实际问题与二次函数

实际问题与二次函数（精选四篇）

实际问题与二次函数 篇1

问题: 这个问题可以用什么知识解决吗? 怎样解决?

课堂实录

师: 你们是怎样想到建立直角坐标系后, 再利用二次函数知识解决问题的?

生1: 因为所求的水面的宽度是抛物线上的两个点的水平间的距离, 所以我们就自然想到建立平面直角坐标系, 利用点的坐标求出了二次函数解析式, 求出了水面下降以后水面所在直线与抛物线的两个交点的横坐标之差的绝对值.

( 师评: 用二次函数观点看一元二次方程, 体现了数学建模思想. )

师: 好! 那么你们知道建立平面直角坐标系的关键是什么吗?

生2: 建立直角坐标系的关键是确定原点的位置.

师: 棒极了! 平面直角坐标系的三要素x轴、y轴、原点中只有两个要素确定, 那么平面直角坐标系就唯一确定了.你们知道问题中的变量吗?

生3: 水平方向上, 水面的宽度变, 铅直方向上, 拱顶到水面的距离变, 所以我们组认为水面的宽度与拱顶到水面的距离是个变量.

师: 我想大家都明确了解题的关键, 下面各组的发言代表展示一下自己组的成果.

第一组: 以O ( 0, 0) 为顶点建立如图1所示的平面直角坐标系, 设抛物线所对应的二次函数解析式为y =ax2, 因为待定系数只有一个a, 所以只需将点A ( 2, -2) 或B ( -2, - 2) 中的一个代入得a = -1/2, 当水, 解析式为: y = -1/2x2面下降1m时, 水面的纵坐标为y = -3, 代入解析式得:, 增加的水面宽度是

第二组: 以C ( 0, 2) 为顶点建立如图2所示的直角坐标系, 则A ( 2, 0) , B ( - 2, 0) , 函数解析式可设交点式y =a ( x - 2) ( x + 2) 或顶点式y = ax2+ 2等.

第三组: 以B ( 2, 2) 为顶点建立如图3所示的平面直角坐标系, 函数解析式可设交点式或顶点式等.

第四组: 以C ( -2, 0) 为顶点建立如图4所示的平面直角坐标系, 函数解析式可设一般式y =ax2+ bx + c或顶点式y = a ( x + 2) 2等.

第五组: 以A ( 0, 1) 为顶点, 建立如图5所示的平面直角坐标系, 设函数解析式y =ax2+ 1, …

师: 非常精彩, 是否还有其他方法?

生4: x轴建在水底, y轴过抛物线顶点, 如图6所示, 建立直角坐标系, 但我现在没法求来函数解析式.

生5: 如果x轴建在水底的话, 因为不知道水深, 不能表示一个点的坐标, 所以这种方法不可行.

生6: 我想, 这种方法可行. 设水面AB到水底的距离为h, 则A ( 2, h) , C ( 0, 2 + h) . 可设解析式为y = ax2+ 2 + h, 代入点A ( 2, h) , 可求得a = -1/2, 所以函数解析式为y =-1/2x2+ h + 2, 当水面下降1m时, y = h - 1, 代入解析式, 得:, 仍然可以求出增加的水面宽度 (

生7: 如图7所示, 坐标原点建在水面的四分之一处. 以B ( 1, 2) 为顶点建立平面直角坐标系, 则A ( - 1, 0) .

生8: ( 有些胆怯) 我建立了如图8所示的平面直角坐标系, 但解析式怎么也求不出来, 这种方法是否可行?

师: 对于利用图像解决的实际问题, 通常建立直角坐标系, 但是建立的坐标系, 要有利于表示点的坐标, 求出解析式. 如果你建立的坐标系不利于表示点的坐标, 说明建立的坐标系不恰当. ( 教师对教学及时总结和归纳, 利于新知识、新方法在学生的头脑中及时构建) 经过一系列的探究, 同学们确实感受到利用二次函数知识解决实际生活问题的多种方法.

摘要：美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动, 思维永远是从问题开始的.”新课程的实施, “先学后教”的课堂教学模式, “先做后学”的学习策略, “自主探索、小组讨论、合作交流”等学习方式成了课堂中的一道亮丽的风景.

实际问题与二次函数教学反思 篇2

克拉玛依实验中学：文学娟

一、教学流程回顾

1、温故知新，巩固检测：

检测基础知识，巩固二次函数的最值，为后面应用二次函数解决实际问题扫清了障碍。

2、创设情境，探索新知：

探究1是一道复杂的市场营销问题，又是涨价，又是降价，如果学生直接读题，弄不懂题意的学生会很多，我将原来的问题设计分解为4个问题，有梯度的分解难度。

问题1就是为了帮助学生回忆前面所学的利润、售价、进价之间的数量关系。

问题2该题的最大利润是未知量，引导学生注意题目中有两个变量——定价和利润，符合函数的定义，从而想到用函数知识去解决——二次函数的极值问题，当利润一旦设定，就当已知参与建立等式，学生容易完成求解，在要关注受年龄和知识的局限，在前面学习函数定义域值域不能明确表示出来，利用函数解决实际问题函数的定义域不同于函数解析式中给出的取值范围，要求具体问题具体分析，明确求函数的定义域是检验解合理性的重要依据。

问题3就是问题2的变式训练，将涨价换为了降价。

问题4就是将书上的探究题目完整的呈现给了学生，结果学生很快解决。在这个过程中要注意给学生灌输分类讨论的思想。在教学设计中降低梯度，给学生一个循序渐进的认知过程，学生学得轻松，老师教的轻松。

