混联机构

混联机构（精选三篇）

混联机构 篇1

现有的汽车电泳涂装输送系统存在无法实现车体完全涂装和柔性化水平不高的问题[1]。混联机构是将串并联机构合理结合应用的一类机构,不仅可弥补串联机构在刚度、精度、实时控制等方面的不足,而且可克服并联机构工作空间小、运动不灵活的缺点[2,3,4]。本课题组将混联机构引入汽车电泳涂装输送系统,研制了一种新型汽车电泳涂装输送用混联机构[5]。

混联机构的运动控制方法主要可分为运动学控制方法与动力学控制方法[6,7,8,9,10]。相对于运动学控制方法,动力学控制方法由于考虑了机构运动过程中的非线性动力学特性和力耦合特性,因此在理论上可具有更好的控制性能[7,9],但动力学控制方法的控制效果依赖于动力学模型的准确性。由于混联机构所含并联机构为闭链结构并存在运动学约束,因此其动力学模型往往较为复杂。另外,实际控制系统,如汽车电泳涂装输送系统,常常存在模型误差和外界扰动,因此难以建立混联机构的精确动力学模型。直接基于逆动力学模型设计控制器的计算量较大,难以满足实时控制要求;传统的动力学控制方法,如PD控制,算法简单、计算量小、实时性好,但一般不能有效解决非线性系统模型误差和外界扰动问题[11,12,13],鲁棒性较差。

针对实现混联机构动力学控制的上述问题,学者们提出了鲁棒控制方法和智能控制方法[9,10,11,12]。鲁棒控制方法中,滑模控制对系统模型误差和外界扰动具有鲁棒性,且易于实现,但存在抖振问题,抖振严重时难以用于实际工程。智能控制方法中,神经网络动力学控制能学习与适应不确定系统动态特性,充分逼近任意复杂的非线性映射,且不依赖于动力学参数,并可避免复杂的逆动力学计算,提高了控制系统实时性,但由于是以神经网络(神经网络担负着全部的控制器任务)实现逆动力学计算的,因此对神经网络初始权值的设置提出了较高要求,且难于根据可测量量调整神经网络连接权。当出现不确定干扰时,神经网络对逆系统的逼近能力下降,影响系统控制性能[14]。针对本课题组新研制的汽车电泳涂装输送用混联机构的结构特点以及汽车电泳涂装输送工艺要求,为进一步提高其控制性能,提出一种PD滑模神经网络动力学控制方法,即通过神经网络实现混联机构的逆动力学前馈控制,同时通过PD控制实现反馈控制,再通过滑模控制增强混联机构系统对模型误差和外界干扰的鲁棒性,构成一种新的PD+滑模+神经网络的复合动力学控制方式。

1 运动学分析及动力学建模

1.1 运动学分析

如图1所示,新型汽车电泳涂装输送用混联机构主要由行走机构与升降翻转机构两部分构成,这两部分机构的控制相对独立。行走机构通过同步驱动行走轮,实现输送机的行走平移,其控制相对简单。作为主体机构的升降翻转机构为并联机构,相对较为复杂,且对输送性能的影响较大,因此本文着重研究升降翻转机构。

1.第一驱动器2.第一丝杠3.第一转动副4.从动轮5.第二转动副6.第二丝杠7.主动轮8.第三驱动器9.第二驱动器10.连接杆11.行走轮

如图2所示,升降翻转机构结构由2个结构完全相同的第一平面多杆机构与第二平面多杆机构构成,为对称机构,由此,本文针对其单边机构进行运动学分析与动力学建模。

采用杆长长度约束方程,建立该混联机构的运动学方程,整理可得其运动学逆解:

式中,x为连接杆中点在X方向上的位移分量;z为连接杆在Z方向上的位移分量;β为连接杆中点绕Y轴转过的角度;li(i=1,2)为滑块P0、P1的移动量;l4为第一连杆和第二连杆的长度(二者相同);l8为第一、第二转动副之间的固定距离;φ为主动轮绕Y轴逆时针转动的角度。

选择连接杆中点的位姿参数q=[x zβ]T为系统广义坐标,采用基于符号运算的微分变换法求解混联机构的雅可比矩阵,具体求解方法如下。

将式(1)两端分别对时间求导并整理得

式(2)可简记为,其中,J3×3为混联机构的雅可比矩阵。

1.2 动力学建模

采用拉格朗日法建立该混联机构的动力学模型。分别求取车体、支链、动平台支架、滑块、主动轮、从动轮的动能与势能,根据拉格朗日方程:

式中,L为拉格朗日函数;q为系统广义坐标;q·为q的一阶导数;Q为对应广义坐标q的广义力。

整理并建立标准动力学方程:

式中,M(q)为惯性矩阵;C(q,q·)为哥氏力和离心力项;G(q)为重力项;Q为广义驱动力。

为了将广义驱动力转化为关节驱动力,作如下变换:

式中,J为混联机构的雅可比矩阵;τ 为关节驱动力向量。

为使动力学模型更加切合工程实际,进一步考虑系统摩擦力及外部干扰后,得到如下形式的机构动力学模型:

其中,F(t)为摩擦力项[15];为主动关节相对滑动速度,下标a表示主动关节;qai为图2中单边滑块P0、P1(或P4、P5)在z方向的位移分量;φ1为主动轮逆时针转动角度;Fc为库仑摩擦力矩阵;Bc为黏度系数矩阵;D(t)为外界干扰项;um为所有主动关节外界干扰幅值的最大值[16]。

