理论方程（精选七篇）
理论方程 篇1
1.利用最小二乘法求线性回归方程的假定和前提
假定 目前在使用最小二乘法求回归方程的问题中, 一般假定随机误差ε集中在变量y上, 而认为变量x是无误差的.然而当变量x和变量y都有误差的情况下, 且不能将其中之一忽略时, 用最小二乘法求取得的回归方程精度较低.
前提 各个yi的随机误差为εi, 要使残差平方和最小的前提 (1) E (εi) =0, 即随机误差ε的数学期望为0; (2) D (εi) =σ2随机误差ε的方差为常数; (3) εi互不相关; (4) εi服从正态分布.虽然偏离正态分布这一前提并不影响正确求取回归方程中的截距和斜率, 但会对假设检验和置信区间的估计产生很大影响.如果不注意上述前提, 滥用最小二乘法, 在某些情况下不仅不能提高, 反而可能降低回归方程精度.
2.最小二乘法求线性回归方程的推导方法
(1) 选修2-3给出一种推导方法这里不再敖述.
(2) 利用导数求解.设残差平方和Q=
(3) 利用一元二次函数求解.设残差平方和Q=f (a, b) =
3.其他线性回归方程求法简介
(1) 残差绝对值之和最小准则下线性回归方程的求法.
假定 随机误差ε集中在变量y上, 而认为变量x是无误差的.
原理 使残差绝对值之和Q=∑
与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法求回归方程时可求得唯一的a, b的显式表达式, 它们即为所求的回归系数;残差绝对值之和最小准则下回归方程时求解上比较困难, 有时会出现多个解, 并且缺乏显式表达式.
(2) 面积最小准则下线性回归方程的求法.
假定 当变量x和变量y都有误差.
原理 设Δy=y- (a+bx) 为y的实测值与理论值之差,
与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法求回归方程时我们发现对x, y分别作为自变量, 所得到的回归直线不一致.面积最小准则下回归方程可以解决上述问题, 但其斜率的符号要由散点在直线的上下方位置决定.在实际操作上有一定的困难, 不够方便.
(3) 最小距离准则下线性回归方程的求法.
假定 当变量x和变量y都有误差.
原理 各观测点到直线垂直距离最小, 即使Q=∑
与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法由观测点到直线的纵坐标距离的平方和最小, 而最小距离准则下回归方程兼顾了两个方向的误差, 但在一些文献中已经证明了与最小二乘法比较最小距离准则下估计所确定的拟合值
二、非线性回归问题线性化探究
在选修1-2, 2-3中涉及非线性回归问题, 通常是先将其线性化, 再根据最小二乘法求解.目前计算器及计算机中的电子表格也都是利用此方法直接求得非线性回归方程的.但在直接运用变换求解时, 并没有考虑到曲线本身的特点.可线性化的非线性回归模型分为两种情况:一是变量替换不涉及回归系数, 即回归系数不发生变化.
摘要：普通高中课程标准《数学》必修3、选修1-2、选修2-3都涉及有关“回归方程”问题, 教师的感受是统计理论知识缺乏.本人在下面几个方面对教材做了进一步的挖掘.
