对称问题

对称问题（精选十篇）

对称问题 篇1

1. 丁俊晖如何打这个球

在台球比赛中,经常会出现一些无法直接击打的球,这就需要比赛选手根据轴对称知识,选择合适的角度,通过反弹的方式,间接击球.

例1在一场台球比赛中出现了如图1的情形,需要通过击打P球去撞击Q球. 但由于P、Q两球之间被其他球阻挡,无法直接击打P球撞击Q球. 如果你是“小丁俊晖”,你会如何击球呢?请求出一种击球方式.

【分析】不妨使球P撞击边AD反弹,再撞击球Q. 这时,必须使球P的入射角等于反射角,显然,作点P关于AD的对称点P′(如图2),连接P′Q,P′Q与AD相交于点E,容易得到∠PED=∠DEP′=∠AEQ. 所以击打P球,撞击AD边上的点E即可.

解:作点P关于AD的对称点P′,连接P′Q交AD于点E. 则击打P球,撞击AD边上的点E即可.

2. 镜子中的轴对称

人们经常会从镜子中看到一些数字,但从镜子看到的数字并不一定是真实的数字. 此时,便需要根据轴对称中的相关知识进行转化.

例2 (1)小明从墙上的镜子里看到对面电子钟的时间如图3所示,则电子钟上实际显示的时间是_________;

(2)小华从平放在地面的镜子里看到挂在墙上的电子钟时间也是如图3所示,则电子钟上实际显示的时间是_________.

【分析】从镜子中看到的数字与实际中的数字是成轴对称的. 确定实际数字的关键是确定对称轴的位置. 小明看到的镜子和电子钟是相互平行的,因此,对称轴应是竖直的一条直线(|). 故小明看到的电子钟实际时间为10:51. 小华看到的镜子和电子钟是相互垂直的. 因此,对称轴是水平的一条直线(—). 故小华看到的电子钟实际时间为15:01.

解:(1)10:51;(2)15:01.

3. 选址中的轴对称

在现实生活中,经常需要建一些加油站、水泵站或工厂等建筑,使之满足一定的条件,从而能合理利用资源,避免浪费. 在选择合适地址时往往需要利用轴对称中的相关知识进行合理规划.

例3如图4,要在河道l上修建一座水泵站P,分别向A、B两地供水,问:水泵站建在河道的什么地方,可使所用的输水管线最短?

【分析】我们可以把河道近似地看成一条直线l,问题就是要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小. 如图5,若点A′是点A关于l的对称点,本题就是要使A′P与PB的和最小.显然当A′、P、A三点在同一直线上时,A′P与PB的和最小. 因此,线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求.

解:作点A关于l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则点P即为所求.

例4如图6,两条国道OA、OB在我市交汇于点O,在∠AOB的内部C、D处各有一个工厂.现要修建一个货站P,使货站P到两条国道OA、OB的距离相等,到C厂、D厂的距离也相等,请在图中画出货站P的位置.(要求:用圆规直尺作图,保留作图痕迹,不写已知、求作和作法)

【分析】根据货站P到两条国道OA、OB的距离相等,可知货站P在∠AOB的角平分线上;根据货站P到C厂、D厂的距离也相等,可知货站P在线段CD的垂直平分线上. 因此,分别作出∠AOB的平分线以及CD的垂直平分线,交点即是P点的位置.

对称问题 篇2

对称问题

课时：2编写人：邹晨霞审核人：李志荣编号：39

一．学习目标

1.会求一个点关于一点、一条直线的对称点的坐标；

2.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线.二．问题导学

问题1：点关于点对称

例1.已知点A(5,8)，B(4，1)，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。

问题2：直线关于点对称

例2.求直线l1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。

问题3：点关于线对称

例:3：求点P(－4,2)关于直线l的对称点P′的坐标．

(1)l：2x－y＋1＝0(2)l：x－y＋1＝0

练习：一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线所在直线的方程．

1尖草坪一中

高一数学学案

问题3：直线关于直线对称

例4：求直线x-2y-1=0关于直线x+y-1=0对称的直线方程.问题4：对称与最值

例5：已知点A3,5，B2,15，试在直线l：3x4y40上找一点P，使(1)PAPB 最小，并求出最小值.(2)PBPA最大，并求出最大值.三：达标检测

1.直线y2x关于x轴对称的直线方程为A.yxB.yxC.y2xD.y2x 22

2.已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对 称，则l2的方程为A.x2y10B.x2y10C.xy10D.x2y10

