的有效落实, 因此, 知识管理是建立在企业发展方向及需求基础上而开展的管理活动。

从当前形势来看, 知识管理范畴仍旧在持续拓展, 这同时也是提高企业竞争实力的重要保障, 只有煤矿企业内部资源有机结合在一起, 才能促使组织业绩不断提升, 因此, 在知识经济时代, 工商管理的发展趋向以知识管理地位的提升为主导, 这同时也是煤矿企业经济管理中的关键点。在工商管理中, 知识资本管理及共享占据主要地位, 以知识管理为核心动力, 能够拓展及延伸煤矿企业的发展范畴, 为其抢占市场份额提供提供丰富的依托要素。从本质上来看, 工商管理中的知识管理内容丰富, 涉及面较广, 煤矿企业通过制定知识管理战略, 能推动内部管理层次的精细化划分, 为企业未来发展指明方向, 这同时也是现阶段工商管理发展的新路径。

3.2、学习型企业成为焦点

在工商管理理念中, 学习型企业作为一个新兴企业, 也是工商管理中的前沿理论。在知识经济时代下, 通过学习型企业来打造一支结构合理、高素养的人力资源队伍, 从而全面提高企业的市场竞争力。在工商管理视角下, 需要社会对学习型企业高度重视, 并通过构建学习机制制度保障, 确定学习目标、实施奖罚机制、展开领导垂范, 这样才能够营造更加浓郁的学习气氛, 提高企业内部的知识水平以及核心竞争力。提到学习型企业就不得不说国际市场, 当今我国企业与国际企业合作愈加密切, 接触机会也非常多, 因此朝向国际化方向努力也是工商管理中重点关注问题, 企业通过不断学习, 应用更加先进的交通、通信技术, 从而拉近与国际各国之间的距离, 这也是工商管理发展的必然趋势。

4、结束语

综上所述, 工商管理本身就处于发展进程中而不断改变, 这不仅是管理能效持续提升的动力保障, 更是其长远发展的必然趋势, 只有迎合时代发展趋势, 不断进行优化及转变, 才能促使管理始终保持动力及活力, 从而提高其有效性, 并将管理能效渗透到各个需求环境下。在市场经济发展的新趋势下, 对于工商管理来说不仅是机遇更是挑战, 这就需要在变革基础上, 以创新为推动力, 带动组织竞争力的不断提升。

参考文献

[1]李彦.企业工商管理的发展趋势分析[J].中国科技博览, (40) :79-79.

[2]尹玉霞.工商管理的热点问题分析及发展趋势[J].赤子 (上中旬) , 2015 (19) :221-221.