函数的增减性

函数的增减性（精选五篇）

函数的增减性 篇1

一、导入

如图1所示, 当人从A点到B点时, 是爬坡, 在这个过程中, 此人水平方向的前进距离x在逐渐增加, 同时他离开地面AC的高度y也在不断增加.

由图可知, 人在上坡时, 爬得越高, 他离开起点A的水平距离也越大, 即高度y随着水平距离x的增加而增加, 到达坡顶时, 高度y值达到最大.

不难知道, 当人越过B点向C点进发时, 开始下坡, 这时人离开地面AC的高度y随着水平距离x的增加而降低.

如果我们在图2中建立如图所示的直角坐标系, 则水平距离x、高度y刚好是此人爬坡时所在位置的纵横坐标, 可知上坡时y随x的增大而增大;下坡时, y随x的增大而减小.

由上可知, 若一个函数的图象形状呈上坡时, 图象上的点的纵坐标的变化规律是y随横坐标x的增大而增大;反之, 函数图象呈下坡时, y随x的增大而减小.

(附:由于实际爬坡时, 去时是上坡, 回来时则为下坡, 行进方向不同上下坡随之变化, 易混淆.为了避免混淆, 我们在直角坐标系里对“上、下坡”概念作统一规定:函数图象一律由“从左向右”这个方向来判定“上坡、下坡”.如图2中, 按从左向右的方向来判定, 则AB坡始终为上坡, BC坡始终为下坡)

二、应用

1.图3是函数y=-2x2+4x-1的函数图象, 由上法可知, 从左往右看, 在对称轴左侧图象呈上坡状, 右侧呈下坡状.那么, 对称轴左侧图象上的点应是y随x的增大而增大, 右侧图象 上的点应是y随x的增大而减小, 这刚好与二次函数的增减性质相吻合.

2.图4是函数y=x2-2x-1的图象, 可否套用上述规律呢?

同样可以.图象从左往右看, 在对称轴的左边呈下坡, 右边呈上坡, 因此图象左边y随x的增大而减小;右边y随x的增大而增大.这也与二次函数的增减性质相符合.

由上可知, 任何一个二次函数的“增减性”都可用“上、下坡”理论来识别.

三、推广

其实, 一次函数、反比例函数等其他函数的增减性也可用“上、下坡”理论来判别.

1.图5是函数y=3x+5的图象, 从左往右看, 图象呈上坡, 因此y随x的增大而增大 (这与一次函数k>0时的性质相符合) .

2.图6是函数y=1/x的图象, 从左往右看, 两个分支都呈下坡状, 故在各个分支内y随x的增大而减小.

3.图7是函数y=sinx的部分图象, 从左往右看, 在区间CA图象呈上坡, y随x的增大而增大, 是增函数;在区间AB图象呈下坡, y随x的增大而减小, 是减函数.

4.图8是函数y=ax (a﹥0, a≠1) 的图像, 从左往右看, 当a>1时, 图象呈上坡, y随x增大而增大, 是增函数;当0<a<1时, 图象呈下坡, 是减函数.同样的方法还可以判断对数函数的增减性.

5.图9是y=tanx函数的部分图象, 在每一个周期内, 从左往右看, 图像都呈上坡, 所以在每一个周期内y随x的增大而增大, 都是增函数.

6.还可以推广到如图10等类型的函数图象.在区间AB、CD、DE呈上坡, 则y随x的增大而增大;在区间BC、EF呈下坡, 则y随x的增大而减小.

函数的增减性 篇2

《二次函数的增减性及最值问题》是人教版九年级上册《二次函数》的章节复习课第三课时。二次函数函数的增减性及最值问题是初中数学的重要知识点，在学习有关性质的基础上深入理解函数值与自变量的一对多的问题；同时，二次函数的增减性与最值问题是高中重要的衔接内容。二 教学任务分析 我根据《新课标》，结合学生认知水平，将本节课目标制定如下：

