数形结合思想的妙用

数形结合思想的妙用（精选十篇）

数形结合思想的妙用 篇1

数与形是数学的两种表达形式, 数是形的抽象概括, 形是数的直观表现。我国著名数学家华罗庚曾经用“数缺形时少直观, 形离数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义。数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化。下面就数形结合思想在具体问题中如何应用加以举例进行说明。

一、代数问题借助几何图形进行思考

例1:某班有50名学生, 参加数学竞赛的有30人, 参加演讲比赛的有25人, 两科竞赛都没有参加的有8人, 问两科竞赛都参加的有几人?

解析:这是一个一元一次方程的应用问题, 我们可以借助几何图形来寻找等量关系, 如图1, 大圆表示该班的学生总数, 两个小圆分别表示参加数学竞赛和演讲比赛的学生, 两个小圆的公共部分表示两科竞赛都参加的学生, 大圆内与小圆外之间的部分表示两科都没有参加的学生。设两科竞赛都参加的学生有x人, 则有:8+30-x+x+25-x=50, 解得x=13。即两科比赛都参加的学生有13人。

例2:已知点C在直线AB上, 线段AC=7cm, 线段BC=3cm, 点E、F分别是线段AC、线段BC的中点, 求线段EF的长。

分析:点C在直线AB上, 这样的点C既可以在线段AB上, 也可以在线段AB的延长线上, 所以通过画图使学生理解起来更直观些, 知道求线段EF的长有两种情况

解:因为点E、F分别是线段AC、线段BC的中点, 所以CE=AC=3.5 (cm) , CF=BC=1.5 (cm)

第一种情况 (如图2) , 当点C在线段AB, EF=CE+CF=5 (cm) 第二种情况 (如图3) , 当在线段AB的延长线上, EF=CE-CF=2 (cm)

二、几何问题借助代数关系进行计算

例3:如图4, 正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张, 如果要拼成一个长为a+3b、宽为a+b的大长方形, 则需要C类卡片几张?

分析:本题是典型的几何问题代数化, 因为大长方形的面积 (a+3b) (a+b) =a+4ab+3b, 一方面利用等式乘法得出a+4ab+3b, 另一方面结合图形发现a+4ab+3b实际上是已知的三种卡片的面积之和, 利用拼图前后面积相等得出结论需要4张C类卡片。

例4:小明在拼图时, 发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形, 如图5所示。小红看见了说:“我来试一试”, 结果小红七拼八凑后, 拼成如图6所示的正方形。但是中间还留有一个边长为2mm的小正方形。你能求出原来小长方形的长和宽吗?

分析:本题中有两个未知量:长方形的长和宽, 而两个拼图恰好给出了两个等量关系, 图5中得到:3个长等于5个宽, 图6中得到:宽的2倍减长等于2, 因此本题可以通过二元一次方程组解决。

三、数形有机结合, 简化计算过程

例5:抛物线y=3x向右移动3个单位长度, 向上移动5个单位长度, 求移动后抛物线的解析式?

分析:通过数形结合我们很容易得出抛物线平移的实质就是点的移动, 所以我们可以取特殊点 (比如抛物线的顶点) 移动, 得出抛物线平移的规律是:左加右减, 上加下减 (左右移动是指解析式中x加或减, 上下移动是指个式子加减) , 从而得出答案为y=3 (x-3) +5。

例6: (2010年攀枝花市) 如图7, 等腰Rt△ABC位于第一象限, AB=AC=2, 点A在直线y=x上, 点A的横坐标为1, 边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y=与△ABC有交点, 则k的取值范围为 ()

分析:先根据题意求出A点的坐标, 再根据AB=AC=2, 边AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标及BC中点坐标, 计算双曲线y= (k不等于0) 分别经过A点和BC中点时K的取值, 最终确定答案选C。

上述例题充分说明在初中数学解题中, 运用数形结合思想, 不仅容易发现解题途径, 而且能避免复杂的推理与计算, 用简单直观的图形代替冗长的代数推理, 大大简化了解题过程。教师通过在教学中渗透数形结合的方法, 可以开拓学生的思维, 把抽象问题直观化, 对学生提高学习兴趣大有帮助, 并且也有助于学生进入高中阶段的学习。本文所举例题将数与形有机结合起来, 突出了数形结合思想的妙用。

参考文献

[1]诸建刚.灵活运用数学思想化解疑难问题[J].初中生世界, 2013 (5-6)

[2]成晓明.例谈解二元一次方程组中的数学思想方法[J].初中生世界, 2013 (5-6)

数形结合思想论文 篇2

摘要：数学是一门应用性非常广泛的学科，伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之谜、日月之繁，无处不用数学。”数学家华罗庚的话把数学的重要性及与生活的联系体现的淋漓尽致。那么对于一个中学生来说，该怎么学习数学，怎样学好数学就变得至关重要了。还是那句熟透了的话，一座无比雄伟的大楼，离不了基础的牢固。对基础知识清晰明朗的掌握，是鉴定是否学活、学通的标准。千变万化的数学难题，没有牢固的基础知识，就好比漂浮的氢气球，永远没有落脚点，无从下手。好的学习方法加上好的教学方法则是进入成功之门的必经之路。而数学课堂教育是培养学生数学能力的主要阵地，在数学课堂中创设教学中的自由、学生的自我、教师的总结及转移学生的兴趣和转移学生的注意力应是教学的关键。

关键词： 数学课堂教育

基础知识 怎样学好数学 学习方法 教学方法

数学是一门逻辑性及系统性相当强的学科，对于很多中学生来说，由于学习方法掌握不当，而导致学习起来相当吃力，以至于很多学生萌生了放弃学习数学的念头。这是不可取的，数学的重要性已不需要我们再重申了。你应该相信柳暗花明又一村的佳话。通过对本文的了解与学习，我们将带领你走出“旧版教育”的“天地君亲师”这一老师至上的教条主义，从而走上“新版教育”的“自由平等”的光明大道。本着数学课堂教学必须为学生创设一种和谐、自由、充满生命活力的民主气氛的宗旨，本文特提出了三种具有创新意义的学习方法及两种转移学习思想和提高学习兴趣的两种途径，即“三新二移”。从而为学生打好坚实的数学基础。

本文“ 三新二移之基不可失”，将紧跟我国数学教学改革的步伐，由“双基”向“四基”跨越的教育理念。为莘莘学子们提供三种新的学习方法及两种思想移位法。如孔老夫子所言:“知之者，不如好之者，好之者不如乐知者”。相信我们提供的学习方法，定能让广大学子们在兴趣中学，在愉快中收获。为您开辟一条通往成功的光明大道。

本文将从教学的自由、学生的自我、教师的总结及转移学生的兴趣和转移学生的注意力等方面入手，做到“移形换步”，却万变不离其宗。这些方法将有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、推理、与交流等数学活动。让学生的学习能充分做到主动探究、动手实践、合作交流、阅读自学等。

