离散的小波变换（精选九篇）
离散的小波变换 篇1
小波系数动态范围的确定是小波变换的过程中不可忽视的问题,因为它直接决定了计算的精度以及存储空间的利用率。对任何VLSI设计来说,如何实现低功耗及较小的硬件资源开销是设计所必须追求的目标。针对这点,在整数小波变换的VLSI设计中,小波系数的动态范围必须考虑,因为它直接关系到内部存储器的字宽。
本论文的5/3提升小波算法的硬件架构设计是在Altera公司的Quartus II开发平台上完成的。对小波系数的位宽范围的整定进行了比较深入地探讨和详尽的数学推导。为了验证小波系数位宽精确确定的数学推导的有效性,本论文给出了对四张标准图像:Black、White、Lena、Pepper的一级到五级的提升式5/3离散小波变换后的数值分析。
1 提升式5/3小波算法
Sweldens确定的提升格式由3个步骤组成:分裂/合并(Split/Merge);预测(Predict);更新(Update)。设原始信号为x[n],信号的正变换过程如图1所示,下面对上述三个步骤进行简要阐述:
(1)分裂。将信号进行奇、偶采样,即:
(2)预测。所谓预测,就是用xe[n]来预测x0[n],其误差为:
这里P(.)表示预测算子。
(3)更新。更新的目的就是要用d[n]来修正x[n],使得修正后的x[n](记为c[n])只包括信号x[n]的低频成分,即:
这里U(.)表示更新算子。
2 小波系数位宽的初步讨论
提升的小波变换算法在计算高低频数据时采用了加减法,根据行列变换的计算公式可以看出每一级变换都可能导致结果字长有1~2位的增长。
对一个J级分节的小波变换来说,为了能一致地表示所有小波系数,内部存储器字的位宽必须满足可能的最大位宽(就是在第J级的字长),这个字长就是:
其中n可能取1或2的值。例如,一个J=5级的分解最大需要18位来表示得到的小波系数。
但是,这样的位宽讨论过于粗糙,它界定了一个相对宽泛的范围,虽然保证数据不会溢出,但是这个范围远远不够精确。因为在硬件实现时,增加位宽就会增加硬件资源和存储器,那么这就需要对于增加的位宽值进行必要的、更为准确的估算。基于此,在本节中就位宽问题进行了进一步的理论研究和软件试验分析。
3 小波系数位宽的进一步讨论
关于位宽的理论分析,首先忽略一个约束条件,即在没有后一级小波变换时前一级小波变换的结果作为输入数据。那么在这个前提下,通过简单的迭代即可推出低频和高频的粗略范围。对上述结论式(5)进行第一次相对粗略的位宽范围整定。此后,再加上此约束条件,进行对问题基于卷积的理论讨论。根据提升算法与卷积算法的结果相等的思想,计算没有取整的提升小波变换的系数范围,得到第二次整定的位宽范围。最后通过讨论整数小波变换和非整数小波变换的差异进而得到整数小波变换的动态范围,即最终相对精确地确定位宽范围。
3.1 第一次位宽范围的整定
由于提升算法的5/3小波变换可写为:
预测:
更新:
为了进一步讨论低频和高频取值范围,可通过迭代的方式用低级数低频系数表示高级数的低频系数和高频系数。则预测后的高频小波系数和更新后的低频小波变换分别为式(8)和式(9)。
一般的图像的灰度值是8位的,其范围为[0~28-1],即[0~255]。为了与JPEG2000的标准相符合,采用了电平移位,因此输入的图像灰度值都减去128,这样也就变成了8位有符号数据。其范围为[-128~127],即[-28-1~28-1-1]。
设图像的位数为dpth,则原数据范围为:[-2dpth-1~2dpth-1-1]。
计算低频的范围如下,令:
就得到低频最小值:
得到高频最大值:
同理可得,令:
就得到低频最大值:
和高频最小值:
所以低频系数c0,i的取值范围是:
其中分别为下取样,上取样算子。
所以低频系数d0,j的取值范围是:
因此每一级变换后的系数范围如表1所示。
3.2 第二次位宽范围的整定
然而在实际分解时前后级变换需相关迭代运算,即前一级小波变换的结果作为输入数据输入到后一级小波变换中。
对于一个原始的序列c1,经过分解低通滤波器h后,得到低通系数s(0):
以此类推,得到经过j级滤波器后的系数s(j)如下:
事实上,有公式存在[15]:
上式并不难理解,可以认为f=(f↑n)↓n,即序列进行隔点插零后再进行隔点采样后的序列值与原序列值相同。这里,仅从一个粗略的角度说明此式成立。当然该证明也并不难完成,利用Z变换证明即可。详见参考文献[1]。利用式(17),式(16)变为:
经过j级变换后得到:
根据以上推算可以计算出基于卷积的一维变换一到六级的系数范围,如表2所示。
3.3 第三次位宽范围的整定
基于取整运算的第三次整定:
预测:
更新:
设采用取整的提升算法和采用不取整的提升算法得到的高频和低频的差值分别为:
根据三角不等式,得到[1]:
其中,初值:
所以:l=0时,distd(0)=1/2;
由于式(22)是一个递推公式,通过初值及其递归公式能够得到通式:
同理根据三角不等式可得推出distc(l)的通式:
由式(24)和(25)计算得到提升小波变换取整和没有取整的误差如表3所示。
根据表3给出的误差和经过第二次范围缩小的系数范围值(表2),进行简单的加减法可得到表4。
通过表4与表2对比可看出,在四级分解范围内取整算法和不取整的位宽都是相同的,因为提升小波变换取整与否并不能改变位宽的范围。也就是说对于一般的应用,取整算法和不取整算法可以采用相同的位宽。
3.4 试验分析
为了验证在本节得出的结论,对四幅标准图像在Matlab平台上进行了一到五级的小波变换,实验结果如表5所示。
通过上表看出,图像进行五级以内变换的系数在-512到511范围内,即选取10位系数位宽即可满足要求。验证了前面的结论。
4 结语
本文完成了三次小波系数动态范围的整定并给出详细的数学推导。最后得到的位宽数是对以往宽泛结论的较为精确的整定。最后在Matlab平台上验证了该结论的有效性。
摘要：相对于JPEG中二维离散余弦变换(DCT)来说,在JPEG2000标准中,二维离散小波变换(DWT)是图像处理的核心变换。然而在小波变换过程中,有一个不可避免的问题,就是小波系数的动态范围的确定,它直接决定计算精度以及存储空间的利用率。文章针对5/3提升小波算法的硬件架构,在理论分析中进行了三次小波系数动态范围的整定并给出详细的数学推导。最后得到的位宽数是对以往宽泛结论的较为精确地整定。可以在保证运算精度的前提下,避免增加无谓的硬件资源和存储器。最后使用Matlab对标准图像进行一到五级的小波分解,验证了该结论的有效性。
关键词：离散小波变换,提升式算法,小波系数,位宽范围
参考文献
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一种改进的小波变换图像融合方法 篇2
为很好地保持图像的细节和光谱信息,本文结合局部方差和高通滤波,利用小波变换对图像进行了融合试验.结果表明,融合的图像在保持细节和光谱信息方面都有很大的提高.