3、课堂回顾，归纳小结：学生自己总结小结学数学有用，利用二次函数的最值可以解决实际问题中的最大利润问题，利用二次函数解决实际问题要注意自变量的取值范围。

4、巩固练习，当堂检测：课堂检测学生掌握情况，估计不能完成计算，只需列出函数表达式，写出定义域。备课反思：

1、数学有用，学有用数学。

数学是一门看得见，摸得着，用得着的学科。创设生活化的课堂一直是我教学努力的方向，为了把学生的注意力吸引到我这里，我将本节课的内容编成一个小故事，文老师利用业余时间在网上开了一家小店，小赚了一笔，你能帮老师算一算老师一周盈利了多少吗？贪心的我不知足，想多赚一些，利用自己是数学老师的优势做了市场调查，发现每涨一元，销售量减少10件，我如何定价获得利润最大呢？双节将至，我准备减少库存，降价销售，如何定价获得利润最大呢？一个个生活化的故事情境，让学生带着问题思考，解决问题。通过情境教学，传递给学生数学就在我们身边，学数学有用的观点，同时树立了学生学有用数学的信心。

2、适度取舍，无需面面俱到。

问题1我原本设计了5小题，复习顶点式、一般式，一般式a大于零，a小于零两种情况的最值，还有就是给出一般式写最值，可是这样使得引入时间太长，头重脚轻。在学习探究一前书上有一道已知60米篱笆围成面积最大矩形，边长是多少？最大面积是多少的问题。考虑本节课重点在探究1，为了突出重点，我犹豫再三舍去最大面积问题。原本在问题2前面还涉及了一道方程题，若想多赚100元，如何定价。考虑学生才学完一元二次方程，让学生从方程过渡到函数，没想到在试讲阶段反而加重了学生理解负担，我毫不犹豫删去这个环节。备课之初总是想更加全面、具体，殊不知这么做会掩盖教学重点，教学难点、教学重点不突出。

3、独立思考，自主探究实现思维提升。

在备课中，我想把课堂设计热闹一些，多一些小组讨论、小组竞争，但是老教师老师说：数学课需要热闹，但也需要静下心，提升思维。上课不是作秀，大家都是内行，要看的是你的设计，还有就是数学需要小组讨论，更需要独立思考。一语点醒梦中人，我振作起来，分梯度设计问题，降低难度，让学生一级一级摘果子，在轻松愉悦中解决问题。

4、多媒体不能代替黑板。

黑板的作用不可忽视，抽象思维理解过程，多媒体不能体现优势。记得大学老师在讲教材教法时说过，我们需要多媒体教学，但是千万不能为了用多媒体而用多媒体，数学最好的教具是黑板。

5、团队合作的力量。

奥运与二次函数 篇3

一、 比赛项目与二次函数

在奥运会的赛场上，人、球或其他物体在空中运动的某一段过程形成的轨迹可以看成抛物线，我们以跳水和足球为例.

例1 如图1，2016年里约奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=-[256]x2+[103]x（如图建立直角坐标系，图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为 米.

【分析】首先把抛物线解析式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标，进而得到运动员在空中运动的最大高度离水面为多少米.

【解答】∵y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

∴抛物线的顶点坐标是[25，23]，

∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如图2，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.

[图2]

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行中的足球能否进球门？（不计其他情况）

（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），

设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

则抛物线是y=-[112]（x-4）2+3，

当x=0时，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]<2.44，

故能射进球门；

（2）当x=2时，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，

当y=2.52时，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球员甲的射门.

二、 商品与二次函数

里约当地的商店有很多奥运纪念品，店家为了获得更多利润，要对纪念品做出合适的定价.

例3 奥运会某纪念品的进价为每件40美元，如果售价为每件50美元，每天可卖出210件；如果售价超过50美元但不超过80美元，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件；如果售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件.设每件纪念品的售价为x美元，每天的销售量为y件.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每天的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件纪念品的售价定为多少美元时，每天可获得最大利润？每天最大利润是多少美元？

【分析】（1）当售价超过50美元但不超过80美元时，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件，y=260-x，50≤x≤80；当售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件，y=420-3x，80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系式.

（3）分别求出两段函数的最大值，然后作比较.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，可以列出函数关系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，

当x=80时有最大值，最大值为7200，

当80

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90美元，每天利润最大为7500美元.

三、赞助商与二次函数

在奥运会上有很多签约的赞助商，在奥运会期间他们的广告无处不在.

例4 如图3，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.[图3]

某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【分析】利用已知条件表示出包装盒的表面面积，进而利用函数最值求出即可.

【解答】设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

∴S=4ah+a2=4[2]x·[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

∵0

∴当x=8时，S取得最大值384cm2.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）

《实际问题与二次函数》教学设计 篇4

广厚乡中心学校 李晓秋

教学目标：

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点难点：

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习巩固

1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。

3．二次函数y＝ax＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]

二、范例

2例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。练习：P18练习1．(2)。

例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得

解这个方程组，得：所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x＋8x－5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。

例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x－2)－4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax＋bx＋c?依题意，得解这个方程组，得：所以，所求二次函数关系式为y＝2x－8x＋4。

三、课堂练习

1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝x＋x＋3。解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x＋3)－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)－1解得a＝

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)－1，即y＝x＋x＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求

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解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y＝x＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是y＝x－10x＋23。

四、小结

1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业：

1.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

2．函数y＝x＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

3．若抛物线y＝－x＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

5．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若2洪水到来时，水位以每小时线后几小时淹到拱桥顶?

米速度上升，求水过警戒