复合期权

复合期权（精选五篇）

复合期权 篇1

本文所探讨的公司流动性,是指公司或企业持有的容易变现的资产,即流动性资产。流动性除了账面价值外,还含有某种潜在价值。因为从公司层面而言,公司持有现金等流动性资产是有成本的,而流动性资产的收益率相对其它投资项目而言较低,有的还要面临双重税负等风险。可见,公司之所以愿意付出一定的代价来持有流动性,是因为流动性具有某种潜在价值,否则就是不理性的。大量的公司实务表明,无论是国外还是国内,不仅公司之间持有的流动性不同,即使是同一家公司在不同时期持有的流动性也可能不同。对公司流动性价值进行科学的评估,对于投资者、公司管理者等各方都非常重要。然而目前,现有公司流动性相关文献绝大部分集中于讨论公司是否应该有一个最优的流动性水平,这种最优流动性水平又如何计算等等,对公司流动性定价问题研究极少,只有少数学者在流动性定价方面进行了开创性的研究。有的采取计量实证方法对流动性的价值展开探讨,代表性的研究是Pinkowitz,Stulz和Williamson(2003)运用Fama和French(1998)的实证方法,考察了多个国家的公司流动性,尝试对流动性价值进行评估。Pinkowitz和Williamson(2004)运用同样的方法估计了美国的公司流动性价值。他们的估计结果是,股东对1边际美元流动性所要求的平均价值是0.94-0.97美元,此外,Faulkender和Wang(2005)使用了检验超额股本回报的方法和使用Fama和French(1993)文中的因素来解释公司对总体风险暴露的时间序列和横截面方差,得到的实证结果显示,对于所有公司而言,现金平均边际价值是0.94美元。还有一些学者使用财务分析方法对公司流动性的价值展开评估,主要使用贴现现金流评估模型(DCF)。应该指出的是,上述计量分析法的研究都建立在不同公司的大样本基础之上,采用历史数据进行回归,其本身的解释力是有限的。最重要的是该方法的前提是假设决策的形成是清晰固定的,并且只考虑有形的利润和成本,忽视了现金所特有的“灵活性”的价值。而传统的DCF法对于确定性的价值评估是有效的,但对于流动性这样一种未来收益充满不确定性的资产的评估,基本上是只具有参考意义。因此,必须采用新的方法———实物期权法。

实物期权法的兴起源于学术界和实务界对传统投资评价的净现值技术的置疑。Myers(1977)首先提出了实物期权的概念,并指出当投资对象是高度不确定的项目时,传统净现值理论低估了实际投资。他认为,企业不确定条件下的初始投资可以视同购买了一个看涨期权,期权拥有者因此拥有了等待未来增长机会的权利。Trigeogis(1996)把实物期权分为七类:延迟投资期权(option to defer investment)、改变运营规模期权(option to alter operating scale)、转换期权(option to switch to use)、放弃期权(option to ab和on)、增长期权(corporate growth options)和分阶段投资期权(option to staged investment)、复合期权(multiple interacting options)。目前,关于实物期权定价的研究在具体的投资领域十分活跃。

对照实物期权(real option)的含义,仔细研究公司流动性,就会发现其具备大量实物期权的特征。流动性之所以有价值,是因为它给持有者一种灵活性,一种选择权或者一项期权。持有者在必要时有权转换为现金(Scholes,2000);或者“在一个不确定的未来时间提供消费购买力”的选择权(Miller,1994);公司持有流动性作为一种期权,使其能够抓住有利可图但时效要求高的未来投资机会(Washam和Davis,1998)。可见采用实物期权法对公司流动性的价值进行评估是有道理的,关于公司流动性的实物期权性质,下文还有深入剖析。目前国内外关于公司流动性期权定价的研究属于公司金融理论的前沿课题,均刚刚起步。国外利用期权原理对公司流动性进行定价的文献主要有两篇,即Washam和Davis(1998)以及Cossin和Hricko(2004)。前者借鉴差额期权模型给出了一个简单的流动性定价公式,但这一公式是非常初步的,而且讨论的是静态价值。它没有考虑不确定性前提下投资价值和投资成本的变化,没有考虑等待的价值与损失(特别是等待的损失),也没有考虑公司是否存在外部融资可能以及融资成本大小。后者采用的是传统的B-S期权定价模型,假设条件限制相对较多,没有考虑投资本身的随机性,没有考虑“等待的价值”,也没有考虑流动性的成本。国内文献基本来自郑凌云(2007)关于公司流动性期权定价开创性的研究。该研究选择交换期权定价模型将流动性投资期权和保险期权联系起来,得出了流动性期权定价的一般公式,并进行了实证模拟。曾林阳(2009)关于商业银行流动性期权定价基本沿袭了郑凌云的思路,是对银行业这一具体行业的公司流动性的期权定价。

综上所述,本人认为目前关于公司流动性实物期权定价的研究还非常薄弱,该方向在未来若干年内都将是公司金融领域里一项极有意义和挑战性的新课题。对公司流动性进行实物期权定价的探讨,不但可以打开对公司流动性研究的新视野,对于公司价值评估理论也将起到至关重要的影响,因为如果我们不了解公司持有的流动性所蕴含的价值,就无从对整个公司价值进行真正正确的评估。

本文结构如下:第一部分是引言,对研究问题的内容和意义以及国内外文献进行综述;第二部分对公司流动性的复合实物期权的性质进行详细分析;第三部分对公司流动性的复合实物期权的基本模型进行讨论;第四部分给出实际的算例。

1 公司流动性的复合实物期权特征

1.1 复合实物期权

随着实物期权理论深入的探讨及项目投资评价与决策的实际发展,Myers(1987),Mason和Merton(1985),Trigeorgis和Mason(1987),Trigeorgis(1988)逐渐发现蕴含在投资项目中的经营灵活性和战略价值实际上大多数是以多个实物期权或实物期权组合的价值得以体现的,因此,实物期权理论的研究如果只停留在单个实物期权的定价这个层面上显然是不能反映客观实际要求的。Pennings和Lint(2000)研究了存在于同一个投资项目中的多个实物期权的相互作用,强调在同一个投资项目中的多个实物期权不能被单独估值,识别出在同一个问题中存在两个相互独立的期权。Rainer Brosch(2001)在研究实物期权组合特性的基础上,对实物期权之间的复合关系进行了定义和分类。

