指数函数的图像及性质

指数函数的图像及性质（精选十篇）

指数函数的图像及性质 篇1

三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 有什么性质?首先还得对它有感性的认识, 通过Mathcad输入不同的参数进行探索, 经过多次的实验、猜测、归纳发现它的图像有六种, 如图:

通过观察图像, 很容易发现当a为正时, 原函数的图像应为上图中的 (1) (3) (5) 三种情况;而当a为负时, 原函数的图像则为 (2) (4) (6) 三种情况。对函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 进行求导:f' (x) =3ax3+2bx2+c是二次函数, 令△=4b2-12ac=4 (b2-3ac) , 下面我们系统研究三次函数的性质

1.函数的定义域与值域均为R

2.奇偶性:函数当且仅当b=d=0时是奇函数

3.极值

(1) 若△=0, 此时f' (x) =3ax2+2bx+c=0有两个相等实根, 在实根两侧导函数值同号, 所以原函数单调性相同, 故函数f (x) =ax3+bx+cx+d (a≠0) 无极值;图像为上图中 (1) (2) ;

(2) 若△>0, 令f' (x) =3ax2+2bx+c=0两根为x1x2, 其中 若a>0, 当xx2时导函数值大于零, 所以函数f (x) 在x=x2处取极小值f (x2) , 有两个极值, 图像为上图中 (3) ;同理若a<0, 此时函数f (x) 在x=x1处取极小值f (x1) , 在x=x2处取极大值f (x2) , 仍有两个极值, 图像为上图中 (4) ;

(3) 若△<0, 此时f' (x) =3ax2+2bx+c=0无实根, 函数无极值, 图像为上图中 (5) 、 (6) 。由上易知以下结论:三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) ,

(1) 若 则f (x) 在R上无极值;

(2) 若b2-3ac>0, 则f (x) 在R上有两个极值。

(3) 若在x=x0处取得极值, 则必有f' (x) =3ax+2bx+c=0

4.单调性

(1) 若△≤0, 且a>0, 则f' (x) =3ax2+2bx+c≥0恒成立, 所以函数f (x) 在R上是增函数, 图像为上图中 (1) 、 (5) ;若△≤0, 且a<0, 则f' (x) =3ax2+2bx+c≤0恒成立, 所以函数f (x) 在R上是减函数, 图像为上图中 (2) 、 (6) ;

(2) 若△>0, 且a>0, 令f' (x) =3ax2+2bx+c=0两根为x1, x2且x1,

当 上单调递增,

当 上单调递减, 图像为上图中;

(3) 若△>0, 且a<0易得f (x) 在 (-∞, x1) , (x2, +∞) 上单调递减, f (x) 在 (x1, x2) 上单调递增, 图像为上图中 (4) ;

由上易得函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 在某个区间上增函数圳f' (x) =3ax2+2bx+c≥0在该区间恒成立;函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 在某个区间上是单调递减函数圳f' (x) =3ax2+2bx+c≤0在该区间恒成立。

5.对称性

观察上面六种图像, 发现都存在对称中心, 由此猜想三次函数的图像都是中心对称图形, 三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a>0) 的图像关于点 对称。

证法二:设y=f (x) 的图像关于点 (m, n) 对称, 任取y=f (x) 图像上点A (x, y) , 则A关于 (m, n) 的对称点A' (2m-x, 2n-y) 也在y=f (x) 图像上2n-y=a (2m-x) 3+b (2m-x) +d, ∴y=ax3- (6ma+b) x2+ (12m2a+4mb+c) x- (8m3a+4m2b+2mc+d-2m)

6.根的性质:三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0)

函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像与x轴有几个交点, 则方程f (x) =0便有几个实数根。

(1) 若b2-3ac燮0, 则f (x) =0, 则恰有一个实根;

(2) 若b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) >0, 则f (x) =0恰有一个实根;

(3) 若b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) =0, 则f (x) =0有两个不相等的实根;

(4) 若b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) <0, 则f (x) =0有三个不相等的实根.

