对立统一的波粒二象性

2024-06-29

对立统一的波粒二象性（精选五篇）

对立统一的波粒二象性篇1

(一) 经典物理中的粒子与波

在经典物理中, 一般认为波和粒子存在着巨大的差别, 那么这两者之间的不同之处到底在什么地方呢?

在经典物理中, 一般认为粒子是在空间中独立离散的存在的物质, 并且具有一定大小和质量, 比如电子的质量为9.10938215 (45) ×10-31千克, 虽然很小, 但是我们可以通过实验间接地测量出来。此外, 当粒子在某一方向上受到力的作用时, 该粒子的速度大小会发生改变, 也就是说, 力在此时起到了阻碍或者加速运动的作用, 改变了粒子的运动状态。而当两个粒子碰撞时, 会产生动量的交换, 若是在非弹性碰撞的条件下, 还会有动能的损失。

与粒子不同, 波是振动的传播, 一般分为两种, 一种是要依靠介质而存在的机械波, 另一种为不需要介质也可以存在的电磁波, 两者都无法在空间中占据一定的体积, 因此也没有质量这个概念。由于波是一直运动着的, 因此无法相对于某一参考系保持相对静止状态, 虽然波一直在保持运动, 但是其运动状态又与粒子的运动存在着非常大的不同。

(二) 量子力学中的波粒二象性

通过上节的描述和对比, 我们发现波和粒子无论在存在形式还是运动状态上, 都存在着明显的不同, 这也就是说在经典力学中, 波和粒子是完全不同的两个物理现象。接下来我们再来讨论一下在量子力学中, 波粒二象性在哪些方面体现了粒子的特征, 在哪些方面又体现了波的特征。

在量子力学中, 我们认为一切可承载能量的载体都是粒子, 比如说在经典物理范围内的粒子, 以及在量子力学中才体现出粒子性来的光子, 此时的粒子, 已不再要求其必须具有一定的体积和质量。

由于没有绝对的静止, 所以根据德布罗意的假设“实物粒子也具有波动性”可以推知, 一切的粒子都存在着波动, 从而经典物理中相对静止的观念不得不被放弃。在量子力学中, 一切的粒子的行为具有了波长, 频率, 但是此时的动量与能量的表达式为

其中为普朗克常量, 这是在经典物理中, 无论波还是粒子从未存在过的, 因为这两个公式将粒子运动独有而波动没有的动量, 波动独有的而粒子运动所没有的频率和波长统一了起来。由式子 (3) 可以看到, 由于在经典物理一般处理的是动量比较大的物质, 而普朗克常量又是一个很小的数值, 因此其波动性没能体现出来。虽然粒子运动时具有了波的行为, 会产生干涉和衍射现象, 比如劳厄衍射光栅实验以及戴维逊和汤姆逊利用晶体所做的电子束衍射实验所验证的那样, 但是, 在受到力或者与其他粒子相互作用时, 粒子依然保持着经典物理中粒子的特点, 其运动状态 (比如说动量和能量) 依然会发生改变, 比如在康普顿实验中我们知道, 经过石墨散射后的X射线的波长会变长, 能量相应的也会发生变化, 这就使我们不得不放弃经典物理中波的传播速度和频率不会改变的法则。

通过以上讨论, 我们发现波粒二象性既没有完全采用粒子的全部性质, 也没有全部采用波的全部性质, 在存在形式上保留了粒子离散性的特点, 在运动形式上保留了波动的特点, 但是在受力或者与其他粒子相互作用时又保留了粒子的特点。除了在两个经典物理概念中各自继承的概念外, 还通过公式 (3) 、 (4) 等概念, 扩展了我们对物理学的认识, 公式 (3) , (4) 也是量子力学超越经典物理, 并将粒子性质与波动性质统一起来的关键点。

摘要：波粒二象性是量子力学中非常重要的概念之一, 本文通过对高中物理中所学到的经典物理中波和粒子这两个物理概念的的梳理与比较, 分析了该如何正确的理解波粒二象性这一概念。

关键词：波,粒子,经典物理,波粒二象性,量子力学

参考文献

对立统一的波粒二象性篇2

“对象性活动”原则不仅是<1844年经济学哲学手稿>的基本哲学原则,而且是马克思思想转变的.契机.正是在这一原则的基础上,马克思把人与自然的关系纳入到社会历史领域,从而既科学地理解了人和自然,又揭示了人与自然、自然与历史的现实统一性.