也就是说,对于多个实物期权的投资项目,后一个期权是在前一个期权的基础上产生的,由于各个期权都是相关的,后续期权的存在会有效地提高前面期权的标的资产的价值,另外前面一个实物期权的执行可能会改变标的资产(如扩展或收缩),从而改变后续期权的价值,其价值构成了一个相互影响的价值链。由于存在这样的因果关系,也就不能对各个期权进行简单地独立地评估,而应把它们看作一个复合期权,即期权的期权。从此复合期权也被引入到实物期权领域,称为复合实物期权。

复合实物期权本身反映出一种新的企业战略思想和投资思维方式。在具有较大市场风险及技术风险的环境下制订企业投资策略时,可以利用实物复合期权赋予投资决策过程更多的柔性。如投资者可以在有利的市场环境中利用期权思想抓住机遇扩大投资规模,增加生产获取更大的收益;当市场环境恶化或者项目研究不成功时,投资者也可通过期权方式缩小投资规模、暂停生产甚至停止生产,以避免更大的损失。

1.2 公司流动性的复合实物期权特征

对于复合实物期权Geske最早认识到:许多机会本质上有先后序列的性质,只有在前一次机会获得执行,下一次机会才有获得履行的可能,这就是复合期权的性质,或者说是期权的期权。从这个基本认识出发,对照公司流动性的特点,我们也可以发现其明显的复合实物期权的性质。

假设某公司持有一定数量的流动性(比如现金),然后打算投入到一个项目中,该项目只经过两个简单的阶段:初创阶段和成熟阶段,初创阶段成功后滚动投资进入成熟阶段,成熟阶段末尾获得投资收益。其中,在t0时刻因为持有足够的流动性,获得一项期权或选择权,抓住了稍纵即逝的市场机会,获得了初创阶段可以投资R0的机会,从而形成了第一个看涨期权;该期权到期时间是t1,执行价格K是从t0到t1流动性持有成本加上R0。在t1时刻,第一个期权被执行,开始投资R0,获得了成熟阶段进一步投资X的机会,从而形成了第二个看涨期权;其到期时间是t2-t1,执行价格是在成熟阶段所需的投资X。如果在t2时刻,第二个期权被执行,即初创阶段的投资成功了,就将获得在t3时刻得到投资收益R1的机会。这里存在两个期权,且第一个期权导致了第二个期权的产生,所以是典型的复合实物期权。

2 公司流动性复合实物期权定价模型

Geske于1979年给出了简单复合期权(复合期数n=2)定价的一般公式,该公式是在Black-Scholes模型的基础上推导出来的复合期权定价公式成为后续研究的基础。尽管该模型依赖资产价格遵循几何布朗运动,市场完全等严格的假设前提,但并不妨碍我们将它借鉴用于公司实务领域的尝试,就如同Black-Scholes模型被大量公司实践采用一样。

根据Geske模型,我们可以给出公司流动性复合实物期权定价模型如下:

C是公司流动性复合实物期权的总价值,减去流动性的持有成本C1的价值,就可以得到公司流动性的净价值L。也就是说在t0时刻以C1的现值买入并持有总价值为C的公司流动性。C用Geske模型计算:

N2(a1,b1;ρ)表示第一个变量小于a1,第二个变量小于b1,而变量之间相关系数为ρ的标准二维正态分布的累积概率函数;

N1(.)表示单维正态分布的累积概率函数;

S表示在成熟阶段进行投资后产生的现金流入的现值,即R2贴现到t2的值。

S*表示第一个期权行权时项目的价值,可以利用Black-Scholes模型计算;即求解以下方程:

X表示在成熟阶段所需的投资;K表示是从t0到t1流动性持有成本加上R0;

σ项目预期现金流的期望值的现值S的波动率;

r表示无风险利率。

3 公司流动性复合实物期权定价模型的应用

3.1 案例介绍

某公司打算参加一个月后将要举行的全行业创新专利推广交易会,拟出资购买一项新产品专利并随后进行投产,预计要投入100万元。由于该公司账上正好有100万元现金资产可以调动,而公司临时融资能力受到限制,即到了交易会再临时筹款几乎不可能。因此公司决定持有这100万元流动性一个月,并承担由此产生的机会成本(假设公司如果将此资金投入生产可以带来10万元利润)。一个月后,该公司参加了全行业创新专利推广交易会并如愿购买到一项新产品专利,然后开始了初始阶段的开发,为此共投入100万元。按设想该种新开发分两步进行,初始阶段投资成功后,公司一年后获得此新产品的生产能力,可选择再投资200万元进行大规模生产,然后投放市场并在第二年末获得500万元收益。现在让我们评估最初持有100万元的价值是多少,或者分析当初决定持有此流动性的决定是否正确。假定无风险利率r=5%,新产品预期现金流期望值现值S的波动率为20%。

3.2 案例中公司流动性的复合实物期权特征的描述

首先我们对案例的投资过程做出如图2所示。

在本案例中,公司需要决定在t0时刻是否持有流动性100万元,持有此流动性是有成本的,即会损失在老产品生产中可能获得的利润10万元;但不持有它,由于公司融资能力的限制,到了全行业创新专利推广交易会时,遇到好的项目无法买进投产而错失良机。因此公司在t0时刻选择持有流动性,无疑相当于买入了一项欧式看涨期权,该期权的到期时刻为t1,执行价格是100万元本金加上持有一个月流动性的机会成本10万元,共110万元,换言之只要项目未来现金流折现到t1的值大于110万元,该期权就会被执行,即进入到初始投资阶段。初始阶段的开始,标志着公司开始持有第二个欧式看涨期权,该期权的到期时刻是t2,执行价格是成熟阶段的投资200万元,即项目未来现金流折现到t2的值大于200万元,该期权就会被执行。很明显,本案例中保含一前一后两个实物期权,第一个期权的执行带来第二个期权的持有,两者存在因果关系,不能简单地单独分别求解后相加,必须使用复合实物期权定价模型求解。

