全分辨率（精选三篇）
全分辨率 篇1
在工业过程和自然界中, 任意形状的固体颗粒在环境流体中的弥散和运动通常是随时间变化且有可能是湍流运动, 例如河流输沙、流化床、生物质能源的气化等。针对气固两相流, 通常有双流模型[1]和拉氏[2]两种模型。基于这两种模型可以对工业流程进行的数值模拟[3], 并可以为工业设计提供必要的支撑。
EE的方法形成了气固两相的平均质量、动量和能量控制方程, 而这些平均方程中有相间调制项用以表示气固两相的相间耦合。这些耦合未封闭项的[4,5,6]并且需要进行建模。例如, 平均动量方程中需要相间的平均作用力, 这一作用力与固相体积浓度, 以及颗粒雷诺数相关。由于气固两相的作用, 对气相造成了扰动, 固相颗粒的空间分布, 固相的Stokes数, 雷诺数 (Rep) 等对气相湍动能的调制作用都有较大影响。已有的理论和试验研究表明[7,8,9], 颗粒相存在对气相湍流的调制作用主要通过, 惯性大的颗粒周围产生的湍动能耗散, 颗粒尾涡脱落, 还有颗粒与湍流拟序结构的互相作用等。气相湍流还可能对颗粒相分布产生影响, 如颗粒的偏向聚合[10]。
实验通常无法对相间调制作用给出定量的分析。非侵入式的测量方法例如激光多普勒测速仪[8], 以及颗粒图像测速技术[11]局限于颗粒浓度较低的气固两相流, 而无法对需要双向耦合的参数区间进行实验。另一种方法是使用全分辨率的直接数值模拟, 求解流体和颗粒运动相关的所有时间和空间尺度, 且颗粒壁面与流体之间的作用力通过求解控制方程组, 而不需要借助于阻力和升力系数。这是一种重要研究手段, 可以用于研究固体颗粒的阻力和升力系数[12,13], 深入了解固体颗粒对气相湍流的调制作用, 以及气相湍流对固体颗粒扩散的影响, 且能够帮助改进气固两相湍流模型及其未封闭项。近10年以来, 很多新的数值计算方法发展出来, 模拟不规则形状物体在流场中的运动。已有的文献中, 学者们使用沉浸边界法[14]、格子玻尔兹曼方法[15]等, 对气固两相流进行了三维全分辨率直接数值模拟, 为两相湍流相间作用机制和两相湍流模型提供了详实的数据。
这些新的数值计算方法中, 沉浸边界法主要思想是在笛卡尔网格上用附加力来模拟固体和流体界面。沉浸边界法的思想由Peskin[16]首先提出, 通过在动量方程中加一个附加力场来表示流场中的固体动边界。当附加力叠加在特定网格点上, 可以在笛卡尔网格上模拟任意形状的物体, 且不用进行坐标转换。Peskin等人成功地用此法模拟了血液在可压缩的心脏瓣膜内流动。Mohd-Yusof[17]发展出了不同的方法来求解附加力, 他用动量力作为附加力场并用谱方法, 求解静止的球形颗粒在均匀湍流内受到阻力和湍流来流的关系。和贴体网格比, 沉浸边界法在求解流体中动边界问题的优势主要体现在所需额外的存储和计算开销比贴体网格小很多。但在规则的笛卡尔网格上表示不规则形状的动边界, 降低了界面几何精度, 沉浸边界法对不规则形状动边界的数值模拟精度与雷诺数, 颗粒形状等有较强的相关性。
利用沉浸边界法等方法进行的全分辨率DNS, 有限的计算资源通常是限制使用这些方法进行更大规模计算的主要因素。DNS的计算规模直接决定了数值模拟是否能解析湍流结构和气固两相的相间作用机制。由分析可知, 如果在笛卡尔网格上模拟各向同性的气固两相均匀湍流, 令表征湍流的雷诺数Reλ=50, 令dp/η=1.3, 所需的计算区域大小L/dp=128, 如果球形颗粒直径为20个网格 (使用均匀笛卡尔网格) , L/Δx=2 560, 即需要百亿级的网格进行这样的DNS。而由文献所知的最大规模计算是Uhlmann[18]进行的全分辨率直接数值模拟, 其最大的网格数是2 048×512×1 024, 模拟的颗粒数为4 096, 共使用了1 024个处理器的并行机[18]。