3.直线y

4.直线2x3y60关于点1,1对称的直线方程是 1x关于直线x1对称的直线方程是2

A.3x2y20B.2x3y70

C.3x2y120D.2x3y80

5.已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线l关于点A的对称直线l的方程./

完美对称中的问题探析 篇3

[关键词]小学数学 轴对称图形 教学改进 反思

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-036

“轴对称图形”的教学目的是让学生感受生活中的对称现象，引导学生通过对折发现轴对称图形的基本特征，能初步描述轴对称图形的概念。通过试教、磨课和教研活动，我对本节课的教学有了更深刻的认识，教学过程也有了较大的改进。

改进一：科学的语言，为差异教学打好基础。

儿童具有很强的模仿力，教师的数学语言直接影响学生的数学语言，这就要求教师要不断提高自身的语言素养，力求用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯、逻辑性强。通过教师语言的示范作用，对学生的初步逻辑思维能力的形成施以良好的影响。

例如，判断一些物体是不是轴对称图形时，教师不能说将某些物体对折，而要指出是将物体的图片或者说将这些物体拍成照片后对折。虽然前者学生能够理解教师的意思，但是作为教师口中说出的语言，要力求准确，不能让学生产生逻辑上的错误。又如，讨论将图片对折后的发现时，教师不能说对折后折痕两边的部分一样，而应说对折后折痕两边的部分完全重合。这两种讲解听上去虽然意思差不多，但是两者却不能等同。另外，在向学生介绍对称轴时，最好说折痕所在的直线是这个图形的对称轴，虽然这里只要求学生对对称轴有所认识即可，但教师的教学语言还是要规范，潜移默化地影响学生今后的深入学习。

改进后教学片断：

师（课件出示天安门、飞机和奖杯图）：这三个图形是不是轴对称图形？自己动手试一试。（学生独立尝试，师巡视）

师：天安门图形是轴对称图形吗？你是怎么想的？

师：飞机图，奖杯图呢？（指名学生说一说）

师（拿出杯子图）：这个图形是轴对称图形吗？

……

改进二：巧用多媒体，兼顾学生的个体差异。

使用多媒体辅助教学是优化课堂教学的手段之一。在数学课堂中恰当使用多媒体，能动态呈现学习材料，激发学生的学习兴趣，使学生比较容易地突破教学的重、难点，真正掌握所学的数学知识。

例如，教学“轴对称图形”一课，如果教师运用多媒体进行演示，能够将对折后的情况完全呈现在学生面前。尤其是对折后形状完全重合而图案却没有完全重合的情况，多媒体演示能够更加直观、清晰，帮助学生判断。运用多媒体辅助教学，不仅能使思维能力较强的学生深刻理解所学知识，而且能使后进生理解什么是完全重合、什么是轴对称图形，照顾到不同思维层次的学生。

改进后的教学片断：

师（在学生动手折杯子图后）：你发现了什么？这个图形是轴对称图形吗？（学生汇报交流）

师：折后折痕两边的部分有没有完全重合？

生：没有，只有部分重合。

师：我们一起来看一看。（多媒体演示，学生直观感受）

师：那杯子图是轴对称图形吗？现在你认识轴对称图形了吗？（指名学生说一说）

师（小结）：辨认一个图形是不是轴对称图形的重要依据是什么？

生：能不能找到一条对称轴，看图形对折后能不能完全重合。

……

改进三：多样化的教学活动，体现学生的差异。

小学低年级学生的行为约束力相对较差，注意力不能长时间集中。以往的传统教学把学生的这些特征视为影响学生学习的缺点加以约束，限制学生的“动”，强制他们专心听课。时间长了，学生便失去上课的乐趣，有的因此产生厌学情绪。如果教师能抓住学生的年龄特征、认知特点，灵活运用多样化的教学方式，让学生对数学产生浓厚的兴趣，那么就能因势利导，逐步培养他们良好的思维品质和学习习惯。因此，教师在课上要设计丰富的教学活动，照顾学生的差异。具体改进如下：

第一，在初学引入环节，让学生通过动手折一折，感受到对折后折痕两边的部分必须要完全重合。在这个环节中，每个学生都有动手的机会，都能获得亲身体验，使学生对“完全”一词有更深刻的理解。课堂上，教师可以准备一个折后不能完全重合的图形，引导学生发现折后折痕的两边并没有完全重合，只是部分重合，使学生对于“完全”一词的理解更加深入、全面。同时，这也对后面遇到形状相同、图案不同的情况做了很好的预设铺垫，降低学生的错误率。