教学目标

： 知识目标：理解并掌握以代数为主干的综合题中有关二次函数的增减性及最值问题。

能力目标： 培养学生对于含字母的式子的计算能力及用数形结合分析解决函数问题的能力。提高学生将复杂问题基本化，陌生问题熟悉化的能力。

三 教学重难点分析

重点：二次函数增减性及最值问题；带字母的计算

难点：带字母的计算；二次函数中函数值与自变量之间一对多的问题

四 学生起点状况分析

在此之前，学生已经掌握二次函数图像的性质，并会利用二次函数性质求最值；而且，对于抛物线中的动点问题学生已经掌握较好；同时，对于抛物线中的含动点的三角形面积问题也已经作为专题讲解过。在此基础上，对于典例中以代数为主的综合题，就可以将重点放在二次函数的性质的综合运用上，不会因为动态三角形面积的计算花过多时间与精力，才能突出本节课重点，同时便于突破难点。

五 教法与学法分析 教法分析：在学生探究，讨论的基础上，教师充分利用多媒体进行动画演示，适时讲解点拨，学法分析：探究，交流，动画感知，数形结合，知识升华 六 数学思想方法分析

本节课在教学中向学生渗透的数学思想主要有：转化思想、函数思想、数形结合思想等 七 教学过程设计

基于以上对教材特点和学生情况的分析，为能更好的达成教学目标，我在本节课主要安排以下四个环节。第一环节：铺垫导入，动画感知；第二环节：自主探究，典例剖析；第三环节：合作交流，动画演示；第四环节： 知识小结，知识升华。

第一环节 铺垫导入，动画感知（用ppt）

在这里我设计了两类知识铺垫：一类题一，已知自变量取值范围求函数值的取值范围，自变量的取值范围包括自变量在对称轴一侧及把对称轴包含进去，在学生回答题目的基础上，让学生归纳求最值方法：开口，对称轴，增减性，数形结合，最后动画演示，进一步感知随着自变量的变化二次函数值得变化规律；第二类，看题二，在题一中，给定一个函数值求自变量的值，学生在代数计算的基础上初步明白虽然一个函数值可能有两个自变量对应，但是由于自变量的范围的不同，也就会影响自变量的取值。在此基础上，教师利用动画从图形上感知平行于y轴的直线与抛物线的交点个数进一步明白题二中解的个数。从数到形，以 及从形到数的灵活转换。

第二个题正是为了突破难点而设置，动画的演示就是让学生明白点的个数与不同解的个数的关系，从而将几何问题转化为代数问题。这才能很好运用二次函数的增减性解决最值问题。

第二环节：自主探究，典例剖析 出示典例

这是一个综合性题，求抛物线的解析式时字母较多，二次函数中动点三角形面积的计算。

开始我在想直接把二次函数解析式给出来，直接切入主题。但是我发现二次函数问题必须是一个综合问题，必须培养学生克服望而生畏的情绪，让他们逐渐有成就感。而且计算能力的培养是数学教学中的首要目标。

实际教学中学生在计算中并不顺利，教师可以在学生计算中通过学生交流适时点拨强化平时强调的原则：逐渐减少式子中的字母个数。若有必要教师可以引导计算，从中发现技巧。让学生明白教师是在一定原则下再尝试，结果自然而然就出来了。

当然重点是第三问

二次函数中动点三角形面积的计算。

学生很容易将第三问理解成一个纯粹的几何问题，但是往往计算量大，思维不严密的，结果不正确；但是若想到面积可以得到一个二次函数就可以运用二次函数的增减性及最值解决这个问题，但是学生一般不这样想。

函数单调性在抽象函数中的应用 篇3

题组讲习

【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,若f(logax)>f(x2)在x∈0,12上恒成立,则a的取值范围是．

【例2】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足在(0,+∞)单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x+1)<0的解集是．

1. 解法一 由题意得,不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,

当a>1时显然不成立；

图1

当0

由函数y=logax(0<a<1)的单调性可得a14≥12,

所以116≤a<1．

解法二 (数形结合法)不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,表示在x∈0,12时,函数y=logax的图象在y=x2图象的上方,如图1所示,当a>1时显然不成立；

当0

所以116≤a<1．

2. 解法一 (分类讨论法)由f(x+1)<0得,f(x+1)

当x+1>0,即x>-1时,有x+1>2,解得x>1;