本文介绍了全分辨率直接数值模拟的并行算法, 用沉浸边界法模拟球形颗粒上的阻力系数, 并与标准阻力系数对比, 以确定该并行算法的数值计算精度。
1 数值模拟器介绍
1.1 流场控制方程
基于沉浸边界法的不可压缩Navier-Stokes方程的控制方程是:
而流体的连续性方程为∂ui/∂xi=0。其中i=1, 2, 3代表了x1、x2和x3三个方向, fu, i是沉浸边界法的附加力, 用于模拟固体颗粒表面的零相对速度。附加力有以下公式求解:
其中, uid是界面上需要达到的速度, 对静止的颗粒, ud=0。在均匀卡迪尔交错网格上, 本文采用了两阶差分法。控制方程中对流项的时间积分采用了Adam-Bashforth方法, 粘性扩散项采用两阶隐式Crank-Nicholson方法[19], 而整个方程的时间积分采用了三阶Runge-Kutta方法。流场的连续性通过分步分割法来保证, 而经过时间离散的控制方程可以表示为:
Hi是对流项, 是未知数。αk、γk和ζk是三阶RungeKutta的系数, 具体可参见文献[19]。由于本研究使用沉浸边界法模拟固体颗粒表面的零相对速度, 界面上的最高精度是两阶。本文使用两阶差分离散化控制式 (2) -式 (4) , 用Bi CGSTAB[20]求解式 (2) , 而式 (3) 和式 (4) 结合后需要求解压力场泊松方程, 可以通过Fourier方法求解[21]。
沉浸边界法的附加力通过以下方式进行求解:
其中式 (7) -式 (9) 时附加力的计算, 这与Peskin等人提出的方法类似, 式 (10) 将附加力更新到速度场u中, 式 (11) 求解压力泊松方程, 而式 (12) 将压力场更新到un+1中保证流场的连续性。δh是正则化的三维δ函数, h是均匀网格的长度。ΔVl (m) 是附加力相关联的体积。
1.2 沉浸边界法的数值实现方法
图1是固定球形颗粒上, 计算沉浸边界上边界力的示意图。其中黑色圆圈表示半径为r的球形颗粒表面, 黑色虚线圈表示半径为r+Δr的球形表面 (颗粒外部边界) , 有黑色点的圆圈表示半径为r-Δr的球形表面 (颗粒内部边界) , 圆圈上的点是边界力作用的离散点。固体颗粒表面的边界点需要在表面均匀分布, 这里采用Saff和Kuijlaars[22]提出的方法。
采用的沉浸边界法的附加力, 将球表面的点映射到颗粒内部和外部半径分别为r-Δr和r+Δr的球面上, 针对面积为ΔS, 高度为2Δr的控制体积 (阴影部分的控制体) 内设置边界力, 使得第n步的边界力与动量控制方程中其他变量抵消, 且控制体积内速度接近所需的值ud。从另一个角度看, 颗粒内部边界点上设置边界力的方式与有限差分法中设置虚拟网格的方法类似。如果颗粒为静止, 即ud=0, 则:
这里ui是颗粒内部边界上的离散点的速度, uo是颗粒外部边界的离散点的速度。这两个速度通过对边界点周围的速度场插值获得。针对静止固体, 内部点的速度需要与外部边界点的速度大小相同且方向相反。本文内部边界点上的沉浸边界力将插值到相邻的速度网格上, 如果插值函数的宽度Δr小于或等于Δx, 则流体相所占网格将不受到附加力的影响。
颗粒表面上作用力通过流体相的压力场和速度梯度直接求解出来, 这与peskin[16], Uhlmann等人[18]计算边界力的方式不同。这些学者通过计算颗粒边界面上的附加力体积积分获得颗粒上的作用力。以Uhlmann为例, 颗粒上的作用力的计算方式为是第m个颗粒上第l边界离散点上的附加力。以图1中的沉浸边界法示意图为例, Peskin[16], Uhlmann等人[18]的工作中, 在黑色圆圈上插值获取速度并计算沉浸边界力, 并反向插值到相邻的速度网格上, 且黑色圆圈上的作用力即为颗粒边界上的作用力。这种方法将会“污染”流体相速度网格。
2 沉浸边界法的并行算法
对全分辨率直接数值模拟所需的数值分辨率做了详细的分析, 并得到以下关系:
这里Reλ是上游各项均匀湍流的雷诺数, Rep是基于流体相平均速度的雷诺数。η/dp是流场中Kolmogorov尺度与颗粒直径的比例, 而δ代表了颗粒边界层的尺度。气相湍流的全分辨率直接数值模拟所需的网格数与单相湍流比, 有一个的比例。由这一关系式还可以发现, 网格数除了与流体相雷诺数Reλ和颗粒雷诺数Rep相关之外, 颗粒直径dp与Kolmogorov尺度越接近, 则所需的网格数越大。以Rep=50为例, 若dp/η分别为5.1, 2.0, 1.3, 且至少用1个网格表示颗粒边界层, 则所需的网格数分别为N=150, 5 030, 35 200, 相对应的内存分别为GB, TB与PB级。目前尚无硬件能够支持PB级的并行应用。
对于N=256×256×512的计算规模, 串行算法的计算时间过长, 需要消息传递接口 (MPI) 对以上算法进行并行化。对于三维Navier-Stokes的分步法, 用MPI在分布式内存的集群上并行化, 首先要进行计算区域的分解。考虑三维卡迪尔均匀网格, 计算区域为长方体, 通常可以采用一维带状, 二维块状或者三维区域分解。本文中采用了两维区域划分, 具体见图2所示。
式 (6) 和式 (11) 分别采用了Bi CGSTAB算法[20]和Fourier变换法[21]两种数值算法, 根据对两个算法并行化后总通信量的比较[23], 选择采用两维块状的区域划分。
表1、表2显示了N=5123, 1 0243两种计算规模的单步计算时间与加速比。这两种不同的计算规模分别在处理器数目为64和256时, 能够得到较高的加速比。以N=1 0243, 使用256个处理器为例, 一次计算能够在24至48小时内完成, 计算效率较高。这里的测试平台是上海超级计算中心的魔方超级计算机。
3 沉浸边界法的计算结果
根据图3所示, 流场的计算区域为边长为L×L×2L的长方体, 且z方向的变长为2L。计算区域用均匀卡迪尔网格, x和y轴方向网格数为M, z轴方向的网格数为2M, Δx=L/M是网格的长度。颗粒边界的空间分辨率用Dp网格数来表示, Dp=dp/Δx。L/dp是另一个重要的参数, 计算区域的长度L需要能够容纳颗粒和流场相关的重要空间尺度, 例如流场统计量的空间自相关在计算区域内要衰减到较小。本节模拟均匀来流经过静止颗粒, 计算阻力系数Cd并与Schiller与Nauman[24]的标准阻力系数做对比。由于文献[24]的实验数据是在无限流场中进行的, 本文中用周期性边界条件近似, 需要考虑L/dp的合适取值, 以避免周期性边界条件计算结果造成的影响, 而L/dp的取值又受限于计算资源。
与球形颗粒边界模拟的计算精度相关的变量包括, 表示球形颗粒直径的网格数Dp=dp/Δx, 内外边界距离颗粒边界的距离Δr, δh。δh中正则化的函数支撑的空间尺度h和Δr都取为1个网格宽度。在附加力的式 (8) 中有时间步长Δt。流场从某初始状态演化至稳态, 时间步长选择了对流时间步与粘性时间步中较小的值。dt=CFL×Δx/umax, 图3所示的计算区域中umax是z方向来流的平均速度。
图4、图5是静止颗粒上阻力系数Cd随不同雷诺数的变化。图4显示了球体颗粒上阻力系数随空间分辨率dp/Δx=16, 32的变化, 其中Rep=100, 150时, dp/Δx=16得到的阻力系数误差大于5%, 而dp/Δx=32时, 对5, 10, 20, 50, 100, 150, 通过沉浸边界法获得阻力系数与标准阻力系数[24]比, 相对误差在2.5%以内。
准阻力系数的对比 (Schiller/Naumann[24]) , 其中CFL=0.05, 0.1
图5显示了阻力系数随CFL=0.1和0.05的变化, 为了与图4中Dp的数值区分, 我们选择了dp/Δx=20。图5中, 两个不同的时间步长下模拟得到的阻力系数的相对误差小于2%。因此, 在均匀来流经过静止球形颗粒时, 时间步长对计算结果的影响较小。颗粒直径的空间分辨率dp/Δx对阻力系数的计算精度影响更大。考虑颗粒表面形成的边界层特征长度δ与颗粒雷诺数Rep的关系为, 随着Rep的增加, 颗粒直径的空间分辨率dp/Δx需要随颗粒雷诺数平方根增加。
