椭圆标准方程

椭圆标准方程（精选十篇）

椭圆标准方程 篇1

关注学生的发展, 构建有效课堂。站在学科的高度, 从整体和联系的观点, 渗透新课标理念设计本节课, 根据高中数学教学实际及本节课的内容特点, 本课时的教学先从日常生活中的实例入手, 返璞归真, 展现了“数学源于生活, 又高于生活”的本色。教学中, 教师要树立正确的教学观, 处理好教学中预设与生成的关系, 体现了数学逻辑推理的高度抽象性, 让学生初步感知数学的简约与奇异美, 实现学生主动学习数学的美好愿望。

二、学情分析

根据学生已掌握了“圆及其标准方程”的知识, 针对高二学生认知特点和接受能力及思维发展规律的特点, 本课先介绍”椭圆及其标准方程”的内容, 再给出除课本上推导椭圆标准方程的方法外。另探究了三种方法, 最后引出椭圆的第二、三种定义, 使学生可以达到“跳一跳摘到桃子”的良好教学效果, 培养学生的探究能力, 防止只重结果而轻过程的现象发生。经调查、研究此设计是合理可行的。

三、教学目标

(一) 知识与技能的目标

1. 掌握椭圆的画法和定义;2.会推导椭圆的标准方程;3.正确理解椭圆的标准方程。

(二) 过程与方法的目标

通过本节课的教学, 渗透类比化归等重要的数学思想, 有助于加强学生的数形结合意识, 有益于提高学生的逻辑推理与分析探究能力。

(三) 情感态度价值观目标

通过由圆类比椭圆, 动手操作, 让学生亲自体验数学的简约, 感受数学的和谐, 奇异美, 有利于培养学生用联系和发展的辩证观点看待问题, 有利于激发学生“学好数学”的情趣, 增强“玩好数学”的信心, 培养学生发现规律, 寻求规律, 认识规律并利用规律认识事物运动的本质。

四、教学重点

椭圆的定义及其标准方程。

五、教学难点

椭圆的标准方程的推导以及比较复杂的根式的化简。椭圆是圆及其标准方程的延伸, 又是求曲线的方程应用, 对双曲线、抛物线及其标准方程具有引领作用。因而本节课起承上启下的重要作用, 所以务必要做好过渡。

六、教学方法

讲授法与探究法相结合

七、教具准备

多媒体课件两个: (一) 第八章章头图:先做两个圆锥 (顶对顶, 上面的圆锥是倒立的, 且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线) , 然后用于圆锥曲线成不同角度的平面截圆锥, 得到椭圆、双曲线、抛物线等, 给学生一个直观的印象, 是学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识。 (二) 倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线、油罐车横断面轮廓、手表的表面、眼镜片等。同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条 (约10cm长, 两端各结一个套) , 图钉两个。教师准备一个无弹性的细绳一条 (约50cm, 两边各结一个套) 图钉两个, 一人准备一张硬投影片一张。

八、教学过程

(一) 创设问题情境引入新课

1. 观察课件。

举例:油罐车横断面的轮廓、眼镜片等。上述例子是从学生刻印在脑海中的原有直观材料出发, 得到“椭圆”的直观定义。下面再看一下圆锥形水杯的水面界线是椭圆, 可数学化地提出问题, 即:为什么这些边界线是椭圆?

2. 我们以前学过圆, 请同学们回忆一下圆的定义。

学生1:“平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。”教师:“怎么画圆的呢?”同学们画画。学生动手画圆 (用预先准备好的材料) 。教师:“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹。”说成“圆是动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。”行不行?学生: (齐声) “行。”教师:“现在把这根绳子的两端分别系在两颗图顶上, 并分开固定在两个点上, 并保持拉紧状态移动铅笔, 请你们再画一画会是什么样的曲线?”学生:椭圆。教师:“看椭圆正是一个压扁的圆。”演示课件:花卉的瓣, 倒影在水面上的拱桥, 地球的运功轨迹等, 请同学们画你们日常生活中见到椭圆的实际例子。

