数学定理

数学定理（精选十篇）

数学定理 篇1

一、初中数学几何概念和定理教学的误区所在

现阶段,在初中几何概念与定理教学中主要存在以下两大误区:第一,几何概念和定理教学过于形式化,部分教师比较重视数学知识应用教学,而忽视对几何概念和定理的教学,在讲解这部分内容时,往往一带而过,让学生死记硬背概念和定理的文字性语言,对其背景知识讲解不够,学生无法充分掌握它们的本质特征,教师的讲解不够透彻,强调数学知识的应用教学,认为让学生多做数学题目比较有效。第二,几何概念和定理教学方法不够合理,不少教师在进行几何概念与定理教学时,喜欢直接把这些新知识直接告诉学生,采用灌输式教学方法,让学生死记硬背现有的几何概念与定理,从而导致不少学生只是理解其字面意思,无法深刻透彻理解其真正含义,在使用的时候只会生搬硬套,无法灵活运用。

二、初中数学几何概念和定理教学的有效策略

1.重视几何概念与定理的引入方法。在初中数学几何教学中,对于概念与定理需要注重其引入方法,教师应该抓住时机,自然引出几何概念与定理,然后给学生讲解其产生的背景与基础,促使学生通过对它们的基础了解来掌握概念或定理。几乎所有的几何概念与定理都是前人所留下的精华,纯粹的让学生背诵,教学效果不会太好,所以,初中数学教师选择恰当的时机来引入几何概念或定理,并且帮助学生对其由感性认识升华至理性认识,而教师在开展教学活动之后就应该做好备课工作,为学生提供较为丰富的学习资料。例如,在进行《直线、射线、线段》教学时,针对射线和线段的几何概念,教师可以使用路灯发出的灯光来引出射线概念、使用街道上的斑马线来以引出线段概念,然后让学生根据自己的理解,找出更多的实例,从而自然而然的就帮助学生理解和掌握几何概念或定理。

2.几何概念和定理与实际生活相连。在初中数学教学中,不少几何概念或定理都源自日常生活,与学生们的实际生活联系十分密切。因此,初中数学教师在进行几何概念和定理教学时,要注意它们与实际生活之间的联系,列举生活实例,帮助学生在实际生活中学习、认识和理解几何概念或定理。不过,我校是一所进城务工子弟定点学校,教师在列举数学生活实例时不能过于盲目,要注意到进城务工子女与城市子女之间的差异性,他们所处的生活环境有所不同,他们可以彼此分享生活中所发现的不同几何概念与定理,而教师在寻找生活实例时,也需要注意到他们之间的差别。

3.探索几何概念与定理的证明方法。几何概念和定理往往是思维与方法的有机结合,一个几何概念或定理可以通过多种方法来证明,而这些方法又能够涉及到多个数学知识。所以,初中数学教师在几何概念与定理教学中,需要探索几何概念与定理的多种证明方法,促使学生能够综合运用所掌握的数学知识,同时培养其数学思维能力。教师需要在思想方面高度重视几何定理的正面多样化,引导学生在解决数学问题时从多个角度出发,灵活运用几何概念与定理来解决数学问题。例如,在讲解平行四边形的判定定理时,教师可以启发学生发现其第一个判定定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,然后再引导学生搜索出其它判定定理,包括两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等。

4.紧扣几何概念和定理的本质属性。在初中数学教学中,几何概念和定理的措辞比较精练,每个字与词的作用都十分重要,是对研究对象本质属性的揭示。因此,为了帮助学生能够理解和掌握几何概念或定理的深刻含义,教师需要紧扣几何概念和定理的本质属性,要注意言语的准确性与严密性,及时纠正学生的错误用语,能够有效培养其逻辑思维能力,促使学生能够对几何概念和定理深入探究与钻研,并且认真推敲、咬文嚼字。例如,在讲解正方形概念时,其概念为“四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形”,其中“四条边都相等”与“四个角都是直角”是正方形概念的关键,所以教师一定要强调是“四条边”与“四个角”这两个条件需要同时存在,缺一不可,当然也不能够是三条边或三个角,紧扣其本质属性才能够从根本上掌握和理解几何概念与定理。

总之,在初中数学教学中,教师应该重视几何概念与定理教学,是学习和掌握几何知识的基础。因此,教师应该采用多种科学合理、积极有效的教学方法,帮助学生深刻掌握和理解几何概念与定理,并且在解题过程中能够灵活运用。

摘要：几何作为初中数学教学中的重要组成部分,同时也是教学难点与重点,而几何概念与定理是学习几何知识的基础,因此,在几何教学中,对于概念和定理的初中教学教师应该给予高度重视,不过在实际教学中却存在部分误区。笔者主要针对初中数学几何概念和定理进行重点分析探讨,并且制定部分有效的教学策略。

数学定理 篇2

数学教师在教学上经常会遇到很多困难，特别在农村初中。其中比较突出的是有较多学生对几何定理的理解运用感到困难，思考时目的性不明确。本文针对这些情况，提出了以下教学方法供大家参考。

一、对几何定理概念的理解

我认为能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。

例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

三写：能用符号语言表达。如：∵△ABC是RT△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

二、对几何定理的推理模式

从学生反馈的问题看，多数学生觉得几何抽象还在于几

何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

① 条件 → 结论 → 新结论（结论推新结论式） ② 新结论（多个结论推新结论式） ③ 新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

三、组合几何定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。下面通过一例来

说明这一步骤的实施。

例：已知，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线 AC与 BD 相交于E，且 AB ＝ AE·AC，BD＝ 8。求△BAD的面积。

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质 →证相似 →相似三角形性质 →垂径定理 →勾股定理 →三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。

四、联想几何定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形可以引发联想，对于识图或想象力较差的学生我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：⊙O1和⊙O2相交于B,C两点，AB是⊙O1 的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

发现数学定理的秘诀 篇3

是的，下面的一个真实故事就会告诉你秘诀在哪里.