参数方程化为普通方程教案 篇2
教学目标：
知识目标：掌握如何将参数方程化为普通方程；
能力目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；
情感目标：
培养严密的逻辑思维习惯。
教学重点：参数方程化为普通方程
教学难点：普通方程与参数方程的等价性
教学过程：
一：复习引入：
课本第24页的例题2中求出点的轨迹的参数方程为：。
问题1：你能根据该参数方程直接判断点的轨迹图形吗？如果要判断点的轨迹图形，你有什么方法吗？
二：新课探究
1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？
2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
（1）（为参数）；
（2）（为参数）.3：例题讲解：
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？
5：变式练习：P26第4题
（1）（为参数）；
（2）（为参数）；
6：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？
6：补充例题：
若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________.7：变式练习：
（1）曲线的参数方程为，则曲线为（）.A．线段
B．双曲线的一支
C．圆弧
D．射线
（2）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为。
三：课堂小结
（）
普通方程
参数方程
1:
2:
参数方程化为普通方程要注意哪些要点？
3:消去参数的一些常用方法:
四：作业
1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。
（1）
（2）
(3)
2:（2008重庆模拟）若直线
与圆
理论方程 篇3
摘 要： 高中化学中，方程式是学习的重点。化学方程式简洁而准确地描述了化学反应，使学习者和使用者更方便地理解和使用化学反应的本质。化学方程式中蕴含着丰富的化学信息，是学好化学的基础，也是解决化学问题的关键。化学方程式中涉及氧化还原反应的知识有很多，需要教师和学生及时总结归纳，促进化学学习。
关键词： 高中化学 方程式 氧化还原反应
运用化学方程式解题是高中化学的重要内容，化学方程式是重要的学习工具，关系着学生高中化学学习水平。在教学过程中，要重视学生对化学方程式的理解记忆，正确利用化学方程式解题。氧化还原反应的知识贯穿学生整个化学学习过程，是高中阶段化学的重要知识点。老师要帮助学生整理学习氧化还原反应的思路，循序渐进，帮助学生提高学习能力和理解能力，使学生更好地学习化学。
一、化学方程式的书写
化学方程式是一种用符号组成的语言，通过化学符号传递化学信息，化学方程式是简洁的公式，具有一定的结构，包含着化学反应的原理和深刻的化学知识内涵。化学方程式是以化学反应的基本原理为基础的，学生要正确书写方程式，才能对化学反应进行分析，解决相关化学题目[1]。化学方程式中的每个组成部分都有自己的含义，包括有反应的条件，如催化剂、点燃、温度等，有数量关系，还有箭头，表示反应生成物质的状态。必须正确书写方程式，否则就会改变整个方程式的含义，直接造成解题的错误。
如↑，这个方程式表示碳酸氢钙经过加热，生成碳酸钙、水及二氧化碳。里面的符号↑表示是气体，↓表示沉淀，数字2表示数量关系，有明确的结构和符号，使化学方程式看起来更清楚明白。
二、氧化还原归纳总结
（一）氧化还原反应
氧化还原反应简单来说是氧化与还原共同进行的反应，反应过程中各元素发生电子转移，反应物的化合价有升高和降低。氧化剂在氧化还原反应中具有氧化性，化合价从高价变成低价，氧化剂被还原之后得到的产物是还原产物。与氧化剂相对的是还原剂，还原剂具有还原性，在氧化还原反应中从低价变成高价，被氧化，还原剂被氧化之后的产物叫做氧化产物。在氧化还原反应中，氧化剂得到电子化合价降低被还原，得到还原产物，还原剂失去电子化合价升高被氧化，得到氧化产物[2]。如钠和氯气发生化学反应，在反应过程中钠失去了电子，化合价升高，这是发生了氧化反应，同时氯气得到了电子，化合价降低，便是发生了还原反应。
氧化还原反应有对立统一的规律，如果有化合价升高一定会有化合价的降低，可以简单记忆为升失氧还原剂氧化产物，降得还氧化剂还原产物，氧化剂的氧化性大于还原剂的还原性，元素处于最低价态的时候只有还原性，元素处于最高价态的时候就只有氧化性，如果处于中间状态，两种性质都有。氧化还原反应的方向是氧化剂+还原剂→还原产物+氧化产物。常见物质的氧化性由弱到强的排序是：，常见的还原性由弱到强的是：
（二）利用化学方程式解题
使用化学方程式解题，要注重质量守恒定律和电荷守恒定律，尤其是在氧化还原反应的解题中。氧化还原方程式解题主要有两种方法：配平法和待定系数法。配平时先要注意电荷守恒定律，再按照质量守恒定律检查完善，配平基本系数，先配金属元素，标价好各个元素的价态，同时要做好价态是升还是降的记录，把基本的系数配平，然后再配除了氢及氧之外的其他元素，配平H，然后用O做检查[3]。凡是升价或者降价的元素下面全部要标，以标出升降价的分子的原子作为标准。待定系数法是把方程式里，其中一种化学分子系数设成1，然后进行配平，如果选中一种物质便不能改变，无法配平可以设未知数。优先考虑分散程度小的元素，再考虑其他。
例如：使用软锰矿制KMnO，把KClO和KOH放入软锰矿中加热，可以得到KCl及KMnO的固体，接着把生成的物质在水里溶解，然后过滤，并且酸化，锰酸钾就会变成MnO及KMnO，将沉淀物过滤，溶液加热，最后得到结晶KMnO，要写软锰矿到KMnO的化学方程式。
首先要认真审题，按照题目的意思写出反应物和生成物，之后要标注元素的化合价，反应前后的化合价都要标，标完之后便会清晰地发现，其中的氯元素及锰元素发生了变化。标出电子转移的数目，锰元素在MnO中是+4价的，在高锰酸钾中是+6价的，也就是说每1摩尔的二氧化钾之中，有2摩尔的电子发生了转移。在KClO中氯元素为+5，氯化钾中的氯元素是-1价，也就是说每1摩尔的KClO中发生6摩尔电子转移，按照电荷守恒的定律可以知道，MnO和KClO的物质量比是三比一。最后按照质量守恒的定律对其他元素进行配平，可以得出方程式：
+4 失2摩尔 +6
3MnO2+6KOH+KClO3=3K2MnO4+3H2O+KCl
+5 得6摩尔 -1
总之，化学方程式是解决化学题目的基础，高中生要牢固掌握化学方程式的书写。在学习氧化还原反应时，要灵活运用解题方法，注意价态变化、转移电子数量等问题，重视知识点的归纳总结。
参考文献：
[1]熊家文.氧化还原反应与高考备考分析[J].考试周刊，2015（4）：5-6.