数学教学的本质是:学生在教师的引导下能动地建构数学的认知结构, 并使自己得到全面的发展, 动手画图及其操作过程中的整个视角意象。这样可以促进学生良好的数学认知结构的形成, 满足后续学习需要。

(二) 定义椭圆写其方程, 体会数学的严谨、简洁

据上述画椭圆的过程, 同学们自己创造“椭圆”的定义, 出现了以下两种情形。

情形1:与两定点F1、F2距离的和等于常数 (=|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆。

情形2:空间内与两定点距离和等于常数 (>|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆。

对情形1的否定, 学生很容易想到“线段F1F2上的任意点的集合”的特例。对情形2可以联想到椭球面, 从而经修改上述两种情形, 从而准确给出椭圆的定义。定义:椭圆是平面上到两定点距离之和为常数 (>|F1F2|) 的点的轨迹, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。教师黑板板书:请同学们思考为什么上面的常数大于|F1F2|? (答略)

师生共同总结:设椭圆上的任意点为P记, |PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c则当2a>2c时, 轨迹是椭圆;当2a=2c时, 轨迹是一条线段;当2a<2c时, 无轨迹;当c=0时, 轨迹是圆。

拓展思考:大小与椭圆的扁圆程度有何关系? (分当a不变, 变c和当c不变, 改变a……)

回忆圆的标准方程, 如何给出椭圆的标准方程, 先引导同学们看如何建系, 求其方程, 可能出现如下三种情况。1:以F1为原点, F1F2为x轴, 过F1垂直于F1F2的直线为y轴。2:以F1F2为x轴, 线段F1F2的中垂线为y轴。3:以F2为原点, F1F2为x轴, 过F2垂直于的直线为y轴。

三种情况哪种优呢?请同学们感觉一下, 大多数同学认为第三种好, 能体现数学的对称美, 猜得好, 下面以第二种情形求其方程, 看到底方程美在哪里?写出点P的集合, (按求曲线方程的一般步骤求解) , 设P (x, y) 是椭圆上任意一点, 它的集合是M=|PF1|+|PF2|=2a写出方程将这个方程移项后两边平方, 得整理得上式两边再平方, 得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2-c2) x2+a2y2=a2 (a2-c2) 由椭圆的定义可知, 2a>2c, 即a>c, 所以a2-c2>0令a2-c2=b2, 其中b>0, 代入上式, 得b2x2+a2y2=a2b2, 两边同除以a2b2, 得这个方程叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上, 焦点是F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) , 这里c2=a2-b2, 如果使点F1, F2在y轴上, 点F1, F2的坐标分别为F1 (0, -c) , F2 (0, c) , a, b的意义同上, 那么所得方程变为这个方程也是椭圆的标准方程。下面请同学们思考:a2-c2=b2的几何意义, 并画图说明。 (略)

九、作业布置

课本120页习题8.3 1, 2, 3, 4【板书设计】 (略)

【教学反思】

椭圆及其标准方程教案 篇2

湖北郧阳中学

梁学文

教学目标:

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程

培养学生运用坐标解决集合问题的能力

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力 教学重点：

椭圆的定义及标准方程的推导 教学难点：

椭圆定义的理解 教学方法;探索法 教具准备：

细绳一根 教学过程：

课前引入部分：

一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？

二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。分三类：绳长小于两点距；等于；大于。

三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。

定义及方程推导：

一、定义引导：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。

二、方程推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结 1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

《椭圆及其标准方程》说课设计 篇3

关键词：解决问题；引导；巩固

教材内容的分析

1． 教材内容

本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.

2. 教材的地位及作用

“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.

3. 教学的重、难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．

难点：椭圆的标准方程的推导．

因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．

疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．

教材目标的确定

1. 教情、学情分析

高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.

2. 教学目标

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.

知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.

能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.

情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.

教法与学法

1. 教法

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.

2. 学法指导

在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.

教学过程的设计

1. 创设情境，复习引入

以“嫦娥奔月”引入

2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？

图1

设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.

2. 动手实验，归纳概念

教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．

设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.

3. 启发引导，推导方程

由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.

（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标

引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.

（2）写出动点M满足的集合

根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.

（3）化简

带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.