“基础知识--暗中摸索总非真，眼触心生法自神；

基本技能--及之而后知，履之而后艰 ；

基本经验活动--闲云一片不成雨，黄叶满城都是秋；

基本思想--一语天然万古新，豪华落尽见真淳；”

具体实施过程如下：

一、把学习数学的自由还给学生

在新课标理念下教学，我们应该把学习数学的“自由”还给学生。所谓的自由，不是放任学生不管，任其自由发展，如果这样理解就大错特错了。我们应该把学习的主动权交给学生，然后在其左右辅助学生学习，简而言之就是以学生为主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者的教学模式。弗赖登塔尔说每个学生都有自己不同的“数学现实”。作为老师的任务不是把自己的数学现实代替学生的数学现实，而是帮助学生构造数学现实。用弗赖登塔尔的教学观说，数学教育所提供的内容应该是学生各自的“数学现实”，通过学生自己的认识活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化。

（一）、学生学习数学的现状以及传统教学模式对学生的影响 根据调查结果分析，我们可以看出，大部分学生对数学都不感兴趣。这就引起了我们的深思，为什么会这样，数学是与现实生活很贴切的一门科学。经过了解，我们得知大部分学生他们不明白为什么要学习数学，数学是那么的枯燥，整天除了解题还是解题或者有的说学数学的目的就是想应付考试。在调查过程中，当问及学生怎样才能打好数学基础时，70%的学生说背概念，背公式，题海战术之类。虽然知道这是一种方法，但他们缺乏信心，解题时急躁，还有定势思维。让他们的数学基础打不好。我们传统的数学教学模式为“填鸭式”教学模式，习惯灌输知识给学生，同学们习惯于接受知识，而不是发现知识；同学们渐渐的就形成了定势思维模式，发散性思维渐渐被封锁，而发散思维是创新型人才所必备的。

（二）、如何把学习数学的“自由”还给同学 帮助同学们打好数学基础知识，我们应让同学们“自由”的去学习数学知识。数学有这三个特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。然而这些特点正好是我们打好数学基础知识的关键。在我们学习数学的时候，同学们如何理解高度抽象的数学概念？怎样掌握数学严密的逻辑性？怎么才能把所学的数学知识应用到现实生活中？ 当同学们“自由”的学习数学基础知识时老师应该做到：

1、教同学们学会问 爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅数学上或实验上的技能而已，提出的新问题、新的可能性、从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力”．创新源于问题，没有问题就不可能有创新，问题是创新的基础和源泉．问题能激起同学们进行思考，能带给同学们学习数学的兴趣，可活跃学习数学的氛围。方法有：创设数学情景；有意识的保护同学的好奇心;培养和训练学生们发现问题并提出有意义的问题等。

2、让同学们学会合作互动学习 合作互动学习是指学生在小组或团队中为了完成共同任务，有明确的责任分工，并彼此合作的互动互助式的学习。合作学习强调在合作中达到信息互动，人际互动。在合作互动的学习过程中，学生不仅可以相互实现信息与资源的整合，不断的扩展和完善自我认知，而且可以在合作学习中学会交往、学会参与、学会倾听、学会尊重他人。这将对学生的认知、情感、自信心以及同伴关系等产生积极地影响。方法：可由老师进行设计互动学习或指导学生来设计互动学习，最后由全班来共同完成。

3、教给同学们数学建模的方法 新课标中特别强调学生生活的数学，用生活的数学，用数学知识解决实际问题把生活融汇到学校数学教育中是现代教育的一个趋势。当前数学教育以促进学生的全面发展、以提高学生的数学素质为根本。学生们掌握了一定的数学知识，可让他们学习应用这些数学知识到现实生活当中。让他们明白学习数学的实际意义，这就给予了他们学习数学知识的动机，也可大大的提高他们自主思考，和动手实践的能力。要培养学生的数学能力,在教学中培养学生的数学建模意识是很重要的。知识不能简单地由教师或其他人传授给学生而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模的教学符合现代教学理念必将有助于教学质量的提高。在数学建模中能培养学生的转换能力，创新能力，能让他们知道怎么把一个抽象的问题，形象化，能够激发学生们学习数学的兴趣。方法：联系学生身边的实际给学生们构建数学问题情境；用学生所了解的身边事物去引导他们构建适当的数学模型；辅导他们如何把抽象的现实问题数学化；适当的营造一些积极的数学建模氛围。数学教育应坚决摒弃“教师讲、学生听”的机械灌输的教学模式，代之以读、讲、议、练、师生对话、课堂讨论等使学生主体参与的教学方式，使问题解决、数学应用、数学交流、数学建模成为课堂的主流，要冲破以教材为本位的束缚，在课堂中提供学生参与的机会，把握好启发的时机、力度，学生作为独立的个体，存在着智力和非智力因素的差异，使得他们对知识的内化程度和能力的形成速度也有所不同，因此教育模式也不能一成不变，不能只用一个标准要求所有学生，要因人而异，因材施教，分类指导，分层要求，使学生各得其所，各展其长，各成其才，整体发展，全面提高。

二、引导学生学会三个“自我”

新课改下怎样才能打好中学生的数学基础

在传统的教学过程中．教师往往以“满堂灌”的教学方法为主，整节课都在灌输新知识、传授新内容，忽视学生的主体地位，以至于学生“消化不良”，学习积极性不高，且产生厌倦情绪，最终导致教学质量偏低。面临如此危机，我们不得不寻求一些新的教学方法，教育界的专家们费尽心思，几经周折最终提出了新课改，这样一来，学生自主探索的时间与空间大大增加，相对于以前“一丝不苟”的教材分析，现在的中学教材更注重的是学生自我思考与探索新知识的能力，教材往往是点到为止。

而面对新课改，教师固然面临着更大的挑战，虽然课堂上不用那么苦口婆心的强调非此即彼，但备课时却要大费周章、绞尽脑汁。为了适应新课改的要求，教师们必须转变教学观念，创新教学方法，在彻底克服教者“包办代替”、学者“生吞活剥”的前提下，更重要的是把注意力更多的转移到学生心理状况的发展上。我们知道，中学阶段正是一个生理与心理发展的转折点，这个时候如果不积极地、正确地引导学生步入学习正轨，那么后果不堪设想。这里我们想浅谈几点建议，对于如此“大好时光”的中学生而言，如何才能引导他们打好数学基础。

（一）引导学生自我评价

对于很多学生而言，常常出现“不了解自己”的情况，不知道自己处于那个等级，还有何不足，应该怎样自我定位、自我鉴定，以便及时补缺。为此，老师应该引导学生进行自我评价并及时反馈意见，方便因材施教。可从以下几个方面作自我评价：

