一次函数应用

一次函数应用（精选十篇）

一次函数应用 篇1

这是河南郑州市第三十四中学赵晓红老师的一堂数学课, 赵老师的这堂课主要有以下特点:

一、能体现先学后教的教学理念.学生利用老师给出的任务单、学习资源, 经过独立思考, 梳理解决问题的方法.小组通过媒体平台 (知好乐平台、QQ群) 进行交流讨论, 解决小组成员的个别问题, 梳理出小组的问题.

二、教师通过分析学生的自主学习情况, 在课堂上针对学生的问题进行教学, 对学生的语言叙述进行重点评价, 对一次函数的应用意识进行重点培养, 体现了少教多思, 学生会的不讲, 学生能讲明白的老师不讲.课堂上通过问题串的形式启发学生进行思考, 形成知识系统, 培养学生的思维能力.

三、教师关注了全体学生.课堂上展示的同学基本上是小组的三号、四号同学, 通过这些同学的展示, 发现问题, 让小组的一号或二号同学进行讲解, 使不同层次的学生都能有所收获.

案例亮点

亮点一:自主学习结果点评

【师生活动】展示学生的课前分小组自主学习情况、问题解决的情况、思维导图制作情况及自主学习检测情况, 教师对反馈结果分别进行点评和分析, 针对学生学习中存在的重点问题提出要求.

【设计意图】展示自主学习情况, 帮助学生了解自己和同学在自主学习方面的优点和不足, 同时能够发现自己学习中的问题, 对本节课的学习目标有所了解.

亮点二:问题解决方案展示

【师生活动】针对课前学习中的问题一和问题二, 教师指定某小组成员说明本组解决问题的方案和思路, 阐述采用该方法的原因, 分析完成方案需要涉及的知识点, 其他小组进行补充和质疑.在学生说明的过程中教师对学生的叙述语言加以指导.

【设计意图】各小组说明自己解决问题的方法, 其他小组对解决问题的方案进行完善, 这样梳理解题思路有助于提高学生解题能力.在阐述原因的同时挖掘知识的应用, 能加深学生对一次函数及相关知识的理解.

亮点三:解题方法选择指导

【师生活动】对于问题三学生思考下列问题:你怎样知道解决这个问题用到一次函数?你什么时候想到用方程解决问题?先小组内交流, 再由各小组代表发言, 讨论如何选择解决问题的方法.

【设计意图】引导学生深度思维, 对函数与方程进行比较和鉴别, 把函数和方程区别开来, 培养学生在实际生活中应用函数和方程的意识.

设计思路

一、学生学习过程评价

虚拟课堂学习过程评价

1.自主学习:小组成员的自主学习任务结果上传到小组讨论群, 有学习资源推荐, 有解决问题的思路, 有自己学习的总结, 有学习过程提出的问题。

2.小组讨论:小组讨论有序开展, 小组成员间有互相评价, 有答疑, 有质疑。小组成员能共同梳理解决问题的方案, 小组能提出有质量的问题

(通过智慧课堂、知好乐平台和PPT课件进行评价)

课前自主学习检测分析

1.学习检测的结果 (通过知好乐平台接收和发送)

2. 存在的问题 (通过知好乐平台接收和发送)

3.课堂需要解决的问题 (PPT课件)

二、核心问题展示

学生根据刚才的评价对小组的学习内容和问题再次梳理和补充, 学习有深度的小组进行展示ppt或其他形式, 展示解决学习任务单中的任务的方案, 及小组的问题。

(启发学生进行深度思考:为什么要用到一次函数?生活中还有没有类似的应用一次函数的例子?请举例。)

其他小组进行补充和质疑。教师进行适时的答疑

三、学生对所学知识进行总结和拓展 (思维导图) (应用到一次函数的实例)

四、课堂检测

五、课堂检测分析

教学反思

《一次函数的应用》是第四章《一次函数》的习题课, 是学习完一次函数的所有知识后的应用课, 也是本册实践活动课的简化版。学生在前面学习了一次函数的图象及性质, 已经掌握了根据题意列出函数的表达式、一次函数的图象和性质等, 具备了利用一次函数知识解决实际问题的初步条件。由于学生的思维水平不一, 并且一次函数是比较抽象的内容, 对学生的能力要求比较高, 所以本节课的内容相对学生而言是比较难的一节课。

根据学生的实际情况, 本节课的目标是:会根据变量间的关系写出函数解析式。并会用函数表达式、方程和函数图象解决实际问题。实现这个目标分为两个方面, 一个是让学生在课前通过独立思考, 用自己的方法进行解决, 想到什么方法就用什么方法。如果不能写出函数解析式, 需要通过观看微视频, 学习解决这类问题的基本方法。然后, 小组成员之间在学习平台交流讨论, 讨论解决问题的方法, 大家把解决问题的不同方法进行汇总比较, 小组达成共识:用一次函数的知识解决此类问题。

一个是在现实课堂上, 各组通过提出自己组的问题, 加深对一次函数应用的理解并且对这类问题的应用进行拓展延伸。

在习环节中, 很多同学在解决第一个问题时采用了表格罗列数据的方法, 学生并不知道这个方法也是函数的方法, 也不知道这个方法的弊端。还有, 很多学生并不能分析如何得到函数的解析式. 第二个问题很多学生解决起来都比较吃力, 不会把函数转化为方程。小组讨论时, 第一个问题没能很好地解决。第二个问题中的部分内容小组能解决, 还有些小组的问题没有解决。

在现实课堂中, 针对学生出现的问题进行教学, 提出学生没有解决的问题, 并采用组与组之间交流讨论的形式进行点拨和讲解。

本节课的优点:在课堂上的教学更具有针对性。学生在自主学习过程中产生的问题全部得到解决并进行了知识拓展, 课堂上新生成的问题也得到解决。学生通过分析、比较发现并总结解题采用的方法, 形成用函数解决问题的意识, 并能够考虑用一次函数的不同知识点去解决问题。课上学生探究讨论的气氛热烈, 课堂效率较高。每个问题最后都能由小组的4 号同学进行总结回答, 学生检测达率比较高。

本节课不足之处:

一、课件没有展示出来:由于用手机同屏软件不熟练, 上课很长时间没有打开云平台, 课件没有展示出来。

二、课题没有板书, 是本节课很大的遗憾。虽说使用了平台和信息技术, 但是技术工具呈现的课题仍然无法代替板书, 有些传统的东西还要保留, 应该把课题和本节课核心问题用板书的形式呈现出来。

三、在自主学习反馈阶段, 语言匮乏, 各个小组的特色和优点展示不够充分。

同行点评

本节课教学目标明晰, 分解到位, 针对性强.采用" 双课堂" 教学, 体现先学后教, 以学为主, 课堂上针对问题展开教学, 让学生学会学习, 追踪数学的本质, 培养了学生的逻辑思维.