[2]黄家虹，衷明华.高中化学氧化还原理论知识归纳和方程式解题技巧研究[J].江西化工，2015（4）：104-106.
超声空化气泡运动方程的理论推导 篇4
随着现代科学技术及工业化的发展,超声已在众多领域得到了广泛的应用。在超声作为一种能量来源的应用中,其主要机理便是超声空化现象。超声空化是指在强超声波的作用下,液体中的微小气泡核在声的稀疏相和压缩相交替作用的过程中,其体积经历振荡生长而最终高速崩溃的过程。在空化气泡崩溃的过程中,会瞬间在极有限的体积内产生很大的温度梯度和压力梯度,从而引发众多的物理、化学和生物等效应,如产生光脉冲辐射,腐蚀金属表面,加快化学反应速率,改变生物组织结构等。超声空化是大量空化气泡的动力学过程,研究单一空化气泡的动力学过程不仅是研究多泡空化的起点,而且是研究整个超声空化现象的基础。
1 理论推导
1.1 空化气泡运动方程
设在无限大不可压缩液体中有一初始半径为R0的空化气泡,泡内气体为理想气体,空化气泡内外的初始压力Pin和Pout分别为:
其中,Pg0为泡内的气体压力,PV为泡内蒸气压,P0为液体静压力,为空化气泡的表面张力。
当气泡在流体中保持平衡时,其泡内外的压力相等,即:
当给液体中加一扰动声场PA时,设PA在初始时刻为正压力,则气泡的半径由R0减小为R,泡内气体压力由Pg0变为Pg,如果认为气泡的运动过程为等温过程,由理想气体的等温状态方程可得:
此时,结合公式(1)、(2),泡内外新的压力P′in和P′out分别为:
液体移向空化气泡收缩空间所获得的动能为:
由于假设液体不可压缩,则空化气泡收缩的体积就等于液体填充的体积,即:4πR2dR=4πr2dr
则有:R2dR=r2dr
上式两边除以dt并整理得:
将(6)代入(5)得:
空化气泡所受到的收缩压力P′out克服膨胀压力P′in所做的功等于液体获得的动能,即:
两边对R微分得:
将式(3),(4)代入上式,如果不考虑气泡内部的蒸气压,就得到等温状态下的空化气泡运动方程:
如果认为气泡运动过程是绝热的,则绝热状态下气泡的运动方程为:
式中γ为气体的比热比,γ值取决于气体的种类与状态。
比公式(8)和(9)更为严格的表达式为:
式中:n为反映过程热力学状态的多方指数,其数值范围为1燮n燮γ;对于等温过程,n=1,即为公式(8);对绝热过程,n=γ即为公式(9);介于两者之间的状态,取1<n<γ。
若进一步考虑气泡运动过程中的能量粘滞损耗,以及气泡振动时向液体辐射声波而存在的辐射阻尼,则公式(10)变为:
式中μ为液体的粘滞系数,为粘滞损耗项,在不考虑蒸气压的情况下(PV=0时)辐射阻尼修正项为:
1.2 空化气泡共振频率
设声场激励波形为PA=Pasin(ωat),若声压Pa<<P0,气泡振幅很小,可令R=R0+r,r<<R0,设气泡运动为绝热过程,把R代入公式(9),在一级近似下有:
式中ωr为空化气泡的共振频率。
当Pa<<P0时,即小振幅振荡情况下:
2 结论
本文研究了无限大不可压缩液体中初始半径为R0的单一空化气泡,泡内气体为理想气体,在考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼等条件下推导出单一空化气泡的运动方程和共振频率,这些理论公式为进一步用数值方法研究空化气泡的运动过程提供了理论基础。
摘要：文章在考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼等条件下推导出单一空化气泡的运动方程,为用数值方法进一步研究空化气泡的运动过程提供了理论基础。
关键词：超声空化,空化气泡,气泡运动
参考文献
[1]冯若.超声手册[M].南京:南京大学出版社,2001.
