线性规划题型

线性规划题型（精选五篇）

线性规划题型 篇1

一、借助函数单调性给出线性约束条件

例1定义在R上的函数f (x) 满足f (4) =1, 且f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 若两个正数a, b满足f (2a+b) <1, 则的取值范围是 ()

解:因为y=f (x) 在区间 (0, +∞) 上单调递增, 又f (2a+b) <1=f (4) 2a+b<4, 所以对应的可行域如图1 (阴影) , 令, 可作为两点M (a, b) , A (-1, -1) 的斜率, 由图1知当M分别取作点B, C时, 对应k的最小和最大值, 易知B (2, 0) , C (0, 4) , 所以故k的范围是, 选 (C) .

点评:与函数单调性相关的代数式范围 (或最值) 问题, 考虑转化成线性规划问题处理.

二、求线性目标函数最值的范围

例2已知实数x, y满足如果目标函数z=x-y最小值的范围是[-2, -1], 则该目标函数最大值的范围是 ()

(A) [1, 2] (B) [3, 6] (C) [5, 8] (D) [7, 10]

解:作出可行域如图2, 当直线束过A点时, 目标函数z=x-y有最小值, 联立所以由, 由图2知当直线束过B点时, 目标函数z=x-y有最大值, 联立所以选 (B) .

点评:线性约束条件中含有参数时, 参数的范围与目标函数最值的范围相互转化.

三、求动点所在平面区域的面积

例3 (2011年江西八校联考) 已知点M (a, b) 在由不等式组确定的平面区域内, 则点N (a+b, a-b) 所在平面区域的面积是 ()

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

解:因为点M (a, b) 在由不等式组确定的平面区域内, 即作出可行域如图3 (a) , 令同时由 (*) 还可知0≤u≤2.令v=a-b, 由图3 (a) 知, 当直线束v=a-b分别过A, B点时, v有最大值和最小值, 把A, B坐标代入得vmax=2, vmin=-2, 即-2≤v≤2, 因此有:作出可行域如图3 (b) , 可知点N (a+b, a-b) 所在平面区域是阴影三角形, 故它的面积, 选 (C) .

点评:动点的坐标是两个目标函数, 由两个目标函数取值范围, 确定动点所在平面区域, 进一步求该区域面积.

四、借助换元, 求目标函数最值

解:作出可行域如图4, 令, 即直线束y=kx, 当直线束分别过A, B点时, 目标函数有最小值和最大值, 联立, 得

点评:虽然目标函数没有几何意义, 但是通过换元, 使目标函数的变量有几何意义, 用线性规划知识先求出变量的范围, 再进一步求目标函数的最值.

考研数学冲刺 线性重点题型预测 篇2

题型一向量的线性相关性

向量的线性相关性是最近几年考研数学真题中线性代数的一个常考题型，比如在2014年、、及都有出现，大多以选择题或者填空题的类型出现，属于比较简单的类型，同学们定要重视一下以免造成无谓的丢分。

题型二行列式的计算

行列式的.计算和其他类型相比算是比较简单的类型，在以往的真题试题中大部分是计算n阶特殊的行列式。这种题型称得上是“送分童子”。

题型三关于对称矩阵的问题

关于对称矩阵，围绕这类矩阵来出题显得更加灵活，最常见的类型是求对称矩阵或者二次型

对应的矩阵的所有特征值以及所对应特征向量，有时还要求考生求一正交变换使对称矩阵能够对角化并化成标准型或者规范化，虽然2014年真题中没有出现，但在、20、20、20的考研数学中都有涉及到，或者是根据对称矩阵在正交变换下的标准型反过来求矩阵例如的考研数学中；再者就是根据对称矩阵的秩或者二次型的解的个数来求解矩阵中出现的参数比如在年、20、年的数学考研中；最后是根据矩阵中已给出的特征值和特征向量求出所有的特征值和特征向量或者是反求出矩阵年、年、的考研数学中均有出现。今年考的几率很大望引起你的重视。

题型四有关线性方程组的解的问题

线性方程组关于解的问题是线性代数的基础，这类题中大多是根据对应矩阵中的参数变化来确定解的情况，比如方程组有唯一解、无穷多解还是无解以及求第三矩阵。例如2014年、2012年、2010年、20等的历年考研中都有出现，这方面的应用一定要熟练掌握。

题型五矩阵之间的相似、合同和等价

这类题主要是填空、选择或者证明题的的形式出现（例如2014年的第21大题）还有就是判断它们之间的关系或者根据它们之间的关系求其中的参数或者特征值。

题型六矩阵或者向量的秩来出题

这类题的形式比较多（多数是求参数题），但多是一些较简单的题目来出现。

题型七矩阵的行、列初等变换的题目

多以选择或者填空的形式出现，要求真正理解。

线性规划问题的几种题型例析 篇3

1． 基本问题

（1） （08年安徽理）如果实数x、y满足条件x-y+1≥0y+1≥0x+y+1≤0，那么2x-y的最大值为（）

A． 2

B． 1

C． -2

D． -3

解析：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是：画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最大值，如图所示显然是平行线过A点时取最大值，将A点坐标代入有

Zmax=1，故选择B

一般地，目标函数形如ax+by的形式的线性规划问题，可直接作出ax+by=0这样的函数进行平移求最值.