3.3 用公司流动性复合期权定价模型求解在本例中:

代入的公式(3),可以求出S*=300.2万元

将所有参数代入公式(2),求出h1=8.016;h2=4.315;

再经过计算得出C=181.97万元(其中二维正态累积分布函数使用数值积分法求出)。

本例中C1=10万元,折现到t0时刻为9.96万元

所以t0时刻公司持有流动性的价值:

L=181.97-9.96=172.01万元。

3.4 结果分析

从以上计算结果得出,公司在t0时刻决定持有流动性100万元是合算的,虽然持有此流动性会损失在老产品生产中可能获得的利润10万元;但不持有它,当公司遇到好的项目时,会无法买进投产而错失良机。因此公司在t0时刻选择持有流动性,无疑相当于买入了一项欧式复合看涨期权,这项期权将给公司带来在t1,t2时刻两次选择加大投入的机会,并带来t3时刻500万元的收益。这些收益如果使用NPV法计算,在t0时刻的净值是151.54万元,虽然是盈利的,但看不出选择权的真实价值。只有使用复合实物期权模型,我们才得到项目在t0时刻流动性复合期权的价值是181.97万元,从中减去流动性持有的成本9.96万元,就得到了选择权(即流动性复合期权)的净值为172.01万元,这个价值远远大于流动性的持有机会成本10万元,也大于公司流动性在t0时刻的静态价值100万元,多出来的72.01万元就是考虑了复合实物期权的结果。可见公司在t0时刻选择持有100万元的流动性是正确的。

4 结论

在以往的公司持有流动性的决策中,人们只能根据未来的收益情况,使用NPV法得出是否盈利的结论,并不能正确评估当初持有流动性的价值到底是多少。流动性定价理论就解决这一问题展开了分析,但是现有的公司流动性定价理论忽视了流动性期权的复合实物期权性质,本文在此方面进行了突破,采用复合实物期权定价模型,使我们首次看清了流动性复合实物期权的本质和取值。虽然模型本身还有多重现实条件的限制,使得它的精度有限,但毕竟让我们有了一个简便的量化评价工具。

摘要：公司流动性是指公司或企业持有的流动性资产,它除了账面价值外,还含有某种潜在价值。对公司流动性价值进行科学的评估,对于投资者、公司管理者等各方都非常重要。采用实物期权理论对公司流动性进行定价,是目前公司金融理论的前沿课题。本文首次揭示了公司流动性的复合实物期权性质,并用复合实物期权模型进行了定价的尝试,为公司财务管理决策提供了一种量化的工具。

更新跳跃扩散过程下的复合期权定价 篇2

关键词 更新过程；期权定价；复合期权；更新跳-扩散过程

中图分类号 O211.6；F830.9 文献标识码 A

Pricing of Compound Option Based on Renewal JumpDiffusion Stochastic Process

LIANG Hongfeng, TANG Canqin, Ren Yin

(Dalian Maritime University Dalian,Liaoning 116026,China)

Abstract This paper assumes thatthe great information coming is a renewal process, while the share price is still a continuous function of time between two pieces of information and the jump height follows lognormal distribution. By means of martingale method, we obtained the European option and compound option pricing formula on stocks with renewal jumpdiffusion process.

Key words renewal process; option pricing;compound option;renewal jumpdiffusion process

1 引 言期权定价是一直是金融数学研究的核心内容之一，而期权定价的核心内容则是标的股票的价格过程.实际中，由于市场中重大信息的到达，如政治环境的变化甚至经济社会的某场自然灾害，都会引起股票价格的不连续的跳跃.另外，近年来随着金融市场的发展，出现了许多新型期权，如复合期权，障碍期权，任选期权等，这些期权与标准的欧式期权在某些方面发生或多或少的变异，因此也称为奇异期权.本文所研究的复合期权在投资决策中的运动现期是具有重大现实意义的研究课题.

本文假设关于标的股票的重大信息到达服从更新过程，而两次重大信息之间的时段标的股票的运动方程依然是时间的连续函数，并假设跳跃高度服从对数正态分布，利用测度变换的Girsanov定理，找到等价鞅测度，利用期权定价的鞅方法，用比较简单的数学推导得到股票价格服从更新跳跃扩散过程的欧式期权以及复合期权的定价公式.

2 更新跳扩散下的期权定价

模型的构建与求解

考虑金融市场仅有两种证券——一种无风险资产即债券与一种风险债券.设A(t)为无风险金融债券在时刻t的价格，它所满足的方程为：dA(t)=rA(t)dt，其中r为无风险利率.设S(t)为t时刻股票的价格, 随机变量Y表示由一次重大信息到达引起的股票增长的的相对高度，且EY=k，其中E为概率测度P下的期望算子，且ln(1+Y)服从正态分布N(ln(1+k)－12λ2,λ2).文献［1］利用更新过程的更新定理推出S(t)满足随机微分方程：

dS(t)t=(μ－kθ)dt+σdB(t)+Ydq(t)，（1）

其中μ是风险证券的预期收益率，σ是股票的价格没有发生跳跃时的波动系数，q(t)为更新过程.令dω(t)=μ－rδdt+dB(t)，则由Girsanov定理［2］知： dω(t)=μ－rδdt+dB(t)是概率测度Q下的标准布朗运动.

对于dS(t)t=(r－kθ)dt+δdω+Ydq(t)，文献［1］给出其解为：

S(t)=S(0)exp r－kθ－12δ2t+

δω(t)+∑q(t)i=0ln (1+Yi)，（2）

其中Yi是与Y独立同分布的随机变量.

下面来推导更新跳扩散过程下的欧式看涨期权的价格.设V(t,S(t)) 是以以上股票为标的资产，执行价格为C，到期日为T的欧式看涨期权在t时刻的价格，在到期日T，期权的价格为：

V(T,S(T))=(S(T)－C)+［3］.