[2]Rayleigh J W.On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity[J].Philos Mag1917,34;94-98.
[3]李太宝.计算声学——声场的方程和计算方法[M].北京:科学出版社,2005.
理论方程 篇5
运营商在进行光通信设备安装时,需要对设备的各种参数进行初始化。在初始化的过程中,参数大多是通过实际测试得到,当遇到功率过大或过小的情况时需要通过衰减器来进行粗略调制,这种做法过于浪费时间和人力资源,成本较高,对光通信设备的损害也比较大。在设备安装前如果先进行理论估算得到较为精确的设定参数,对组网架构进行带参模拟并仿真论证可行性,就可以较大程度地节约安装成本,同时通过理论估算和仿真得到所需的参数最优值,也能够对实际组网建设和通信设备安装起到指导和借鉴作用。
本文以NLS(非线性薛定谔)方程为理论基础,提出非线性功率和色散脉宽这两个新的系统限制参数,对通信系统功率和带宽配置进行理论分析和最佳值估算,最后以WDM(波分复用)+TDM(时分复用)-PON(无源光网络)的组网模式在OptiSystem软件中进行带参模拟仿真并验证其可行性。
1新限制参量推导
为保证多用户接入时的高性噪比,提高发射端输出功率是必要条件,但由此也带来信号传输时的SPM (自相位调制)非线性效应增强;另一方面,带宽需求的增大意味着信号传输速率的提高,对系统的色散控制会更加苛刻。因此,对于高速长距离的光通信,必须考虑GVD(群速度色散)和TOD (三阶色散)对光脉冲的展宽和畸变效应以及SPM非线性效应的影响。
光纤中光场的慢变包络可以体现光脉冲的形状,所以将其作为主要研究对象。包络与位置z和随脉冲群速度移动的参考系中的时间量度T(T =t-β2z)的函数记为A(z,T),对于脉宽>5ps的脉冲,同时考虑GVD、TOD与SPM效应[1],光纤中光场的慢变包络满足下列NLS方程:
式中,右边四项分别描述了光脉冲在光纤中传输时的光纤损耗、GVD效应、TOD效应和SPM非线性效应[2]。为了方便分析,引入归一化振幅U,
整理过程中可得三个参数,分别为GVD长度LD=T20/|β2|,TOD长度L′D=T30/|β3|和非线性长度LNL = (γP0)-1。
由式(3)可知,三个限制参量均位于分母项,意味着参量数值越大,对应项的效应就会越小,因此,可以根据目标系统的传输特性参数,如发射峰值功率和初始脉宽等,计算出该系统的GVD长度LD、TOD长度L′D和SPM非线性长度LNL,通过判断它们与传播的光纤长度L的相对大小,可以有效地确定目标系统失真是因为什么问题引起的,从而有针对性地做出调整。
但是在设备实际安装时,这三个限制参量是不够直观的,因此需要将其作一定的变换,使其与设备常用设置参数联系起来。
在高速光通信系统中,光纤链路的高速率传输过程带来的脉冲展宽容易使脉冲扩展到指定的比特槽,从而干扰探测过程并产生误码,因此需要对传输速率进行限制。对于在通信系统中常用的NRZ(非归零)码脉冲,占空比为100%时,比特率与脉宽的关系为T0=0.567/BitRate[3],结合LD=T20/|β2|,若令其等于传播距离L,可得一新参数:
新参数命名为GVD比特率,代入实际光纤传输长度和传输波长对应的β2值,则可以得到所对应的GVD比特率,发射端的输出比特率不能超过或者接近该值,对传输比特率(即带宽)提出了上限要求。
同理,可以推导出新参数TOD比特率,对带宽提出二次上限要求,TOD比特率为
而对于非线性效应,光脉冲功率越大,SPM的非线性越明显,因此,需要限制发射端输出的峰值功率,根据非线性长度的定义LNL= (γP0)-1,若令其等于传播距离L,可以得到一新参数:
该新参数命名为SPM非线性功率,代入实际光纤传输距离和不同波长对应的γ值,则可以得到对应的SPM非线性功率,发射端的输出脉冲峰值功率不能超过或者接近该值,即对输出功率提出了上限要求。实际参数设置时一般仅依靠固有损耗和灵敏度阈值来做最小发射端功率下限的限制,通过计算SPM非线性功率来对峰值功率作上限的限制,是对发射端功率设置的一个很好的补充。