证明 (1) 因为 所以f (x) 在R上为单调函数, 即曲线y=f (x) 与X轴只相交一次, 故f (x) =0恰有一个实根。

(2) 若b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) >0, 即函数y=f (x) 极大值点和极小值点在x轴同侧, 图像均与x轴只有一个交点, 所以原方程有且只有一个实根。

(3) f (x) =0有两个相异实根的充要条件是曲线y= (x) 与X轴有两个公共点且其中之一为切点, 所以b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) =0。

(4) f (x) =0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f (x) 与X轴有三个公共点, 即f (x) 有一个极大值, 一个极小值, 且两极值异号, 即分别在x轴两侧, 所以b2-3ac>0, 且f (x1) ·f (x2) <0。

7.三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 在区间[m, n]上有最大值和最小值

(1) 若 函数有最大值max{f (m) , f (n) }, 最小值min{f (m) , f (n) };

(2) 若△= (2b) 2-12ac>0, 令f' (x) =3ax2+2bx+c=0两根为x1x2且x1

(1) nx2时, 函数有最大值max{f (m) , f (n) }, 最小值min{f (m) , f (n) }

(2) x1

(3) m燮x1

(4) m燮x1

(5) x1

函数是高中数学的核心内容, 在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质, 但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中, 大多数学生仍然未能自觉地想到用导数方法来解决高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决的问题, 为克服这一思维定式, 在与二次函数比较的基础上, 对三次函数的性质进行系统的梳理, 旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质, 并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中, 形成自觉的应用意识。

摘要：本文利用数学软件Mathcad, 以导数为工具, 对三次函数的单调性、极值、最值、对称性、根的性质等问题进行探索研究, 经过实验验证, 深刻挖掘三次函数的性质, 为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据, 为高考有关问题找到了有效的解决方法。

指数函数的图像及性质 篇2

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

二、学生学习况情分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想

1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、【解析】法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：

⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和【解析】式这两种不同角度研究函数学学习

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数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、【解析】式归纳指数函数的性质。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题(约3分钟)问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,„„一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84。

设计意图：看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0

（二）导入新课

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数y＝

2、y＝0.84 分别以01的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。

（三）新课讲授

1．指数函数的定义 一般地，函数的含义：数学学习xxxx 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

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设计意图：为按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，引导学生用区间表示：（0，1）∪（1，+∞）问题：指数函数定义中，为什么规定“

”如果不这样规定会出现什么情况？

设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢？这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。

对于底数的分类，可将问题分解为：

(1)若a<0会有什么问题？（如(2)若a=0会有什么问题？（对于

x，则在实数范围内相应的函数值不存在）都无意义），(3)若 a=1又会怎么样？（1无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。

教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。

1：指出下列函数那些是指数函数：

.2：若函数

是指数函数，则a=------设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。2．指数函数的图像及性质

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

设计意图：对于

时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

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利用几何画板演示函数征。由特殊到一般,得出指数函数 的图象，观察分析图像的共同特的图象特征,进一步得出图质：

（1）观察总结a>1,0

x

-x

设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：

左右无限上冲天，永与横轴不沾边。

大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。

设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。

（四）巩固与练习

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例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

（五）课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你又掌握了哪些数学思想方法？你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？

设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

（六）布置作业

1、练习B组第2题；习题3-1A组第2题

2、观察指数函数的图象，比较a,b,c,d,的大小。

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设计意图：课后思考的安排，激发学生的学习兴趣，主要为学有余力的学生准备的。并为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作铺垫。

（七）板书设计：

八、教学反思

1、本节课不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。、要通过函数图象来研究指数函数的性质，学生的作图能力还是很差，在以后的教学过程中一定要加强作函数图象的练习

九、教学点评

本节课注重了让学生动手操作、猜想归纳、小组讨论、全班交流。学生在操作中加深对指数函数图象及其性质的运用；学生在猜想归纳中，可培养自己的创造性思维；学生在小组讨论中，有机会表达自己的想法，也学会听取别人的观点。学生在交流中相互启发，在不同观点、创造性思维火花的相互碰撞中，发现问题、探索问题、解决问题。但课上练习的题量较少，根据时间可以适当增加一些练习。总体来说作为一节新授课，这堂课还是很好的，很多方面都有可取之处。

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三角函数的图像与性质 篇3

一、 三角函数的单调性与值域

三角函数的单调性问题主要有三类：一是判断三角函数的单调性；二是证明三角函数的单调性；三是三角函数单调性的应用. 前两类的“技术含量”低一点,而第三类才更能体现思维和能力.三角函数单调性的应用主要是利用三角函数的单调性求最值和定义域.

二、 三角函数的奇偶性与图像的对称性

反思 方法一是利用一条曲线关于某直线对称时的对称原理,方法二是根据已知的对称轴方程,选取了两个特殊点,建立起关于θ的方程.相比较而言,方法二简单一些,但是需要注意的是,选取的两个特殊点要恰当,如果选取(-π,y1)和(π,y1),那么就得sin(-π+θ)+3cos(-π-θ)=sin(π+θ)+3cos(π-θ)0=0,解不出θ.