在中国湖南的一个农村生产队，在1964年以前禾苗年年受到虫害，粮食总是不够，亩产最多是五百多斤.

那里的虫害最厉害的是一种叫蚁螟的虫，它们能使稻枯心，农民最初看到禾苗出现白线子才喷药. 可是农药喷了，虫却没治好. 有一个农民看到这种情形，他决定想法子根治这种虫害，可是有人却认为他文化低，不可能做出这样的事来，但是他不理会这些看法.

当第一代螟蛾出生后，他就守在田边观看，看蛾子如何产卵，发现卵块的地方就插标记，记下产卵日期，看它什么时候孵化. 不管刮风下雨，日夜不离田边，他终于掌握了这种害虫的生长规律，于是就有法子消灭它，以后也控制了其他虫害，粮食亩产到目前增至一千二百多斤.

许多人承认科学发现和发明都是需要依靠实验和观察. 如果说数学上的发现也是靠观察得来的，你会觉得奇怪吗？

数学是研究一些数、形、关系和运算性质、变化规律的学科，人们是怎样知道这些性质和规律的呢？

欧拉在他的一篇文章里写道：“许多我们知道的整数的性质是靠观察得来，这发现早已被它的严格证明所证实. 还有很多整数的性质我们是很熟悉的，可是我们还不能证明，只有观察能引导我们对它们的认识. 因此我们看到在数论——它还不是一个完整的理论中，我们可以寄厚望于观察：它能连续引导我们发现新的性质，然后尝试证明. 那类靠观察而取得的知识还没有被证明，必须小心地和真理区别. 我们看过单纯的归纳会引起错误，因此我们要非常小心，不要把那一类我们靠观察和归纳得来的整数的性质当作正确结论. 事实上，我们要利用这发现为机会，去研究它的性质，去证明它或反证它，这两方面我们都会学到有用的东西. ”

勾股定理中隐含的数学思想 篇4

一、方程思想

把数学问题通过适当的方式, 转化为一个求解方程的方法称为方程思想.用方程思想解题的关键是利用己知条件构造方程.

例1是否存在三边长为连续整数的直角三角形, 若存在请求出三边的长;若不存在, 请说明理由.

解析:解答若用常规的方法很难下手.如果巧妙地运用方程思想求解, 那就游刃有余了.

设三边长为分别x-1, x, x+1,

则由勾股定理, 可得 (x-1) 2+x2= (x+1) 2,

所以x2=4x, 由于x≠0, 所以可得x=4, 从而有x-1=3, x+1=5, 因此存在满足条件的三边长为3, 4, 5.

【点评】此题运用方程思想, 恰当地设出未知数, 进而分析问题的数量关系, 通过勾股定理构建方程, 从而达到轻松解题的目的.

二、整体思想

对于数学问题, 从大处着眼, 从整体入手, 可使问题变难为易, 更能培养思维的灵活性.

例2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形 (如图1所示) .如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1, 直角三角形的两直角边长分别为a, b, 那么 (a+b) 2的值是____.

解析:由题意可知a2+b2=13, (a-b) 2=1.

根据完全平方公式 (a-b) 2=a2-2ab+b2可得13-2ab=1,

所以2ab=12.

所以 (a+b) 2=a2+2ab+b2=13+12=25.

【点评】此题中把 (a+b) 2做为一个整体, 通过完全平方公式直接求其值, 真可谓是:众里寻它千百度, 蓦然回首, “答案却在灯火栅栏处”.在数学解题中把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的、有意识的整体处理, 往往能够起到事半功倍的效果.

三、转化思想

把新问题转化为己知的问题上, 把复杂的问题转化为简单的问题来求解的方法.

例3如图2所示, 已知△ABC中, AB=10, BC=21, AC=17, 求BC边上的高.

解析:要求BC边上的高, 可过A作AD⊥BC于D, 可得AD是Rt△ABD、Rt△ADC的直角边, 可先设出BD的长为x, 再由勾股定理利用AD边过渡列出方程可得到解答.

过A作AD⊥BC于D,

设BD的边长为x, 则CD的长为21-x.

在Rt△ABD中, 根据勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-x2.

同理可得AD2=AC2-CD2=172- (21-x) 2.

所以102-x2=172- (21-x) 2, 解得x=6.

所以AD2=102-62=64, 所以AD=8.

【点评】当已知的图形不是直角三角形时, 可以利用转化思想, 构造直角三角形, 再利用勾股定理求解.任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化, 化归为一个比较熟悉、比较容易的问题, 通过对新问题的解决, 达到解决原问题的目的.

四、分类思想

对数学问题进行分情况讨论求解, 可使解题准确, 从而避免产生漏解现象出现.

例4下面是数学课堂的一个学习片断, 阅读后, 请回答下面的问题.

学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“己知直角三角形ABC的两边长分别为3、4, 请求出第三边长的平方.”

同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手讲:第三边长的平方为25;王华同学说:第三边的长为7;还有一些同学也提出了不同的看法….

