距离公式

距离公式（精选五篇）

距离公式 篇1

一、解方程

分析:配方使等式左边可作为两点间距离.

解:原方程配方得,可作为x轴上一点P(x,0)到两定点A(2,1),B(0,-1)的距离和为,即P点的横坐标就是原方程的解.

又|AB|=,所以点P在线段AB上又在x轴上,点P就是直线AB与x轴的交点,易知AB:y=x-1,与x轴交点为P(1,0),所以原方程解为x=1.

点评:配方法认清距离公式的变脸,就能解有关距离模型的方程.

二、证明不等式

例2已知a+b=1,求证:对任意实数m,n有(m+a)2+(n+b)2≥(m+n+1)2.

分析:不等式两边开平方,左边作为两点间距离,右边作为点到直线距离

点评:开平方认清距离公式的变脸,就能证明有关距离模型的不等式.

三、求函数最值

分析:配方并换元转化为两点间距离.

四、求函数的单调性

例4求函数f(x)=的单调区间及单调性.

分析:把函数f(x)看作点到直线间距离的形式.

解:函数的定义域是-1≤x≤1.令y=,即如图2,所以,几何意义:半圆上动点M(x,y)到定直线L:x-y+2=0距离的倍,由图2知使OB⊥L,B到L距离最小,易得OB:y=-x,由,得x=即B点横坐标,所以当x由-1→时,上半圆上动点M由A→B,M到L距离由大变小,即在[-1,]上f(x)递减.

当x由-→1时,上半圆上动点M由B→C,M到L距离由小变大,即在[-,1]上f(x)递增.

点评:令y=f(x),形如|Ax+Bf(x)+C|的表示式化为d=,看作函数y=f(x)上动点A(x,f(x))到定直线l:Ax+By+C=0间距离.

点到直线的距离公式教学案例 篇2

点到直线的距离公式教学案例

在点到直线的距离公式教学案例中,用一些常见的`”筑路“和”台风“问题作为情境,引导学生提出问题,同时给了学生自由思考的空间.学生在交流中弄清了数学概念,并运用自己的洞察力,把一个小小的问题与那么多的知识联系在一起,在学生思维豁然开朗之际,也展示了交流合作的艺术:取他人之长,补自己之短.

作 者：简素宁 作者单位：乐清市第三中学刊 名：成才之路英文刊名：THE ROAD TO SUCCESS年，卷(期)：”"(12)分类号：G63关键词：案例 点到直线的距离 公式

空间点到平面距离公式的证明探究 篇3

解析几何是用代数方法研究几何图形的形状、性质, 体现了数形结合的重要数学思想. 在坐标系中研究几何图形是解析几何的基本出发点, 也是很多公式和定理的证明依据. 点到直线的距离公式可以用数形结合的方法, 先过点向直线做垂线, 通过解方程组求出交点, 再利用两点间的距离公式来推导出来, 这是中学数学中常用到的方法, 在证明中经常需要讨论常数A、B、C各自等于零时的情况, 证明带来了很多麻烦. 现把点到直线的距离转变为条件极值, 利用拉格朗日乘数法[1]求解, 可以更加科学完备的证明, 而且省去了讨论常数A、B、C各自等于零时的情况, 而且可以很自然的推广到空间中点到平面距离公式的证明之中.

问题1: 证明平面中点M ( x0, y0) 到一条直线L: Ax + By + C= 0 ( A, B不能同时为0) 的距离公式是

问题1的证明借助于多元函数的条件极值法. 如图1所示:

过点M ( x0, y0) 作任一条直线和已知直线相交, 设交点是N ( x, y) , 交点坐标满足直线方程即Ax + By + C = 0, 当交点N的位置不同时, M、N两点之间的距离D ( x, y) 也随之发生变化, 则M、N两点之间的最短距离即为点M到直线L的距离.

根据两点间 距离公式 得到:, 则点到直线的最短距离变为求该函数在条件Ax + By + C = 0下的最小值问题, 利用拉格朗日条件极值法, 设拉格朗日函数:求解F ( x, y) 的条件极值, 得到最短距离: ( A, B不能同时为0) .

二、空间中点到平面的距离公式[2,3]

问题2: 证明空间中点M0 ( x0, y0, z0) 到平面π: Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B, C不能同时 为0 ) 的距离公 式.

问题2的证明借助于多元函数的条件极值[1]法, 如图1所示

过点M0 ( x0, y0, z0) 向该平面任意引一条直线, 设直线和平面π的交点是N ( x, y, z) , 交点坐标满足平面方程, 即Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B, C不能同时为0) , 则M0、N两点之间距离D ( x, y, z) 的最小值即为点M0到平面π的距离. 利用拉格朗日条件极值法, 设拉格朗日函数:利用问题1的方法解得该函数的最小值是:

三、两公式比较、过渡

以上两个公式的证明方法完全一样, 都是借助于拉格朗日乘数法, 利用代数知识研究几何问题, 该方法虽然过程繁琐, 但是具有普遍适用性, 只要是相关的求最值问题都可以利用此方法; 而且证明不用分情况讨论常数A、B、C各自为零的情况. 事实上, 这两个公式不仅解析形式和证明方法相似, 而且存在着必然的联系.