三、 三角函数的周期性与图像的变换

三角函数图像的变换主要有两种：平移变换和伸缩变换. 其中平移变换较易,伸缩变换稍难,尤以水平伸缩变换(即周期的变换)较难,造成困难的原因主要是变换的“顺序”. 变换的顺序不同,变换就有所不同. 下面以y=sinx的图像到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换为例说明其不同之处.

指数函数的图像及性质 篇4

一、第一环节“巩固概念,加深理解”

我们先来巩固一下对数函数的概念,请大家一起来填空。一般地,把函数___称为对数函数,其中是自变量,函数的定义域为。

通常研究函数的性质需要借助于直观的工具———函数的图像。今天这节课我们就要画出对数函数的图像,并通过“看图说话”探究对数函数的性质。请问:如何作出对数函数的图像?作图分为哪3个步骤?

二、第二环节“动手操作,画出图像”

教师请学生按照“列表、描点、连线”这三个步骤分别画出下列两组对数函数的图像。

学生画好后,教师请学生将画好的图像给全班同学做一个展示,并让学生谈一谈作图的关键,接着让学生自纠或相互纠正错误,最后达成共识。

三、第三环节“看图说话,探究性质”

教师活动:教师引导学生观察画好的图像,从图像上升或下降的趋势上看,对数函数的图像按照底数可以分成哪两类?仔细观察这两类对数函数的图像,“看图说话”说说你能发现对数函数的哪些性质?试着从以下几方面观察并完成下表。

学生活动:学生可以借助自己绘制的图像观察,也可以观察教师投影上给出的图像,可以自己观察、探索,也可以同位间或前后位间相互交流、讨论。

教师活动:教师要引导学生充分发表意见,或者教师提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将图像的几何特征(几何角度)翻译为函数的性质(代数角度)。

教师活动:再仔细观察这两类对数函数的图像,你还有其他新发现吗?(提示:1这两类对数函数的图像都经过哪一个共同的点?2函数值的变化情况如何?当01时,y值又如何? )

学生活动:请学生把自己总结出来的对数函数的图像和性质“整合”一下,将这两类对数函数的图像和性质一般化并尝试完成表格,学生完成后教师投影展示。

四、第四环节“运用性质,解决问题”

比较同底对数值的大小:log21.2与log22.2、log0.21.8与log0.22.8、loga5与loga7。

题后反思:如何利用对数函数的单调性比较同底对数值的大小?1构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断。2当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。

五、第五环节“归纳小结,强化思想”

1画出对数函数的图像,探究对数函数的性质;2利用对数函数单调性,比较同底对数值大小;3蕴含了数形结合思想,分类讨论等数学思想。

六、第六环节“课后作业,巩固拓展”

指数函数的图像及性质 篇5

管小红

教学目标

1、知识与技能目标：

（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；

（2）会做指数函数的图像；

(3)能归纳出指数函数的几个基本性质。

2、过程与方法目标：

通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：

（1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题

(2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。

教学重点和难点

教学重点：指数函数的图象和性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。教法：讲授法 学法：讨论法

教学过程

一．创设情境，揭示主题

1某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个„„，这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与x有怎样的函数对应关系？

2“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。木椎截取x次后，剩余量y与x有怎样的函数对应关系？

答：细胞个数y 与x的函数关系式是y=2x, 木棰的剩余量y与x的函数对应关系是y=。

在这个函数关系中，底数是一个常量，指数是一个变量，我们把这样的函数叫做指数函数，你能给出它的一般形式吗？

二．指数函数的概念

1． 形如y=ax 的函数.这里a的取值范围如何呢？

主要有两个目的,使函数的定义域为R,且具有单调性.（1）假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；(2)假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

（3）假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。

2．指数函数的定义：

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R。

了解了什么是指数函数，还需进一步研究其性质，从“数”的角度研究其解析式有难度，我们转而从“形”的角度研究其图象，然后从图象中看能否发现规律总结出指数函数的性质。

三．指数函数的图象和性质：

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤：列表、描点、连线 思考如何列表取值？教师与学生共同作出

图像。

利用几何画板演示函数像的共同特征。由特殊到一般,得出指数函数出图象性质：

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。的图象，观察分析图的图象特征,进一步得师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

特别地，函数值的分布情况如下：

四巩固与练习

例： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。五．课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 你又掌握了哪些数学思想方法？

你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？ 六．布置作业

习题：1,2 七：课后反思：

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。

指数函数的图像及性质 篇6

【活动目标】学习使用《几何画板》软件作出一次函数 的图像；借助于动态图形，理解k和b的几何意义。

【活动准备】一间计算机教室，电脑需预装《几何画板》5.0或更高版本；在此前的课堂学习中，同学已经学会软件的一些基本操作；熟悉“一次函数”的图像与性质，会熟练地手工作图。