(1) 如你也在课堂中, 你的意见如何?为什么?

(2) 通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)

解析:本例首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后, 对两名同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼“直角三角形ABC的两边长分别为3、4”这个不确定条件进行分析研究.

设第三边长为x, 则当x为斜边时,

由勾股定理得x2=32+42, 解得x2=25;

当x为直角边时, 由勾股定理得42=32+x2, 解得x2=7.

所以, 第三边长的平方为25或7.

由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.

对于第 (2) 问, 应在第 (1) 问的解答的基础上, 可总结出“根据图形位置关系, 实施分类讨论思想方法解多解型问题”, “考虑问题要全面”等体会.

【点评】求解本题时往往会受勾3股4弦5影响造成思维定势, 而误认为3和4就是直角三角形的两条直角边, 斜边为5, 从而漏掉一解导致错误.当题目条件具有不确定性时, 就要把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论, 从而获得对问题完整的解答.

初中数学定理公式 篇5

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/(－tanα ・tanβ)

tan（α－β）＝(anα－tanβ)/(1＋tanα ・tanβ)

浅议数学定理引入的教学策略 篇6

关键词：数学；定理；教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0059-02

数学定理的教学是数学教学的难点，许多学生都因为不能熟练地运用数学定理，导致解题错误。在数学定理教学时，让学生正确有效地理解和掌握定理是重点和难点，教师应优化数学定理引入的教学策略。优化数学定理引入的教学策略是提升学生学习兴趣、实现教学最优化的工具，是实现高效教学的一个重要保障。

一、数学定理教学的特点与教学方式确定依据

数学定理引入的教学策略是为了保证学生对数学定理的理解和掌握，对所选用的教学活动程序、教学组织形式、教学方法和教学媒体等进行总体考虑，也就是说它为数学定理和公式的教学过程提供教学的方向和方法。

数学定理和公式引入的教学策略主要包括三个方面的内容，一是数学定理引入的方法、技术；二是数学定理引入技术的操作；三是数学定理引入时所使用的指导思想。

数学定理引入的教学策略的主要特点体现在三方面。首先，策略对教学行为有引领性，即数学定理的引入策略是为了更好地理解定理和掌握定理。因此，教学策略要始终指向这个目标。其次，策略制定的可操作性，即任何教学策略都是针对教学目标制订的。这就要求数学定理的引入教学策略必须是可操作的，在教学中表现为教师的具体操作手段和动作，最终通过外在的行为动作来达到教学目标。最后，策略应用实施的可变性，即教学策略不是普遍使用的，不存在一个能适应任何课堂环境的教学策略。数学定理的引入策略面对同一学习群体会产生不同的效果，对不同的学习群体会产生相同的教学效果。即教师在数学定理引入时，应根据对教学中课堂的具体情况，临场应变，因材施教，及时调整教学的设计，向教学目标迈进，实现教学效益的最大化。

数学定理揭示了数学的基本知识和思想方法，具有一定的抽象性和概括性，常用简洁的符号化语言来表述，是发展学生数学思维能力和素养的重要知识载体。学生在学习数学定理时往往靠死记硬背。教师在数学定理教学时，往往关注定理的记忆和应用，使学生容易产生“一背二套”、“定理加例题”的形式。这种形式的教学往往使学生头脑里只留下定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，是为了学定理而学定理。究其原因如下。

（一）教材的原因

教材中数学定理的叙述往往十分严谨、规范，定理涉及的问题相对抽象，逻辑性很强，对学生思维和空间想象的要求比较高，知识难度比较大。教师在数学定理教学时如果不注意方式方法，学生可能不容易理解和掌握，或者不能加以应用。

（二）教法的原因

现在的数学教学大多还是采用传统的教学方法。传统的教学方法虽然能让学生很快记住定理，但也十分容易忘记或不能对其加以灵活应用。这种只求暂时利益的教学方法是不利于现代发展创新思维和创新能力的创造型人才的成长的。所以教师在教学中应当尽力完善教学引入的策略。

（三）学法的原因

数学定理往往是知识体系中的重点和难点，而考试往往注重的是定理的使用。学生容易忽视数学定理本身所包含的数学思想与方法。学生只有真正掌握定理的来龙去脉，才能提高对数学定理的理解，也才能逐步形成应用数学定理的能力。

（四）学生自身的原因

高中学生正处在青春期，在心理上也发生微妙的变化。多数高中生表现为上课不愿意与老师多沟通，课内讨论气氛不够热烈，与教师的日常交往渐有隔阂感，即使同学之间也不大愿意多讨论，再加上数学定理的学习枯燥无味，学生在课堂上启而不发，呼而不应，给教学带来很大的障碍。

因此，数学定理的教学引入有赖于数学教师的精心设计。只要我们在定理教学时能精心寻找引入的方法，就能从根本上改善定理学习的繁难乏味的负面特点，使学生在接受定理和公式的过程中感受到轻松自然，达到学习的最佳境界。

二、数学定理引入的有效教学策略

数学定理引入的教学策略主要包括数学定理的教学过程中所使用的指导思想和教学方法。教学思想是在教学活动中指点引导师生行为的观念。常见的数学教学指导思想有：①加强“双基教学”的思想；②培养数学思维能力的思想；③坚持启发式教学的思想；④贯彻数学活动教学的思想。常用的数学课堂教学方法有：①教授法；②演示法；③讨论法；④训练和实践法；⑤示范模仿法；⑥发现法。

