一元代数方程

一元代数方程（精选十篇）

一元代数方程 篇1

一、定义理解不透彻

例1下列方程是一元二次方程的是______.

【错解】1、2、3、4、5.

【剖析】一元二次方程满足的条件是:(1)只含有一个未知数 ;(2)未知数的最高次数为2;(3)整式方程.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).3不是一元二次方程,因为没有注意到等号的两边应该都是整式;4不是一元二次方程,因为将方程整理为一般形式后,没有二次项;5不是一元二次方程,因为没有指出二次项系数a不为0;6是一元二次方程,13和2%姨4都是整式. 所以, 是一元二次方程的有:1、2、6.

二、忽视二次项系数不为零

【错解】根据题意可得k2+1=2,∴k=±1.

【剖析】在解本题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.

三、混淆方程只有一个实数根与方程有两个相等的实数根

【剖析】方程有一个实数根,暗示这个方程是一元一次方程,错解中误认为它与一元二次方程有两个相等的实数根是等同的.

解:∵关于x的方程只有一个实数根,

四、方程类型不明确时,漏掉方程为一元一次方程的情况.

例4 (2012·山东德州)若关于x的方程有实数解,那么实数a的取值范围是______.

【剖析】已知条件中二次项系数是一个字母,方程有解并不意味着该方程一定为一元二次方程,上述解答过程只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况,忽略了该方程为一元一次方程的情况.

五、盲目“套用”求根公式

【剖析】用公式法求解一元二次方程时应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),错解中没有将方程化成“一般式”,误认为常数项c=5.

六、误用性质导致丢根

例6解方程:(x+1)2=2(x+1).

【错解】方程两边同除以(x+1),得x+1=2,所以x=1.

【剖析】错解中,方程两边同除以因式x+1,没有考虑到x+1=0的情况,造成丢根.

七、忽视一元二次方程的根为负数

八、忽略一元二次方程有实根的条件

例8(2014·山东烟台)关于x的方程x2-mx+2m=0的两根的平方和是5,则m的值是( ).

A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1

九、未充分利用题目中的条件

例9如图1,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料,当AB的长度为多少时能使矩形花园的面积为300 m2.

答:当AB的长为15米或10米时能使矩形花园的面积为300 m2.

【剖析】对于一些方程根的取舍问题,关键是要读懂题目的意思,充分考虑到题目给出的条件或者隐含条件. 错解中没有注意到围墙MN最长可利用25 m, 当AB=10时,BC=50-2×10=30>25, 不符合题意,应舍去.

相信同学们会结合以上错解剖析,诊断出自己的问题来“对症下药”,牢固地掌握一元二次方程的相关知识点, 在考试中力争零失分!

小试身手

1. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根,则下列关于判别式b2-4ac的判断正确的是( ).

A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0 C. b2-4c<0 D. b2-4c>0

2. 已知关于x的一元二次方程(a-1)x22x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ).

A. a>2 B. a<2 C. a<2且a≠1 D. a<-2

3. 下列一元二次方程两实数根和为-4的是( ).

4. 方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是( ).

A. 1,-2 B. 3,-2 C. 0,-2 D. 1

一元二次方程 篇2

(1)一元二次方程的条件是确定的，如方程 ( )，把它化成一般形式为 ，由于 ，所以 ，符合一元二次方程的定义。

(2)条件是用“关于 的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于 的一元二次方程 ”，这时题中隐含了 的条件，这在解题中是不能忽略的。

(3)方程中含有字母系数的 项，且出现“关于 的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于 的方程 ”，这就有两种可能，当 时，它是一元一次方程 ;当 时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学目的

1.了解整式方程和一元二次方程的概念;

2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:

一元二次方程错题档案 篇3

一、 定义理解不透彻

例1 下列方程是一元二次方程的是______.

①x2+1=0，②x2=0，③x++1=0，④2x（x+2）=2x2，⑤ax2+bx+c=0，⑥x2+2x+=0.

【错解】①、②、③、④、⑤.

【剖析】一元二次方程满足的条件是：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因为没有注意到等号的两边应该都是整式；④不是一元二次方程，因为将方程整理为一般形式后，没有二次项；⑤不是一元二次方程，因为没有指出二次项系数a不为0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.

二、 忽视二次项系数不为零

例2 方程（k+1）xk2+1+4x-5=0是关于x的一元二次方程，求k的值.

【错解】根据题意可得k2+1=2，∴k=±1.

【剖析】在解本题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.

解：根据题意得，k2+1=2，∴k=±1，又k+1≠0，即k≠-1，∴k=1.

三、 混淆方程只有一个实数根与方程有两个相等的实数根

例3 关于x的方程（m2-1）x2+（2m+2）x+1=0只有一个实数根，求m的值.

【错解】∵关于x的方程只有一个实数根，

∴b2-4ac=（2m+2）2-4（m2-1）=8m+8=0，

∴m=-1.

【剖析】方程有一个实数根，暗示这个方程是一元一次方程，错解中误认为它与一元二次方程有两个相等的实数根是等同的.

解：∵关于x的方程只有一个实数根，

∴这个方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m+2≠0. ∴m=1.

四、 方程类型不明确时，漏掉方程为一元一次方程的情况.

例4 （2012·山东德州）若关于x的方程ax2+ 2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______.

【错解】a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

∴当a≥-1且a≠0时，方程有实根.