【活动过程】

1.小组分工：为提高学习效率，共同提高，每4～5名同学分成一组，并按小组就近在计算机教室入座，以便合作讨论，及时总结。

2.教师课前设计好本节课的教学案，本节课需要解决以下几个问题：

（1）学会用《几何画板》画出某个具体的一次函数图像，例如 ；

（2）学会用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，并能改变k、b的值，理解它们的几何意义，并藉此理解一次函数图像的性质；

（3）借助画板工具，理解一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式之间的关系，学会利用图形求解方程组的解，利用图形的几何意义求解一元一次不等式。

同学们需要带着教学案进入机房，并熟知本节课的学习任务。

3.问题和探索

问题1：在平面直角坐标系中画出函数 的图像，并和手工作图的图像进行比较，温习一次函数图像的性质。

基本操作：（1）打开《几何画板》软件，在“编辑”菜单中点击“参数选项”，选中“文本”选项卡，并勾选所有复选框。

这样做的目的是，让作图过程中自动加上点的字母，并让函数关系式自动呈现为 的形式，免得后面重复这一操作。

（2）打开“绘图”菜单，选中“绘制新函数”，并在打开的“新建函数”选项卡中，按照运算顺序输入“2*x-1”，在输入的过程中，注意观察界面上的函数式也同步变化，输入完成后，确定。会看到页面上出现一条倾斜向上的直线，这就是 的图像。

作图技巧：我们把坐标原点用O表示，拖动图中的点A可以改变坐标轴的单位长度，在默认情况下，我们选用的坐标系是“方形网格”，如果需要，可以在“绘图”菜单中改成“矩形网格”.例如，我们要画出函数 ，我们可以在矩形网格中，先输入函数式，然后拖动坐标轴上的A和B点，让图像呈现在屏幕的合适位置。

问题2：用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，改变的k、b值，观察函数的图像随着k、b的变化如何改变。

基本操作：在x轴上任作两点A、B，过这两点作x轴的垂线，在垂线上各选一点C、D，度量出C、D的纵坐标的数值，改变数值的标签分别为k、b。打开“新建函数”选项卡，输入 （其中k和b分别用鼠标点击刚才的标签），确定。出现如下的图形。

问题2的操作比较复杂，如果有同学发生困难，教师可以利用教师机给同学先展示，再由学生自己操作。个别问题，教师单独解决。

作图技巧：作好图形后，拖动C，可以改变k的值，拖动D，可以改变b的值，由此观察直线的位置、倾斜程度、经过的象限随着k和b如何发生变化的。

问题3：在同一坐标系中画出 和 的图像。（1）观察它们有无交点，并尝试读出交点的坐标；（2）根据图像，说出使 的x的取值范围.

基本操作：如图所示，按照要求作出两个函数图像，为了区分，可以用红色、蓝色分别标记。可以发现它们有一个交点，直接用鼠标点中交点P。可以直接观察出P（3，5）.对于不能直接看出交点坐标，或坐标不是整数的情况，可以选中点P，利用“度量”菜单中的“坐标”工具，直接度量出交点的横坐标和纵坐标。

活动启示：本题其实给出了方程组 的图像解法。进一步地，根据图像的位置关系，可以知道，当x>3时， ；反之，当x<3时， .

作图技巧：可以在y1上任选一点M，并过M作y轴的平行线，看这条直线与y2的交点N与M的位置关系，由此感受y1和y2的大小关系是如何变化的。

【活动总结】

每个小组互相交流一下，解决以上3个问题的过程中有没有新的想法，还有没有疑问和困惑？

【活动评价】

指数函数的图像及性质 篇7

【活动目标】学习使用“几何画板”软件作出一次函数y=kx+b(k≠0)的图像;借助于动态图形,理解k和b的几何意义.

【活动准备】一间计算机教室,电脑需预装“几何画板”5.0或更高版本;在此前的课堂学习中,同学们已经学会软件的一些基本操作,熟悉“一次函数”的图像与性质,会熟练地手工作图.

【活动过程】

1. 小组分工:为提高学习效率,共同提高,每4~5名同学分成一组,并按小组在计算机教室入座,以便合作讨论,及时总结.

2. 教师课前设计好本节课的教学案 ,本节课需要解决以下几个问题:

(1) 学会用“几何画板”画出某个具体的一次函数图像,例如y=2x-1;

(2) 学会用“几何画板”画出含参数k、b的一次函数图像,并能改变k、b的值,理解它们的几何意义,并借此理解一次函数图像的性质;

(3) 借助画板工具 ,理解一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式之间的关系,学会利用图像求解方程组的解,利用图像的几何意义求解一元一次不等式.

