函数最值的几种求法

函数最值的几种求法（精选四篇）

函数最值的几种求法 篇1

函数 (代数式) 最值 (范围) 的确定名目繁多, 方法多样, 但笔者依结构不同主要归纳为以下三种方法.

一、一元函数 (代数式中只有一个未知数)

此类问题主要方法是函数的方法, 即先确立该函数的单调性、定义域, 由单调性和定义域共同求其最值.偶尔也用“不等式”方法, 包括均值不等式、柯西不等式等, 如

例1.设a>1, 函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为1/2, 则a=_____.

点评:∵a>1, ∴f (x) 在[a, 2a]上是增函数, 由f (x) 的单调性及定义域直接求出最值.

例2. 定义域在R上的偶函 数f (x ) 在 [0 , +∞ ] 上递增 , f (1/3) =0, 则满足f (log (1/8) x) >0的x的取值范围是____.

点评:1.由f (x) 的奇偶性、单调性, 知f (x) 在R上的单调性, 推出:log (1/8) x>1/3或log (1/8) x<-1/3进而得解.

2.求最值务必先确立单调性 , 问题随之迎刃而解.

例3.已知函数y=f (x) 是偶函数, 当x>0时, f (x) =x+4/x, 且当x∈[-3, -2]时 , n≤f (x) ≤m恒成立 , 求m-n的值.

点评:此题可有两种方法, 即,

1.先确定x>0时 , f (x) =x+4/x的单调性, 进而求解.

2.可直接使用“不等式”求得x>0时 , f (x) 的最值 , 进而得解.

二、二元函数 (代数式中含有两个未知数)

此类问题的主要方法是依所给条件所定, 如所给条件及目标函数都有较重要的几何意义, 其主要方法是线性规划法及其思想, 如所给条件的几何意义不明显, 则使用方法三.

例1.已知点P (x, y) 的坐标同时满足以下不等式:x+y≤4, y≥x, x≥1, 如果点O为坐标原点, 那么|OP|的最小值等于____, 最大值等于______.

点评:因为其几何意义十分明显, 可直接使用线性规划法.

例2.设实数x, y满足不等 式组求 z = (x+2y) / (2x+y) 的范围.

点评:1. 条件显然有明显的几何意义, 而目标是“斜率”的增函数, 即确定了目标的几何意义, 问题得解.

2.几何意义是可以通过“变形”发现的.

三、多元函数 (代数式中含有两个及两个以上未知数)

此类问题多使用“不等式”方法, 即用均值不等式、柯西不等式等结合“一正、二常、三等号”的原则构造结构, 确定范围.

例1.x, y∈R, x2+xy+y2=3, 求u=?

点评:此题可用不等式x2+y2≥2xy可解, 也可用代入法化为方法一求解.

例2.已知a+b+c=1, 求证:

2.此题显然不适合用方法一二 , 只能采用方法三.

例3.a, b∈R+, a+b=1, 求的最大值.

点评:此题一二三种方法都可以解决, 但是用柯西不等式简捷、明了, 是最适用的方法.

以上三种方法是我要介绍的求最值 (范围) 最有效也是最常用的方法, 是我处理此类问题的基本策略, 令我受益匪浅, 希望能给各位同仁提供参考.

摘要：关于函数最值问题一直是高考数学中的热点及重点, 而对于学生而言由于函数最值问题涉及的范围广、内容多, 因此函数最值问题一直是学生学习的难点.本文主要探讨了求函数最值的三种基本方法.

浅谈函数中最值的求法 篇2

一、“数”和“形”求最值

例1如图1, 已知O为坐标原点, ∠AOB = 30°, ∠ABO = 90°, 且点A的坐标为 ( 2, 0) . 若二次函数y = ax2+ bx + c的图象经过A、B、O三点.

在二次函数图形的OB段 ( 不包括点O、B) 上, 是否存在一点C, 使△OBC的面积最大? 若存在, 求出最大值及C点坐标; 若不存在, 请说明理由.

通过上两例, 求函数的最大 ( 小) 项, 可针对题目的特点, 运用相应的方法.

三、等差数列前n项和求最值

数列是特殊的函数, 数列的前n项和仍是一数列, 它也是n的函数, 遇到求前n项和的最大 ( 小) 值问题, 可以先求出其前n项和{ S n } , 仿照上两例的做法即可. 但作为等差数列这种特殊数列, 除可用上述方法外, 针对它的特点, 有几种简单的方法, 先举例如下.

例3首项a 1 > 0的等差数列{ a n }, {S n}是其前n项和, S3= S 11 , 问此数列前多少项的和最大?

刍议新课标高考中函数最值的求法 篇3

一、定义法

例1 设函数f (x) 的定义域为R, 有下列三个命题:

①若存在常数M, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤M, 则M是函数f (x) 的最大值;

②若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 且x≠x0, 有f (x)

③若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤f (x0) , 则f (x0) 是函数f (x) 的最大值.

这些命题中, 真命题的个数是 ( ) .