1、知识掌握的自我评价

在学习新知识之前，应自评一下自己是否对此知识有一定的了解，学习之后，可根据认知的分类，从记忆、领会、应用、分析、综合等方面来评估自己对知识的学习情况。将所学到的知识点与目标得分率制成简易图表，这样就能清楚地了解自己学习上的优势与不足。还可从以下几方向分析自己的情况：是否清楚基本概念的内涵和外延？能否将新学知识和已有知识联系起来？能否对所学知识举一反

三、触类旁通？能否在实际条件下灵活运用所学知识？

2、学习动力的自我评价

学习动力有内在动力与外在动力之分。自我评价要对内在动力进行分析、判断。包括：（1）学习目标是否明确？有无长远目标和近期目标？（2）对学好数学是否充满信心？是否有浓厚的学习兴趣？（3）学习态度是否勤奋、认真？（4）是否有主动积极的进取精神？有无战胜学习困难的勇气和毅力？（5）学习情绪是否稳定、持久？等。

3、学习策略的自我评价

（1）是否有计划地安排学习活动？是否有预习的习惯？能否及时复习当天的功课并完成作业？能否妥善安排学习时间？（2）能否正确利用各种资料？(3)能否与同学、教师合作学习？(4)能否集中精力听课？(5)对发回的试卷是否能认真分析原因，拟定补救措施？(6)是否有错题集？是否给自己出检测题？(7)能否总结自己或借鉴他人好的学习方法和经验？等等

4、学习能力的自我评价

学习能力的评价可从以下几个方面进行：(1)获取信息的能力：包括感知能力、阅读能力、搜集资料的能力等；(2)加工、应用、创造信息的能力：包括记忆能力、思维能力、表达能力（口头的、文字的）、动手操作能力、创造能力等；(3)学习的调控能力：包括确定学习目的、制定和调整学习计划、培养学习兴趣、克服学习困难等；(4)自我意识和自我超越的能力。

（二)引导学生自我调控

中学阶段,是人的情绪充分发展的时期,中学生的情绪世界,早已不再是风平浪静的港湾,而是汹涌澎湃的大海，虽然这时他们已有了驾驭自己情绪的能力,但情绪的浪潮依然时起时落，而对于繁重的学习压力，他们更是头疼不已，稍不留心将埋下祸根。因此,指导和帮助中学生认识自己的情绪问题,努力培养积极的情绪,调适消极的情绪,是教师在心理健康教育工作中的一项重要任务。所以应鼓励学生做到以下几点：

1、在做题遇到困难时不应忙着退缩，应养成一种“叛逆”心理的习惯，越是不会，越要征服。所谓“世上无难事，只怕有心人”，永不言败的精神方能成功。

2、看到其他同学玩耍时不应盲目羡慕，也不应在自己玩耍时侥幸的认为别人都在玩。不得不承认现在的中学生学习压力确实很大，一方面要让父母开心，另一方面又要让老师省心。劳逸结合是必须的，人又不是机器，总要吃饭、睡觉、消遣，但要记住“耐得住寂寞的人才能更快的走在别人的前面”，如果不想以后有所作为，那就尽情的玩个痛快吧！落魄的你可能更像你。

3、心情烦闷时可找同学倾诉，或者直接与老师交流，不要老是耿耿于怀走极端，没有过不去的坎，寻找适合自己发泄情绪的方式，尽快走出阴影。

4、学会宽恕自己，别总是自暴自弃、怨天尤人，别老是觉得自己是世上最不幸的人，好像别人什么都比你强，其实没有十全十美，只有更全更美，你要做的就是不断提升自己、完善自己，让自己满意自己。

（三）引导学生自我探究 在新的课程理念下，学生完全处于主导地位，教师其实已经“退居二线”，学生再也别指望老师会和你细细研究，但教师要变“指导者”为“引导者”，引导学生独立思考、自主探索。因此，为引导学生自主探究，应做到以下几点：

1、创设情景，创造探究平台

教师要教会学生改变以往陈旧的学习方法，将训练思路、方法教给每一个学生，让他们知道什么是异，怎样去求，怎样去想。在学习某个新知识点时有目的地去寻找、去尝试、去创造新颖。找到适合自己的，自己理解的现象或意境帮助理解和掌握新知识，现实生活中数学的应用不计其数，我们可以信手拈来。如：讲平移这一节时，没必要照本宣科，对于平移，其实在我们的日常生活中，随处可见，就算是学生在“三点”（教室、寝室、食堂）奔波，也可以说是从此处平移到彼处。这样的情景学生应该是最熟悉不过的了，何愁他们记不住。这样一来，学生就有话可谈、有事可做。

2、循序渐进，拓宽探究范围

学习过程的各个阶段是相互联系、相互依靠的，决不是孤立存在的，实践、认识、再实践、再认识......每个阶段都是在原有实践经验或间接经验学习的基础上进行的，在学习中遵循循序渐进的规律，可以取得事半功倍的效果，促使学习想纵向与横向都得到发展。而在数学的学习过程中，循序渐进的思想更是贯穿整个教学过程，一般老师都是按照由易到难、由浅到深、由具体到抽象的顺序逐一加深，让学生一步一个脚印步入学习乐园。课堂上，老师点到为止后，让学生交流互动、讨论分析，培养学生养成一种良好的探究习惯。

三、教会学生进行归纳总结

很大部分学生之所以出现基础知识的不扎实，原因并不是智力上的差异和努力程度不够，更多的是没有一个好的学习方法和端正的学习态度。

我们通过问卷调查的形式对兴义一中高一120名学生的数学基础知识出现的问题进行了调查，调查结果使我们深刻体会到：学生的基础如何与平时的学习态度及在学习的过程中出现的问题进行归纳与否密切相关。

通过调查我们发现有70%左右的中差生在学习的过程中都是草率对待、交差的学习心态。平时他们更没有把容易犯错的知识点进行归纳与总结的好习惯，无论是老师还是学生在学习的过程中遇到困难和犯错误都是难免的。但是怎样处理这些不良习惯呢？

好的学习心态：积极主动、化被动为主动、化厌学为乐学，放弃好高骛远的学习心态，比如说：老师给你一个非常简单的习题都要认真对待，不要产生会而不做的学习心态。因为大部分学生都是学习态度的不端正从而导致基础知识的不扎实。即使有了好的学习心态还得有好的学习方法：归纳与总结法

（一）归纳知识点

尤其是数学学科知识具有紧密的逻辑性和系统性，若能在学习过程中对以往所学知识进行恰当的归纳总结，那么不管是对接下来的内容的学习还是对于基本知识点的掌握便都不成问题了。例如：函数内容，必修第一册，先讲函数定义，然后学习指数函数、对数函数、幂函数，进而研究函数的图像与性质。点坐标与解析式的关系为第四册学习三角函数打好基础。