教师和学生信息技术应用熟练, 把技术融合到课堂的学习当中, 不漏痕迹, 不是纯粹为了应用而应用.教师课堂设计到位, 对学生的问题分析到位, 是一节非常精彩的好课.

-- 河南郑州市第三十四中学 听课老师

《一次函数图象的应用》教案 篇2

教学目的和要求：

1.能通过函数图像获取信息，增强图能力，发展形象思维。

2.能利用函数图像解决简单的实际问题，发展数学应用能力。

教学重点和难点：

重点：

1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维能力。

2、能利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力。

3、初步体会议程与函数的关系，建立良好知识的联系。

难点：

1.利用函数图象解决实际问题。

2.用函数的观点研究方程。

快速反应

1.下图是某地某日24小时气温随时间变化的曲线图，根据图象填空：

（1）气温最低，最低气温是℃。

（2）气温最高，最高气温是℃。

（3）气温是0℃。

2.如图是反映某水库的蓄水量V（万米3）随着干旱持续时间t（天）变化的图象，根据图象填空。

（1）水库原有水量万米3，干旱连续10天，水库蓄水量为。

（2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，则连续干旱天将发出严重干旱警报。

（3）持续干旱天水库将干涸。

自主学习

为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图6—5—1所示：

（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；

（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？

答案：(1)

(2)当y1=y2时，

当 时，

所以，当通话时间等于96 min时，两种卡的`收费一致；当通话时间小于 mim时，“如意卡便宜”；当通话时间大于 min时，“便民卡”便宜。

2、某医药研究所开发了一种

小结：

1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是非曲直的方程叫做二元一次方程.

2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.

4.二元一次方程组中多个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.

课外作业：

《畅游数学》“§7.1谁的包裹多”部分

例谈一次函数的应用 篇3

你能想到这个问题的解决与函数知识密切相关吗？下面，就让我们一起来思考如何借助数学知识解决这个实际问题吧！

常识准备：

对于一种普通的商品，从生产者的角度看，价格越高，生产者就有更多的意愿组织生产，因此它的供应量越充足，价格与供应量之间的关系近似地

这两种方式，比较它们的两个四边形面积相减的差，我们不难确定哪一种方式更能节约社会资源.

问题解决：

通过上面的分析，你是否发现函数知识在我们的现实生活中有着重要作用呢？而且这种作用，不是简单的加减乘除就能解决的，而是有赖于我们综合运用数学知识来分析解决的. 怎么样，是不是觉得数学还是非常神奇的？下面，我们就请你来尝试解决我们开头提到的问题吧！

经统计研究发现，毒品的供求线如图4所示. 我们发现，供应量受价格的影响比需求量受价格的影响小.

如果打击供给，会出现图5所示的变化，通过计算四边形OQ1AP1和OQ2BP2的面积我们不难发现，这样会使社会为此付出的总价值变大；反之，如果抑制需求，通过类似的分析，我们会发现，为此付出的总价值会变小.

当然，实际问题所要考虑的因素很多，我们可以用来分析的手段也远不止通过一次函数来分析，但数学在社会生产生活中的应用确是越来越广泛而深远！

一次函数应用 篇4

要想让一次函数应用题得以解决, 必须培养学生将实际问题转化为一次函数的能力, 即数学建模能力, 能够由一个问题解决一类问题, 举一反三, 触类旁通。教师可以选择典型题目, 开展专题讲座, 让学生进行建模训练, 提高学生的建模水平。下面, 笔者以2012年的中考题为例分别阐述。

一、分段函数问题

例1: (2012·广州) :某城市居民用水实行阶梯收费, 每户每月用水量如果未超过20吨, 按每吨1.9元收费。如果超过20吨, 未超过的部分按每吨1.9元收费, 超过的部分按每吨2.8元收费。设某户每月用水量为x吨, 应收水费为y元。 (1) 分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨, y与x间的函数关系式。 (2) 若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元, 求该户5月份用水多少吨?

这是一次函数应用题的基本类型, 函数关系式应根据自变量的取值范围分两种情况来分析、讨论。未超过20吨时, 水费y=19×相应吨数;超过20吨时, 水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8;该户的水费超过了20吨, 关系式为:1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2.

解: (1) 当x≤20时, y与x的函数表达式是y=1.9x;当x>20时, y与x的函数表达式是y=1.9×20+ (x-20) ×2.8=2.8x-18; (2) 5月份水费平均为每吨2.2元, 用水量如果未超过20吨, 按每吨1.9元收费;用水量超过了20吨, 则2.8x-18=2.2x, 解得x=30.答:该户5月份用水30吨。

解分段价格问题建模策略: (1) 分段函数的特征是:不同的自变量区间所对应的函数式不同, 其函数图像是一个折线。解决分段函数问题, 关键是要与所在的区间相对应。 (2) 分段函数中“折点”既是两段函数的分界点, 同时又分别在两段函数上。求解析式要用好“折点”坐标, 同时在分析图像时还要注意“折点”表示的实际意义, “折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。

二、两种方案做比较

例2: (2012·连云港) 我市某医药公司要把药品运往外地, 现有两种运输方式可供选择。方式一:使用快递公司的邮车运输, 装卸收费400元, 另外每公里再加收4元;方式二:使用铁路运输公司的火车运输, 装卸收费820元, 另外每公里再加收2元。 (1) 请分别写出邮车、火车运输的总费用y1 (元) 、y2 (元) 与运输路程x (公里) 之间的函数关系式。 (2) 你认为选用哪种运输方式较好?为什么?