表3表示了颗粒雷诺数为10和100, dp/Δx=16, 32, L/dp=8, 阻力系数与标准阻力系数的相对误差。另一个对阻力系数结果有重要影响的数值参数是L/dp的比例, 这里考虑dp/Δx=32, L/dp=4, 8, 16三种情况, 模拟得到的阻力数据见表3所示。由阻力系数以及相对误差可见, 当L/dp=4时, 周期性边界条件使阻力系数升高, 而L/dp增大到8后, 阻力系数与文献[24]相比, 相对误差小于1.5%。
4 结语
对气固两相流, 分析了基于沉浸边界法的全分辨率直接数值模拟的算法, 重点介绍了对球形颗粒, 沉浸边界法的附加力的计算方法。由于全分辨率直接数值模拟所需的计算规模巨大, 本文分析了基于消息传递接口的并行算法, 分析了对5123和1 0243的计算规模的并行效率。该并行算法的数值计算精度通过球形颗粒上的阻力系数来验证。通过数值模拟发现:对于颗粒雷诺数的范围在1~150, 当颗粒直径用20及20以上的网格表示时, 得到的阻力系数与标准阻力系数相比, 相对误差在5%以内。对于不同的时间步长的模拟发现, 即使附加力的模型中用到了1/Δt, 模拟得到的阻力系数不随时间步长的变化而变化, 表现出较好的时域收敛性。
摘要：用沉浸边界法对气固两相流进行全分辨率直接数值模拟, 介绍并行算法及其并行效率。考察球形颗粒的空间分辨率等对计算精度的影响, 对颗粒雷诺数Rep=1~150, 颗粒直径与计算网格比大于20时, 该并行算法获得的计算精度较高。
全分辨率 篇2
金东方美国留学部荣誉推荐：李同学和金东方成功合作，顺利申请到多所美国名校博士全额奖学金，包括前三十名校密歇根大学以及其他两所前五十名校。为了表达对金东方优质服务的感谢，秉着分享过来人经验的优良品质，李同学提供了一份“如何分辨和选择一个好的美国留学中介” 留学申请亲身经历。如下由李同学提供。
我的申请，大概在一个月之前，也就是拿到签证之时，算是结束了。现在毕业的各种事宜也基本临近尾声，终于有时间写写我这一年以来的心路历程。
我的条件在之前的帖子里有说明过，不再赘述。最后的结果是收到一所Top 30的密歇根大学博士全奖offer，两所综排50+的全奖offer，专排均在Top 50之内。其中，我决定去的那所学校，某小方向大概能排到全美第一。
最早，我是反对找中介协助我做留学申请的，因为之前有关他们的负面信息确实较多。而我第一次接触中介，大概是在一年前的这个时候，陪同学去一所英语培训机构下属的中介公司咨询，效果一般（我感觉某个咨询师对某欧洲国家的大学还没有我了解），也更加坚定了我DIY的决心。
事情的转折出现在去年7月中下旬，我得知GRE分数的时候。当时的第一反应就是：“我完了，我出不去了„„”在重不重考的问题上，我犯难了。首先我9月份就要一战托福，11月还有GRE Sub考试，我认为我根本没时间准备重考GRE。好友的一个建议，让我问问几家中介公司，毕竟我这里是单打独斗，信息量成问题。我问了三家公司，得到两种建议。
著名培训机构下属中介的咨询师是令人比较失望的。不问我的GPA、专业、有无科研经历等等，只听了我的GRE分数，便一棍子打死，认定我出不去了。还举北大某高材生的例子，说人家都开始套磁了，我却必须要重考GRE。如此一来，我对这家中介的印象也极差。
金东方和我问的另外一家咨询公司，都给了我很大希望。两位接电话的老师态度都很好，也十分耐心、专业，为我分析了我条件的利弊。他们都建议我不要再纠结GRE，毕竟这对于理科生来说不是申请的全部。把经历放在TOEFL和Sub上才是重点，最后的结果也证明，他们是对的。周围比我GRE高的大有人在，然而我却认为我的结果更好。