作者：牛菲陈爱萍作者单位：安徽师范大学,经济法政学院,安徽,芜湖,241000 刊名：中国矿业大学学报(社会科学版) 英文刊名：JOURNAL OF CHINA UNIVERSITY OF MINING & TECHNOLOGY（SOCIAL SCIENCES）年，卷(期)：2003 5(2) 分类号：B0-0 关键词：对象性活动人与自然统一

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从光的波粒二象性谈起篇3

光是粒子还是波？科学界争论了几百年，直到20世纪20年代提出“波粒二象性”后，才告一段落。然而波和粒子的解释相互不协调，自量子论诞生以来，许多物理学家和哲学家都顽强地拼搏过这个问题[1]，遗憾的是都无果而终。虽然“光具有波粒二象性”已被人们广泛接受，但笔者认为，这仅是一种限于当时科技和认识水平而被迫妥协的结果，许多人将它视为一个权宜之计，而不是一个终极的答案。

1. 光束与单光子在干涉机制上的矛盾

在科学界，杨氏双缝干涉实验被视为光具有波动性的关键证据，单粒子的双缝干涉实验被视为粒子具有波动性的有力证据。

理性比较光束和单光子的双缝实验不难发现，前者的解释是通过双缝后的不同光子之间发生干涉，而后者的解释是同一个光子同时通过双缝后与自身干涉。显然，对于同一套实验装置产生的干涉条纹出现了两种完全不同的干涉机制。

难道自然界为我们准备了多套干涉方式，以供我们根据需要来任意选择吗？面对上述两种实验事实，显然我们已经陷入干涉机制的解释困境之中。

2. 光的波粒二象性在适用范围上的矛盾

现代物理学认为，对于光的波动性和粒子性，它们的适用范围是不同的，即讨论光与物质（物体）相互作用时粒子性有效，讨论光在空间中的运动时波动性有效。

现代物理学还告诉我们，不论任何物体，构成物体的分子或原子之间存在着间隙、原子核与电子之间也存在间隙等等。总之，一个物体就是由悬浮于空间中的各级粒子通过不同作用关系逐级构成的一个松散结构的聚合体。

如上所述，根据接触的相对性原理[2]可知，任何物体或粒子间的相互作用都是在一定间隙下通过场传递的。也就是说，无论一个光子与某个物体作用与否，光子始终处于空间之中。而无论物体内的空间还是物体外的空间，它们都是整个连续空间的一部分，光的粒子性和波动性在空间上的精确分界线应在哪个位置呢？显然，从连续空间的角度看，这个分界线并不存在。

可见，“光具有波动性质”的结论是令人怀疑的。

3.对普朗克“谐振子”中的“能量子”的推导

1900年，普朗克从适用于高频的维恩位移定律和适用于低频的瑞利-琼斯分布公式，拟合出了普朗克黑体辐射公式。为了给出公式的解释，普朗克认为，产生电磁波的源可看成是“谐振子”，进而假设谐振子的振动能量（Er）只可能取离散值，即：Er=nhv0=nε0

与此不同，1905年爱因斯坦为了解释光电效应，假设电磁波本身是量子化的，即光由粒子组成，称之为光子。光子的能量（Ev）可表示为：Ev=hv

笔者认为，“谐振子”的概念是普朗克为理解他的黑体辐射公式而提出的，它未必是一种真实的存在。因为“谐振子”无法被直接观测，实际上我们是通过观测“谐振子”发出的光子来间接理解它的。换言之，“谐振子”的能量Er是通过它发出的光子的能量Ev反映出来的。可见，Er与Ev是同一个物理量。于是有：Ev=Er=nε0=hv

上式中，ε0不再是“谐振子”中的能量子，而应理解为光子中的能量子。由此可知，光子的能量Ev是能量子ε0的整数倍。换言之，光子是由若干能量子ε0构成的，光子所含能量子的数量越多，光子的能量就越高，在真空中它的转动频率也越高。

可见，光的本性是粒子。光的所谓“波动性”的粒子解释详见笔者撰写的《系统相对论》相关章节，限于篇幅，不作赘述。

参考文献

[1] 杨桂林，江兴方，柯善哲.近代物理[M].北京：科学出版社，2009：18-19.

[2] 刘泰祥.系统相对论[M].北京：科学技术文献出版社，2012：18.

