代数意义（精选五篇）
代数意义 篇1
代数以它抽象的概念、众多的定理及公式和解题过程中的高度技巧性使学生感到要学好它很困难。本来多彩的数学变得枯燥了。初中阶段是奠定数学基础的关键时期, 教不得法就会使学生产生数学单调乏味、抽象难懂的印象, 产生厌学心理。学生有了这样的心理情绪, 要学好代数就难了。
根据直观性教学原则, 人们研究和使用了许多数学模型、图表、多媒体辅助等来加强教学的直观性、形象性。在直观教学已成为经典教法的今天, 大有必要探索更深层次的方法, 代数“形化”教学就应运而生。
一、什么是代数“形化”
所谓代数“形化”, 就是把抽象的代数问题进行“形体化”。就是要善于使用图形、数轴、表格、物体等来帮助学生理解和解决代数问题。这是一个引导思维的创造性的过程, 有利于建立数的实物感的“形体”和强烈视觉效果的意象, 使无形的数变得具有强烈的可视性和可感度, 为分析问题提供方便。代数的“形”是对“数”及其表示形式进行“形化”加工的产品, 它可以是各种图像、表格, 甚至是形象的语言、符号等。
二、“形化”教学与传统直观教学的主要区别
“形化”教学的意义比直观教学更加广泛。传统的直观教学局限于让学生直接感受, 由此抽出概念、原理的那些具体事物、形象或模型, 即用感官直接感受, 为抽象思维建立感性基础。而“形化”教学是把数学问题进行“形化”的过程。即可以通过构图来实现形象化, 且这种构图不拘泥于几何图形, 可以是一切符合情理、能够揭示问题本质的图。例如, 若a, b, c都是正数, 求证: 。我们将 利用勾股定理作为直角三角形的斜边二维“形化”出来图1。
由所求证之不等式表明所作出的三条线段组成三角形不等式。a, b, c公用, 如图2集中在一起, 这时, 。但AB, BC1, C2A并没有形成一个三角形的三条边。怎么办?需要使C2点与C1点重合, OC2与OC1重合, 这在平面上不能实现, 只形成如图3所示的空间图形。由△ABC中AB+BC>CA即得到所求证的不等式 。
三、“形化”教学的意义
1. 代数的“形化”教学, 适应了中学生发展的特点
人们对形的认识和感知原本就是先于数的, 对形的经验远比对数的经验丰富得多。回顾一下小学的教学内容, 无不是以形为基础的, 概念法则也都是以直观图形为基础的, 若问小学生为什么 , 最大的可能就会画出图4来回答, 毋庸讳言, 代数的学习对图形有很强的依赖性。
初中代数是小学算术的延续和扩充, 二者的连续性表明它们具有不可分割的有机联系, 然而代数与算术毕竟有大量的区别和不同, 如算术里研究数都是具体的, 不追求数的有序和系统, 而代数要研究关于数的和谐和整体性及有序结构, 代数除四则运算还有乘方、开方、指数运算、对数运算等。二者在内容和方法上的不同, 又必然要求思维产生一次更新和过渡, 即从特殊过渡到一般, 从具体过渡到抽象。
这些区别与联系, 归纳起来就是知识结构的区别与联系, 学生认知心理结构的区别与联系, 知识结构随着教学的深入日趋完善和有序, 学生认知结构并非与生俱来, 调整与迁移的过程也决非自发完成。
教无定法但一定得有法, 教法的选择必须在连续性和迁移性原则指导下来设计和选择, 从连续性的角度看, 初中和小学的代数是一个连贯的整体, 学生心理发展水平也是一个连续过程。