是否要找中介？
然后我便逐渐开始倾向于找一家留学中介，协助我申请。前面提到，有关中介，我看到的负面信息已足够多。进而在用不用中介的问题上，我十分谨慎。在此，我作为一个过来人，向还在犹豫找不找中介的同学们提个建议：找个好中介是必要的。和一家优秀的留学中介公司合作，会增大你被更好学校录取的几率。
什么是好中介？
张伟用老师也说过，留学中介水平参差不齐，确实存在一些运作机制成问题的留学中介，造成了网上的大量负面信息。而其中也包括同行互踩的现象，这也是我之前一直没有点出另外两家中介全称的原因。
此外，有些帖子，完全就是吐槽贴，叙述不清、逻辑混乱，连标点都没有，不排除有些同学真的是恼羞成怒，但那种一看上去就乱乱的骂中介贴，我认为其真实性也要大打折扣。
在此我只是如实罗列我和金东方合作的细节，我想大家也就知道一家好中介是什么样的了。
网上控诉中介的一大缘由，便是中介不经客户同意，擅自修订文书，并不给申请邮箱密码完全包办申请流程。金东方的做法是，申请邮箱由分别负责文书、网申等老师和客户一同管理。申请学校的账号、密码，网申老师也会做成excel表格发给客户，完全透明。文书方面，都是文书老师和客户一起协商完成，文书老师会按照客户的要求进行修改，会尊重客户的要求并提出自己的建议。所以在这一点上，网络上控诉的中介全包办但客户对申请进度一无所知的情况在金东方这里是根本不会出现的。而几位老师也会随时提醒你，哪所学校的deadline要到了，不会让你错过任何一所学校。
控诉的第二缘由，便是一些中介会找一些合作办学学校（也就是大家口中提到的“野鸡学校”），以诱惑学生签约，最后完成合同。金东方没有直接的合作院校，所以根本不会鼓吹学生申请这种学校。给我的感觉，金东方做的case大多都是“高端客户”，即申请人本身具备一定实力，所以也不会把申请人推到那些我们几乎没听说过的学校。控诉第三缘由，概为文书水平问题。这里要提到我的文书老师：甘勇老师。甘老师毕业于清华大学工程物理系，和我的专业非常相近。有些外行看起来比较难懂的理论，和甘老师说个一两句，老师就明白了。
而甘老师的文书写作水平，确实非常高（不光是PS，包括后期和教授的交流邮件）。如果是我自己完成这篇PS的话，跟定不会有那么流畅的表达。而金东方还有一个涵盖各专业各领域的海外顾问团，他们也会参与文书修改。印象中，我的文书，基本没怎么大改。而老师们也根据我的一些想法：比如按照知识尺度来构建我的PS框架，做出相应得调整。这令我十分满意。所以金东方的文书写作水平，也是过硬的。
控诉第四缘由，部分中介收服务费前后期态度不一。首先，金东方的服务费是分期支付，最主要的那笔费用在客户拿到签证之后才交付。和金东方合作一年下来，每个环节都比较令人满意，老师们的态度都非常好。期间，金东方的吴老师还给我打来长途，询问服务质量，叫我如有不满意就反馈给他，监管体制非常完善。而就在我交付最终费用的一个月之后，当我存在问题请教签证辅导老师肖晴老师时，老师也十分热情地为我解答。之前还给我发来了留学行前准备手册，很周到。所以，收费前后态度不一这一条，在我和金东方老师们的合作中，完全不存在。
需要补充的一点是，有些中介是不管网申、套磁、签证的。金东方老师则会全程辅助学生做这些事情，并且全透明。
有些人可能会想，我不靠中介，我有师兄师姐。但在国外师兄师姐，一般非常忙，而且有时差，遇到问题的时候，确实没办法第一时间帮你解决。此外，师兄师姐没有义务事无巨细地帮你解决每一个问题（哪怕是你拿给中介的钱给他们一人买个ipad之类，人情债）。而网络上
全分辨率 篇3
近年来, 在各类科学研究和实际应用中, 对高质量红外、光学和多光谱图像 (视频) 的需求日益增长。但是, 在实际成像过程中, 由于存在多种降质因素, 比如, 光学系统散焦、成像系统分辨率低下、光谱混叠、成像设备与目标间的相对运动、系统和环境噪声以及大气湍流运动等的影响, 使得采集到的图像和视频往往不能满足实际应用的需要。因此, 超分辨率重建技术SR (Super-resolution) 作为提升这些图像和视频质量的有效方法, 成为图像复原领域的研究热点[1,2]。