2 动力学控制器设计及神经网络构建

2.1 PD滑模神经网络动力学控制器设计

设连接杆中点的期望位姿qd=[xdzdβd]T,以系统的位姿误差Δq、速度误差Δq·作为状态变量:

PD滑模神经网络控制系统结构如图3所示,其控制律设计为

式中,Kp、Kd、τ 均为对称正定矩阵;τfb为常规PD反馈控制项;τff为神经网络控制项;τsm为滑模控制项;εm取神经网络拟合误差的上界值,用来增强系统的鲁棒性。

图3中,通过神经网络实现混联机构的逆动力学前馈控制,因此有

滑模面设计为

其中,A可逆,a1、a2、a3均为可调参数并满足霍尔伍兹条件。

滑模控制取等速趋近率:

下面证明所设计PD滑模神经网络动力学控制算法的稳定性。

将式(8)代入式(6)并整理可得

定义Lyapunov函数为

对式(12)求导可得

定义

将式(14)代入式(13)得

其中,K为正定矩阵,|sj|>0(j=1,2,3),因此可得。

根据Lyapunov稳定性定理,可见基于动力学模型所设计PD滑模神经网络控制算法稳定。

2.2 神经网络构建

BP神经网络可以逼近任意非线性映射关系,属于全局逼近方法,具有较好的泛化能力[17],故本文采用BP神经网络实现对混联机构的前馈控制。构建该神经网络的步骤如下:

(1)确定BP神经网络结构。依据所建立的混联机构动力学模型,确定BP神经网络输入量、输出量分别为混联机构连接杆中点的位姿向量与混联机构各主动副驱动力/力矩,因此对应神经网络输入层和输出层均有3个节点。为提高神经网络精度,在输入层与输出层间设计有一个包含16个神经元节点的隐层。

(2)选取训练样本。基于所建立的混联机构动力学模型,根据其输入输出关系获得训练神经网络所需样本数据,在所获得的81组样本数据中选用54组数据作为神经网络训练样本,27 组数据作为神经网络测试样本。由于输入数据与输出数据之间的量纲不同,数量级相差较大,因此样本用于训练BP神经网络之前,需进行归一化处理。本文采用线性函数转换的归一化处理方法,即y′=(x′-x′min)/(x′max-x′min),其中,x′为归一化处理前的数值,y′ 为归一化处理后的数值,x′max、x′min分别为进行归一化处理的样本最大值与样本最小值。

(3)设定BP神经网络各参数。在训练BP神经网络之前,需要设定神经网络各层的传递函数、训练函数、权值/阈值、学习函数、最大训练次数、训练目标误差等。文中,最大训练次数设定为30 000,目标误差设为10-10,其余参数均采用默认设置。

(4)训练BP神经网络。完成以上3 个步骤以后,采用MATLAB中的train函数对网络进行训练,6540次后训练误差收敛,其训练收敛过程如图4所示。

训练后的神经网络输入层到隐层权值为

隐层节点与输出层节点之间的连接权值如表1所示。

隐层阈值为

输出层阈值为

神经网络隐含层神经元的传递函数采用S型函数2/(1+e-2x)-1,输出层神经元采用线性函数。

3 仿真实验及结果分析

根据1.2节建立的混联机构(参数如表2 所示)动力学模型(式(6)),采用MATLAB进行仿真。由于本文控制方法含有滑模控制作用,可提高系统对外部干扰及参数变化的鲁棒性,因此根据文献[15],可确定黏度系数矩阵Bc=diag(0.6,0.6,0.9)(N·m),库仑摩擦力矩阵Fc=diag(3.7,3.7,4.3)(N·m),根据文献[16],可确定um=0.04,ω =3。

根据汽车电泳涂装工艺要求,输送设备需输送白车身完成先翻转入槽、再在槽中作小幅正弦运动、最后翻转出槽的运动过程,据此确定升降翻转机构连接杆中点的期望运动轨迹:

式中,t为时间,s。

对于图3所示动力学控制系统,为了验证引入BP神经网络对提高系统实时性的有效性,以式(16)~式(18)所示期望运动轨迹为输入,利用MATLAB中的“tic”、“toc”指令分别测试逆动力学模型从输入到输出的计算时间和神经网络从输入到输出的计算时间,结果显示:前者仿真用时95ms,后者仿真用时49ms。由此可见,与直接采用逆动力学模型控制的方法相比,采用BP神经网络实现混联机构前馈控制可有效提高计算效率,从而提高控制系统实时性。

为验证所设计控制算法的正确性和有效性,以混联机构的动力学模型(式(6))为被控对象数学模型,分别采用PD滑模控制器(去除图3中的神经网络控制项τff)和PD滑模神经网络控制器(式(8)),对系统跟踪期望运动轨迹的跟踪控制过程进行了仿真实验。两种控制器的性能通过仿真调试达到最优,确定PD滑模控制器中的参数:

PD滑模神经网络控制器中的参数:

图5所示为PD滑模控制器和PD滑模神经网络控制器作用下,混联机构连接杆中点位姿各分量的轨迹跟踪曲线。

由图5可见,PD滑模控制器与PD滑模神经网络控制器作用下,混联机构连接杆中点位姿的轨迹跟踪性能差异并不明显,这是因为二者通过仿真已调试到最优性能。

图6为在PD滑模控制器作用下的滑模控制分量曲线图,图7为在PD滑模神经网络控制器作用下的滑模控制分量曲线图。比较图6、图7可以看出,采用PD滑模控制器时,各主动关节驱动力/力矩的滑模控制分量明显大于采用PD滑模神经网络控制器时各主动关节驱动力/力矩的滑模控制分量,且控制分量抖振的幅度和频度均明显较强,第一驱动器的滑模控制分量抖振较为严重,这与期望运动轨迹有关,且由混联机构的动力学特性决定。由此可见,对于汽车电泳涂装输送实际工程系统来说,采用PD滑模控制器时,其滑模控制分量的抖振幅度较大、频度较高,因此容易磨损执行机构,缩短执行机构寿命,并难以获得预期控制性能。与此对比,本文所提出的PD滑模神经网络控制器,由于具有神经网络的逆动力学前馈控制,无需PD滑模控制担负全部的控制任务,因此其滑模控制分量无需以较大的切换增益保证滑模运动的存在及其鲁棒性,从而可有效抑制滑模控制抖振,避免对执行机构的不利影响,并能使控制系统呈现良好的控制性能,更好地实现对汽车电泳涂装输送用新型混联机构的高性能控制。

4 结论

(1)提出一种PD滑模神经网络动力学控制方法。基于所建立动力学模型,在任务空间内设计了该混联机构的PD滑模神经网络控制器,并从理论上证明了所设计控制算法的稳定性。

(2)分别采用PD滑模控制器和PD滑模神经网络控制器,对系统跟踪期望运动轨迹的性能进行了仿真对比实验。实验结果表明:引入神经网络前馈控制后,所提出PD滑模神经网络控制器有效解决了PD滑模控制器存在的剧烈抖振问题,使得新型汽车电泳涂装输送控制系统呈现良好的控制性能。

摘要：由于汽车电泳涂装输送用新型混联机构存在高度非线性和耦合性,因此难以实现高性能控制。为此,首先采用拉格朗日法推导该机构的动力学模型。然后,在任务空间设计一种PD滑模神经网络动力学控制器并进行稳定性证明。最后,对该控制器进行了仿真,并将所得结果与PD滑模控制器仿真结果进行比较。比较结果表明:该动力学控制器通过神经网络前馈控制的作用有效解决了PD滑模控制器存在的剧烈抖振问题,使得汽车电泳涂装输送控制系统呈现良好的控制性能。

混联机构 篇2

全任务飞行模拟器通常由Stewart六自由度运动平台驱动, 但该运动平台昂贵且复杂。随着我国民航业的快速发展, 特别是未来低空领域的开放, 飞机数量将剧增, 对飞行员的需求也将快速增加, 因此, 结构简单、成本低的飞行模拟器驱动平台已成为研究热点。文献[1-2]指出, 三自由度飞行模拟器与六自由度飞行模拟器的运动品质相当, 因此, 三自由度飞行模拟器具有广泛的应用前景。刘显峰[3]对驱动战斗机飞行模拟器的三自由度运动平台的运动学、动力学和控制特性进行了分析, 进一步验证了三自由度运动平台驱动飞行模拟器的可行性。

尺度综合是在选定构型的前提下, 为实现特定任务或预期功能确定机构运动学参数的过程[4], 其方法主要有空间模型理论方法[5]和基于矩阵奇异值理论目标函数优化方法两类。空间模型理论方法是根据性能图谱具体分析机构的性能, 实现机构尺寸的优化。基于矩阵奇异值理论目标函数优化方法, 将雅可比矩阵代数特征作为描述机构的性能评价指标, 如精度[6]、刚度[7]、速度[8]、驱动力[9]、工作空间[10]、有效载荷[11]、操作性能[12]等。文献[13]提出了一种基于光空间机械臂多种配置方式的刚度优化方法, 并得出关节与机械臂的配置方式可以分别进行刚度优化的结论。文献[14]提出了一种适用于任何串并联机构刚度优化弹塑性建模的方法。文献[15]以刚度的均值和标准差为评价函数, 并将遗传算法和神经网络的优化方法应用于机构刚度的优化。文献[16]以机构的全局最大刚度和最小刚度为指标, 并指出机构尺度参数的变化对两者的影响趋势相同。在工程实际中, 机械设计问题是复杂多样的, 能揭示多种性能和机构尺寸之间映射规律并且具有普遍适用性的尺度优化方法仍然是未来研究的目标。因此, 在尺度优化时通常根据工程实际选用合适的性能指标。

本文提出了一种新型三转动自由度混联机构, 可用于驱动飞行模拟器进行三维转动;以刚度作为评价指标, 优化处理方法采用约束坐标轮换法, 研究其中两自由度并联机构的尺度综合问题;讨论了各尺度参数对机构刚度的影响规律, 进而验证了该方法的有效性。

1 三自由度混联机构的概念设计

如图1所示, 本文提出的三转动自由度混联机构是由一种两转动自由度并联机构与一个能360°转动的工作台通过转台轴承串联而成的。其中, 两转动自由度并联机构主要由动平台、静平台、立柱和两条PUS支链组成。P、U、S分别表示主动移动副、胡克铰、球铰。立柱与静平台固连, 并通过胡克铰与动平台相连。两条PUS支链结构相同, 其中移动副采用线性模块组与静平台固接, 连接杆一端通过胡克铰与线性模块组的滑板相连, 另一端通过球铰与动平台相连。在伺服电机的驱动下, 线性模块组通过胡克铰、连接杆、球铰带动动平台, 使动平台实现两个方向的转动。因为三转动自由度混联机构串联部分不存在运动学设计的困难, 所以下文只对其中两转动自由度并联机构进行运动学分析和尺度综合问题进行研究。