（4）归纳小结

这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.

设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

拓展引申，对比分析

引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.

设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.

运用拓展、提高能力

例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.

例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.

（1）+=1；

（2）+=1；

（3）3x2+4y2=1；

（4）x2+=1.

例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.

例2求适合下列条件的椭圆标准方程.

（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.

例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.

课堂练习

（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；

（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；

（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.

回顾反思，提升经验

总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.

（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；

（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；

（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；

（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.

说课总结

新课程下椭圆及其标准方程教学设计 篇4

1．椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容．“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用:首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固;其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手．故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用．

2．椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况

椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战．因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质．

圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力．在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程．

例如:教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题．因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授．

二、设计依据

1．新课程下的教学要求

通过研读《普通高中数学课程标准(实验)》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求:

(1)借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用;

(2)椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质(抓住不变量)，创建适当的方程．

(3)明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想．

2．教学方法

对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计．

三、教学设计

1．椭圆定义的教学设计

(1)情景引入

用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(多媒体展示图片便于直观理解)．

为什么截口曲线会出现不同情形?学习圆锥曲线定义之后依次进行解答(设置问题，激发学生的好奇心)．

设计意图:采用总分的教学手段:先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲．

(2)新课教授

之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线———椭圆．

生活中处处可发现椭圆的影子:圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等(展示图片，数学来源于生活)．

问题1:观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处———似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆．

问题2:那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆?

设计意图:将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力．

师生活动:取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么———椭圆．

设计意图:以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率．

问题1:画出椭圆的过程中哪些量不发生变化(即椭圆上的点有何特征)———在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数(设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度)．

得出椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．记为2c(给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言)．

若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a.

问题2:将学生分成小组再次作图并讨论:如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样

通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆．

设计意图:改变以往教师直接告知学生:2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论(加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性)．

(3)概念巩固

现在解决课堂开始的问题:用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆．

用教具模拟平面去截圆锥(使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力)在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为E,F，现在截口曲线上任取一点A，过点A做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B,C，那么，据椭圆定义，只需求证A与E,F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理:过球外一点做球的两条切线，切线长相等．

由图1，不难发现AE与AC为小球的两条切线，AF,AB为大球的两条切线，因而AE=AC,AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

这样，就得到截口曲线上任意一点A到两定点E,F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆．

设计意图:学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然(培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力)

2．椭圆标准方程的教学设计

(1)复习引入

回顾求轨迹方程的一般步骤:建系设点→抓住不变量→创建方程→化简

例如求圆方程的步骤，即:求到定点的距离等于常数的点的集合

设计意图:知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂;

以圆为例，有两处妙用:(1)用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法;(2)圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系．

(2)新课教授

类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程(明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维)

椭圆定义:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(着重强调2a>|F1F2|不可或缺)．

类比圆，据椭圆的对称性，可能出现两种建系方法:

(1)以经过椭圆焦点F1,F2的直线为x轴，以线段F1,F2的垂直平分线为y轴．

(2)x轴、y轴互换，即以经过椭圆焦点F1,F2的直线为轴，以线段F1,F2的垂直平分线为x轴．

自主探究:将学生分成两组就两种不同的坐标系，求出对应的椭圆标准方程．

利用多媒体给出第一种建立坐标系的详细过程(方便学生自行校对)．

设M(x,y)是椭圆上任意一点，焦距2c(c>0)，则焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0)，由定义，得M与F1,F2的距离之和为2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

化简此方程(教师提点化简过程中的两次平方和方程两边同除以某个式子，最终化解为分式，利用函数的思想求解曲线方程，深化几何与函数的联系)．

将左边的一个根式移到右侧，得

两边平方，得

两边再平方，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

方程两边同除

由椭圆的定义可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程较为复杂，故常令b2=a-c2．(及时说明为何要引出b值不会显得唐突)

最终可得(列出比较内容，更加直观、深刻)

焦点位置x轴，标准方程

焦点位置y轴，标准方程

寻找标准方程与坐标轴之间的联系发现:焦点位于哪个轴上，哪个的分母大．

由a,b,c之间的关系b2=ac2，可在中找出对应的线段(结合图形给出a,b,c的几何意义，符合学生的认知过程，便于理解)