作者简介：刘泰祥（1969～）山东莱芜人，高级工程师，研究方向：理论物理。

责编/庞贝

对立统一的波粒二象性篇4

关键词：波粒二象性,互补性,等价性

关于量子力学的解释问题, 历史上最早且最著名的就是以玻尔为首的哥本哈根解释了。在哥本哈根学派内部, 玻尔和海森堡就波粒二象性问题曾进行过激烈争辩。虽然人们公认在1927年以后, 哥本哈根学派成员的思想得到统一, 都赞同玻尔的互补性原理, 但1999年Beller却指出, 玻尔和海森堡之间的这种“意见的一致”是从来都没有达到过的。[1]那么, 在哥本哈根解释内部, 存在着关于波粒二象性怎样的分歧呢?探索这一点, 有助于人们更加深刻地了解哥本哈根学派内部思想的发展轨迹, 更有助于了解海森堡的物理学哲学思想。

一量子力学中的波粒两难问题

我们知道, 量子力学最初的两种形式, 海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学, 是为了概括相同领域中的经验而创立和表述出来的两种理论, 但它们的基础假设却完全不同, 矩阵力学是以所观察到的光谱线分立性为其出发点的, 所强调的一个要素是非连续性。虽然矩阵力学并不利用轨道概念, 放弃了时间和空间中的经典描述, 但归根结底它是一种以颗粒为其基本概念的理论。而波动力学却正好相反。它利用的是微分方程, 这是一种数学分析的处理方法, 是以经典力学定律的推广为其出发点的, 它所强调的一个要素是连续性。这是一种以波为其基本概念的理论。因此, 量子力学从一创立就存在着这两种鲜明对照的理论, 就存在着波和粒子的不同假设的困难。而之后, 随着理论的发展, 争论则关注于电子及微观粒子的波粒二象性上。

1926年, 薛定谔理论刚刚问世不久, 波恩就在一篇题为《论碰撞过程的量子力学》的文章中第一次提出几率诠释。他把碰撞表示为波的散射, 但是把散射波波幅的平方解释为在一个特定方向找到偏斜电子的几率。按照这种诠释, 必须承认微观的理论只能是一种几率性的理论, 波幅的平方就确定为发现光量子的几率密度。波恩用一个态的几率表达了波动力学的精髓:“粒子的运动服从几率定律, 而几率本身则按照因果律而传播。”[2]417

虽然波恩运用了波动力学, 但他并不同意薛定谔的波动诠释, 其根本原因就是因为对电子本质的粒子性理解:“在这一点上我无法同意他。这和这件事是有关系的:我的讲习会和弗兰克的讲习会是在哥丁根大学的同一座楼里。弗兰克及其助手们关于电子碰撞的每一个实验, 在我看来都是电子的粒子本性的一个新的证明。”[3]“他[薛定谔]相信……他已经完成了向经典思维的回归, 他不把电子看成一个粒子而看成由它的波函数的平方|ψ|2给出的一种密度分布。他论证说, 粒子概念和量子跃迁的概念应该完全抛弃;他在这种信念中从来没有动摇过……然而我却每天都在弗朗克的原子碰撞和分子碰撞的精彩实验中亲眼看到粒子概念的富有成果性, 从而确信粒子是不能简单地被抛弃的。调和粒子和波的一种方式必须被找出。”[2]419

总之, 虽然波恩运用了波动力学的体系, 但在他的几率诠释中, 粒子被设想为古典意义下的质点, 它在每一时刻既具有确定的位置, 又具有确定的动量。这成为波粒二象性争论的基础之一。

二玻尔和海森堡之争:1927年

海森堡和玻尔关于波粒二象性的争论, 主要体现在1927年关于海森堡提出的测不准关系的基础的争论上。玻尔后来阐发了他的互补原理, 在其中也详细阐述了自己关于波粒二象性的观点。

(一) 关于测不准关系的争论

1927年, 海森堡运用狄拉克的矩阵变换理论导出了不确定关系, 提出了测不准原理。同时人们也开始把薛定谔的波包理解为“几率包”。海森堡认为, 表示电子的波包不可避免地在它的周期运动中向空间蔓延, 波包表示了粒子能够位于其中的空间的极限, 波包在空间中的蔓延现在表示了电子位置的不确定性。在1927年9月的科摩会议讨论中, 海森堡强调了在描述测量自由电子的运动时“波包的还原”。当时这种思想遭到了爱因斯坦和薛定谔等物理学家的反对, 但到20世纪20年代晚期就被广泛接受了。1927年9月, Ehrenfest表明, 如果一个粒子受到作用力, 波包的中心就按照电粒子的经典方程运动。