【剖析】已知条件中二次项系数是一个字母，方程有解并不意味着该方程一定为一元二次方程，上述解答过程只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况，忽略了该方程为一元一次方程的情况.

解：①当a=0时，方程4x=0，x=0；

②当a≠0时，一元二次方程有实根，

所以a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

所以a≥-1且a≠0.

综合①、②，当a≥-1时，

方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解.

五、 盲目“套用”求根公式

例5 用公式法解方程x2+7x=5.

【错解】∵a=1，b=7，c=5，

∴b2-4ac=72-4×1×5=29，

∴x==，

即x1=，x2=.

【剖析】用公式法求解一元二次方程时应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），错解中没有将方程化成“一般式”，误认为常数项c=5.

解：移项得x2+7x-5=0，

∵a=1，b=7，c=-5，

∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，

∴x==，

即x1=，x2=.

六、 误用性质导致丢根

例6 解方程：（x+1）2=2（x+1）.

【错解】方程两边同除以（x+1），得x+1=2，所以x=1.

【剖析】错解中，方程两边同除以因式x+1，没有考虑到x+1=0的情况，造成丢根.

解：原方程可变形为（x+1）2-2（x+1）=0，（x+1）（x+1-2）=0，（x+1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.

七、 忽视一元二次方程的根为负数

例7 已知α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，求+的值.

【错解】∵α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，

∴α+β=-=-7，αβ==5，

∴+=+===-.

【剖析】由一元二次方程根与系数的关系得到α+β=-=-7，αβ==5，这说明α，β同为负数，所以在对+化简时应注意符号问题.

解：∵α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，

∴α+β=-=-7，αβ==5.

∴+=+=

-=-=.

八、 忽略一元二次方程有实根的条件

例8 （2014·山东烟台）关于x的方程x2-mx+2m=0的两根的平方和是5，则m的值是（ ）.

A. -1或5 B. 1

C. 5 D. -1

【错解】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，

∴m1=5，m2=-1，故选A.

【剖析】当a=5时b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此时方程无解，错解中忽略了一元二次方程有实根时必须满足b2-4ac≥0这一条件.

解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.

∵b2-4ac=m2-8m≥0，

∴m≠5，故m=-1. 选 D.

九、 未充分利用题目中的条件

例9 如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当AB的长度为多少时能使矩形花园的面积为300 m2.

【错解】设AB=x m，则BC=（50-2x） m.

根据题意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，

答：当AB的长为15米或10米时能使矩形花园的面积为300 m2.

【剖析】对于一些方程根的取舍问题，关键是要读懂题目的意思，充分考虑到题目给出的条件或者隐含条件. 错解中没有注意到围墙MN最长可利用25 m，当AB=10时，BC=50-2×10=30>25， 不符合题意，应舍去.

解：设AB=x m，则BC=（50-2x） m.

根据题意得，x（50-2x）=300，

解得：x1=10，x2=15.

当x=10时，BC=50-2×10=30>25，不合题意，舍去；

当x=15时，BC=50-2×15=20<25.

答：当AB的长为15 m时能使矩形花园的面积为300 m2.

相信同学们会结合以上错解剖析，诊断出自己的问题来“对症下药”，牢固地掌握一元二次方程的相关知识点，在考试中力争零失分！

小试身手

1. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，则下列关于判别式b2-4ac的判断正确的是（ ）.

A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0

C. b2-4c<0 D. b2-4c>0

2. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）.

A. a>2 B. a<2

C. a<2且a≠1 D. a<-2

3. 下列一元二次方程两实数根和为 -4的是（ ）.

A. x2+2x-4=0 B. x2-4x+4=0

C. x2+4x+10=0D. x2+4x-5=0

4. 方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ）.

A. 1，-2 B. 3，-2

C. 0，-2 D. 1

5. 某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草. 如图2所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）.

“一元二次方程”测试卷 篇4

2. 等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是().

A. 27 C. 27或36 B. 36 D. 18

3. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米. 若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为().

4. 将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为().

5. 一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a=______.

8. 已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k=0有实根,求k的取值范围.

(1) 求实数m的最大整数值;

(2) 在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式x21+x22-x1x2的值.

10. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.

(1) 用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元.

(2) 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元 ,求可变成本平均每年增长的百分率x.

11. 小丽为校合唱队购买某种服装时 ,商店经理给出了如下优惠条件 :如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元. 按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1 200元. 请问她购买了多少件这种服装?

12. 如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上 ,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?

(1) 请你将小明对“思考题”的解答补充完整:

解方程得x1=______,x2=______,∴点B将向外移动______米.

(2) 解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:

【问题一】在“思考题”中 ,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗? 为什么?

【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗? 为什么?

请你解答小聪提出的这两个问题.

13. 某商场销售一批衬衫 ,平均每天可出售50件 ,每件盈利10元. 为了增加盈利 ,商场决定采取适当的涨价措施. 经调查发现,每件衬衫每涨价1元,商场平均每天就要少售出2件. 若商场平均每天要保证盈利600元,同时又要使顾客得到实惠,请你帮商场算一算,每件衬衫应涨价多少元?

参考答案

1. CA. b2-4ac=(-2)2-4×1×2=-4<0, 方程没有实数根 , 所以A选项错误 ;B. b24ac=22-4×1×2=-4<0,方程没有实数根 ,所以B选项错误;C. x-3=0或x+4=0,则x1=3,x2=-4,所以C选项正确 ;D. (x-1)2=-4,方程左边为非负数 ,方程右边为负数 ,所以方程没有实数根,所以D选项错误. 故选C.