目前, 超分辨率重建算法的主要研究类别是基于空域的方法, 主要有正则化方法[3,4]、凸集映射法 (POCS) [5]、迭代反投影法 (IBP) [6]、非均匀插值法[7]、基于学习的方法[8]等。其中, 基于能量泛函正则化的超分辨率重建因其有效性高、鲁棒性强而受到国内外研究者的广泛关注。Babacan等[9]则使用全变分的方法来估计正则化参数。Protter等[10]应用非局部自相似信息作为先验, 结合MAP方法, 提出不依赖准确运动估计的非局部均值正则化超分辨率重建方法, 并取得很好的效果。张冬明等[11]针对传统MAP正则化方法存在的局限, 在MAP框架下采用时空联合自适应机制进行视频序列的超分辨重建, 取得较好的效果。
超分辨率重建的核心任务是在图像重建的过程中抑制噪声, 并尽可能地保持和恢复图像中的边缘、纹理等细节信息。近年来, 全变分TV (Total Variation) 正则化方法作为一种在去除图像噪声过程中有效保持边缘的方法在超分辨率重建领域得到了重视[12]。本文基于全变分正则化思想, 提出一种自适应耦合局部数字全变分方法。该方法对低阶全变分模型Lo TV (Low-order Total-Variation) 和超数字化全变分模型BDTV (Beyond Digital Total-Variation) 进行耦合, 并利用基于图像局部结构信息的局部自适应度量函数作为各向异性耦合系数, 然后将耦合项作为正则约束条件, 通过迭代寻优的方法重建图像。与经典的全变分方法相比, 本文方法在重建过程中抑制噪声和保持图像中边缘等重要几何结构的同时, 能够抑制阶梯效应的产生, 并能提高图像的整体清晰度和保真度。
1 基于正则化模型的超分辨率重建
超分辨率重建研究前提是需要建立准确并符合实际成像过程的图像降质数学模型。目前, 被广泛接受的图像降质模型为:
其中, gk表示实际获取的低分辨率图像序列中尺寸为N1×N2的第k帧图像。D表示尺寸为N1N2×LN1LN2的下采样矩阵, L为下采样系数。Mk表示低分辨率图像序列中的第k帧图像对应的运动矩阵。Bk代表第k帧图像对应的光学模糊矩阵。Mk和Bk的尺寸均为LN1LN2×LN1LN2。f表示尺寸为LN1×LN2的原始高分辨率图像。nk表示尺寸为N1N2×1的加性噪声矢量。
超分辨率重建就是通过式 (1) 的反演来获取f。由于超分辨率重建问题是一个典型的病态问题, 难以通过直接求解的方法获得所需结果。因此, 需要通过一定的数学方法将该病态问题反演为良态问题来求解。所谓正则化方法, 就是构造与病态问题相邻近的良态问题, 并通过求解该良态问题来得到原问题可行解的一类方法。
根据正则化理论, 序列图像超分辨率重建可以归结为如下的约束最小二乘问题:
式中, 等式右端第一项为数据保真项, 用于控制解与真实值之间的偏差程度;p为低分辨率图像序列的帧数;J (f) 为正则项, λ为正则化参数。
2 基于自适应耦合局部数字全变分的超分辨率重建
全变分模型是有界变分BV (Bounded Variation) 函数空间理论在图像噪声去除等领域应用的典型。它不强加对解的平滑约束, 可以保持图像中的边缘等信息。Ng等[13]提出一种应用于数字视频的超分辨率重建方法。该方法将全变分模型的离散化形式Lo TV (本文简称为低阶全变分模型) 作为正则项, 并利用固定点迭代法和预条件技术求解非线性的Euler-Lagrange方程。该方法适用于分片常数型的图像, 并且具有直观、无需复杂先验约束条件的优点。但是, 利用基本的全变分模型进行超分辨率重建, 仍然会存在一些问题, 例如在图像平坦区域容易产生阶梯效应;图像中的纹理等细节信息容易损失;某些图像区域的对比度会弱化等。为了解决这些问题, 邵文泽[14]结合双边滤波的思想, 提出超数字化全变分 (BDTV) 模型。该模型在较大邻域内对图像信息进行度量, 从而能够在消除平坦区域阶梯效应方面取得较好的效果。然而, 众多超分辨率重建实践表明, 这种方式对边缘区域和平坦区域的区分能力仍然不足, 特别是低分辨率图像序列受到较强噪声影响的情况。