值得注意的是, 海森堡在测不准原理的推理过程中运用了爱因斯坦-德布罗意关系式λ=h/p或υ=E/h。这些关系是显然把波动属性同粒子属性联系起来, 因而表示了波粒二象性。这就引起了海森堡与玻尔之间的争论的基础。

海森伯的测不准原理得到了玻尔的支持, 但玻尔不同意他的推理方式, 认为他建立测不准关系所用的基本概念有问题。玻尔的观点是, 测不准关系的基础在于波粒二象性, 在玻尔看来, 测不准原理推导方法中的爱因斯坦-德布罗意方程隐含地预先假定了波粒二象性, 整个理论的终极基础乃是波粒二象性, 或者更一般地说, 是对物理现象的两种互不相容的描述的必要性。但海森堡却相反地认为测不准关系是数学形式体系的逻辑推论, 波粒二象性并不是理论的必要前提。海森伯说:“我们已经有了一个贯彻一致的数学推理方式, 它把观察到的一切告诉了人们。在自然界中没有什么东西是这个数学推理方式不能描述的。”海森堡确信数学方案能够预言每一个实验, 因此他觉得, 是用词语“波动”还是“粒子”来描述实际发生的事情, 那是无关紧要的。

粒子和波的二象性问题由于测不准原理和几率解释在其他物理学家中也引起了分歧。一方面, 1927年10月, 在索尔维会议上, 波恩和爱因斯坦从“量子力学的几率观点”把波解释为“几率波”来解释波粒二象性困境。而正如海森堡后来指出的, 当单个电子能用三维空间中的波 (几率) 包描述时, 通常量子力学的波动方程描述了一个抽象多维构造空间而不是通常三维空间中的系统。[2,4]因而这种波不是一种真实的实在。另一方面, 因为电子不能被分配以一个恰当定义的轨道, 许多物理学家并不认为电子能被描述为“粒子”或“材料点”。

整个20世纪30年代, 薛定谔、普朗克和von Laue都在继续争论粒子的概念没有物理意义, 认为量子力学不能被看作是一个最后的或者是完备的理论。正如薛定谔后来解释的, “对我来说, 放弃轨道 (path) 就像放弃粒子一样”[5]。而波恩和海森堡坚决认为ψ函数的统计解释已经给量子力学的发展带来了满意的结论。在他们1927年在索尔维会议上合写的一篇文章中, 他们宣称:“我们把量子力学看作是一个完备的理论, 它的基本物理学和数学假设不再是敏感要修正的。”[6]虽然电子不能有一个恰当定义的轨道, 它仍然是可能的, 海森堡坚持把电子当作是“粒子”谈及, 它的运动, 在人们还能谈及它的运动的范围内, 被量子力学的波动方程描述。

(二) 玻尔的互补性原理

1927年9月16日, 玻尔在科摩会议上作了《量子公设和原子理论的新进展》的演讲, 提出了著名的互补原理。他指出, 在物理理论中, 平常大家总是认为可以不必干涉所研究的对象, 就可以观测该对象, 但从量子理论看来却不可能, 因为对原子体系的任何观测, 都将涉及所观测的对象在观测过程中已经有所改变, 因此不可能有单一的定义, 平常所谓的因果性不复存在。对经典理论来说是互相排斥的不同性质, 在量子理论中却成了互相补充的一些侧面。波粒二象性正是互补性的一个重要表现。测不准原理和其他量子力学结论也可从这里得到解释。

玻尔认为, 物质的波粒二象性是微观现象中的一个很基本的要素, 而量子力学中的许多结论可以看成这一要素的后果。他指出, 波动图象是和时空标示直接联系着的, 而粒子图象则是和能量及动量的守恒原理直接联系着的。而且按照他的看法, 这种守恒原理就是物理学中基本的因果描述方式。当考虑传播问题时, 人们关心的是时空描述, 这时人们就采用服从叠加原理的波动图象。当考虑碰撞之类的相互作用问题时, 人们关心的是因果描述, 这时人们就采用服从守恒原理的粒子图象。这两种图象适用于两种不同的实验条件, 这两种实验条件是决不能同时实现的, 因此这两种图象也永远不会直接地发生冲突。它们是两种在描述原子过程时不能同时绝对严格地加以应用的经典表象或经典图象。而另一方面, 我们的全部经验也肯定地证明, 这两种图象各自有着其不可否认的实验证据, 因此也就不存在根本排除其中任何一种图象的可能, 我们只能按照条件的不同而有时用这种, 有时用那种, 而不能在任何一种情况下都只用一种图象, 而且只要把这两种图象适当地、分别运用起来, 我们就能对所研究的现象作出完备的、合理的描述, 因此说这两种图象是“互补的”。