第二，当轴对称图形的定义出示后，教师应适当让学生重复几遍，使后进生在课上也能有足够的时间消化、理解轴对称图形的意义。

第三，关于平行四边形是不是轴对称图形，学生是有争议的。教师可以事先准备一个平行四边形供有疑问的学生动手尝试，使学生对平行四边形是不是轴对称图形有更深刻的认识。这样教学，给予学生体验的机会和权力，使学生通过自己的验证，得出正确的结果。

改进后的教学片断：

（学生对平行四边形是不是轴对称图形有争议）

师：这个平行四边形到底是不是轴对称图形呢？请一位同学到前面来折一折。（学生上台操作）现在你的想法是什么？和大家分享一下吧！

师：还有觉得平行四边形是轴对称图形的同学吗？（有几位学生依然举着小手）

师：好，请你们一起来折一折。

……

第四，在学习反馈环节，教师尊重学生的错误，变错为宝并予以纠正，实现课堂教学效果的最大化。同时，对于学生的错误，教师不应加以训斥，而是让学生敢说、敢想，使学生学得轻松、愉快。

第五，关注差异并不是仅仅关注后进生，还要使优生也能够吸取到足够的“养分”。虽然学生并没有系统学习过平行四边形、菱形、长方形之间的联系和区别，但教师还是可以进行简单的介绍、梳理，让学生初步认识到它们之间的异同，构建良好的知识网络。

改进后的教学片断：

师：是不是所有的平行四边形都不是轴对称图形呢？

师（课件演示平行四边形的邻边相等）：这一个平行四边形是轴对称图形吗？你是怎么想的？

师（课件演示平行四边形变形为长方形、正方形）：现在呢？（指名学生汇报，全班交流）

……

通过整个磨课过程，让我对“轴对称图形”一课的教学有了更深刻的认识，并对如何在课堂教学中关注学生的个体差异有了不少感悟。在今后的教育教学活动中，我会更加严格要求自己，在仔细钻研教材的同时，关注不同层次学生的学习状态。

总之，体验永远是最好的教育形式之一。课堂教学中，教师应选择学生生活中的事例，采用学生喜欢的方式创设情境，使学生获得真正的感悟、深刻的体验，最终将这感悟、体验沉淀到他们的内心深处，成为一种素质、一种能力，伴其终生，受用一生。

圆锥曲线的图形对称问题 篇4

本人所教的职业中学数学课本第三册(第63页)中有这样的一道例题：

例1.如图14—15，椭圆的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆相交于A、B两点，若△ABF2的面积是20，求直线AB的方程。

分析：设A (x1, y1), B (x2, y2)，则有

又OF2=半焦距，所以只需求出y1、y2。又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y1、y2与k之间的关系可求得k。

解：由椭圆方程可知，a2=45, b2=20, c2=a2-b2=25，所以OF2=c=5。

设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A (x1, y1)、B (x2, y2)。

从联立方程组中消去x，得(9k2+4) y2=180k2

解出：

又, 即

解得：

所以所求的直线方程为

以上是课本上的解题过程，其实这并非是最好的方法，编者忽略了椭圆具有中心对称的性质，过中心O的弦AB，点A与点B是关于原点对称的，它们的横坐标、纵坐标的绝对值是相同的，即S△ABF2=2S△AOF2，所以可以用以下这个方法来解决这道题目。

解：由椭圆方程可知，a2=45, b2=20, c2=a2-b2=25。

所以OF2=c=5。

设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx。设点A、B的坐标分别为A (x1, y1)、B (x2, y2)。由于对称性得|y1|=|y2|

即|y1|=4，代入椭圆方程可得x=±3

所以所求的直线方程为

在圆锥曲线的教学中我们常常关注圆锥曲线的方程以及几何性质中的焦点、离心率、焦半径等，而图形本身是比较直观的，我们在观察图像的时候，容易忽略图形本身的特性，对称性就是其中之一。下面我们来看看这道题目：

1.如图1所示, 线段AB是椭圆 (a>b>0) 的长轴, 把AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，交椭圆上半部于P1, P2, P3, P4四点，F是椭圆的右焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|的值为多少?