因此初中代数的教法就应当与小学教学相衔接, “形化”教学应是首选方法, 是搞好教学衔接的有效手段, 可以促进学生认知结构的完善和迁移。从迁移性的要求看, “形化”教学是实现迁移的重要手段, 小学在比较两个 (正) 分数的大小时一般用前边那种切月饼似图形来让学生观察发现规律, 到了初中比较两个有理数的大小时, 靠什么呢?靠数轴。有了数轴这个“形”的支撑, 使学生把数的大小比较迁移到一般和普遍的意义中去, 使认知结构逐渐完善起来, 再从解题的需要来看, 把代数问题“物化”本身就是一个解题策略, 通过思维的迁移把“数”的问题转化为“形”的问题去研究, 常会显示出空前的优越性。
例如:已知 (a+b+c) c<0, 求证:b2>4ac。
若用纯代数的方法去处理, 繁难程度是很大的。转化为函数问题并构建相应的图像模型来处理, 其结果就一览无余。
根据求证b2>4ac的特点, 联想到“形化”一个二次函数图像, 有如下简单的快证法:
证明:由已知 (a+b+c) c<0, 可知c≠0, 设函数f (x) =cx2+bx+a, 易知f (1) =c+b+a, (a+b+c) c<0等价于cf (1) <0。
(1) 当c>0时, 抛物线f (x) =cx2+bx+a开口向上, 此时f (1) <0, 所以f (x) 与ox轴有两个交点, 即cx2+bx+a=0有两个不等实根。
(2) 当c<0时, 抛物线f (x) =cx2+bx+a开口向下, 此时f (1) >0, 所以f (x) 与ox轴有两个交点, 即cx2+bx+a=0有两个不等实根。
综合上述 (1) , (2) 可知, 当 (a+b+c) c<0, …, 故b2>4ac。
2. 有利于培养学生良好的思维品质
代数的“形化”教学可以有效地防止思维的片面和僵化, 提高思维素质, 促进学生思维品质向最优化方向发展。
(1) “形化”教学能有效地培养思维的敏锐性。思维的敏锐表现在快上, 要快就要有思维的多起点和快的启动速度及短的思维航程。而“形化”教学恰好在数与形之间建立了一条信息通道, 放弃个别细节, 从整体上进行迅速跳跃的思考与判断, 求得问题的最优化解决。
(2) 由表及里, 锤炼思维的深刻性。思维的深刻性就是思维有良好的逻辑结构, 能抓住事物的本质规律。形是直观的, 它透过外表揭示内在的数量特征, 如集合中的韦恩图就能深刻揭示集合的子、交、并、补等概念的本质。
(3) 有利于训练思维的条理性。思维的条理性就是将混沌无序的问题情景梳理为一个有序结构, 使得层次分明, 解题思路清晰, 表达井井有条。
(4) 有利于培养思维的发散性。发散思维具有多向性、大范围、不墨守成规, 善于对问题作广泛联想, 而“形”与“象”的丰富特点正好为发散思维提供了广泛的联想空间。比如等式y=ab, 我们可以舍弃它的具体意义, 联想所有三维量公式。
我们提倡“形化”教学, 是基于它有上述功能, 但任何一种教法都不可能完美无缺, 它必须与其他教法有机结合才能取得成功。切忌喧宾夺主, 我们利用“形”是为了最终摆脱“形”, 使学生思维发展到创造性的抽象逻辑思维。
参考文献
[1]岳晓东, 龚放.创新思维的形成与创新人才的培养.教育研究, 1999.
[2]罗增儒.数学解题学引论【M】.西安:陕西师范大学出版社, 2001.
Z-代数格和Z-代数交结构 篇2
Z-代数格和Z-代数交结构
讨论Z-代数格,Z-代数交结构以及Z-代数闭包算子之间的.关系,得到了格L上的Z-代数闭包算子与带顶元的Z-代数交结构之间存在一一对应关系,并且每一个Z-代数格都与带顶元的Z-代数交结构同构.