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 根据函数的最大值的定义知, ①是假命题:虽然满足最大值定义中的任意性, 但不满足存在性, 故①错误.②、③正确:实质上, 它们是等价命题, 都满足最值定义中的两个条件.故选C.

点评 利用定义解决函数最值的相关问题时, 其重要的一点就是要把握定义的内涵, 准确加以应用.需要注意的是:函数一定有值域, 但不一定有最值, 如函数undefined的值域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 但它没有最大值, 也没有最小值.

二、函数单调性法

例2 设a>1, 函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为undefined, 则a=____.

分析 先判断函数在指定区间上的单调性, 再求出函数的最值, 然后利用条件求得参数a的值.

解析 ∵a>1,

∴函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上是增函数,

∴函数在区间[a, 2a]上的最大值与最小值分别为loga2a, logaa=1.

又 ∵它们的差为undefined.故填4.

点评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了, 以下的问题就容易了.一般而言, 对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m, n]上的最值:若函数f (x) 在[m, n]上单调递增, 则f (x) min=f (m) , f (x) max=f (n) ;若函数f (x) 在[m, n]上单调递减, 则f (x) min=f (n) , f (x) max=f (m) ;若函数f (x) 在[m, n]上不单调, 但在其分成的几个子区间上是单调的, 则可以采用分段函数求最值的方法处理.

三、导数法

例3 函数f (x) =x3-3x+1在闭区间[-3, 0]上的最大值、最小值分别是____.

分析 先求闭区间上的函数的极值, 再与端点函数值比较大小, 确定最值.

解析 ∵f′ (x) =3x2-3, ∴令f′ (x) =0, 得x=-1.

又 f (-3) =-17, f (-1) =3, f (0) =1,

比较得, f (x) 的最大值为3, 最小值为-17.

故填3, -17.

点评 (1) 利用导数法求函数最值的三个步骤:第一, 求函数在 (a, b) 内的极值;第二, 求函数在端点的函数值f (a) , f (b) ;第三, 比较上述极值与端点函数值的大小, 即得函数的最值. (2) 函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得:导数为零的点, 导数不存在的点及其端点.

四、换元法

例4 设a, b∈R, a2+2b2=6, 则a+b的最小值是____.

分析 由条件a2+2b2=6的形式知, 可利用三角换元法求a+b的值.

解析 ∵a, b∈R, a2+2b2=6, ∴令

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点评 在用换元法时, 要特别注意其中间变量的取值范围.如本题换元后中间变量α∈R, 这由条件a, b∈R可得到.

五、数形结合法

例5 对a, b∈R, 记

undefined

函数f (x) =max||x+1|, |x-2|| (x∈R) 的最小值是____.

分析 本题实质上是一个分段函数的最值问题.先根据条件将函数化为分段函数, 再利用数形结合法求解.

解析 由|x+1|≥|x-2|, 得

undefined

其图像如图所示.

由图形易知, 当undefined时, 函数有最小值,

undefined.故填undefined

点评 用数形结合的方法求解最值问题, 其关键是发现问题条件中所隐含的几何意义, 利用这个几何意义, 就可以画出图形, 从而借助图形直观解决问题.如将本题化为分段函数的最值问题后, 可以用分段求解最值的方法去解.

函数最值的几种求法 篇4

关键词：三角形,同名三角函数,最值,导数,方法

虽然导数的应用已经十分广泛, 但导数在三角形中的应用却很少被提及, 在三角形中, 由于受三角形本身的限制, 所以三个内角的同名的三角函数的和、差、积往往都存在极大值或极小值, 受三角形自身条件的限制, 这些极值就是它们的最值;并且这些最值都可以通过观察凭感觉直接得出;虽然感觉有了, 但若要求学生说明理由, 把解题的过程详细的展示出来却是一件十分困难的事情.而用初等方法去解决这些问题要求学生必须掌握一些特殊的方法、技巧;解题凭灵感, 找不到突破口、着力点, 甚至有方法、有技巧, 但却不知道要用哪一个方法、哪一个技巧, 没有普遍适用的方法.基于这一点, 下面简单的谈一谈求三角形中同名三角函数最值的导数求法.

这类最值一般以下面两个命题为依据.

命题1 (极值的充分条件) 设函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 的某一领域内有二阶连续偏导数, 且P0 (x0, y0) 是函数的驻点, 即fx (x0, y0) =0, fy (x0, y0) =0.

记fxx (x0, y0) =A, fxy (x0, y0) =B, fyy (x0, y0) =C, 则

(1) 当Δ=B2-AC<0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处有极值;当A<0时, 有极大值;当A>0时, 有极小值;

(2) 当Δ=B2-AC>0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处没有极值;

(3) 当Δ=B2-AC=0时, 函数z=f (x, y) 在点P0 (x0, y0) 处可能有极值, 也可能没有极值.