上述的教学策略中，实践法和发现法是当前许多专家推崇的在数学定理教学时的两种引入策略，举例如下。

（一）实践法引入

教师要善于搜集与定理相关的、有趣味的模型。在学生接触课题时，教师利用模型激发他们强烈的探求欲望。

例如，在引入线面垂直的判定定理时， 为了加强学生对线面垂直的直观理解，先让学生自己动手做一个实验：拿一张矩形纸片，对折后略为展开，使矩形被折的一边紧贴在桌面上，教师启发学生折痕所在直线与桌面所在平面是什么关系，为什么？学生的注意力被吸引住了，在对问题的探求欲中提高了解定理和理解定理的需要。

（二）发现法引入

教师要善于发掘问题的生活背景和意义，让学生发现定理就在我们身边。这个发现的过程是学生亲身体会、全面思考、分析的过程，是培养学生思维深刻性和创造性的必要手段。

如，对等差数列的前n项和公式的推导，我们可以先让同学们回忆出1+2+3……+100的高斯求和法，而后画出一堆规则排列的钢管，启发学生想出补充一堆与前面一样排列的钢管，把两堆钢管互补地组合，是每一排都有相等的钢管数，这样一来，就有声有色地引导出“倒序相加”的思想方法，这样的引入贴近生活，自然顺畅，水到渠成。

总之，数学来源于生活，数学的发展应归结为现实需要。当学生要学习某种新知识之前，如果他们先了解这项知识在生活中的背景材料，那么对知识的理解会自然，接受坦然，记忆也长远，再加上教师用生动活泼的语言，具体形象的案例，使得老师更亲近于学生，拉近师生之间的距离，学生学习态度也会更主动。这样的定理引入策略更能达到好的教学效果。

参考文献：

[1]缪 芳.基于“过程教学”下的数学定理教学的研究[D].福建师范大学，2009.

数学定理 篇7

一、探究背景

数学定理的学习过程既是建立数学概念间关系的一个过程,又是由学习者已掌握的公理、定理遵从数学的逻辑关系进行推理的过程.所以我们经常用严谨的推理去证明定理的正确性,这虽然有助于学生对定理条件和结论的理解和掌握,但有时却忽视了学生自身的理解.因为如果对于学生来讲,证明的技巧过高或者过于抽象,那么学生的注意力反而会偏离定理本身,从而引起思维的混乱,忽视定理的实质内容.

因此,证明并不是理解定理的唯一途径,我们还可以让学生从感情上去接受,尝试把教学重点放在引导学生对定理“自圆其说”,使得定理的生成合情合理.这也意味着教学过程需要教师想方设法给学生创设最适合定理生成的情境,促进新旧知识的自然结合.

二、探究内容

随着高考新课改的不断深入,高中数学教学对学生知识和能力的要求也逐步提升,因为今年广东高考使用全国卷,所以从高考的备考过程中能更加深刻地体验到数学学科全国卷所强调的“能力立意”,而数学理解是培养学生数学能力的前提.

“排列组合与二项式定理”是历年全国卷必考的内容之一,其中“二项式定理”主要考查二项展开式及其通项公式,要求有目标意识和构造意识.

“(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为多少?”如果要利用二项式定理,则需要把括号内的多项式分成两项,[(x2+x)+y]5,[(x2+y)+x]5或[x2+(x+y)]5,再利用二项式定理展开式的通项公式求解.但是对于括号内有三项或更多项的情况,利用二项式定理的求解过程会比较烦琐,易错.如果我们注意到二项式定理的实质———排列组合的直接应用,尝试用排列组合的方法去思考,结果又将如何?

三、探究过程

探究1高三1班和高三2班各有两名同学报名参加义工联暑假志愿者活动,由于名额有限,所以只能在两个班级各招一人,请问有哪几种可能的招生结果?

设计意图学生刚学完排列组合的知识,所以对这类题目比较熟悉,学生能自主、熟练地应用组合的知识解决该类生活实际问题.

分析方法一,高三1班选出一人的方法数为C21,高三2班选出一人的方法数也为C21,根据分步乘法原理得总方法数为C21×C21=4.

方法二,假设高三1班的两人为a,b,高三2班的两人为c,d,那么所有可能的组合方式为:ac,ad,bc,bd.

探究2请计算出(a+b)×(c+d)的结果,并思考该结果与上面“探究1”有没有什么联系?

设计意图数学是来源于生活,又高于生活,“高”在它是对生活中的数学现象的高度抽象,所以用“探究1”的生活实例解释了(a+b)×(c+d)的运算原理,甚至把选人的过程与二项式乘法运算的过程一一对应起来,使得数学公式形象化,也为后面用组合的方法认识二项式定理做好铺垫,架起连接新旧知识的桥梁.

探究3请计算出(a+b)×(a+b)的结果,并思考能不能用生活实例来解释该结果?

设计意图这是“探究一”和“探究二”的直接变式,引发学生思考生活数学的好奇心,并尝试用生活实例去解释数学公式.

分析(a+b)×(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

实例:高三1班和高三2班各有一名男同学和一名女同学报名参加义工联暑假志愿者活动,由于名额有限,所以只能在两个班级各招一人,请问有哪几种可能的招生结果?

解释:方法一,1班男生a,女生b,二班男生a,女生b,那么所有可能的组合方式为:aa,ab,ba,bb.方法二,高三1班选出一人的方法数为C21,高三2班选出一人的方法数也为C21,根据分步相乘原理得总方法数为C21×C21=4.