作 者：潘建平明飞雄 左志进 PAN Jianping MING Feixiong ZUO Zhijin 作者单位：潘建平,PAN Jianping(重庆交通大学土木建筑学院,重庆,400074)
明飞雄,左志进,MING Feixiong,ZUO Zhijin(国家测绘局重庆测绘院,重庆,400014)
离散的小波变换 篇3
关键词：冲击；振动；小波变换；频率分析
中图分类号：TP395。02文献标识码：A
冲击信号在机械振动中是一种常见的特征信号＼[1-2＼]，具有持续时间短，衰减快，能量在广阔的频率范围内发散等特点，发生冲击振动的同时往往还包含其他重要微弱振动信息，微弱的振动信号容易被冲击信号淹没，不易识别＼[3＼]。因此为了有效提取淹没在冲击信号中的微弱振动信号，滤除冲击信号显得尤为重要。
时频分析是信号分析的传统方法，频谱分析是以傅里叶变换为基础的经典谱分析和非傅里叶变换分析为基础的现代谱分析，时频分析方法已经广泛应用于非平稳信号分析。针对掺杂冲击的典型非平稳振动信号＼[4-5＼]，小波变换具有优越的时频局部化分析和细化能力，改变了传统傅里叶变换不能在时域局部化的缺陷，可以迅速聚焦到信号任意频段细节，准确提取特征信号进行分析。
湖南大学学报（自然科学版）2015年
第10期王锴等：基于自适应层数分解的小波变换滤除冲击信号
利用长时间进行低频局部化处理，短时间进行高频局部化处理，这种自适应窗口分析的能力改进了短时傅里叶分析方法中时频分辨率固定的不足。根据时域卷积，频域相乘原理和自适应的多分辨率特征，小波变换已经成为研究非线性非平稳信号的重要工具＼[6-7＼]。
谭继勇等＼[8＼]针对冲击信号的检测问题，提出了一种冲击信号的自适应随机共振检测算法，该算法将加权鞘度指标与变尺度随机共振相结合，可以有效对微弱冲击信号进行检测，对提取冲击信号特征的自适应算法有一定参考价值。滕军等＼[9＼]针对常见的噪声信号提出了一种基于中值滤波与小波阈值降噪相结合的分解层数自适应算法，通过确定各层阈值的取值方法，有效提取淹没在噪声中的信号。本文基于滤除冲击提取有效微弱信号实验为背景，针对小波在信噪分离，提取微弱信号和突变点信号优势＼[10＼]，结合冲击信号特征，合理选择小波基函数，提出了一种滤除冲击有效提取淹没信号的自适应层数分解的小波变换分析方法。
1小波分析滤除冲击信号原理
1。1小波变换定义
信号或函数f（t）∈L（R），与小波基进行卷积计算，可得连续小波变换＼[11＼]，其表达式为：
WTfa，b=〈f（t），ψa，b（t）〉=
1a∫Rf（t）ψt-badt=
a2π∫Rf（ω）Ψ（ω）ejωtdt。（1）
式中：a为尺度因子（a>0）；b为时移因子，可正可负；WTf（a，b）为小波变换系数；Ψ a，b（t）为小波母函数；f（ω），Ψ（ω）分别为f（t），Ψ（t）的傅立叶变换。母函数在t=b处通过尺度a变换可得Ψt-τ/a，其变换原理如图1所示。镜头相当于Ψ（t）起的作用。a相当于镜头向f（t）推近或远离，推近时为高频分析，远离时为低频分析。b相当于镜头相对f（t）平行移动。结合这2个参数的调整，就可以在不同的频率尺度上进行不同的时间分析。
图1小波变换作用原理
Fig。1Wavelet transform theory
利用尺度因子a和时移因子b，对连续小波函数Ψ a， b（t）进行离散化处理，可得离散小波函数，并推导出相应的离散小波变换表达式，再利用时移因子对时间轴归一化处理后，即得到相应的二进制离散小波变换。在具有时移不变和双尺度特性的函数空间里，由多分辨率分析可得低通平滑尺度函数Φ（t）和高通细节小波函数Ψ（t）的双尺度差分方程为：
Φ（t）=2∑k∈Zh0，kφ（2t-k）； （2）
Ψ（t）=2∑k∈Zh1，kφ（2t-k）。 （3）
式中：h0，k为尺度系数；h1，k为小波系数；h0，k，h1，k为共轭正交滤波器系数。先通过尺度函数Φ（t）的傅里叶变换得出H（ω），再通过无穷乘积定义Φ（ω），使Φ（t-k）具有标准正交条件，同时利用数学家Daubechies推导的滤波器数组，即可构造Daubechies紧支撑小波函数。根据振动信号特性，合理选择小波
基，使得与小波基函数相似的能量集中在高幅值的时间尺度上，与小波基函数不相似的能量发散到零幅值的时间尺度平面上，实现小波变换分析。
1。2小波分解层数自适应性确定
经过限幅处理的原始信号，可以看成微弱振动信息与冲击信号的叠加。在小波域中，随着小波分解层数的增多，分解细节系数的模极大值即微弱振动信号模极大值及稠密程度增大，冲击和噪声信号的模极大值幅值及稠密程度减小，且个数基本保持不变＼[9＼]。通过模极大值的幅值即可确定小波分解后信号所占比重，从而确定小波分解的自适应层数。
对原始信号进行m（一般m≤6）层分解，获取每层小波细节系数的模极大值序列W2，…，WN-1，如果|Wi|≥|Wi±1|，则i为信号f（t）该层分解的一个模极大值点。在对信号分解过程中，当满足最大模极大值条件式（4）时，则认为原始信号中以微弱振动信号为主，否则原始信号中冲击信号为主。
Wn≥Wn-1+k×σ。 （4）
式中：σ为随机干扰的小波变换系数模的标准差，由随机干扰信号的第2层小波分解的系数值确定，通过它判定局部极大值是否由随机干扰引起，k为优化参数（一般k=2），主要是调节检测微弱振动信号的能力值大小，其值越小，微弱信号被提取出来的能力越强，同时模极大值受随机干扰的影响越大。因此，k×σ项主要消除随机干扰导致的局部极大值的增加，避免微弱振动信号对应的局部极大值点淹没在随机干扰产生的局部极大值中。小波分解层数自适应步骤如图2所示。
1）对原始信号进行一层小波分解；
2）保留一层小波分解的尺度系数，对细节系数重构，得到新的信号，同时判断新信号的模极大值序列是否满足式（4）的模极大值条件，若满足则确定分解层数为1，结束自适应性层数分解，若不满足则对原始信号进一步分解。
3）重复步骤2），直至分解出的细节系数重构信号的模极大值满足式（4）。
4）若最后一次分解层数为m，则最终确定分解层数为m-1。
1。3小波分析滤除冲击信号流程
在掺杂了冲击的振动信号中，冲击信号的幅值一般远大于淹没在冲击信号中的微弱信号幅值，为了快速精准地获取滤除冲击后的微弱信号，先根据实际情况确定是否需要限定冲击信号幅度，并根据实际经验限定冲击信号幅度值，即确定滤波过程中的第1层分解的阈值。限幅后的信号通过自适应层数分解的小波分析后，可获得滤除冲击后的所需信号，其简单信号处理如图3所示。
图2小波分解层数自适应步骤
Fig。2The step of adaptive layer decomposition
of wavelet transform
图3滤除冲击信号流程图
Fig。3Filtering shock signal flow diagram
2小波滤除模拟冲击信号
2。1小波基函数选取
小波基函数Ψj，k（t）具有多样性，不同的小波函数Ψ（t）和相应的尺度函数Φ（t）可以构成不同的小波基，其作用相当于滤波器，采用不同的小波基函数，会产生不同的信号分析结果。
冲击信号具有非明显的高斯分布特性，为了获得较好的数字信号滤除效果，选取的小波基函数需满足有限的支撑长度，较好的频率分辨率。本文根据振动信号特征选取Daubechies小波对冲击信号进行小波分析，由滤波系数可得N分别为2，4，12，20时的尺度函数和小波函数，如图4和图5所示。
由图4和图5可以看出，随着滤波器长度增加，即N值的增加，小波高频系数减小，分解能量越来越集中，尺度函数和小波函数的光滑程度越来越高，频率特性越来越好，即小波重构信号的光滑程度和频率特性提高。但是滤波器长度增加，其支撑长度增加，导致边缘信息和奇异点定位不准确，同时小波变换的计算量增大。在实际应用中综合冲击信号特征以及时域分辨率等要求，在滤除冲击信号的分析中选取DB4小波对信号进行小波分析。DB4小波分解重构对应的滤波系数见表1。
图4几种DB小波尺度函数图
Fig。4Some DB scaling function
图5几种DB小波函数图
Fig。5 Some DB wavelet function
表1DB4小波滤波系数
Tab。1DB4 wavelet filter coefficients
k
分解低
通滤波系数
分解高
通滤波系数
重构低
通滤波系数
重构高
通滤波系数
0
-0。010 6
-0。230 4
0。230 4
-0。010 6
1
0。032 9
0。714 8
0。714 8
-0。032 9
2
0。030 8
-0。630 9
0。630 9
0。030 8
3
-0。187 0
-0。028 0
-0。028 0
0。187 0
4
-0。028 0
0。187 0
-0。187 0
-0。028 0
5
0。630 9
0。030 8
0。030 8
-0。630 9
6
0。714 8
-0。032 9
0。032 9
0。714 8
7
0。230 4
-0。010 6
-0。010 6
-0。230 4
2。2模拟冲击信号时域分析
2。2。1滤除理想冲击信号
选取的模拟信号为理想冲击信号和不同频率正弦信号的叠加f1（t），并在f1（t）信号中加入信号采集系统产生的白噪声n（t），且噪声信号的σ值为0。342 4，f1（t）的表达式为：
f1（t）=sin2πωt+sin4πωt+sin6πωt+
A+n（t）。（5）
式中：ω为角频率。理想冲击信号幅值趋于无穷即A→∞，模拟冲击信号经过经验限幅后其幅值为远小于A。图6（a）为限幅后的f1（t）信号，其中局部放大部分显示f1（t）信号加噪声后效果。f1（t）信号经过分解后，其1～6层的冲击和噪声信号的模极大值序列中的最大值分别为9。4，4。6，2。3，1。4，0。73，0。63。其中第4与第5层的模极大值差值为0。67，小于k×σ值0。684 8。因此自适应分解的层数确定为5层。图6（b）为经过小波分析处理得到不同频率正弦的叠加信号。
由图6可以看出，采用本文的自适应小波分析方法可以有效滤除模拟信号中的冲击信号，得到所需微弱振动信息。
图6分析模拟理想冲击信号
Fig。6Analyze analog ideal shock signal
2。2。2滤除非理想冲击信号
选取模拟冲击信号x（t）=sintt，微弱振动信号为不同频率的正弦叠加信号。记非理想冲击信号为 f2（t），并在f2（t）信号中加入信号采集系统产生的白噪声n（t），且噪声信号的σ值为0。342 4，f2（t）的表达式为：