该机构的驱动部分采用市场上出售的线性模块组, 因此易实现。支链上没有驱动部分, 可适当降低机构的整体高度。

2 两自由度并联机构的运动学分析

2.1 坐标系建立与动平台姿态的描述

图2为两转动自由度并联机构的机构简图。图2中, 点B0表示立柱r0与动平台相连胡克铰的中心, Bi (i=1, 2) 表示连接杆与动平台相连球铰的中心, Ai (i=1, 2) 表示连接杆与线性模块组的滑板相连胡克铰的中心, A0表示过Ai (i=1, 2) 且与立柱r0垂直的平面和立柱r0轴线的交点。以点A0为原点建立固定参考系A0xyz, 其中y轴与立柱r0胡克铰的近架轴线平行, z轴与静平台垂直, x轴满足右手定则。以点B0为原点建立辅助参考系B0x1y1z1, 其中y1轴与立柱r0胡克铰的近架轴线重合, z1轴与立柱r0轴线重合, x1轴满足右手定则。为描述动平台的姿态, 建立参考系B0uvw。图2中w轴与Bi (i=1, 2) 所确定的动平台平面垂直, 方向远离静平台;u轴与机架r0胡克铰的远架轴线重合, 方向如图2所示, v轴满足右手定则。

依据上文定义的坐标系, 坐标系B0uvw关于固定坐标系A0xyz的姿态可通过两次旋转实现:先绕y1轴旋转θ角, 然后绕u轴旋转ψ角。由此构造的坐标系B0uvw关于固定坐标系A0xyz的姿态可表示为

式中, u、v、w分别为轴u、v、w的单位矢量;Rot () 为旋转矩阵。

则动平台的姿态角可分别表示为

2.2 运动学逆解模型

坐标系A0xyz中, 构造的位置闭环约束方程为

对式 (3) 两端取模, 得

式中, di、分别为向量di的模和单位方向向量。

2.3 速度映射模型

速度分析的目的是在尺度综合中求雅可比矩阵。设动平台所在平面的过B0点的法向量为c, 且

对式 (6) 两端取模, 得

式中, qc为向量c的模。

对式 (3) 两端求导, 得

式中, ωc为动平台作为一个整体的角速度;ωri为支链ri作为一个整体的角速度;为移动副Pi移动的速度。

将式 (8) 两端点乘riT, 并注意到riT (ωri×ri) =0, 得

由式 (9) 可解得

对式 (6) 两端求导, 得

对式 (11) 两端叉乘cT, 并注意到cTωc=0, 将式 (6) 代入, 化简后可得

将式 (1) 中的w对时间求导, 并化简后可得

先将式 (13) 代入式 (12) 再代入式 (10) , 并注意到wTbi=0 (i=1, 2) , 化简后写成矩阵形式, 可得

3 两自由度平台的尺度综合

3.1 工作空间与设计变量

工作空间Wt用平台俯仰角θ 和横滚角ψ描述, 其中俯仰角θ的变化范围为- [θ1]≤θ≤[θ2], 横滚角ψ的变化范围为-[ψ1]≤ψ≤[ψ2], [*]表示许用值。

如图2所示, 为了使平台具有对称的性能, 令‖b1‖ = ‖b2‖ = b, ‖r1‖ = ‖r2‖ = r, ‖a1‖ = ‖a2‖ =a, 且b1、b2与x1轴的夹角均为γ, d1、d2与x轴的夹角均为β。

定义b、γ、r0、r、a、β为机构尺度优化的设计变量。为了便于进行尺度优化, 用b对r、a、r0进行量纲归一化处理, 使

3.2 评价指标

在飞行模拟器驱动平台的性能指标中, 刚度是最受关注的, 因此, 以刚度作为该机构的性能评价指标。

对于任意一个机械系统, 机构的刚度矩阵为[15]

其中, k1、k2为输入构件线性模块组的刚度, 并设k1=k2=1, 即K =I, 故

由矩阵的奇异值分解的原理可知, 使工作台在工作空间内位移变形最大值最小的条件是S的最小奇异值λmin (S) 最大, 即

式中, d为驱动向量;x为尺度参数向量;Wt为工作空间。

由于λmin (JTJ) =σ2min (J) , 故式 (19) 可等效为

式中, σmin为在工作空间Wt中任意一点d处雅可比矩阵J的最小奇异值。

3.3 约束条件

在评价指标确立以后, 还需要考虑机构及其运动可能存在的约束。

3.3.1 尺寸约束

并联机构动平台上需要安装电机、转台轴承、轴系零部件等, 故需满足以下条件:

机构的总高度应在一定范围内, 故建立如下约束:

为了使机构紧凑且不发生干涉, 建立如下约束:

3.3.2 铰链约束

立柱r0上的胡克铰的转角范围为

由于机构的对称性, 故支链r1、r2的胡克铰转角范围相同;同理, 支链r1、r2的球铰转角范围也相同。

胡克铰轴线与导轨垂直的自由度转角θ′1(2)和平行的自由度转角ψ′1(2)的范围分别为

球铰的转角范围为

|φ1 (2) |max≥φmax (28)

3.4 优化方法

约束坐标轮换法是基于无约束坐标轮换法原理求约束多维目标函数最优解的方法, 它是通过对迭代点进行有约束的可行性逻辑判断, 使迭代点始终在尺度参数可行域内的优化方法。尺度参数向量x满足式 (22) ~式 (28) 的可行域用D描述。迭代次数用k表示, x(k)为第k次迭代后尺度参数向量, x(k)= (γ(k), λr(0k), λr(k), λa(k), β(k)) 。约束坐标轮换法的流程图如图3所示。

4 算例与讨论

一般的民用客机俯仰角在-20°~15°之间、横滚角在-25°~25°之间, 因此, 设定平台的工作空间Wt如下:俯仰角θ的变化范围为-20°≤θ≤15°, 横滚角ψ的变化范围为-25°≤ψ≤25°。