2.1 自适应耦合局部数字全变分模型
上述全变分方法的共同特点是力求用一个简单的数学表达式来区分图像中不同区域的特性。但是, 由于自然界图像的构成非常复杂, 比如图像中既有灰度跃变的边缘和灰度变化平缓的区域, 也有复杂的纹理和各种噪声的存在。因此这类方法依然不能充分描述自然图像中复杂多变的内容。针对上述问题, 同时充分考虑Lo TV模型和BDTV模型的特点, 本文提出一种新的TV模型, 称为自适应耦合局部数字全变分LADTV (Locally Adaptive coupling Digital Total Variation) 模型。这种模型对边缘区域的刻画能力接近Lo TV模型, 而对于图像中纹理部分以及灰度变化较小的平坦区域, 其处理能力接近BDTV模型。该模型结合二者的优点, 在图像超分辨重建过程中, 起到既能抑制重建过程中产生的各种噪声, 又能减小对平坦区域和纹理结构影响的目的, 从而使超分辨率重建方法具有更好的性能。自适应耦合局部数字全变分模型公式如下所示:
对式 (3) 进行化简, 可以得到:
其中, 为局部自适应度量函数, , 分别表示当前像素f (i, j) 与其四邻域内像素的差分。为了保证正则项的可微性以及解的收敛性, 本文建议局部自适应度量函数应具备如下几条性质:
1) 非负性
2) 可微性
几乎处处可微;
3) 单调性
4) 凸函数性
5) 对称性
除此之外, 还应具有:
6) 对于边缘区域
;对于平坦区域,
2.2 基于模糊熵的局部自适应度量函数设计
模糊集理论是分析、判断、辨识模糊现象的一种有效工具。由于图像信息所具有的不确定性通常是模糊的而不是随机的, 利用模糊集理论识别图像中不同特性的区域具有较好的效果, 因而模糊集理论正被越来越广泛地应用到图像分割[15]、边缘检测[16]、图像复原[17]等相关工作中。本文将模糊集理论应用到超分辨率重建中, 利用模糊熵[18]来构建表征图像局部区域结构信息的局部自适应度量函数。
根据模糊集理论, 尺寸为M×N的图像f对应的模糊矩阵Fe为:
这里, u (fi, j) 表示图像f中像素f (i, j) 具有某种特性的程度, u (fi, j) 可以通过不同形式的模糊隶属度函数来定义。在本文中, 采用如下定义形式:
其中, s、t表示图像中以fi, j为中心, 尺寸为S×T的邻域。Q为比例常数, 用以扩展u (fi, j) 的浮动范围在 (0, 1) 之间。
模糊熵描述的是一个模糊集中各元素的模糊性程度。ψi, j为模糊熵度量函数:
其中, n为邻域窗口的尺寸系数, H (·) 为u的模糊熵。
基于图像的模糊熵以及局部自适应度量函数应具备的性质1-6的定义, 本文构造局部自适应度量函数 (i, j) 如下:
在此, m、r为大于等于2的正整数。
基于式 (9) 可以得到如下两点结论:
2) 当像素f (i, j) 和f (s+i, t+j) 均处于平坦区域时, ψi, j→0, 则
2.3 基于自适应耦合局部数字全变分模型的超分辨率重建
将式 (4) 代入式 (2) , 并构造Euler-Lagrange方程:
这里, ε为避免分母为零的微小正数。
基于减少算法计算复杂度的考虑, 本文采用梯度下降法将式 (10) 转化为如下格式:
利用式 (11) , 从一个初始估计f0出发, 通过迭代求解的方式, 可以获取最终的高分辨率图像f。
3 实验与分析