2． 考查可行域问题

(07北京卷)若不等式组x-y≥02x+y≤2y≥0x+y≤a表示的区域是一个三角形，则a的取值范围是.

解析：则图中的阴影为x-y≥02x+y≤2y≥0所表示的三角行区域.

直线x+y≤a所表示的区域应该在此直线的下方.所以要使x-y≥02x+y≤2y≥0x+y≤a表示的平面区域为三角形a的取值为0＜a≤1或a≥43.

该类题型在高考中时有出现，实际上就是如何正确求出线性规划可行域的运用，也可以说是线性规划思想的运用.

3． 考查目标函数与距离的关系

（1） 已知点P（x，y）的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1点O为坐标原点，那么z=x2+y2的最小值等于,最大值等于.

解析：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22 B（1，3），OB＝10

C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10，最小值为2.

本题约束条件是线性的，但目标函数却是非线性的，问题的解决

关键是能够很好的利用目标函数的几何特点，将求z=x2+y2

的最值问题转化为区域内的点到原点的距离问题，从而实现问题

的解决.解答这类与距离相关的线性规划问题，需要注意两点：

一是所求的最值可能是两点间的距离，也可能是点到直线的距离，

要结合所画的区域作出正确的判断；二是要明确最终所求的是距

离的最值还是距离平方的最值.

4． 考查最优解个数问题

（1） 已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为.

解析：本题是一个逆向思维问题，已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.

在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD=1,kAB=-1,目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB=-1，即-a＜-1，所以a的取值范围为(1，+∞)由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需要要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力.

练习：

1． 在平面直角坐标系中，不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积是.

解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积.由题知可行域为△ABC，S△ABC=｜4-0｜×22=4.

2． 设实数x, y满足x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0,则yx的最大值是.

解析：求yx的最大值问题可转化为区域内的点和原点的连线的斜率的最大值，画出可行域，如图所示，当原点和C1,32连线时，斜率最大，为32，由此说明yx的最大值为32.

总结：以上两题说明，在给定约束条件情况下，要利用好目标函数的几何意义，可以使我们能够站在系统的高度，把握问题的规律，有效地实现问题解决，而且有助于加深学生对数学知识的理解和深化.

3． 若a≥0,b≥0且当x≥0y≥0x+y≤1时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.

方法(1) 变换思想:x′=axy′=by,区域x≥0y≥0x+y≤1变换为区域x′≥0y′≥0x′a+y′b≤1时 ,恒有x′+y′≤1成立,得到0≤a≤1,0≤b≤1则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.

方法(2)：多元化归一元思想：由x+y≤1得到y≤1-x则ax+b(1-x)≤1.

对于任意的x∈［0,1］恒成立即ax+b(1-x)-1≤0对于任意的x∈［0,1］恒成立，令f(x)=(a-b)x+b-1则f(0)≤0f(1)≤0得到则点P(a,b)所形成的平面区域的面积为1.

线性规划求最值题型归类 篇4

一、与直线的截距有关的最值问题

1. 与直线的截距成正比

例1设z=2y-2x+4,式中x,y满足条件求z的最大值和最小值.

分析:作出线性约束条件下的可行域,然后作出与直线2y-2x=0平行直线,通过平行移动,在可行域内求出最大值和最小值.

解:作出满足不等式组的可行域(如图1)

作直线:2y-2x=t,

当l经过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8;

当l经过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.

解后反思:在本题中,t可看成在y轴上的截距的一半,通过平移直线,得到y截距的最值,也就得到了t的最值.

2. 与直线的截距成反比

例2已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,则z=x-y的取值范围是()

(A)[-2,-1](B)[-2,1]

(C)[-1,2](D)[1,2]

解析:由线性约束条件画出可行域图2,考虑z=x-y,把它变形为y=x-z,这是斜率为l、随z变化的一族平行直线.-z是直线在y轴上的截距,当直线截距最大时,z的值最小;当直线截距最小时,z的值最大.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件且直线经过点(2,0)时,目标函数z=x-y=2最大;直线经过点(0,1)时,目标函数z=x-y=-1最小.故答案为(C).

点评:本题考查了线性规划中最优解问题,当然,本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0,1),(2,1),(2,0)代入目标函数求出z=x-y的取值范围为[-1,2]更为简单.

二、与直线的斜率有关的最值问题

例3实数x,y满足不等式,则的取值范围()

(A)(B)(C)(D)

分析:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最值.

解析:如图3,点(x,y)在图中阴影部分,,即动点(x,y)与定点A(-1,1)连线的斜率,

如图l1的斜率k1=kAB,由得B(1,0),则,l2与直线x-y=0平行,所以,故选(D).

答案:(D)

点评:解题的关键是理解目标函数的几何意义,类似的你知道z=x2+y2的几何意义吗?当然本题也可设,则y=tx,即为求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过点A时,t最大:A为x+2y-4=0与2y-3=0的交点.所以.所以代入y=tx,求出,即得到的最大值是.