分析: (1) 根据方式一、二的收费标准即可得出y1 (元) 、y2 (元) 与运输路程x (公里) 之间的函数关系式。 (2) 比较两种方式的收费多少与的变化之间的关系, 从而根据x的不同选择合适的运输方式。

解: (1) 由题意得:y1=4x+400;y2=2x+820; (2) 令4x+400=2x+820, 解得x=2l0。所以, 当运输路程小于210千米时y1y2, 选择火车运输较好。

三、调配问题

例3: (2012·德州) 现从A、B向甲、乙两地运送蔬菜, A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨, 其中甲地需要蔬菜15吨, 乙地需要蔬菜13吨, 从A到甲地运费50元/吨, 到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨, 到乙地45元/吨。

(1) 设A地到甲地运送蔬菜x吨, 请完成下面数据 (单位:吨) :

运往甲地运往乙地

(2) 怎样调运蔬菜才能使运费最少?

分析: (1) 根据题意, A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨, 其中甲地需要蔬菜15吨, 乙地需要蔬菜13吨, 可得解。 (2) 根据从A到甲地运费50元/吨, 到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨, 到乙地45元/吨, 可列出总费用, 从而可得出答案。 (3) 首先求出x的取值范围, 再利用与x之间的函数关系式, 求出函数最值即可。

解: (1) 如下所示 (单位:吨) :

运往甲地运往乙地

W=50x+30 (14-x) +60 (15-x) +45 (x-1) 。整理得:W=5x+1275. (2) ∵A、B到两地运送的蔬菜为非负数, ∴解不等式组, 得:1≤x≤14, 在W=5x+1275中, W随x增大而增大, ∴当x最小为l时, W有最小值1280元。

求解物资调运问题的建模策略: (1) 用表格设置未知数, 同时在表格中标记相关数量; (2) 根据表格中量的关系写函数式; (3) 依题意正确确定自变量的取值范围 (一般通过不等式、不等式组确定) ; (4) 根据函数式及自变量的取值范围, 结合一次函数的性质, 按题设要求确定调运方案。

2.第二节 一次函数及其应用 篇5

函数

第二节

一次函数及其应用

第1课时

一次函数的图像与性质

(建议时间：40分钟)

基础达标训练

1.(2019陕西)若正比例函数y＝－2x的图象经过点(a－1，4)，则a的值为()

A.－1　　　B.0　　　C.1　　　D.2

2.(2019大庆)正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是()

3.(2019荆门)如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是()

A.k≥0且b≤0

B.k>0且b≤0

C.k≥0且b<0

D.k>0且b<0

4.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－3x＋4图象上的两个点，且x1

A.y1>y2　　　　　B.y1

C.y1＝y2

D.无法比较y1和y2的大小

5.一次函数的图象经过点(1,2)，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是()

A．y＝－3x＋1　　　　　　B．y＝3x－1

C．y＝－2x＋4

D．y＝2x＋4

6.(2019枣庄)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是()

第6题图

A.y＝－x＋4

B.y＝x＋4

C.y＝x＋8

D.y＝－x＋8

7.(2019绍兴)若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于()

A.－1　　　B.0　　　C.3　　　D.4

8.(2019苏州)若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b>1的解为()

A.x<0

B.x>0

C.x<1

D.x>1

9.(2019锦州)如图，一次函数y＝2x＋1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()

A.B.C.2

D.4

第9题图

10.(2019遵义)如图所示，直线l1：y＝x＋6与直线l2：y＝－x－2交于点P(－2，3)，不等式x＋6>－x－2的解集是()

第10题图

A.x>－2

B.x≥－2

C.x<－2

D.x≤－2

11.(2019山西百校联考一)如图所示，已知点A坐标为(6，0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为()

A.2

B.3

C.3

D.6

第11题图

12.(2019邵阳)一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是()

第12题图

A.k1＝k2

B.b1＜b2

C.b1＞b2

D.当x＝5时，y1>y2

13.(2019天津)直线y＝2x－1与x轴交点坐标为________．

14.(2019湘潭)将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为________．

15.(2019贵阳)在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________．

第15题图

16.(人教八下P93练习1题改编)已知直线y＝(k－2)x＋k与y轴的正半轴相交，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此直线上，且x1＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是________．

17.(全国视野创新题推荐·2019重庆A卷)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：|a|＝，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx－3|＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝0时，y＝－1.(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；

(3)已知函数y＝x－3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx－3|＋b≤x－3的解集．

第17题图

能力提升拓展

1.(2019杭州)已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是()

2.(2019桂林)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，0)，B(－2，－1)，C(3，0)，D(0，3)，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为()

第2题图

A.y＝x＋

B.y＝x＋

C.y＝x＋1

D.y＝x＋

3.(2019烟台)如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为________．

第3题图

4.(2019德阳)将直线y＝－x＋8向下平移m个单位后，与直线y＝3x＋6的交点在第二象限，则m的取值范围是________．

5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，若C(，)，则该一次函数的表达式为________．

第5题图

6.(2018郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC＝60°，A点的坐标是(0，4)，则直线AC的表达式是________．

第6题图

第2课时

一次函数的实际应用

(建议时间：40分钟)

1.(全国视野创新题推荐·2019台州)如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．

第1题图

2.(2019天津)甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50

kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50

kg时，其中有50

kg的价格仍为7元/kg，超出50

kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x

kg(x＞0)．

(Ⅰ)根据题意填表：

一次购买数量/kg

150

…

甲批发店花费/元

300

…

乙批发店花费/元

350

…

(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；

(Ⅲ)根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120

kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．

3.(2019连云港)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

4.(2019滨州)有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．

(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？

(2)某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．

5.(全国视野创新题推荐)为响应十九大“精准扶贫”的号召，某校八年级学生下乡进行暑期实践活动，“爱心”小组的同学把“大小相同的土地中如何种植蔬菜获利最大”作为一项课题活动进行研究．经过对几个蔬菜种植户的调研，他们将得到的信息整理如下表：