2. B分两种情况:1当其他两条边中有一条为3时 ,将x=3代入原方程 ,得32-12×3+k=0,k=27,将k=27代入原方程 ,得x2-12x+27=0,解得x=3或9. 3,3,9不能够组成三角形;2当3为底时,则其他两条边相等,即b2-4ac=0,此时144-4k=0,k=36. 将k=36代入原方程,得x2-12x+36=0,解得x=6. 3,6,6能够组成三角形,故答案为B.

3. B设一边长为x米,则另外一边长为(5-x)米,由题意得:x(5-x)=6,故选B.

5. ∵一元二次方程 (a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,∴把x=0代入得a2-1=0, 且a+1≠0,∴a=1.

6. 解:令x2+y2=z,则原方程可转化为 (z+1)(z-3)=5,解得z1=4,z2=-2,因为x2+y2的非负性,所以应舍去x2+y2=-2. 所以x2+y2=4.

7. 解 :∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根 ,∴12+a +b =0,∴a +b =-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.

(2) 若方程为一元一次方程,

综上所述,当k≥0时,方程有实根.

(2) 由题意,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得:x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:可变成本平均每年增长的百分率为10%.

11. 解:设购买x件这种服装,由题意得:[80-2(x-10)]x=1 200,解得:x1=20,x2=30,当x=30时,80-2(30-10)=40<50,不合题意,舍去.

答:她购买了20件这种服装.

(2) [问题一]不会是0.9米,

若AA1=BB1=0.9,则A1C=2.4-0.9=1.5,B1C=0.7+0.9=1.6,

∵1.52+1.62=4.81,而2.52=6.25 ,

设梯子顶端从A处下滑x米,点B向外也移动x米, 则有(x+0.7)2+(2.4-x)2=2.52,解得:x=1.7或x=0(舍).

∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时,点B向外也移动1.7米,即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

13. 设每件衬衫涨价a元,这样每件盈利(10+a)元,共售出(50-2a)件.则(10+a)×(50-2a)=600.

一元二次方程教案 篇5

数学

年级

九年级

教学时间

一课时

学习者分析

本班有学生53人，数学课还比较喜欢，学习热情也较高，课堂气氛比较活跃。学生在学过一元一次方程的基础上学习，还是对方程有一定的认识。所以老师放手让学生自学、合作的探究方式来学习此课。但有极少部分学生较懒，学习习惯差，不愿思考问题。总体来说学生喜欢动手操作，喜欢小组合作的学习方式。

教学目标

一、情感态度与价值观

1. 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

2. 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

二、过程与方法

1. 通过观察，归纳一元二次方程概念的教学

2. 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。

三、知识与技能

1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。

2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念

教学重点、难点

1.一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

教学资源

⑴每位学生制作一个无盖方盒

⑵每人一份印刷练习题

⑶教师自制的多媒体课件

⑷上课环境为多媒体大屏幕环境

教学活动

教学活动1

㈠师生互动，激趣导入

情境创设(大屏幕投影教材24页)：要设计一座2米高的人体雕塑，使雕塑的上部(腰上部)与下部(腰下部)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，雕塑的下部应设计为多高?

学生根据等量关系：设雕塑下部高xm,于是得方程

X2=2(2-x)整理得X2+2x-4=0，这是什么方程，与以前学过的一元一次方程有什么不同，这节课我们就来学习它---------一元二次方程

教学活动2

㈡问题启发，合作探究

1.问题1(多媒体课件)有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

学生结合手中学具思考怎么列方程

如果假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是________，宽是_____，根据方盒的底面积为3600cm2，得：_______.

整理，得：________.

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理.

2.(出示排球邀请赛图片)

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?

单循环比赛是指就表示每个队要和其他所有的队都赛到了，如果有4个队总共赛_______场，5个队呢?8个队呢?n个队呢?

同学们用基本线段法和定点发射法总结规律：

场数=队数×(队数-1)÷2

场数=(队数-1)+(队数-2)+(队数-3)+。。。。。。+1

列方程得x(x-1)÷2=28整理得X2-x=56解方程可以得出参赛队数。

3.学生活动，叙述概念

请口答下面问题.

(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?

(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次?

(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?

老师点评：(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号，是方程.

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

4.追问条件，由一般式得出特殊式

(1)为什么a≠0?b和c能等于0吗?(2)特殊式：ax2+bx=0,ax2+c=0

教学活动3

㈢ 例题示范，巩固提高

例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等.

解：去括号，得：

40-16x-10x+4x2=18

移项，得：4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22.

例2.(学生活动：请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.

巩固练习

教材P27练习1、2(每组出三名同学在四周黑板写出，分六组)

教学活动4

㈣自我检查，信息反馈

自我测试设计

一、选择题(5×4=20分)

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-=0

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().

A.2，3，-6B.2，-3，18C.2，-3，6D.2，3，6

3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则().

A.p=1B.p>0C.p≠0D.p为任意实数

4.关于x的方程(m2-4)x2+mx-m=0是一元二次方程的条件是()

A.m≠0B.m≠2C.m=-2 D.m≠±2

二、填空题(4×5=20分)

1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________.

2.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_________

3.关于x的方程(m+1)xm-1+mx-1=0是一元一次方程，则m=________

三.应用题(20分)

《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?

如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________.

整理、化简，得：__________.