现有定理：

定理1 设到期日为T，执行价格为C的期权在t时刻的价格V(t,S(t)).则：

V(t,S(t))=∑

n=0［Fn(τ)－Fn+1(τ)］•

S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1)－CeτΦ(d2),（3）

其中

d1=ln S(t)(1+k)nC+(r－kθ+12δ2)τ+12nλ2nλ2+δ2τ，

d2=d1－nλ2+δ2τ，τ=T－t证 由前面的讨论，欧式看涨期权的边界条件为：

V(T,S(T))=(S(T)－C)+，

现由期权定价的鞅方法可得：

V(t,S(t))=e－r(T－t)EV(T,S(T))

=e－r(T－t)ES(T)－C+,（4）

其中E为概率测度Q下的期望算子.令τ=T－t,q(τ)=q(T)－q(t),g=ω(T)－ω(t)τ,由文献［1］知

S(T)=S(t)exp r－kθ－12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln (1+Yi). （5）

从而，

V(t,S(t))=e－rτES(T)－C+

=e－rτE［S(t)exp r-kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)-C］+

=E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)•IS(T)≥C］•

－Ce－rτE［IS(T)≥C］=Ⅰ-Ⅱ,

其中，

Ⅰ=E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)•IS(T)≥C］=∑

n=0P(q(τ)=n)•

E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+∑ni=0ln (1+

Yi)Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)e－kθ+12δ2τ•

E［eδτg+∑ni=0ln(1+Yi)Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)e－kθ+12δ2τ•

(1+k)ne12δ2τΦ(d1)

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1).

这里δτg+∑ni=0ln(1+Yi)～N(ln(1+k)n－12nλ2,nλ2+δ2τ)，且

Ⅱ=Ce－rτE［IS(T)≥C］=C∑

n=0P(q(τ)=n)erτ•

E［Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=C∑

n=0P(q(τ)=n)erτΦ(d2).

因为P(q(τ)=n)=Fn(τ)－Fn+1(τ)，则

V(t,S(t))=∑

n=0［Fn(τ)－Fn+1(τ)］•

S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1)－CerτΦ(d2) .

证毕.

注当t=0,τ=T时，

V(0,S(0))=∑

n=0［Fn(T)－Fn+1(T)］•

S(0)(1+k)ne－kθTΦ(d1)－CerTΦ(d2),(6)

其中

d1=ln S(0)(1+k)nC+(r－kθ+12δ2)T+12nλ2nλ2+δ2T,

d2=d1－nλ2+δ2T .

令θ→

，此时为传统的BlackScholes模型.其实q(T)=0以概率1成立则表明在［0,T］内并无影响股价波动的重大信息的到来，很自然的符合传统定价模型.此外，若重大信息到来的时间间隔服从参数为α的负指数分布，则式（3）为以泊松跳扩散过程为基础的期权价格［4］.

3 复合期权定价模型及求解

复合期权是基于期权的期权，即以某个期权做为标的资产，主要有4种类型：基于某个看涨期权的看涨期权，基于某个看涨期权的看跌期权，基于某个看跌期权的看涨期权和基于某个看跌期权的看跌期权.这里仅考虑基于欧式看涨期权的看涨期权的价格，考虑以以上期权为标的资产的复合期权，其在t时刻的价格为V(t,S(t))，执行价格为执行价格为C1,其到期日为T1(T1＜T),到期日此复合期权的价格为V'(T1,S(T1))=(V(T1,S(T1))－C1)+［5］.

定理2 执行价格为C1,到期日为T1(T1

V'(t,S(t))=∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］•

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］S(t)e－kθτ(1+k)n+mN2(a1,b1,ρ)－

∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］［Fm(τ2)－

Fm+1(τ2)］Ce－r(T－t)N2(a2,b2,ρ)

－C1e－rτ1∑

n=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］•Φ(a2), （7）

其中

a2=ln S(t)(1+k)nS+(r－kθ－12δ2)τ1－12nλ2nλ2+δ2τ1，

a1=a2+δ2τ1+nλ2,

b2=ln S(t)(1+k)n+mC+(r－kθ－12δ2)τ－12(n+m)λ2(n+m)λ2+δ2τ,

b1=b2+δ2τ+(n+m)λ2,

ρ=δ2τ1+nλ2δ2τ+(n+m)λ2τ1=T1－t,τ2=T－T1.

S是方程V(T1,S(T1))=C1中S(T1)的唯一解，其中V(T1,S(T1))满足式（3）.

证明 此复合期权的边界条件为V'(T1,S(T1))=(V(T1,S(T1))－C1)+，由期权定价的鞅方法有：

V′(t,S(t))=e－r(T1－t)E［V(T1,S(T1))－C1］+.

令τ1=T1－t，g1=ω(T1)－ω(t)τ1,q(τ1)=q(T1)－q(t)，则

S(T1)=S(t)exp r－kθ－12δ2τ1+

δτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi).（8）

现对V'(t,S(t))求解.

V'(t,S(t))=e－r(T1－t)E［V(T1,S(T1))-C1］+

=E{e－r(T－t)E［S(T)－C］+•IS(T1)≥S}-

C1e－r(T1－t)E［IS(T1)≥S］=Ⅰ-Ⅱ.

因为 X≡δτ1g1+∑ni=0ln(1+Yi)～N(ln (1+k)n－12nλ2,nλ2+δ2τ1)， 故

Ⅱ=C1e－r(T1－t)E［IS(T1)≥S］=C1e－rτ1•

E［Iδτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi)≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=C1e－rτ1∑

n=0P(q(τ1)=n)•

E［Iδτ1g1+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=C1e－rτ1∑

n=0P(q(τ1)=n)•Φ(a2).

记

Ⅰ=Ee－r(T－t)E［S(T)－C］+IS(T1)≥S

=ES(t)exp －kθ+12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln(1+Yi)IS(T)≥C,S(T1)≥S

－E［Ce－r(T－t)IS(T)≥C,S(T1)≥S］=Ⅰ1-Ⅰ2

由S(T)≥C可得：

δω(T)－ω(t)+∑q(T)－q(t)i=0ln(1+Yi)≥

ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)(T－t)，

即有：

δτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi)+δ(ω(T)－

ω(T1))+∑q(T)－q(T1)i=q(τ1)ln(1+Yi)≥

ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)(T－t).