项目

内容

课题

大小相同的土地中如何种植蔬菜获利最大

种植方案

方案1

：一年种植甲种、乙种两季蔬菜，先种植甲种蔬菜，出售后可获利10%，再用本金和利润投入乙种蔬菜的种植，最后又可获得15%的利润；

方案2

：种植丙种蔬菜，一年只能收获一次，利润为30%，但蔬菜生长期间要付出7000元的管理费.…

…

(1)若设投入金额为x元，根据表中信息，请帮“爱心”小组分别求出两种方案的利润y1和y2与投入金额x的函数表达式；

(2)请你根据投入资金情况，就“如何种植蔬菜获利最大”给出你的结论．

参考答案

第1课时

一次函数的图像与性质

基础达标训练

1.A　【解析】将点(a－1，4)代入y＝－2x，得4＝－2(a－1)，解得a＝－1.2.A　【解析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k<0，则y＝x＋k的图象经过y轴负半轴，直线从左至右呈上升趋势，直线经过第一、三、四象限．故选A.3.A　【解析】∵y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，当k＝0，b≤0时成立．当k＞0，b≤0时成立．综上所述，k≥0，b≤0.4.A　【解析】根据题意，k＝－3<0，y随x的增大而减小，∵x1y2.5.C

6.A　【解析】如解图，设点P的坐标为(x，y)，∵P点在第一象限，∴PC＝x，PD＝y.∵矩形PDOC的周长为8，∴2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，即y＝－x＋4.第6题解图

7.C　【解析】∵点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，∴设这条直线的表达式为y＝kx＋b，将点(1，4)，(2，7)代入表达式得解得，∴这条直线的表达式为y＝3x＋1，将(a，10)代入得3a＋1＝10，解得a＝3.8.D　【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝2x－1，∴不等式为2x－1＞1，解得x＞1.9.A　【解析】由题意知A(－，0)，B(0，1)，∴S△AOB＝××1＝.10.A　【解析】观察图象可得，当在交点P右侧时，一次函数y＝x＋6图象始终位于一次函数y＝－x－2图象的上方，∴不等式x＋6>－x－2的解集为x＞－2.11.A　【解析】如解图，∵点A的坐标为(6，0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，∴OA＝6，∠1＝45°.∵∠α＝75°，∴∠BAO＝∠α－∠1＝30°.在Rt△BAO中，OB＝OA·tan∠BAO＝6×＝2.∴点B的坐标为(0，2)．将点B(0，2)的坐标代入y＝x＋b，得b＝2.第11题解图

12.B　【解析】∵一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1向下平移若干个单位得到l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2，∴k1＝k2，b1＞b2，当x＝5时由图象可以看出y1＞y2.13.(，0)【解析】令y＝0，则0＝2x－1，解得x＝，∴直线与x轴的交点坐标为(，0)．

14.y＝3x＋2　【解析】一次函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”，∴将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为y＝3x＋2.15.【解析】方程组等价于，观察图象即可知其解为.16.0＜k＜2　【解析】∵直线与y轴正半轴相交，∴k＞0.∵x1＜x2，y1＞y2，∴y随x的增大而减小．∴k－2＜0.∴0＜k＜2.17.解：(1)将x＝2，y＝－4和x＝0时，y＝－1分别代入y＝|kx－3|＋b中，得，解得，∴这个函数的表达式是y＝|x－3|－4；

(2)函数图象如解图：

函数的性质(写出其中一条即可)：

①当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；

②当x＝2时，函数有最小值，最小值是－4.(3)不等式的解集是1≤x≤4.第17题解图

能力提升拓展

1.A　【解析】∵令ax＋b＝bx＋a，即(a－b)x＝a－b，∵a≠b，∴解得x＝1，即这两个一次函数图象交点的横坐标为1，4个选项都满足．A.如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知a>0，b＞0，由y2的图象可知a>0，b＞0，两结论不矛盾，故A正确；B.如果过第一、二、三象限的图象是y1，由y1的图象可知a>0，b＞0，由y2的图象可知a>0，b<0，两结论相矛盾，故B错误；C.两函数图象都经过第一、二、四象限的图象，若当x<1时，位于上方的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a>0，b＜0，两结论相矛盾，故C错误；D.如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知a＜0，b＜0，由y2的图象可知a<0，b＞0，两结论相矛盾，故D错误．

2.D　【解析】如解图所示，过点B作直线交CD于点E，交AC于点F，S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ACB＝×7×3＋×7×1＝14，S四边形ABCD＝7.设直线l所表示的函数表达式为y＝kx＋b，将点B(－2，－1)代入y＝kx＋b，得y＝kx＋2k－1.由题可知直线CD的表达式为y＝－x＋3，联立解得∴E(，)．令y＝kx＋2k－1＝0，得x＝，∴l与x轴交点坐标为F(，0)．S△BCE＝S△BCF＋S△CEF＝×1·(＋3)＋·(＋3)·＝7，解得k＝，或k＝0(舍去)∴直线l的表达式为y＝x＋.第2题解图

3.x≤1　【解析】将点P(m，3)代入y＝x＋2，得3＝m＋2，∴m＝1.∴点P坐标为(1，3)．由题可知，x＋2≤ax＋c的解集即为直线y＝ax＋c的图象在直线y＝x＋2的上方时x的取值范围，且包含交点的横坐标，∴x＋2≤ax＋c的解集为x≤1.4.20，解得2

6.y＝－x＋4　【解析】如解图，过点C作CD⊥OA于点D，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝OC，∵∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OD＝AD＝2，CD＝OD＝2，∴点C的坐标为(2，2)，设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A(0，4)，C(2，2)代入得解得故直线AC的函数表达式为y＝－x＋4.第6题解图

第2课时

一次函数的实际应用

1.解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，把点(0，6)(15，3)代入y＝kx＋b得

解得

∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋6；

(2)甲：当h＝0时，得x＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．

2.解：(Ⅰ)180，900，210，850；

【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x＝30时，花费为30×7＝210；当x＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y1＝6x(x>0)，当0

当x>50时，y2＝7×50＋5(x－50)，即y2＝5x＋100；

即y2＝

(Ⅲ)①100；②乙；③甲．

【解法提示】①当0＜x≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x＞50时，令y1＝y2，则6x＝5x＋100，解得x＝100；

②当x＝120时，y1＝6×120＝720，y2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；

③对甲批发店而言：令y1＝360，则6x＝360，解得x＝60.对乙批发店而言：当x＝50时，花费为350＜360，则令5x＋100＝360，解得x＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．