命题2 (拉格朗日乘数法) 要找函数z=f (x, y) 在附加条件φ (x, y) =0下的可能极值点, 可以先作拉格朗日函数L (x, y) =f (x, y) +λφ (x, y) (其中λ为参数) .求其对x, y的一阶偏导数, 并使之为零, 然后联立方程组

undefined

由这个方程组解出x, y, 这样得到的点 (x, y) 就是f (x, y) 在附加条件下的可能极值点 (这个方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形) .

例1 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求sinx+siny+sinp的最值.

分析 由初等函数可以明显的看出, 当undefined时, sinx+siny+sinp有最大值undefined, 但是, 具体要证明它却并非容易, 这是由于把握不住这类题型的规律, 从而往往感觉到有力无处使, 无从下手, 当然这道题的初等解法也很多, 这里就不再赘言, 而着重谈一谈它的导数解法.

解法1 (利用命题1) 设z=sinx+siny+sinp,

则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=sinx+siny+sin[π- (x+y) ]

=sinx+siny+sin (x+y) . ①

①式关于x, y分别求导, 得

undefined

②③两式关于x, y分别求导, 得

undefined

令②③两式分别为零, 联立组成方程组

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找驻点, 解之得

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即所求驻点为

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将undefined分别代入④⑤⑥, 得

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且undefined

∴由命题1知:

z=sinx+siny+sinp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined, 由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

由此种解法可以明显看出:以导数为工具解题, 首先要构造一个满足命题条件的函数, 一般在三角形中通常构造二元函数z=f (x, y) , 但确定函数的驻点时, 由于三角函数的多值性, 不要忘记条件:0

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 这个问题可以看成满足条件x+y+p=π的条件极值, 而求条件极值的最好方法当然是“拉格朗日乘数法”, 因此, 可以构造拉格朗日函数:

L (x, y, p, λ) =sinx+siny+sinp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=sinx+siny+sinp的值最大, 最大值为undefined

推广1 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

此种类型的三角形极值问题都能用例1所提供的两种解法来解决.下面再举例说明.

例2 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求cosx+cosy+cosp的最值.

解法1 (利用命题1) 同例1一样, 设z=cosx+cosy+cosp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=cosx+cosy+cos[π- (x+y) ]

=cosx+cosy-cos (x+y) . ⑦

⑦式关于x, y分别求导, 得

undefined

⑧⑨式关于x, y分别求导, 得

undefined

undefined (12)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入⑩ (11) (12) ,

undefined

且A=-1<0, 所以由命题1知:

z=cosx+cosy+cosp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.结合这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 仿照例1可以构造拉格朗日函数:

L (x, y, p, λ) =cosx+cosy+cosp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=cosx+cosy+cosp的值最大, 最大值为undefined

推广2 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例3 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求sinxsinysinp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=sinxsinysinp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=sinxsinysin[π- (x+y) ]=sinxsinysin (x+y) . (13)

(13) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (14)

undefined (15)

(14) (15) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined (16)

undefined (17)

undefined (18)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入 (16) (17) (18) ,

undefined

且undefined, 所以由命题1知:

z=sinxsinysinp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 略.

推广3 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例4 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求cosxcosycosp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=cosxcosycosp,

由于x+y+p=π, ∴p=π- (x+y) ,

z=cosxcosycos[π- (x+y) ]=cosxcosycos (x+y) . (19)

(19) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (20)

undefined (21)

(20) (21) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined (22)

undefined (23)

undefined (24)

联立组成方程组

undefined

undefined

将undefined分别代入 (22) (23) (24) ,

undefined

且A=-1<0, ∴由命题1知:

z=cosxcosycosp在undefined时取得极大值, 极大值为undefined.由这个问题的实际意义知该极大值就是所求最大值.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 略.

推广4 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例5 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求tanx+tany+tanp的最值.

解法1 (利用命题1) 略.

解法2 (利用拉格朗日乘数法) 这个问题显然是满足条件x+y+p=π的条件极值, 故也可用“拉格朗日乘数法”, 因此, 可以构造拉格朗日函数:L (x, y, p, λ) =tanx+tany+tanp+λ (x+y+p-π) .

对上式分别求关于x, y, p, λ的偏导数, 得方程组

undefined

解之得undefined

因为问题本身一定存在最大值, 而点undefined是唯一可能的极值点, 所以最大值必在此点取得, 因此当三角形的三个内角分别为undefined时, z=tanx+tany+tanp的值最小, 最小值为undefined

推广5 在三角形ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求undefined是不小于1的实数) 的最值.

例6 在△ABC中, x, y, p分别是它的三个内角, 求tanxtanytanp的最值.

解法1 (利用命题1) 设z=cosxcosycosp, 则此函数显然满足命题条件, 由于x+y+p=π,

∴p=π- (x+y) ,

z=tanxtanytan[π- (x+y) ]=-tanxtanytan (x+y) . (25)

(25) 式关于x, y分别求导, 得

undefined (26)

undefined (27)

(26) (27) 两式关于x, y分别求导, 得

undefined

(下转94页)

参考文献

[1]曾庆柏.大学数学应用基础 (下) .长沙:湖南教育出版社, 2004:70.