令η=X+δ(ω(T)－ω(T1))+∑n+mi=n+1ln(1+Yi)=X+X′， τ2=T－T1,q(τ2)=q(T)－q(T1)

g2=ω(T)－ω(T1)T－T1，则有X′～N(ln (1+k)m－12mλ2,mλ2+δτ2).从而η～N(ln (1+k)n+m－12(n+m)λ2,(n+m)λ2+δτ).因此，

Ⅰ2=E［Ce－r(T－t)IS(T)≥C,S(T1)≥S］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)•

Ce－r(T－t)E［Iη≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ,X≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)•

Ce－r(T－t)N2(a2,b2,ρ),

且

Ⅰ1=ES(t)exp －kθ+12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln(1+Yi)IS(T)≥C,S(T1)≥S

=S(t)e－kθ+12δ2τE［exp {δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)}IS(T)≥C,S(T1)≥S］

=∑

n,m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)S(t)•

e－kθ+12δ2τE［eηIη≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ,X≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)•

S(t)e－kθτ(1+k)n+mN2(a1,b1,ρ).

而

P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)

=［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］

故综上可得

V′(t,S(t))=∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］•

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］S(t)e－kθτ(1+k)n+m•

N2(a1,b1,ρ)－∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］•

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］Ce－r(T－t)N2(a2,b2,ρ)

－C1e－rτ1∑

n=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］•Φ(a2).

证毕.

注 若重大信息到来的时间间隔服从参数为α的负指数分布，则α=1θ，相应的［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］=(ατ1)nn!e－ατ1,Fm(τ2)－Fm+1(τ2)=(ατ1)mm!e－ατ2，式（7）即为以泊松跳扩散过程为基础的期权价格［4］.

参考文献

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［5］ Peter G. Zhang. Exotic Optiona guide to second generation options ［M］.Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1997.

复合期权 篇3

R&D投资是指以高新技术为基础, 生产与经营技术密集型产品的投资。因此R&D投资一般是指在各行业的高科技领域, 特别是在生物技术、制药技术、航空、软件开发、计算机、电子信息等领域尤其如此。从上述定义可以看出, R&D投资具有下述几个明显的特点: (1) 高风险、高收益性; (2) 高技术性; (3) 不可逆性; (4) 可延迟性。

而传统的净现值法是如何支持R&D投资决策的?

对于一个R&D投资, 首先要做出它的预算现金流量表, 选择正确的折现率 (资本成本) 对现金流进行折现计算, 求得净现值NPV。如果NPV>0, 项目可行;如果NPV<0, 则项目不可行。这就是净现值法的基本原理。但是在实际的R&D投资中, 净现值法有很大的局限性。局限性主要表现在以下两个净现值法的蕴含假设中:

(1) 投资决策是一次性完成的, 投资机会一经出现, 现在马上就做出决策, 否则机会就消失了; (2) 投资项目是完全可逆的, 这意味放弃投资项目不花费任何成本。这样的局限性对于R&D投资决策来说是本质性的, 因此在近期的公司财务管理理论发展中, 净现值法受到很多批评。本文采用复合期权定价方法来实现R&D投资的估值。

2 复合期权的定价

复合期权是指以金融期权合约本身作为金融期权的标的物的金融期权。这种期权通常以利率工具或外汇为基础, 投资者通常在波幅较高的时期内购买复合期权, 以减轻因标准期权价格上升而带来的损失。本文利用FBSDE方法研究了复合期权的定价, 利用自融资和无套利均衡分析得出复合期权的定价模型。

根据自融资和无套利均衡分析, 复合期权应满足以下正倒向随机微分方程:

方程 (1) 为线性的FBSDE, 可以利用风险中性定价解出其显示解, 如下:

3 R&D投资的复合期权思想

4 案例分析

假设2012年R&D投资项目开始, 总共投资计划4000万元。2012投资计划800万元, 2013年投资计划1200万元, 2014年投资计划2000万元。投资项目预计能在2015年完成, 项目完成以后公司的收益将会大幅度提高。假设2012年该项目公司实现收入2亿元, 根据统计推断估计出2015年预期收益率可以达到20%, 那么在2015年, 公司能够实现20000*20%=4000万元的利润。根据历史数据可得该公司的资本成本为10%。预测2012~2015年该项目的现金流以及净现值, 可见表2。

单位:万元

因此, 该R&D投资项目的净现值为-538.54万元, 项目的收益率为-538.54/3543.80×100%=-15.20%。按照净现值法该项目的收益率为负值, 因此会毫不犹豫地拒绝该项目。以下, 看一下该R&D投资项目所蕴含的复合期权的价值。

由此可见, 考虑投资项目所蕴含的复合期权之后, 投资项目的真实价值得到大幅提升, 即使是一个收益率为负的项目也变得具有投资价值。

摘要：本文首先分析了R&D投资的特点及传统投资方法, 然后利用倒向随机微分方程 (BSDE) 模型讨论复合期权的定价问题, 得到一类多层的正倒向随机微分方程 (FBSDE) , 由此可以得出复合期权的定价模型;之后利用复合期权的思想分析了R&D投资决策;最后用案例分析如何利用复合期权进行R&D投资决策。

关键词：复合期权,R&,D投资,倒向随机微分方程,正倒向随机微分方程

参考文献

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[4]杨春鹏.实物期权及其应用[M].上海:复旦大学出版社, 2003.