根据式 (22) ~式 (25) , 约束取值如下:1.5≤λr0≤2.5, sinγ≤λa≤1.5, 25°≤γ≤55°, 1.2≤λr/λr0≤1.5。各设计变量的初值如下:γ=30°, λr0=2, λr=3, λa=1, β=20°, 采用图3所示的约束坐标轮换法求得机构的尺寸和刚度值:

取b=300mm, 机构各变量的结构尺寸如下:γ=42°, r0=750mm, r=900mm, a=200mm, β=0, d1 (2) max=900mm, d1 (2) min=297mm。

图4所示为优化前后机构雅可比矩阵在工作空间内各处最小奇异值的分布。从图4可以看出:优化后工作空间内各处的最小奇异值均增大, 机构在工作空间内各处的刚度都有提高。

尺度参数对性能评价指标的影响规律如图5、图6所示, 机构的刚度随尺度参数λa、β或λr的增大而降低;随尺度参数λr0的增大而升高;随尺度参数γ的增大先升高再降低。

图7表明:在最优解附近, 部分尺度参数的变化不会改变其他尺度参数对机构刚度性能的影响规律, 但尺度参数γ的最优解会发生较小的数值变化。由式 (25) 可知, 即使尺度参数λr0、λr、γ在最优解附近有小的变化, λa、β也一定收敛在边界λa=sinγ、β=0处, 即在最优解处, 机构两移动副是平行的, 且移动副间的距离与动平台上两球铰间的距离相等。

5 结论

(1) 本文提出了一种新型的三自由度混联机构。在建立两自由度并联机构速度映射模型的基础上, 基于雅可比矩阵的奇异值理论, 以机构的刚度为评价指标, 研究了机构并联部分的尺度综合问题。并采用约束坐标轮换法对评价函数进行优化求解, 验证了该方法的有效性。

(2) 与优化前相比, 优化后机构在工作空间内各处的刚度得以提高。

(3) 机构的刚度随尺度参数λa、β或λr的增大而降低;随尺度参数λr0的增大而升高;随尺度参数γ的增大先升高再降低。并且在最优解附近, 部分尺度参数的变化不会改变其他尺度参数对机构刚度性能的影响规律。

混联机构 篇3

在风洞[1]试验中,被测量的飞行器动态地任意改变其飞行姿态,这是飞行器风洞试验的一个非常重要的试验项目。混联机构可以满足多自由度风洞动态实验的要求,其中混联机构的机构学与运动学主要集中在机构的运动正反解问题[2,3,4,5]、工作空间、奇异位行和灵巧度分析等方面[6,7]。风洞试验运动平台是风洞试验时重要的运动装置,该平台提供实验模型所需的位置和姿态。该平台性能的优劣对风洞试验数据的获得有着重要影响,因为不仅要求风洞流场干扰小,不影响模型气动外形模拟,还要求结构简单、动态性能好、体积小、成本低和应用范围广等[8]。本文描述了五自由度混联机构的工作原理,并运用数值分析法[9,10,11,12]对模拟实验平台并联部分位置正反解进行了分析。因为该机构的并联部分与串联部分相互影响,因此在得到位置正反解的基础上求得并联部分与串联部分相互关系非常关键,从而推出模拟平台的末端在风洞试验中的位姿。

1 风洞实验运动平台工作原理及坐标系的建立

1.1 运动原理

风洞实验运动平台采用串并联混合的方式,实现实验模型质心在风洞固定点的五自由度的运动,其原理如图1所示。

1—基座;2、5—转动关节;3—电动缸; 4—运动平台;6—弯刀装置;7—尾支杆

图1为运动平台的实物图,上平台和下平台之间为三条支链,每条支链由一个电动缸和两个回转关节组成,三条支链布置在平行于xoy平面的三个平面内,形成一个三自由度的平面并联机构,该机构可以沿x和y方向移动和绕垂直于平面z轴的转动,下平台可以沿着x轴移动。通过该并联机构,可以改变飞行器模型在风洞中的角度变化,同时,补偿由于采用尾支杆而引起的运动平台的位移变化。在运动平台上有一个回转关节,其回转轴线MN在平面xoy内。弯刀装置绕该轴线做回转运动,控制飞行器模型的偏航角。弯刀装置的另一端通过一个回转关节连接尾支杆,尾支杆通过做绕体轴的滚转运动控制飞行器模型的滚转角。而该平台的模型体轴上的点M是不变的,做偏航运动的时候沿着轴ML转动。

1.2 坐标系的建立

建立基础坐标系{B}:坐标原点与模型质心重合,z轴方向垂直于3-RPP机构所在平面,x轴方向与下平台导轨方向一致;3-RPP机构下平台连体坐标系{F}:方向与{B}一致,初始位置为下平台大致处于轨道中点处,坐标原点在最左侧铰链F0处,与模型后端对应,即BPFROG=BPF0;3-RPP机构动平台连体坐标系{M}:初始方向与与{B}一致,原点与模型质心重合;试验连体坐标系{T}:原点位于模型质心处,x轴与模型体轴一致,初始方向为将{B}绕其z轴旋转至x轴与模型体轴一致;弯刀连体坐标系{W}:原点与模型质心重合,初始方向与模型连体坐标初始方向一致。

2 运动平台混联机构闭环反馈的正解

2.1 运动学关系

串-并混联机构如图1所示,并联部分的上平台通过三个驱动电动机分别连接动平台顶点Ai和底座的顶点Bi,P和R分别表示动平台原点在参考坐标系中的位置矢量和姿态的变换矩阵。根据动平台的姿态角和移动位移就可解出电动缸的矢量,即:

li=P+Rai-bi (i=1,2,3) (1)