分析：由于将AB五等分，过四个分点分别作AB的垂线，所以P1与P4对称，P2与P3对称，设椭圆的左焦点为F1，|P1F1|=|P4F|，|P2F1|=|P3F|。

解：设椭圆的左焦点为F1，显然P1与P4, P2与P3关于y轴对称，因此，|P1F1|=|P4F|，|P2F1|=|P3F|

所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=|P1F|+|P1F1|+|P2F|+|P2F1|=2a+2a=4a

点评：本题所运用的图形对称是圆锥曲线中的几个点关于短轴对称，诸如此类的题目很多，在有些参考书上还有将长轴17等分，但总的方法是相同的，都用到了图形本身的对称性质。

在有些情况下，利用圆锥曲线图形的对称性还可以解决圆锥曲线中其他的一些具体问题，下面我们来看这道题目：

2.已知椭圆方程为, 则椭圆的内接矩形的面积的最大值是多少?

分析：椭圆的内接矩形应该关于x, y轴对称，可以分成四个全等的小矩形，求出即可。

解：根据椭圆的对称性，矩形的四个顶点关于中心对称，且边分别和x轴，y轴平行。

设：A (acosθ, bsinθ)为其一个顶点

∵x轴，y轴把矩形平分成四个全等的小矩形

∴一个小矩形的面积S=acosθ·bsinθ=absin2θ

∴Smax=ab, 当sin2θ=1时, 则最大值为4Smax=4×ab=2ab。

利用圆锥曲线图形的对称性解题往往能起到意想不到的结果，以上两道题目都属于选择题、填空题范畴，运用图形对称性解题能起到简化运算过程，提高解题速度。在2003年高考江苏卷中选择题第9题就是一道典型的利用圆锥曲线图形对称性质的题目，下面我们一起来看一下：

3. (9) 已知方程 (x2-2x+m) (x2-2x+n) =0的四个根组成一个首项为的等差数列, 则|m-n|= () 。

A.1 B.C. D.

分析：这道选择题看似是一道函数与数列的综合题，其实可以看成是两个抛物线与x轴的四个交点的横坐标，其中之一就是，根据抛物线的轴对称性质和等差数列性质就能求出其余三个根，再求出m, n即可。

解：令y1=x2-2x+m, y2=x2-2x+n，则y1y2=0的四个根可以看作是两条抛物线与x轴的四个交点的横坐标，设x2-2x+m=0的两个根为x1, x4;x2-2x+n=0的两个根为x2, x3。由已知得x1=，又因为两条抛物线都关于对称轴x=1对称，所以x4=，又因为四个根成等差数列，所以x2=, x3=，分别代入x2-2x+m=0, x2-2x+n=0得到m=, n=，|m-n|=，因此本题选(C)。

从本题可以看出有些题目从表面上并非是属于圆锥曲线中的问题，但通过分析我们可以将实际题目进行分割转化，数形结合，运用抛物线的对称性解题，这个绝妙的解题思路对于本题能够起到化繁为简的作用，找到解题的最短路径，大大提高解题效率。

圆锥曲线向来是数学教学中的重点、难点，几何性质比较多，综合运用也比较复杂，可以与其它部分相结合，组成难度较大的综合题，运用图形对称性解题只是其中的一种比较简洁、可行的办法。在平时的教学过程中要培养学生对图形的观察能力，因为数学观察就是人们对数学问题在客观情况下考察其数量关系及其图形性质的方法。学生的观察能力直接影响到学生的解决问题的能力，这对于学生将来面向社会，观察社会事物有一定的影响。解析几何本质上就是一种数形结合，两者有一定的独立性，又互相依赖，过去我们偏重于对“数”进行研究，“形”只是起到一定的辅助作用，其实图形也很重要，它与我们的实际生活联系最为紧密，数学归根到底不仅要锻炼人们的思维，还要为社会生产活动服务，图形特征是最基本的，数学中的对称是一种美的享受，在实际教学中应融入这种“美”的教育。

摘要：圆锥曲线向来是数学教学中的重点、难点, 几何性质多而复杂, 并且可以与其它内容相结合, 组成难度较大的综合题, 运用图形对称性解题是其中的一种比较简洁、可行的办法。

关键词：圆锥曲线,对称性,图形对称,数形结合

参考文献

[1]李盘喜主编.高中数学解题题典.