当x+1<0,即x<-1时,-x-1>0,由f(x+1)<0得,f(-x-1)>0=f(2),

则-x-1<2,解得-3

综上,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)．

图2

解法二 (数形结合法)由题意,画出函数y=f(x)的示意图,如图2所示,

函数y=f(x+1)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的,

由函数y=f(x)的图象经过点(2,0)、(0,0)和(-2,0)可知,

函数y=f(x+1)的图象经过点(1,0)、(-1,0)和(-3,0),

由图可知,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)．

点评 1. 解决抽象函数中不等式问题的关键是利用函数单调性将f(m(x))>f(n(x))转化成m(x)与n(x)的大小关系；

2. 不等式问题的实质是函数图象的高低问题,函数的单调性则反映了图象的升降.数形结合也是解决这两类问题的很好途径,如问题1,2中的解法二。

类比•拓展•延伸

1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈［t,t+2］,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是．

图3

解 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2=x2,

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴当x<0时,f(x)=-x2,

又当x≥0时,f(x)=x2,

∴由图3可知,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

由f(x+t)≥2f(x)=f(2x)得,x+t≥2x对x∈［t,t+2］恒成立,

即t≥(2-1)x,∴t≥［(2-1)x］max,

∴t≥(2-1)(t+2),解得t≥2．

2. 设函数y=f(x)定义在R上,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0

(1) 求证：f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1；

(2) 求证：函数f(x)在R上单调递减；

(3) 设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围．

解 (1) 令x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1),

∵0

设x<0,则-x>0,0

令m=x,n=-x,则有

f(x)f(-x)=f(0)=1,

∴f(x)=1f(-x)>1；

(2) 设x1

x2-x1>0,0

f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)

=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)

=f(x1)［1-f(x2-x1)］,

由题意及(1)可知,对任意实数x恒有

f(x)>0,则f(x1)>0,又1-f(x2-x1)>0,

∴f(x1)>f(x2),

∴函数f(x)在R上单调递减；

(3) 由集合A可得,f(x2+y2)>f(1),

由函数f(x)在R上单调递减得x2+y2<1,A表示单位圆内部的点的集合,

由集合B可得,f(ax-y+2)=1=f(0),则ax-y+2=0,B表示直线上的点的集合,

∵A∩B=,

∴直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1相切或相离,

∴2a2+1≥1,解得a∈［-3,3］．

点评 1. 在问题1中用图象判断函数f(x)是定义在R上单调递增是关键,把2f(x)化成f(2x)是难点,这样就化成f(m(x))>f(n(x))形式；若将不等式两边都用解析式代入,则问题很难解决。

2. 在问题2中证明抽象函数单调性时运用了x2=(x2-x1)+x1,即减一个数再加一个数的技巧,使问题得到突破。

方法总结

从上面这些问题中我们可以看出,函数的单调性在抽象函数中的应用主要是两个方面：一是单调性的判断；二是单调性的逆向运用。判断抽象函数单调性主要运用定义法,但更应当注意x2=(x2-x1)+x1,x2=x2x1•x1的变形技巧以及题目中所给性质的运用。单调性的逆向运用,关键在于将所给的不等式两边化为函数值f(x)的形式,再利用函数单调性脱去函数的记号“f”。

实战演练

1. 已知偶函数f(x)在区间［0,+∞)单调增加,则满足f(2x-1)

2. 设函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,对任意的a、b∈［-1,1］,当a+b≠0时都有f(a)+f(b)a+b>0．

(1) 若a>b,比较f(a)与f(b)的大小；

(2) 解不等式fx-12

(3) 记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=,求c的取值范围．

【参考答案】

1. 函数f(x)在［0,+∞)上递增,则在(-∞,0］上递减．

f(2x-1)

2. 设-1≤x10,

∵x1-x2<0,

∴f(x1)+f(-x2)<0,

∵函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

∴函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数.

