实数基本定理

实数基本定理（精选三篇）

实数基本定理 篇1

本文断言: 康托尔( G. Cantor,1845—1918) 在一百多年前提出的“实数集不可数定理”和其对角线法都是严重错误的; 实数集肯定是可数的.

1873年12月7日被认为是集合论的诞生日,这一天康托尔写信给戴德金,说他成功地证明了实数集合是不可数集; 他证明的方法就是有名的对角线法.

一百多年过去了,集合论诞生了多少天,“实数集不可数定理”就流传了多少天,就误导了人类多少天; 目前,国际数学界已经把严重错误的“实数集不可数定理”,印刷在各种权威的数学书籍中,广泛传播.

本文的目的就是: 否定实数集不可数定理,证明实数集可数定理.

否定的方法就是提出客观存在的无限多个反例,说明对角线法漏洞无穷,严重错误; 因此否定实数集不可数定理. 证明实数集可数定理则是使用了完全初等的等差数列法和基数减少法.

毫无疑问: 如果不纠正康托尔的严重错误,必将产生也早已产生多米诺效应,导致一系列其他错误,如把许多可数集也“证明”成了不可数集,严重阻碍了许多数学真理的问世,其后果不堪设想; 反之,则必将引起数学的改革和进步.

二、否定实数集不可数定理

康托尔的对角线法和“实数集不可数定理”都是严重错误的,证明如下:

证明因为康托尔是用对角线法证明实数集不可数定理的,在其对角线法中,首先是将开区间( 0,1) 的全体有穷小数都改写成无穷小数,改写方法如:

0. 5 = 0. 4999…

列出数表并与自然数集{ 1,2,…} 建立一一对应:

用数表( 2. 1) 对角线上的数字a11,a22,a33,…构造了一个所谓的新小数: 就说这个新小数( 2. 2) 不在数表( 2. 1) 中,不能与自然数集 { 1,2,…} 建立一一对应,因此开区间( 0,1) 的实数不可数, 进而推出实数集不可数定理.

康托尔的这个对角线法根本就是严重错误,漏洞无穷!

因为如果可以将有穷小数写成无穷小数,那么就同样可以将无穷小数写成有穷小数.

例如可以将0. 5写成0. 49,就可以将0. 51写成0. 5.

例如可以将0. 5写成0. 499,就可以将0. 501写成0. 5.

例如可以将0. 5写成0. 4999,就可以将0. 5001写成0. 5.

……

例如可以将0. 5写成0. 4999…,就可以将0. 50…01写成0. 5.

只许0. 5写成0. 49,不许0. 51写成0. 5; 只许0. 5写成0. 499,不许0. 501写成0. 5……只许0. 5写成0. 4999…,不许0. 50…01写成0. 5. 总之,只许有穷小数写成无穷小数,不许无穷小数写成有穷小数. 这些没有道理的错误观念,就存在于康托尔的对角线法中,存在于数表( 2. 1) 中.

因为

0. 49 = 0. 5 - 0. 01

0. 499 = 0. 5 - 0. 001

……

0. 4999… = 0. 5 - 0. 00…01

所以将0. 5写成0. 4999…,就等于从0. 5减去一个无穷小量Δx = 0. 00…01.

因为

所以将0. 50…01写成0. 5,也等于从0. 50…01减去一个无穷小量Δx = 0. 00…01.

因为对于每一个从有穷小数到无穷小数的改写f,如f: 0. 6 → 0. 5999…都肯定存在一个从无穷小数到有穷小数的反例￢f:

注: 有穷小数0. a1…an中,an∈ { 1,2,…,9} .

每一个无穷小数0. a1…an0…01都能够被改写成有穷小数0. a1…an,都能够成为反例; 无穷多的有穷小数0. a1…an 都被康托尔 的数表 ( 2. 1) 遗漏了,而所谓新 小数0. a11a22a33…更是根本不可能存在.

所以康托尔的对角线法漏洞无穷,严重错误,因此实数集不可数定理是严重错误的.

证毕.

三、实数集可数定理

实数集是否可数,就是看实数集能否与可数无穷集n = { 1,2,…} 建立一一对应,能就可数,不能就不可数. 实数集的正整数就是自然数,显然可数,因而其负整数也可数,0也可数,剩下的就只有整数之间的小数了. 因此证明实数是否可数,关键就在于证明其小数也可数,也即只要证明开区间 ( 0,1) 的全体小数可数即可. 下面就用等差数列法、基数减少法,二次证明实数集可数定理.