探究4根据前面的三个探究,我们能不能做一些推广?我们能用生活实例解释多项式运算原理,那么能否用组合的知识解释多项式的运算结果?

设计意图:开放性设问,激发学生的学习求知欲,并在探索中逐步接近我们预设的情境.

分析(1)(a+b)×(c+d)×(e+f)×…,(a+b)×(a+b)×(a+b)×….

(2)用组合知识解释:(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2,在每一次运算中,一个式子只能取出一个字母(一个班级只能选出一个人),结果包含三种情况:如果都选择了a,则构成了a2,只有一种选法;如果都选择了b,则构成了b2,也只有一种选法;如果一个式子选择了a,则另一个式子只能选b,有C21种选法(因为从两个式子中挑出一个式子选a的方法数为C21).于是(a+b)×(a+b)=a2+C21ab+b2.同理,可以用组合知识解释(a+b)×(a+b)×(a+b)=C33a3b0+C32a2b1+C31a1b2+C30a0b3=a3+3a2b+3ab2+b3.

探究5尝试写出(a+b)n的公式,并用组合知识解释,其中an-4b4的系数是多少?

设计意图通过前面的理解与感悟,(a+b)n的公式也呼之欲出,其实二项式定理就是排列组合方法的直接应用(本文不讨论),而且由学生自己探索,自己认知,自己建构的知识点印象将会比较深刻.

(2)an-4b4,从n个式子中挑出n-4个式子,每个式子都选a,有Cnn-4种选法,则剩余的4个式子都只能选b,只有一种选法,由分步乘法计数原理知共有Cnn-4种方法选出an-4b4,所以an-4b4的系数为Cnn-4.我们不妨将这种方法称为“组合选数法”,书写步骤为:Cnn-4an-4C44b4=Cnn-4an-4b4.

四、知识应用

例1(2015年高考数学全国1卷)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()

五、总结

数学定理 篇8

一、分类讨论的思想

对某些数学问题, 当含有不确定的因素时就需要分门别类逐一考察、研究, 这就是分类讨论的思想.分类讨论思想又称逻辑划分, 是中学数学最常用的数学思想方法之一, 也是高考数学中常考常新的数学思想.分类讨论必须依据同一种标准, 不遗漏、不重复地对问题进行分类、求解, 然后整合出问题的答案.

例1已知集合A和集合B各含有12个元素, A∩B含有4个元素, 求同时满足下面两个条件的集合C的组合方法; (1) CA∪B, 且C中含有3个元素; (2) C∩A≠.

解:因为A、B各有12个元素, A∩B含有4个元素, 所以A∪B中元素的个数是12+12-4=20 (个) .其中, 属于A的元素有12个, 属于B而不属于A的元素有8个, 要使C∩A≠, 则组成C中的元素至少有一个含在A中, 集合C的组合方法是

(1) 只含A中1个元素的有C112C82种;

(2) 含A中2个元素的有C212C81种;

(3) 含A中3个元素的有C312C80种.

故所求的集合C的组合方法共有C112C81+C212C81+C312C80=1084种.

例2设三位数, 若以a, b, c为三条边的长可以构成一个等腰 (含等边) 三角形, 则这样的三位数n有 ()

(A) 45个 (B) 81个 (C) 165个 (D) 216个

解:a, b, c要能构成三角形的边长, 显然均不为0.即a, b, c∈{1, 2, …, 9}.

(1) 若构成等边三角形, 设这样的三位数的个数为n1, 由于三位数中三个数码都相同, 所以, n1=C91=9.

(2) 若构成等腰 (非等边) 三角形, 设这样的三位数的个数为n2, 由于三位数中只有2个不同数码.设为a、b, 注意到三角形腰与底可以置换, 所以可取的数码组 (a, b) 共有2C29.但当大数为底时, 设a>b, 必须满足b

共20种情况.同时, 每个数码组 (a, b) 中的二个数码填上三个数位, 有C32种情况.

故.综上, n=n1+n2=165.

点评:许多“数数”问题往往情境复杂, 层次多, 视角广, 这就需要我们在分析问题时, 选择恰当的切入点, 从不同的侧面, 把原问题变成几个小问题.分而治之, 各个击破.

二、等价转化的思想

等价转化的思想, 具体地说把“新知识”转化为“旧知识”, 把“未知”转化为“已知”, 把“复杂”问题转化为“简单”问题, 从而将所要解决的问题转化归结为另一个较易的问题或已经解决的问题.新教材中关于排列数公式的推出就是利用了化归思想.并且教材中也多处运用了化归思想进行问题的解决.

1. 具体与抽象的转化

例3某人射击7枪, 击中5枪, 问击中与未击中的不同顺序情况有多少种?

分析:设击中用“1”表示, 未击中用“0”表示, 那么我们考虑的问题就转化为下列问题:

数列a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7中有5项是1, 两项是0, 不同的数列数目有多少个?

解: (1) 两个“0”不相邻的情况有C62种;

(2) 两个“0”相邻的情况有C61种.

故击中和未击中的不同顺序情况有C62+C61=21种.

2. 不同数学概念之间的转化

例4连结正方体8个顶点的直线中, 为异面直线的有多少对?

分析:正面求解或反面考虑 (利用补集) 虽然可行, 但容易遗漏或重复.注意到这样一个事实, 每一个三棱锥对应着3对异面直线, 因而转化为计算以正方体的顶点为顶点, 可以组成的三棱锥的个数.