同学们需要带着教学案进入机房,并熟知本节课的学习任务.

3. 问题和探索

问题1:在平面直角坐标系中画出函数y=2x-1的图像,并和手工作图的图像进行比较,温习一次函数图像的性质.

基本操作:

(1) 打开“几何画板” 软件 , 在“编辑”菜单中点击“参数选项”,选中“文本”选项卡,并勾选所有复选框.

这样做的目的是,让作图过程中自动加上点的字母,并让函数关系式自动呈现为y=kx+b的形式,免得后面重复这一操作

(2) 打开“绘图”菜单 ,选中“绘制新函数”,并在打开的“新建函数”选项卡中,按照运算顺序输入“2*x-1”, 在输入的过程中,注意观察界面上的函数式也同步变化,输入完成后,点击“确定”,会看到页面上出现一条倾斜向上的直线, 这就是y=2x-1的图像.

作图技巧:我们把坐标原点用O表示,拖动图中的点A可以改变坐标轴的单位长度,在默认情况下,我们选用的坐标系是“方形网格”,如果需要,可以在“绘图”菜单中改成“矩形网格”. 例如,我们要画出函数y=2x-30的图像,我们可以在矩形网格中,先输入函数式,然后拖动坐标轴上的A和B点,让图像呈现在屏幕的合适位置.

问题2:用“几何画板”画出含参数k、b的一次函数图像,改变k、b的值,观察函数的图像随着k、b的变化如何改变.

基本操作:在x轴上任作两点A、B,过这两点作x轴的垂线,在垂线上各选一点C、D,度量出C、D的纵坐标的数值,改变数值的标签分别为k、b. 打开“新建函数”选项卡,输入y=kx+b(其中k和b分别用鼠标点击刚才的标签),点击“确定”,出现如下的图形.

问题2的操作比较复杂,如果有同学发生困难,教师可以利用教师机给同学先展示,再由学生自己操作. 个别问题,教师单独解决.

作图技巧:作好图形后,拖动C点,可以改变k的值,拖动D点,可以改变b的值,由此观察直线的位置、倾斜程度、经过的象限随着k和b如何发生变化.

问题3:在同一坐标系中画出y1=2x-1和y2=x+2的图像.

(1)观察它们有无交点,并尝试读出交点的坐标;

(2)根据图像,说出使y1>y2的x的取值范围.

基本操作:如图所示,按照要求作出两个函数图像,为了区分,可以用红色、蓝色分别标记. 可以发现它们有一个交点,用鼠标点中交 点P,可以直接 观察出P(3,5)对于不能直接看出交点坐标,或坐标不是整数的情况,可以选中点P,利用“度量”菜单中的“坐标”工具,直接度量出交点的横坐标和纵坐标.

作图技巧:可以在y1上任选一点M,并过M作y轴的平行线,看这条直线与y2的交点N与M的位置关系 ,由此感受y1和y2的大小关系是如何变化的.

【活动总结】每个小组互相交流一下,解决以上3个问题的过程中有没有新的想法? 还有没有疑问和困惑?

指数函数的图像及性质 篇8

1. 背景

从课程标准来说,初中数学要致力于改变学生被动学习的陋习,努力营造学生探求知识的氛围.因此,二次函数图像与性质一课的设计,以学生学习知识的心理机制设计,通过从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的设计规律,结合启发式教学和建构式教学的理念进行教学设计.

从知识结构来说,二次函数为何如此重要? 因为它联系着函数从直向曲的变化, 颠覆了学生对线性函数之外的认知,从生活实践来说,二次函数模型还有着很多利润最大的生活运用实践,它与学生学习过的二次方程和以后涉及的二次不等式,都有着桥梁般的紧密联系.通过学习二次函数,学生对二次方程有了更清晰的认知,体现了函数与方程的数学思想、数形结合的数学思想,为以后进一步学习更深层次的函数奠定了一些思想方法基础和研究问题的经验.

2. 设计

2.1 情境引入

师:同学们,我们学习过一次函数,我请大家回顾一下一次函数的图像,并通过图像小结一次函数的性质.

生:一次函数分为k > 0和k < 0两种,其图像为上升和下降两种.

师:我们通过什么样的方法得到了一次函数的图像呢?

生:描点法.

师:好,今天我们将学习一种新的函数,请大家类比一次函数图像得到的方法,画一画学案中的二次函数y = x2,我请两位同学上黑板来画一画,其余同学画在学案上.