定理 实数集是可数的.

证明( 一)因为实数轴的点可以从左到右的排列成点集,所以实数集的数可以从小到大地排列成数列,因此实数集开区间( 0,1) 的数,可以按照 < 关系排列为等差小数序列an,其通项公式为:

因此无论等差小数序列的首项和公差( 0. 1)r多么小, 其第n项an必与可数无穷集{ 1,2,…} 的第n个自然数一一对应.

例如开区间( 0,1) 的9个小数{ 0. 1,0. 2,…,0. 9} 都能够与可数集{ 1,2,…,9} 一一对应,开区间( 0,1) 的99个小数{ 0. 01,0. 02,…,0. 99} 都能够与可数集{ 1,2,…,99} 一一对应……; 开区间( 0,1) 的999…9个小数{ 0. 0…01,0. 0…02,…,0. 999…9} ,总能与可数无穷集{ 1,2,…,999…9} 一一对应:

所以开区间( 0,1) 的全体小数是可数的,因此实数集是可数的. 证毕.

证明( 二)因为实数集开区间( 0,1) 是以纯小数为元素的非空集合,所以可以设开区间( 0,1) 为一个集合且记为: R = { rn| 0 < rn< 1,n = 1,2,…} ,元素rn可为任一纯小数.

因为集合R减去元素r1得差集R1= { R - r1} ,

差集R1减去元素r2得差集R2= { R - r1- r2} ,

差集R2减去元素r3得差集R3= { R - r1- r2- r3} ,

……

当集合R的基数| R|被一一减少到0,也即集合R被一一减去其全部元素rn而成为空集 全体差集族{ Rn} 的元素即差集Rn就与开区间( 0,1) 的全体小数rn建立了一一对应

f: Rn→ rn.

因为差集族{ Rn} 是可数的,能与可数无穷集{ 1,2,…} 建立一一对应,所以开区间( 0,1) 的全体小数rn是可数的, 因此实数集是可数的. 证毕.

四、结论

结论1实数集是可数的! 不可数的实数是不存在的!

结论2康托尔的对角线法和实数集不可数定理都是严重错误的.

摘要：用无限多个反例否定了康托尔的对角线法和实数集不可数定理;用完全初等的等差数列法和基数减少法证明了实数集可数定理.

实数的连续性公理证明确界存在定理 篇2

定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。

定理二单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。

定理三确界定理 在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。

定理四区间套定理 设 是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。

定理五Borel有限覆盖定理 实数闭区间 的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。

定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理 有界数列必有收敛子数列。

定理七Cauchy收敛原理 在实数系中，数列 有极限存在的充分必要条件是：任给 >0，存在N，当n>N，m>N时，有。

定理一 — 三是对实数连续性的描述，定理四 — 定理六是对实数闭区间的紧致性的描

述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：

定理一 定理二：设数列 单调上升有上界。令B是 全体上界组成的集合，即

B=，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。事实上，由 有上界知B不

空。又 单调上升，故，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又，则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理，存在唯一的 使得对任意，任意，有。下证。事实上，对，由于，知，使得。又 单调上升。故当n>N时，有。注意到，便有。故当n>N时有，于是。这就证明了。若 单调下降有下界，则令，则 就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则

。定理二证完。

定理二 定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集

X非空，且有上界。则，使得对，有。又 R是全序集，对，与 有且只有一个成立。故 ,有 与 有且只有一个成立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛

盾。故，使得 不是X的上界，是X的上界。则 使得。

用 的中点 二等分，如果 是X的上界，则取

；如果 不是X的上界，则取。继续用

二等分，如果 是X的上界，则取 ；如果

不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列

。其中 都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且

单调下降有下界（例如）。并且（当 时）。由 单调上升

有上界知有 存在，使得。下证。①事实上，对，当 时有。又 都不是X上界 对每一个，使得。故对，使得。②若，使得，则由 知。故，使得。又 都是X的上界，故对 有。而，故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X