程序：1.学生自己独立完成2.老师给组长副组长打分3.组长给组员打分4.学生交流疑难杂症5.学生总结易错点和方法6.老师作最后强调。

教学活动5

㈤归纳总结，畅谈收获

本节课要掌握：

(1)一元二次方程的概念;

(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.

(3)定义要条件化：二次项系数不等于0的条件

(4)利用一元二次方程解决实际生活问题。

教学活动6

㈥拓展迁移，提升能力

例3.求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可.

证明：m2-8m+17=(m-4)2+1

∵(m-4)2≥0

∴(m-4)2+1>0，即(m-4)2+1≠0

一元一次不等式与一元一次方程 篇6

1. 概念

只含有一个未知数且未知数的指数是1的方程，叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0（a、b为常数，a≠0）.

例如，①2x+1=0是一元一次方程；②-1=0不是一元一次方程（因为未知数x的指数是-1）；③x2-2=0不是一元一次方程（因为未知数x的指数是2）；④x+y=6不是一元一次方程（因为含有x、y两个未知数）.

只含有一个未知数且未知数的指数是1的不等式，叫做一元一次不等式.

例如，①2x-5<0是一元一次不等式；②x+3≥-1是一元一次不等式；③+2≤0不是一元一次不等式（因为未知数x的指数是-1）.

2. 结果的表示形式

一元一次不等式的解集表示的是能使不等式成立的未知数的取值范围；一元一次方程的解可表示为x=a（a为常数）.如一元一次不等式2x-6>0的解集为x>3；一元一次方程2x-6=0的解为x=3.

3. 解的个数

一元一次不等式的解可能有无数个，而一元一次方程的解一般只有1个.

如一元一次不等式2x-4>0的解集是x>2，x可以取大于2的任何实数；一元一次方程2x-4=0的解是x=2，也就是只有当x=2时2x-4=0才成立.

4. 求解的步骤

解一元一次不等式的步骤一般是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.与解一元一次方程不同之处在于系数化为1时，如果不等式两边同乘（或除以）一个负数，不等号要改变方向.

例1解一元一次不等式->1.

解： 去分母，得2（x+4）-3（3x-1）>6.

去括号，得2x+8-9x+3>6.

移项，得2x-9x>6-3-8.

合并同类项，得-7x>-5.

系数化为1，得x<.（注意不等号的方向）

5. 解应用题的方法

用一元一次不等式解应用题的方法与列一元一次方程解应用题的方法相似.主要步骤有：审题，设元，找出主要的不等关系，列不等式，解不等式，检验作答.

例2一次“保护环境”知识竞赛共有20道题，答对1道题得10分，答错或不答，每题扣5分.至少要答对几道题得分才不少于80分？

分析：答对的题的得分减去答错或不答题所扣的分数应不少于80分，据此可列不等式.

解： 设答对了x道题，则答错或不答的题是（20-x）道，列出不等式

10x-5（20-x）≥80.

解得x≥12.

答：至少要答对12道题得分才不少于80分.

一元二次方程的教学反思 篇7

一、理清体系, 立足定义, 让学生掌握基础, 掌握重、难点

其实, 所有数学问题的解决, 基点都在于对基础的认知理解和运用。本课要让学生认知三个问题:1、什么是一元二次的一般形式;2、一元二次方程的条件是什么;3、一般形式中各部分的名称是什么。只要每个学生都知道这三个问题, 很多基础性问题都解决了。

比如:下列方程是一元二次方程的是 ()

很多学生不加思考地选了B, 因为B是“一般形式”, 学生会如是说。可他们只知其形, 却不知其意, 属于“一知半解”型。他们忘记了B作为一元二次方程的条件。这时, 教师抓住机会强调“一般形式”及“条件”, 强化学生的认知结构, 下次他们就不会选B。

事实上, 解决上面问题, 只要让学生掌握了一元二次方程的一般形式, 并会把方程化成一元二次方程的一般形式, 就能得出正确答案。

于是总结方法:判断是不是一元二次方程, 必须化简为一元二次方程“一般形式”。

那么, 解与解法怎么突破呢?——会判断a、b、c的值是多少:a称为二次项系数;b称为一次项系数;c称为常数项。

如:方程二次项系数是, 一次项系数是, 常数项是。

只要把它化成一般形式就能正确得出。而关键在于, 中差生在把方程的项交换一下位置以后, 就不能正确判断出式子中的a、b、c分别是多少, 于是教师应该多让学生练习, 便于他们熟知和掌握。只要学生能正确掌握什么是a、b、c, 下面的问题就是让学生思维腾飞的逻辑了。

二、教师的总结, 起到画龙点睛的作用

在学完前面的基础知识后, 后面的列方程解应用题环节是绝大部分学生的难点。学生已有知识结构体系中的一些原模型, 但不能把它们联系成一个整体, 这时往往需要老师为学生分类归纳, 让学生学习解决的过程。为此, 我总结了以下几个问题。

(1) 增长率问题:公式“基数× (1+增长率) n=结果” (其中n是增长的期数即增长次数)

(2) 降低率问题:公式“基数× (1-降低率) n=结果” (其中n是降低的期数即降低次数)

注意:0<降低率<1, 增长率不为负, 如果为负则为“降低”。

(3) 修路面积问题:平移法

如图, 矩形长32米, 宽20米, 在其中修两条互相垂直的等宽路 (图中实线) , 使余下的面积为480平方米, 求路的宽度。 (平移法) 把路向边缘移动, 得到“整块面积与原来四块面积相等”。