在玻尔看来, 量子力学的非决定论是波粒二元论的一个结果, 因此最终是使用了互补的描述方式的不同图象的结果, 或是缺乏对运动和变化的统一的说明的结果。而海森堡称之为“波包还原”的东西, 在玻尔看来, 正象是从一种描述到另一种与其互补的描述方式的转换。在1928年发表的互补性原理的文章中, 玻尔指出在面临量子力学波粒二象性的时候, “我们不是在处理矛盾而是在处理现象的互补图景, 它们只有一起才能提供描述的经典模式的自然的普遍化。”[7]在这个意义上, 玻尔与海森堡的“波粒二象性不是必要前提, 用波动还是粒子语言描述无关紧要”的看法不同, 他认为在量子力学中必然要既用到波又用到粒子的概念。

三分歧的延续:1927之后

在很多对于量子力学哲学讨论的文献中, 大家公认的一种看法是海森堡和玻尔关于波粒二象性的争论在1927年以后达到了妥协, 海森堡最终接受了玻尔的互补性原理的观点。因为海森堡在1927年了解玻尔的思想以后找到了一个折中的方案。他宣告说, 玻尔的研究工作将会导致他的研究结果的更深刻的看法和重要的改进。根据海森堡后来的回忆:“ (互补概念) 将使把波动图象和粒子图象之间的二象性当作一种诠释的适当出发点成为可能。这一互补新概念和他早已有了的基本哲学态度适应得很好, 而且, 在这一概念中, 我们表达自己的思想的那种中断的局限性, 是作为一个中心的哲学问题而出现的。因此他就反对这样一个事实:我没有从粒子和波之间的二象性出发。经过几个星期的不无紧张的辩论, 而且在很大程度上多亏奥斯卡·克莱因的参与, 我们很快就得出了结论:我们的意思实际上是相同的, 而测不准关系式不过是更加普遍的互补原理的一个特例而已。”[8]在1929年发表的一篇关于1918-1928年期间的量子理论发展的综述中, 海森堡宣称, 测不准关系, 就它们仅仅只表示粒子理论的概念的可用性的极限而言, 是不足以成为形式体系的一种诠释的。“相反, 正如玻尔已经证明的那样, 应当同时依靠粒子图像和波动图象, 这才是在一切情况下确定经典概念的可用性的极限的一个必要的而且充分的办法。”

而海森堡对于波粒二象性的看法与玻尔真的达成一致了吗?我们对于哥本哈根学派的了解是否真的体现了这些物理学家的观点呢?追寻海森堡1927年之后的其他言论, 我们可以发现, 海森堡后来事实上坚持着一种关于波粒二象性的“波粒等价”的观点, 而这种观点和玻尔的“波粒互补”的观点, 是有着实质性的分歧的。

(一) 玻尔1927之后:波粒之间的不对称性

1927年以后, 大家公认的是, 玻尔的“互补性”解释认为, 为了完全地说明实验现象, “波”和“粒子”图景都是必需的。而根据克莱因的回忆, 在1927年关于互补性的讨论中, 玻尔强调描述电子时必须要用到物质波的概念, 但是他在这么说时总是“承认这并不是字面意义上的波, 并且也非常强烈地指出, 在字面意义上人们可能说电子是粒子, 而电磁波是波。”[9]30年代一直在玻尔身旁工作的罗森菲尔德也回忆说, 在考虑光的波粒二象性时, 玻尔倾向于“把电磁场看作在某种意义上比光子概念更基本”, 而在电子情形中, 他坚持粒子概念更基本, “而波的方面是象征的”, 并且认为“这是一种玻尔从来没有抛弃的观点。”[10]

在1930年的一次演讲中, 玻尔解释了这种观点:[11]

在这个意义上, 诸如“光的微粒被本质”或者“电子的波动本质”的这些词语都是模糊的, 因为微粒和波这样的概念只有在经典物理学的范围内才能恰当地定义。那里, 光和电子分别是电磁波和材料微粒。