(1) 若a>b,则f(a)>f(b)；

(2) ∵fx-12

∴-1≤x-12≤1,

-1≤x-14≤1,

x-12

(3) 由题意得P={x|-1≤x-c≤1}={x|-1+c≤x≤1+c},Q={x|-1+c2≤x≤1+c2},

∵P∩Q=,

∴-1+c>1+c2或-1+c2>1+c,

“函数奇偶性”教学片段的思考 篇4

关键词：函数奇偶性；数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0044-03

近期观摩了几位老师《函数的奇偶性》的教学，颇有感悟，所思为文，谨与各位老师共同探讨。

一、理解课标，分析教材

关于普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）（以下简称人教版教材）P33～36的教学内容，《数学课程标准》明确要求：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。《数学课标解读》中特别说明：在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图象对函数概念和性质的理解，对数学的理解、数学思考的辅助功能；要注意几何直观的局限性，避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法。

《教师教学用书》中也明确指出：研究函数性质时的“三步曲”为：第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质。教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数单调性的方法，利用图象、表格探究数量变化特征，通过代数运算、验证发现的数量特征，在这个基础上建立奇（偶）函数的概念。

综上可见，从研究对象来看，奇偶性是从形到数，再从数到形，思维对象在数形之间不断地转换；从思维方式来看，有尝试、归纳、猜想、直观等合情推理，也有严谨的演绎推理，思维方式在直觉与逻辑之间转换；从语言形式来看，有自然语言、图形语言、符号语言，问题表征在三种语言间转换，学生思维在这三对转换之间不断地由粗糙到精致、由直观到逻辑、由肤浅到深刻、由零碎到系统，得以自然的生长。

二、教学片断，持续思考

（一）“生活问题数学化”与“数学问题生活化”

大部分老师通过生活中的实例，展示一些美丽的具有对称性的图片，通过感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，让学生在对具体问题的体验中感知概念。有的老师从具体函数图象引入，回顾单调性的研究过程，从数学的问题出发，引入本节课。两种方式均是在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，努力建立已有基础与发展区之间的联系。前者从一般轴对称和中心对称到特殊对称，从生活中的“形”到数学中的“形”，从“形”规律到“式”的规律。后者采用“开门见山”的导入方式，充分利用教材的编排顺序，直接点明要学的内容，沿用单调性的研究方法，使学生的思维迅速定向，明确目标、突出重点。情境引入环节，是“数学问题生活化”，还是“生活问题数学化”，值得我们探讨。

（二）“奇偶性的定义”与“奇偶性的性质”

有些教师从几何的角度给出定义：如果函数的图象是给出的，并且图象是关于y轴对称，这样的函数就是偶函数；如果图象是关于原点对称，这样的函数就是奇函数。人教版教材也是从几何直观的角度导出函数奇偶性的定义的。那么，我们是否可以用观察图象来判断函数的奇偶性呢？

问题的关键在于，函数图象是怎么画出来的呢？学生刚从初中升入高中，所接触的函数只是一些最基本的初等函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。而这些函数的图象是比较简单的，可以通过描点连线得到。但是这样得到的图象是不精确的、粗糙的。另外，函数图象千姿百态，并不是都简单易画的（当然我们可以借助图形计算器），那我们该如何判断函数的奇偶性呢？

经过这样的思考，显然只有严格推理，才能明确函数的奇偶性。即便是我们很清楚的正比例函数、反比例函数也要通过定义去判断去验证。正是函数具有奇函数或偶函数性质，函数的图象才一定会关于原点对称或关于y轴对称。至此，谁为定义谁为性质一目了然。

（三）“判断奇偶性”与“x的任意性”

大多数老师把“判断函数奇偶性”作为教学的重难点，总结判断的步骤。从教学出发，应该把“x的任意性”作为重点，重头戏应该是用几何直观感受对称，进而用代数形式给这种对称关系进行一般性刻画。前者，是从评价出发，受考试影响的结果。后者，是从认知出发，努力寻找将已有知识纳入到新学知识的途径，利用已有的研究方法来研究新的知识，让新的知识能够在已有的方法中持续生长。如，回顾研究函数单调性的过程与方法，重温单调性中“任取”的突破过程，这样做都是为了让知识能够自然而顺利的生长。如果只是停留在对知识的死记硬背，追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，那么学生对知识的理解只能是机械的、零碎的。

（四）“整体到局部” 与“局部到整体”