f2（t）=sin2πωt+sin4πωt+sin6πωt+Ax（t）+n（t）。 （6）
式中：ω为角频率；A为振幅。图7（a）为f2（t）信号，其中局部放大部分显示f2（t）信号加噪声后效果。f2（t）信号经过分解后，其1-5层的冲击和噪声信号的模极大值序列中的最大值分别为20。0，7。5，6。6，6。1，5。6。其中第3与第4层的模极大值差值为0。5小于k×σ值0。684 8，因此自适应分解的层数确定为4层。图7（b）为经过小波滤除冲击信号后得到的微弱振动信号。
由图7可以看出，对于非理想振动信号，采用本文自适应小波分析方法可以有效滤除冲击，得到淹没在冲击信号中幅值较小且不同频率的正弦叠加信号。
图7分析模拟非理想冲击信号
Fig。7Analyze analog nonideal shock signal
3小波滤除实测冲击信号
3。1实验系统构成
本实验系统主要由硬件和软件2部分组成，其中硬件部分包括：压电式加速度传感器、高速信号采集卡、电荷放大器、振动信号导向管、力锤和金刚砂。软件部分包括信号采集和处理程序。由力锤和金刚砂产生的振动信号通过安装在振动信号导向管上的压电式加速度传感器送至电荷放大器，将电荷量转换成模拟电压量，然后通过多通道高速采集卡将模拟信号转换为数字信号传输给计算机，最后通过计算机采集与处理程序实现信号的处理与显示，完成对冲击信号的滤除。实验系统如图8所示。
实验系统选用的压电式加速度传感器为PCB357B03电荷型传感器，灵敏度为10 pc/g。采用的高速采集卡主要参数为12位分辨率，连续实时传输速率32 MB/s，传输接口为USB2。0高速屏蔽线。软件设置采样率为80 000 Hz，采样长度8 192个点，系统噪声信号的σ值为0。001 25。
图8实验系统
Fig。8Experimental system
3。2实验结果分析
实验信号由2部分组成，模拟油井生产出砂监测过程中对出砂信号的提取＼[12＼]。第1部分为力锤敲击振动信号导向管后产生的冲击信号，以模拟旋转机械、螺杆泵等对生产管道造成的冲击信号；第2部分为在导向管研磨金刚砂产生的微弱振动信号，以模拟砂砾冲击输油管壁产生的振动信号。
3。2。1对金刚砂振动信号分析
在导向管研磨金刚砂后产生微弱振动信号，压电式加速度传感器接收到受系统噪声干扰的微弱振动信号，信号通过放大采集后，经过信号采集小波分析处理程序后，得到所需振动信号，如图9所示。
图9金刚砂振动信号
Fig。9Emery vibration signal
图9（a）为实验系统采集的原始振动信号，振动信号经过分解后，其1～3层的冲击和噪声信号的模极大值序列中的最大值分别为0。006 2，0。005 6，0。005 2。其中第1与第2层的模极大值差值为0。000 6小于k×σ值0。002 5，因此，自适应分解的层数确定为2层。图9（b）为经过小波滤波处理后振动信号，横坐标为振动时间，纵坐标为振动加速度。通过时域波形对比，经过小波滤波后信号幅值基本不变，信号基本保持原有信号特征。
图10为对金刚砂振动信号进行频域分析的结果，通过对比发现频谱特征基本相符。因此利用本文自适应小波分析方法滤除冲击信号时不会对混杂在冲击信号中的重要振动信号造成畸变和干扰。
图10金刚砂振动信号FFT
Fig。10Emery vibration signal FFT
3。2。2对混有冲击信号的金刚砂振动信号分析
在导向管上研磨金刚砂的同时，使用力锤敲击导向管产生振动信号，经过数据采集处理后如图11所示。
图11混合振动信号
Fig。11Mixed vibration signal
图11（a）为本实验系统采集的原始振动信号时域波形。振动信号经过分解后，其1～6层的冲击和噪声信号的模极大值序列中的最大值分别为0。073 2，0。052 5，0。027 6，0。018 7，0。010 2，0。008 3。其中第5与第6层的模极大值差值为0。001 9小于k×σ值0。002 5，因此自适应分解的层数确定为6层。图11（b）为经过滤波处理后振动信号时域波形，横坐标为振动时间，纵坐标为振动加速度值。冲击信号加速度最高幅值可达1 m/s2，经过滤波处理后提取的微弱振动信号加速度幅值为0。005 m/s2，其幅值与图9（a）中只存在单一金刚砂振动信号加速度幅值一致。从时间角度分析冲击信号持续时间仅为0。024 s，而经过滤波分析后信号时间长度为一个完整采样周期时间0。01 s。即混杂在冲击信号中的微弱振动信号被提取出来，结果表明一个振动周期内都存在研磨金刚砂产生的振动信号，其中在0。036 s和0。096 s附近金刚砂振动信号幅值最高。
图12为混合信号频谱分析，从频域角度分析可知，原始混合信号频域范围大概在0～20 000 Hz，经过滤波处理后频域范围集中在12 000～18 000 Hz附近，由文献＼[13＼]可知此频段为金刚砂振动频段，因此淹没在冲击信号中的微弱金刚砂振动信号通过本文方法被成功提取出来。
图12混合信号频谱分析
Fig。12Mixed vibration signal FFT
4结论
本文采用自适应层数分解小波分析方法，针对微弱振动淹没在冲击信号中的问题，根据信号特征合理选择小波基，对模拟理想和非理想冲击信号进行自适应层数DB4小波分析，结果表明该方法可以有效滤除冲击信号并提取微弱振动信息。同时，对本实验系统采集的混合振动信号进行自适应DB4小波分析，成功滤除冲击信号。通过模拟计算和实验结果的时频分析可知，自适应小波滤除冲击信号算法正确、结果可靠，自适应层数分解小波分析方法可以滤除冲击提取微弱振动信号，解决工程实际问题。
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离散的小波变换 篇4
关键词：离散小波变换,故障诊断,非平稳信号
0 引言
机器运行过程中,由于某些零部件的磨损、缺损、裂纹、松动以及配合面或接触面的间隙和位置发生变化,零件在运行过程中发生局部的冲击和摩擦现象,这些冲击往往包含在振动信号中,从机器的振动信号中提取这些冲击成分成为判别机器零件故障的一个有力手段,也是机械故障诊断学的一个重要内容。
滚动轴承和齿轮箱故障诊断在机械诊断中是比较有代表性的,首先它们在工程中的应用非常普遍,许多机电设备和传动设备都含有这些部件,而且这些部件发生故障的频率较高。其次,它们信号中所含的故障特征通常比较微弱,常常被其他的信号所淹没,这些微弱信号的提取往往比较困难[1]。本文将用小波分析的方法对故障设备的冲击信号进行提取。
离散小波属于二进小波,连续小波比二进小波在故障诊断方面更有优势,但二进小波也有其自身的优点。首先,二进小波的算法简单,便于工程实现。其次,二进小波变换把频带严格区分开,信息没有冗余,许多设备的故障(如旋转机械等)在频域内表现为故障的特征频率和特征频率的倍频,只要选择合适的采样频率和分解层数,就可以将特征频率及其倍频被分解成到各个频段,对这些频带的时域信号的时域信号做FFT变换,可以通过查找是否存在这些特征频率及其倍频来判断是否有故障[2]。
1 离散小波变换
对连续小波的尺度因子a和平移因子b进行如下离散采样[3]:
则小波φab(t)变为,这样连续小波变换就变成了小波级数:
为了使小波变换具有可变的时间和频率分辨率,适应待分析信号的非平稳性,就需要改变a和b的值使小波具有“变焦距”的功能。在实际过程中,常采用的是二进制的动态采样网络,即取a0=2,b0=2,则每个网络对应的尺度为2j,平移因子为2jk。由此得到小波:
称为二进小波。
如果由{φj,k}线性张成在L2(R)空间是稠密的,且存在正常数A和B(0≤Α≤Β<∝),使对所有平方可和双边序列{Cj,k}成立,即{φj,k}是L2(R)中的一个Riesz基,那么在L2(R)存在唯一的Riesz基{φj,k}与之对偶,也就是:
如果φj,k满足以上性质,信号f(t)就可由φj,k及其对偶小波φj,k来重构,重构公式为:
在工程运用过程中,信号通常是一系列的采样值(离散时间信号),用f(n)(n∈Ζ)表示,这种情况下的母小波和对应的小波都应该是离散时间的,分别用φ(n)和φj,k(n)表示,定义离散小波为:
与定义小波级数的方法类似,离散小波变换定义为:
这种小波变换很适合于数值计算和工程实现。
2 离散小波提取非平稳冲击信号
小波分解是时频二维分解,它把信号在时域和频率两个坐标上展开,即信号经小波分解后表现的是某个确定频带上的时域信息。在分解信号时,使用小波包分解的效果要比正交小波分解的效果要好,因为正交小波分解每次只对低频信号进行了再分解,而对高频信号没有进行细分,小波包正好弥补了这一缺陷,对高频信号也进行了分解,提高了高频信号的频率分辨率。在提取冲击时,由于冲击本身在频域内表现为高频,所以需要用小波包对高频信号进行再分解才能提取出冲击。对信号进行小波包分解时涉及到究竟要对信号分几层的问题,下面以具体的实例说明。
对图1中的故障信号进行分析。对信号采样用db11进行小波包分解,分解树如图2所示。图中S表示原始信号,A表示低频,D表示高频,末尾的序号表示小波分解层数。则有如下分解关系:
分解后信号的波形图如图3,可以看出信号DAA3和DAD3都有周期性的冲击。那么究竟那个信号是故障产生的微冲击呢?对信号DAA3和DAD3继续分解,见图4。从第四层分解图中可以看出,信号DAAA4和DAAD4依然含有周期性的冲击,而信号DADA4和DADD4很杂乱,没有周期性,从而可以判定DAA3是故障产生的微冲击。为了进一步的验证,用DAA3进行重构,如图5所示,冲击非常明显,且与连续小波提取的冲击基本一致。为了找出微冲击出现的频率,对DAA3进行FFT变换,需要指出的DAA3是本身是高频信号,这里仅为了找出故障的特征频率(微冲击出现的频率),所以不需要恢复它本身的频率。从图5可以清楚的看出,故障的特征频率是78Hz,它的倍频156Hz、234Hz等也依次出现。
3 结论
本文利用离散小波变换方法提取非平稳冲击信号。并对具体的信号进行了分析,结果表明用离散小波变换提取故障产生的微冲击是可行的。在实际的应用中取得了良好的效果。
参考文献
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[2]王江萍.机械设备故障诊断技术及应用[M].西安:西北工业大学出版社,2001.