解:从正方体的8个顶点中任取4个, 有C84种取法, 其中4点共面的有12种 (6个表面正方形, 6个对角面长方形) .将不共面的4点构成一个三棱锥, 共有C84-12个三棱锥, 每个三棱锥确定了3对异面直线, 因而共有3 (C84-12) =174对异面直线.

点评:很多“数数”问题的解决, 如果能跳出题设所限定的“圈子”, 根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径, 就可以使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局.

3. 情景迁移转化

例5在 (x2+3x+2) 5的展开式中x的系数为 ()

(A) 160 (B) 240 (C) 360 (D) 800

分析:从表面看, 题目并非要求“数数”, 但如果我们将情景迁移, 便可转化为“数数”问题.

解:根据多项式的乘法法则, 不妨将看作是五个相同的口袋, 每个口袋都装有三个不同颜色的球, 即x2、3x、2, 依次记为黑、白、红球, 于是可得下面的做法:先从五个口袋中的一个口袋取出一个白球 (3x) , 有C51种取法, 然后从剩下的四个口袋中各取出一个红球 (2) , 有C44种取法, 则得含x的项为, 其系数为, 故选 (B) .

点评:利用此法可准确、迅速地解决如下更一般的问题:

展开式中含xm·yk·zl项的系数 (其中m+k+l=n) 是.在这里, 精巧的构思转化发挥了令人振奋的作用.

4. 分解 (分组) 转化

例6从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}中任取三个元素作为直线ax+by+c=0中的a、b、c, 其中a>b>c, 那么不同的直线共有多少条?

解:考虑到ka∶kb∶kc=a∶b∶c (k∈N*) , 构造行列表如下:

第1行:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

第2行:2 4 6 8 10 12

第3行:3 6 9 12

易知第2行、第3行中任三数作出的直线必与第1行中对应的三个数作出的直线相同, 故不同的直线共有C312-C63-C43=196条.

5. 对应转化

例7某城市的街区有12个全等的矩形组成, 其中实线表示马路, 从A到B的最短路径有多少种?

解析:可将图中矩形的一边叫一小段, 从A到B最短路线必须走7小段, 其中:向东4段, 向北3段;而且前一段的尾接后一段的首, 所以只要确定向东走过4段的走法, 便能确定路径, 因此不同走法有C74=35种.

点评:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法, 它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

6. 转化成便于操作的二项式的结构

例8设a, b是两个整数, 若存在整数d, 使得b=ad, 称“a整除b”, 记作a|b.给出命题:, 其中正确命题的题号是______.

解析:对于 (1) , 因为n2+n=n (n+1) 必为偶数,

所以n2+n+1为奇数, 即2| (n2+n+1) 不正确.

对于, 所以 (2) 正确.

对于,

所以 (3) 正确, 故填 (2) (3) .

点评:利用二项式定理处理整除问题, 通常把底数写成除数 (或与除数密切关联的数) 与某数的和或差的形式, 转化成便于操作的二项式的结构, 这是解决问题的关键, 然后再用二项式定理展开, 只考虑后面 (或者前面) 一、二项就可以了.

三、构造模型的思想

证明组合恒等式, 一般是利用组合数公式、组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等, 通过适当的计算或化简来完成.但是很多恒等式, 也可以直接利用组合数的定义来证明, 即构造一个组合问题的模型, 把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法, 由组合个数相等即可证出要证明的组合恒等式.如, 组合数的两个性质在课本中是利用组合数的定义证明的.

例9马路上有编号为1, 2, 3…, 9九只路灯, 现要关掉其中的三盏, 但不能关掉相邻的二盏或三盏, 也不能关掉两端的两盏, 求满足条件的关灯方案有多少种?

解析:把此问题当作一个排对模型, 在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C53种方法.所以满足条件的关灯方案有10种.

点评:一些不易理解的排列组合题, 如果能转化为熟悉的模型如填空模型, 排队模型, 装盒模型可使问题容易解决.

例10证明:.

证明:原式左端可看成一个班有m个人, 从中选出n个人打扫卫生, 在选出的n个人中, p人打扫教室, 余下的n-p人打扫环境卫生的选法数.原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室, 在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生.显然, 两种算法计算的是同一个问题, 结果当然是一致的.

点评:上例虽然简单, 但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路:先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型, 再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析.若是几个数 (组合数) 相加的形式, 可以把构造的组合问题进行适当分类, 若是几个数 (组合数) 相乘的形式, 则应进行适当的分步计算, 很多情况下是两者结合使用的.

四、整体思想

在对问题的处理过程中, 把某些对象看成一个局步的整体, 再和其他元素进行分析研究, 是解决排列组合问题的特殊方法.

例11 A, B, C, D, E五人并排站成一排, 如果A, B必须相邻且B在A的右边, 那么不同的排法种数有 ()

(A) 60种 (B) 48种 (C) 36种 (D) 24种

解析:把A, B视为一人, 且B固定在A的右边, 则本题相当于4人的全排列, A44=24种, 选 (D) .

例12 (2011年全国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷) ) 设集合A={a1, a2, a3, a4}, 若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={-1, 3, 5, 8}, 则集合A=_______.

解析:显然在A的所有三元子集中, 每个元素均出现了C32=3次,

所以, 故a1+a2+a3+a4=5,

于是集合A的四个元素分别为, 因此A={-3, 0, 2, 6}.

点评:整体考虑, 为我们的求解打开了一扇窗.

五、双向解题思想

所谓双向解题, 即“正面凑”和“反面剔”, 一道题目“正面凑”繁, 则“反面剔”简, 反之亦然, 即正难则反.