2带参系统设计
为验证新限制参量的可行性,设计光通信系统并计算了相应参数进行带参模拟仿真。以WDM+TDM-PON组网系统为验证系统[4],组网结构框图如图1所示。
图中,ODN代表光分配网,环状为共存元素CE,发射端为OLT(光线路终端),接收端为ONU(光网络单元),接收前用DCF(色散补偿光纤)进行色散补偿,光纤传输距离设定为20km。上行波长工作窗口为1310nm,下行波长工作窗口为1490和1550nm,其中1550nm窗口用于CATV(有线电视网)。
在分别考虑光纤的衰减[5]、各个模块的插入损耗、GVD效应和SPM非线性效应之后,将理论估算结果进行综合,如表1所示。
在上行方向,根据表1所示的GVD限制带宽,可以设定每个用户的上行带宽为1.25Gbit/s,根据1∶128的分光比可以得到,上行方向1310nm窗口的总带宽应设定为160Gbit/s。考虑DCF色散补偿,可以突破下行工作窗口限制带宽:设定每个用户可以分配到680Mbit/s的下行带宽,根据1∶128的分光比,下行方向1490nm工作窗口通信干道的带宽应设定为85Gbit/s。加上额外的CATV的下行带宽,在1550nm工作窗口上通信干道的带宽同样设定为85Gbit/s,则下行方向上通过WDM技术复用到干道上后总带宽应设定为170Gbit/s。
3仿真结果验证
根据上述对组网系统所作的功率与带宽理论估算,在OptisyStem软件中进行光通信链路仿真模拟。通过多次仿真模拟后发现,在带宽一定的前提下,对上行1310nm波段和下行1490、1550nm波段,改变激光器的输出功率峰值可以得到相同带宽下不同的BER(误码率)。三个波段的不同输出功率峰值与BER的关系曲线如图2所示。
由图2可知,随着激光器输出功率峰值的增大,BER先变小,然后再缓慢变大,即存在一个BER最小值,也就是系统中的最优BER,这个最优的BER所对应的功率即为最佳输出功率,如表2所示。
所得仿真数据在考虑损耗富余度后,与表1的理论预算结果是一致的,这说明理论估算方法具有可行性,且存在参数最优值。即在所得功率预算范围内,存在一个最佳功率,能够使组网系统信号传输的BER达到一个极小值,理论上最小值甚至可达10-50,比零BER标准10-12更低。
图3所示分别为三个波段对应的零BER标准10-12的合格BER眼图(上图)和最优BER眼图(下图)。
由图比较可得,最佳BER对应眼图眼皮厚度小,其对应码间串扰远远小于合格BER对应眼图。
4结束语
理论方程 篇6
一、问题的提出
有效学习决定着有效教学, 那么有效学习如何发生又如何引发, 就应该成为聚焦课堂教学的焦点之一。现在课堂中的某些一味地增加训练强度、片面强调动机的做法除难以整体提高质量外, 还可能对学生的认知发展造成某些障碍。
当代教育心理学家奥苏贝尔对学习的心理机制有经典的概括, 他认为学习者在学习具体的语言或文字符号材料后, 其头脑中留下的是这段材料所表达的意义, 而不是语言或文字符号本身, 而所获得的意义须联结到学习者认知结构中相应的位置上, 新的意义才能持久保持并发挥作用。这样, 经过新旧知识的同化, 最后形成由一般到具体逐渐分化的网络层次结构, 即新的认知结构。同时这一经过同化来的认知结构又是学习新材料的基础, 经过反复同化、融会贯通, 学习者的学习能力就会逐渐增强。奥氏的这一观点不但为我们揭示了学生学习的机理, 还为教师在课堂上根据不同学生、不同材料进行针对性教学提供了原理性根据。当许多关于无理方程的教学都在强调解法尤其是特殊形式的解法时, 该设计将重点放到了无理方程的一般概念和一般解法上, 这不能不说是将经典理论与具体教学有机结合的一个“试验”。
二、研究方法
1. 研究对象