其中a为长半轴、b为短半轴、c为焦半径，

设计意图:转变教师直接板演求解标准方程的过程，两种不同的建系方式渗透分类讨论的思想，合理地安排学生分组讨论，由被动听讲转为主动参与，增强了主体意识，在此过程中教师巡视给予帮助，发挥其指导、帮助、促进作用

四、设计反思

这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念，但是也出现了一定的不足，第一:由于教学经验有限，一些数学教育理论和专业知识，不能完美应用于教学设计中;第二在教学设计中针对学生的心理情况的设计比较少．

希望借鉴本设计者据实际情况进行合理的修改．

参考文献

[1]徐忠才.高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].甘肃:西北师范大学,2005.

[2]曹一鸣.数学教学论[M].北京:北京师范大学出版社,2010(8):85-175.

[3]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2007(2).

椭圆及其标准方程教学反思 篇5

很多时候书上的内容是否需要用引子引出来的确是个问题，学生自己不可能不提前看书，而且看的内容还比较多。但是这些内容，学生有的似懂非懂，老师讲的时候感觉自己深切体会了，其实不然，自己还是不太清楚，只是因为教材那样写了，参考书有那些结论，学生跟着附和，当然也不排除真的懂得。但是滥竽充数的还是有的，甚至有些学生并没有参与到充数中去，而是默默的看着老师，希望老师多给点说明。

教材上的内容如果不提，学生又不可能完全预习过，正是因为如此参差不齐的预习程度，使得教师在上课的时候对于上课内容的把握增加了难度。有的很简单，却花了很多时间去说明，有的是难点，却轻轻带过了。对于这些问题，作为教师还是应当多分析一下学情，走近学生，了解他们的预习状况，同时自己对于教学内容的重点也应当多多思考，要从学生的角度思考问题。

虽然开始设计的让学生亲自动手操作画图，但是课堂中的实际情况确实事与愿违，学生不仅没有真正的认真参与，而且把画图的这点时间用来嬉笑了。虽然现在提倡学生参与的课堂，但是学生的动手能力不是从高中才应该培养的，而应该是从小开始就应该培养的，高中的一节课一个瞬间也许没有多少效果，或者说是在“浪费了”宝贵的课堂时间。因为学生和教师都没有合理运用这里的实操时间，实际操作的效果没有真正达到。

我不反对课堂的学生动手操作，但是实际情况却很难展开，一来教材已经给了相应的操作结果，二来学生动手能力的确很欠缺，再加上学生自制力差，在操作过程中难免会出现说话聊天等与教学活动无关的事情。

学生在课堂上进行操作肯定是多多提倡的，这也是素质教育的体现，只不过我们应该把握好实际动手的时间，并不是没结果都要有大部分时间进行实操，因为数学课毕竟还是一门较为严谨的理论学科，年级越高，数学内容就越抽象。而且也需要每一位老师的一点付出，这样学生的操作能力锻炼的机会才不会在某个地方就没了。

椭圆标准方程 篇6

2009年福建高考数学（文史类）22.（本小题满分14分）

从第二步的最值问题用普通方程和用参数方程来比较，显然参数方程的计算量远远小于普通方程的计算量，从而提高答题的正确率。由此可见，椭圆的参数方程在解决椭圆的最值问题中有很明显地减少计算的作用，因此在解决相关的椭圆的最值问题的时候可以优先考虑椭圆的参数方程。

椭圆标准方程 篇7

[策略一]“目标定位”首当其冲

数学课堂教学中课堂目标定位问题不但关系到教学任务能否顺利完成,更关系到一堂课的教学成效,所以对目标定位问题的分析至关重要。

在《椭圆及其标准方程》的课例中,第一位老师的目标定位在学会如何运用椭圆的定义解决相关问题,学生会求椭圆的标准方程。第二位老师将目标定位在通过模型的讲授方式,学生进行自我建构,领悟椭圆研究的方法。显然定位不同,所选择的讲解方向和例题习题都有较大的区别。

师2:利用五个问题进行讲解和师生合作、小组合作,主目的是想学生建构椭圆的几类题型的方向。设计如下———

问题1:什么叫作曲线的方程?求曲线方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?