论信息不对称与信用缺失问题 篇5

论信息不对称与信用缺失问题

信用缺失已经成为当代中国一个突出的.社会问题.本文认为信用缺失的根本原因是信息不对称,并针对产生信息不对称的社会、体制、制度和道德等方面的原因提出了标本兼治的对策措施.

作 者：李春洪 Li Chunhong 作者单位：汕头市委,广东,汕头,515000刊 名：南方经济 PKU英文刊名：SOUTH CHINA ECONOMY年，卷(期)：“”(9)分类号：B82-053 F062.5关键词：信用缺失 信息不对称

巧用“轴对称”解决最小值问题 篇6

例1 （2013·大连）如图1，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）.

A. B. 3

C. 4 D.

【分析】正方形是轴对称图形，点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.而等边△ABE的边BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，求AB的长从而得出结果.

解：设BE与AC交于点P′，连接BD、P′D，如图2.

∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.

∵正方形ABCD的面积为16，

∴AB=4，又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=4.故选C.

【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称中的最短路线问题，要熟知“两点之间，线段最短”.

例2 （2009·连云港）如图3，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB的值最小，则点P应该满足（ ）.

A. PB=PC B. PA=PD

C. ∠BPC=90°D. ∠APB=∠DPC

【分析】本题关键首先确定P点的位置，根据轴对称的知识，可知作点C关于AD的对称点E，连接BE，BE与AD的交点就是点P的位置，再利用轴对称和对顶角相等的性质可得.

解：如图4，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.

∴∠DPC=∠EPD，

∵∠APB=∠EPD，

∴∠APB=∠DPC.故选D.

【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的.要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.

例3 （2015·贺州）如图5，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_______cm.

【分析】如图6，连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC.根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此可得出结论.

解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴S△ABC=BC·AD=×4×AD=12，

∴ AD=6 cm.

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B和点A关于直线EF对称，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.

故答案为：8.

【总结】已知两定点与一直线，欲在直线上取一点，使该点到两定点的距离和最小.这种题可分两类：一类是当两点在该直线的两侧时，根据两点之间线段最短，可连接这两点，这两点连线与这条直线的交点就是所求点，另一类当两点在同侧时，任作一定点关于该直线的对称点，再连接对称点与另一定点，其连接线与该直线的交点就是要求的点.

例4 （2012·兰州）如图7，四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）.

A. 130° B. 120°

C. 110° D. 100°

【分析】要使△AMN的周长最小，利用点的轴对称，让三角形的三边转换到同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.

解：如图8，作A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长度即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.

∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）

=2×60°=120°，故选B.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、三角形的内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键.

【小结】两个动点难以把握，关键是如何使变化的三条边的和最小，我们只需要利用轴对称，将变化的三条边能组成一条线段，便可利用“两点之间线段最短”求解.

高中数学函数对称性问题 篇7

一函数的对称性

函数的对称性分为中心对称和轴对称。第一, 中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后, 如果旋转后的图像与原图像完全重合, 则该函数图像具有中心对称的性质, 其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二, 轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后, 如果直线两侧的函数图像完全重合, 则该函数图像具有轴对称的性质, 其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。

二常见函数的对称性

第一, 常数函数。y=c (c∈R) 。既是轴对称又是中心对称, 与该直线垂直的直线均为其对称轴, 直线上所有点均为其对称中心。

第二, 一次函数。y=kx+b (k为一次项系数≠0, k≠0, b为常数) 。既是中心对称又是轴对称, 对称中心为原点, 对称轴为与该直线相垂直的直线。

第三, 反比例函数。y=k/x (k∈R且k≠0) 。既是轴对称又是中心对称, 对称轴为y=x与y=-x, 对称中心为原点。

第五, 指数函数。y=ax (a>0且a≠1) (x∈R) 。既不是中心对称也不是轴对称。

第六, 对数函数。y=logax (a>0, 且a≠1) 。既不是中心对称也不是轴对称。

第七, 幂函数。y=xa (a为常数) 。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性;幂函数中的奇函数中心对称, 对称中心为原点;幂函数中的偶函数为轴对称, 对称轴为x=0。

第十, 三次函数。三次函数中的奇函数中心对称, 对称中心为原点, 其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。

以上就是对常见函数的对称性总结归纳, 要理解掌握, 不能死记硬背, 这就需要学生结合实际的习题及函数图像, 自己体会, 理解记忆, 活学活用, 在实践中体会以上常见函数的对称性特点, 真正做到举一反三, 思维发散。

