弹塑性模型

弹塑性模型（精选九篇）

弹塑性模型 篇1

弹塑性力学主要是研究固体材料在荷载作用下的应力、应变、强度, 如果材料处于线弹性阶段, 其本构关系为广义虎克定律, 进行力学分析比较简单;但材料一进入塑性阶段, 其多轴本构关系极其复杂, 目前研究还很不成熟。在弹性阶段, 笔者提出由多个一维杆件组成的新桁架单元模型, 该桁架单元模型作为一个整体的受力变形精确遵循广义虎克定律, 即与固体力学的正六面体微元在等效外力作用下的变形完全相同[1,2,3,4]。本文将把新单元模型推广到脆性材料 (如混凝土) 、塑性材料 (如钢材) 。

2 新单元模型

新单元模型与文献[2]相似, 新单元中的各杆件截面面积按文献[2]采用, 各杆件的弹性模量与材料的弹性模量相同, 但要增加两项要求:

1) 新单元在各坐标轴方向的尺寸必须相等;

2) 新单元中的各杆件采用弹塑性的应力应变关系。

下面将说明新单元模型中各杆件的弹塑性的应力应变关系如何取值。根据新单元与固体力学的正六面体微元在等效外力作用下的剪切、单轴受拉、单轴受压的应力应变曲线相同, 推导出新单元模型中各杆件的单轴受拉、单轴受压的应力应变曲线。本文根据受力的不同又分为空间问题 (采用空间桁架单元模型) 与平面应力问题 (采用平面桁架单元模型) 。下面把新单元模型中与坐标轴平行的杆件称为“平行杆”, 倾斜的杆件称为“斜杆”。

2.1 平面应力问题

对于平面应力问题, 新单元模型由4个平行杆、2个斜杆组成, 假定的材料受压、受拉、受剪应力应变曲线模型见表1~表3, 表4~表7是求出的平行杆、斜杆的应力应变曲线, 表格中各点的应变、应力都有2个值, 第1个值适用于脆性材料, 第2个值适用于塑性材料。表格中的参数, E为弹性模量;τ0为抗剪强度;ft, fc分别为脆性材料的抗拉强度、抗压强度;σ0为塑性材料的屈服应力;εc0, εcu分别为脆性材料受压的峰值应变、下降段的极限压应变;εcmax为二次上升段的最大应变, 本文考虑二次上升段的原因是任何材料被压碎后, 继续施加压力会出现二次上升段。其他参数取值分为两种情况:1) 脆性材料:k1=3ft/fc;0≤k2≤1;k3≥1, 建议取50;0≤k4≤1;3ft/fc≤k5≤ (4/3) - (ft/fc) ;1<k6≤ (8τ0-ft) / (3ft) , 建议取2;γmax为材料受剪的最大剪应变, εc0-[7k4ft/ (3E) ]<γmax<π/2;2) 塑性材料:k≥1, 建议取50;τ0>0.5σ0;表格中的“×”表示该点无数据, 从前1点开始应力应变曲线变为水平线。

2.2 空间问题

对于空间问题, 新单元模型由12个平行杆、12个斜杆组成, 假定的材料受压、受拉、受剪应力应变曲线模型见表8~表10, 表11~表14是求出的平行杆、斜杆的应力应变曲线。表格中的参数分为两种情况:1) 脆性材料:k7=1.5ft/fc, 1.5ft/fc≤k8≤2.5- (3.5ft/fc) , 0.875<k9≤ (2.5τ0/ft) -0.375, 建议取2;εc0-[2k4ft/E]<γmax<π/2;其他参数的取值与平面应力问题相同;2) 塑性材料:k≥1.5, 建议取50;τ0>0.5σ0。

3 结语

工程中的弹塑性力学计算问题, 以传统的计算方法来计算很复杂, 而采用本文建立的新单元模型来计算很简单。通过大量计算实例的验证, 新单元作为一个整体在单轴受压 (或拉) 、剪切时的受力变形完全按照材料受压、受拉、受剪的应力应变曲线进行, 双轴、三轴强度也和试验资料吻合良好, 而且揭示了固体自身的弹塑性本构关系、强度准则的形成机制。

摘要：根据在等效外力下桁架单元与正六面体单元的剪切、受拉、受压的应力应变曲线相同, 建立了一个新单元模型, 并求解了弹塑性力学的计算问题, 其结果与其他方法计算结果吻合良好。

关键词：桁架单元,塑性力学,多轴强度,单元模型

参考文献

[1]夏志皋.塑性力学[M].上海:同济大学出版社, 1991.

[2]柯江.实体结构求解的新方法[J].山西建筑, 2008, 34 (9) :112-113.

[3]KE Jiang.A New Model of Orthotropic Bodies[J].Applied Mechanics and Materials, 2012 (204-208) :4418-4421.

弹塑性模型 篇2

文章提出了考虑剪切变形弹塑性刚度影响的多弹簧模型的空间梁柱单元,用于反复加载下钢构件的数值模拟.应用多轴应力状态下的`塑性应力-应变关系理论,在单元模型中考虑了弹塑性区域剪切变形对单元的弹塑性刚度的影响,针对单元模型的塑性区长度和弹簧布置两个参数,文中给出了合理建议取值.数值模拟分析表明,所提出的单元模型能够很好地模拟钢构件的弹塑性性能.在此基础上,以多高层钢结构商业设计软件MTS为平台,进行三维钢框架结构弹塑性动力时程分析模块的开发.最后,文章对一纯钢框架结构足尺振动台试验进行数值模拟,模拟分析结果表明,本文所提出的多弹簧单元模型及开发的动力分析模块能够较好地模拟钢结构在地震作用下的弹塑性性能.

作 者：方明霁 李国强 FANG Mingji LI Guoqiang 作者单位：方明霁,FANG Mingji(上海师范大学,建筑工程学院,上海,18;同济大学,土木工程学院,上海,92)

李国强,LI Guoqiang(同济大学,土木工程学院,上海,200092)

密肋复合墙体弹塑性力学模型研究 篇3

1 模型概述

密肋复合墙体的钢筋混凝土框格与外框简化为梁、柱单元所构成的刚架,砌块用一根沿砌块对角线放置的压杆来代替,砌块等效斜压杆采用两端铰接的杆单元。假定等效斜压杆截面为矩形,并取压杆厚度t0与弹性模量Eq分别等于砌块的厚度与弹性模量。等效斜压杆的初始宽度W0的确定是模型建立的关键。

2 等效斜压杆初始宽度的确定

2.1 无填充砌块框格的弹性抗侧刚度Kc

无填充砌块框格模型的受力性能可以视为框架结构。在水平荷载作用下,其内力计算采用D值法[3]。对于n×m的无填充砌块框格(框格的层数为n,跨数为m),设Dij表示第i层第j根柱的弹性抗侧刚度,则整个无填充砌块框格模型的弹性抗侧刚度计算如下:

其中,Hi为第i层的层高;αcij为框格的第i层第j根柱的抗侧移刚度修正系数,它反映了节点转动降低了柱的抗侧移能力(αcij≤1),而节点转动的大小则取决于梁对节点转动的约束程度。梁的线刚度越大,对节点的约束能力越强,节点转角越小,αcij就越接近于1。

$\alpha {}_{cij}=\frac{\overline{{\rm K}}{}_{ij}}{\overline{{\rm K}}{}_{ij}+2}$ (3)

其中,$\overline{{\rm K}}$ij为框格的第i层第j根柱的梁柱线刚度比,表示节点两侧梁平均线刚度与柱线刚度的比值。

$\overline{{\rm K}}{}_{ij}=\frac{i{}_{b(i-1)}+i{}_{bi}}{i{}_{cj}}$ (4)

其中,icj为框格的第j根柱的线刚度;ibi为框格的第i层梁的线刚度。

2.2 刚架—斜压杆模型的弹性抗侧刚度

对于n层m跨的刚架斜压杆墙体模型,其弹性抗侧刚度为[4]:

K=Kc+Kq (5)

考虑轴压比对刚架斜压杆墙体模型抗侧刚度的影响:

K=(2η+0.4)(Kc+Kq) (6)

Kc的计算采用式(1),Kq的计算采用式(7):

$\frac{1}{{\rm K}{}_q}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{{\displaystyle \sum _{j=1}^m{\rm K}}{}_{qij}}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{{\displaystyle \sum _{j=1}^m\frac{h{}_j{}^2\cdot E{}_q\cdot W{}_0\cdot b}{({\rm H}{}_i^2+h{}_j^2){}^{3/2}}}}}$ (7)

其中,Kc为无填充砌块混凝土框格的弹性抗侧刚度;Kq为斜压杆提供的弹性抗侧刚度;η为轴压比(0.3≤η≤0.6)。

$\eta =\frac{{\rm N}}{f{}_{c}A{}_c}$ (8)