复合期权 篇4

中国已经进入广泛使用第三代移动通信技术 ( 俗称3G) 的时代, 但对电信运营商而言, 3G网络的建设和运营具有规模大、分阶段、周期长和未来不确定性较高等特点。如何评估3G、4G或者5G项目的投资价值一直是大家关注的焦点。传统的项目投资价值分析方法不能满足对不确定性较高的项目进行定价的要求。复合实物期权定价模型能更贴切地反映在3G、4G、5G项目中的多重期权特性, 更适合对阶段性较强的项目进行价值分析。本文将运用复合实物期权模型对澳门3G项目进行定价分析, 以便为以后评估新的项目提供参考。

澳门3G项目 ( CDMA技术标准) 的建设具有明显的阶段性, 其投资历程见表1:

资料来源: 部分来自澳门印务局《第 173/2007 号行政长官批示》《第 235/2006 号行政长官批示》《第 185/2005 号行政长官批示》。

澳门CDMA项目建设的三个阶段具有非常明显的复合期权特性。在第一期投资启动以后, 投资决策者 ( 运营商) 会有进行第二阶段和第三阶段两个相互关联的投资的权利或机会, 而继续进行投资这一决定是基于对一段时期后澳门3G市场的发展情况和澳门CDMA网络建设情况及其市场竞争力等的判断。当时机适当 ( 譬如3G牌照已经发放等情况下) , 项目的价值超过临界值时, 该投资才会被启动, 所以启动第二期投资和第三期投资的权利是看涨期权。

具体来看, 第三期投资启动的临界条件是进行3G网络扩容后 ( 第三期投资) 所带来的整个项目的现金流入量净增量的现值大于第三期的投资额, 此时理性的投资决策者会选择执行期权, 继续投资。第二期投资启动的临界条件是进行3G网络升级后 ( 第二期投资) 所带来的整个项目的现金流入量净增量的现值, 加上由第二期投资所获得的第三期投资的期权价值, 大于第二期投资的投资额, 此时理性的投资决策者会选择执行期权, 继续投资。所以, 第二、三阶段的价值可以用复合期权的方法进行分析。

尽管在2008 年7 月27 日, 在国内电信业大重组的背景下, 中国联通将澳门CDMA业务转让给另一运营商———中国电信, 但项目的运营团队、资金投入计划 ( 澳门发放3G牌照要求) 、已有的建设水平和网络基础等都没有发生变化, 因此可以认为这种整体转让并不影响我们对澳门地区CDMA项目经营运营的价值分析。

本文拟针对2005 年运营商 ( 当时是中国联通) 还未大规模进入但正在计划进入澳门移动通信市场这个时点, 将澳门进行的CDMA网络投资 ( 包括2G、3G以及未来4G的投资运营) 作为一个项目, 用复合实物期权模型对整个战略投资项目进行定价。

二、模型化分析及参数估计

( 一) 模型设定: 多阶段投资模型及其假设

Geske于1979 年给出了简单复合期权 ( 复合期数n = 2) 定价的一般公式, 根据Geske模型的思路, 我们结合多阶段投资的特点, 对模型的参数赋予新的意义, 提出以下多阶段投资模型及其假设。

1. 投资的期数有三期 ( 每期的投资分别为I0、I1和I2) , 涉及三个时点 ( 0、t和T) , 如下图所示:

2. 每期投资都产生独立的现金流, 后续的投资不会改变前期投资的现金流量。后续投资所带来的独立现金流量可以看作是该投资带来的项目现金流的净增量。

3. 后续投资以前期投资为基础。在0 时刻进行投资, 获得在t和T进行投资的机会; 在t时刻进行投资, 获得在T进行投资的机会。如果没有前期投资, 后续投资不会出现。

4. 在初始投资启动后, 投资者只能在t时刻与T时刻选择是否继续进行投资, 这种选择权利不会在到期前被行使, 即假设这是欧式期权。

5. 假设市场无套利机会存在, 而且投资者风险中性。

6. 价值贴现时使用连续复利。Baldwin和Trigeorgis提出, 考虑了管理灵活性 ( 期权价值) 后的项目净现值公式为: 扩展后的净现值= 传统的净现值+ 管理灵活性的价值, 即:

在本模型中, ENPV是考虑了项目期权价值后的净现值, TNPV是第一期投资的净现值; 将后两期投资看作是两个相互关联的期权, 即为一个复合期权, 标的期权的到期时间是T, 混合期权的到期时间是t; 该复合期权是买权的买权, 其价值为VO。

VO的求解公式可以应用Geske公式中买权的买权公式变形得到:

S0为第三期投资引起的现金流入量在0 时刻的现值;

S为第三期投资引起的现金流入量在T时刻的现值;

K为t时刻第二期现金流出量减去现金流入量的差, 即I1与第二期现金流入量的现值的差;

k为第三期投资的现金流出量在T时刻的现值, 即I2;

σ 为第三期投资项目价值的波动率;

r为无风险利率;

N ( * ) 为一元标准正态累积分布函数;

N2 ( * , * ) 为二元标准正态累积分布函数;

X'为混合期权得以执行的临界值, 即第二期投资I1得以启动的临界值 ( 这里的X'相当于Geske公式中的Xer ( T － t) ) , 可通过以下公式求解:

( 二) 模型假设

1. 假设项目的投资期为2005 年至2015 年, 共10 年。项目的投资从运营商 ( 中国联通) 2005 年5 月首次获得澳门政府正式颁发的CDMA漫游服务牌照开始; 而澳门政府最新颁发的CDMA标准的3G牌照的到期日是2015 年, 从整体考虑, 3G项目的投资回收期应涵盖上述10 年; 另外, 随着电信技术的发展, 3G业务面临4G技术的挑战, 其周期也约为10 年, 故作出此假设。

2. 为了计算与分析方便, 假设投资期的起止时间都为整数年, 每期的独立现金流都在年末产生。项目的投资期、投资年份、现金流情况为:

第一期投资在2005 年年末启动, 2006 年至2013 年都产生独立现金流, 该现金流入量即每年获得的CD-MA漫游收入。第二期投资在2006 年年末启动, 2007 年至2014 年都产生独立现金流, 该现金流入量为现有规模的3G业务净收入。第三期投资在2007 年年末启动, 2008 年至2015 年都产生独立现金流, 该现金流入量为扩大规模后的3G业务净收入。