问题2:椭圆的定义是什么?

问题3:如何推导出椭圆的方程?

问题4:有哪些性质?怎么观察得到?按什么方式去深入了解椭圆模型?

问题5:椭圆模型能解决关于椭圆方向上的什么问题?

因此,教师在进行教学设计时,要充分考虑学生学情,精选例题与习题。在小结时,要站在一个数学思想方法的高度上审视学生的思维,对所有方法进行思维暴露及方法提炼。

[策略二]舍得“放纵”学生

师1在讲解例题3时,让学生通过小组合作解决问题,并请学生代表发言。由于时间紧迫,教师立刻引导学生讲出几种不同的思路,给予学生的时间不足。师2在讲解例题时让学生将解答过程写在白板上(每个小组配备一块),然后再请小组代表进行展示,既很好地实施了"问题导学"课堂的小组合作学习,又给予学生展示的时间和空间,效果较好。

师2在讲课过程中对“舍得”把握得比较到位,成为了这节课最大的亮点。从他们的两节课中,我作出反思是:

1.让“问题导学”课堂轻松而不随意。先来看看这个问题:“老师讲题与老师做题的区别是什么?”直接把正确答案讲给学生听,就是老师在黑板上做题,而讲题的过程应该是顺着学生的思维去引导和修正。

比如,例题3(2013全国大纲文T8):“已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个交点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆c于A、B两点,且|AB|=3,求椭圆C的方程。”师1在处理该例题时,教学设计的思路是让学生充分展开,并进行一题多解,但是当学生给出两种方法后,老师为了完成教学任务,用自己认为的“导”轻松帮学生完成了另外三种解法。“问题导学”课堂倡导的是最大限度地发挥学生的主观能动性。

且看笔者在一节高三复习课《基本不等式》上与文科班的学生如何共同探讨此题吧。题目:“已知a>0,b>0,A(1,1),B(a,0),C(0,b)三点共线,求a+b的最小值”,教师可能会利用课堂快速处理,稍微讲讲思路,用两种左右的方法达到讲课的目的。然而,当笔者真正“舍得”给予学生足够的思维空间时,我们有了以下几种精彩的解答:

五种不同的解法全部是经过学生小组合作学习充分酝酿的成果,这也是笔者在课前没有想到的。如果学生的思维得到开发,那他们离成功就不远了。这个过程中学生思维火花的碰撞和感悟,“基本不等式”在求最值中的灵活运用给学生留下了深刻的印象。当然,教师还可以在此基础上提出问题,或鼓励学生提出问题,搜查在解答过程中存在的不足。

2.让学生变被动为主动,学会学习。当遇到陌生的题目时,首先应该进行回顾。比如,以前遇到过类似的问题吗?以前是用什么方法解决的?正确审题是解决数学问题的前提和保证,审题包括对所研究问题有一个全面的了解,包括所涉及的知识点以及可能用到的方式方法,了解整个问题的前因后果,要清楚地知道每个条件之间的关系,理解它们的知识体系。

3.让学生学会推而广之。推广是事物发展所遵循的规律之一。当我们从研究一个对象过渡到研究包含该对象的一个集合,或从研究一个较小的集合过渡到研究一个包含该集合的一个更大的集合时,就是推广,反之就是收缩。

在立体几何中,学生的很多空间概念和性质都是建立在对平面几何的认识之上的。如“平行公理”、“勾股定理”等。但是,已有的知识有时也会产生负迁移,如“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”,此命题推广到空间则不成立。教师需特别强调:将平面几何的结论向空间进行推广时,必须遵循“言必有据”的原则,绝不能养成学生随心所欲的习惯。

[策略三]“导”的智慧

高三复习是学生站在高中数学整体高度上的“二次学习”,学生已具有较丰富的数学知识,具备一定的数学能力,更加有利于在教师的引导下广泛地探究问题,从而可以让学生更加深入地理解数学概念,进一步提高其数学能力。