当η<0.3时,取η=0.3;当η>0.6时,取η=0.6。

其中,W0为砌块等效斜压杆初始宽度;Eq为砌块的弹性模量;b为砌块的厚度;hj为第j跨的跨度;Hi为第i层的层高;n,m分别为墙体中框格的层数和跨数。

2.3 密肋复合墙体弹性刚度计算的经验公式

墙体的弹性刚度实用计算公式:

${\rm K}=\frac{0.3E{}_{q}b{}_2}{(\frac{{\rm H}}{h}){}^3+3\frac{{\rm H}}{h}}(2\eta +0.4)$ (9)

其中,b2为墙体截面等效厚度:

$b{}_2=\frac{A{}_e}{h}$ (10)

其中,H为墙体高度;h为墙体截面宽度;Ae为截面等效面积:

$A{}_e=\frac{E{}_c}{E{}_q}\times A{}_c+A{}_q$ (11)

其中,Ac为验算截面肋柱、框架柱混凝土面积之和;Aq为验算截面砌块面积和;Ec为混凝土的弹性模量;Eq为砌块的弹性模量;η为轴压比(0.3≤η≤0.6,当η<0.3,取η=0.3,当η>0.6,取$\eta =0.6)‚\eta =\frac{{\rm N}}{f{}_{c}A{}_c}$。

2.4 等效斜压杆的初始宽度的计算

根据处于弹性与弹塑性临界状态下的刚架等效斜压杆墙体模型的抗侧刚度等于弹性阶段密肋复合墙体的抗侧刚度。式(1),式(5),式(7),式(9)联立求得密肋复合墙体刚架斜压杆模型等效斜压杆的初始宽度W0。

3 静力非线性Pushover分析

3.1 试验概况[2]

试验为单调水平加荷试验,墙体承受的竖向荷载合计为110 kN,均匀分布在墙体框格四根框格柱的顶端,一次加至最大;水平载荷每级10 kN,直至破坏。

破坏过程如下:1)弹性阶段:从加荷到50 kN左右试件出现弥散微裂缝,这一阶段为弹性阶段(约为最大荷载的30%～40%)。在该阶段荷载位移曲线成线性关系,砌块与混凝土肋梁、肋柱处于共同工作状态。2)弹塑性阶段:荷载达50 kN左右之后,首先在框格内的砌块中部出现一道或几道不连续的斜裂缝,方向大致与水平成45°。水平荷载加到大约60 kN,有部分裂缝延伸入肋梁内。加到80 kN左右,框架柱角产生水平裂缝。砌块内的斜裂缝迅速增加且遍及所有板面,肋梁、肋柱内均出现贯通裂缝,框柱内水平裂缝发展到1/2柱高以下,裂缝间距约10 cm,墙体此时已进入屈服状态,墙体顶部位移约4 mm,变形约为1/350;达到最大荷载时,墙体中部两根肋梁的钢筋全部屈服,肋柱钢筋也部分屈服,砌块内裂缝加宽,裂缝边缘处有明显的剥落,砌块与肋梁、肋柱交界处裂缝增多。3)破坏阶段:达到最大荷载后(变形1/75),随着位移幅值的增加,墙体承载力开始下降,砌块剥落面积加大,砌块与框格交界处裂缝加剧,表明砌块已开始退出与框格的协同工作状态,框柱水平裂缝贯通,框柱脚部混凝土被压酥。变形约为1/40时,墙体变形明显,框柱脚部钢筋裸露,但墙体仍未出现倒塌现象,表现出较好的抗倒塌能力。

3.2 计算模型

斜压杆的初始宽度按照本文所提出的计算方法得W0=0.401 m。

3.3 分析结果

从图1中看到随着监测位移值不断增加,基底剪力值也不断增加,监测位移值达到1 mm时,基底剪力值达到最大92 kN。此过程中由于填充砌块的不断开裂,导致墙体刚度值有不断变小的趋势。随着外部荷载的加大,检测位移仍在不断增加,肋梁开始有塑性铰出现,结构内力重分布不断发生,墙体的基底剪力值不断地上下波动,在位移达到4 mm时,基底剪力为76.7 kN。此时中间肋梁全部出现塑性铰,图1中曲线又出现最大程度的一次陡然下降。外部荷载继续增大,监测位移值达到24.9 mm时,基底值为53.4 kN,墙体完全破坏。

4 结语

静力非线性Pushover分析所得的密肋复合墙体的破坏过程结果同试验过程结果比较接近,这说明本文建立的密肋复合墙体刚架斜压杆模型、提出的计算斜压杆宽度的计算公式对密肋复合墙体的设计、工程应用有一定的参考价值。

摘要：在前期的密肋复合墙体试验及理论研究的基础上,根据刚度等效的原理提出密肋复合墙体弹塑力学模型,采用该模型对密肋复合墙体进行了Pushover分析,所得结果与试验结果相近,验证了模型的实用性。

关键词：密肋复合墙体,刚度等效,力学模型,Pushover分析

参考文献

[1]姚谦峰.密肋壁板轻框结构节能住宅体系研究[J].工业建筑,2003,33(1):37-38.

[2]关海涛.密肋复合墙体简化计算模型研究及实用计算方法研究[D].西安:西安建筑科技大学硕士学位论文,2002.

[3]梁兴文,史庆轩,童岳生.钢筋混凝土结构设计[M].北京:科学技术文献出版社,1998.

[4]黄炜.密肋复合墙体抗震性能及设计理论研究[D].西安:西安建筑科技大学博士学位论文,2005.

[5]叶燎原,潘文.结构弹塑性静力分析(push-over)的原理和计算实例[J].建筑结构学报,2003,21(1):23-24.

[6]钟华,袁贤讯.静力弹塑性分析(Push-over)方法的应用与评价[J].建筑结构,2002(3):51-52.

[7]北京金土木软件技术有限公司,中国建筑标准设计院研究院.ETABSZ中文版实用指南[M].北京:中国建筑工业出版社,2004.

弹塑性模型 篇4

通过引入各向异性矩阵,将各向同性材料的`WALKER粘塑性统一本构模型进行了修正,提出了一个正交各向异性材料的粘塑性统一本构模型,给出了定向结晶材料和单晶材料各向异性矩阵的表达式.用所提出的统一本构模型预测了某单晶材料不同方向的迟滞回线、蠕变和松弛特性,同时与试验结果进行了比较.

作 者：周柏卓 张晓霞 罗焰明 Zhou Baizhuo Zhang Xiaoxia Luo Yanming 作者单位：周柏卓,Zhou Baizhuo(沈阳航空发动机研究所,沈阳,110015)

张晓霞,Zhang Xiaoxia(沈阳建筑工程学院,沈阳,110015)

罗焰明,Luo Yanming(东北大学机械工程学院,沈阳,110006)

弹塑性模型 篇5

关键词：弹塑性时程分析,振动模型,刚度矩阵

0 引言

20世纪60年代以来,抗震学者逐步提出和发展了时程分析方法,使得结构抗震分析进入到动力分析阶段[1]。同时,随着计算机应用科学的发展,也使得将地震波输入地震反应方程并逐步积分求解成为可能。

对于多自由度体系,其在地面运动作用下的振动方程为:

$[{\rm M}]\{\ddot{u}\}+[C]\{\dot{u}\}+[{\rm K}]\{u\}=-[{\rm M}]\{\ddot{x}{}_{\text{g}}\}$ (1)

其中,[M],[C],[K]分别为结构的质量矩阵,阻尼矩阵和刚度矩阵;{$\ddot{u}$},{$\dot{u}$},{u}分别为结构质点的加速度,速度和位移列向量;{$\ddot{x}$g}为地面振动加速度。

地面振动加速度{$\ddot{x}$g}是复杂的随机函数,同时在弹塑性反应中刚度矩阵[K]与阻尼矩阵[C]也随时间变化。因此不可能直接积分求解式(1),只能采取数值积分的方法求解。

从式(1)可以看出,求解此方程的关键是确定刚度矩阵,质量矩阵和阻尼矩阵。本文将简单介绍弹塑性时程分析中不同结构振动模型及刚度矩阵。

1 结构的振动模型及刚度矩阵

1.1 层模型

1)楼板在自身平面内的刚度无限大,各层可以看作一个整体。

2)房屋的刚度中心与质量中心相重合,在水平地震作用下结构不会产生绕竖轴的扭转。

根据结构侧向变形的性质,常用的层模型有两类:1)剪切型层模型,此模型适用于多高层强梁弱柱型框架结构,对强柱弱梁型框架也可以近似使用;2)非剪切型层模型(如弯曲型、弯剪型、剪弯型等),此模型较适用于不把楼层转角处的转角作为基本未知量和忽略柱的轴向变形的高层框架、框架—剪力墙及框筒等结构。