设计说明:通过复习引导,带来学生回顾一次函数图像的形成过程,并利用类比思想指导学生对抛物线y = x2进行尝试,请学生动手,让学生对抛物线的形态有一个清晰的认识.

2.2 探求新知

师:我们看看两名同学在黑板上的图像,正确吗?

生:好像都不太正确.甲同学他把描点之后的点与点之间用直线联起来了,和我的不一样.乙同学,只选了一些自变量为正数的点坐标,图像只分布在第一象限,似乎有些欠缺.

师:这名同学分析得非常好.甲同学描点非常好,最大的弊端在于它选择的点坐标都是整数,导致其认为这些点之间是线段连接,若我们在整数间再多选择一些点画一画,你会发现函数y = x2的图像不应该是直线; 乙同学的图像只作出了y轴右侧的图像,对自变量的选择上过于缺失,因此两位同学都没有完全作出该函数的图像.(将正确的图像进行PPT或几何画板演示)

设计意图:通过学生积极参与板演,使其了解最基本的二次函数y = x2.并指导学生 ,在画非线性函数时 ,多取一些自变量,使学生能够尽可能的对图形有整体的把握,并指出这些基本初等函数在绘制时,一定要注意曲线的光滑性.

师:同学们,再试一试y = -x2的图像呢?

设计意图:学生通过类比,迅速得到该函数的图像.让学生初步感受二次项系数对二次函数张口的影响.

师:好,接下来请同学们互相给同桌出一个二次函数,请对方来画一画你编制的函数.

设计意图:通过学生建构,调动了课堂的气氛、积极性,也提高了学生思维的主动性.

师:好,同学们给对方编制的函数都很有难度.(投影)有些同学甚至编制出函数y = x2- 2x + 1,y = -x2- 3x + 4等等 ,都比老师刚刚的问题要复杂,但我们的同学都很清楚的将图像作出来了,这种函数我们给它一个科学的定义,叫二次函数:二次函数分为开口向上和向下两种,它的基本解析式为y =ax2+ bx + c(a≠0),同学们已经画出了一些相关的图像 , 我们接下来重点研究下它的性质. 我们以二次函数y = x2,y =2x2,y = -x2,y = -2x2为例,一起来研究.请同学们在同一坐标系下画一画上述几个函数图像.

设计意图:继续尊崇初中生知识认知的心理机制,从特殊到一般、从形象到抽象的认知特点.

师:观察这四个函数图像,你发现了些什么?

生:这四个函数都是二次函数,它们的图像都是抛物线,而且都关于y轴对称,四个函数图像有一个公共定点,即坐标原点.二次项系数为正数时,抛物线开口向上,反之则向下.

师:很好! 这位同学对图像的观察很仔细.那么,结合上述的分析,你怎么认识这个二次函数呢? y = ax2(a≠0).

生:这个应该和上面的是一样的,a > 0时,抛物线开口向上,图像关于y轴对称,有一个顶点是(0,0);当a < 0时,抛物线开口向下,图像关于y轴对称,它的顶点也是(0,0).

师:通过类比学习,我们掌握了y = ax2(a≠0)的图像基本形态, 也通过图像对其基本性质有了一些初步的认识.那么,对于一般的二次函数y = ax2+ bx + c(a≠0)的认识 ,我们将在后续知识继续学习.请同学看一看下面练习:

(1)函数是二次函数,求m的值;(2)二次函数,当a = 5,x = 3时,求y的值.

2.3 课堂小结

(1)力主通过大量学生自主作图 ,对二次函数y = ax2(a≠0)有基本的认知.

(2)在教学中始终以建构式为主导、以启发式为辅助进行本课的设计安排.

(3)在教学中渗透了数形结合思想、分类讨论思想 ,培养学生的数学思想.

3. 尾声

本课,笔者对教材进行了探究性重组,同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的.通过充分的过程探究, 学生容易得出也是最早得出了图像的性质,借助直观图像的性质而得到二次函数的性质.

从时间角度而言,学生探究花去了一些时间,但从知识吸收的效果来说,自主实践探究图像远比教师直接投影来得优异.因此,笔者认为教师要合理对概念起始课进行合理的开发,做合适自己学生学情的设计,做到有的放矢,并创造性地使用数学教材,才是有效、高效的.用华东师大汪晓琴教授的话说, 即优秀的教师在于将线性的文字合理地教授给学生,通俗易懂、深入浅出,这样的课堂设计才是成功的.

摘要：二次函数是初中数学函数教学的核心,而二次函数的图像和性质又是二次函数教学的关键,新课程理念指导下的本节教学立足学生的亲身探索和实践,并在一定的探索下得到相关知识.