设路宽为x米, 方程 (3 2-x) (20-x) =480

变形:长宽不变, 其中修两条等宽斜交的路, 使余下面积为480平方米, 求路的宽度。

“等底等高平行四边形的面积相等”, 方法与上面完全一样。

变形:长宽不变, 在其中修两条等宽弯曲的路, 使余下面积为480平方米, 求路的宽度。 (用上面方法)

(4) 盒子类问题:把一个长32cm, 宽20cm的矩形纸片四个角上剪去四个边长一样的小正方形, 使余下部分折叠成一个无盖的盒子, 且盒子的底面积为480cm2, 求小正方形的边长。

如图, 设正方形的边长为xcm, 底面的长为 (32-2x) cm, 宽为 (32-2x) cm。

∴方程: (32-2x) (32-2x) =480

(5) 涨价问题:进价为a元的商品, 按b元每件销售, 可卖出c件, 现如果每件涨价m元, 则少卖出n件。求利润为p元时的卖价。

解法:设每件涨x元, 则新卖价为 (b+x) 元每件。

注意:涨价问题前加后减。如果有“初期”取大的一个值, “后期”取小的一个值。

(6) 降价问题:进价为a元的商品, 按b元每件销售, 可卖出c件, 现如果每件降价m元, 则多卖出n件。求利润为p元时的卖价。

解法:设每件降x元, 则新卖价为 (b-x) 元每件。

注意:降价问题前减后加。如果要求“尽快减少库存”、“让利给消费者”, 取“降得多的那一个值”。

(7) 数字数位问题:数字是从0~9之间的的字符;数位是指对应位置;数的大小等于各数位上的数字与对应数位相乘后的和。如十位数字×10, 百位数字×100……

(8) 单循环:每两个队之间只比赛一场, 如乒乓球比赛、握手问题、画对角线问题等

公式:设共有x个队 (x个人, x条边……) , 则

(9) 双循环:每两个队之间比赛两场, 如足球赛的主、客场比赛、同学互相赠送礼物等等

公式:设共有x个 (x人……) , 则x (x-1) =场数

“一元二次方程组”教学设计 篇8

《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》在基本理念中充分肯定了数学的社会文化价值, 特别是在课程实施建议的教材编写建议中强调了各学段都要注重数学的文化价值, 介绍有关的数学背景知识 (数学家的故事、数学趣闻与数学史料) .在数学新课程这一理念指导下, 结合我们承担的浙江省教育科学规划2008年度研究课题“基于数学文化的教学模式研究”, 笔者以“一元二次方程组”这一重要内容为载体, 进行了基于“数学文化”的教学设计探索, 以下是数学课堂教学实录与我们的思考.

1 教学实录

1.1 古题多解, 引入新知

师:我国古代的代数研究在世界上处于领先水平, 出现了10部算经, 如我们较为熟悉的《周髀算经》、《九章算术》, 今天我们来认识另一部算经《孙子算经》, 书上有今天仅存的中国算筹法则记载, 现在我们来解决书上给出的“鸡兔同笼”的问题:

今有鸡兔同笼, 上有35头, 下有94足, 问鸡兔各几何?

生1:把兔子都看成鸡, 则多出94-35×2=24只脚, 每只兔子比鸡多出两只脚, 所以兔子有24÷2=12只, 鸡有35-12=23只.

生2:设有x只鸡, 则有35-x只兔.每只鸡有2条腿, 每只兔子有4条腿, 根据题意, 得2x+4 (35-x) =94.得x=23, 鸡有23只, 兔子有12只.

师:两位同学的解法都很好, 回顾题目, 这里出现了两个未知数, 对照二元一次方程的特征, 大家能发现什么?根据题意得到:鸡头数+兔头数=35, 鸡脚数+兔脚数=94.

生3:设鸡有x只, 兔有y只, 则有x+y=35, 2x+4y=94, 我解不来了.

师:我们先不求解, 生3请你说说你的思考过程.

生3:因为有两个未知数, 而且要满足鸡“头数+兔头数=35”, 就有了前面一个方程, 又要满足“鸡脚数+兔脚数=94”, 所以还要加一个方程.

师:很好, 也就是说x, y要同时满足这两个方程, 那么我们可以把它们用大括号连接, 写成我们称这种形式的方程组叫做二元一次方程组, 同学们, 请仔细观察这个方程组后, 给二元一次方程组下一个定义?

生: (齐答) 像这样由两个一次方程组成, 并且含有两个未知数的方程组, 叫做二元一次方程组.

(通过“鸡兔同笼”问题, 自然引入数学的历史与文化, 让学生经历发现、创新的过程, 在体验过程中发现方程组的优越性, 提高概括能力, 增加学习兴趣)

1.2 勤于动手, 尝试求解

师:那上面得到的二元一次方程组有没有解呢?我们来动手做一做.

已知方程x+y=35, 填写表1 (下画线的数字是学生填上去的) .

已知方程2x+4y=94, 填写表2.

观察表1, 2, 找一找有没有这样的解, 它既是方程x+y=35的一个解, 又是方程2x+4y=94的一个解?

生5:有!x=23, y=12既是x+y=35的解, 又是2x+4y=94的解.

师:对, 那么我们写成

$\{\begin{array}{l}x=23‚\\ y=12\end{array}$

这个形式, 这就是上面方程组

$\{\begin{array}{l}x+y=35‚\\ 2x+4y=94\end{array}$

的解, 同学们能不能试着给二元一次方程组的解下个定义呢?