在剪切型结构中,结构每层的质量mi集中于楼层处。将第j层楼盖质点取为隔离体,则该质点的恢复力为:

写成矩阵形式:

其中,{S}={S1,S2,…,Sn}T为楼层恢复力向量;Sj为第j层的恢复力;{u}={u1,u2,…,un}T为楼层侧移向量;uj为第j层的层间侧位移;[K]为结构的刚度矩阵:

对于框架结构,每层的层间剪切刚度等于该层所有柱剪切刚度之和;其值按该层是处于弹性或弹塑性阶段,由该层的剪切恢复力模型确定。其中弹性层间剪切刚度可由D值法计算;超出弹性阶段后的层间剪切刚度与恢复力模型有关[2]。

1.2 杆模型

1.2.1 杆系模型的特点

1)将高层建筑结构视为杆件体系,取结构的每根杆件作为基本计算单元,结构的质量集中于各个结点,动力自由度数等于结构结点线位移自由度数。计算时,需要各杆件恢复力模型。

2)利用平面杆系模型,可求出地震过程中杆件屈服的先后次序和破坏形态,找出破坏机理。

3)杆模型的刚度矩阵可按一般有限元法由单元单刚组装而成,所以关键是求单刚,尤其是在弹塑性分析中,影响单元刚度矩阵的材料和几何特征都处于非线性阶段,所以要不断地修正结构的刚度矩阵。

1.2.2 弹塑性杆件的计算模型

1)单分量模型:

杆元在弹性范围内服从线弹性规律,仍用一根杆表示原杆件特征;超出弹性范围后,在杆端出现塑性铰,在杆端各设置一个等效弹簧以反映杆端的弹塑性变形特性。

2)双分量模型:

用两根平行的杆代表双分量模型的工作状态,其中一分杆是弹性杆,表述杆件的弹性变形性质;另一分杆是弹塑性杆,表述杆件屈服性质的弹塑性变形性质。

3)三分量模型:

用三根不同性质的分杆分析其三分量模型的工作状态。其中一分量是弹性分杆,表述杆件的弹性变形性质;另两根分杆是弹塑性分杆,其中一分杆表述混凝土的开裂性质,另一分杆表述钢筋的屈服。三分量模型是专门针对钢筋混凝土杆件提出的计算模型。

由结构力学的知识,很容易知道弹性杆件的单元刚度矩阵,当杆件进入弹塑性之后,考虑其附加转角的作用,经过多次修正可求得弹塑性杆件的刚度矩阵[3]。

1.2.3 杆系模型的总刚度矩阵

根据高层建筑结构各杆件的单元刚度矩阵,用直接刚度法可以集成整个结构的总体刚度矩阵[K]*。在杆件单元刚度矩阵中包含了与杆端移动自由度和转动自由度对应的元素,集成的总刚度矩阵中也包含与结构结点移动与转动自由度对应的元素。但地震作用的结构振动方程中刚度矩阵[K]是与质量自由度相对应的,当质量集中于结点时,仅有结点移动自由度,不包含转动自由度。所以,要从得到的刚度矩阵[K]*中消去与动力自由度无关的元素,可用静力凝聚法完成此项计算。

1.3 杆系—层模型

将高层建筑结构按杆件体系确定其变形和刚度,但结构的质量集中于楼层处,是一种介于杆系模型和层模型之间的计算模型,称为杆系—层模型。

杆系—层模型将结构的质量集中在楼层处,每一层只有两个平移自由度,对于明显不对称、不均匀的结构,还有一个转动自由度,因而动力自由度的数目较杆系模型大为减少,计算量也大大减少。

杆系—层模型仍按与杆件体系类似的方法计算结构的内力和变形及结构的刚度矩阵。

求解动力方程求出某一时刻的位移后,按杆系结构求出各杆的内力,判断各杆所处的弹塑性状态,重新形成单杆的刚度矩阵,并集成新的结构总侧向刚度矩阵。

2 结语

层模型不考虑楼层转动的惯性效应,因此计算简单,计算量小,但其采用的基本假定,尤其是楼板完全刚性,在实际工程中很难满足,所以在应用中的范围较小。

杆系模型更为接近工程实际,尤其是其采用的弹塑性杆件的计算模型较为丰富,但由于结构杆件多、自由度大,导致其分析计算工作量很大,弹塑性分析中还要大量修正结构刚度矩阵,需要耗费大量的时间。

杆系—层模型兼有层模型和杆系模型的优点,克服了它们的缺点。它是高层建筑结构进行深入一些的弹塑性动力分析的一种有发展前途的计算模型。

参考文献

[1]王松涛,曹资.现代抗震设计方法[M].北京:中国建筑工业出版社,2000:49-50.

[2]徐赵东,郭迎庆.Matlab语言在抗震工程中的应用[M].北京:科学出版社,2004:77-78.

[3]周坚,伍孝波.复杂高层建筑结构计算[M].北京:中国电力出版社,2008:267-270.

弹塑性模型 篇6

截至2012年, 我国已建成的高度超过250m的高层建筑接近60栋, 预计未来5年是我国超高层建筑发展繁荣时期。随着计算方法日趋发展和工程经验不断积累, 弹塑性分析手段在这些超高层建筑结构分析中已经不可或缺[1]。

《高层建筑混凝土结构技术规程JGJ3-2010》第5.1.12条“体型复杂、结构布置复杂以及B级高度的高层建筑结构, 应采用至少两个不同力学模型的结构分析软件进行整体计算”[2]。第5.1.13条“抗震设计时, B级高度的高层建筑结构、混合结构和本规程第10章规定的复杂高层建筑结构, 宜采用弹塑性静力或弹塑性动力分析方法补充计算”[3]。可见国家相关规范对复杂结构分析计算作了较高要求, 即应 (宜) 采用弹塑性分析方法, 且采用两个不同的力学模型进行结构分析软件进行整体计算。实际上, 这种做法有助于我们对复杂力学问题作出更全面的判断。

2 弹塑性分析软件介绍及选用

目前具有代表性的通用有限元软件有ABAQUS (国外) , ANSYS (国外) , MSC (国外) , ADINA (国外) 等, 专用结构分析有限元软件有GSNAP (国内) 、Nosacad (国内) 、PMSAP (国内) 、perform3D (国外) 、SAP2000 (国外) 、MIDAS (国外) 等。通用有限元软件能模拟复杂精细力学问题, 常用于局部建筑结构分析, 如节点分析;用于大型的建筑结构弹塑性分析一般需要进行二次开发本构模型以及开发必要的前后处理软件, 开发成本较大。专用结构分析软件一般有较完善的前后处理功能, 国内弹塑性分析软件操作简单, 能很好地与国内规范结合, 而且建模简便, 计算速度快, 通常可以直接从本身系列软件的弹性模型中直接读入, 大大方便工程人员应用, 如GSNAP、PMSAP等;perform3D是专用弹塑性软件中的杰出代表, 它包含非常单元库, 如梁、柱、支撑、开洞剪力墙、楼板、粘滞阻尼器和隔振器等;提供基于材料、截面、构件三种层次的有限元模拟, 计算速度快, 收敛性好, 基于性能化设计的后处理能力, 但也因其前处理建模过程繁琐, 未能在工程界广泛使用。

本文拟结合国内外弹塑性分析软件的优点, 探求快速建立双力学模型的弹塑性分析方法, 以供广大工程人员参考。通过若干比较, 本文拟选用GSNAP (GSCAD V17.0) 与perform3D (PERFORM3D V5.0.0) 快速建立双力学模型。主要理由是GSNAP与国内广泛应用的广厦建筑结构CAD相接, 接力弹性分析GSSAP, 完成了弹塑性分析和结果显示整个过程;而perform3D的结构非线性分析能力已被世界各国广泛接受;加上, GSNAP所依附的广厦建筑结构CAD具有较多数据接口, 这为GSNAP弹性模型转perform弹性模型提供便捷的条件。

3 GSNAP、PERFORM 3D应用范围

GSNAP、PERFORM 3D均可以进行静力弹塑性分析和动力弹塑性分析[4,5], 模型中可以设置的单元见表1。

GSNAP是通过基于材料的非线性本构关系来表现结构整体的弹塑性能力的, 而PERFORM 3D包含了基于材料的非线性本构关系和基于构件的力变形关系 (弯矩曲率关系) 等来表现结构弹塑性能力。

PERFORM3D目前提供用户的单元更为丰富, 可以模拟结构分析范畴更广, 不过需要用户具备较为扎实的弹塑性知识, 具体单元应用可参阅用户手册。GSNAP程序已有较多参数预设好, 应用起来相对方便简易。