3.解：(1)y＝x·0.3＋(2500－x)·0.4＝－0.1x＋1000；

(2)由题意得x·0.25＋(2500－x)·0.5≤1000，解得x≥1000.又∵x≤2500，∴1000≤x≤2500.由(1)可知，－0.1<0，∴y的值随着x的增加而减小，∴当x＝1000时，y取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨)

答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润．

4.解：(1)设甲种客车的载客量为x人，乙种客车的载客量为y人，则有，解得.∴1辆甲种客车的载客量为45人，1辆乙种客车的载客量为30人；

(2)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(6－x)辆，则可列不等式45x＋30(6－x)≥240，解得x≥4，且x≤6，∵人数为正整数，∴x可取4，5，6，设所需费用为y元，则可表示为y＝400x＋280(6－x)＝120x＋1680，可知y随x的增大而增大，∴x取4时，y有最小值120×4＋1680＝2160(元)．

∴最节省费用的租车方案为甲种客车租4辆，乙种客车租6－4＝2辆，最低费用为2160元．

5.解：(1)根据题意可得：y1＝x(1＋10%)(1＋15%)－x＝0.265x，y2＝x(1＋30%)－x－7000＝0.3x－7000；

(2)当y1＝y2时，即0.265x＝0.3x－7000，解得：x＝200000，当y1>y2，即0.265x>0.3x－7000，解得x<200000；

当y1200000；

∴当x＝200000元时，两种方案获利相同；

当x<200000时，方案1获利大；

浅析函数思想和函数应用教学 篇6

关键字：函数概念；函数思想；函数应用

函数概念教学中，重视函数思想方法的教学，渗透函数思想，这一思想是通过对函数概念的教学来实现。

一、高度重视函数思想的作用

1.函数内容无处不在。我们的生活离不开函数，函数与每个人都息息相关。如一个人的身高、体重等都是时间（年龄）的函数；电话费、水电费是时间的函数；许多科学知识只有用函数才能表达清楚。如物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁殖速度等也是时间的函数；生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应自变量的函数。即函数知识与其他学科知识有着密切的关系，所以，在教学中可揭示并加强这种联系，是我们渗透函数思想方法的一种极好的方法。渗透函数思想的方法：①与其他数学思想方法有机结合，函数思想方法与方程思想方法、变换思想方法等有着密切的联系。例1.已知二次函数y=a（x+b）2+h，今将其图像先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，试求最后所得的二次函数式子。解：向右平移2个单位得y=a（x-2+b）2+h，向下移2个单位，最后得y=a（x-2+b）2+h-2.这个例子就是把函数思想方法与变换思想方法相结合的例子。显然，此例题将函数思想方法与方程思想方法有机结合在一起，从而快速地解决了所求问题。②与其他数学知识相结合。函数与初中其它各个知识点有着密不可分的联系，挖掘并应用这种联系，综合运用多种数学知识与方法解决问题，可以培养学生的创造和探索能力。因此，在有关函数知识的教学中，我们要给学生营造一种自由发挥的天地，尽可能多地让学生考虑综合运用各方面的知识，这样可以加深学生对有关知识的理解和灵活运用的程度。如，剪一块面积为150平方厘米的长方形铁片，使它的长比宽多5厘米，这块铁片应如何剪？这个问题我们用反比例函数和一个一次函数的图像即可解决。用函数来解决这个问题最大优势在于从图像中可以直观地看到，当长方形的面积一定时，该长方形的长和宽的变化规律。③与学生的现实生活相结合。我们的生活离不开函数。函数与每个人都息息相关，从日常生活选取学生熟悉的实际问题是渗透函数思想方法的重要途徑。近几年的各地中考经常出现类似下面的题目：例：一个父亲，母亲，叔叔和一个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠，这2家旅行社的原价均为100元/人，试比较随孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？此例题与前面所举的例子，在思想方法上一样的，是一道典型的渗透函数思想的题目。

2.函数思想具有凝聚数学概念和命题、原则和方法的作用。函数思想能把处于游离状态的知识点（块）凝聚成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能“活起来”，数学原则和方法才有“生命力”。它们才能做到相互紧扣，互相支持，从而组成一个有机的整体。

3.函数思想是教材体系的灵魂。在初中数学教材中处处充满着、存在着函数思想。数轴、有理数与实数的概念和运算、代数式的运算以及恒等变形等都是学习函数的基础。映射是函数思想的核心观点，初中数学中不少概念都反映着函数思想。如相反数是从实数集到实数集的映射；绝对值是从实数集到非负实数集的映射。中学数学中的运算法则，如加（减）法法则、乘除法法则、乘（开）方法则等在实质上也是一个映射。几何变换、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形，由此可见，知识才能不再成为孤立的、零散的东西。所以说，函数思想是数学教材的灵魂。

二、大力加强函数的实际应用教学

函数的建立和发展，沟通了常量数学与变量数学之间的关系，抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，我们生活空间的各种事物都处在相互联系、相互制约的动态平衡中，这是客观存在的普遍规律。在数学教学中，应从日常生活、生产实际问题来用函数的思想解决，帮助学生树立运用函数思想思考问题的意识，以深化对函数概念的理解。如让学生解决类似下面的问题，对于学生理解和应用函数概念都是有非常重要有意义的。某单位计划在新年间组织员工到某地旅游，参加旅游人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？分析：这是一道实际问题，需要首先建构函数关系式，并画出函数的图像，再据函数图像求解。解：设该单位参加这次旅游的人数是X人，选择甲旅行社时，所需的费用为Y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为Y2元。则：即Y1=200*0.75X，即Y1=150X；Y2=200*0.8（X-1），即Y2=160X-160。画出函数Y1、Y2的图像，由图像判断：当10≤X≤15时，乙旅行社收费优惠；当X=16时，两家旅行社收费相同；当17≤X≤25时，甲旅行社收费优惠。

一次函数应用 篇7

一、实施“导学互动”教学模式的意义

1. 有利于提高数学教师的专业化水平. 部分数学教师仍沿袭传统的教学套路,上课困囿于书本,照本宣科,毫无创新可言,易产生职业懈怠. 编写“导纲”对教师提出了新的挑战,让他们研读教材、分析学情、精心预设,关注学生反应,反思教学行为,势必激发学生的教学热情,也提高了教师的教学水平和应变能力.