本文研究的是一份事后得到的无理方程教学设计 (沪教版初二年级第二十一章第三节) 。该设计从初中方程教学这个大的系统出发, 经提示所学过的“转化”思想、“消元”、“降次”、“分式化整式”等方法之后, 引出了新内容。设计者注重引导学生观察、尝试、讨论, 由其自己得出结论。在总结环节, 设计者除要学生巩固新知外, 还特别注意辨别无理方程与普通方程在解法上的区别。整个设计突出了整体知识结构, 强调了学生的观察和辨别, 较好地将新知识、新方法融入到学生已有的认知结构当中。
2. 分析维度
对这样一个成功了的教学设计, 本文从学生已有认知结构的激活、新旧认知结构相互作用以及新的认知结构形成三个维度加以分析。此三个维度分别与导入、观察体验、反思总结三个环节相对应。
三、研究结果
1. 导入阶段的分析
无理方程是继一元一次方程、一元二方程和分式方程学习之后的新内容, 设计者尝试以知识的分类方式激活学生关于方程知识的认知结构 (教师板书如下图) 。
同时设计者还以板书 (如下图) 激活学生关于“化归”思想的认知结构。
这里设计者很好地引导并激活了学生关于方程知识和相关数学思想的认知结构, 形成了学生对新知的期待。这其中既有一般意义层面上的暗示, 也有较为具体的题目型明示, 从而较好兼顾了班上不同认知水平的学生, 为本堂课设置了一个较为公平的起点。同时, 该设计的由一般到具体的导入方式还摆脱了那种由一个具体解法到另一个具体解法的模式, 较好地解决了在设计上“站不高”的问题。
2. 观察体验阶段的分析
设计者在提升了学生的认知高度以后, 抛出了一个问题, 拟通过问题的解答使学生悟出无理方程的概念。
问题:用一根30厘米长的细铁丝弯折成一个直角三角形, 使它的一条直角边长为5厘米, 应该怎样弯折?
引导学生分析问题过程如下:
(1) 怎样弯折是什么意思?题目究竟要解决什么问题?
(2) 能否直接求出?如果不能是否需要引进某个未知数?为方便表达引导学生画图, 并设出未知数, 如设另一条直角边为x厘米。
设计者这里用较多的心思渐进地引导学生从明确问题的性质到暗示他们列方程等条理化思考, 较平顺地进入新问题。设计者这种强调意在给学生留下一种进入问题的“习惯”, 并最终使其自己得到无理方程的概念。这个过程与仅仅通过解一、二道题就给出概念是一个提高———在更大的知识结构下分析新问题。
这时许多学生列出52+x2= (30-5-x) 2即52+x2= (25-x) 2 (1)
为引导学生列出无理方程设计者进一步提示:
“刚才设另一条直角边为x厘米, 要把斜边表示为 (25-x) 厘米, 还有其他表示方法吗?”
学生:还可以表示为厘米,
教师:既然斜边既可以表示为25-x, 又可以表示为, 所以得到
为进一步帮助学生学会列方程, 进一步分析如下:
教师:方程 (2) 的产生思路对我们今后列方程有很大的启发和指导作用:那就是在问题中找一个量, 用两种不同的方式加以表达, 中间加上“=”即可, 比如本题, 我们还可以根据“周长”这个量来列方程:
这是设计者意在将学生的操作拉回到原理上去, 将具体的操作与等式基本性质联系起来。
师:最引起你们注意的是哪个方程?
学生:方程 (2) 或方程 (3) 。
师:为什么?
学生:因为这种形式含有根式, 且被开方数是含有未知数的代数式, 以前没见过。
师:顺势给出无理方程概念, 并完整板书如下:
“方程中含有根式, 且被开方数是含有未知数的代数式, 这样的方程叫做无理方程.因为方程中含有根式, 所以我们也把它叫做根式方程。”
设计者此处建立新知的固着点 (如上图) 是将学生的思路引回到“有理式”→“代数式”→“代数方程”的知识体系上去, 从而使新知与已有知识结构建立起联系。同时这也是个帮助学生建立一般原理与具体知识之间联系的过程, 是个优化认知结构的过程。
师:观察比较所列方程 (2) 和 (3) , 他们都是针对同一个问题, 且在设同一个未知数的条件下列出的方程, 那么他们之间一定还存在内在联系。
学生:他们是一样的。
教师:我来把这位同学的意思解释一下, 那就是方程 (2) 可以通过变形化为方程 (3) , 那么方程 (1) 和方程 (2) 之间呢?