离散的小波变换 篇5
随着数字媒体(数字图像、数字音频、数字视频)的广泛应用,媒体信息的数字化和网络化特征为版权保护带来了困难,数字水印技术可以解决这个问题。数字水印技术是在原始数字媒体中嵌入一定的数字信息,如作者的数字签名、日期、公司的商标等,以证明作者的版权,并可作为解决版权冲突、起诉非法侵权的证据,从而有效地保护作者的合法利益。对于隐式水印来说,不可见性和鲁棒性是数字水印技术的两个最重要的特性。水印的不可见性和鲁棒性要求是一对矛盾。如何解决这一对矛盾是数字水印技术的关键问题之一。
最初,水印是嵌入在图像或视频的空间域,典型的例子有最不显著位(LSB)方法,另外也可以根据图像统计特性嵌入水印。1995年,Cox等提出了“扩展频谱”的数字水印技术[1],将水印信息隐藏在图像的离散余弦变换(DCT)变换域中,以Cox等人的工作为起点,DCT变换域数字水印逐渐成为研究的主流。随着研究的深入,数字水印逐渐扩展到小波变换域,如基于小波树的水印技术[2]等。另外,最早Langelaar G C等提出了一种经典的差分能量水印技术[3],该方法有选择性地抛弃某些高频DCT系数来建立局部能量差,检测时根据该能量差来判断水印信息为1或0,称为差分能量水印DEW(differential energy watermarking)。而后,Langelaar G C等对该方法进行了改进[4],在计算截断下标c时,引入了一个量化因子Qjpeg。DEW的性能依赖于3个参数:块数n,量化因子Qjpeg,截断下标cmin,具有很好的抗压缩鲁棒性。自此以后出现了许多改进的版本。Sun T等提出基于沃森视觉模型的能量差分水印[5,6],自适应控制水印嵌入的视频流中子块低频AC系数密度。Zeng Q等提出宏块预测的能量差分[7],通过调整DCT系数产生宏块间的差分能量,以嵌入水印和提取水印。冯佳琦等基于有限状态机模型的非压缩域视频差分能量水印算法[8]。Das T K等提出能量差分水印的密码分析方法,在此基础上,通过水印嵌入低频域改进能量差分水印,提出可追踪的鲁棒的盲水印方法[9]。上述方法都是基于DCT域而实现的差分能量方法,基于离散小波变换(DWT)水印技术是发展趋势,因此,本文在前工作基础上[10],将差分能量水印方法扩展到图像的DWT域,提出了一个构造DWT块的方法,并在DWT块上实现改进的差分能量水印。实验结果表明该方法是有效的。
1 DWT块的构造方法
差分能量水印方法应用到图像的DWT域,首先考虑的是要构造8×8大小的DWT块。本节主要提出如何模仿了四叉树结构的形式,构成DWT块的方法。详细的DWT块构造方法如下:
设图像大小为N×N,N为2k,首先将图像进行3层的小波变换,然后仿照四叉树结构的形式对小波系数作如图1的标记,构成DWT块。每一个DWT块正好包含了64个系数记为f(i),i∈{0,1,…,63},其中f(0)为基频子带LL2的一个系数,f(1)～f(3)为LH2,HL2,HH2的系数,f(4)～f(15)为LH1,HL1,HH1的系数,f(16)～f(63)为LH0,HL0,HH0的系数,具体的构造算法见算法1。这样构成的DWT块与8×8DCT块按“之”形选择的系数非常相似:对f(i)(i∈{0,1,…,63})系数,i较小时为低频系数,较大时是高频系数,i为0时是基频系数,对图像质量很重要,在嵌入水印时不能修改其值。这样就可以把差分能量水印技术应用到小波变换域。
2 对差分能量水印技术的改进及算法
文献[4]把差分能量水印引入了在DCT域上,该差分能量水印方法在水印嵌入时建立局部能量差,检测时根据该局部能量差来判断水印信息为0或1。一般情况下,图像都要进行JPEG压缩,这种JPEG压缩就是对DCT块系数进行量化,量化后的系数大部分为0,从而达到压缩图像数据的目的。这种量化会使得水印嵌入时建立的局部能量差消失,从而使得在检测水印时,不能根据该能量差正确判断水印信息,增加了检测水印的比特误差率。改进差分能量水印的目的是使得在经过JPEG量化,水印嵌入时建立的局部能量差不会消失,从而保证好的检测效果。
由第1节方法构成的DWT块,每块共有64个系数,除第一个系数外,每一个系数要进行量化和反量化。这些块要分成不同的区,记为lc-region,每区包含n块。对于一个特定的lc-region,要把它分成A,B两个子区,分别记为lc-subregion A,lc-subregion B,且每个子区A或B包含n/2块。
下面来计算每一个子区的频率能量EA,EB。某个子区的第b块的64个DWT系数集合的子集记为S(c),在这个子集上计算能量。子集S(c)由截断下标(cutoff index) c来确定,表示如下:
EA,EB,的计算如下:
这里θi,b表示lc-subregion A或B的第b块内第i个DWT系数。表示在计算EA或EB之前DWT系数经过量化和反量化后的值,量化因子为Qjpeg。这量化过程仅用来计算截断下标c,而不用于要嵌入水印的实际图像。当参数c,n,Qjpeg已知的情况下,EA(c,n,Qjpeg)就代表了EA。能量差D可以表示成如下:
水印信息表示为Lj∈{0,1},j=0,1,…,l-1,对于第j个lc-region,假如Lj=0,则所有lc-subregion B区截断下标c后面的DWT系数设置为0,则EB=0,因此:
假如Lj=1,则所有lc-subregion A区截断下标c后面的DWT系数设置为0,则EA=0,因此:
这样每一个Lj与包含n个8×8的DWT块的lc-region一一对应。根据Lj为1或0来抛弃lc-subregion A或B的高频系数来产生能量差。产生能量差后,D值直接影响加水印图像的视觉质量,D值越大,c越小,有更多的DWT高频系数被抛弃,图像的视觉质量下降,因此截断下标c必须要大于或等于某个最小的截断下标cmin。提出的基于DWT的嵌入算法如算法2。
算法2
Step1对原始图像进行3层小波分解,由算法1构造的DWT块,用一个随机种子S和一个伪随机产生器随机置乱图像的DWT块并把这些块分成不同的区lc-region。
d.if(Lj=0)[if (c=cmin)选择lc-subregion A中c下标后面n个绝对值最大的系数做如下修改:假如这n个系数的绝对值小于Qjpeg时,则分别令其绝对值为Qjpeg*λ,符号保持不变,λ为大于1的系数,可取1.2,以下相同;
抛弃lc-subregion B中c下标后面所有的系数,即令其值为0。]
e.if(Lj=1)[if (c=cmin)选择lc-subregion B中c下标后面n个绝对值最大的系数做如下修改:假如这n个系数的绝对值小于Qjpeg时,则分别令其绝对值为Qjpeg*λ,符号保持不变;
抛弃lc-subregion A中c下标后面所有的系数,即令其值为0。]
Step3重新把DWT块的系数放回原来所在的位置再进行3层小波反变换,得到加水印的图像。
在这里伪随机产生器的种子S和水印信息L为秘密参数,Dreq可以等于D。为了从第j个lc-region中提取Lj,必须找到在嵌入时使用的信息c下标值,为此先计算lc-subregion A中每块的下标cctr所有可能值的EA(cctr),使得EA<D’(D’可以为嵌入时使用的D)。在所有满足上述条件的cctr中选择一个最小下标作为lc-subregion A的截断下标ca,同样的方法计算lc-subregion B的截断下标cb。实际上c=max(ca,cb)。假如ca<cb,则Lj为1;否则假如ca>cb,则Lj为0。假如ca=cb,则比较EA(ca),EB(cb)的大小,假如EA(ca)<EB(cb),则Lj为1,否则Lj为0。基于DWT的提取水印算法如算法3。
算法3
Step1对原始图像进行3层小波分解,由算法1构造的DWT块,用嵌入水印时使用的随机种子S和相应的伪随机产生器随机置乱图像的DWT块并把这些块分成不同的区lc-region。
关于算法2的说明:本文主要对DEW的嵌入算法的Step2.d,Step2.e进行了改进。改进后的部分见算法2的Step2.d,Step2.e。也就是,当Lj=0时,假如c=cmin,则修改lc-subregion A中c下标后面的某些系数,使得至少在进行检测时能找到一个大于c的cctr,满足EA(cctr)>D'。当Li=1时,假如c=cmin,则修改lc-subregion B中c下标后面的某些系数,使得至少在进行检测时能找到一个大于c的cctr,满足EB (cctr)>D'。下面讨论如何修改c下标后面的某些系数。