（二）归纳解题方法

解题的方法很多，但总有一些常用方法，对打好基础非常有用，例如：求函数的值域常用方法有：观察法、配方法、反函数法、判别式法、换元法、不等式法、单调性法、数形结合法、另加选修中的导数求解法等等。这样归纳总结解题方法，就会比较容易的确定解题思路。

（三）归纳常考易错的知识点法

学生对基础知识的掌握局限于当堂学会，但还是有很大一部分学生对于课堂上和课后出现的一些问题不重视，而往往反映出来的却是一些对基础知识的不掌握，时间长久了这些常考易错的知识点得不到纠正。例如：求函数y(x1)x10的定义域对于每一步都须归纳与总结，对于分式来讲分母：x≠1即可，但是却忘了二次根式下了数 即使x-10没忘记也容易给x10忘记，像这类问题是很简单的一些基础的知识点，却非常容易犯错，如果不及时加以归纳总结，那么一个班里基础成绩较差的学生基础会更差。

所以在教学中特别注意培养学生的学习方法，尤其是归纳与总结的培养，对打好学生的基础知识更有效。

四、将学生的兴趣转移在学习数学上

数学是一门抽象、严谨、应用非常广泛的学科，也是一门逻辑性、系统性较强的学科，要想学好它必须循序渐进，一步一个脚印地去学，这就要求学生对数学维持长久的兴趣。孔子曰：“知之者，不如好之者，好之者，不如乐知者。”浓厚的学习兴趣可使大脑处于最活跃状态，增强人的观察力、注意力、记忆力和思维力，还可抑制学习中的疲劳和困苦，保持旺盛的精力与敏捷思维。因此，作为一名教师，应从多方面着手，激发学生的数学兴趣，引发学生强烈的求知欲望，促使学生努力探索新知识，从而提高学生成绩。

（一）、静中设疑

“学源于思，思源于疑。”中学生求知欲强而注意力易分散，设疑可以激起学生去寻求答案，变被动为主动的思维，教师在授新课之前，根据内容设计一些与新课有直接联系的问题让学生操作或思考，让他们操作或思考过程中产生疑问，从而激发他们解疑途径，激发学习兴趣，例如，在学习三角形三边关系定理之前，先要求学生用（1）长为6cm、8cm、10cm,(2)长为4cm、6cm、10cm，（3）长为4cm、5cm、6cm的三组线段围成三角形的模型，学生在操作过程中产生疑问，使他们在“迷惑”中激发求知欲，提高学习兴趣。

（二）、融兴趣于幽默中，培养学生的抽象性 对数学的学习具有抽象性，有的学生在学习时感到枯燥乏味，难于接受。作为授课教师应该想办法使自己的课堂活跃，必要时可以引人生活中的幽默言语，网络流行词汇，使课堂气氛活跃。变抽象为形象，在函数的讲解时，这是比较抽象的课程，可将数形结合的思维引人，将抽象的函数表达式在坐标中展现出它的图像，从而学生就不觉得学数学有那么难了，已至于能保持他们对数学学习的兴趣。

（三）、巧设“课饵”创立“新境”，是激发学生学习兴趣的法宝

随教育思想的转变，学生为主体，教师辅导，教师辅导的时间就要着重引导、诱使学生形成爱思考，爱提问的性格，要求教师以谜团的形式设问题，使学生对谜底的追求，逐步寻求求解过程，得出正确答案。例如：在教授等差数列课程时，教师可先让学生算10以内的几项累加，再逐步累加20，30„以内的，使学生总结出前n项和公式，这样既让学生对等差数列的概念、性质有了了解，又对自己总结的公式加深记忆。

（四）、与实际生活相结合，提供数学应用的机会 数学在生活中的应用是相当广泛的，而生活与生产是学生感兴趣的教学因素，如果教师在所讲知识中渗入生活实例，会使学生有熟悉感，从而会激起学生强烈的求知欲望，这使他们更加关注这次学习知识，例如：在讲授相似三角形后，可让他们自己设法测量学校旗杆的长度。在学习了排列组合后，可让学生算一下福利彩票的各种玩法的概率。等让他们在生活中学数学，数学中关心生活。

（五）、制造悬念，创设情境，抓住学生的好奇心

教师要精心设疑，激发学生的求知欲望，努力创设启发或情境，好奇心是学生学习的强烈动机之一，教师必须设法使学生的好奇心变为强烈的求知欲望，培养学生浓厚的学习兴趣。例：在讲授分式的性质时，我们可以说：“我可以证明2=0，同学们认为可以吗？”这时同学的回答应该都是否定的，这时就在黑板上演算下a-bba(ab)1120。学生看后，有的说面式：当ab时，ababab不可能，有的说不对，2不可能和0相等。于是，我们就可以把上题的对与错解释给学生听，抓住学生的求知欲，生动有趣的讲完分式的性质。

（六）因人施教

在教学中，因学生人数众多，成绩各异，设计提问时要有针对性，要分析学生的缺差面和疑难点，不同层次的学生应根据不同的情况，提出不同的问题，让学生都有回答问题的机会和成功的喜悦。使其在各自的水平上有所提高和发展，感受成功的快乐，倍添学习兴趣。

五、从数学的艺术性提高学生课堂注意力

注意是心理活动对一定对象的指向和集中，当人对某一事物产生高度注意时，就会对这一事物反应得更迅速、更清楚、更深刻、更持久。叶圣陶先生曾说：“教师当然要教，而尤宜致力于导，导者，多方设方，是学生自求得之，卒低于不待教授之谓也”。课堂上教师固然要教，但如何去教，达到最大限度提高学生注意力，这就要求教师教学的艺术性。

（一）、趣味引趣

中学生由于身心发展、个性特征差异和外部因素的影响，有相当多的中学生不具有坚忍不拔不达目的不罢休的意志和毅力，表现在学习中常常知难而退，对于枯燥抽象、学生感到难懂的教材内容，采用趣味引趣法来提高学生注意力比较适宜。

（二）、风趣语言

教育家苏霍姆林斯基曾说：“如果老师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦”。由于教育对象是有感情的人，所以感情因素能否贯穿于教育的全过程，不仅影响着知识的传递、智力的发展，而且还潜移默化地影响学生的行为及意志品质的形成。于是，在讲授某个知识点时，我们可用当时流行的词语、歌曲名等适当插入，从而使学生从别的注意力上转移过来。例如，讲到双曲线cab中时，由于在前面已学过椭圆的相关性质，222222而在椭圆的相关性质acb中有，于是，我们可把这两个知识点结合起来讲，不经意的插上一句：它们真“给力”啊！高考中出现椭圆和双曲线的题目一般都得用到。接下来再强调一定不能用错，否则我们的高考试卷中就会少得几分，这几分又使你与大学擦肩而过，“伤不起”啊！