例13某小组有6名同学, 现从中选出3人去参观展览, 至少有1名女生入选时的不同选法有16种, 则小组中的女生数为_______.

解析:令小组中的女生数为x, 则.

例14 (2012高考题四川理11) 方程ay=b2x2+c中的a, b, c∈{-3, -2, 0, 1, 2, 3}, 且a, b, c互不相同, 在所有这些方程所表示的曲线中, 不同的抛物线共有 ()

(A) 60条 (B) 62条 (C) 71条 (D) 80条

解析:本题可用排除法, a, b, c∈{-3, -2, 0, 1, 2, 3}, 6选3全排列为120, 这些方程所表示的曲线要是抛物线, 则a≠0且b≠0, 要减去2A52=40, 又b=-2或2和b=-3或3时, 方程出现重复, 用分步计数原理可计算重复次数为3×3×2=18, 所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选 (B) .

六、函数与方程思想

例15已知, 求n.

解析:,

则,

所以,

所以2n+1-n-3=29-n, 所以n=4.

中学数学定理的探究式教学及其意义 篇9

数学教学应使学生获得数学意识, 合乎逻辑地思考、推理和判断, 要培养学生的良好习惯、意志品格和科学的求实精神。使学生对问题有敏锐的洞察力、敏捷的思维、善于理解和概括, 对问题的态度刻苦认真、执著追求, 具有独立工作精神, 对问题的处理和解决善于想象、富于猜想和创造。数学的定理是数学的重要内容。如何上好定理课一直是数学教师研究、探讨的热点问题。在中学数学教材中常用“先给结论, 后加以证明”这一传统模式编写教材, 侧重于让学生接受, 而忽视了让学生去发现。新的数学教学理念强调教师用新的数学教学理念指导学生进行学习, 着重培养学生发现问题的能力和探索精神。这样的数学更符合时代的要求, 更有利于学生个体学习的参与, 更能发展学生的内在潜能。

2 数学定理的探究式教学

数学定理的探究式教学, 就是在数学定理的教学中, 教师以探究为主线展开教学, 为学生创设一定情境, 让学生自己去观察、实践与思考, 教师以一定的提示性引导, 给学生猜想、推断、尝试归纳总结的空间, 然后由教师和学生一起概括出相应的结论[1]。在教学过程中, 教师要从数学史的角度分析定理的演变过程, 可以使学生看到数学家的真实创造过程以及他们是如何跋涉、如何在迷雾中摸索前进、从而鼓起研究勇气的。由此可培养学生对数学的兴趣, 增强解题毅力, 树立为科学献身的精神。数学史在文化上的保存与传递能激发学生的爱国思想, 提高民族自尊心和自信心;数学史中多蕴含着一种理性的探索精神, 这种精神永远激励学生去创造;从历史的角度来讲数学, 也是使学生理解数学内含和鉴赏数学魅力的最好方法之一。

下面以“角平分线定理”、“判定两个三角形全等的角边角公理的推论”的教学为例, 阐述中学数学定理探究式教学的一些方法。

例:角平分线定理 (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 的教学。

很多教师都采用教材中编写的次序进行讲课, 即:直接给出定理, 再加以证明推演。其教学过程为 (以人民教育出版社教材为例) [2]:

已知:OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E。 (如图1)

求证:PD=PE

证明:∵PD⊥OA, PE⊥OB (已知)

∴∠PDO=∠PEO=90° (垂直定义)

在ΔPDO和ΔPEO中

∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)

诚然, 这种教法也能使学生明白。但教法呆板、欠灵活, 很难激起学生的学习兴趣和热情。探究式教学方法主张让学生依“画图——度量——比较”等实践操作展开学习, 同时利用计算机辅助教学, 即制作一个简单的课件:任画一个角如∠AOB及其平分线OC, 然后移动∠BOC使其与∠AOC重合。这样引导学生去猜想、证明这个定理, 更有利于激发学生的求知欲望和学习兴趣。

这个定理的探究式教学可设计如下 (利用计算机辅助) 。

首先, 教师演示课件:在屏幕上任意画一个∠AOB, 再画这个角的平分线OC, 然后移动∠BOC与∠AOC重合, 且边OA与OB重合, 最后在OC上任意取一点P, 画出点P到OA (B) 的距离PD (E) , 通过观察发现PD、PE是重合的, 即PD=PE。然后, 引导学生在此基础上进行猜想和尝试概括这个定理。接着引导学生按证明命题的要求去探究证明方法。在此之前, 学生并不知道定理的内容, 而是通过教学操作、观察、发现, 从而归纳出结论。

最后, 教师可总结学生的证明方法, 归纳整理出比课本更为完整的证明过程。

证明: (分四种情况证明)

(1) 当∠AOB=0°或∠AOB=360°时 (如图2)

∠AOB的平分线OC与在同一条射 (直) 线上。

∴OC上任意点P到OA, OB的距离都等于O P, 显然相等。

(2) 当∠AOB=180°时 (如图3)

∠AOB的平分线OC⊥AB的距离都等于OP, 显然相等。

(3) 当0°<∠AOB<180°时证明方法基本上同课本。

(4) 当180°<∠AOB<360°时 (如图4)

过∠AOB的平分线OC上任意一点P, 作∠AOB的边的垂线, 交OA, OB的反向延长线于D, E则PD、PE就是∠AOB平分线OC上的点P到这个角两边的距离, 问题化为第 (3) 种情况。