( 三) 估计与计算

1. 项目运营的净利率。由于中国联通是CDMA项目最早的运营商, 而且项目转让后, 经营团队没有变化, 因此以中国联通的净利率作为项目运营的净利率的估计值。根据2006 年中国联通年报, 2006 年其主营业务收入为804. 8 亿元, 净利润为36. 4 亿元, 因此估计CDMA项目的净利润率为0. 045。因为在CDMA项目运营初期, 受到手机等资产巨额折旧等因素的影响, 运营商的净利率处于较低水平, 但在项目期内随着经营能力的改善, 未来提升空间巨大, 因此假设净利率保持30% 的增长率。

2. 项目要求的报酬率。项目报酬率的计算依据公开市场资料并通过资本资产定价模型进行估算, 原因是公开市场资料的说服力、公开性与可获得性都比较高。

根据资本资产定价模型 ( CAPM) 计算项目要求的报酬率:

其中R为该项目的报酬率 ( 用中国联通的H股股票报酬率代替) , r为无风险利率, Rm是市场报酬率, β是中国联通的贝塔系数。使用2003 年1 月至2005 年5 月间 ( 该项目开始时) 中国联通的股票价格变动及市场情况来计算该CDMA项目的报酬率。

在股票报酬率与市场报酬率的计算过程中, 选取的资料都来自香港股票市场, 原因包括如下几方面: 首先, 香港股票市场的完善程度要比国内股票市场高, 因此资料的有效性也相对更高, 即选取恒生指数的变化反映市场报酬率是较可行的; 其次, 由于3G项目已经在香港开展, 香港投资者作为已有3G服务的享用者, 对3G项目带给运营商影响的认知程度比大陆投资者更高, 因此, 香港股票市场中联通股票的价值更能反映3G项目带来的影响。

1 Rm的估算。市场报酬率的计算公式:

其中Indext为第t日恒生股指的收市价。

选取2003 年1 月1 日至2005 年5 月31 日共594 个交易日的恒生股指收市价1, 通过对恒生股指的收益率求算术平均值求出R'm, 然后通过公式 ( 1 + R'm) 252= eＲm求出复利年利率R ( 假设一年有252 个股市交易日) , 最终得出Rm= 0. 274。

2 β 的估算。假设不考虑股利分配,

Pt为中国联通股票在t日的收盘价

其中Rt表示股票在t时间的收益率; Rmt表示恒生指数在t时间的收益率; 通过Rt对Rmt的回归, 可以得出 β 的估计值。选取2003 年1 月1 日至2005 年5 月31 日共594 个交易日样本1, 通过上述方法进行估算, 根据回归结果 ( 见附表1) , 取 β = 1. 873。

3 r的估算。取2005 年发行的10 年期国债利率作为无风险利率r的估计数, 即10 年期国债利率4 . 44% , 转换为复利年利率为r = 4. 34% 。

根据上述估算结果, 可求出项目要求的报酬率R = 27. 4% 。

3. 项目波动率 σ 的估算。本文沿用Trigeorgis所提出的“孪生证券”方法, 将项目波动率近似看作是中国联通的股票的波动率。股票波动率可以通过股票报酬率的标准差进行估算。股票资料选自香港股票市场的原因已经在项目要求的报酬率的计算说明中进行了解释。

其中, 是Rt的平均值;

σ'是 σ 的估计值, τ 是一年的交易间隔。假设一年有252 个交易日, 则 τ = 1 /252。

通过样本计算, 可以令σ=0.416。

4. 第一阶段现金流入量估计。第一阶段投资所引起的现金流入量为在不考虑后续投资情况下所获得的CDMA漫游收入。漫游收入通过每年澳门入境旅客数乘以平均每人的电话费计算得到 ( 详细估算见附表2) 。

5. 第二阶段现金流入量估计。第二阶段投资所引起的现金流入量主要来自未扩容的3G经营收入。该项收入通过澳门联通的3G用户数与3G的ARPU ( Average Revenue per User每月每用户平均收入) 的乘积来估算 ( 详细估算见附表3) 。

6. 第三阶段现金流入量估计。第三阶段的现金流入量是第三阶段投资引起项目现金流量的净增量, 所以利用投资后 ( 3G网络扩容后) 的预期现金流入量减去投资前 ( 3G网络扩容前) 的现金流量得到 ( 详细估算见附表4) 。

7. S的估算。根据附表3, 第三期投资现金流入量在2008 年的现值为164, 112, 329 澳门元, 即S =120, 874, 037。

8. K的估算。根据附表2, 第二期投资的现金流出量在2006 年的现值减去流入量在2006 年的现值为38, 310, 970, 所以K = - 38, 310, 970。

9. k的估算。 根据附表3, 第三期投资的现金流出量在2008 年现值为79, 505, 269。 所以k =79, 505, 269。

10. t = 1。

11.T=2。

12. Zt的估算。根据公式 ( 8) , Zt= 1. 215107079。

13.X'的估算。根据公式 (7) , X'=25, 490, 806。

14. ρ 的估算。根据公式

将上述参数代入复合期权求解公式 ( 2) , 得到VO= 71, 216, 912 澳门元。整个项目的价值ENPV = TNPV+ VO= - 60, 173, 871 + 71, 216, 912 = 11, 043, 041 澳门元, ENPV超过一千万澳门元。

三、结果分析

( 一) 与传统净现值法的结论进行比较

在传统NPV方法下, 用连续复利法求出各阶段投资的净现值如表2 所示:

所以整个项目NPV = - 60, 173, 871 + 29, 115, 706 + 23, 893, 564 = - 7, 164, 601 < 0, 根据传统方法计算的结果, 该项目不会被执行。

可见, 传统NPV方法往往会忽略项目管理或者投资决策的灵活性, 低估项目的价值。

( 二) 敏感性分析

图2 分析了 σ ( 项目波动率) 、k ( 第三期投资的现金流出量) 的变动对ENPV ( 项目总价值) 的影响。横坐标是参数的变动比率, 纵坐标是ENPV的数值。

注: 当 k 减少 60%时和增加 80%时，X的取值开始取负值。

由上图我们可以得出如下结论: ( 1) 在其他情况不变的情况下, 项目的波动率与项目总价值呈正向变动关系, 而第三期投资的现金流出量与项目总价值呈反向变动关系。 ( 2) 项目的波动率越大, 不确定性越高, 则投资决策者能灵活进行投资这种权利的价值越高, 因而项目的总价值越大。这是期权定价法具有的能够捕捉不确定性价值的特性, 这也是传统现金流贴现方法所不能提供的。