在1931年“麦克斯韦和现代理论物理学”的演讲中, 玻尔也表达了相似的看法。在这场演讲中, 他争论说, 即便是在量子力学中, 我们也绝不能忘记“只有材料粒子和电磁波的经典想象才有明确的运用, 而光和电子波的概念却没有。”[12]

可以看出, 玻尔从来没有接受物质的波和粒子描述之间的对称性。有哲学家指出, 玻尔在波粒二象性上的立场是, 电子在根本上是一个“粒子”而光根本上是“波”。[13]他的波粒二象互补性观点主要关注于表面看起来矛盾的实验现象上, 立足于电子在不同的实验安排中显示自己的不同方式, 强调同时运用“粒子”和“波动”语言的必要性。

(二) 海森堡1927之后:量子电动力学和波粒等价性

我们对海森堡1927年关于波粒二象性观点的理解主要是基于测不准原理和量子力学的几率解释。而他1927年以后的观点则因量子电动力学的早期发展而发生了巨大的改变。

促使海森堡对波粒二象性理解发生改变的, 是约尔丹、温格和克莱因1927-1928年提出的量子化物质波的解释。在这种解释中, 电子是一种量子化的波场。1926年海森堡反对薛定谔最初的波动解释的一个关键是波动方程只给出了一个多维构造空间中的解释, 他认为不可能在通常三维空间中给出德布罗意波解释。但量子电动力学的发展使他接受了约尔丹的量子化物质波的可能性, 接受了量子力学能够从物质波导出的可能性。

1927年2月, 狄拉克提出了一种量子化电磁波的方法, 把光波处理为“量子化波”, 人们称之为“二次量子化”。1927年夏天, 约尔丹把这种方法运用到三维空间中的多电子波动方程中去, 认为有可能通过传统三维空间中的量子化波类似于光量子那样来表示电子。

1927年10月, 约尔丹和克莱因导出了多粒子的波动方程。1928年1月, 约尔丹和温格发展了量子化物质波的思想。认为通过波的量子化, 材料粒子的存在类似于光量子的存在就可以得到解释了。海森堡称约尔丹-克莱因论文是非常重要的工作, 不仅仅因为它铺设了量子电动力学的道路, 而且因为它使物质的波粒二象性肯定地显现了出来。

对于海森堡, 薛定谔波和约尔丹、克莱因、温格的量子化波有一个非常重要的不同。薛定谔的波动方程只能被解释为抽象构造空间中的几率波, 因此他在1927年一直坚持电子的粒子性思想。1927年在科摩会议上, 海森堡曾争论波并没有像麦克斯韦理论中的波那样直接的实在性。而约尔丹、克莱因、温格建立的物质波动理论现在被解释为三维空间中的“真实”物质波。量子化物质波的出现使海森堡看到, 通过薛定谔方程的几率解释对粒子力学进行量子修正, 或者通过量子电动力学对三维波动理论进行修正, 人们可能达到精确的相同运动方程。因此他在1929年提出了“量子力学中波和粒子图景的完全等价性”[14]。在1929年芝加哥演讲的附录中, 海森堡争论到在量子理论中, “粒子图景和波动图景只是同一种物理实在的不同方面。”[15]

在1955-1956年的Gifford讲座中, 海森堡坚持, 我们能够把电子或者看作波或者看作粒子的事实, “并没有给哥本哈根解释带来任何困难。”他解释道:[16]

早在1928年, 约尔丹、克莱因、温格就表明, 这个数学方案不仅能被解释为粒子运动的量子化, 而且能被解释为三维物质波的量子化;因此, 没有理由认为这些物质波不如粒子真实……只有构造空间 (或变换矩阵) 中的波才是通常解释中的几率波, 而三维物质波或辐射波不是。后者只有和粒子一样多和一样少的“实在性”。它们与几率波没有直接的联系, 但有着连续密度的能量和动量, 就像麦克斯韦理论中的电磁场一样。

海森堡的“波粒等价性”思想, 正如他后来给库恩所描述的:“这不是你同时需要的意义上的二重性, 而是你可以以其中任一种方式做的二重性。你可以从波动图景开始[J, K, W], 也可以从粒子图景开始[波恩]。任一种图景都能被贯彻到最后[或量子化], 能够给你正确的答案。最后你会发现, 归根结底, 你们做的是相同的事情, 只是以不同的语言。”[17]