三抽象函数的对称性

常见函数的对称性容易理解掌握, 抽象函数种类众多, 但万变不离其宗, 以下是对抽象函数对称性质的总结归纳, 并结合例题介绍抽象函数的对称性。

性质一:若函数y=f (x) 的图像关于直线x=a轴对称, 则其充要条件为f (a+x) =f (a-x) , 也即是f (x) =f (2a-x) 。由此条性质易得函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) 。

例1:函数f (x) 满足f (x) =f (3-x) , 则该函数满足轴对称, 对称轴为x=1.5。

性质二:若函数y=f (x) 的图像关于点 (a, b) 中心对称, 则其充要条件为f (x) +f (2a-x) =2b, 即f (a+x) +f (a-x) =2b。

例2:函数f (x) 满足f (5+x) +f (1-x) =4, 则该函数呈中心对称, 对称中心为 (3, 2) 。

性质三: (1) 若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b (a≠b) 成轴对称, 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为2a-b。 (2) 若函数y=f (x) 图像同时关于点 (a, c) 和点 (b, c) (其中a≠b) 中心对称, 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为2a-b。 (3) 若函数y=f (x) 图像既关于点 (a, c) 中心对称又关于直线x=b轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 其一个周期为4a-b。

例3:函数f (x) 的一个对称中心为 (1, 1) , 一条对称轴为x=2, 则其一个周期为2。

以上的性质是函数图像的自对称性质, 有了以上的基本性质做铺垫, 我们可以导出两个函数之间存在的对称性。下面介绍函数的互对称。

性质四:函数y=f (x) 与y=2b-f (2a-x) 的图像关于点 (a, b) 成中心对称。

性质五:函数y=f (x) 与a-x=f (a-y) 的图像关于直线x+y=a成轴对称。

性质六:函数y=f (x) 与x-a=f (a+y) 的图像关于直线x-y=a成轴对称。

例4:函数y=f (x) 的图像与x=f (y) 的图像成轴对称, 对称轴为x=y, 这种情况下也就是我们所说的两个函数互为反函数。

巧用对称性解答振动问题 篇8

简谐运动是最基本, 最简单的机械振动, 对称性是简谐运动的重要特征之一.所谓对称性就是做简谐运动的物体, 在距平衡位置等距离的两点上具有对称性:即回复力、位移、加速度、动量都等值反向;速率、动能与势能都分别相等;振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径上的时间相等, 回复力做的功相等, 回复力的冲量大小相等等等.利用简谐运动对称性解题, 往往能起到事半功倍的效果, 本文试举几例说明对称性在解题中的应用.

一、计算振子运动时间

例1 弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动, 从O点开始计时, 振子第一次到达M点用了0.3 s, 又经过0.2 s第二次通过M点, 则振子第三次通过M点还要经过多长时间?

解析:题目中只给出第一次到达M点所用时间, 并没有具体指出振子是先向M点运动还是先背离M点运动, 所以我们要分别对这两种情况进行讨论, 如图1所示.

第一种情况, 质点由O点经过t1=0.3 s直接到达M, 再经过t2=0.2 s由点A回到M.由对称性可知, 质点由点M到达A点所需要的时间与由点A返回M所需要的时间相等, 所以质点由M到达A的时间为$t^{\prime }=\frac{t{}_2}{2}=\frac{0.2}{2}=0.1\text{s}$, 由点O到达A的时间为从点O到达M和从点M到达A的时间之和, 这一时间则恰好是$\frac{{\rm T}}{4}$.所以T=4 (t2+t′) =4× (0.3+0.1) =1.6 s, 质点第二次到达M点的时间为

$\begin{array}{l}t{}_3=\frac{{\rm T}}{2}+2t{}_1=\\ 0.8+2\times 0.3=1.4\text{s}.\end{array}$

第二种情况, 质点由点O向B运动, 然后返回到点M, 历时t1=0.3 s, 再由点M到达点A又返回M的时间为t2=0.2 s.设振动周期为T, 由对称性可知$\frac{{\rm T}}{4}=t{}_1-\frac{{\rm T}}{2}+\frac{t{}_2}{2}$.所以${\rm T}=\frac{1.6}{3}\text{s}$.质点第三次到达M点的时间, 利用对称性有$t{}_3=t{}_1+(t{}_1-\frac{{\rm T}}{2})=2\times 0.3-\frac{1.6}{6}=\frac{1}{3}\text{s}.$

二、竖直方向弹簧振子有关物理量的比较、计算

例2 小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落, 接触弹簧后将弹簧压缩, 全过程中弹簧为弹性形变, 试比较弹簧压缩到最大时的加速度am和重力加速度g的大小的比较.