4 建模步骤及分析实例

具体流程图如图1:

弹塑性模型1步骤:首先我们利用广厦建筑结构CAD/图形录入模块, 快速建立结构三维几何模型A, 设置总体信息, 然后接力GSSAP进行弹性分析, 得到符合工程实际情况弹性配筋, 最后接力GSNAP进行非线性分析, 在分析之前需设置材料非线性本构、求解方法等。这便实现了弹塑性模型1的计算。

关于GSNAP计算有几点需要注意的是:

⑴模型适当简化构件, 短小次梁尽量不要输入, 以恒载代换。

⑵结构整体计算模型的小震弹性设计和计算结构要合理, 不能出现一根构件很严重超筋, 每根柱、墙的轴压比须满足规范要求。

⑶墙柱梁尽量对中输入。

⑷可以通过查看文本方式修改每层构件的具体钢筋面积。

弹塑性模型2步骤:利用广厦建筑结构CAD将之前建好的模型A通过ETABS数据接口, 转到ETABS中, 然后通过试算, 修改模型提示的问题 (如节点连接等) , 直至将质量和周期与GSSAP基本一致, 接着将模型导入SAP2000 V15中, 试算质量和周期与前面基本一致后, 将模型转到PERFORM3D中, 这样便完成了PERFORM3D弹性模型的建立。最后输入各种非线性信息, 配筋面积是参照此前GSSAP算出的钢筋面积作适当归并后输入。

关于PERFORM3D计算除了满足上述提到的GSNAP前三点计算要求外, 还需注意以下几点:

⑴ETABS模型中楼板须改为壳单元, 这样板面荷载才能在SAP2000中导为梁线荷载。

⑵PERFORM3D模型中的楼层尽量以集中质量输入。

⑶尽量先验证PERFORM3D线弹性模型正确性, 如周期、质量、重量、弹性时程分析等;再输入非线性信息。

⑷非线性信息尽量进行合理归并再进行输入。

5 应用实例

本实例选用某框剪结构工程 (适当简化) 作为整个建模步骤介绍, 本结构平面尺寸为30m×36m, 纵横开间均为6m, 典型梁尺寸为300mm×600mm, 典型柱尺寸为800mm×800mm, 剪力墙厚200mm, 层数18层, 层高71m, 平面图见图2 (a) 。钢筋等级HRB400, 梁、板砼等级为C30, 墙柱砼等级C40, 采用基于材料的非线性本构模型, 材料性能指标按《混凝土结构设计规范》GB50010-2010 5.5.1取平均值, 具体本构曲线和本构见图3和表2。按上一节的步骤分别建立GSNAP模型A, 和PERFORM 3D模型B, 见图2 (b) 、2 (c) 。

采用上一节方法流程建立弹塑性模型A、B, 本模型基于材料的非线性模型, 材料本构曲线和取值分别见图3和表2。

本算例选用ELCENTRO NS向地震波进行计算, 得出两个模型的顶点加速度时程以及层间位移角, 见图4, 可见两个模型在这个工程中模拟结果比较接近, 相互校核了分析结果的正确性。

6 结论

本文基于两种在工程中较为常用的弹塑性计算软件, 总结了一种较为便捷的建立双力学模型的弹塑性分析方法, 可实现在分析过程中互相校核。由于实际工程复杂多样, 这两个软件 (GNSAP、PERFORM3D) 力学模型、计算方法、力学假设不尽一样, 工程人员须熟悉分析软件这些方面特性, 当分析结果出现较大差异时需结合工程实际受力情况, 耐心分析, 及时发现问题, 发挥双软件分析的优势。

参考文献

[1]Lu XinZheng, Recent progress on the seismic research of super high-rise buildings taller than600m[J].Sci-ence China Technological Sciences, 2011, 41 (11) :2352

[2]JGJ3-2010高层建筑混凝土结构技术规程[S].北京:中华人民共和国住房和城乡建设部, 2010.

[3]GB50011-2010建筑抗震设计规范[S].北京:中华人民共和国住房和城乡建设部, 2010.

[4]GSNAP说明书[G].广州:广东省建筑设计研究院, 深圳市广厦软件有限公司, 2012.

弹塑性模型 篇7

本研究以含外倒角薄弱环节复合材料圆管的耐撞性分析为例,详细阐述了采用理想弹塑性本构模型对复合材料结构进行耐撞性分析的可行性及相关等效参数的确定策略,并利用这些等效参数将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管(简称为等效圆管)进行耐撞性分析,以便能快速高效地预报复合材料圆管的吸能能力。

1 复合材料圆管有效弹性常数的确定

选用文献[4]中炭纤维T700增强双马来酰亚胺树脂QY8911预浸带-热压罐成型的复合材料圆管作为研究对象。由于圆管的厚度与直径相比非常小,其有效弹性常数可由经典的层合板理论计算得到。如图1所示,取整体坐标系的x轴沿圆管的轴线指向薄弱端,y轴沿圆管的周向,z轴沿圆管的径向朝外;各单层的局部坐标系(材料坐标系)的1方向为纤维方向,2方向为与纤维垂直的方向,3方向为圆管的外法线方向;整体坐标系旋转θ角度后与局部坐标系重合。沿着轴向和周向取一代表性体积单元,由于该代表性体积单元的尺寸很小,因此可以近似看作层合平板。在平面应力状态下,正交各向异性单层板在材料主方向的应力-应变关系为:

通过坐标系旋转可得整体坐标系下的应力-应变关系:

undefined

其中,[T]为坐标变换矩阵:

undefined

对于所考虑的对称层合板,其面内力与应变之间的关系为:

undefined

式中,Nx,Ny,Nxy分别为层合板横截面上单位宽度(或长度)上的内力(拉、压力或剪切力)。由式(4)可得层合板横截面上的平均应力表达式:

undefined

式中拉伸矩阵undefined,t为管壁的厚度,n为铺层数。

将铺层角度和单层板的弹性常数代入式(1) ～(5),可得:

undefined

从而有:

undefined

求解方程组(7)可得:Ex=70.98GPa,Ey=53.41GPa,Gxy=14.0GPa,νxy=0.20,νyx=0.15。

2 复合材料圆管临界屈曲载荷的计算

众所周知,初始缺陷对复合材料圆柱壳的总体稳定性有很大的影响,尤其是那些与失稳波形相吻合的初始缺陷。对于完整的圆柱壳,稳定性分析时一般采用Donnell的初始缺陷因子来表征随机分布的几何初始缺陷。但是,试件端部的倒角与那些在制造过程中产生的几何初始缺陷相比,在几何尺寸上要大几个数量级,并且位置是固定的。从文献[5,6]可知,含外倒角薄弱环节的复合材料圆管在轴向压缩载荷的作用下,其破坏机理十分复杂,这里近似认为首先在倒角端局部屈曲破坏,而且其临界屈曲载荷与倒角的几何尺寸密切相关。下面利用ABAQUS/Standard中的线性特征值屈曲分析来确定考虑端部倒角影响的复合材料圆管的临界屈曲载荷,分析模型中不考虑因制造产生的几何初始缺陷的影响。

线性特性值屈曲分析的有限元模型如图2所示。其中,移动刚性平板和固定刚性平板分别与实验机的移动压盘和固定压盘对应,移动刚性平板只有铅垂方向的平动自由度。复合材料圆管的下端用粘贴(Tie)约束与固定刚性平板粘接在一起,上端与移动刚性平板间的相互作用采用Surface-to-Surface Contact (Standard)界面接触模拟。为了研究外倒角薄弱环节对临界屈曲载荷的影响,采用5层相同高度逐渐变厚的壳单元模拟复合材料圆管上端的倒角,如图3所示。这五层壳单元的厚度分别为:0.1t,0.3t,0.5t,0.7t,0.9t。移动刚性平板的参考点上施加的参考压缩载荷为500N。由于模型中涉及接触问题,而Lanczos法不适用于含有接触的屈曲分析,所以选用子空间迭代法(Subspace)进行求解。

为了研究单元类型、移动刚性平板与圆管间的界面摩擦对临界屈曲载荷的影响,分别计算了以下8种工况的前10阶特征值和特征模态。

工况1:不含界面摩擦+全积分单元S4;

工况2:不含界面摩擦+减缩积分单元S4R;

工况3:界面摩擦因数取0.2+全积分单元S4;

工况4:界面摩擦因数取0.2+减缩积分单元S4R;

工况5:界面摩擦因数取0.1+全积分单元S4;

工况6:界面摩擦因数取0.1+减缩积分单元S4R;

工况7:界面摩擦因数取0.3+全积分单元S4;

工况8:界面摩擦因数取0.3+减缩积分单元S4R。

表1列出了这8种工况下的前10阶特征值(无量纲载荷比例因子)。从该表可以看出,工况3、工况5和工况7的前10阶特征值完全一样,工况4、工况6和工况8的前10阶特征值也完全一样,这说明摩擦因数的大小对临界屈曲载荷没有影响;工况3和工况4的前10阶特征值基本一样,这表明考虑了移动刚性平板与复合材料圆管的界面摩擦后,可以采用减缩积分单元计算临界屈曲载荷;而工况1和工况2的前10阶特征值却相差很大,并且工况2在计算完前8阶特征值后,分析中断,结果不收敛,可见在不考虑界面摩擦的情况下,应采用全积分单元S4进行计算。

Note: “-”denotes analysis interruption.