这样，学生不仅认为这个知识点重要，还会活跃课堂气氛，从而提高注意力。

（三）、名句激之

学生不可能整堂课都注意力集中，有时还会感到疲倦，这时，在数学教学中有意识地进行渗透，充分利用数学家故事或名人名句启迪学生热爱数学学科的思想。

数形结合思想的妙用 篇3

以形助数，让“数”直观

“数缺形时少直观”，如何让“数”变得直观？代数运算几何化，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。

例1.（2011年高考数学广东卷理科第19题）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;

（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标。

分析：如果你不能让“数”直观，那么这是一道非常复杂的题目。但是把“圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。”转化为，得出圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，方程为。再结合图形得到，仅当时，取“=”。

解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，

两圆心为、，

由题意得或，

，

可知圆心C的轨迹是以、为焦点的双曲线，设方程为，

则，所以轨迹L的方程为。

（2）∵，仅当时，取“=”，

由知直线，联立并整理得

解得或（舍去），此时

所以最大值等于2，此时。通过这样的转化、以形助数，把一道很复杂的计算问题转化为了一个非常简单的几何问题。

以数解形，让“形”入微

“形少数时难入微”，如何让“形”入微？几何条件代数化，借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，通过数理论证，数量刻画，以获得结论，即以数为手段，形为目的。

例2.（2013年高考数学广东卷理科第20题）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线

：的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点。

（1） 求抛物线的方程;

（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程;

（3） 当点在直线上移动时，求的最小值。

分析：如果只是用“形”去求解 “当点在直线上移动时，求的最小值”， 根本得不到任何精确的结论，但是与“数”结合：

由抛物线定义可知，，

所以;

再根据直线与抛物线相交，联立方程，消去整理得，

由一元二次方程根与系数的关系可得， ，

所以 ，

又点在直线上，所以，

。

将几何图形的性质用“数”的形式表示出来，便可以将求的最小值转化为求二次函数的最小值。

解：（1） 依题意，设抛物线的方程为，

由结合，解得，所以抛物线的方程为。

（2）抛物线的方程为，即，求导得 ，

设，（其中），则切线的斜率分别为，，

所以切线的方程为，

即，即 ，同理可得切线的方程为 ，

因为切线均过点，所以， ，

为方程的两组解.

所以直线的方程为。

（3）由抛物线定义可知，，

所以 ，

联立方程，消去整理得 ，

由一元二次方程根与系数的关系可得， ，

所以 ，

又点在直线上，所以，

所以 ，

所以当时， 取得最小值，且最小值为.

借助数的精确性和规范严密性来求的最小值，通过数理论证，数量刻画可让“形”入微，得到精确的数量关系。

“数”与“形”和谐交融，由数思形、以形想数

数形结合思想方法把代数式的精确计算与几何图形的直观描述结合起来，相互渗透，互相转化，实现形象思维与抽象思维的优势互补，巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。

例3.（2014年高考数学广东卷理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

分析：由数“焦点为，离心率为 ” 思形可求椭圆C的标准方程。由形“点P到椭圆C的两条切线相互垂直”想数：切线与椭圆C的联立方程只有一个解，△=0，可得到方程及，根据一元二次方程根与系数的关系可得，就可求出点P的轨迹方程，再由数思形可知为一个圆。

数形转化，化难为易、化繁为简

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;然后恰当设参、合理用参，建立关系，做好数形转化，化难为易、化繁为简;最后还要结合几何图形正确确定参数的取值范围。

例4.（2012年高考数学广东卷理科第20题）在平面直角坐标系xOy中，

已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3。

（1）求椭圆C的方程;

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。

题目中的条件“椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3”，问题“在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？”的几何意义是什么？又有什么代数意义？如何转化？

分析：（1）设椭圆C上任一点P（x，y），则，即，再利用两点间距离公式，

转化为关于y的二次函数在区间（-b，b）上的最大值为9，从而可求得，椭圆C的方程为。

（2）若点M（m，n）在椭圆C上，则有，

△OAB的面积可表示为，

其中圆心到直线l的距离为，弦长

“直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，”转化为：，

即，所以 ，再用基本不等式进行求解。

解：（1）由得，椭圆方程为，

椭圆上的点到点Q的距离，

①当，即时，得，

②当，即时，得（不合舍去），

∴ ，

∴ 椭圆方程为

美国著名数学教育家波利亚说过：掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。数形结合根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，化抽象为具体。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用。

（作者单位：广东省高州市第四中学）

数形结合思想的妙用 篇4

一、“数形结合”在三角问题中的妙用

用“数形结合”处理三角问题, 主要体现在用三角函数的图像和单位圆中的三角函数线解决相关问题.

作单位圆如图所示, 可得定义域为

二、“数形结合”在方程问题中的妙用

用“数形结合”处理方程问题, 即把方程的根看作两个函数图像交点问题, 借助函数图像采用直观分析的方法, 通过研究图像交点问题来研究方程根的问题.

例2方程有两个不相等的实数根, 求a的取值范围.

解可把方程的解视为函数与函数y=x-a (y≥0) 图像交点的横坐标.

而函数的图像是由半圆y2=1-x2 (y≥0) 和等轴双曲线x2-y2=1 (y≥0) 在x轴的上半部分的图像构成.如图可知, 当0

三、“数形结合”在函数问题中的妙用

用“数形结合”处理函数问题, 主要是函数图像的交点问题的确定, 可通过作出函数图像就可以直观地比较, 求之.

例3曲线与直线y=k (x-2) +4有两个公共点时, 求k的取值范围.

解曲线可化为x2+ (y-1) 2=4 (-2≤x≤2, 1≤y≤3) 图像如图, 直线y=k (x-2) +4过定点P (2, 4) , PB是圆的切线, 故圆心到PB的距离等于圆半径.则有依图形可以得到

四、“数形结合”在数列问题中的妙用

数列是一种特殊的函数, 用“数形结合”的思想研究数列问题就是借助函数的图像进行直观分析, 从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.

例4设等差数列{an}的前n项和Sn, 已知a3=12, S12>0, S13<0, 若公差d>0, 求S1, S2, …, S12中的哪一个值最大, 并说明理由.

解设等差数列的首项为a1, 因为

而Sn是关于n的二次函数, 可利用二次函数图像求解.

又d<0, S12>0, S13<0,

∴作Sn=g (n) 的图像如图所示, 抛物线顶点的横坐标n0满足12<2n0<13.

∴16

五、“数形结合”在复数问题中的妙用

复数的几何意义及向量表示, 把复数与平面几何和解析几何有机地联系在一起, 复数的几何意义充分体现了数形结合的思想方法.

例5如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2, 那么|z+i+1|的最小值是多少?