解析;小球和弹簧接触后做简谐运动.如图2所示, 点C为弹簧原长时端点的位置, 小球重力与弹簧的弹力大小相等的位置B为平衡位置, 点A为弹簧被压缩至最低点的位置, 点A′是与A对称的位置.由对称性可知, 小球在A点或A′点的加速度大小相等, 设为am, 小球在C点的加速度为g, 由图可看出C在点A′和点B之间, 所以am>g.

例3 如图3所示, 质量为m1的框架顶部悬挂一根轻质弹簧, 弹簧下端挂着质量分别为m2、m3的两个物体 (m2>m3) .物体开始处于静止状态, 现剪断两物体间的细线取走m3.当物体m2向上运动到最高点时, 弹簧对框架的作用力等于多少?框架对地面的作用力等于多少?

解析:剪断细线前, 弹簧的弹力为

F=m2g+m3g.

剪断细线取走m3后, m2做简谐运动, 此时m2处于运动的最低点 (如图4所示) , 其回复力F回=m3g.由简谐运动的对称性可知, m2在最高点时的回复力大小仍为m3g, 但是方向向下.设此时弹簧弹力为F′, 回复力由重力和弹簧弹力的合力提供, F′+m2g=m3g, F′=m3g-m2g.因为m2>m3, 所以F′<0.表示F′与重力方向相反, 故此时弹簧仍为拉力.所以弹簧对框架的作用力为 (m2-m3) g, 方向竖直向下.进一步对框架进行受力分析可得, 框架对地面的作用力为N=m1g+F′= (m1+m2-m3) g.

例4 原长为30 cm的轻弹簧竖立于地面, 下端固定在地面上, 质量为m=0.1 kg的物体放到弹簧顶部, 物体静止, 平衡时弹簧长为26 cm.如果物体从距离地面130 cm处自由下落到弹簧上, 当物体压缩弹簧到距离地面22 cm时, 不计空气阻力, 取g=10 m/s2, 取地面零势能面.则 ( )

(A) 物体的动能为1 J

(B) 物体的重力势能为1.08 J

(C) 弹簧的弹性势能为0.08 J

(D) 物体的动能和重力势能之和为2.16 J

解析:本题是能量和弹簧振子相结合的实例, 由题意可知, 当弹簧距离地面26 cm时的位置O即是物体做简谐运动的平衡位置.由简谐运动的对称性可知, 物体与地面相距30 cm时, C位置的动能和距离22 cm时B位置的动能相等 (如图5所示) .因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可.

由机械能守恒定律可得

mgh1=Ek

Ek=0.1×10× (130-30) ×10-2=1 J

C到B的过程:mgh2=ΔE弹

E弹=0.1×10×8×10-2 =0.08 J

故选 (A) 、 (C) .

由以上几例可以发现, 在解答简谐运动习题时, 特别要注意对称性的应用.巧用对称性, 往往能在解题时起到事半功倍的效果.

运用“轴对称”解决最短路径问题 篇9

在苏科版八(上)“轴对称图形”一章的课后习题中就有这样一个问题:如图1,点A、B在直线l同侧,点B′是点B关于l的对称点,AB′交l于点P.(1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?(2)在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.

【解析】(1)由点B与点B′关于直线l成轴对称可知PB=PB′,则AB′=AP+PB′=AP+PB. (2)利用“三角形任意两边之和大于第三边”及(1)的结论可知,AQ+QB>AB′=AP+PB.

这个问题还可以进一步说明直线l上的点P能使得线段PA+PB的和最小.

下面再通过对几个最短路径问题的分析,帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略,真正能做到融会贯通,一通百通.

一、已知两点在一条直线的同一侧

例1 (将军饮马)古希腊一位将军要从A地出发到河边(如下图MN)去饮马,然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点P,才能使路程最短?

【解析】先确定点A或点B中一个点关于直线MN的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线MN的交点P即为所求的点.

【变式训练】已知点P、Q是△ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗?

【点拨】△PQR的周长等于PQ+PR+QR,因为PQ的长度不变,所以只要线段PR+QR的和最小,就能使△PQR的周长最短.

二、已知一点在两条相交直线的内部

例2如图5,OA、OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立一个投递点,要想使邮递员每次投递路程最近,问投递点应设在何处?