2. 有利于提高学生的自学能力和合作意识. 在“导学互动”模式下,教师把主动权交还给学生,让学生围绕“导纲”进行探究,通过自主思考、合作交流彼此分享、互相帮助,共同寻求问题的答案,在疑难处、困惑处接受教师的引导、点拨,有效地提高了自主学习能力和合作能力.

3. 有利于实现高效的课堂教学 . 如何在45分钟内高效地达到目标,是我们数学教师共同追求的目标. “导学互动”模式让学生通过自学就能解决大部分基础性的问题,而对于经过交流讨论解决不了的共性问题交由教师精讲.

二、编写“导纲”应遵循的原则

1. 情境具有创新性. 枯燥乏味的讲解使学生对数学心存畏惧、丧失自信,教师要通过创设新颖性、趣味性的问题情境,引发学生的好奇心和求知欲,让学生产生探究的热情. 如在“一次函数”教学中,数学老师提着重0.5 kg的篮子去市场买10 kg鸡蛋,当他装称好的鸡蛋时发现比上次买10 kg的个数少很多,于是他让摊主连篮一起称,共称得10.55 kg,他随即要求摊主退1 kg鸡蛋的钱,你能说出其中的缘由吗?

2. 问题的设置具梯度性. 由于学生的基础水平、学习能力存在差异,教师设计问题的设计要采取“小步子,有梯度”的策略,将重点、难点问题逐层分解,为学生已有经验与新知之间构建桥梁,让学生了解知识的来龙去脉,避免出现“看似简单,一做就错”的状况.

3. 习题设置具多样性. 知识的掌握离不开具有针对性的强化训练,但部分教师往往采用单一的计算、解答题型,让学生心生厌倦,训练效果也不够理想. 教师要变动背景,采用选择、填空、判断、问题等多种形式,培养学生发现问题、解决问题的能力.

三、“导学互动”教学模式的实施步骤

1. 自学导纲 ,提前预习 ,探索新知. 传统数学教学中教师照本宣科、重复训练,学生面对枯燥的知识,往往不愿意主动学习、积极思考. 教师要摒弃低效的教学行为,要注重培养学生的学习兴趣,满足学生的求知欲望. (1)新课导入. 良好的开端能集中学生的注意力, 能将学生引入探索新知的境界.因而问题的设计要具有启发性, 要能打开学生的思维闸门,为学生插上想象的翅膀. 教师要根据教学内容的需要, 以故事、实验、谜语、问题等方式导入. 如教者让学生用3 cm长的弹簧秤挂物体,在弹性限度内,所挂的物体质量增加,弹簧的长度也会相应拉长,所挂物体质量x每增加1 kg,弹簧长度y会增加0.3 cm. 分别在弹簧上挂1 kg,2kg,3kg,4kg,5 kg的物体,记录弹簧的长度,并尝试写出x与y之间的关系式. (2)出示导纲. 首先是简要提示,包括学习目标、学习重难点内容,主要涉及数学概念、运算法则、定理分式、思想方法等. 如“一次函数(2)”教学中,教者设定教学目标为:“能根据所给条件写出一次函数的关系式;能根据自变量求函数值;把实际问题抽象为数学问题,并将之运用于解决实际问题,感受数学的应用价值. ”其次是认知与探究. 一类是认知性问题,由学生初读教材内容,尝试解决. 如“已知函数y = 3x - 2,当x = 1时 ,y =___;当y = 4时 ,x =______. ”另一类是探究性问题 ,教师利用问题链引导学生逐步探求新知. 如:“一枝蜡烛长21 cm,点燃时每小时缩短6 cm. 1写出蜡烛点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式;2 3小时后蜡烛 还剩多长?3该支蜡烛可以使用多长时间?4想一想,确定正比例函数的表达式需要几个条件? 一次函数呢? ”

2. 合作互动 ,习得知识 ,提升能力. (1)小组讨论. 教师按“组内异质” 的原则 , 将学生分组 , 组员共同讨论个人解决不了的问题,教师行间巡视,对学生存在的困惑之处予以及时、适度的点拨. 如在“一次函数的图像(2)”教学中,教者让小组成员分别绘制y = 0.5x,y = x,y = 2x,y = -3x的图像, 讨论在画图时描了几个点?图像都经过哪一点?当k > 0时,y的值随x的值怎么变化 ? 经过哪几象限 ? 当k < 0呢 ? (2)师生互动.小组讨论仍解决不了的问题交由能解决此问题的小组讲解,教师既要针对讲解不到位的地方加以补充,又要及时捕捉学生的信息,加以引领点拨,促进课堂的动态生成. (3)教师精讲. 教师还要针对学生的易错点、易漏点、混淆点进行重点讲解,帮助学生及时解决困惑,让他们产生“豁然开朗”的顿悟.

3. 教师引导 ,学生归纳 ,自我评价. 学生是知识的主动建构者,也是评价的主体,教师要树立“以生为本”的教学理念,让学生及时梳理知识点, 总结、归纳所学知识. 在引导的同时,要对学生的表达要加以修正与补充,增强他们的学习自信心.

4. 反馈训练 ,及时强化 ,巩固提高. 教师要通过课堂训练来巩固学生所学知识,设计的问题要有针对性,要符合学生的“最近发展区”;要有梯度,要满足不同层次学生的发展需求;难度适中,题量与时间要匹配. 学生完成练习后,教师不能“包办”学生的思维,可以由学生讲解思路和答案,让他们体验成功的快乐.

情境教学法在一次函数教学中的应用 篇8

所谓的情境教学法, 其实就是指教师在教学过程中, 根据教学的需要有目的、有计划地引入, 或者创设一定的场景, 以便能够让学生在学习中深刻理解教学的内容, 并且能够在情境中获得发展.