设计者抓住了学生似乎敏感但又不知其深意的反应, 并循着由具体到一般的思路继续追问, 以在一般的层面上引导学生向无理方程的解法靠拢。
学生:对方程 (1) 两边开方可以得到方程 (2) 。
教师:把这位同学的发现换一种说法那就是如果a2=b2, 那么a=b, 同意他的观点吗?
学生:不对, 如果a2=b2, 那么a=b或a=-b。应该是对方程 (2) 两边平方可以得到方程 (1) 。
教师:换一种说法就是如果a=b, 那么a2=b2, 这个结论成立吗?
学生:成立。
这里实际上是用二次根式和等式的基本性质将学生的具体解题思路引向一般层面, 使其认知结构“无形中”中得以延伸。课堂中, 许多教师往往会顺着学生两边开平方的解法走下去, 从而将学生的思路限制在了操作层面。
3. 总结反思阶段分析
本设计对要点的回顾:⑴“无理方程”是怎样产生的?⑵无理方程的基本概念有哪些?⑶解无理方程的基本思想及验根的基本方法?
本设计的反思:⑴化无理方程为有理方程除了两边平方这种方法, 还有其他方法吗?⑵解特殊无理方程的思考路径?⑶解什么样的无理方程不会产生增根?
设计的这部分作为总结, 回顾了本课的要点, 引出了学生应该思考的问题。应该说这在思考上是适合学生数学知识结构延伸的, 在认知结构的发展上是一个有益的引导。
一节课的结尾处通常是学生形成新认知结构的时候, 这时若能给他们以足够的暗示线索, 帮助他们在自己的操作中提炼、概括出思路, 并将成功的思路固化下来, 那会促使这节课形成一个新的高地, 在知识结构和思想方法上对下节课形成新的俯视。
四、问题探讨
1. 关于新旧知识的联结
初中学生在学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程等方程、方程组的问题后, 其关于一般意义上的方程知识结构已经基本形成, 这在这里属于旧知识。本课关于无理方程的定义是“方程中含有根式且被开方数是含有未知数的代数式”, 这是本课要学习的新知识。很显然, 按照认知结构同化理论, 这里的旧知识和新知识属于上位和下位间的关系。这在知识的联结和过渡上, 属于旧知识的延伸而非本质上的变化。该设计在处理上始终让学生在方程的一般解法、基本性质、主要特征中解新问题, 使其经过尝试后意识到增加了“根号”仅仅是方程的一种特殊呈现形式, 与前面所学一次方程、二次方程的解法基本无异, 从而大大增加了新知识与旧知识的相似性。这样便发展了关于方程的认知结构, 而这也正是数学课堂的根本任务。
2. 关于课堂上认知与操作的关系
提高并发展学生的认知水平是课堂教学的首要任务。教学中, 教师引导学生通过对具体操作的抽象概括, 形成新的认知结构, 是一种理想的教学状态。课堂上特别是数学课堂是培养学生良好思维方式的重要场所, 其中很重要的一个方面就是能将学生的观察、体验、讨论把握在一定的认知层面, 避免将数学学习等同于具体的操作。该设计在这方面就突出了通过观察、体验、探讨等操作形成学生自己的认知结构, 较好地推动了他们的思维由操作层面上升到一般层面。
参考文献
[1]陈琦, 刘儒德主编.当代教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社, 1997.