如果把函数的一个个具体的知识看作“树木个体”，把与函数相联系的知识与方法看作“森林整体”的话，教学中就要处理好“树木个体与森林整体”的关系，要求既能够从“个体”认识“整体”，也能够从“整体”认识“个体”，两个方面都不可缺少。为此，既要注重与函数相关知识与方法的认识，又要注意对函数某一个特殊性质的分析与理解。所以，在函数奇偶性教学中，要在函数概念“大背景”下展开教学与学习。

遗憾的是，很多教学没有在认识函数整体上下功夫。例如，函数图象认识，从奇偶性角度，就是知道函数图象部分，再由部分推断函数整体；反之，由整体推断部分，具体的说就是“已知奇偶函数的一半图象，求另一半图象”。如果按照以下教学流程很难体现以上教学思想①展示生活或数学中的对称现象；②从具体到一般，形成奇（偶）函数的概念；③通过例题或练习，规范判断函数奇偶性的步骤；④课堂小结，布置作业。这个教学流程应该说基本完成了函数性质教学要求，但从更高要求，或者从提升学生研究函数能力角度看，对函数整体性认识是有些欠缺的。事实上，人教版教材中不仅设置了一些从整体认识函数图象与性质思考题（P35），还给出了相应的练习题（P36练习中的第2题）。教材中如此安排，目的是想告诉学生：奇偶性是研究函数的一种工具，奇偶性就是对称性，要从整体上理解函数的奇偶性。在已知函数奇偶性的前提下，若知道半个定义域的情况，可得出整个定义域内的整体情况，体会由局部到整体的数学思想。对于教材的把握，我们应该深入理解教材编写者的意图，活学活用教材，把蕴涵的思想和方法显化。

三、课堂感悟，教学启示

教学是一门遗憾的艺术。一节课成功与否，是要看有没有高水平的思维活动，有没有围绕学科概念的本质和主要的思想方法，有没有在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，培养学生的思维能力，帮助其逐渐形成良好的学习方法。教学过程中，要精心设计带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，使学生从被动地“听”发展为主动地获取和体验数学概念，促使学生掌握知识、形成能力。

随着时间的推移，数学中的具体知识将会被多数人遗忘，但数学中所承载的文化将会影响久远。学生在数学的课堂上，不仅学会具体知识，还应掌握一定的研究方法，这对教师的要求将会更高。教学中，数学教师要不断地以课标、教材为本进行教学研究，要从课堂教学研究向学科的整体把握转变，不断地进行回顾反思，促使教学水平不断提高。

参考文献：

[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[Z].江苏：江苏教育出版社，2004，3.

[2]徐爱勇.一样的“哈姆雷特”，异样的“精彩”：从《双曲线的标准方程》两节课谈起[J].数学教学，2012，（2）：12～14.

[3]普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2009，5.

[4]普通高中课程标准实验教师教学用书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2010，5.

《函数的单调性》课例研究 篇5

【摘 要】 函数的单调性是函数的几大重要性质之一，它直观且有效地反映了函数的变化趋势，是我们研究函数问题的重要内容和研究其它性质的重要手段，它的应用非常的广泛，比如我们可以应用函数的单调性来估计生活中的股票和经济情况的变化趋势，从而更准确的抓住这些信息，有利于帮助投资者作出决策和选择；在数学中，利用单调性求函数的最值往往是最直观和最容易的方法；单调性的题目在各种考试和高考中经常的出现，尤其是有关单调性的证明，复合函数的单调性的应用等，更是让许多考生苦不堪言，所以学好函数的单调性至关重要。本文结合我的教学课堂，以课后总结式的形式写此文章，重在体现新课标和新课改的大环境和要求下的教学新观念，将课堂还给学生，学生是教学的主体，老师要变教为导，变教授为自学，多设置情境和问题，激发学生的学习热情和探究问题的能力，由于经验不多，还在学习摸索中，本文权当记录一次课堂教学的同时，总结经验和不足促使我以后的课堂教学更有效。

【关键词】 增函数减函数；单调性；单调区间

【中图分类号】G63.25【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）18-0-02

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，因此如果我们掌握了函数的变化规律，也就基本掌握了相应事物的变化规律。函数的单调性的学习，就是要学生通过观察已知的熟悉的函数的图象，得出函数图象的上升和下降的整体直观的感受，并且能够根据图象口头叙述函数的上升和下降的情况。下面是教学教案中的一部分，主要记录的是课堂实际的实施情况。