有上确界存在。

定理三 定理四：由条件知集合 非空，且有上界（例如）。故由确

界定理知A有上确界，记为。则对，有。同理可知集合有下确界，记为。则对，有。又，由上可知。两边取极限，令 有。又显然。否则

由于 是A的上确界，则，使得 ；同理，使得，则有

。又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有

。故有，矛盾。故必有。故，记为r。则对，有。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一，使得

。由于 对一切n成立，故 ,令，得，与 矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r

包含在所有的区间里，即。

定理四 定理五：用反证法。设E是区间 的一个覆盖，但 没有E的有限子覆盖。

记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是 的E的有限子覆盖，即 有

E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为。二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖，记为。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列，满足(i)；

(ii)。故 构成一个区间套，且每个 都没有

E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。又

由覆盖的定义有，使得，即。又由上区间套定理的证明

可知，其中。故，使得，使得。设，则，即有 覆盖。这与 没

有E的有限子覆盖的构造矛盾，故 必有E的有限子覆盖。

定理五 定理六：设数列 有界，即实数 a,b，且a

反证法，如果 无收敛子数列，则对，使得只有有限

个。（如果不然，即，对，有 中有无限

个。选定，再选，使。这是办得到的，因

为 包含数列的无限多项。再取，使。如此继续下

去，便得到 的一子数列。令，则有。

又，与反证假设矛盾）。又以这样的作为元素组成的集合显然是 的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知 有E的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含 的有限项，有限个有限的数相加仍为有限

数，故 只包含 的有限项。这与 矛盾，故 必有收敛子数

列，即有界数列必有收敛子数列。

定理六 定理七：必要性：设在实数系中，数列 有极限存在，则，使得只要，有（记）。因此只要，就有

。必要性得证。

充分性：设在实数系中，数列 满足：，当

时，有，即 是基本列。先证 是有界的。事实上，取，则，使得当 时，有。取定一，则

有。取，则有。这就证明了 是有界的。再证明 有极限存在。由

Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知 有子数列，使得 存在，记为a。下证

。事实上，由题设知，当 时，有。

又，只要，就有。取，则只要，选取，就有。这就证

明了。即 有极限存在。充分性得证。

综上，定理七证完。

定理七 定理一：对任意给定的实数R的分划A|B，A、B非空，可任取点

。又 分划满足不乱。用 的中点 二等分，如果，则取 ；如果。则取

。（分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B。故

或。）继续用 二等分，如果，则取

；如果，则取。如此继续下去，便得到两串序列。其中 单调上升有上界（例如），单调下降有

下界（例如），并且（当 时）。下面用柯西收敛原理来证明

存在。事实上如果不然，则，，有。

不妨设，由 单调上升有。对 上式都成立

（），取，并把所得的不等式相加得。其中

k为不等式的个数。故，当 时。而由N的取法可知对每一个

k都有相应的N’与之对应，即有相应的 与之对应。故对，使得

。即 无界，与 有界矛盾。故 存在，记为r。下证对，有。这等价于证明对，有。事实上，由 知，使。故。而对，由

知。故，使。从而，这就证明了，即证明了实

数基本定理。

综上，这就证明了这七个定理是等价的。而从证明过程来看：定理二 定理三的方法

可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定理一的方法可运用于定理七 定

理二，定理二 定理四，定理四 定理一。而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小

数证明了实数基本定理。而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。事实上我们还可

以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都

实数、勾股定理中考试题集粹 篇3

2. (沈阳市)估算+3的值().

A. 在5和6之间B. 在6和7之间

C. 在7和8之间D. 在8和9之间

3. (浙江)沈老师在讲“实数”时,画了一个图(如图2):以数轴上单位长度的线段为边作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形对角线的长为半径画弧,交数轴于点A.作这样的图是用来说明 .

4. (荆州市)有一个数值转换器,原理如下:

当输入的x为64时,输出的是().

A. 8B. 2C. 2 D. 3

5. (杭州市)在图3中的两个椭圆内各有一些实数,请你从中分别选出2个有理数和2个无理数,再用“+､-､×､÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算,使得运算的结果是一个正整数.

6. (北京)定义新运算“☆”:对于任意实数a､b,都有a☆b=b2+1.例如,7☆4=42+1=17.那么5☆3= ;当m为实数时,m☆(m☆2)= .

7. (无锡市)在实数原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下:当a≥b时,ab=b2;当a

8. (嘉兴市)定义一种对正整数n的“F ”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为其中k是使为奇数的正整数.并且运算重复进行.例如取n=26,则:

若n=449,则第449次“F ”运算的结果是.