如何对学生的主体学习实施科学引导和有效指导?笔者认为,在思维受阻时指导,“导”重在关键知识点上的指导和方法技能上的指导,而且必须是适时的、富于启发性的“导”。在《椭圆的定义及其标准方程》课例中,由学生完成题目的求解过程,两位老师均能引导学生对此类题型进行反思与回顾,提炼方法,探寻规律.让学生思维能力得以提升,探寻问题解决的一般方法,这是高三复习中“导”的关键。实践让笔者感悟到,在高三复习课堂上数学教师要善于将本质的数学思想内容巧设成一系列问题,以此引领使学生“想学”、“会学”、“主动学”,有效地提高课堂复习的效益。

用特征矩阵表示椭圆方程 篇8

当a>b>0时, 焦点在x轴上;当b>a>0时, 焦点在y轴上.

2.探究椭圆的两种变换

下面仅以焦点在x轴上椭圆的标准方程为例, 探讨经过旋转、伸缩变换后, 椭圆方程与特征矩阵的联系.

(1) 旋转变换

(2) 伸缩变换

将a伸缩变换为原来的m倍, b伸缩变换为原来的n倍 (m, n∈R, m>0, n>0) , 当m>1时作伸长变换, 当0

椭圆参数方程在宏程序中的应用 篇9

关键词：椭圆车削,宏程序,椭圆参数方程

(一) 加工背景

椭圆是一种在加工中常见的非圆曲线。由于它形状的特殊性, 以前大多采用仿形机床靠模加工。随着机械加工技术的发展, 数控机床的不断改进, 可实现节点编程, 能应用计算机软件功能, 自动生成程序。但此种程序, 一般较繁琐, 程序长, 空行程多, 所占空间大, 不利于随时调整椭圆大小, 常给加工人员带来一定困扰。

参数编程又称为宏程序, 是设置变量参数, 通过算术、逻辑、控制等命令编程。在椭圆件加工中, 利用数学原理, 采用参数编程, 所得程序比自动编程更精炼, 更利于实施, 而且可以通过对其尺寸和切削参数的修改, 采用同程序应对不同尺寸同类型零件的加工, 可为操作人员带来极大便利。

(二) 参数编程的方法

1. 变量的表示及应用

参数编程的特点是可以进行变量赋值, 变量之间可以计算。FANUC系统常用符号#和数字组合而成, 如#1, 而用表达式时, 需将表达式用中括号括起来。在程序中表示运算过程、结果等可采用#1~#33局部变量, 可根据加工尺寸和切削用量不同对其进行赋值。

2. 变量的运算

在参数编程的过程中常用到很多数学公式和理论, 不可避免的要进行相应的计算, 可通过与变量结合的方式表达。常见表达式如下:

(1) 加减运算:#i=#j+#k;#i=#j-#k

(2) 乘除运算:#i=#j*#k;#i=#j/#k

(3) 正余弦函数运算:#i=SIN[#j];#k=COS[#j]

(4) 特殊表达符:EQ (等于) ;GT (大于) ;LT (小于) ;GE (大于等于) ;LE (小于等于)

3. 变量的控制指令

(1) 无条件转移 (GOTO) :其格式为:GOTO n (n为程序顺序号) ;直接跳转至程序段n执行。

(2) 条件转移 (IF) :其格式为:IF[条件]GOTO n (n为程序顺序号) ;如果条件成立, 程序从第n程序段开始执行;如果条件不成立, 则直接执行下一个程序段。

(3) 循环 (WHILE) :格式:WHILE[条件]DO m (m为循环范围识别号m=1, 2, 3) ;

当满足条件时执行DO m到END m范围内的程序段, 且循环执行, 直到不满足条件时, 程序接着END m的下一程序段执行。

(三) 椭圆加工

1. 椭圆形状分析

椭圆是指平面内与两定点的距离的和等于常数的动点P的轨迹。如图1, 在经济型数控车床中, 通常是两轴加工, 其工件坐标系为ZOX坐标系, 即平行于主轴方向的为Z轴, 与主轴方向垂直的为X轴。这时产生的椭圆的标准方程如下:

由此可得, 椭圆参数方程为:Z=a*cosθ, X=b*sinθ (θ为离心角, 即椭圆上任意点为P, OP段与Z轴之间的夹角) 。但在实际加工中, 车床多采用直径编程, 即X方向的坐标值为直径值, 因此, 可将X方向坐标值修正为X=2*b*sinθ。

2. 椭圆车削实例

如图2所示, 该椭圆的长半轴为60mm, 短半轴为40mm, 加工半个椭圆。设定其工件坐标原点在椭圆的中心上。可得到此椭圆的标准方程为:

相应的椭圆参数方程在车床中修正值为:Z=60*cosθ, X=2*40*sinθ (θ为离心角) 。

对此椭圆进行加工时, 可采用直线拟合的方式, 即在椭圆上找节点, 在节点与节点之间使用G01执行直线插补, 当选取的节点足够多的时候, 由各小段直线形成的路线就接近于椭圆。根据椭圆参数方程, 可知其离心角θ可作为节点选取的变量, θ的大小不同可通过对X、Z坐标值的计算得到不同的节点坐标值, 从而可确定节点的位置。本例中, 由于是加工半个椭圆, 可将离心角初始值取为0°, 终止值取为90°, 离心角每次递增0.5°, 计算各节点的位置。

由此, 可得到由条件转移 (IF) 语句的编程如下:

若采用循环语句 (WHILE) 编程, 可将上述程序中其N40程序段改为“WHILE[#3 LE#4]DO 1;”, N50程序段改为“END1;” (如果#3小于等于#4时, 执行DO 1到END 1的程序段循环, 否则跳转到END 1后的程序段执行) 。

参考文献

[1]耿国卿, 刘永海.数控车床编程与应用[M].北京:化学工业出版社, 2008.

[2]陈洪涛.数控加工工艺与编程 (第2版) [M].北京:高等教育出版社, 2009.

一类椭圆型方程组解的存在性 篇10

关键词：最小能量解,正解,山路形结构

1引言

非线性偏微分方程 (组) 在分析, 物理, 力学等领域起到重要作用, 其弱解的存在性, 正则性及稳定性是偏微分方程理论中研究的一个重要课题[1,2,3]。本文研究了一类非线性椭圆型方程组能量泛函的临界点的存在性, 并且该解为最小能量解, 进一步利用强极大值原理表明所得到的方程组的弱解为正解, 推广了文献[4-6]的主要结果。

考虑具有变分结构的非线性椭圆型方程组

定理1.1为文中主要结果。

2预备知识及引理

证明引理2.1的证明同文献[4]。

证明引理2.2同文献[4]中引理2.5的证明.

证明引理2.3同文献[4]中引理3.1的证明.

证明引理2.4的证明同文献[4]中引理3.2.

证明引理2.5同文献[4]中引理3.4的证明。

3定理1.1的证明

因此, 在K中几乎处处有

由勒贝格控制收敛定理有

同理可得

又由引理2.3 (ii) 及引理2.4有

最后证明zλ为最小能量解且为正解, 利用Fatou引理有

参考文献

[1]胡亚新.一类拟线性椭圆型方程组弱解对边值的稳定性[J].上海交通报, 2008, 42 (3) :504-507.

[2]王哲.一类一阶椭圆型方程组的Schauder估计[J].复旦大学, 2007, 46 (2) :209-214.

[3]D.G.Costa..On a class of elliptic systems in RN[J].Electron.J.Differential Equation, 1994, 7:1-14.

[4]Marcelo F.Fuetado, Elves A.B.Silva, Magda S.Xavier.Multiplicity and concentration of solution for elliptic systems with vanishing potentials[J].Journal of Differential Equations, 2010, 249:2377-2396.

[5]T.Bartsch, Z.-O.Wang.Existence and multiplicity results for some super-linear elliptic problems on RN[J].Comm.Partial Differential Equations, 1995, 20:1725-1741.

[6]T.Bartsch, A.Pankov, Z.-O.Wang.Nonlinear Schrodinger equations witn steep potential well[J].Commun.Contemp.Math., 2001, 3, 1-21.