式中:ai ,bi 分别是两平台顶点在各自坐标系中的位置矢量。Lis是并联机构电动缸支撑杆的矢量,(i=1,2,3)。

根据式(1),各动平台顶点的速度可写成如下形式:

$v{}_{ai}=\dot{{\rm P}}+\omega \times Ra{}_i(i=1,2,3)$(2)

式中:ω——在参考坐标系中动平台的角速度;

$\dot{{\rm P}}—$—在参考坐标系中动平台的移动速度。

式(2)写成矩阵型式为:

$v{}_{ai}=\dot{{\rm P}}+\omega \times Ra{}_i=\left[\begin{array}{cc}{\rm I}& R\left(\tilde{a}{}_i\right){}^{{\rm T}}R{}^{{\rm T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{{\rm P}}\\ \omega \end{array}\right]=J{}_{ai,x}\dot{x}(i=1,2,3)(3)$

式中,$\tilde{a}{}_i$——动平台上点ai的反对称矩阵;

$\dot{x}—$—是动平台广义速度,$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}\dot{{\rm P}}& \omega \end{array}\right];$

Jai,x——是动平台广义速度到动平台上顶点速度的雅克比矩阵。

将动平台上顶点速度向电动缸伸缩杆矢量方向投影,可得它们的伸缩速度:

$\dot{l}{}_i=l{}_{ni}^{{\rm T}}v{}_{ai}(i=1,2,3)$(4)

式中:$\dot{l}{}_i$——电动缸伸缩杆的伸缩速度(m/s);

lni——电动缸伸缩杆的单位矢量,$l{}_{ni}=\frac{l{}_i}{\parallel l{}_i\parallel }$。

将式(2)代入式(4)有:

$\dot{l}{}_i=l{}_{ni}^{{\rm T}}v{}_{ai}=l{}_{ni}^{{\rm T}}\dot{{\rm P}}+l{}_{ni}^{{\rm T}}\left(\omega \times Ra{}_i\right)(i=1,2,3)(5)$

由于并联机构有三个电动缸伸缩杆,可以将式(5)写成矩阵形式:

$\dot{l}=\left[\begin{array}{cc}l{}_{n1}^{{\rm T}}& \left(Ra{}_1\times l{}_{n1}{}^{{\rm T}}\right)\\ l{}_{n2}^{{\rm T}}& \left(Ra{}_2\times l{}_{n2}{}^{{\rm T}}\right)\\ l{}_{n3}^{{\rm T}}& \left(Ra{}_3\times l{}_{n3}{}^{{\rm T}}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{{\rm P}}\\ \omega \end{array}\right]=J{}_{lx}\dot{x}$

(6)

式中:$\dot{l}—$—电动缸支撑杆的伸缩速度矩阵,$\dot{l}=\left[\begin{array}{ccc}\dot{l}{}_1& \dot{l}{}_2& \dot{l}{}_3\end{array}\right]{}^{{\rm T}}$;

Jlx——并联机构广义速度到电动缸伸缩杆伸缩速度的雅克比矩阵。

a) 运动学正解

运动学正解的问题是分析和设计并联机构的关键,本节对试验平台的并联部分的运动学正解算法进行研究。并联机构的运动学正解就是在已知电动缸伸缩杆长度的情况下求解动平台的姿态,通常并联机构的运动学正解比运动反解复杂。这里主要借鉴Stewart机构的运动学正解算法,求解非线性方程组:

‖P+Rai-b‖=‖gi-bi‖=‖li‖ (i=1,2,3) (7)

用牛顿-泰勒展开法求解上述非线性方程组(7),此方程组也可表达如下:

${\displaystyle \sum _{i=1}^3\left(g{}_{ki}-b{}_{ki}\right)}{}^2=\left(\Delta l{}_i+l{}_{i0}\right){}^2(i=1,2,3)$(8)

式中:li0——电动缸伸缩杆的初始长度(mm);

Δli——电动缸伸缩杆的变化量(mm);

gki——电动缸伸缩杆在动平台上的接触点在参考坐标系中的坐标,k=1,2,3;

bki——底座在参考坐标系中的坐标,k=1,2,3。

令:

$f{}_i\left(q{}_1,q{}_2,q{}_3\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^3\left(g{}_{ki}-b{}_{ki}\right)}{}^2-\left(\Delta l{}_i+l{}_{i0}\right){}^2=0(i=1,2,3)(9)$

解如式(9)所示的非线性方程组,其中q1,q2,q3分别为上平台的绕z轴的转角,沿x和y轴的位移,即可求出动平台的当前姿态q。将$f{}_i\left(q\right)$在初始位置q0附近进行泰勒级数展开,并取其线性部分得:

$f{}_i\left(q{}_0\right)+{\displaystyle \sum _{j=1}^3\left(q{}_j-q{}_{0j}\right)}\frac{\partial f{}_i\left(q{}_0\right)}{\partial q{}_j}=0(i=1,2,3)(10)$

进一步令:Δq=q-q0和Δqj=qj-q0j(j=1,2,3),则式(10)可写为:

${\displaystyle \sum _{j=1}^3\Delta }q{}_j\frac{\partial f{}_i\left(q{}_0\right)}{\partial q{}_j}=-f{}_i\left(q{}_0\right)(i=1,2,3)(11)$

式(11)可以看成是Δqi(i=1,2,3)为未知数的方程组,其系数矩阵用J1表示为:

如果J1是非奇异矩阵,则方程组(3-12)有唯一解Δq。

若Δq可以满足精度的要求,即Δq≤ε(ε为要求精度),则q=q0+Δq是所要求的正解;否则令q0=q,根据新的赋值重复计算电动缸伸缩杆的长度li0(1,2,3)和系数矩阵J1,然后根据式(11)再次求解Δq,直到Δq在要求的精度范围内为止。以上是用牛顿—泰勒展开法求解非线性方程组(7)的数值方法,即牛顿迭代法。求系数矩阵J1是这种解法的关键。

对式(9)求qj(j=1,2,3)的偏导数可得:

$\frac{\partial f{}_i}{\partial q{}_j}=2{\displaystyle \sum _{k=1}^3\left(g{}_{ki}-b{}_{ki}\right)}\frac{\partial g{}_{ki}}{\partial q{}_j}=2\left(g{}_i-b{}_i\right){}^{{\rm T}}\frac{\partial g{}_i}{\partial q{}_j}$(13)

由以上的条件可知:

gi=BPAi=${}_{{\rm M}}^B$RMPAi+c (14)

其中:

$g{}_i=\left[\begin{array}{c}g{}_{1i}\\ g{}_{2i}\\ g{}_{3i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}c\alpha & -s\alpha & 0\\ s\alpha & c\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}a{}_{1i}\\ a{}_{2i}\\ a{}_{3i}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\alpha a{}_{1k}-s\alpha a{}_{2k}+x\\ s\alpha a{}_{1k}+c\alpha a{}_{2k}+y\\ a{}_{3k}\end{array}\right](15)$

为方便以下的计算令cα=cosα,sα=sinα。根据式8与式15可得到

$\{\begin{array}{l}\left(c\alpha a{}_{11}-s\alpha a{}_{21}+x-b{}_{11}\right){}^2+\left(s\alpha a{}_{11}+c\alpha a{}_{21}+y-b{}_{21}\right){}^2=\left(\Delta l{}_1+l{}_{10}\right){}^2\\ \left(c\alpha a{}_{12}-s\alpha a{}_{22}+x-b{}_{12}\right){}^2+\left(s\alpha a{}_{12}+c\alpha a{}_{22}+y-b{}_{22}\right){}^2=\left(\Delta l{}_2+l{}_{20}\right){}^2\\ \left(c\alpha a{}_{13}-s\alpha a{}_{23}+x-b{}_{13}\right){}^2+\left(s\alpha a{}_{13}+c\alpha a{}_{23}+y-b{}_{23}\right){}^2=\left(\Delta l{}_3+l{}_{30}\right){}^2\end{array}(16)$

b) 运动平台混联机构与串联的关系

这里主要研究的是模型的俯仰角θ,偏航电动机转角β和滚转电动机转角为γ之间的关系,由上述的公式(16)可以求出动平台的俯仰角α。根据时间轴上每一节点对应模拟平台的俯仰角θ(常量)及偏航电动机角度φ,滚转电动机转角为γ,求得模型连体坐标系{T}在基础坐标系{B}中的姿态表示${}_{{\rm T}}^B$R,其转动为先绕z轴转α,后绕y轴转φ,所以:

$\begin{array}{c}R\left(\alpha ,\phi \right)=R{}_{{\rm Z}}\left(\alpha \right)\cdot R{}_Y\left(\phi \right)=\\ \left[\begin{array}{ccc}c\alpha c\phi & -s\alpha & c\alpha s\phi \\ s\alpha c\phi & c\alpha & s\alpha s\phi \\ -s\phi & 0& c\phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}r{}_{11}& r{}_{12}& r{}_{13}\\ r{}_{21}& r{}_{22}& r{}_{23}\\ r{}_{31}& r{}_{32}& r{}_{33}\end{array}\right]={}_{{\rm T}}^{B}R\end{array}(17)$

$\begin{array}{c}R\left(\theta ‚\beta ‚\gamma \right)={}_{{\rm M}}^{B}R{}_W^{{\rm M}}R{}_{{\rm T}}^{W}R=R{}_{{\rm Z}}\left(\theta \right)R{}_Y\left(\beta \right)R{}_{{\rm Z}}\left(+35°\right)\cdot R{}_X\left(\gamma \right)\end{array}=$

$\begin{array}{c}[\begin{array}{c}c\theta \cdot c\beta \cdot c35°-s\theta \cdot s35°\\ s\theta \cdot c\beta \cdot c35°+c\beta \cdot s35°\\ -s\beta \cdot c35°\end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\begin{array}{c}-c\theta \cdot c\beta \cdot s35°\cdot c\gamma -s\theta \cdot c35°\cdot c\gamma +c\theta \cdot s\beta \cdot s\gamma \\ -s\theta \cdot c\beta \cdot s35°\cdot c\gamma +c\theta \cdot c35°\cdot c\gamma +s\theta \cdot s\beta \cdot s\gamma \\ s\beta \cdot s35°\cdot s\gamma +c\beta \cdot s\gamma \end{array}\begin{array}{c}c\theta \cdot c\beta \cdot s35°\cdot s\gamma +s\theta \cdot c35°\cdot s\gamma +c\theta \cdot s\beta \cdot c\gamma \\ s\theta \cdot c\beta \cdot s35°\cdot s\gamma -c\theta \cdot c35°\cdot s\gamma +s\theta \cdot s\beta \cdot c\gamma \\ -s\beta \cdot s35°\cdot s\gamma \end{array}]\end{array}(18)$

由$R\left(\theta ‚\beta ‚\gamma \right)={}_{{\rm T}}^{B}R$可知道矩阵方程两边元素(3,1)相等求得β,元素(3,3)及元素(3,2)相等求得γ,元素(1,1)及(2,1)相等求得θ。结果为:

3 机构动平台混联机构闭环反馈的反解

设动平台上的3个关节点分别表示为M1,M2,M3,下平台上3个关节点分别表示为F1,F2,F3,动平台俯仰角α,3个电动缸的长度分别为l1,l2,l3。

单独的俯仰运动可以通过三个电动缸的伸缩和下平台的移动来完成,时间轴上每一节点对应的动平台俯仰角α(动平台的俯仰角与模型的俯仰角相差35°)及下平台连体坐标系坐标原点在{B}中的坐标值BPFROG,x为坐标值的初始值即F0点至模型质心的x方向的初始距离;y方向坐标值y为F0点至模型质心的y方向距离;z坐标值为零。

根据坐标系的设定有:

$\left\{{\rm M}\right\}\Rightarrow \left\{{}_{{\rm M}}^{B}R,0\right\}$(20)

$\left\{F\right\}\Rightarrow \left\{{}_F^{B}R,{}^{B}R{}_{F{\rm O}RG}\right\}$(21)

式中:${}_F^B$R=I (22)

因此有:

BPMi=${}_{{\rm M}}^B$RMPMi+0 (24)

BPFi=${}_F^B$RFPFi+BPPORG=${}_F^B$RFPFi+BPFi (25)

以得到: li=‖BPFi-BPMi‖ (26)

具体表达式如下:

可求得:BPMi,x=MPMi,x·cα-MPMi,y·sα (28)

BPMi,y=MPMi,x·sα+MPMi,y·cα (29)

同理有: BPFi,x=FPFi,x+BPF1,x (30)

BPFi,y=FPFi,x+BPF1,y (31)

所以有:$l{}_i=\sqrt{\left({}^B{\rm P}{}_{Fi,x}-{}^B{\rm P}{}_{{\rm M}i,x}\right){}^2+\left({}^B{\rm P}{}_{Fi,y}-{}^B{\rm P}{}_{{\rm M}i,y}\right){}^2}(32)$

因此,若已知α,下平台连体坐标系坐标原点在{B}中的坐标值BPFRoG和动平台Mi各点在{B}中的坐标值可求出各个电动缸的长度,反解得以求出。

4 运动平台正反解分析

4.1 正反解问题的解法选择

由于本文讨论的五自由度混联机构的复杂性,从而该机构位置正反解的数学模型是比一般线性方程组复杂的非线性方程组。因此,对这种机构位置正反解的数学模型进行解法分析[5]是有必要的,通过以往对位姿正反解的研究成果的了解,这种复杂数学模型的解法主要有两种:

1) 解析法:解析法从一组约束方程中通过消元除去未知变量,可以得到单变量的多项式方程。末端执行器的所有位姿的可能包含了该一元多项式方程的实根。但是解析法不能明确地看出变量的数量关系、不够直观。

2) 数值法:数值法的数学模型比较简单,如果要求有一个实解,有好的初值的多数情况下,直接用非线性方程的求解算法,避免了繁琐的数学推导,计算速度比较快。

对于复杂的非线性方程组的求解[6,7],大多数采用数值的方法,即通过特定的算法,利用计算机对方程组求解,求得方程组的数值解。如果采用直接消元法,即使可以得到一个变量的单个方程,但是会出现大量增根和数值不稳定的情况,因此一般不采用直接法求解。本文用数值解法的基本过程是根据混联机构先建立数学模型、讨论数值计算方法、程序设计、上机计算出结果。

本文采用修正牛顿迭代法对五自由度混联机构的并联部分正反解方程组的求解实现以上的算法,并求得并联与串联部分的关系。应用Matlab[8]软件编制程序来求解本文所分析的五自由度混联机构的位置正反解方程组[9]。通过定义机构初始参数,确定计算机位置正反解函数,进入修正牛顿迭代计算,确定正反解函数的Jacobi矩阵[10,11]等过程对计算进行了功能模块化。计算机就可以进行规定次数的迭代,并输出每一次迭代后的数值,最终得到理想的数值。

4.2 机构数值解法实例

为了验证以上程序,本节给出了对五自由度混联机构在风洞试验中末端模型位姿的实例,当风洞模拟实验平台做振幅是30°,支撑角是35°时的俯仰运动及振幅为20°,俯仰角度是10°的偏航运动时候各个电动缸的长度值如表1所示。

5 结语

本文介绍了风洞试验虚拟样机的运动原理,并将混联机构用于风洞试验,实现了飞行器在风洞中多自由度的运动,突破了以往运动试验装置只能实现一个或两个自由度的限制。这里分析的五自由度混联机构是根据得到的混联机构的位置正反解的方程组,将并联和串联的运动分析巧妙的结合起来以求得末端执行器的位姿与电动缸各支链长度的变化关系。在修正牛顿迭代法的基础上利用了Matlab数学工具对其运算的过程进行编程,最后得到需要的数据。这种方法简化了试验模型的运动分析,是机构运动学分析的一个突破。

摘要：风洞实验平台要在动态模拟飞行实验的同时实现闭环实时控制,首先需要解决的是并联机构正反解问题,其次是并联部分与串联部分的耦合关系。在混联机构运动分析的基础上,可以进一步分析机构的动力学特性。在牛顿修正迭代法的基础上,利用Matlab数学工具,建立机构的正反解模型,并通过改变混联机构的位置参数,可以得到并联部分相应的位置正反解,并推出并联与串联之间的配合关系的方程组,将并联部分和串联部分统一起来。

关键词：风洞试验,混联机构,正反解,统一

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