作 者：李庆国 李纪波 LI Qing-guo LI Ji-bo 作者单位：湖南大学,数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082 刊 名：模糊系统与数学 ISTIC PKU英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS 年，卷(期)：2008 22(3) 分类号：O153 关键词：Z-代数闭包算子 Z-代数交结构 Z-代数格 Z-紧元
模式思想对代数教学意义的探讨 篇3
几何与代数是数学中两个最经典的分支，是数学方法与思想的重要源泉，也是中学数学教学的基本内容.古典的综合几何（欧氏几何）曾统治数学及其教学有2000年的历史.随着解析几何的诞生，把分析的方法（代数方程）引进几何研究，使得初等几何的问题代数化、形式化，从而为数学研究的程序化、机械化、模式化奠定了基础.更进一步，数学的代数化成为20世纪数学发展的一个重要特征1.代数在从其他领域汲取新思想、新方法的同时，不断深入到数学的其他领域以及数学之外的领域，这是由于它的方法与结果形成一种一般模式具有广泛性.从某种意义上讲，数学就是一种模式的科学，正是由于这种代数模式的推动，促进了许多新学科相互交织发展.因此，代数不再被看成是解决一些技巧性很强的个别支离破碎的问题和没有意义的符号游戏，而是由“代数思维”贯穿的整体，这种代数思维的一个很重要的特征就是模式，已经延伸到几何、概率等领域.因此，代数思维已经成为数学教学的基本话语，代数思维的教学是学生在数学及其他领域获得成功经验的必要准备.2
代数教学在我国已有一定的重视，但是对于将代数作为一种数学中的“核心思想（big idea）”的教学进行研究则相对较少.对几何教学以及逻辑思维则视为数学的“核心思想”而忽视了对代数思维的研究.在国际上已经有很多学者对代数思维展开了深入的讨论、研究.主要集中在以发展学生的代数思维这一理念下提出的，旨在通过对代数核心思想的教学，让学生获得对代数整体性认识和概念性理解，将课程被割裂的代数知识整合起来，并将代数与几何及其他学科紧密联系3.特别需要提及的是全美数学教师理事会（NCTM）关于“为每个人的代数”的报告，促使越来越多的数学教育专家关注于代数思维的教学研究，并明确提出将代数核心思想作为贯穿中小学代数教学的主线.4
目前，对代数思想中的核心思想究竟包括哪些，众说纷纭，Randall I. Charles在NCTM 2005年会上归纳的10个代数核心思想具有一定的代表性：数、运算方法和关系、性质、比例、等价、比较、变量、模式、关系和函数、方程和不等式.相关的研究表明，模式作为代数核心思想之一已受到普遍的认同和关注.模式是指现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.本文以“模式”为例，对代数核心思想进行探讨，旨在为我国的核心思想的教学提供借鉴和启发.
1 模式的概念界定
人们通常使用的“模式”一词，来源于“模型”.“模”包含了实物模型的意义，“式”包含了形式、样式的意义，“模式”一词便兼有实物和形式的意义5.对于作为代数核心思想的“模式”一词，主要有以下几种不同的观点：
①Randall I. Charles在NCTM 2005年会上，提出模式作为10个代数核心思想之一，是指一些数学情境中的数字和对象，可被用来定义关系和进行概括，是将现实情境和数学问题联系起来的桥梁.
这一观点，是本文最初的出发点，虽对“模式”做出的定义比较笼统，但揭示出了“模式”是来源于“情境”中，需要人们进行理性思维和提炼才能认识.正是由于它这种与“情境”的渊源和蕴涵的理性思维的性质，使得它成为将二者紧密连接起来的关键.
②刘长明、孙连举在对全美数学教师理事会2000年公布的《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称NCTM2000《标准》）进行分析中，认为“模式指的是存在于现实情境中的数量形式，关系指的是模式中的数量之间的联系，函数是对关系的抽象概括，是模式中的一种”6.
虽然“理解模式、关系和函数”是NCTM2000《标准》中贯穿13个年级的代数教学的主题之一，但它并没有对“模式”做出明确的定义或说明.刘长明、孙连举的分析，进一步阐明了“模式”是“数量形式”.但对“数量形式”这一说法，目前从数学哲学观点看还存在着一些争议.