一、一境多题, 综合运用

从教学理论上看, 情境教学方法主要是通过一定的情境设置, 引发学生积极的、健康的情感体验, 进而直接提高学生的学习积极性, 使学习活动成为学生主动进行的、快乐的事情.概括来说, 情境教学法主要就是激发学生的情感.因为从教育心理学的角度上看, 情感对认知活动有增力效能.正面的情感, 能够激发学生积极主动的学习兴趣, 而负面的情感, 会直接导致学生产生厌学情绪.也就是说, 利用情境教学法, 激发学生学习情感, 可以为我们解决目前中学生中普遍存在的学习动力不足的问题以新的启示.

在情境教学的使用中, 笔者主张一境多题, 综合运用.在情境教学的实践中, 有部分教师把情境的设置当成了教学的重点, 花了大部分的时间去研究怎么创设情境, 怎么让情境更真实, 怎么能够在每一个部门都导入相应的情境, 而在教学内容和教学效果本身, 却考虑得很少, 这就是本末倒置, 舍本逐末了, 不能发挥情境教学的教学作用, 反而让学生在众多的情境中乱了阵脚, 光是理解教师的情境, 就耗费了不少的精力.

情境教学需要设置情境, 但是尽可能的设置一个情境, 达到多个目的.所以一个情境, 多个问题, 综合利用就是较好的教学方式了.比如在一次函数的应用教学中, 笔者就从“旅游”作为切入点, 设置了一个情境主体, 让学生在其中解决了多个问题.

早上6:30车从学校门口准时出发, 上车后平时爱动脑的小伟就想开了:随着时间过去, 距离杭州就越近, 那么车行驶的时间和到杭州的距离究竟有什么关系呢? (崧厦到杭州的距离是100千米, 汽车行驶的平均速度是50千米/小时)

情境问题1

用函数关系式表示到杭州的距离s (千米) 和车行驶的时间t (小时) 的函数关系式和自变量的取值范围.

解s=100-50t (0≤t≤2) .

情境问题2

画出函数的图像并利用图像说明当车行驶1小时的时候我们距离杭州多远.

解如图所示点P的坐标为 (1, 50) , 即当t=1的时候y=50, 所以当车行驶1小时的时候我们距离杭州50千米.

情境问题3

到西湖后, 开始准备乘船游西湖, 在租船处, 能坐4人的游船, 租金10元;能坐8人的游船, 租金18元.假定游船的租金y (元) 是所坐人数x (人) 的一次函数:

(1) 求y与x之间的函数关系;

解设这一次函数的解析式为y=kx+b, 由题意得

(2) 假定我们班去租能坐6人的游船, 则需要付租金多少?

解当x=6的时候, y=14, 即每条能坐6人的小船, 需付租金14元.而我们班54人, 需要6人小船9条, 所以需要共付租金为14×9=126 (元) .

案例综述通过上面的情境设置和案例分析, 我们可以将一个主题的情境连接起来, 营造一个整体的情境, 让学生在熟知的教学情境中, 体会一次函数在日常生活中的应用, 通过旅游这名同学们喜爱的情境, 激发学生的情感, 最大可能地降低学生对一次函数的恐惧感和排斥感.同时, 用一个主题情境, 贯穿教学过程, 从一次函数的基本形式, 到函数图像, 再到函数的具体应用, 层层推进, 步步为营, 这可以达到一个很好的教学效果.

二、一题多解, 多维度思考

如前所述, 情境的设置要尽量的精简.而情境问题的设置和解答却相反, 应该是尽可能的多样化.最好能够实现一题多解, 让学生在学习的过程中, 实现多维度的思考, 这对学生的思维能力和逻辑推理能力, 有着积极的帮助作用.特别是在当前的教育环境下, 应试教育不是我们所倡导的, 却始终影响着我们的教育, 大部分学生都希望中考能够考到好的成绩.而从实际情况看, 数学是所有中学课程中最难的, 也是平均得分率较低的学科, 原因就在于数学计算量大, 出题范围广, 这就对学生的思维能力以及掌握时间的能力有了较高的要求.因此, 以最短的时间求出答案就成了学生学习的目标.在最短的时间内快速解题的基本前提就是具有多维度思考能力, 可以快速地从各个角度去判断解题的突破口, 能够快速判断采用哪种解题方式.而这些都需要教师在教学中进行有针对性的教学.在一次函数的教学中, 更需要如此.

三、结语

总之, 在情境教学理论的支撑下, 教师如何充分的运用相关的原理, 并能够让学生在学习中充满激情, 充满学习的动力, 就要看教师的教学组织能力了.同样是运用情境教学进行一次函数的教学, 但是不同切入点, 可以获得不同的教学效果.

参考文献

[1]王巍.初中数学思维方法教学的基本途径.辽宁师专学报, 2006 (3) .

特征函数及其简单应用 篇9

1特征函数及其性质

定义1设X是任何随机变量,是虚数单位则称函数:

为X的特征函 数,一般地,把X的特征函 数记作 φX( t) ,根据Euler公式,实际上,

特征函数有下列性质:

( 1) φ( 0) = 1 ,| φ( t) | ≤ 1 ,t ∈ R ;

( 2) φ( t) 在R上一致连续;

( 3) φ( t) 是非负定的,即都有:

( 4) 如果X与Y相互独立,则:

( 5) 如果a,b ∈ R ,Y = a X + b ,则:

( 6) ( ⅰ) 若 φ( k)( 0) 存在,则当k为偶数时,当k为奇

( ⅱ) 若 E| Xk|< ∞ ,则:

( 7) 随机变量X与Y有相同的特征函数当且仅当它们有相同的分布函数;

( 8) 设X ~ N( 0,1) ,则X的特征函数

定理1如果连续型随机变量的密度函数为f( x) ,特征函数为 φ( t) ,则:

其中f( x) 在x处可导。

Gamma分布: 称随机变量X服从参数为 λ 的Gamma分布,如果X的概率密度函数为:

其中t > 0 ,Γ( t) 为Gamma函数:

2举例

特征函数有着广泛的应用,尤其是在概率论中。

例1 Stirling公式: 当n → ∞ 时,即当 n → ∞ 时

更一般的,

其中 Γ( t) 是Gamma函数,并且当t是正整数时: Γ( t) = t - 1) ! 。

下面我们用特征函数来证明这个更一般的结论。

设随机变量Y服从 Γ( 1,t) 分布,令随机变量

则X的密度函数为

X的特征函数为:

ft( x) 在内关于x是可微的,由定理1,

当x = 0时,得到

然而,由 ( 1) 式得

又因为

在 ( 2) 式中令t → ∞ ,得

在上面求极限的过程中,交换求极限跟积分的顺序的条件是满足的,证毕。

例2用特征函数证明中心极限定理。

依分布收敛 ( 或弱收敛) : X,X1,X2,…,是一个随机变量序列,它们的分布函数分别为F,F1,F2,… ,如果当n →∞ 时,Fn→ F ,则称Xn依分布收敛于X ,记作:

中心极限定理: X1,X2,…,是独立同分布的随机变量序列,数学期望为常数 μ ,方差 σ2不为零。

令Sn= X1+ X2+ … + Xn,则当n → ∞ 时,

证明: 令Yi= ( Xi- μ) / σ ,Yi的特征函数为 φY,由性质 ( 6) ,得

设的特征函数为 ψn,由性质( 4) 、( 5) ,当 n → ∞ 时,

上式右端的函数即为标准正态分布N( 0,1) 的密度函数,由性质 ( 8) ,证毕。

3结论

函数的解题与应用 篇10

一、函数思想及其含义

函数思想也就是在函数的学习过程中, 我们可能会建立的思维方式。通常来说, 函数是用于描述自然界当中某一种量的依存关系, 其主要反映一个事物随着另一个事物的变化而变化的规律与练习。函数的思想方法就是从一个事件当中去获取它的数学特征, 然后用联系的变化的观点, 对该数学特征进行抽象化, 建立起某一种函数关系式, 利用函数的性质去解决该关系式, 进而解决该事物中出现的某些问题。函数体现的是“联系和变化”的辩证唯物主义思想。通常, 函数思想都是说的构造函数, 然后再利用构造函数进行解题, 即:已知+未知+规定思想。其中已知被我们在教学过程中定义为定量, 而未知被定义为变量, 规定思想则是事物之间存在的某种已经被证实的客观规律, 也就是教学中的函数性质。经常会接触到的函数性质是:f (x) 、x的单调性、奇偶性、周期性、最大最小值等, 要求我们必须熟悉掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的特性。

函数的主旨是以无限为有限。在长期的函数思想运用中, 人们发现, 每当利用函数思想去解决问题后, 都会将原本有限的公式扩大化, 也就是用短小的式子去描述一个有着较多数据或者无限数据的事物。在这个过程中, 变量是不定的, 所以可以随时的变化, 而在这个变化的过程中, 就会产生不一样的结果。故此, 笔者认为函数的思想可以表达为有无对等。也就是说, 世界上的所有东西都可以利用函数式推导而来, 也就是本来没有, 但是规律具有无形创造力。

二、函数思想在解题中的应用

(一) 方程问题

在具体的解题思路中, 通常会将方程f (x) =0转换为y=f (x) 中图像表达时, 其与横向轴即x轴的焦点坐标。因此, 可以利用函数的图形研究方程的实根问题, 从而对方程问题进行解答。在实践中可以发现, 任何一个方程式, 都是可以被替换为函数式, 再利用函数式呈象, 进而根据变量的变化, 来找出对应的答案, 实现方程式的解答。这种方式比方程式更为便捷, 其包涵量较大, 在一个方程题目下, 存在多种量的变化, 采用该种方式可以有效的实现解答。

(二) 不等式问题

不等式与函数的关系十分紧密, 通常利用函数可以有效的表达不等式条件与结论之间的关系, 从而得出不等式成立的条件。在高中数学中, 不等式如果利用普通方式解答, 很容易会出现漏答。随着我们对于数学的接触面变广, 在数学的学习上, 我们会接触到正数、负数, 而在解题中, 单纯依靠传统方式来解答不等式, 很容易将其负数忽略, 从而造成答案不全。而函数就不会存在该种问题, 函数本身是一个区域的表达。

(三) 最优化问题

所谓最优化问题, 通常是对最大最小值的计算。在传统的解题思想中, 要想实现最优化, 得出最佳答案, 就必须找到临界点。为了准确的找出临界点, 通常会利用数学逻辑, 进行代入计算。但是, 该种方式的计算量较大, 耗费时间。如果, 将最优问题转化为函数解答, 建立起一定的函数式, 利用最大最小值的方式, 就可以很直接的找出其最优值。也就是我们将函数式转化为图像, 在图像中如果存在最值, 就会很明显的看出, 从而找出对应的变量, 就解决了最佳问题。在函数中定义域的存在就是对问题的条件限制, 在限制下才会出现最值。

(四) 行程问题

行程问题无非是指在一定时间或者一定速度的限制下, 行驶了多长的距离。传统的解决方式, 也就是将时间、速度都找出来, 然后根据时间与速度的乘积等于路程, 得出对应的行程答案。但是, 如果在解题中发现, 时间和速度都没有具体值, 要计算的也不是路程, 而是行程安排, 怎么样安排才能实现资源的集约化。这个时候, 函数才是最佳解决方式, 利用其内在规律, 对各个量进行确定和计算, 从而实现行程问题的解决。

三、讨论与建议

其实无论是任何问题, 根据函数以有限为无限的原则, 都可以对其进行解决。但是, 由于当前阶段中函数的教学相对较浅, 所以导致其实用性有所降低。为了提高函数的实用性, 当前的学习中, 教师需要注意函数与各个数学概念的转化, 由于数学本来就具有逻辑相通性, 所以, 其很多概念都是可以用函数来表达, 因此, 加大学生的函数思维, 提高其函数运用能力, 有助于数学解题能力的提高, 促进学习质量的提升。

摘要：函数是数学中最基础、最核心的概念之一。函数是中学数学的核心课程, 将数、式、方程、不等式等多个数学知识有机结合, 可以说, 函数的存在将原本相对分散的数学知识综合化, 对数学思维的整合具有种重要意义。如今, 对于函数课程基本从学生进入中学就开始, 而在学习过程中, 因为对于函数的接触较少, 所以函数课程的学习质量相对较差。本文通过对当前函数分析, 阐述了当前函数的解题思路和学习方式, 揭示了函数的具体应用。

关键词：函数,解题,应用

参考文献

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