到此, 角平分线定理由教师引导学生探究发现而得知。这种完整的证明过程在传统的教学操作中具有一定的难度。

3 意义

中学数学定理探究式教学有着不可忽视的教育价值:有利于调动学生的学习积极性, 激发学生的学习兴趣;有利于培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力;有利于培养学生的探究意识和探究能力。开展数学定理的探究式教学, 一方面要充分应用教材中一些“导读材料”或“历史背景”等小资料, 另一方面, 教师要不断积累其它有关资料, 适时地穿插、渗透到教学过程中。另外, 还可以组织学生对部分课题进行更深层次的研究性学习。中华民族具有几千年的文化传统, 它是人类文化的重要财富, 我们不能仅仅限于提出某某成果比西方早若干年来培养学生的爱国主义情感, 而应从中国传统数学观念、思想和方法上进一步深入挖掘其内在的价值。

从传统的讲授式教学到我们倡导的探究式教学, 思维方式也随之发生着变化。在这样的教学过程中, 学生处在主体地位, 教师起激发和引导作用, 整个过程是学生探究、解决问题的过程, 使学生个体性活动成为课堂的主要部分, 能更好地调动学生学习的主动性, 更加利于学生数学思维方式的培养。学生在学习过程中经历了无数次的“数学家的成功感”以后, 这种心境通过“内化”、“迁移”, 有利于培养学生的一种健康心理状态和良好个性。

这样的思维方式变革对培养新时代的学生灵活的、开阔的思维有着重大的意义。数学是思维的体操, 数学教学是开发智力、培养能力的重要手段, 其核心是培养学生的数学思维能力。数学思维能力的基本特点主要是思维的广阔性、灵活性、深刻性、批判性、概括性和创造性等方面。而我们倡导的探究式教学正是培养学生数学思维的过程。

摘要：本文研究了中学数学定理的探究式教学, 通过两个教学实例阐述了中学数学定理探究式教学的一些方法, 并分析了中学数学定理探究式教学的教学价值。

关键词：数学定理,探究式教学,意义

参考文献

[1]王玉琨, 课堂教学中要培养学生的创新意识[M], 现代教育管理理论与实践指导全书 (第二卷) , 人民日报出版社, 842～843.

数学定理 篇10

例1.四面体的顶点和各棱的中点共10个点, 在其中取4个不共面的点, 不同的取法共有 ()

解析:任取4个点共C410=210种取法.四点共面的有三类: (1) 每个面上有6个点, 则有4×C64=60种取共面的取法; (2) 相比较的4个中点共3种; (3) 一条棱上的3点与对棱的中点共6种.

例2.某人手中有5张扑克牌, 其中2张为不同花色的2, 3张为不同花色的A, 有5次出牌机会, 每次只能出一种点数的牌但张数不限, 此人有多少种不同的出牌方法?

解析:出牌的方法可分为以下几类:

第一类办法:5张牌全部分开出, 有A55种方法;

第二类办法:2张2一起出, 3张A一起出, 有A52种方法;

第三类办法:2张2一起出, 3张A一起出, 有A54种方法;

第四类办法:2张2一起出, 3张A分两次出, 有C32A53种方法;

第五类办法:2张2分开出, 3张A一起出, 有A53种方法;

第六类办法:2张2分开出, 3张A分两次出, 有C32A54种方法.

因此, 共有不同的出牌方法A55+A52+A54+A32A53+A53+C32A54=860种.

二、函数思想

例3.证明:当n≥3时, 2n≥2 (n+1) , n∈N

解析:构造函数f (x) = (1+x) n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn1x+…+Cnnxn, 则f (1) = (1+1) n=Cn0+Cn1+C2n+…+Cnn=1+n+C2n+…+Cn-2n+n+1=Cnn=2 (1+n) + (C2n+…+Cn-2n) =2n

当n=3时, 2n=2 (1+n)

当n>3时, 2n=2 (1+n) + (Cn2+…) =2n

所以当n≥3时, 2n≥2 (n+1) , n∈N

三、整体思想

例4.有8本互不相同的书, 其中数学书3本, 外文书2本, 其他书3本, 若将这些书排成一列放在书架上, 则数学书恰好排在一起, 同时外文书也恰好排在一起的排法共有多少种?

分析:先将数学书和外文书各当作一个整体与其他书进行全排列, 有A55种, 再将数学书和外文书各自进行全排列, 分别有A33和A22种, 故一共有A55·A33·A22种。

四、等价转换思想

例5.一条路上共有11个路灯, 为了节约用电, 拟关闭其中4个, 要求两端的路灯不能关闭, 任意两个相邻的路灯不能同时关闭, 那么关闭路灯的方法总数有多少种?

解析:11个灯中关闭4个等价于在7个开启的路灯中, 选4个间隔 (不包括两端外边的装置) 插入关闭的过程, 故有C64=15种.

例6.映射f∶A→B, 如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象, 则称为满射, 已知集合A中有4个元素, 集合B中有3个元素, 那么从A到B的不同满射的个数有多少个?

解析:集合A中的4个元素到集合B中的3个元素的不同满射个数等价于将4个不同的小球放入3个不同的盒子, 每个盒子都不空的不同放法。由题意可得有3C41C31C22=36个。

五、数形结合思想

例7.在一块10垄并排的地中, 任选2垄分别种植A、B两种植物, 要求A、B两种植物的间隔不小于6垄, 则有多少种不同的选垄方案?

解析:如图,