生: (齐答) 同时满足二元一次方程组中各个方程的解, 叫做这个二元一次方程组的解.

师:这样我们求得方程组的解, 我们对比一下3种解法, 同学们是不是觉得第3种解法最直观, 最容易列出呢?

生: (齐答) 是的.

(现在的学生缺少耐心, 于是增加这一探索过程, 让学生体验“尝试”的痛苦, 得出结果的喜悦, 同时也为后面代入消元法和加减消元法求解的优越性作铺垫)

1.3 自主学习, 趣题得解

师:下面听一段老牛和小马的对话:老牛遇见小马说:“真累啊!”小马说:“你还累?这么大的个, 才比我多驮了2个.”老牛说:“哼!我从你背上拿来1个, 我的包裹数就是你的2倍!”听完这段对话, 请同学们思考一个问题:它们各驮了多少个包裹呢?

生6:设老牛驮x个, 小马驮y个, 则有

$\{\begin{array}{l}x-y=2‚\\ x+1=2(y-1).\end{array}$

用上面填表格的方法可以求出.

师:好, 同学们能不能发现这里的x, y有特殊的取值范围吗?

生7:x, y都是正整数, 并且x比y大2.

生8:x比y的两倍小1.

生9:由第2个方程得x是奇数.

师:这样确定了x, y的取值范围, 同学们可以用什么方法来解呢?我们在学解一元一次方程时碰到过类似的问题吗?

生10:可以用尝试检验法来解.

(师生共同完成表3)

所以方程组的解是

1.4 合作学习, 发现奥妙

师:刚才这位同学用一元一次方程解法中的尝试法得到了小马和老牛驮的数量, 接下来请同学们合作完成下题:

古有一捕快, 一天晚上他在野外的一个茅屋里, 听到外边来了一群人, 他隐隐约约地听到几个声音, 在吵闹分赃, 有古诗为证:隔壁听到人分银, 不知人数不知银.只知每人五两多一两, 每人六两少二两.问多少人数多少银?

请同学们用今天学的知识求解.

生11:设有x个人, y两银子, 则

$\{\begin{array}{l}5x+1=y‚\\ 6x-2=y.\end{array}$

师:那x, y分别是多少呢, 同学们可以分组讨论, 等会告诉老师你们的解题过程可以吗?

小组1:我们通过画表格尝试检验求解的方法, 每个人都代入一组不同的数, 最后得到x=3, y=16同时满足上面两个方程, 所以方程组的解是

$\{\begin{array}{l}x=3‚\\ y=16.\end{array}$

师:这个小组配合的非常好, 求出了正确的解, 那么还有没其他求法呢?观察方程组有什么特征.

小组2:因为两个方程的右边都是y, 所以5x+1=6x-2, 这样就转化为一元一次方程, 就可以得到

$\{\begin{array}{l}x=3‚\\ y=16.\end{array}$

师:小组2非常善于观察, 根据方程组的特点求得解.

(培养学生合作学习能力和探究能力, 同时现场巩固方程组概念, 让学生初步体会用数学模型解决实际问题的思想方法)

1.5 更上一层楼

师:中国古代的方程问题是丰富多彩的, 第1个题目我们解决了《孙子算经》中的问题, 现在请同学们分小组解决《九章算术》中的一道题目:

有上等稻3捆、中等稻2捆、下等稻1捆, 打出的谷共有39斗;上等稻2捆、中等稻3捆、下等稻1捆, 打出的谷共有34斗;上等稻1捆、中等稻2捆、下等稻3捆, 打出的谷共26斗.问上、中、下3种稻每捆的出谷量各是多少斗?

小组4:这里有3个未知数, 应该设3个未知数.

师:对, 设3个未知数, 然后根据题目要求, 应该怎么列出方程组呢?又该列出几个方程呢?

小组5:根据题意, 设每捆上等稻出谷量是x, 每捆中等稻的出谷量是y, 每捆下等稻的出谷量是z, 这样根据给出的3个条件我们列出3个方程, 写成组合的形式

$\{\begin{array}{l}3x+2y+z=39‚\\ 2x+3y+z=34‚\\ x+2y+3z=26‚\end{array}$

我们能不能还是用尝试检验法求解呢?

师:这个小组的想法很好, 有3个未知量, 先设好未知数, 然后根据题目要求, 列出3个方程, 当然也可以用尝试检验的方法求解, 解答希望同学们在课后完成.这样《九章算术》中的名题也被我们解决了.《九章算术》是中国古代数学专著, 承先秦数学发展的源流, 进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书, 这大约是公元一世纪的下半叶.它的出现, 标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家, 大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.《九章算术》共收有246个数学问题, 分为九章, 分别是:方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股.它是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.

(经过前面的讲解练习, 经过引导, 此问题在学生的最近发展区, 这样学生的思维被激活, 解决问题后有一定的成就感, 消减学生对数学的偏见)

1.6 学生总结, 强化新知

(略)

1.7 趣题作业, 强化方程模型

我国古代的诗歌非常绝妙, 其中有的也蕴含着许多数学计算, 下面我们来计算一下东吴都督周瑜的年龄:

大江东去浪淘尽, 千古风流数人物.

而立之年督东吴, 早逝英年两位数.

十比个位正小三, 个是十位正两倍.