理论方程 篇7
关键词：微积分教学,应用实例,学习积极性
1 工科微积分教学的目前形势
微积分是理工科学校一门重要的基础理论课，内容丰富、应用广泛。但同时这门课又具有抽象性和严密的逻辑性，这就决定了这门课比较枯燥、乏味。另一方面，学生以前在中学学的都是有限的概念。而进入大学后一开始学习微积分就遇到无限的概念，这是一个质的转变，学习上不太习惯。
此外，中学数学的证明都比较直观，证明过程也不太繁杂，而微积分里的定理和习题的证明方法比较抽象，技巧性较高，过程也相对复杂。
因此，学生刚开始学习这门课程时，感到难以理解和接受；另外，整个微积分的教学要持续一学年，课堂教学主要以教师讲解为主，学生被动地听教师讲课，由于一次课学生都会接受大量的知识点，学生很难做到当堂课的知识当堂课理解消化，而当学生的接收出现问题时，就会出现厌学的状态，表现就是逃课现象；而且，就目前的学生本身来说，中学时的学习状态一直是在家长及学校老师的严格监督下进行的，到了大学之后，很多学生缺乏主动学习的自觉性。
以上这三个方面是我在多年的微积分教学工作中观察与总结的现象，这些现象使我陷入了深深的思考之中，微积分这门基础理论课推动了其它学科的发展，推动了人类文明与科学技术的发展，它的作用是举足经重的！国内外的大学都意识到了它的重要性，那么，作为教师，我要把这门学科的知识及其重要性传授给学生，我要教好，学生要学好，都非常重要，而我的教学目的就是让学生学好！但是学生要想学好这门课，必须发挥他们的主观能动性且能在一学年的学习过程中保持住他们的学习热情，让学生充分体会到数学的艰辛发展历程，将学习变成一个再创造、再发现的过程，这个过程一方面使学生体会到在解决问题时如何发现和如何创新，另一方面也使得学生得到知识，学会学习。对学生来说，是以后发现和创新的源泉和动力，这些也可能是终生受益的经验。
2 一节教学的启示
我在讲解一阶微分方程时，通过这样的应用实例引入教学内容。
他是疑犯吗？
受害者的尸体于晚上7:30被发现。法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几小时内始终保持在21.1℃。此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是：张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？依据牛顿冷却定律：温度的变化率正比于温度与室温的差，我给学生提出了两个问题，一个问题是让学生求受害者体温关于时间的函数，另一个问题是如果受害者被杀时的体温是37℃，那么求受害时间，使得37℃。应用实例及问题我叙述完毕，停顿了一下，扫视了一下学生，发现每个学生脸上都出现很兴奋的表情，玩手机的，睡觉的学生也都抬起了头，睁大了眼睛注视着我，我知道他们想一探究竟。然后我说，为了判断张某是否为凶手，我们先来看一下什么是一阶线性微分方程以及它的解法。整个一堂课下来，学生们都静静地，认真地听着我所传授的关于一阶线性微分方程的理论知识，差五分钟下课的时候，我对学生们说，“通过本节课所讲的知识，同学们请在课后来解决那个实例的两个问题，在此基础之上，我再给大家留一道思考题：张某的律师发现受害者在死亡的当天下午去医院看过病。病历记录：发烧38.3℃。假设受害者死时的体温为38.3℃，试问张某能被排除在嫌疑犯之外吗？写在一张纸上，我下节课要进行抽查！”在第二次课，通过学生们交上来的答案，我知道在微积分课堂上将理论知识与实际应用相结合的教学改革是成功的。同时在具体教学实践中，我也注意到了一些问题：首先要确保课堂教学完成微积分教学目标，其次选择适当的应用实例，这些实例的引入，一定要激起学生的好奇心，并且能够吸引他们有一探究竟的愿望。另外还要求教师本人要熟悉应用实例的求解过程与思想，特别要注意把握微积分课程的教学重点，不能偏离教学中心，在课时安排和教学组织过程中．要注意把握度。
只要我们把握好这个度，通过微积分理论教学与应用实例的结合，使学生初步熟悉数学建模的思想与过程。一方面使微积分学习生动有趣，锦上添花；另一方面也不会影响正常的教学目标。
3 结语
在微积分课堂上将理论知识与实际应用相结合，使学生提高运用数学知识解决实际问题的能力，一方面可以提高学生的学习兴趣，另一方面可以使学生了解数学知识在实际生产中的应用，从而进一步达到巩固理论知识点的目的。在此过程中可以培养出对数学建模的兴趣，而数学建模不仅是启迪数学心灵的必胜之途，也是数学走向应用的必经之路，这些都会对他们学习后继课程打下了一定的基础。
参考文献
[1]汪凯.微积分课堂教学与数学建模思想.科技信息, 2011 (3) .
[2]贾晓峰.关于非数学专业的微积分教学改革.太原理工大学学报 (社会科学版) , 2000 (1) .
[3]王翠萍.微积分课程教学方法、教学手段的改革, 探索, 2011 (6) :78.
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