请同学们做出的图象。

观察函数的图象，请你说出它们的上升和下降的情况。

生：的图象一直在上升，而的图象先是下降后是上升。

师：好。能否说的更具体和完整一点？

生：的图象由左至右一直在上升，而的图象在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的。

师：很好。大家的叙述很准确。结合我们以前学过的函数，我们知道函数中有许多函数的图象具有这样的上升和下降的性质，我们把函数在图象上表现出来的这种上升和下降的性质叫做函数的单调性。这就是我们今天要研究的函数课题。

那么，请同学们结合图（2），我们如何描述函数图象的上升和下降呢？

生：图象在y轴的左侧下降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着减小；图象在y轴的右侧上降，也就是在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。

师：很好，这是我们的纯粹的自然语言来叙述，是我们在图象的基础上直观的表达出图象特征。在我们以后的学习中，我们会遇到很多函数是以解析式的形式给出，其中有些还不一定能够用手工作出函数图象，我们又怎样来判断其单调性呢？为此我们就要用数学语言来给函数的单调性下个定义。

请同学们研究函数的图象，计算f（1）、f（2）、f（3），并将它们标在函数的图象上。

生：发现f（1）

师：那么a>b>0时，f（a）与f（b）的大小关系是？

生：f（a）>f（b）。

师：思考一般的结论是什么？

生：在区间上，只要，就有。

师：同学们回答的很好。我将大家的叙述总结起来就是：对于二次函数，我们可以这样描述：在区间上，随着x的增大，相应的f（x）随着增大。也就是在区间上任取，得到，当时，总有。这时我们就说函数在区间上是增函数。

请同学们试着用我们的数学语言定义函数f（x）的单调性。

生：对于函数f（x），如果对于任意的，当时，有，则称函数f（x）为单调增函数。

师：请同学们对照教材中增函数的定义，看看有什么不同？为什么？

生：教材定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：教材定义中为什么要说“对于定义域I内某个区间D”呢？

这是因为函数在其定义域内其单调性并不是一成不变的。如的定义域为，当时是减函数，而时却是增函数，显然，其单调区间。这也说明了函数的单调性是函数的局部性质。

请同学们仿照增函数的研究方法，研究并定义减函数。

生：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。

师：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=（x）在这一区间具有单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间，其对应的区间D称之为单调增区间或单调减区间。

例1：下图是定义在[-5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上是增函数还是减函数？

解：函数y=f（x）的单调区间有（-5，-2），[-2，1），（1，3），[3，5]。其中y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数；在区间[-2，1），[3，5]上是增函数。

生甲：老师，在两个区间的公共端点处，比如x=1处，这个函数是增函数还是减函数？

师：这个问题提的很好，请大家对照我们的定义想一想这个问题，有没有哪位同学可以回答这个问题？

生乙：我认为在x=1处，不具有单调性，因为由定义知函数的单调性是在某个区间D上具有单调性。

师：回答正确。这里我还要补充说明一点，虽然对于这个函数y=f（x）在区间（-5，-2），（1，3）上是减函数，但我们不能说函数在区间上是减函数。

这次教学采用师生问答的形式，老师旨在引导，学生充分自主，以学生自主的学习为主，意在适应新课改理念下的课堂教学，以突出平等、合作与交流、相互理解、转变角色等新观念，使师生间的教与学相互促进。具体的突出了研究函数时我们常用的数形结合的思想和研究函数性质的步骤，即第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号的语言定义函数的性质。在增函数的研究过程中，让学生自己用自己的语言描述，再用数学语言定义，大胆的让学生去尝试，重在锻炼学生的将实际问题抽象成数学语言的概括能力、语言的严密性和准确性。在研究减函数时完全将课堂交给了学生，让学生学会用类比的思想方法处理问题的技巧和能力，例题的目的在于使学生能够结合定义，根据图象能够用数学语言解决问题，进一步巩固知识和加强应用能力。在学生参与的同时有效地完成了教学目标。

参考文献：

1.汪江松主编，重难点手册高中数学1，华中师范大学出版社；

2.人民教育出版社数学教材必修1；

3.人民教育出版社数学教材必修1教师教学用书.