方程Ax + By + C =0 ( A, B不能同时为0) 在平面直角坐标系XOY中表示一条直线, 但是在空间直角坐标系OXYZ中则表示一张平行于Z轴的平面, 法向量n = { A, B, 0} , 平面直角坐标系XOY内的点M ( x0, y0) 在空间直角坐标系中表示点M ( x0, y0, 0) ( 如图1所示) . 那么利用前面证明过的空间中点到平面的距离公式也可得到M ( x0, y0, 0) 到平面Ax + By + C =0的距离

四、点到平面距离公式的其他证明方法

利用拉格朗日乘数法证明公式虽然过程严谨, 推理逻辑, 但是求极值却很烦琐, 因此只适合证明公式, 实际应用中常用另外两种行之有效, 而又简单易推广的方法证明公式:

1. 利用数量积的知识[3]. 如图2所示, 在该平面上任意选取一点M ( x, y, z) , 则点M ( x, y, z) 满足平面的方程, 即Ax + By + Cz + D = 0, 同时, 两点构成向量设平面的法 向量n = { A, B, C} ,

2. 利用定义法, 借助于向量平行[4]的充要条件. 如图2所示, 过点M0 ( x0, y0, z0) 作一条垂直于该平面Ax + By + Cz + D =0的直线, 设垂足是N ( x, y, z) 平行于法向量n = { A, B, C}

又因为点N ( x, y, z) 在平面Ax + By + Cz + D = 0上, 所以坐标满足平面方程, 由此求t的值, 得到距离公式:

数量积的方法使学生理解了空间中点的坐标表示, 空间平面的知识, 而且通过求解过程, 掌握投影和数量积之间的关系, 能够熟练的利用数量积来解决有关平面的问题.

向量平行的方法把问题转换成空间直线和平面的位置关系, 巧妙的借助于两向量平行的充要条件, 使垂足的坐标很容易求出来, 使两点间的距离公式发挥的更加直接, 充分彰显了定义法的魅力所在.

总之, 本文把距离问题转变为利用条件极值, 构造拉格朗日函数证明两个不同的公式, 挖掘出了两个公式的内在联系; 又进一步探究了关于点到平面距离公式的其他两种证明方法. 每种方法在解决同一个问题中都凸显出各自的优越性, 而更为重要的是通过不同方法的学习激发了学生的积极性和兴趣, 不仅记忆深刻, 也把课本中相关的知识综合到了一起, 这就达到了归纳、理解、运用的目的.

摘要：平面解析几何中点到一条直线的距离公式和空间解析几何中点到一个平面的距离公式非常相似, 而证明方法也大同小异, 利用求条件极值的拉格朗日乘数法来证明两个公式, 通过特例诠释公式, 实现两个公式之间的有机衔接, 然后又进一步探究点到平面距离公式的其他简便方法.

关键词：平面解析几何,空间解析几何,条件极值,拉格朗日乘数法,距离公式

参考文献

[1]刘贵濂, 梁炼.高等数学[理工类].北京, 中国人民大学出版社, 2007:130-171.

[2]朱弘毅.高等数学[中册].上海, 上海科学技术出版社, 2002:1-27.

[3]董福学, 点到直线距离公式的证法探究, 数学教学研究, 2008, 27 (7) .

距离公式 篇4

贵州省黄平县旧州中学 杨胜万

在人教大纲版高二数学上册中,关于点到直线距离公式的推导方法,教材介绍了两种推导方法,并详细给出了利用直角三角形的面积公式推导得出点到直线的距离公式的具体过程。其实关于点到直线的距离公式的推导方法，除上述方法之外，还有其它很多方法，在这些方法中，向量法（利用平面向量的有关知识来推导的方法）是一种行之有效的推导方法。其推导思路简单明了、运算量也较小。下面笔者给出向量法推导点到直线的距离的具体过程，以供同行参考：

已知直线：

和点，为点

到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为，其方向向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：

由平面向量的有关知识，可得：

显然，当或

时，上述公式仍成立。

点到直线距离公式的几种证明方法 篇5

关键词：距离公式,证明方法,学习兴趣

提起点到直线的距离公式, 这是大家都非常熟悉的一个公式, 然而要给出一个较好的证明方法, 则未必是大家都熟悉的问题.在教材的变化与改革过程中不同时期各个版本的教材都给出了不同的证明方法, 那是因为教材知识序列的先后顺序不同, 编者就选择了不同的证明方法.笔者在多年来的教学实践中根据需要选择相应的方法, 对于学生的思维能力、探究能力、计算能力、推理能力、叙述表达能力、创新能力等都起到了很好的训练作用, 同时对于培养学生的学习兴趣起到了良好的作用, 学生感受到不同方法的特点, 唤起了进一步探究问题的好奇心和强烈的求知欲望.就下列几种常用方法加以整理, 愿给学生一点小小的启发与帮助.