本文通过两组实验分别从图像客观评价指标———峰值信噪比PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 和图像主观视觉效果两个角度对重建算法的有效性进行验证。参与验证的算法包括:线性插值方法、Lo TV方法、BDTV方法和本文方法。而两幅尺寸同为M×N的图像g (i, j) 和f (i, j) 的PSNR定义为:
实验1利用尺寸为256×256的高分辨率自然图像“Handwriting”, 通过式 (1) 生成30帧低分辨率图像, 并从中随机选取20帧形成序列。其中, 下采样系数为4;采用5×5、标准差为5的高斯算子对图像进行模糊;运动矩阵采用基于仿射变换的平移模型;另外添加均值为0, 方差为0.001的高斯白噪声;局部自适应度量函数邻域选取窗口为7;r=2;m=6。同时, 实验中各算法的参数选取以处理结果达到最优为原则。图1为实验1的处理结果。其中, 图1 (a) 为原始高分辨率图像;图1 (b) 为低分辨率序列的第一帧图像;图1 (c) 、 (d) 、 (e) 、 (f) 分别为Bicubic插值方法、Lo TV方法、BDTV方法和本文方法的处理结果, 且Lo TV方法、BDTV方法和本文方法的迭代均为20次。图1 (h) 、 (k) 、 (j) 分别为图1 (d) 、 (e) 、 (f) 相同局部区域图像的特写。各方法重建图像的PSNR对比如表1所示。
从实验1各图中可以看到, Bicubic插值方法重建图像中目标边缘比较模糊。Lo TV方法、BDTV方法和本文方法的重建结果噪声抑制效果都比较好, 而本文方法在图像细部边缘的保持上有更好的效果。
实验2仍采用尺寸为256×256的高分辨率图像“Handwriting”, 其生成低分辨率图像序列的过程及所用参数与实验1基本相同, 只是添加的高斯白噪声均值为0, 方差为0.011。实验2处理结果如图2所示。其中, 图2 (a) 为原始高分辨率图像;图2 (b) 为低分辨率序列的第一帧图像;图2 (c) 、 (d) 、 (e) 、 (f) 分别为Bicubic插值方法、Lo TV方法、BDTV方法和本文方法的处理结果。图2 (h) 、 (k) 、 (j) 分别为图2 (d) 、 (e) 、 (f) 相同局部区域图像的特写。实验2中各重建图像的PSNR对比如表2所示。
通过实验2可以看到, Bicubic插值方法重建结果中依然包含明显的噪声。Lo TV方法在重建图像灰度变化平坦区域出现较为明显的阶梯效应。BDTV的重建效果较好, 但随着降质图像受噪声增大的影响, BDTV模型在图像边缘几何结构的保持能力上由一定程度的退化。本文方法在去除阶梯效应的和保持重要边缘结构这两方面均取得了较好的结果。同时, 由表1、表2可看到, 本文方法重建效果的PSNR值较高。
4 结语
在超分辨率重建处理中, 如何保持重建图像的边缘细节信息和提高重建图像的主观视觉效果是研究的热点和亟待解决的难点问题。针对基于全变分模型的重建方法存在的不足, 构造局部自适应度量函数作为耦合因子, 并且结合全变分模型和双边数字全变分模型, 提出基于自适应耦合局部数字全变分模型的超分辨率重建算法。实验表明, 该算法对重建过程中图像几何边缘结构的保持和阶梯效应的消除具有较好的效果, 并对于图像噪声影响具有一定的鲁棒性。依据视觉效果和峰值信噪比度量, 本文方法均显示了较好的重建性能。
摘要：如何更好地保持重建图像的边缘信息是当今超分辨率重建技术的一个重要研究课题。针对基于全变分模型的超分辨率重建方法容易产生阶梯效应的不足, 利用图像局部模糊熵信息, 设计一个表征图像区域结构特征的局部自适应度量函数。利用该函数对全变分模型和超数字化全变分模型进行耦合, 进而提出一种基于自适应耦合局部数字全变分模型的超分辨率重建方法。实验结果表明, 该方法在保持图像几何边缘结构和消除平坦区域阶梯效应方面能力较强, 重建效果较好。