解作|z+i|+|z-i|=2的图像如图所示, 点P在以A (0, -1) , B (0, 1) 为端点的线段上, |z+i+1|表示点P到Q (-1, -1) 点的距离, 不难看出, 当P点与A点重合时, QA⊥AB, ∴|PQ|≥|AQ|=1, 故|z+i+1|=1.

六、“数形结合”在向量问题中的妙用

初中数学——数形结合思想(初二) 篇5

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

一、以数助形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例

1、如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.例

2、如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19.过△ABC内的点P向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）.若

BDCEAF27.求：BDBF的长.例

3、已知ABC的三边长分别为mn、2mn及mn（m、n为正2222整数，且 mn）。求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。

【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pabc

2，则S】 p(pa)(pb)(pc)。

例

4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

例

5、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边AD80毫米，BC120毫 米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分

别在AB,AC上，设该矩形的长QMy毫米，宽MNx毫米．当x与y

分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

例

6、如图,点P是矩形ABCD内一点，PA3，PB=4，PC=5，求PD的长．

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；

（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮

助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例

1、在等腰ABC中,ABAC5,BC6,P是底边上任一点,求P到两腰的距离的和． 例

2、已知a、b均为正数，且ab2。求a24b21的最小值。

例

3、若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M:N:

例

4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且d－2a＝10，则原点在（）的位置

A.点AB.点BC.点CD.点D

x－a＞0例

5、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________． 2－x＞0

例

6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；

若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为．

(2)由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

1例

7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的正2

三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一

1块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，„，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn2

－Pn－1

„

“数形结合”思想的解读与实践 篇6

关键词：数形结合；小学低年级；数学思想；课堂教学

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010X（2007）10-0053-03

数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展进程中，数和形常常结合一起，在内容上相互联系，方法上相互渗透，一定条件下相互转化。

本文先解读“数形结合”思想，浅谈其历史性及重要意义，后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。

一、“数形结合”，由来已久

早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图“三大不能”问题等，最终也是借助于代数方法得到圆满解决。

这些都说明了“数形结合”思想有着悠久的历史。在小学数学教学中，我们虽还用不到这种高深的数学知识，却也在低年级“数的认识”中就接触到了数形结合这个思想。以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的，比如：运用同数相加的图像来直观地说明乘法的意义。以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质，以数为手段，形为目的，比如：一个特定的数字可以代表任何达到这个数量的事物。（3可以代表达到3这个数量的苹果、衣服、车子……）

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，充分利用这种结合，寻找解题思路，就能有效降低教学难度，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”

二、“数形结合”，意义深远

1.有利于更好地理解、掌握数学知识。

心理学认为：“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”“下位学习所学的知识具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新知识。”

学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变成了下位学习。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。

2.有利于数学能力的提高。

在小学数学教学中，培养学生的能力始终是新课程提出的一个重要方面。但是能力不是一朝一夕就能拥有的。能力形成于学习和掌握数学概念的过程中，发展于灵活运用数学知识独立解决问题的过程里。分析综合、归纳类比、抽象概括，都应该从小学开始着力培养。

数形结合是一个引导学生入门的途径之一。

比如：通过图来揭示数与数之间的规律。

一个简单的例子：根据前面的盘子里出现的量，最后一个盘子应该放几个苹果呢？

小学数学教师在教学中注重“数形结合”思想的渗透，引导学生严密思维，灵活思考，善于抓事物的主要矛盾，就能使学生学会有效的思维方法，从而促进学生数学能力的提高。

3.有利于培养学生的创新意识和创造能力。（不展开）

三、“数形结合”，教学精髓

数形结合思想是数学的本质之一，是数学教学的精髓，可以贯穿、融合在课堂教学过程中。我们利用数形结合引进新知，建构概念，解决问题，用数学思想和数学方法去激发学习兴趣，提高数学能力，可为学生以后的学习、工作打下坚实的基础。

1.以“形”激情，激发求知欲望。

让我们来看看发生在我班级上的一个案例：教学“分一分与除法”时，我将“平均分”的意义设计了一个活动情景。

师：（课开始，教师在每个小组的桌上放了一个红色的小巧玲珑的正方体盒子，并高高举起正方体小盒子）说：“小朋友请你猜一猜，这个盒子里放了什么？”老师话音刚落，教室里骚动起来：“是糖？”“玻璃球！”“是巧克力吧！”“老师，能不能打开看看啊？”……老师说：能，请组长打开盒子，并按盒子里的要求做一做。

这是一个新课的引入片段，新课以“形”（一个盒子）为背景让学生猜测，恰到好处地将现实生活和数形结合，利用学生的好奇心理，引发了学生的求知欲望，使课堂的学习氛围出现了最佳态势。

2.数形结合，建构概念。

建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。

用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。

二年级数学新教材第一册中通过游乐场主题图来引入乘法。

我在实际课堂教学中运用Power Point幻灯片技术展现一条船上有三人，然后依次出现这样的第二条船，第三条船，一直到第六条船，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示满是船的湖面一边提出：“如果有20条船，30条船，甚至100条船，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！教师归纳：可用乘法算式表示——船的条数乘以一条船的人数或者用一条船上的人数乘以船的条数。数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。

由此可以看出，新教材的这个课题取得非常好，凸现了学习的过程性及数形结合在课堂教学中的重要性。教师对教材的加工，把6条小船增加到20条，30条，甚至100条船，使学生产生更为强烈的认知冲突，感悟到乘法的简便。教师引领学生边观察边数，一个3，两个3……一直到x个3，起到了强化同数连加概念的效果。

其次，从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。

让学生获得认识，最好是让学生自己体会、感悟，而不是简单地教师讲，学生听。那么，怎样才能让学生自己感悟呢？一个行之有效的办法就是让学生经历从加到乘的过程并辅之以形象的视觉冲击。这正是这段教材跟这节课最重要的一个切入点。它反映了新的课程观渗透数形结合思想的必要性和可行性，即课程应当给学生提供丰富的学习经历，有利于学生的可持续发展。

3.数形结合，解决问题。

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。

如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。

这道题的意思是：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系，对二年级学生来说比较难的，因为这是四年级知识。但是此题将图形与数量结合呈现，就大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。实际教学中有95%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍”的含义，无形中把学生一般思维过渡到高级思维，并且训练了学生综合运用所学知识处理问题的能力。

这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新，它的解题过程，成功地成为发动认识与构思的内在机制。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。

因此，教学中要对学生加强“数形结合”思想教育，培养学生运用“数形结合”的意识尤为重要。我认为：第一，在平时教学中适时渗透，以逐步培养学生运用“数形结合”解决这类问题的能力，所谓“润物细无声”；第二，在习题的设置上要有意识地培养学生运用“数形结合”思想方法的习惯，促使学生领悟数形结合思想方法的精髓，并灵活运用。第三，教师要转变观念，深挖教材，教学中着力培养学生创新意识与实践能力。

总之，新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法，强化数学思想方法的教与学，培养学生运用数学思想方法的意识和能力，锻炼学生的思维品质，使课堂教学“增值”。

参考文献：

[1]小学数学课堂中的“数形结合”浅析[EB/OL].http://www.zlxx.net/shuxue/Show Article.asp？ArticleID=810，2006，9.