在平面直角坐标系下, 已知点P (x0, y0) , 直线l:Ax+By+C=0, 求证:P点到直线l的距离$d=\frac{|Ax{}_0+By{}_0+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

证明1 (解析法) 令经过P (x0, y0) 且垂直于l:Ax+By+C=0的直线为l′:B (x-x0) -A (y-y0) =0, 垂足为H (x, y) ,

由

$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0,\\ B(x-x{}_0)-A(y-y{}_0)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}Ax+By+C=0,\\ Bx-Ay-Bx{}_0+Ay{}_0=0.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\{\begin{array}{l}A{}^{2}x+ABy+AC=0,\\ B{}^{2}x-ABy-B{}^{2}x{}_0+ABy{}_0=0\end{array}\Rightarrow \\ (A{}^2+B{}^2)x=B{}^{2}x{}_0-ABy{}_0-AC.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}\text{由}\{\begin{array}{l}ABx+B{}^{2}y+BC=0,\\ ABx-A{}^{2}y-ABx{}_0+A{}^{2}y{}_0=0\end{array}\Rightarrow \\ (A{}^2+B{}^2)y=A{}^{2}y{}_0-ABx{}_0-BC.\end{array}$

所以${\rm H}\left(\frac{B{}^{2}x{}_0-ABy{}_0-AC}{A{}^2+B{}^2}‚\frac{A{}^{2}y{}_0-ABx{}_0-BC}{A{}^2+B{}^2}\right)$, 求得

得到点P到直线l的距离$d=|{\rm P}{\rm H}|=\frac{|Ax{}_0+By{}_0+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

评述 解析法的优点是证明思路简单, 想法学生容易理解和接受, 但是对学生的计算能力要求较高 (普通高中课程标准实验教科书《数学》 (必修2) 北京师范大学出版社教材中只给出了计算程序……) , 特别是字母运算的能力.正是利用这一点可以加强对学生运算能力的锻炼, 是一个极好的机会, 使学生感受到计算能力的重要性, 对现行初中阶段由于大量使用计算器削弱了学生这方面能力是个很好的补充练习.

证明2 (几何法) 过P (x0, y0) 作x轴的平行线, 交直线l于点R (x1, y0) , 作y轴的平行线, 交直线l于点S (x0, y2) ,

由

$\{\begin{array}{l}Ax{}_1+By{}_0+C=0,\\ Ax{}_0+By{}_2+C=0\end{array}\Rightarrow x{}_1=\frac{-By{}_0-C}{A},y{}_2=\frac{-Ax{}_0-C}{B}.$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}|{\rm P}R|=|x{}_0-x{}_1|=\left|\frac{Ax{}_0+By{}_0+C}{A}\right|‚\\ |{\rm P}S|=|y{}_0-y{}_2|=\left|\frac{Ax{}_0+By{}_0+C}{B}\right|.\\ |RS|=\sqrt{{\rm P}R{}^2+{\rm P}S{}^2}=\frac{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}{|AB|}|Ax{}_0+By{}_0+C|‚\end{array}$

由三角形面积关系可得

$d\cdot |RS|=|{\rm P}R|\cdot |{\rm P}S|\Rightarrow d=\frac{|Ax{}_0+By{}_0+C|}{\sqrt{A{}^2+B{}^2}}.$

评述 几何法的优点是借助几何直观, 较大地减少了计算量.通过直角三角形的面积关系建立点到直线距离和三边的关系, 尤其是直角三角形的直角边和坐标轴平行或重合, 使得计算容易, 作为学生阅读是个好方法, 也能使得学生体会到数和形的结合对化解数学问题能起到良好的作用.假如让学生自己去想未必能发现这样一个方法.

证明3 (配凑法) 令经过P (x0, y0) 且垂直于l:Ax+By+C=0的直线为l′:B (x-x0) -A (y-y0) =0, 垂足为H (x, y) .

评述证法3实际上是一种代数方法, 本人简单地称之为配凑法.这是一个奇妙的证明方法, 一般教材都没有这种方法, 这是笔者在优化解析法 (证法1) 的时候发现并加以整理出来的, 就是改进了证法1中求垂足的坐标, 只是设垂足但是并不需要求出来, 即设而不求的思路, 然后通过整体解出, 达到了证明的目的, 学生感觉有一种非常奇妙的体会.

证明4 (向量法) 可以取直线l:Ax+By+C=0的方向向量为v= (B, -A) , 即其法向量是n= (A, B) , 设M (x, y) 是直线l上的任意一点,

评述用向量的工具解决一些疑难问题往往是事半功倍, 对于点到直线的距离公式的证明自然也不例外, 显然是这几种方法里面比较理想的一种, 思路简洁, 计算量小.但是由于教材知识序列的问题, 有时候往往把它作为向量的应用列举, 假如把向量的学习放到解析几何前面, 就为证明铺好了路子, 当然还需要学生熟练地掌握有关向量的知识和方法.

总之, 对于点到直线的距离公式的证明, 本人把常用的方法加以小结, 根据我们的教学实际可以合理选择应用, 不妥之处敬请指教.

参考文献

[1]全日制普通高级中学教科书.《数学》第二册 (上) .北京:人民教育出版社.