( 三) 补充说明

在本案例中, 对项目现金流的预测会受到主观因素的影响, 进而影响到最终计算结果。但是与传统NPV方法的比较是建立在同一个平台上的, 即建立在相同现金流量的假设基础上, 所以复合实物期权定价法与NPV法定价结果的差异比较是可行可信的。基于这一点, 该案例的结果具有借鉴意义。

对澳门3G项目的定价, 作为战略投资定价模型的一次应用, 具有其通用性与特殊性。首先, 该项目的投资符合战略投资的特点: 即面对不确定的通信技术更迭的市场环境, 项目的投资具有明显的分阶段性, 对投资的管理具有较高灵活性。这些特点使得对该项目使用复合实物期权方法定价具有示范通用性, 便于将复合实物期权方法推广到其他具有上述相同特点的项目中去。其次, 澳门CDMA标准的3G项目在投资期划分、生命周期等许多方面具有自身的特点, 将其应用到其他项目的定价中去的时候应结合其他项目的具体情况。

附录

附表1:Rt对Rmt回归

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摘要：本文运用复合实物期权模型对澳门3G投资项目进行了定价分析, 分析结果表明:采用复合实物期权定价方法计算出的项目价值要高于用传统NPV方法计算出的项目价值, 其原因是因为前一种方法能识别出投资决策者未来拥有的对投资的选择权的价值, 而传统NPV方法往往会忽略项目管理或者投资决策的灵活性, 低估项目的价值;通过复合实物期权定价法计算出的项目价值与项目的波动率即项目的未来不确定性成正向变动关系。

复合期权 篇5

一、R&D投资项目的实物期权特征及评价

1977年, Myers首先认识到金融期权在实物投资决策中的应用, 指出风险项目潜在的投资机会可视为另一种期权形式——实物期权 (Real Options) 。他认为, 一个投资项目产生的现金流所创造的利润, 来自于目前所拥有的资产的使用再加上一个对未来投资机会的选择, 亦即投资者可以得到一个权利, 在未来以一定的价格取得或出售一项实物资产或投资计划, 而取得此项权利的价格则可以使用期权定价公式计算出来, 所以实物资产的投资可以用类似评估一般期权的方式来进行评估。对于分阶段投资的R&D项目通常需要采用复合期权模型进行构模和评价。复合期权是指以期权为标的资产的期权, 即为一种期权的期权 (option on option) 。此种期权的买方在期初支付期权费用后, 即取得在未来某特定时点以约定的价格买进另一固定到期日的期权。

R&D投资项目是企业实施长期战略的重要组成部分, 因此合理评价R&D项目至关重要。R&D投资项目通常因为需要投资的金额巨大, 面临的风险高, 周期长, 因此往往需要分阶段投资。一个R&D项目往往是有一系列不同的阶段组成, 一般的, 包括三个阶段:初始研发阶段、中试阶段和市场化开发阶段, 在每一个阶段管理者都有延迟、放弃、扩大投资和生产等权利, 即包含一个以上的实物期权, 其实质是一个多变量、多目标、多阶段的复合期权。也正因如此, 应用实物期权的方法评估R&D项目具有明显的优势。

下图显示了R&D项目的三个阶段:在每一个阶段的初期, 决策者都面临选择是否进行投资。具体来讲, 在t=0时刻, 决策者决定是否进行初始投资I0以研究开发产品, 如果产品研发不成功, 则不进行中试投资, 此时, 该R&D项目的损失仅为R&D项目t=0时的初始投资I0;在时刻τ, 决策者又将面临选择:该项研发成果是否值得进行中试投资?如果中试获得成功, 则在T1时刻决策者又将评估该项产品是否具有进行市场化开发投资的价值。因此, R&D项目投资决策与典型的复合买入期权完全吻合, 复合买入期权的执行价格是市场化开发投资I2, 中试投资I1是标的资产的执行价格。因此我们可将R&D投资决策可看作是一系列复合买入 (看涨) 期权, T2为项目寿命的终止时间。

实际上, R&D项目除了由阶段化投资所构成的实物期权之外, 对项目不同融资结构和融资方式的选择以及在市场化阶段企业的各种经营决策:如增产、扩张、联合、转产、停产等, 也都具有相应的实物期权特征。对于复合期权的评价通常采用Geske公式。

二、结束语

由于传统的投资决策方法指标法的主观性太强, NPV法又倾向于低估R&D投资项目的价值, 因此对于这类具有R&D项目的特点 (即风险高, 投资额大, 需要分阶段投资) 的投资机会进行评估时, 容易使得企业放弃那些具有战略意义的项目, 这将极大地阻碍了企业的长期发展。而复合期权的思想描述了不确定环境下决策过程中一系列前后相互关联的权利, 这些权利的作用使得决策过程更具有灵活性, 因而复合期权理论和方法在投资决策特别是在多阶段投资决策分析中具有得天独厚的优势, 更加客观全面, 同时是对传统的投资决策方法的有力补充和完善。

参考文献

[1]Robert　Geske:A　note　on　an　analytical　valuation　formula　for　unpro-tected　American　call　options　on　stocks　with　known　dividends, Journal　of Financial　Economics, 　Volume　7, Issue　4, 　December, 　1979

[2]蔚林巍:N重连续时间复合期权模型及其在多阶段投资决策中的应用.中国金融学术研究网, 　http://www.cfrn.com.cn, 2004

[3]蔚林巍等:实物期权在企业R&D项目投资决策中的应用研究.中国金融学术研究网, http://www.cfrn.com.cn/mailhelp.php, 2004

[4]扶缚龙　黄健柏:实物期权理论定量分析及相关问题简述[J].预测, 2005年03期

[5]John　C.Hull　Introduction　to　Futures　and　Options　Markets　[M]　.中国人民出版社, 2004

[6]杨春鹏:实物期权及其应用[M].复旦大学出版社, 2004

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