③徐利治、郑毓信教授认为，数学模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式.当然，凡是数学模式在概念上都必须具有一义性、精确性,一定条件下的普适性及逻辑上的演绎性.”7
这一观点是从数学哲学的角度对“模式”进行了界定，较之前两个观点更抽象，是更一般的“模式”，不仅包括内容上的“模式”，而且还包括数学方法以及思维的“模式”.作为本文对象的“模式”是要求学生掌握的代数核心思想之一，是学生认识规律的方法，不研究作为方法以及思维的“模式”的性质.这一观点所界定的“模式”反映事物的“关系结构”比“数量形式”的说法更加明确，也与观点①更为接近.
综合考虑以上观点，本文采取的观点是，模式是现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.
2 模式思想对代数教学的意义
2.1 有助于学生获得概念性理解
我国《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称我国高中《标准》）中倡导让学生获得概念性理解.NCTM2000《标准》则将强调概念性理解和理解模式贯穿始终.以模式为代数核心思想之一的代数教学有助于学生获得概念性理解.
代数作为数学最主要的分支之一，是以代数结构作为研究对象的一门学科.所谓代数结构，就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合.学生从小学、中学到大学，正是以“感性”或“直观”概念作为特例，逐步地拓展范围，逐步地提高抽象层次.代数学这种高度抽象的理论与方法，较之其他数学分支尤为明显.高中阶段代数领域的学习与初中比较，有进一步符号化、知识点多、进度快的特点.学生在初中初步接触符号化，从用字母表示数开始，逐步学习变量、代数式、方程和函数变量说的概念.进入高中阶段，重新定义函数,研究函数的性质、典型函数的特点都要用到符合化的语言，公式的推导也要求能够进行纯粹的符号运算而且推理更加严密.如数列部分，大量的符号本身就已经成为学生学习和教师教学的一个难点.因此，在高中代数教学中，使学生摆脱机械的操作与记忆，获得概念性理解就显得尤为重要了.而要获得概念性理解，就要深入理解研究对象的结构和本质，模式正是对事物关系结构的反映.
2.2 有助于代数学习与现实生活的联系
在对模式进行的概念分析中，我们已经看到，模式正是来源于情境中，是将代数与现实世界联系起来的桥梁.荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔提倡要让学生学习多方面联系的数学，这包括数学内部的联系以及数学与外部的联系两方面.数学内部的联系使得数学构成统一的整体，数学与外部的联系对学生来说却是“更自然与更重要的”，而且为了教有联系的数学“还是应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系”8.中国高中《标准》代数部分中在每一部分都要求提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，以激发学生学习代数的兴趣，增强学生的应用意识.同时，随着对数学本身的不同理解，数学不再单单是“思维的体操”，而且它的工具价值越来越受到重视.学生不仅要借助现实情境来理解代数，而且要在情境中体会数学的用途，为适应社会和选择不同职业作好准备.
2.3 有助于发展学生的抽象概括能力
代数的高度抽象性是其显著特征之一.12到18岁的中学生正处在抽象思维迅速发展的时期.因此不能仅仅看重中学生数学创新、发散等思维能力的发展，也要重视抽象思维能力的培养，否则将事倍功半.就高中代数内容而言，抽象程度与初中相比显著提高.对于高中学生来说，抽象概括能力也应在代数学习中得到提升.
在代数思维的理论框架中，模式属于基本思想中的学习方程和数学建模的工具，与属于代数思维工具中的概括相互对应.适当的模式可以给学生提供观察和口头概括的机会，进而用代数符号记录结果.学生在对所给情境中的隐藏的模式进行识别或是建构的过程中，实际上就是在进行思维抽象层次的提升，模式分析则又是一次抽象层次的提升.如NCTM2000《标准》中，给出了三个不同的问题情境后，分别要求学生建构其中的模式，发现函数表达式，这是对现实问题的一次抽象.在这个基础上，又要求学生比较这些函数（也就是在比较这些模式内部或不同模式之间）的相同点和不同点，比如增减性或增长率等，这又是一次抽象.这样的过程，才可以使学生的思维上升到一定高度.