对系数的修改,有两点要求:(1)要使得存在cctr,满足EA(cctr)>D';(2)要使得修改系数后的图像不会引起视觉质量下降。为了满足(1),修改的系数应该足够大,使得量化后的系数不会为0;为了满足(2),修改后的系数应该足够小,小到不会引起视觉质量的下降。最好的办法是使得修改后系数的绝对值正好为量化因子Qjpeg,这样在量化过程中不会量化为0。为了保证视觉质量,选取c下标后面绝对值大一些的系数进行修改。以Lj=0为例进行说明,为了保证EA(cctr)>D',要选择足够多的系数进行修改,假设有n个系数要进行修改,则满足存在一个cctr,使得EA (cctr)>D',EA(cctr)为这n系数的平方和,由上每一个系数绝对值修改为Qjpeg,则,所以,取EA(cctr)=D',则,实际中修改后系数的绝对值要稍微比Qjpeg大一些。算法2中修改量增设一大于1的系数λ。
3 实验结果及分析
实验中使用的编程工具为VC++6.0,操作系统为Windows XP,计算机为IntelR core TM 2 DUO CPU 2.2GHz,内存2.98GB。实验中采用经典图像lena、clock、man和woman进行了实验,如图2,大小为512×512。在提出的算法中,对于参数Qjpeg值的选择不能太大,因为图像进行小波变换后的细节图像的系数不会很大,所以要减小Qjpeg。图3为Qjpeg在[2,20]范围内对图像质量影响的实验结果,纵坐标表示图像峰值信噪比(PSNR),用来描述图像质量的好坏。PSNR越大,则图像质量越好。从图3可看出,随着Qjpeg的增大,嵌入水印后的图像质量将下降。在实验中,DWT和DEW使用相同的参数,即n=16,cmin=3,D=40,Qjpeg=15。本文方法(DWT)与文献方法(DEW)[9]分别在lena、clock、man和woman图像上的实验比较结果如图4(a)(b)(c)(d)所示。图4中横坐标表示加水印图像进行压缩攻击后的PSNR,PSNR越小,则图像受压缩攻击越大;纵坐标表示在各种攻击情况下检测水印的比特差错率,比特差错率越大,则说明检测到的水印错误信息越多。从图4可看出,无论加水印图像受攻击后的图像信噪比为何值,本文提出的基于DWT的方法检测水印的比特差错率都要比文献提供方法DEW低,因此,本文的方法要比文献的方法要好。其次,对于差分能量水印技术,嵌入的水印信息L是由一系列二进制的比特位Lj (j=0,…,l-1),每1比特位嵌入在连续的n块8×8DWT子块中。为了保证水印的鲁棒性,n一般取16或64[4],这就意味着单个比特位嵌入在一个图像区域。因此,总的可以嵌入比特位数为w·h/64/n,其中w,h分别为图像的宽和高(单位为像素个数),实验中取n=16,则可嵌入水印的比特数为64。由此可得出,嵌入水印比特位信息的多少与图像大小或分辨率有关,图像分辨率越高,则可嵌入的水印信息越多。另外,这种基于DWT的水印方法要比上述基于DCT的DEW方法的速度要快,这是因为前面提到的DWT速度(27 ms,图像大小为512×512)要比DCT速度(422ms,图像大小为512×512)要快,这就使得这种基于DWT的水印技术更适合应用于实时嵌入水印。
4 结语
本文提出了一种基于DWT的差分能量水印技术,提出了构造DWT块的方法,建立起来的DWT块与DCT块的性质非常相似,因而可以使用差分能量水印技术。然后分析了差分能量水印的缺陷,对其进行了改进并给出了基于DWT的差分能量水印的嵌入算法和检测算法。在实验中,分析了Qjpeg对嵌入水印的图像质量影响:随着Qjpeg的增大,嵌入水印后的图像质量下降。其次用实验比较了本文方法与文献方法的抗压缩攻击的鲁棒性。实验结果表明该方法是有效的。另外这种基于DWT的水印方法要比上述基于DCT的水印方法的速度要快,使得这种基于DWT的水印方法更适合实时水印嵌入。
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离散的小波变换 篇6
关键词：离散小波变换,DWT,数字水印算法
近年来,互联网的发展非常迅猛,由此带来的诸如文字、软件、视频、音频和图像等多媒体对象的数字盗版现象也是越来越严重。怎样在网络环境中做到版权保护和信息的安全手段,已经使现在的企业界、学术界以及相关机关部门的大面积关注。将数字化媒体中的数据进行隐藏已成为解决此类问题的一个主要手段,而数字水印技术就是它的核心技术。数字水印技术是将水印 (图像、数字、随机序列、ID等)遵循一种手段,嵌入到媒体数字中, 让他不损坏原图像的使用价值, 大家没有办法从表面上感觉到水印的存在, 只能用专门的检测仪器或计算机软件才能够检测出来隐蔽的数字水印, 用来证明产品的所有权, 并且把他用做鉴定、起诉非法的侵权证据。此文章介绍了关于离散小波变换的数字水印算法,该算法利用小波变换将原始图像分成多频段图像,水印的嵌入和检测可分为多个层次并且能够适应人眼的视觉特性。实验结果显示,基于离散小波的数字水印具有鲁棒性,无盲目性等优点。
1 离散小波变换原理
1.1 离散小波函数
设ψ(t)为一平方可积函数,即φ(t)∈L2(R),若其傅里叶变换Ψ(ω)满足条件
则称ψ(t)为基本小波或一个小波母函数,并且称式(1)为基本小波的可以允许的条件。
将基本小波ψ(t)进行伸展压缩和平行移动,设其伸缩因子(或称尺度因子)为a,平移因子为τ,令其平移伸缩后的函数为ψa,τ(t),则有:
称式(2)数τ,a的基本小波,称ψa,τ(t)为连续基本小波。
在实际的生活应用中,无论是视频的信号还是音频的信号,全部是通过采集样本后得到的一部分离散数据。因此将式(2)中的尺度因子a和平移因子τ离散化(取a=2j和τ=2jkTS),则式(2)可以表示为:
式(3)中,j,k∈Z。然后再将t轴用Ts归一化,式(3)就变为:
式(4)称为基本小波。
1.2 离散的小波变换
对于任何的函数f(t)的离散小波变换(Discrete Wavelet Transform,简称为DWT)为:
式(5)中WTf(j,k)称为离散小波变换系数。
1.3 离散小波变换的逆变换
若离散小波序列{ψj,k}j,k∈Z所构成的框架,其上下界若分别为A和B,那么如果A=B时,这个时候的框架就叫做紧框架,那么离散小波变换的逆变换(IDWT)的公式如式(6)所示。
当A=B=1时,离散小波序列{ψj,k}j,k∈Z则为一正交基,此时离散小波变换的逆变换公式如式(7)所示。
式(6)和式(7)是针对一维的信息离散小波变换以及重构,但是处理图像信号需要的是二维离散小波。所以必须要将一维离散小波转变进行更深拓展,那样才能得到二维离散小波变换和重构公式[1]。
2 水印的嵌入和提取
2.1 水印嵌入过程
理论上也就是当水印序列长度m接近无限长的时候,叠加在图像上的噪声与伪随机序列pi的相关输出应当接近于零,而实际上用的m序列不但不长,而且非常短,在这个实验中我们只用到63位、31位和15位三种,在图像中的噪声也是不全部与通信碰遇到的噪声一样,因此有可能产生错误的判断,这样就给水印的检测和恢复造成很多困难,很可能降低了水印的抗干扰能力[2]。
现在多数水印系统都在变换域中进行处理。采用小波分析, 算法的鲁棒性更强, 水印信息量相比也更大。假设待嵌入二值图像水印的原始图像大小为M×M,水印图像的大小为N×N,水印嵌入算法步骤如下:
(1) 读入水印图像,用Reshape命令提取水印矩阵。
(2) 对要嵌入水印的原始图像进行一级离散小波分解, 得到4个子图,分别为:低频子图、中频子图和高频子图, 即cA1, cD1, cH1, cV1, 如图1所示。
为在水印的鲁棒性和不可见性之间达到折衷,将水印嵌在两个中频子图cD1、cV1和cH1中[3]。
(3) 为了实现扩频技术,我们用Rand命令产生两个不相关的伪随机序列pn_senquence_h和pn_sequence_v。由于水印是一个二值图像,由数值0和1组成。在嵌入水印时,若水印位为0,分别在cV1和cH1部分嵌入水印,水印嵌入公式如式(8)、(9)所示:
其中k是嵌入强度,根据图像特征进行调节。
(4) 最后再进行离散小波逆变换,得到含水印图像,如图2所示。
2.2 水印的提取全部过程
水印提取的全部过程与嵌入过程恰恰相反,即:
(1) 先对含水印图像进行DWT一级变换。
(2) 利用在嵌入过程中产生的两个伪随机序列pn_sequence_h和pn_sequence_v与cH1和cV1部分的系数作相关,若相关系数大于平均值,则判别水印位为0,否则为1[4]。
(3) 最后利用Reshape命令将水印写成矩阵形式,得到提取的水印图像,如图3所示。
2.3 检测水印
接下来对算法产生的含水印图像进行了一个检测实验。实验结果见图4。横坐标是1 000个服从同样分布的随机水印,其中只有第500个水印与在图3中的水印相对应,表明水印检测的唯一性。
水印的攻击实验是检验水印鲁棒性的有力手段。实验表明算法产生的含水印图像的鲁棒性较好,在遭受噪声干扰、滤波、剪切等常规攻击手段后可以提取水印。
图5 为常规攻击后的图像[5]。
2.4 实验结果分析
DWT变换域的水印算法其实就是运用小波变换将原来的图像分割成很多频段图像,变换后的图像能够适应人眼的视觉特性并且使得水印的嵌入和检测可分为多个层次进行,小波变换域数字水印方法兼具时空域方法和DCT变换域方法的优点。为了在水印的不可察觉性和鲁棒性之间达到良好的折衷,选择中频子图来嵌入水印。文本实现了一种小波变换域的数字水印扩频嵌入算法,仿真结果表明该算法具有较好的鲁棒性,能够抵抗常规的图像压缩和噪声等攻击。
3 结论
伴随着通信技术以及网络技术的飞块发展和普遍应用,数字多媒体信息的传播、复制与存储变得极其便捷,电子产品的知识产权的保护成为迫切需解决的问题。数字水印技术是一种新的而且有效的产权保护方法,应用的前景和使用的价值是非常宽广的。
这个文章对数字水印基础理论进行了概述,分析了基于DWT的水印方案,从这个方案中将水印信号运用了伪随机序列进行实验,变化成比信息带宽大得多的带宽信号,大大提升了数字水印的鲁棒性。并且检测了图像在可能遭受的各种攻击下,如常见信号处理JPEG压缩、噪声干扰、滤波等及其图像处理比如旋转、直方图调整、图像剪切等情况下图像的抵抗能力。
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离散的小波变换 篇7
数字水印是近年来在信息安全领域兴起的保护知识产权的新方法。它通过在原始数据中嵌入一些重要信息为受到版权保护的媒体数据的完整性和所有权归属提供完全和可靠的证据, 以此达到防止数字产品的盗版和篡改目的。
2 数字水印嵌入与提取的模型
嵌入水印信号可以视为在强背景 (原始图像) 下又叠加一个弱信号 (水印) , 只要叠加的水印信号强度低于HVS (Human Vision System) 的对比度门限, HVS就无法觉察到信号的存在。而对比度门限则受视觉系统的空间、时间和频率特性的影响。因此, 通过对原始图像作一定的调整, 有可能在不改变视觉效果的情况下嵌入一些信息。
设载体图像为I, 待嵌入的水印信息为W, 实际嵌入的水印信号为W′, 密钥为K, 水印提取和检测函数D, 水印嵌入函数为F。这一框架大致分为如下三步:
步骤1:水印信号的生成:根据不同的需要, 有时要对水印信息进行必要的预处理, 如编码、压缩、加密等, 最终形成水印信号。这一过程可以表示为函数G:W′=G (w, k) 。
步骤2:水印信号的嵌入:采用一定的算法将水印信息加入到图像的空间域或者变换域中, 最终生成水印图像;Iw=F (I, W′, K) , 算法应使对原始图像所作的改动最小, 同时又要保证尽可能强的鲁棒性。这一步是整个过程中最重要的。
步骤3:水印的提取和检测:水印的提取是指从水印图像中完全恢复出水印信息的过程;水印的检测是判断图像中特定水印信号的存在性的过程。水印的提取和检测可以表示为:W=D (I, K) 或者P=D (I, W′, K) , 其中0/1, 0表示水印不存在, 1表示存在。
实际应用的水印技术整体设计方案可以用图1和图2来概括描述。
图1为水印信号的嵌入模型, 输入信号为水印信息, 原始信息, 密钥用来增强算法的安全性, 为了保证水印的安全性, 防止他人在获知水印算法的情况下来篡改水印或伪造水印, 在实际应用的系统中至少使用一个密钥, 有的甚至是几个密钥结合来对水印信息加密或控制水印的嵌入位置。
图2为水印信息的提取模型, 待检测的含水印信息可能是受过有意或无意攻击的, 在进行水印信息的恢复时, 可以根据所采用嵌入的具体方法不同, 应用或不应用原始信息或水印信息来对嵌入的水印信息进行恢复。其中恢复的数据可与原始的水印信号进行相似度或可信度来测量, 以此来判定水印信息的存在与否。
3 基于DWT的数字水印的嵌入与提取算法
3.1 离散小波变换理论
小波变换理论应用于图像处理中, 用小波变换的多分辨率的分析功能来分析图像时, 工程上有一种简化的方法, 即直接将原始二维函数的离散矩阵看作为初始矩阵, 从而使二维离散图像在二维正交小波基下进行分解与重构。若输入矩阵的大小为N×N, 四个输出矩阵的维数均为undefined, 因此总的输出矩阵仍为N×N。如果将一次小波分解输出的概貌部分继续进行小波分解, 我们可得到原始图像在不同尺度上的细节和概貌, 这就是多尺度或者说是多分辨率分析的概念。
由以上分析可知, 图像经过一级小波变换以后, 可将原始图像分解成四个子图, 分别是水平方向、垂直方向、对角线方向的中高细节子图和两个方向的低频逼近子图。
由图3中可以看出, 其分解关系可表示为:其中LL1的低频子图部分集中了图像的大部分的能量, 高分辨率子带图像上的数值都比较小, 接近于零。由于小波变换能够得到不同层次、不同方向上的细节子图, 所以可以满足各种不同细节质量的要求。如果将一幅图像按由低频到高频逐层展开的方式显示, 那么就会先显示图像的轮廓, 然后逐步显示图像的细节部分, 这种逐渐清晰的显示方式符合人类视觉系统的感知特性。在人眼视觉系统模型 (HVS) 中, 人眼对低频信号较高敏感度, 而对中、高频信号的反应则较为迟钝, 并且衰减得很快。人眼视觉系统的这种特性与小波的分解特性相符合。因此结合这一特性, 在小波域中嵌入水印信息, 能够获得较好的稳健性和隐蔽性。
3.2 水印的嵌入位置
在小波域, 为了使数字水印具有较好的鲁棒性, 用于嵌入水印的小波系数就应该满足以下两个条件:第一小波系数不应该过多的被信号处理和噪声干扰所改变;第二具有较大的感觉容量, 以便嵌入一定强度的水印后不会引起原始图像视觉质量的明显改变。
综合考虑上述嵌入位置的探讨以及小波分解系数的特点, 将水印的嵌入位置选择为原始图像经过小波二级分解后的中频细节子带中。如图4所示阴影部分。
3.3 水印的嵌入
水印按如下方法嵌入:
C′=C (1+αW)
该公式利用了人眼视觉掩蔽特性, 使水印嵌入量与小波系数的幅值成比例。其中C是原始图像的小波系数。a是嵌入水印的强度因子, 其取值应权衡不可见性和鲁棒性要求, a越大, 水印虽越强壮, 但是嵌入水印的图像质量就会降低;反之, 取值小, 图像质量虽提高了, 但同时会削弱水印的鲁棒性。本文经过反复实验, 决定a的取值为1.5。W是被嵌入的水印。C′是嵌入水印后的小波系数。
水印的嵌入算法如下:
第一步:分别输入原始图像X和水印图像W;
第二步:将二值水印图像按下式进行变换:
if w (i, j) =1, w′ (i, j) =1;
if w′ (i, j) =0, w′ (i, j) =-1;
再将水印图像系数转换为一维矩阵。
第三步:对原始图像采用Haar小波变换, 对其进行二级小波分解, 得到低频分量小波系数LL2、水平分量小波系数LHn、垂直分量小波系数HLn, 和对角分量小波系数HHn。对二级的水平分量及垂直分量进行一维矩阵转换。
第四步:参照对嵌入位置的分析, 用水印图像按下式修改原始图像的小波系数:
If w (i, j) ==0
C′=C (1+αw′) 第五步:按照新的小波系数进行小波逆变换, 重构得到含水印的图像。
3.4 水印的提取
水印提取时, 对嵌入水印宿主图像和原始图像进行小波多分辨率分解, 然后根据水印嵌入公式的逆过程, 即w′= (C′-C) / (αC) 计算出水印序列。采用如下公式检测水印存在与否:
当提取出的水印w′与原水印w的相关值大于某一门限时, 检测到水印的存在。
水印的提取算法如下:
第一步:对含水印图像和原始图像进行二级小波分解, 分别得到不同分辨率的小波系数。
第二步:读入原水印图像, 根据原水印信息参照下式提取出嵌入的水印系数:
w′= (C′-C) / (αC)
其中, w′是提取出的水印系数, w为含水印的小波系数, C为原始图像的小波系数。
第三步:对计算出来的水印系数进行重组, 得到最终的提取水印图像。
4 实验结果及分析
4.1 水印的基本仿真
本算法用MTALAB7.0实现, 实验采用的原始图像为512 512的灰度lena图像, 水印图像为119 32的二值图像。同时采用峰值信噪比 (PSNR) 来评价原始图像和加水印图像之间的差别, 如图5所示。
按本算法嵌入水印后的图像, 其峰值信噪比为 41.241dB。从视觉上可以看出本文给出的水印嵌入算法具有很好的不可见性。
4.2 水印的攻击检测分析
图像在传输过程中, 常常由于受到某种干扰而含有各种噪声。下面是三种处理原始水印图像的方式 (椒盐噪声攻击、高斯噪声攻击以及JPEG有损压缩) 对其影响的分析。如图6所示。
(1) 椒盐噪声攻击。
对嵌入水印图像添加密度为0.02的椒盐噪声然后检测观察其鲁棒性。
加入一定的椒盐噪声后, 宿主图像的峰值信噪比为16.949 dB, 从椒盐噪声干扰后恢复的水印可以看出, 算法对椒盐噪声干扰具有较好的鲁棒性。
(2) 高斯噪声攻击。
对嵌入水印图像添加10%的高斯噪声干扰, 然后检测观察其鲁棒性。
入高斯噪声后宿主图像的峰值信噪比为14.368 dB, 从恢复的水印可以看出, 算法对高斯噪声干扰的鲁棒性相对于椒盐噪声干扰略差, 但视觉上我们还是可以识别出水印图像。
(3) JPEG压缩。
JPEG压缩是嵌入水印的图像最易经受的图像处理。由于有损压缩引起图像的降质, 水印的检测将受到一定的影响。我们对嵌入水印图像进行JPEG有损压缩, 然后进行水印提取。
图6中的JPEG压缩为JPEG压缩后的嵌入的水印图像, 宿主图像峰值信噪比为32.444 dB, 从该图像中恢复出来的水印可以看出与没有添加攻击时差别不大, 在视觉上我们可以明显地识别出水印图像。
4.3 结果分析
实验结果表明, 该算法在满足不可见性的同时, 对常见的图像处理和噪声干扰表现出较强的鲁棒性。
5 结语
从水印嵌入到含有水印的图像被攻击, 最后提取检测出水印, 本文实现了一个完整的数字水印算法。本算法是通过特定的攻击手段来评估小波系数的稳定性的, 因此也缺乏一般性和普遍性, 这是需数要进一步改进的地方。选择合适的小波系数嵌入水印对水印系统的性能是非常重要的, 所以有待于在实际操作中找出更加合适嵌入水印的小波系数。
摘要：数字水印技术作为数字产权保护技术的重要手段得到了广泛的研究和应用。给出了一种离散小波变换域实现图像水印的算法, 并在Matlab7.0环境下实现了该算法。实验结果证明, 该算法在保证水印的不可见性的同时对常见的水印攻击都具有较强的鲁棒性。
关键词：数字水印,Matlab,DWT,小波变换
参考文献
[1]王炳锡, 陈琦, 邓峰森.数字水印技术[M].西安:西电出版社, 2003.
离散的小波变换 篇8
小波理论作为一种信号处理技术,因其在时间域和频率域都可达到很高的分辨率,被称为“数学显微镜”[1]。数十年来,该理论已经在多数领域取得了突出成就,如医学信号处理、电网电能质量信号处理、图像信号压缩重构去噪、生物医学、机械振动、化工、湍流分析、电磁场信号处理、故障的诊断和预报、地震勘探数据处理以及计算机视觉中的数字图像融合等等[2,3,4,5,6,7,8]。
预测和应对煤矿突发事故的首要工作是对煤矿干扰事件的检测,只有在煤矿生产系统中精确检测到干扰或某些突变数据,才能具备预防事故发生的基础。相似地,在数字信号分析中,当发生故障或特殊情况时,被监控信号会发生突变,如果能较精确地检测到这些突变信号,就可以对故障及特殊情况进行分析、判断和控制[13]。同时,小波变换可在信号突变处模达到极大值,如果将煤矿生产系统中的某一种或几种监控数据当做数字信号进行小波变换,那么不需要很多先验知识,就可以突出局部特征,检测干扰事件,在事故发生时作出快速反应,为煤矿应急管理的前期预测提供一种新思路和方法。
1干扰事件
在煤矿生产系统中,如果取一种或几种监控数据作为信号,那么信号特征的奇异点或突变点处极有可能发生事故。将煤矿突发事故模拟为数字信号中为外部扰动,即系统的干扰事件。
如果稳态系统方程(系统装置方程)为:undefined
其中,x为状态变量xi组成的向量,u为输入变量ui组成的向量。
那么扰动系统方程为:
undefined
其中,w是外部扰动参数,三式分别为系统的装置方程、外扰模型、输出误差方程。
常见的煤矿突发事故有透水事故、火灾、煤尘引发的事故、瓦斯爆炸或煤与瓦斯突出、顶板垮落、运输事故、机电事故、放炮引发的事故[9]等等,这些都是正常生产的干扰事件。
2离散小波变换
目前,基于小波变换的扰动检测与定位所采用的小波及相应算法太体上可分为两大类[10]:一是连续小波变换,尽管其具有检测精度高、抗噪性能好的优点,但由于计算量太大,限制了它在实际中的应用;二是离散小波变换,实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算连续小波变换值,加之实际的观测信号都是离散的,所以该方法已成为信号瞬态突变检测普遍采用的方法,具有实现简单、计算效率高等优点。
对任一信号,离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分(近似部分)和离散部分(细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算,不过这时尺度因子已经改变,依次进行到所需要的尺度。
若信号f(t)的连续小波变换为
CWTa,b=∫Rf(t)ψa,bdt (3)
其中,ψ(t)∈L1(R)∩L2(R),并且满足undefined,即∫Rψ(t)dt=0,则ψ(t)称为一个基本小波或母小波。
另外,若undefined,则称ψ(t)为一个允许小波,该条件与undefined近似等价。满足上述条件,即可对函数进行小波变换尺度因子a和平移参数b进行如下的离散采样:
尺度离散化a=aundefineda0>0,m∈Z (4)
位移离散化b=nb0aundefinedb∈R,n∈Z (5)
则小波ψa,b(t)变为
ψm,n(t)=aundefined(a-mt-nb0) (6)
将离散小波变换定义为
DWTa,b=∫Rf(t)ψm,n(t)dt (7)
写成内积形式为
undefined
3干扰事件的检测
由于小波变换可在信号突变处模达到极大值,具有检测局部突变的能力,那么可将对干扰事件的检测转化为对模极大值的检测,这里采用多尺度边缘检测法[11],可以结合多尺度信息来进行检测,由于边缘是信号变化率最大之处(转折点),因此可以采用光滑函数的一阶导数作为小波函数,多尺度边缘检测就是在不同尺度上用低通的光滑函数先对信号进行光滑,再由光滑后的一阶和二阶导数检测出信号的突变点,其一阶导数的极值点对应于二阶导数的零交叉点和平滑信号的拐点。
设实函数θ(x)满足
undefined
则称θ(x)为光滑函数。
设θ(x)二阶可导,定义其一阶和二阶导数为ψ(1)(x)和ψ(2)(x),那么有∫∞-∞ψ(1)(x)dx=0和∫∞-∞ψ(1)(x)dx=0 ,该式表明ψ(1)ψ(2)就是小波。引入记号
undefined
f(x)关于小波ψ(1)ψ(2)在尺度s和位置x上的规范小波变换定义为
W(1)sf(x)=f×ψundefined,W(2)sf(x)=f×ψundefined (11)
而通常的积分小波变换定义为
undefined
其中undefined
由定义式(11)可以得到
由上式可知,f(x)关于ψ(1)与ψ(2)的规范小波变换,变成了光滑函数θs(x)的卷积关于s的一阶、二阶导数分别与s、s2的乘积。这样,W(1)sf(x)的局部极值就与W(2)sf(x)的零交叉点和f×θs(x)的拐点相对应。