哪位同学算得快, 多少年寿属周瑜.

师:上面的题目可以独立思考, 也可以小组合作的方式完成, 课后大家去查阅有关文献.

(采用历史名题作课后作业, 一方面增加数学趣味性, 另一方面自然融入数学历史与文化, 拓宽学生数学视野)

2 课后反思

本教学设计尝试将“数学文化”引入课堂, 走入学生心中.考虑到初一学生的认知特点, 选取历史名题、数学趣题和诗歌中的数学问题等贯穿全教学设计.鼓励学生不断探索, 在探索中收获知识.以“鸡兔同笼”的多种解法为引导, 突出方程解法的优越性, 得出二元一次方程组的概念;用“老牛与小马的对话”以及诗歌中的“分赃问题”作为问题情境, 引导学生形成解决一般实际问题的策略, 让学生体会用二元一次方程组建构数学模型解决实际问题的思想方法;最后以《九章算术》中的问题激发学生思维, 引导学生面对新问题, 联想旧知识, 寻找新旧知识的联系, 获取新知, 从而让学生对方程组概念、方程组的应用进一步强化和加深.课后作业也紧紧围绕数学文化, 选取诗歌中的数学问题, 既延续本教学设计的风格, 又增加学生课后学习的兴趣, 拓宽了学生的数学视野.

这节课安排的内容比较多, 但考虑到本班学生的探究兴趣较高、思维较活跃, 实践证明这个教学设计是可行的, 并取得了不错的效果, 时间容量适合.但是, 这里也提出了一个新的问题, 过多数学历史与文化元素的加入可能会对学生的数学学习造成负担, 也可能使教与学双方忽视数学的核心概念、思想方法等数学的本质.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育《数学课程标准》 (实验) [S].北京:北京师范大学出版社, 2001.

[2]张维忠, 汪晓勤, 等.文化传统与数学教育现代化[M].北京:北京大学出版社, 2006.

[3]吴伟英, 周均华.课例“轴对称图形”及其点评[J].中学数学教学参考 (初中) , 2007, (10) .

生活中的一元二次方程 篇9

一、传播问题

例1甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感.(1)平均每天一个人传染了几人?(2)如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感?

【分析】假设平均每天一个人传染x人, 如果前一天只有1个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)人;前一天2个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)+(x+1) =2(x+1)人;前一天有a个人感染,1天后感染总人数上升为a(x+1)人;若前一天(x+1) 个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)(x+ 1)=(x+1)2人. 对于例1,1天后感染的总人数是(x+1)人,再过一天后感染总人数上升为(x+1)2人,即两天后的感染总人数;又过一天感染总人数上升为(x+1)3人,即三天后的感染总人数……;再过5天即7天后的感染总人数为(x+1)7人.

解:(1)设平均每天一个人传染了x人,

由题意得:(x+1)2=9,

解这个方程,得:

x1=2,x2=-4(x2=-4不合题意,舍去).

(2)(x+1)7=37=2 187(人).

答:(1)每天平均一个人传染了2人; (2)再经过5天的传染后,这个地区一共将会有2187人患甲型H1N1流感.(可见传播力量的强大)

练练身手1某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?

二、增长率问题

例2(2015·甘肃兰州)股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫作涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫作跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是().

【分析】本题的难点是跌停前的单价未知,而且单价经历了跌停,连续两次增长共三个阶段. 我们可以假设跌停前的单价为单位1,则跌停后单价为9/10,即第一个阶段后的结果;增长1天后的单价为增长前的(x+1)倍,为9/10(1+x),即第二个阶段后的总结果;增长2天后是1天后的(x+1)倍, 为9/10(x+1)2,即第三个阶段后的总结果. 因此可得方程:9/10(x+1)2=1,方程两边同乘10/9得:(x+1)2=10/9.所以选B.

【点评】无论是流感传播问题还是增长率的问题,都可以理解为每过一天,数量将是前一天的(1+x)倍,若原始数量是a,则一天后总数量是a(1+x),两天后总数量是a(1+ x)2,三天后总数量是a(1+x)3,……,n天后总数量是a(1+x)n,用乘积的形式表示若干天后的数量比用和的形式要简洁很多.

三、利润问题

例3百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8 000元利润,售价应定为多少, 这时应进货多少个?

【分析】上述问题中如果销售价按照单价50元的话,每个利润是10元,可以卖出500个,共可获利5 000元,无法完成利润8 000元的目标,所以只有改变单价并控制适当的单价,才可以完成获得利润8 000元的任务.设商品单价为(50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)-40]元,因为每涨价1元,其销售会减少10,则每个涨价x元,其销售量会减少10x个,故销售量为(500-10x) 个,根据每件商品的利润×件数=8 000,则应用(500-10x)·[(50+x)-40]=8 000.

解:设每个商品涨价x元,则销售价为 (50+x)元,销售量为(500-10x)个,由题意得:(500-10x)·[(50+x)-40]=8 000,

答:要想赚8 000元,售价为60元或80元.若售价为60元,则进货量应为400个;若售价为80元,则进货量应为200个.

四、面积问题

例4一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条小渠,如果小渠的宽相等, 而且要保证余下的耕地面积为9 600 m2, 那么水渠应挖多宽?

【分析】这类问题的特点是,挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽度有关, 而与渠道的位置无关. 为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起(最好靠一边),如图(2)所示.那么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x)m, 宽为(64-4x)m;

解:设水渠的宽为x m,由题意得:

解得:x1=1,x2=96(x2=96不合题意,舍去).