一次函数图像与性质的重难点讲析 篇9

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的?

一次函数是我们学习的第一种函数,函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段,所以我们在学习一次函数的图像时,一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时,只画出了几个特殊的函数图像,通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律,即由特殊总结归纳一般规律,这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像,我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律,又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的快速方法———“两点法”.一般情况下我们取(0,b)(即直线与y轴的交点)和（-b/k, 0） (即直线与x轴的交点)这两点可以快速画出其图像.

例如,在下面的平面直角坐标系中,分别用“两点法”画出一次函数y=2x-1、y=x+2和y=-2x+3、y=-x-2的图像.

观察画出的四个函数图像,·从·左·往·右看,一次函数y=2x-1、y=x+2的图像是上升的,表明随着自变量x的值逐渐增大,一次函数y=2x-1、y=x+2的值逐渐增大;一次函数y=-2x+3、y=-x-2的图像是下降的,表明随着自变量x的值逐渐增大,一次函数y=-2x+3、y=-x-2的值逐渐减小.

由此归纳:在一次函数y=kx+b(k、b是常数,且k≠0)中,

(1)当k>0时,y随着x的增大而增大,从左往右看函数的图像是上升的;

(2) 当k<0时,y随着x的增大而减小,从左往右看函数的图像是下降的.

2. 一次函数的图像与性质中体现了什么数学思想?

我们总结一次函数的图像与性质的目的就是为了熟练地实现由关系式到图像、由图像到关系式的转化,这里重点体现了数形结合思想.关系式里的“k”是数,“y随着x的增大而增大(减小)”是形.在以后的应用中,我们可以根据k的值判断一次函数的值随x的增大而变化的规律;同样,也可以根据图像估计k的取值范围. 而且,在以后学习其他函数时,经常要运用这个思想方法,所以,理解一次函数的图像与性质是我们学好函数知识的敲门砖.

3. 关系式中的k值与函数图像有怎样的关系?

研究一次函数y1=2x,y2=2x+3,y3=2x-3的关系:

(1)填表,并指出对应于同一个自变量的值,3个函数值之间的关系.

结论:对应于同一个自变量的值:

一次函数y2=2x+3的值比y1=2x的值大3,

一次函数y3=2x-3的值比y1=2x的值小3.

(2)在同一平面直角坐标系中,作出上面三个函数的图像,比较它们的位置关系.

结论:一次函数y2=2x+3的图像可以看作是由正比例函数y1=2x的图像向上平移3个单位长度所得;一次函数y3=2x-3的图像可以看作是由正比例函数y1=2x的图像向下平移3个单位长度所得.

归纳:一般地,正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线,一次函数y=kx+b的图像是由正比例函数y=kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移b个单位长度得到的一条直线.

二、难点突破

根据k、b的符号确定一次函数y=kx+b大致的图像.

数形结合是我们解决函数问题的很重要的途径,但有时不易画出一次函数的准确图像,所以,很多时候我们只要画出一次函数的大致图像,就可以结合一次函数的性质解决问题. 如何快速地画出一次函数的大致图像呢?

一次函数经过哪几个象限,不需要死记硬背,只要掌握了一次函数图像的性质,就可以快速画出草图,从而确定其位置.

例如:已知一次函数y=-kx+b(k<0,b>0),那么该函数图像不经过第几象限?

∵直线y=-kx+b与y轴的交点为(0,b),b>0,∴交点在y轴的正半轴.

又∵k<0,∴-k>0,即y随x增大而增大,即从左向右往上画,画出草图如下:

指数函数的图像及性质 篇10

利用几何画板探究反比例函数图像的性质.

二、问题背景

函数是在探索现实生活中的具体问题时，在数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，而反比例函数是继一次函数之后初中数学的又一重要内容之一，也比较抽象，函数图形从“数”到“形”，同学们普遍反映理解上有困难.

三、探究意义

几何画板可快速、精确、直观地显示函数图像的形成和变化，可增加同学们对反比例函数性质的感性认识，引发理性思考，形成经验，加深对数学本质的认识，提升的数学学习能力.利用几何画板展示反比例函数的图像及其性质，能够使抽象的数学教学变得形象、直观、生动、有趣，能够激发学习反比例函数的兴趣，感受数学之趣.

四、课题介绍

本次活动分为三个层次.层次一：探究反比例函数图像的性质.层次二：探索反比例函数图像的轴对称性.层次三：探索反比例函数图像的中心对称性.

五、实验准备

计算机（装有几何画板5.06最强中文版软件），阅读课本“数学实验室”的内容.