图4～7为复合材料圆管在典型工况下的最低阶屈曲模态。图4中由于没有考虑界面摩擦的影响,圆管端部的单元在压缩载荷作用下全部向外张开。图6和图7所示的最低阶屈曲模态完全一样,与图4相比,不同之处在于模拟外倒角的第1层单元在界面摩擦的作用下朝内弯曲,这种变形与实验观察到的初始压溃变形相类似。而图5的最低阶屈曲模态与其余工况下的最低阶屈曲模态截然不同,并且外倒角薄弱环节及其附近的单元出现了显著的沙漏现象,这或许是导致计算不收敛的原因。而考虑了界面摩擦后,可以限制或减弱减缩积分单元S4R的零能沙漏变形,因而能得到比较理想的特征值和特征模态。

可见,在计算临界屈曲载荷时要考虑界面摩擦的作用。但是分析结果显示,摩擦因数的大小似乎对前10阶的屈曲特征值没有影响。因此,计算临界屈曲载荷时,取考虑界面摩擦和不考虑界面摩擦两种工况下最低阶特征值的平均值,即最低阶特征值取120,与之对应的临界屈曲载荷Pcr和临界屈曲应力σcr分别为:

undefined

式中:A为圆管的横截面积;undefined为圆管的平均半径;t为管壁的厚度。

3 等效圆管的轴向吸能特性分析

3.1 理想弹塑性本构模型

在弹性阶段,材料满足胡克定律,即

undefined

其增量形式为:

undefined

当材料满足屈服条件时,单元将从初始弹性状态进入塑性状态。一般来说,屈服条件是应力σij、应变εij、时间t和温度T的函数,可以写成:

undefined

但在不考虑时间效应和接近常温的情况下,时间t和温度T对塑性状态没有影响,那么在Φ中将不包含t和T。另外,材料在初始屈服前是处于弹性状态的,应力与应变之间是一一对应的关系,可将Φ中的εij用σij表示,这样,屈服条件就仅仅是应力分量的函数了,将其表示为:

undefined

根据初始各向同性的假定,屈服条件应与坐标轴方向的选取无关,因此可以简化为应力不变量的函数:

undefined

另外,根据静水应力不影响塑性状态的假定,屈服条件只和应力偏量的不变量有关,即

undefined

对于理想弹塑性材料,单元的加载面始终与初始屈服面一致,屈服条件可以表示为:

undefined

式中:σeq为等效应力;σs为材料单轴拉伸屈服强度。本研究的理想弹塑性数值模型采用Von-Mises屈服准则计算σeq,即

undefined

其中应力偏量Sij由偏应变增量Δeij确定

undefined

当材料屈服后,塑性流动法则定义为:

undefined

其中Δεpl为等效塑性应变增量,可以从单向拉伸实验的应力-应变曲线得到。

采用理想弹塑性本构模型对复合材料结构进行耐撞性设计分析中,等效的材料屈服强度σs可以由基于理想弹塑性本构关系的数值模拟得到的峰值载荷与准静态轴向压缩实验得到的峰值载荷相等来确定[2,3]。但是,复合材料是可设计材料,在复合材料结构耐撞性的初步设计阶段,对每种铺层的设计方案均要制作试件进行实验既费时也费力;并且,从准静态轴向压缩实验得到的载荷-位移曲线来看,初始峰值载荷后载荷有较大的减少,这与极值点失稳的载荷-位移曲线相似,而柱壳是极值点失稳。基于这样的考虑,本研究采用等效的材料屈服强度σs与轴向压缩临界屈曲应力σcr相等的方法,即假设外倒角试件首先在倒角部位发生局部屈曲破坏,这样做的好处是省去了试件制作和实验研究的费用和麻烦,也缩短了设计周期。需要说明的是,实际情况非常复杂,试件端部机加工造成的损伤和外倒角部位的应力集中等都有可能使局部材料先压碎破坏,这里仅仅是给出在采用理想弹塑性本构模型进行结构耐撞性设计分析中等效参数的一种确定方法。

3.2 等效圆管轴向压缩的有限元模型

在ABAQUS/Explicit中,基于理想弹塑性本构关系建立等效圆管的准静态轴向压缩有限元模型,如图8所示。该模型主要由移动刚性平板、等效圆管和固定刚性平板组成。其中,等效圆管的密度、屈服强度、弹性模量和泊松比分别取复合材料圆管的密度ρ、轴向压缩临界屈曲应力σcr、轴向压缩模量Ex和纵向泊松比νxy,具体数值见表2。在显式分析中,机时消耗与单元数量成正比,并且大致与最小单元的尺寸成反比,所以模型中的最小单元尺寸在满足收敛性的情况下应尽可能取大些。为了提高计算效率,等效圆管采用四节点减缩积分壳单元S4R离散,配合增强沙漏控制,单元尺寸为2mm×2mm。外倒角薄弱环节由一层单元模拟,厚度取0.5t,如图9所示。移动刚性平板只保留了铅垂方向的平动自由度,用于施加轴向位移载荷。移动刚性平板与等效圆管间的相互作用,以及等效圆管的自接触由通用接触算法模拟,界面间的摩擦因数取0.2[4]。另外,为了防止在压缩过程中等效圆管的下端失效破坏而穿透固定刚性平板,除了将等效圆管的下端用粘贴(Tie)约束与固定刚性平板粘接在一起外,固定刚性平板和等效圆管间也考虑了主从接触,界面间的摩擦因数取0.2[4]。虽然可以采用质量缩放和提高加载速率等方法来降低计算成本,但是应确保动态效应比较小,故一般应将结构的动能与内能的比值控制在5%左右[7,8]。模拟中位移加载速率取100mm/s,等效圆管的密度放大1000倍。

3.3 结果与讨论

数值模拟得到的载荷-位移曲线如图10所示。与文献[9,10]相比,计算曲线在初始压缩阶段峰值载荷值略微偏高,在稳态压缩阶段曲线呈正弦波形,尽管波动幅度比较大,但是大致围绕实验曲线上下波动。根据载荷-位移曲线,可以计算得到主要的吸能参数[6,10]:初始峰值载荷Ppeak、平均压溃载荷Pmean、引发比应力STS、比吸能SEA和压溃载荷效率CLE,如表3所示。通过比较这些吸能参数可知,有限元模型计算得到的Ppeak比实验结果高出23%,Pmean和SEA与实验结果相当,过高的Ppeak导致CLE偏低。

图11为有限元模型计算得到的复合材料圆管轴向压溃破坏模式,表现为从薄弱端开始稳定渐进的塑性折叠破坏。尽管该破坏模式与外倒角试件在实验中呈现出的脆性断裂破坏模式[4,10]差别较大,但是这种渐进的叠缩模式在宏观上与脆性断裂破坏模式类似,所以相应的计算载荷-位移曲线也与实验曲线的形态相似。

4 结论

(1)利用复合材料宏观力学理论计算得到复合材料圆柱壳的等效弹性常数,并结合有限元软件计算得到的临界屈曲应力,可以将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管进行耐撞性设计分析。与现有报道的方法不同之处在于等效参数的确定没有涉及实验,这样,避免了对每个设计方案必须制造试件并进行实验来确定等效参数的既费工又费时的做法。

(2)采用合理的等效参数,结合理想弹塑性本构模型,不仅能快速预报复合材料结构的吸能特性,而且预报得到的破坏模式、载荷-位移曲线与实验结果基本相似,预报的平均载荷、比吸能与实验结果相当。这说明只要等效参数选取适当,采用理想弹塑性本构模型进行复合材料结构的耐撞性设计分析是可行的。

摘要：以含外倒角薄弱环节复合材料圆管的耐撞性分析为例,提出了基于理想弹塑性模型进行耐撞性设计分析的方法,并给出了等效参数的确定策略。研究表明:利用复合材料宏观力学理论计算得到复合材料圆柱壳的等效弹性常数,并结合有限元软件计算得到的临界屈曲应力,可以将复合材料圆管等效为各向同性材料圆管进行耐撞性设计分析;采用该数值模拟策略,能够以较少的计算量来预报复合材料圆管的耐撞性能,并使得在普通的计算机上进行全尺度复合材料飞行器结构的耐撞性设计分析成为可能。

关键词：复合材料,耐撞性,能量吸收,理想弹塑性模型,等效参数

参考文献

[1]JACKSON K E,FASANELLA E L.Crashworthy evaluation of a1/5-scale model composite fuselage concept[R].NASA/TM-1999-209132.