答:水渠的宽为1 m.

练练身手2 (2015·四川自贡)利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.

参考答案

练练身手1:

解:设每个支干长出x个小分支,则主干数量为1,支干数量为x,小分支数量为x2,由题意得:1+x+x2=91,

解得:x1=-10,x2=9(x1=-10不合题意, 舍去).

答:每个支干长出9个小分支.

【点评】本体是传播类的问题,但与例1甲型H1N1流感病毒的传播问题也有些许差别,流感传播者第一天传染后,第二天第三天还继续参与传播;而支干传播问题, 主干传播给支干后,主干就不参与继续传播,只由支干来传播给小分支.

练练身手2:

解:设垂直于墙的一边为x米,由题意得:x(58-2x)=200,解得:x1=25,x2=4.

经检验x1=25,x2=4都符合题意.

∴ 另一边长为8米或50米.

“一元二次方程的应用”教学初探 篇10

无论对哪一点知识的学习,都应从基础抓起,学生对应用题的畏难情绪实际上源自于对题目的不理解,简单的应用题背景较简单,语言较直接,容易使学生领会如何进行审题,但是销售问题因为存在众多的价格,就极易使学生产生混淆,所以必须学会理顺其中的量及他们之间的关系.如:

例1某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降价一元,商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元?

这道例题字数大约有100多个字,如果学生不善于从这100多个字中提取出有用的信息,就会干扰正常的做题思路,我在教学中,让学生通过反复阅读,把关键的、有用的信息画下来,最后发现仅有50个字不到(见例题中的划横线部分)在提取出关键信息后,还要学会分析这些信息的具体含义,如第一句含义为“20件的利润为40元”,第二句告诉我们“市场降价的目的”,这句话在决定最后的结果时会用到,第三句是本题的核心,说明“单价虽然低了一元,但是销售量却多出了2件,最后的利润还是有可能提高的”,最后一句话说明利润为多少,直接决定着最后的等量关系.

这样逐字逐句地引导学生来进行题目的分解,有利于帮助学生正确列出关系式,比如在学生跟着我读完例1后,我让学生尝试用同样的方法来阅读例2.

例2某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,要使月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?

学生很快就画出了题目中的重点信息,并且很快发现两个题目的不同,如果不去充分挖掘重点,而是一味地滥读,就不会提高解题的效率.所以列方程解应用题,弄清问题是关键,说到底,会不会读题是解决问题的首要条件.

二、列出基本式,教会学生如何审题

看到这里,可能大家会有所疑问:读题和审题有必要再分开来吗?我认为:如何读题和如何审题是有所不同的,读题要求是题目要看懂,审题的要求是题目要会解,会解题目就必须要列出方程,一般的方程应用题都是有它的基本式的,如行程问题中的基本式就是:路程=速度×时间.在销售问题中,基本式是:销售利润=销售量×单位利润,这里的销售量很好理解,单位利润就需要学生因题而异,搞搞清楚,一般来说,单位利润=单位售价-单位成本,比如例1中直接告诉我们降价之前的销售量和单位利润,降价之后的销售量和单位利润就可以在此基础上去变化,“降价1元,多卖2件”说明单位利润就减少1元,但销售量却增加了2件,这样在设出了衬衫的单价应降x元后学生很快列出了方程:(40-x)(20+2x)=1200.

在前面我们已经提到,学生在读完例2后发现两题有所不同,主要区别就是在单位利润上,第一题直接给出而第二题却绕了一下弯子,如果学生基本式很清楚的话,实际上很快就发现第二题涨价前的单位利润=单位售价-单位成本,即50-40=10,然后按照“销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克”去做变化,很快也会设出涨了x元,列出方程:8000=(10+x)(500-10x).

三、解出未知数,教会学生如何取舍

一元二次方程的应用题最后的结果往往是两个,到底最后符合题意的结果是几个,需要我们认真的进行取舍,当然前提是一定要按照解方程的步骤把方程解完,如果方程的两个解是一正一负,问题还不大,通常是把负值舍去,但如果出现两个正值,就需要进行权衡,如例1中最后的结果是10和20,就要根据我们画出的第二句关键语段来取舍,题目中说“为了扩大销售,增加盈利”,根据消费者的心理,当然是降价20元时销售量大了,所以应留20而舍10;而例2中的结果就不一样,因为题目中没有这样的限制,所以最后解出的两个结果10和30都符合题目的解.大部分同学认为,到此为止,两道题算是解完了,实际上并非如此,如果稍加注意,大部分同学会发现,例2所设的未知数并非要答的结果,因为题目问的是销售单价应定为多少,而我们设的是销售单价涨了多少,所以最后的售价应为50+10=60和50+30=80.可见,在读懂题目,列出方程后,如果在最后的结果上不小心弄错,那可就真是功亏一篑了.

四、提出新问题,教会学生如何拓展延伸

销售问题是一元二次方程中的重点,除了其数量繁多,关系复杂外,更因为其和二次函数的密切关系,所以在实际教学当中,如果仅限于解决当前问题就止步不前显然是不够的,在实际操作中,可以让学生主动去探索,去代入特殊值尝试,让他们去发现利润的最值问题,从而引出方程和函数的关系,引起学生的注意,为二次函数的学习埋下伏笔,这样就在学习中起到了承上启下的作用,从而进一步贯彻了新课标的精神.