[2]蒋巧君.数形结合是促进学生意义建构的有效策略[J].小学数学教师，2005，（5）.

[3]潘江儿.漫谈小学数学思想及其在教学中的渗透[M].人民教育出版社，2004，（6）.

[4]手心空间.数学思想方法是数学的精髓[EB/OL]. http://blog.sina.com.cn/u/493e61e6010006dc，2006.11.14.

[5]杨振中.洽谈数形结合[J/OL].2005.6.

[6]徐斌艳.“现实数学教育”中基于情境性问题的教学模式分析[J].外国教育资料，2000，（4）.

[7]孔企平.近年来国际数学课程改革的若干趋势[J].外国教育资料，2000，（6）.

数形结合思想的妙用 篇7

一、剖析数形结合的思维过程

(一) 数形结合的机理

数和形是事物的两种表现形式, 也是数学研究的两类基本对象.数即数量关系, 较为严谨, 是对事物特征的精确刻画;形即空间形式, 较为直观, 是对事物特征的形象描述“数形结合”是把抽象的概念和关系转化为几何图形, 使数量关系直观形象化;把几何问题转化为数量关系, 通过运算, 使之精确逻辑化.即人们说的以形助数, 以数辅形.数学大师拉格朗日说过, 代数与几何两门学科一旦联袂而行, 他们就可以互相从对方吸取新鲜的活力, 从而大踏步走向各自的完美.把数和形有机的结合起来, 即把代数与几何连接在一起, 形成更为有效的知识体系, 使数与形在更高层次上达到统一, 进而揭示数学知识内在的联系.

不妨我们对实际解题过程中的数形结合做一个动作分解, 如下:

其中, 数式→图形是关键, 对图形分析运算是重点, 得出数量关系是目的.每一步都有中断的可能, 即非所有问题都有图可借, 亦非所有借来之图都可以使用!

(二) 图形表达的特征

对数形结合的分解可知, 数形结合非放之四海皆准的通用之法, 即非所有数式都可用形表达, 但我们为什么如此看重用形表数呢?原因在于图形表达的特点!我们知道, 图形具备直观性、整体性, 通过图形可以一览无余地把握事物的各个要素及其联系, 如果图形我们熟悉, 对其特征已了如指掌, 无疑又让我们从中挖出了更多的信息!因而, 一旦得以图形表达, 便可以形助数, 解决主要矛盾.

例1求lgx=sin x的解的个数.

解如图.

从图上看到y=sin x与y=lgx的图像有三个交点,

所以lgx=sin x有三个解.

评析lgx=sin x是一超越方程, 但y=sin x与y=lgx图像间的关系却一目了然!图像的直观性、整体性得到了充分的体现!

二、拥有丰富的图形库及其数量特征是实现数形结合的基础

由以上分析可知, 在数形结合的思维过程中, 构造具备已知数量特征的几何图形是能否以形助数的关键所在!我们来把这个由数到形的思维过程进一步分解:

(1) 已知数式可怎样用几何表示? (对数式变形、联想)

(2) 哪些几何图形有如此数量关系? (依靠直觉、经验、回顾)

(3) 找出其中的最佳图形.

这是一个复杂的思维过程, 它取决于我们由数到形的联想、猜想能力, 取决于我们记忆中的图形库的丰富与否, 取决于我们对图形数量特征理解掌握的程度.寻找最具数量特征即最佳图形的思维过程, 不但具备一定的跳跃性, 更具备很大的偶然性.

三、有意识地进行数形转换训练是提高数形结合能力的有效途径

虽然寻找最佳图形的思维过程, 具备一定的跳越性、偶然性, 但不是无规律可循的, 这种思维能力是可以通过训练、培养得以提高的.灵感来自于勤奋, 成功属于有准备的人.数形结合能力亦源于我们平时的学习、思考与积累.

(一) 在新知识的学习中, 应数形并重, 即掌握数量特征的同时掌握其几何特征

例如, 在指数函数的教学中, 函数的性质与函数的图像应是紧紧相连的, 从图像看性质, 以性质画图像, 相辅相成, 函数y=ax (a>0, a≠1) 性质与图像对照如下:

通过图像与性质的有机结合教学, 用图像解决如下问题就很是自然.

例2已知a>0且a≠1, f (x) =x2-ax, 当x∈ (-1, 1) 时, 均有f (x) <, 求实数a的取值范围.

在同一坐标系中作函数g (x) =x2-, k (x) =ax的图像, 如图.

(二) 深刻理解直角坐标系中数与图的对应关系

在直角坐标系中进行数形结合是我们用得最多、最广泛的内容, 在直角坐标系中, 方程与曲线存在对应关系, 解析几何中已对其作了深刻的研究.我们在数形结合的过程中要深刻理解, 方程中的x, y与曲线上的点的横、纵坐标的对应关系.

例如:用二次函数图像来分析一元二次不等式的解集.

解不等式ax2+bx+c>0, 即求函数值y大于0时, 自变量x的取值范围, 在函数y=ax2+bx+c的图像上, 就是求纵坐标大于0的点的横坐标的取值, 即图像落在横轴上方部分点的横坐标的取值范围.只有深刻地理解直角坐标系中点的横、纵坐标与函数的自变量、函数值间的关系, 才能正确进行数图间的相互表达.

(三) 灵活掌握常见图形的数量特征

通过解析几何的学习, 我们已系统的研究了平面上多种曲线的数量关系, 如果能灵活掌握这些曲线的数量特征, 在我们由数向形转化时, 无疑会有很大帮助.

例如:对两点间距离的数量特征掌握灵活, 下列问题由数向形的转化就变得简单.

1. 求f (x) =姨x2+16-姨x2-6x+13的最小值.

2. 求f (x) =姨x2-4x+5-姨x2+2x+3的最大值.

3. 求f (x, y) =姨x2+y2+姨 (x-1) 2+ (y-1) 2的最小值.

4. 解方程:姨x2+6x+10+姨x2-6x+10=10.

它们都有与两点间距离公式相似的数量形式.

(四) 加强解题后的反思与经验的积累

数形结合解决问题, 往往使解决方法简捷明快, 精巧而新颖, 突破解题常规, 它的数学价值不仅在于解决了问题, 更在于它能促使我们重新整合已有的知识, 将所学的数学知识融会贯通, 形成更为合理的认知结构.在解题之后, 如果我们能做进一步的思考、探究, 洞悉数与形间的内在联系, 我们的知识体系会更完整、合理, 知识的迁移运用更加灵敏.