参考文献
［1］ 张继平主编．新世纪代数学［M］．北京：北京大学出版社，2002：2
［2］ Kriegler, S. (2001). Just what is algebraic thinking? submitted for algebraic concepts in the middle school ［J］. A special edition of Mathematics Teaching in the Middle School
［3］ Woodbury, S. (2000). Teaching toward the big ideas of algebra ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.6, Dec2000:226-229
［4］ 曹一鸣，王竹婷，数学“核心思想”代数思维的教学研究［J］，数学教育学报，Vol.16, No.1, 2007:8-11
［5］ 曹一鸣著.数学教学模式导论［M］.北京:中国文联出版社,2002：33
［6］ 刘长明,孙连举.中美初中学段“数与代数”领域内容标准的比较研究［J］.数学教育学报, Vol.13, No.4, 2004: 45-48.47
［7］ 徐利治. “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题［A］，徐利治论数学方法学［C］，济南:山东教育出版社,2001：124
［8］ ［荷兰］弗赖登塔尔著.陈昌平,唐瑞芬等编译.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社,1995：74
利用构造法解初中代数题的意义 篇4
一、初中代数的内容联系及地位作用
初中代数是初中数学的重要组成部分。它包括数、式、方程和不等式、函数的初步知识及统计初步知识这五部分基本内容。笛卡尔模式告诉我们, 一切问题可以转化为数学问题, 一切数学问题可以转化为代数问题。这个模式虽不是万能的, 但它在解决数学问题时确有重要作用。研究初中代数, 是进一步学习其他数学知识的前提与基础。在初中代数中, 方程处于承前启后的地位, 它前承数、式的学习, 后启不等式、函数的学习, 它们相辅相承、相互作用, 构成了初中代数的理论基石。
二、利用构造法解代数题的实质
利用构造法解代数题, 就是根据需要与可能构造出题设条件所没有给出的数 (或式) 、方程、不等式、函数、图形、命题等, 以沟通题设条件与待求或待证结论的一种创造性的数学方法。
三、利用构造法解代数题应注意的问题
利用构造法解代数题, 需要搞懂两个问题: (1) 弄清为什么目的而构造, 明确构造方向; (2) 全面分析题设条件及结论特点, 设计构造方案。这两个问题是用构造法解决代数题的关键。
四、利用构造法解初中代数题的几种常见情形
1. 构造辅助函数
所谓构造辅助函数, 就是依据给定问题的条件与结论, 构造出一个函数解析式, 利用函数的某些性质和图象来帮助解决问题。
例:若x, y, z∈ (0, 1) , 则有x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1。
证明:构建一次函数f (x) = (1-y-z) x+y (1-z) +z, x∈ (0, 1) 从而 , 于是对0
2. 构造辅助数与式
根据问题的特征, 构造出一个联系条件和结论的数或式子, 架起一座解题的桥梁。
例:试证在0与1之间有无穷个有理数。分析:此题从正面思考较困难, 可使用反证法并通过构造新数导出矛盾。
证明:假设在0与1之间仅有n个有理数a1, a2, …an, 由于任两个有理数之积仍是有理数, 于是构造一个与a1, a2, …an都不相同的有理数p=a1·a2……an。∵0
3. 构造辅助方程 (或方程组)
有些数学计算或证明问题, 与方程的求解密切相关, 我们可通过分析构造出相应的方程 (或方程组) , 然后由方程的求解或解的性质使问题得到解决。
例:已知方程组 , 求x+y+z的值。
分析:两个方程含三个未知数, 不易解出各未知数, 但观察待求结论与已知方程组的特征, 可将x+y+z看成一个“未知数”, 将原方程组变形为含两个“未知数”的二元一次方程组, 问题便迎刃而解。
(1) ×3- (2) ×2得=1。
4. 构造辅助不等式 (或不等式组)
有些数学问题, 蕴涵着量与量之间的不等关系, 可通过建立不等式 (或不等式组) , 使问题得到解决。
例:某厂生产一种机器零件, 固定成本为20 000元, 每个零件成本为3元, 售价为5元, 应纳税为总销售额的10%, 若要使利润超过固定成本, 则该零件至少要生产销售多少个?