[2]龚俊杰,王鑫伟.复合材料波纹梁吸能能力的数值模拟[J].航空学报,2005,26(3):298-302.

[3]龚俊杰,王鑫伟.复合材料元件吸能能力的数值模拟[J].南京航空航天大学学报,2005,37(2):188-191.

[4]HUANG Jian-cheng,WANG Xin-wei.Numerical and experimen-tal investigations on the axial crushing response of compositetubes[J].Composite Structures 2009,91(2):222-228.

[5]SIGALAS I,KUMOSA M,HULL D.Trigger mechanisms inenergy-absorbing glass cloth/epoxy tubes[J].Composites Sci-ence and Technology,1991,40(3):265-287.

[6]黄建城,王鑫伟,袁张贤.含薄弱环节复合材料圆管耐撞性研究[J].南京航空航天大学学报,2010,42(4):423-428.

[7]EI-HAGE H,MALLICK P K,ZAMANI N.Numerical model-ling of quasi-static axial crush of square aluminium-composite hy-brid tubes.International Journal of Crashworthiness[J].2004,9(6):653-664.

[8]EI-HAGE H,MALLICK P K,ZAMANI N.A numerical studyon the quasi-static axial crush characteristics of square aluminumtubes with chamfering and other triggering mechanisms[J].In-ternational Journal of Crashworthiness,2005,10(2):183-195.

[9]HUANG Jian-cheng,WANG Xin-wei.Effect of boundary condi-tions on the energy absorption of composite tubes[J].AdvancedComposites Letters,2011,20(3):73-79.

弹塑性模型 篇8

本文考虑了损伤引起材料的刚度退化以及塑性和损伤共同对岩石软化力学性能的影响。从弹塑性力学和损伤理论的角度出发,在热动力学的基本框架下,推导了相应的热动力学力。塑性屈服函数采用采用类似Drucker-Prager线性函数,在函数中同时考虑应变硬化以及损伤软化的影响,采用非关联的流动法则来描塑性流动。考虑与时间无关行为的前提下,采用与损伤驱动力( 一种热动力学力) 相关的函数作为损伤准则,并采用标准正交法则,建立损伤演化规律。由于屈服函数和损伤准则均是关于塑性变形和损伤变量的函数,通过联立二者的一致性条件,实现了塑性和损伤的耦合,建立了弹塑性损伤耦合模型。研究表明,该模型可以较为准确地描述脆性岩石的主要力学特性,包括岩石的峰前硬化、峰后软化以及损伤演化规律等。

1 理论框架

在小变形假设的前提下,基于经典塑性理论,脆性材料的应变张量 ε 可分解为弹性和塑性的两部分。

式( 1) 中: εe为弹性应变张量; εp为塑性应变张量。

对于弹塑性损伤问题,为了简化起见,假设损伤的扩展是各向同性,以标量d表示其大小。在恒温条件下,状态变量可看作是由应变张量ε,塑性应变εp,损伤变量d和描述塑性硬化的内变量γp组成。房敬年等[5]考虑塑性与损伤的耦合作用,提出如式(2)的热动力学势函数。

式( 2) 中: C( d) 为含损伤的四阶弹性刚度矩阵。

基于自由能的W ,通过对弹性应变 εe求导,得到第一状态方程,即应力应变关系:

在本文中假设C( d) = ( 1 - d) C0,C0为初始状态下四阶弹性刚度张量,可以用初始状态下体积模量k0和剪切模量u0表示。

通过对热动力学势函数式( 2) 中损伤变量d求导得到与损伤相关的热动力学力,即损伤驱动力:

同理,通过对式( 2) 中内变量 γp,可得到与塑性硬化量相关的热动力学力:

2 弹塑性损伤本构方程

为了描述脆性岩石在压应力作用下所表现出的力学特性,本节在热动力学基本框架下提出了一个用于描述塑性变化和损伤演化的本构方程。

2. 1 塑性方程

试验研究表明[10]在压应力作用下,脆性岩石通常呈现压剪破坏,本文基于Drucker-Prager线性屈服准则,建立如下考虑损伤的屈服函数。

式( 7) 中:

式( 8) 中: p和q分别为平均应力和偏应力; s为偏应力张量; A初始破坏面摩擦角有关的系数; C0表示材料的黏聚力; h( θ) 用以考虑在复杂应力下罗德角 θ 对塑性屈服面的影响,为简化计算取h( θ) =1 ; αp是描述塑性硬化和峰后应变软化的函数。基于文献[11]的研究成果,可以将 αp表示为等效塑性剪切应变 γp和损伤变量d的函数。

结合式( 6) 和式( 9) 可以得到:

式( 10) 中: B为控制材料硬化速度的参数。γp可表示为

在压应力状态下,多数脆性材料都存在都存在着从体积压缩到膨胀的转化特征,为了更好的反映这一特性,基于Shao等[11]和Pietruszczak等[12]的研究成果,采用如下的塑性势函数。

式( 12) 中: η 为塑性体积压缩和膨胀临界点,即; I0为塑性势面与平均应力p轴的交点。

2. 2 损伤准则

在热动力学基本框架下,损伤准则是与损伤驱动力Yd相关的函数。将式( 10) 代入式( 5) 可得损伤驱动力Yd的表达式为

基于Mazars提出的损伤准则[13],引入如下的损伤演化方程

式( 14) 中: Bd控制损伤的演化速度。

2. 3 塑性损伤耦合

殷有泉[14]从岩石的塑性变形和损伤发展的微观机制出发,指出在工程条件下,塑性变形和损伤的演化规律是相互耦合的。在本文中,从式( 13) 可以看出,Yd的表达式与塑性应变以及塑性偏应变有关; 另一方面结合式( 7) 和式( 9) 可以得到,损伤的演化对塑性的发展具有推动作用。因此本文所提出的模型考虑了塑性与损伤的耦合效应。

假设塑性和损伤的发展都符合正交流动法则,可得:

式( 15) 中: λp和 λd为塑性乘子和损伤乘子。通过联立两个屈服准则和损伤准则的一致性条件,可以确定这两个乘子。

结合式( 15) ,对式( 16) 进行化简可得:

式( 17) 中: Hεd为硬化模量,其表达式为

3 模型验证

为了对所提出模型的适用性和有效性进行验证,运用该模型对大岗山辉绿岩三轴压缩试验[15]进行了模拟。

RLW-1000KN岩石全自动三轴伺服流变仪主要是研究岩石三轴状态下长时间流变特性的试验设备,同时也可以进行常规单轴、常规三轴压缩试验。杨文东等[15]在岩石全自动流变仪上对大岗山辉绿岩进行了常规三轴压缩试验,揭示了辉绿岩的变形和强度特征。试样尺寸为 Φ 50 mm × 100 mm,岩石试样根据《水利水电工程岩石试验规程》( DL/T5368—2007) 标准加工。由试验得到硬脆性辉绿岩在不同围压下的偏应力-轴向应变、横向应变如图如图1 所示。

由图1 知: 一开始在围压和偏压力作用下,岩石内部部分孔隙裂隙闭合,岩样中的孔隙比减小,应力应变曲线上凹,围压小于20 MPa时上四段十分明显; 但在较大的围压作用下( 如围压30 MPa和50MPa) ,岩样中的微缺陷已在很大程度上被压密闭合,轴向加载时初始压密阶段不明显。轴向载荷继续增加,变形随应力成比例增加,表现为相对明显的线弹性。之后,增加轴向应力,变形继续增加,岩样中已有的裂隙开始扩展并且有新的裂隙生成,并且随着应力增加裂隙的数量及尺度逐步增大,大量的裂隙连接贯通,并沿一定结构面发生剪切滑移,岩样进入裂纹非稳定展阶段,应力-应变曲线的非线性逐渐增强。当达到峰值强度后,岩样发生突发性破坏而失去承载能力。