数形结合的思想方法不仅仅是解决数学问题的有效方法, 同时也是我们全面认识事物的有效思想方法, 是我们生活中解决问题的有效途径.

参考文献

[1]罗增儒.数式与图形沟通, 直觉与逻辑互动.中学数学教学参考, 2004, 6;2004, 7.

[2]吕佐良.以形助数, 探求解题思路.中学数学教与学, 2004, 7.

[3]程华, 黄秦安.注重数形结合, 培养直觉思维.中学数学教学参考, 2005 (12) .

数形结合思想方法的应用 篇8

一、由形转化为数的方法

1. 三角法

有些几何关系不能简单的用代数中的式子表示出来, 这时如果借助三角函数把这些几何关系根据图形的性质写出式子, 就容易把解决问题的过程化为对式子的运算及讨论.

例1设在三角形ABC中, AB>AC, CF、BE分别是AB及AC边上的高, 试证:AB+CF≥AC+BE, 并指出等号何时成立.

证明:如图1, 设AC=b, AB=c, BE=h1, CF=h2, 除了c>b以外, 还有c≥h1, b≥h2 (当∠A=90°时等号成立) , 且b, h1与c, h2分别是同一个三角形的两底边对应底的高,

即h1=csin A, h2=bsin A.又c>b, ∠A是锐角,

则h1-h2= (c-b) sin A≤c-b, 即c+h2≤b+h1 (当∠A=90°时等号成立) .

2. 解析法

应用解析法时的步骤为:建立适当的坐标系 (可以为直角坐标系也可以是极坐标系) ;引进坐标;将几何图形变换为坐标间的变量关系.由于在平面上建立坐标系后, 直线和圆都可以用方程表示, 因此平面几何问题从原则上将都可用解析法解决.但在选取坐标系时要注意使用合理的坐标系能方便的表示, 才可以使几何问题容易用代数演算解决.

例2用解析法证明三角形的三条高线交于一点.

证明:如图2建立直角坐标系, 以BC边所在的直线为x轴, 过A点的高为y轴, A (0, a) , B (b, 0) , C (c, 0) , 则有a, b, c均大于零, 于是AB、AC及其上的高的方程为:

由 (1) (2) 得 (b-c) x=0, 又b-c≠0, 则x=0,

这说明高线CE, BD的交点在y轴上,

即在高线AO上, 因此高线交于一点.

二、由数转化为形的方法

1. 图形法

一般情况下, 代数问题不依靠于几何都可以解决, 然而代数关系比较抽象, 因此若能给问题中代数关系赋予几何意义, 那么就可以借助直观形象来解决问题.

例3学校订有甲、乙、丙三种报纸, 订甲报的有45人, 同时订甲、乙两报的有10人, 同时订甲、丙两报的有8人, 同时定甲、乙、丙三报的有三人, 问只订甲报的人数?

解:此题如果不借助图形, 计算起来很复杂, 所以解题时借助图形.用A表示订甲报的人数, 用B表示订乙报的人数, 用C表示订丙报的人数, 则所求人数=A-A∩B-A∩C+A∩B∩C=45-10-8+3=30.

2. 图象法

在代数问题中, 某个数量在一定范围内变化时, 我们常用函数的图象来解决问题.

问题转化为求半圆弧 (x+2) 2+y2=1 (y≥0) 上的动点M到定点A (1, -3) 连线斜率的取值范围.

数形结合思想 篇9

一、以形助数

顾名思义,以形助数即是以形象的图形来帮助抽象的“数”的问题的解决,通过形象的图形可以使抽象问题具体化,帮助同学们解决问题.

例1 (2012·十堰)阅读材料:

根据以上阅读材料,解答下列问题:

解:(1) 过程略,答案为(2,3);

(2) ∵原式化为的形式,

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,如图2所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′.

∴PA+PB的最小值 , 只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,

∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,

∵A(0,7),B(6,1),

∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8,

∴A′B=10,故答案为:10.

【点评】此阅读材料给同学们提供了构造几何图形解决代数问题的方法,试题考查了数形结合思想、建模思想,解答的关键是根据所给材料画出图形,再利用数形结合的方法求解.

二、以数助形

以数助形是借助代数知识,对图形中的数量关系进行研究的做法. 数量问题中,涉及关于图形大小比较、图像相交、双曲线的性质等问题,以数助形是很好的解决手段.

例2 (2012·苏州)如图3,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1 cm/s速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD. 已知正方形ABCD的边长为1 cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4 cm,3 cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.

(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值.

(2)记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2,试说明S1-S2是常数.

(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.

解:(1) 根据题意表示出AG、GD的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x的值. 故答案为:y=4-x/3-x,x=2.5.

(2) 利用 (1) 得出的y与x的关系式表示出S1、S2, 然后作差即可 . S1-S2=1/2, 即为常数.

【点评】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识,解答本题的关键是结合代数中的函数知识和方程内容,这样可以有效解决问题.

浅析数形结合思想的应用 篇10

关键词：数学结合,数学教学,思想方法

下面谈一谈数形结合的几种常见类型。

一、由数想形, 直观显现

例1.设a、b是两个实数, A={ (x, y) |x=n, y=na+b} (n∈Z) , B={ (x, y) |x=m, y=3m2+15} (m∈Z) , C={ (x, y) |x2+y2≤144}, 讨论是否存在a, b, 使得A∩B≠φ与 (a, b) ∈C同时成立。

分析:集合A、B都是不连续的点集, “存在a、b, 使得A∩B≠φ”的含义就是“存在a、b使得na+b=3n2+15 (n∈Z) 有解 (A∩B时x=n=m) 。再抓住主参数a、b, 则此问题的几何意义是:动点 (a, b) 在直线L:nx+y=3n2+15上, 且直线与圆x2+y2=144有公共点, 但原点到直线L的距离≥12。

解:由A∩B≠φ得:na+b=3n2+15;

设动点 (a, b) 在直线L:nx+y=3n2+15上, 且直线与圆x2+y2=144有公共点,

∵n为整数∴上式不能取等号, 故a、b不存在。

评注:集合转化为点集, 而用图形进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解, 其中还体现了主元思想、方程思想, 并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

二、用“数”说“形”

例2.已知曲线C1:y=3x+4x, 曲线C2:y=5x, 试判断曲线C1与曲线C2的交点个数。

分析:因难准确画出曲线C1的图象, 因此通过直接观察C1与C2的图象而判断交点个数是难以解决。由, 得3x+4x=5x, 两边除以5x, 使方程的一边得到简化, 得。联想指数函数的单调性即易得解。

易知x=2是方程的解。故曲线C1与曲线C2有一个交点。

评注:本题是一个有关“形”的问题, 通过代数变换, 即用“数”的方法, 说明了“形”的道理。当然为使“数”具备较强的说服力, 还可再用“形”辅助说明。