9. (大连市)试先用计算器计算:,,,…

请你猜测的结果为 .

10. (南昌市)请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中(如图4),画出1个所有顶点均在格点上,且至少有一边长为无理数的等腰三角形.

11. (齐齐哈尔市)如图5,在网格中有一个四边形OABC.

(1)请你画出此图案绕点O沿顺时针方向旋转90°､180°､270°的图案,你会得到一个美丽的图案,千万不要将阴影位置涂错.

(2)若网格中每个小正方形的边长为1,旋转后点A的对应点依次为A1,A2,A3,求四边形AA1A2A3的面积.

(3)这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性,请写出这个结论.

12. (山西)关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容——勾股数组(也叫勾股数),在课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数”.下面是确定勾股数组的两种方法.

方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=(m2-1)和c=(m2+1)是勾股数组.

方法2:任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数组.

(1)从以上两种方法中任选一种,证明以a､b､c为边长的三角形是直角三角形.

(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:

(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图6所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都种一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边上都植树6棵,那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵?

参考答案

2. C 提示:我们先把问题的着眼点放在带根号的无理数上,找到两个相邻的整数,使这个无理数处在这两个整数间.由16<24<25,故有4<<5,然后再利用不等式的基本性质进行恒等变形,得出4+3<+3<5+3,从而容易发现+3是在7和8之间的一个无理数,故选C.

3. 略.提示:本题是表明如何在数轴上找到表示无理数的点.从所给的图形容易知道正方形的对角线长为,根据同圆的半径相等可知点A对应的实数为.这从另一个侧面说明数轴上的点所表示的数并不都是有理数.

4. B

5. 答案不唯一.例如:3+(-6)-(-×)=3.

6. 10 26

7. -2 提示:关键是理解提供的运算法则,根据数之间的大小关系选择相应的运算.(1x)·x-(3x)=(12)·2-(32)=1×2-22=-2.

8. 8 提示:首先弄清楚“F ”运算的意义,然后对正整数n分情况(奇数､偶数)循环计算.由于n=449为奇数,应先进行F①运算,即3×449+5=1 352(为偶数),需再进行F②运算1 352÷23=169(奇数),再进行F①运算得到3×169+5=512(为偶数),再进行F②运算512÷29=1(奇数),再进行F①运算得到3×1+5=8(偶数),再进行F②运算得到8÷23=1(奇数),再进行F①运算得到3×1+5=8(偶数)……这样循环计算一直到第449次“F ”运算,得到的结果为8.(反思上面运算,第1次运算结果为1 352,……,第4次运算结果为1,第5次运算结果为8,第6次运算结果为1,第7次运算结果为8……可以发现从第6次运算结果开始循环,且奇数次皆为8,偶数次皆为1,而第449次是奇数次,结果应为8)

9. 10n 提示:这是一道关于算术平方根的规律探索型问题,容易计算出,,的结果分别为10,100,1 000,从而猜想=10n.

10. 如图7.提示:本题答案不唯一,只要符合要求即可.

11. (1)画出图案如图8.画图时注意旋转中心为点O,找准旋转90°､180°､270°后点A､B､C所处的位置,标上相应的字母,另外还应注意是按顺时针方向进行旋转的.

(2)观察画出的旋转后的图形,可以知道:四边形AA1A2A3的面积等于四边形BB1B2B3的面积减去4个△ABC的面积,又因四边形BB1B2B3为正方形,所以四边形AA1A2A3的面积为(3+5)2-4××3×5=34.

(3)这个著名的结论就是勾股定理,即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,也即AB2+BC2=AC2(∠B=90°).

这可由(AB+BC)2=AC2+4××AB×BC证得.

12. (1)选取方法1给出证明.

由给出的a､b､c的表达式及m的取值范围容易判断c最大,因为c2-b2=(m2+1)2-(m2-1)2=(m2+1)+(m2-1)(m2+1)-(m2-1)=m2·1=a2,变形得a2+b2=c2,所以以a､b､c为三边长的三角形是直角三角形.

(2)略.

(3)由条件可知三角形的三边长均为整数米.根据每个三角形顶点处都种一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1 m,且每个三角形最短边上都植树6棵,可知最短直角边长为5 m.从表格中不难发现另外两条边长分别为12 m､13 m,因而一个直角三角形的边上植树为6+13+14-3=30(棵).故四个直角三角形的边上共需植树30×4=120(棵).