本模型所包含的7 个参数均可通过上述三轴压缩试验予以确定。

( 1) 弹性参数E和 ν 可通过应力-应变曲线线性段的斜率进行确定。

( 2) 参数A和C0可基于不同围压条件下,材料的破坏强度进行确定。

(3)参数B可通过加卸载试验进行确定。

(4)参数η可通过。

参数的选取如表1 所示。

参数确定后,对不同围压条件下的大岗山辉绿岩三轴压缩试验应力-应变关系的模拟曲线如图2所示。从图中可以看出,数值模拟的结果与试验数据具有较好的一致性,表明本文所提出的模型可以较为完整的描述脆性岩石的宏观力学行为,包括岩石的强度、峰前硬化和峰后软化行为。此外,岩石的力学特性随着围压的增大从脆性到延性的转变也得以体现。

此外,为了对模型进行进一步的验证,笔者对加载过程中损伤的发展进行了模拟。从图3 中可以看出,在加载初期损伤发展非常缓慢; 随着偏应力的增加,损伤演化速度在不断加快并导致材料发生破坏;到达峰值之后,损伤发展速度逐渐放缓,损伤最终趋于稳定。这种模拟的趋势与陈亮等[8]通过试验观察到北山花岗岩损伤的发展趋势是相似的。

4 结论

本文在热动力学的基本框架下,提出了一个在压力作用下脆性材料的弹塑性损伤耦合模型。并通过对大岗山辉绿岩不同围压下常规三轴压缩试验的模拟,验证了模型的有效性。研究所得的主要结论如下。

( 1) 本文所提出的模型可以较好地反映脆性材料在压应力作用下的宏观力学特征,包括峰值强度、变形特征以及随着围压的增大脆性材料的力学特性发生从脆性到延性的转化。

( 2) 本模型考虑了脆性材料在压应力作用下塑性变化和损伤演化的耦合作用,可以较好地对材料的损伤演化进行预测。

( 3) 需要指出的是,脆性材料在拉、压应力条件下损伤发展机制是不相同的,因此本模型在拉伸及其复杂应力状态下是不适用的。

摘要：在压应力作用下,岩石的塑性变形和损伤演化是相互耦合的。在热动力学基本框架下,建立了一个用于描述在压缩荷载作用下脆性岩石非线性力学行为的弹塑性损伤耦合模型。模型采用基于Drucker-Prager线性屈服准则,并同时考虑损伤软化效应的函数作为加载函数。此外,为反映岩石在压应力作用下体积变形从压缩到膨胀的转化过程,引入非关联的塑性流动方程。基于已有的损伤理论,建立含有塑性剪切应变的损伤准则。通过联立屈服准则和损伤准则的一致性条件,建立塑性和损伤发展的耦合关系。运用建立的模型对不同围压下大岗山辉绿岩的常规三轴压缩试验进行模拟。模拟结果和试验数据具有较好的一致性,表明了模型的合理性和有效性。

弹塑性模型 篇9

为了解释股票的量价关系,国内外学者从不同角度,选取不同市场进行研究。主要包括:①量价关系[1,2,3]。大量研究表明,交易量与价格变化的绝对值间呈正相关关系[4,5,6]。对这一现象的解释目前尚缺乏足够的定量性推理证明。②成交量和股价的动力学关系[8,9,10,11]。从标准动力学角度,用类比的方法,借用动量定理,计算了股票交易动量,得出了进行交易的信号(动量下限),但收益率的概率的确定有一定困难。③基于成交量的股价序列分析[12,13,14,15]。重新构造基于成交量推进的股价变化研究方法,但构造序列的过程较为复杂,而大部分实证研究只是说明成交量与价格之间有紧密联系,但大都较少解释。④基于高频交易数据的研究[16,17,18],高频数据量大,可以弥补数据量不足的问题,但随机性较强,而且获得高频数据不容易,计算量大大增加。⑤股价弹塑性模型。从材料形变的视角引入了股票均衡价格、股价弹性、股价塑性概念,应用类比推理方法,推导出股价弹性模型、股价塑性模型、弹性塑性交叉模型、双向成交量的弹塑性交叉模型[19,20,21]。该模型涉及变量较少,使用简便,但模型拟合精度不是很高。

事实上,很多研究还是把成交量看成单独的变量进行研究,而未把成交量与价格结合起来,成交量的信息也未真正融入到价格序列中去分析价格行为。本文将借鉴材料形变有关的理论,针对原股价塑性幂指数模型指数确定的不便和不精,提出通过引入成交的最高价、最低价和流通股数,将成交量和成交额的时间标度后移了一天,并将幂指数形式转换为对数形式,从而构建了一种新的股价塑性幂指数模型。

2 股价塑性模型

2.1 股价弹性和塑性形变

股价在成交量推动作用下的变化,类似金属材料受力时的形变。当受力小于弹性极限应力时,试样只产生弹性变形,外力撤除,试样可恢复原来形状状态不变;对应股价弹性形变。股价弹性指当股价偏离均衡价格,且成交量萎缩的情况下,股价向均衡价格移动的性质。由于股价是具有强相关性的时间序列,所以有保持原来价格的惯性。当受力超过弹性应力而小于断裂应力时,试样除存在弹性形变外还产生塑性形变,塑性形变的试样改变原来的形状;对应股价塑性形变,即股价由于成交量的冲击而涨跌,偏离原均衡价格。股价塑性指股价偏离原均衡价格,且有一定成交量作用下,股票均衡价格移动的性质。当受力超过断裂应力时,试样被毁坏;对应股市崩盘。

2.2 原始股价塑性模型

应用计量经济学方法建立价格和成交量的股价塑性模型表达式为:

$B{}_{{\rm K}+1}=B{}_{{\rm K}}+\alpha \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}}^i-B{}_{{\rm K}})}{Q{}_{{\rm K}}^F}+\epsilon {}_{{\rm K}}(1)$

其中,BK为第K日的均衡价格; QiK为第K日中第i笔交易的成交量;PiK为第K日中第i笔交易的价格;QFK为该支股票第K日的流通股数量;N为第K日中的交易笔数。

为便于计量和表达,通常将式(1)变形为:

$\frac{B{}_{{\rm K}+1}-B{}_{{\rm K}}}{B{}_{{\rm K}}}=\alpha \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}}^i-B{}_{{\rm K}})}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}}}+\epsilon {}_{{\rm K}}(2)$

其中,左边$\frac{B{}_{{\rm K}+1}-B{}_{{\rm K}}}{B{}_{{\rm K}}}$为均价变化率,记为BBK;右边$\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}}^i-B{}_{{\rm K}})}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}}}$是个无量纲的量,通常被定义为股价塑性指数(stock price plasticity index,简称SPPI)[22]。

2.3 改进股价塑性模型

①借鉴材料力学中塑性的衡量公式

提出对应股票均衡价格的塑性公式为:

$\Psi =\frac{{\rm P}{}_{{\rm K}+1}-B{}_{{\rm K}}}{B{}_{{\rm K}}}\times 100\%(3)$

将此塑性公式代入原模型中去,式(1)变为:

$B{}_{{\rm K}+1}=B{}_{{\rm K}}+\alpha \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}+1}^i-B{}_{{\rm K}})}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}}}+\epsilon {}_{{\rm K}}(4)$

这种变化的目的是为了在式(4)右边的股价塑性指数项中,继续添加与价格有关的解释变量,对比原模型,通常认为是乘积项,遂有了以下改进。

②引入成交最高与最低价

证券交易所每日公布的数据还有成交的最低和最高价,这也是反映股价塑性很好的指标。显然,两者的差值越大,股票的塑性就越好,和股票塑性是正比关系,于是将其加入股价塑性模型中,式(4)变为:

$B{}_{{\rm K}+1}=B{}_{{\rm K}}+\alpha \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}+1}^i-B{}_{{\rm K}})({\rm P}{}_{{\rm K}+1}^{{\rm H}}-{\rm P}{}_{{\rm K}+1}^L)}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}}}+\epsilon {}_{{\rm K}}(5)$

其中,PHK+1为K+1日的最高价;PLK+1为K+1日的最低价。

③时间标度

股票的均衡价格应该和本日的流通股数、成交量和成交额有相关关系,而不是和上日,因此在这里将时间标度后移一日。调整后得:

$B{}_{{\rm K}}-B{}_{{\rm K}-1}=\alpha \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}}^i-B{}_{{\rm K}-1})({\rm P}{}_{{\rm K}}^{{\rm H}}-{\rm P}{}_{{\rm K}}^L)}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}-1}}+\epsilon {}_{{\rm K}}(6)$

左边为股票均价变动,即价差,记为CBK.右边${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i{\rm P}{}_{{\rm K}}^i$为每日成交额,${\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i$为每日成交量,该式避免了高频数据获取不便的问题;$\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}}Q}{}_{{\rm K}}^i({\rm P}{}_{{\rm K}}^i-B{}_{{\rm K}-1})({\rm P}{}_{{\rm K}}^{{\rm H}}-{\rm P}{}_{{\rm K}}^L)}{Q{}_{{\rm K}}^{F}B{}_{{\rm K}-1}}$体现了股价塑性,定义为新的股价塑性指数(SPPIK);α定义为股价塑性系数。因此股价塑性模型可以表示为:

$CB{}_{{\rm K}}=\alpha \cdot S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}+\epsilon {}_{{\rm K}}(7)$

以表1中第一支股票为例进行最小二乘回归,得到方程的样本判定系数仅为0.24(保留两位小数,下同),结果不理想,还要继续进行改进。

2.4 构建股价塑性幂指数模型

通过分析股价基本模型计量经济学检验的残差图,发现股票均衡价格的变化和其残差之间不是严格的线性关系,见图1。

从图1中看到CB与残差呈现出一定的同步性;也就是说,当价差较小时,拟合效果较理想,但当价差较大时,拟合效果较差。又发现材料力学中,描述塑性材料的公式一般都是幂指数。因此,假设CB和SPPI之间可能存在幂指数关系,据此把股价塑性模型(7)修正为:

$CB{}_{{\rm K}}=\alpha (S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}){}^n+\epsilon {}_{{\rm K}}(8)$

因SPPI取值正负不定,而式(8)幂函数对定义域有要求,对式(8)进行数学处理,得到:

$CB{}_{{\rm K}}=\alpha \text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}})|S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}|{}^n+\epsilon {}_{{\rm K}}(9)$

其中, sign()为符号函数。式(9)加入符号函数既保证了幂函数符合定义域的要求,又保证了SPPI和CB的对应。系数α体现了股票价格塑性的大小,由股价塑性定义知:均衡价格变动方向应该与股票价格与均衡价格的位置关系有关。即当股票价格偏离其均衡价格,向上移动时,由于股价塑性性质,股票均衡价格也将向上移动;反之,当价格向下偏离均衡价格,均衡价格由于其塑性性质也将向下移动,因此预计参数α应该为一个正数[22]。将式(9)两端取对数:

$\begin{array}{l}\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(CB{}_{{\rm K}})\log |CB{}_{{\rm K}}|\\ =\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}})(\log \alpha +n\text{l}\text{o}\text{g}|S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}|)+\epsilon {}_{{\rm K}}(10)\end{array}$

因为CB与SPPI符号一致,于是去掉符号函数,得到简化模型:

$\log |CB{}_{{\rm K}}|=a+n\text{l}\text{o}\text{g}|S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}|+\epsilon {}_{{\rm K}}(11)$

上式将logα直接看成参数a,这时就可以直接用线性最小二乘进行估计了。

3 实证分析

3.1 选用的样本数据范围及原因

由于中国股市股票的总股本大多包含大量国家股和法人股,这部分股票不仅不能上市流通,而且其获取价格与股票市价相差颇大,致使总股本并不真正反映股票的流动性,因而选用流通股本较合适。本文做的是A股,配合的QFK为流通A股数量;如做B股,对应的就应是流通B股数量。

本文选取沪深A股市场上市较早且各个板块中有代表性的30支股票的日数据为研究样本(医药4支,综合1支,金融1支,能源化工8支,房地产3支,汽车3支,家电2支,公用事业3支,机器制造2支,电子科技3支)。为避免新股上市初股价的剧烈变化,本文所选的股票都是98年11月之前上市的。数据来自中国证券市场数据库。本文取股票收盘价的十日平均值作为股票均衡价格。

3.2 实证结果

下面仅以表1中第一支股票华北制药(600812)为例进行实证。判定系数仅为0.071,拟合精度很不理想,应对模型进行改进。由材料塑性的公式想到价差的n次方,又股价塑性模型的主要指标为SPPI,因此估计范围可能为[0.1,0.5]。计算了价差的0.1～0.5次幂与股价塑性指数之间的协方差与相关系数,发现0.1次幂与股价塑性指数之间的协方差与相关系数都最小,即均衡价差0.1次幂与股价塑性指数的相关性最小,且0.1次幂在0.1～0.5中最小;于是将式(11)进行扩展为:

$\log |CB{}_{{\rm K}}|=a+n\text{l}\text{o}\text{g}|S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}|+b|CB{}_{{\rm K}}|{}^{0.1}+\epsilon {}_{{\rm K}}(12)$

进行线性回归,判定系数提高到0.996。F值为2199.18,说明(12)整体的统计显著性。但DW值仅为1.14,说明模型存在序列自相关,为此加入一阶自回归过程,来消除序列自相关性,则式(12)变为:

$\begin{array}{l}\log |CB{}_{{\rm K}}|=a+n\text{l}\text{o}\text{g}|S{\rm P}{\rm P}{\rm I}{}_{{\rm K}}|+b|CB{}_{{\rm K}}|{}^{0.1}\\ +AR(1)+\epsilon {}_{{\rm K}}(13)\end{array}$

这时DW值升至2.10,可以认为模型不存在自相关问题了。

采用式(13)对选取其余的29支股票进行回归,实证结果比较接近,都较理想。选取结果相对最好与最差的股票各4支,如表1所示。

3.3 结果分析与讨论

第一,从表1可以看出,改进后模型的F统计值都非常大,改进后模型的F统计值都非常大,最小的也为51911.17(000032),最大的已经达到185514.1(600812),均值为130309.74,该统计量非常显著,说明改进后的股价塑性幂指数回归方程作为一个整体的统计显著性,即每个解释变量都是模型不可忽略的解释因素。

第二,最能说明模型拟合优度的样本判定系数(或调整的样本判定系数, 本文讨论样本判定系数, 调整的样本判定系数一样可以说明问题)全部有所提高,现在已经非常接近于1了,说明改进后的模型已经可以很精确地描述股票均衡价差绝对值的变化了; 与原始股价塑性幂指数模型相比,平均提高率略大于21.16%,最大的样本决定系数已经达到0.997(600812),而原模型中最大的也只有0.856(000898),这说明改进后模型的提高幅度可以说是较显著的。

第三,改进后模型的DW统计量虽然都比原模型的DW值略大一点,但这样的DW值也可以认为改进后的模型不存在序列自相关。其实,即使模型还存在自相关,可通过继续在式(13)的解释变量中加入AR(2)等项来对它进行矫正。

第四, 唯一不是很理想的就是SPPI系数的绝对值稍微偏小, 最小的绝对值仅为0.0036(000022), 最大的绝对值也才为0.017(600153), 平均只有为0.012。这是因为, 当引入了均衡价差绝对值的0.1次幂时, 被解释变量中有一部分被其解释, 削弱了股价塑性指数这一主要因素对均衡价差绝对值的解释程度。但从股价塑性指数(SPPI)的t检验值来看, 基本上所有的SPPI系数都已经具备统计显著性了, 只有000022一支股票的股价塑性指数(SPPI)的t检验值为-2.85, 说明该系数还不够显著, 剩下股票的股价塑性指数(SPPI)都是可以作为模型中一个解释变量而纳入模型中的。原始模型由于引入了均价变化率的一阶滞后, 同样使得SPPI的系数变小, 也削弱了塑性指数对被解释变量的影响, 但也都通过了显著性检验。

第五,模型的形式与之前作的理论分析是一致的——均衡价差由股价塑性指数决定,与价差的0.1次幂高度相关;并且每支股票的股价塑性系数都存在着差异,表明每只股票的塑性都因各自不同情况而有所不同。实际上,本文选取不同的时间段所作的回归结果表明:即使是同一支股票,在不同的时间段内,得到的股价塑性系数也不相同,这与之前的理论分析也是一致的。

4 结论

综上所述,式(13)的总体拟合程度和各解释变量均可以通过统计检验,也具有经济学含义,可以作为一种候选方法对股价进行预测。

①股票平均价格的变化与股价弹性指数和股票平均价格的一阶滞后变量都存在着相关性。

②股票均衡价差绝对值的变化与股价塑性指数、股票均衡价差绝对值的0.1次幂和其一阶自回归都存在着非常大的相关关系。

③从股价塑性模型的参数估计及其检验结果都可以看出股票价格确实有塑性,这与道氏理论中的趋势分析是一致的。

摘要：针对中国股市量价关系的问题,借鉴材料形变理论,通过引入成交的最高、低价,将成交量、成交额和流通股的时间标度后移了一天,并将幂指数形式转换为对数形式,从而构建了一种新的股价塑性幂指数模型,并利用1999年1月4日至2007年6月9日沪深A股市场30支股票的日数据进行了实证研究。实证结果表明新模型比原模型的样本决定系数平均提高了21.16%,其余变量也均通过显著性检验,新模型也具有经济学意义。在一定程度上表明,新构建的模型的拟合优度要比原模型有较大提高。