解:设零件至少销售x个, 总售价为5x元, 成本为3x元, 纳税5x×10%, 则可构建不等式5x- (3x+5x×10%) >20 000。
解得 。又因x为整数, 所以该零件至少要生产销售13 334个。
5. 构造辅助图形
当代著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉, 形少数时难入微。”数形结合, 相得益彰。根据代数题目特点, 构造所涉及元素的图形, 则可化抽象为形象, 借助直观启发思维, 从而快速找到解题思路, 收到事半功倍的效果。下面分两方面来阐述。
(1) 图示法:借助图表来说明问题的方法叫做图示法。
用韦恩图表示集合之间的关系。由于初中数学中已渗透了集合思想, 所以可借助韦恩图直观地显示出各集合之间的关系。一般用圆面来表示集合, 两个圆面相交, 则表示两个集合含有公共元素, 两个圆面相离, 则表示两个集合不含公共元素。
例:某学校共有三个科技兴趣小组:天文、环保和计算机。已知参加三个兴趣小组的学生分别是24、25、30人;同时参加天文、环保兴趣小组的有5人, 同时参加天文、计算机兴趣小组的有2人, 同时参加环保、计算机兴趣小组的有4人, 有1人同时参加这三个兴趣小组, 问共有多少个学生参加了科技兴趣小组?
解:根据题意构造图 (见下图) , 可知参加科技兴趣小组总人数为:
18+17+25+4+1+3+1=69 (人)
(2) 几何图形法。
有些问题表面上看属于代数问题, 但运用代数方法又难以求解, 这时不妨换个角度去思考, 根据题设条件, 构造出与之相对应的几何图形, 问题使可解决。
6. 构造辅助命题
当某些命题不易直接入手论证时, 可去构造其辅助命题, 使综合问题逐步分解转化, 达到解决的目的。
例:若a3+b3+c3-3abc=0, 且a+b+c≠0, 则a=b=c。
证明:构造辅助命题:若a2+b2+c2-ab-bc-ca=0, 则a=b=c。
∵a2+b2+c2-ab-bc-ca= (a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-a) 2=0,
∴a-b=b-c=c-a=0, 即a=b=c。
又a3+b3+c3-3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca) ,
且a+b+c≠0, ∴a=b=c。
代数意义 篇5
设F是特征数p=3的域,首先证明了A3与A(3;1)是同构的,于是它们的导子代数W3与W(3;1)也是同构的,因此可以将W3的子代数S看作是W(3;1)的子代数;主要讨论了李代数W3的有限维子代数S的导子代数的Z-阶化成分(由于S是有限维的Z-阶化李代数,所以S的`导子代数也是有限维Z-阶化的,并且非零的导子只有有限个.于是存在非负整数r,q,使得Der(S)=(○)qt=rDert(S)),构造了S的一组最简生成元集,并由此确定S的导子代数.
作 者：李凤霞 张永正 Li Feng-xia Zhang Yong-zheng 作者单位：李凤霞,Li Feng-xia(哈尔滨师范大学,数学系,哈尔滨,150080)
张永正,Zhang Yong-zheng(东北师范大学,数学与统计学院,长春,130024)
刊 名：黑龙江大学自然科学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY 年，卷(期)：2007 24(6) 分类号：O152.5 关键词：有限维李代数 导子代数 同构