三、与距离有关的最值问题

例4已知,求(x+1)2+(y+1)2的最大值和最小值.

解:作出不等式组的可行域如图4,

设z=(x+1)2+(y+1)2,则它表示可行域内的点到(-1,-1)的距离的平方,所以(-1,-1)到点B的距离最大,到点C的距离最小,所以zmin=13,zmax=41.

答案:(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是zmin=13,zmax=41.

点评:充分理解目标函数的几何意义,如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.

四、与实际应用的最值问题

例5本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得目标函数为z=3000x+2000y.

二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.

如图5,作直线l:3000x+2000y=0,

即3x+2y=0.

平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.

所以点M的坐标为(100,200).

所以zmax=3000x+2000y=700000(元)

答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.

线性代数大纲考点和常考题型 篇5

在研究生入学考试中，线性代数是数一、数二、数三考生研究生考试的公共内容，占22%（总分150分），考察2个选择题（每题4分，共8分）、1个填空题（每题4分，共8分）、2个解答题（总分22分）。线性代数相对考研数学高数来说，比较简单，要想取得好的成绩，线代争取不丢分。线性代数包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等六个模块，下面结合大纲考点，分章节整理分析常考题型，希望对学员有所帮助。

一、行列式

1、考试内容

（1）行列式的概念和基本性质；

（2）行列式按行（列）展开定理

2、考试要求

（1）了解行列式的概念，掌握行列式的性质；

（2）会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

3、常考题型

（1）行列式基本概念；

（2）低价行列式的计算；

（3）高阶行列式的计算；

（4）余子式与代数余子式

二、矩阵

1、考试内容

（1）矩阵的概念；

（2）矩阵的线性运算；

（3）矩阵的乘法；

（4）方阵的幂；

（5）方阵乘积的行列式；

（6）矩阵的转置；

（7）逆矩阵的概念和性质；

（8）矩阵可逆的充分必要条件；

（9）伴随矩阵；

（10）矩阵的初等变换；

（11）初等矩阵；

（12）矩阵的秩；

（13）矩阵的等价；

（14）分块矩阵及其运算

2、考试要求

（1）理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质；

（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；

（3）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵；

（4）了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法；

（5）了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

以上是针对行列式、矩阵两个个模块，结合考研大纲，分章节整理考试内容、考试要求、常考题型，希望学员熟练掌握。

三、向量

1、考试内容

（1）向量的概念；

（2）向量的线性组合与线性表示；

（3）向量组的线性相关与线性无关；

（4）向量组的极大线性无关组；

（5）等价向量组；

（6）向量组的秩；

（7）向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；

（8）向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法；

（9）向量空间及其相关概念；

（10）n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积。（其中9、10只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求）

2、考试要求

（1）了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则；

（2）理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法；

（3）理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩；

（4）理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系；

（5）了解内积的概念。掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

（6）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（7）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。（其中5、6只有数一考生要求掌握，数二、数三考试不要求）

3、常考题型

（1）判定向量组的线性相关性；

（2）向量组线性相关性问题的证明；

（3）向量组的线性表示问题；

（4）向量组的极大线性无关组与向量组的秩；

（5）过度矩阵与向量的坐标表示（数一考生要求、数二、数三考生不要求）

四、线性方程组

1、考试内容

（1）线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；

（2）线性方程组有解和无解的判定；

（3）齐次线性方程组的基础解系和通解；

（4）非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系；

（5）非齐次线性方程组的通解

2、考试要求

（1）会用克莱姆法则解线性方程组；

（2）掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法；

（3）理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；

（4）理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；

（5）掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

3、常考题型

（1）涉及线性方程组理论的矩阵证明；

（2）线性方程组解得结构与性质；

（3）齐次线性方程组的基础解系与通解；

（4）非齐次线性方程组的通解；

（5）方程组的公共解。

五、特征值与特征向量

1、考试内容

（1）矩阵的`特征值和特征向量的概念、性质；

（2）相似矩阵的概念及性质；

（3）矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；

（4）实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

2、考试要求

（1）理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法；

（2）理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；

（3）掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

3、常考题型

（1）求矩阵的特征值与特征向量；

（2）特征值与特征向量的定义与性质；

（3）非是对称矩阵的相似对教化；

（4）是对称矩阵的对教化；

（5）求矩阵的幂矩阵；

（6）根据特征值与特征向量反求矩阵；

（7）有关特征值与特征向量的证明

六、二次型

1、考试内容

（1）二次型及其矩阵表示；

（2）合同变换与合同矩阵；

（3）二次型的秩；

（4）惯性定理；

（5）二次型的标准形和规范形；

（6）用正交变换和配方法化二次型为标准形；

（7）二次型及其矩阵的正定性

2、考试要求

（1）了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念；

（2）了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形；

（3）理解正定二次型。正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

3、常考题型

（1）二次型的概念和性质；

（2）化二次型为标准型；

（3）含参数的二次型问题；

（4）正定二次型的判别与证明问题；

（5）矩阵的相似与合同