4离散小波变换检测对于煤矿生产系统可行性分析
以一次煤与瓦斯突出干扰事件为例,将A矿南2采区掘进工作面2011年4月17日至20日每5分钟记录一次得到的1440个瓦斯浓度监控数据储存在p点集中,将p中数据均减去平均值0.46后存入q点集中,t为记录点1-1440。在MATLAB的非线性拟合工具箱cftool中打开后,用Gauss逼近函数Gaussian8进行拟合得到图1中实线所示的拟合曲线。
具体参数如下:
General model Gauss8:
ψ(t) = a1×exp(-((t-b1)/c1)^2) +
a2×exp(-((t-b2)/c2)^2) +
a3×exp(-((t-b3)/c3)^2) +
a4×exp(-((t-b4)/c4)^2) +
a5×exp(-((t-b5)/c5)^2) +
a6×exp(-((t-b6)/c6)^2) +
a7×exp(-((t-b7)/c7)^2) +
a8×exp(-((t-b8)/c8)^2)
其中系数及其95%的置信空间如表1所示。
Goodness of fit:
SSE: 0.9897
R-square: 0.6913
Adjusted R-square: 0.6863
RMSE: 0.02644
对此高斯函数ψ(t)容易验证ψ(t)∈L1(R)∩L2(R),且undefined,即∫Rψ(t)dt=0,那么对该瓦斯浓度监控数据进行小波变换是可行的。
5瓦斯浓度监控数据的离散小波变换
将前述瓦斯浓度监控数据转换成*.mat信号格式,在MATLAB的小波工具箱wavelet中打开,得到图2。
选择小波类型为db2,分解尺度为2,分析结果如图3所示。
由极大值边缘检测法可找到A、B、C、D四个模极大值点(即突变点)(在图2中用▲标出),经过时间换算,分别是4月16日9点10分(0.53%)、4月17日17点15分(0.57%)、4月19日19点30分(0.75%)、4月20日15点05分(0.76%)。
同时,由近似部分a2和细节部分d1、d2可以看出,4月17日—19日期间瓦斯浓度在0.5%左右波动,4月19日起开始在0.5%—0.6%水平上密集波动,4月20日15点开始瓦斯浓度达到0.75%—0.76%,此时煤与瓦斯突出。如果根据小波分析图观察到4月17日到4月19日多次瓦斯浓度瞬态突变情况,并采取有效的防突措施,4月20日的煤与瓦斯突出是可以避免的。
6应对煤矿干扰事件的相关措施
6.1计算机软件实现实时检测与控制
根据上述思路设计一套计算机系统,主要包括煤矿干扰事件的检测和控制两大模块,可以在搜集监测数据的同时,快速通过小波变换检测到瞬态突变现象,根据突变量大小实施相应的应急响应措施,最终使得生产系统恢复稳定状态,如此不断循环即可实现对煤矿干扰事件实时检测和控制。具体思路如图4所示。
6.2在现场生产中采取相应的技术组织措施
当监控系统中监测出煤矿瓦斯瞬态突变点时,需立即采取以下措施防突[12]。
(1)加强矿井通风
合理、可靠的矿井通风系统可保证井下各工作地点有足够的风量和适当的风速,以冲淡和排除瓦斯、粉尘及其他有害气体,使瓦斯浓度降至安全界限内,并符合《煤矿安全规程》的有关规定。因此,加强矿井通风,建立完善的矿井通风系统是防止瓦斯突出最基本和最有效的技术措施。
(2)瓦斯抽放
当煤层瓦斯含量很高时,仅采用通风方法冲淡和排除瓦斯,不仅经济上不合理,而且技术上也很困难。可以采用专用设施(钻孔或专门巷道、管路、瓦斯泵等)抽出煤层及采空区的瓦斯,在保证矿井安全生产的同时,将瓦斯充分用于燃料或化工原料。
(3)煤层注水
从煤的孔隙注水,改变煤的力学性能,减小瓦斯压力梯度和地应力,降低了瓦斯释放速度,加大瓦斯流动阻力,减小了煤与瓦斯突出时释放潜能的功率,从而起到了防突的作用。
7结论
(1)运用小波变换原理对干扰事件进行检测,方法简单、实用,计算效率高且可以达到较高的精度,该方法可以用来检测煤矿突发事故。
(2)在煤矿系统中,其他参数如温度、矿井水位、粉尘浓度、氧气浓度等等,均可以根据监测数据的小波变换图观察细节中的瞬态突变现象,以对各种干扰事件进行检测和预防。
(3)在实际应用中,可据此设计建立一套瓦斯浓度监控计算机系统,实时监测煤矿系统中的各个参数并适时做出防突措施,最大限度地防止煤矿事故的发生。
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离散的小波变换 篇9
1 CCSDS图像压缩标准中的小波变换
CCSDS图像压缩算法主要包括两个功能模块:前一部分是对遥感图像数据进行离散小波变换,去除图像数据之间的冗余;后一部分是对去相关后的图像数据进行位平面压缩编码,如图1所示。
CCSDS标准推荐使用9/7离散小波滤波器对图像数据进行变换,即滤波器的低通系数为9个,滤波器的高通系数为7个。对于长度为2N待变换图像的原始数据Xk(k=0,1,2,…,2N-1),其整形小波变换公式如式(1)～式(6)所示。
其中,[]为对数据进行下取整操作;Cj为低通小波系数输出;Dj为高通小波系数输出。为了避免乘法器运算的繁琐,对公式进行了变形,采用加法器和移位操作实现公式的运算,提高了运算速度。
2 9/7二维离散小波变换的系统设计过程
本文在Xilinx公司提供的ISE7.1集成设计软件环境下,采用VHDL语言设计实现9/7二维离散小波变换系统,首先进行小波行变换,行变换后的数据按照行数输入内部RAM缓存,然后对行变换后的数据再进行列变换,最后将低频系数dLL1输入RAM缓存,其余高频系数dLH1,dHL1,dHH1输出到外挂RAM中缓存,系统设计流程,如图 2 所示。
2.1 行变换过程
首先,使用7个移位寄存器来实现对数据的读写传输,每到来一个时钟控制信号(clk),就往移位寄存器中读写一个数据,数据在移位寄存器中的传输过程,如图3所示。
当输入第5个数据时,就可以根据式(1)和式(5)分别计算出第一个高通系数值D0和第一个低通系数值C0,下一个时钟控制信号读入第6个数据时,不进行操作,当控制读入第7个数据时,根据式(2)和式(6)分别计算出第2个高通系数值Dj和第2个低通系数值Cj,小波行变换后的高通系数D和低通系数C采用地址传输的方式交叉存储到6个内部RAM当中,如图4所示。
图4 行变换后的高通值、低通值在RAM中的缓存方式
2.1 列变换过程
由于列变换是针对行变换后的数据进行的,即对上面6片RAM中存储的行变换后的数据进行列变换,为了提高运行速度,本文采用基于行的列变换方法,即当小波变换进行到第5行时,列变换也同时进行,第5行行变换结束时,也完成了针对第5行数据的列变换,当第6行进行小波变换时,不进行列变换操作,直到第7行小波行变化数据输入时,再同时进行列变换计算操作,依次完成小波列变换。
对于列小波变换后的低频数据dLL1,要输入RAM缓存以进行下一级变换,对于其他的高频数据(dLH1,dHL1,dHH1)可以直接输出到片外存储器中。
下面是设计的一级二维小波变换的集成模块,如图5所示。
3 仿真与综合
为了验证本文设计系统的性能,使用Modlesim6.3仿真软件对系统进行了仿真测试,下面是采用大小为1 024×1 024,图像数据为8位的测试图像进行测试仿真的部分波形图。
在Xilinx提供的ISE7.1仿真软件下搭建测试平台,对设计系统进行综合,结果如图9所示。
设计系统时钟频率可达到54 MHz,满足对图像数据的实时处理要求。
4 结束语
本文主要讨论了基于FPGA的快速9/7整形离散小波变换系统设计,该结构采用内部RAM的循环覆盖的存储方式,使对存储器的需求量减小,从而减小了硬件功耗,同时采用基于行的列变换方式,提高了的系统运行,可实现对遥感传输图像的快速实时处理。
摘要：CCSDS图像数据压缩标准中采用9/7整形离散小波变换为核心算法,该算法结构简单,易于硬件设计实现。文中基于FPGA设计实现了9/7整数离散小波变换系统,设计中使用内部RAM存储方式,减小了对存储器的需求量,同时采用基于行的列变换方式,行、列变换同时进行,提高了运行速度,仿真和综合结果显示该设计需要的硬件资源少,运行速度快。
关键词：CCSDS图像压缩,小波变换,FPGA
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