六、实验方法

合作交流型学习、探究性学习、概括性学习等方法.

七、实验要求

1. 回顾反比例函数图像和性质的相关内容.

2. 回顾轴对称和中心对称的性质.

3. 体会“数形结合”的数学思想，逐步学会用数形结合的数学思想分析、解决问题.

4. 积极参与数学活动，能够提出自己的想法，参与对活动的评价过程，提高归纳和说理能力.

5. 培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学求知的精神.

八、阶段性实验

1. 活动一：探索反比例函数(k≠0）图像随k取值的变化而变化的情况.

(1）在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数y=x以及反比例函数的图像（如图1).

操作步骤：(1)建立平面直角坐标系，调整单位长度；

(2)建立参数k，画出反比例函数(k>0）和y=x.

【活动说明】

以往在没有利用多媒体软件时，为了探索反比例函数的图像性质，需要根据k的不同值画出很多图像进行比较，而通过《几何画板》画反比例函数图像，克服了这一弊端，节省了时间和不必要的劳动，可以把更多的时间用在思考和探索上.

(2）在图1中，选出变量k，同时按住“shift”和“+”键，观察：当k的值发生变化时，反比例函数(k>0）的图像与正比例函数y=x的图像的交点发生怎样的变化？

【活动说明】

《几何画板》软件在这里体现的优势非常明显，通过简单的一个键，可以画出无数个反比例函数，而且动态显示，让我们轻而易举地、直观地发现规律.

(3）类似地，我们可以在同一平面直角坐标系中，画正比例函数y=-x以及反比例函数的图像（如图2).

操作步骤：(1)建立平面直角坐标系，调整单位长度；

(2)建立参数k，画出反比例函数(k<0）和y=-x.

在图2中，选中变量k，按“-”键.当k的值发生变化时，反比例函数(k<0）的图像与正比例函数y=-x的图像的交点发生怎样的变化？

【活动说明】

通过几何画板我们很容易从活动一中得到结论，|k|的值越大，反比例函数(k≠0）的图像与正比例函数y=x（或y=-x）的图像的两个交点与原点之间的距离越大.

2. 活动二：探索反比例函数(k≠0）的图像的轴对称性.

(1）探索反比例函数(k>0）关于直线l1:y=x的轴对称性（如图3).

操作步骤：(1)建立平面直角坐标系，调整单位长度；

(2)建立参数k，画出反比例函数(k>0）和y=x;

(3)在反比例函数的图像上任取一点，记为点A;

(4)作与正比例函数y=x图像重合的直线l1;

(5)将直线l1标记镜面，作出点A的反射点A′；

(6)度量A和A′的坐标.

【活动说明】

只要能说明图像上的任意一点关于某一条直线的对称点也在该图像上，就可以说明该图像关于这条直线对称.反比例函数(k>0）的图像都关于直线l1:y=x对称.

(2）探索反比例函数(k>0）的图像关于直线l2:y=-x的轴对称性（如图4).

操作步骤：(1)建立平面直角坐标系，调整单位长度；

2建立参数k，画出反比例函数(k>0）和y=-x;

(3)在反比例函数的图像上任取一点，记为点A;

(4)作与正比例函数y=-x图像重合的直线l2;

(5)将直线l2标记镜面，作出点A的反射点A′；

(6)度量A和A′的坐标.

【活动说明】

反比例函数(k>0）的图像关于直线l2:y=-x也对称.

(3）选中变量k，同时按住“shift”和“+”键（或者只按“-”键），观察：当k的值变化时，点A和点A′的上述关系还成立吗？

【活动说明】

《几何画板》可以轻而易举地实现无数个k值的变化，操作简单.可得结论：反比例函数(k≠0）的图像关于直线l1:y=x和直线l2:y=-x都对称.

3. 活动三：探索反比例函数(k≠0）图像的中心对称性.

(1）仿照以上步骤先探索反比例函数(k>0）图像的中心对称性.

【活动说明】

本环节首先回顾中心对称的知识点，然后继轴对称性探索后很自然地对图像中心对称性进行探索，激发同学们的数学思考.

(2）选中变量k，同时按住“shift”和“+”键（或者只按“-”键），观察：当k(k≠0）的值变化时，点A和点A′的上述关系还成立吗？

【活动说明】

通过几何画板，轻松改变k的值，将（1）中的反比例函数(k>0）的中心对称性拓展到k≠0范围.

九、研究论文

【活动收获】

在本节课的探究过程中，你有哪些感受与收获？回顾你的探究心路历程，请将你的探究经验、感悟和发现写成数学小论文.