【解析】如图6,点P1、P2分别是点P关于直线OA、OB的对称点. 由轴对称的性质可知:PM=P1M,PN=P2N,因此邮递员每次投递的路程就等于P1M+MN+P2N=P1P2,所以当投递点分别设立在OA、OB上点M、N处时,邮递员每次投递路程最近.

【变式训练】如图7,已知∠AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得△PEF的周长最小,不需说明理由.

【点拨】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,P1P2分别交OA、OB于点E、F,由轴对称的性质可知:PE=P1E,PF=P2F,即得△PEF的周长等于P1P2,此时△PEF的周长最小.

三、已知两点在两条相交直线的内部

例3某中学八(1)班的班会课上,桌子摆成如图8所示两直排(图中的OA、OB),OA桌面上摆满了苹果,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿苹果再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.

【解析】如图9,作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB的对称点D1;连接C1D1,分别交OA、OB于点P、Q,则由轴对称的性质得:CP+PQ+QD=C1P+PQ+QD1=C1D1. 故小明沿C→P→Q→D的路线行走,所走的总路程最短.

【变式训练】已知∠MON内两点A、B,请你在OM、ON上分别找一点C、D,使得AC+CD+BD+AB最短.

【点拨】分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1,连接A1B1,分别交OM、ON于点C、D,即得点C、D就是所求的两点.

我国医药市场信息不对称问题研究 篇10

医疗市场中, 在医疗机构同患者建立委托——代理关系之前, 医疗机构的信息只有他们自己知道, 而患者不知道。在这种情况下, 高质量的医疗机构虽然处于信息优势, 但由于逆向选择的原因往往使他们处于竞争劣势;患者因处于信息劣势而处于不利选择的境地。要解决逆向选择, 减少信息不对称, 只能通过高质量的医疗服务机构和患者的努力来设计有效防范逆向选择的机制, 达到降低信息不对称的目的。

(1) 信号传递。

在医疗市场中, 逆向选择的结果是“低质量”的医疗机构驱逐“高质量”的医疗机构。如果“高质量”医疗机构不甘心在竞争中处于劣势, 他们就必须向患者传递一些信号来显示他们自己真实的实力。那么医疗机构的等级 (如三级甲等、三级乙等、二级甲等、二级乙等) 和医疗机构人才队伍的水平将是向患者传递信号的重要标志。这里人才队伍水平主要是指医生的学历或者职称, 这信号可以通过医生挂牌服务来向患者充分传递信息。

(2) 信息甄别。

无论是医疗市场还是药品市场都没有人绝对地处于信息优势或信息劣势。例如在医疗市场中, 患者有时会为了自身的利益隐藏一些自己的私人信息, 出现患者信息在医患双方分布不对称的情况。这时可以用信息甄别来减少双方的信息不对称。

2 激励机制

医疗市场由于医疗机构诱导需求的存在, 导致了过度医疗服务的出现, 从而使医疗市场出现市场失效和医疗服务资源浪费现象。医疗服务费用的多少与医方的自身经济利益有着密切关系, 这也是医方出现道德风险的根源所在。为了降低这一道德风险, 可以通过相应的激励机制来实现。下面从医疗机构和医生两方面入手, 具体情况如下。

(1) 对医疗机构即医院的激励机制。

对医疗机构的激励机制主要是由政府来实施。由政府代表广大人们群众的利益来对医院进行管理和控制。自1985年医改之后, 医院的资金来源大部分是由医院自己经营获取的, 少部分是由政府拨款。这样政府可以根据各个医院医疗纠纷的发生率和患者对医院所提供服务质量的满意度来对医院行进评定 (假设所发生的医疗纠纷和患者对医院的不满意都是由于医院出现违规操作而引起的) , 根据评定来调整对医院的资金投入比例。“评优”的医院政府加大对其资金投入的比例, “评差”的医院政府减少对其资金的投入比例, 而且严重者还会对其进行一定的经济处罚。激励机制会起到一定激励效果。因此必须加大对“评优”医院的资金投入比例或者加大对“评差”医院的处罚力度。这样的激励机制不仅可以使各个医院之间形成有效的竞争机制, 而且还对医院保持高质量的服务具有一定的激励作用。

(2) 对医生的激励机制。

总体来讲, 可以通过货币和非货币两方面进行激励, 具体情况如下。

① 货币激励。

医生是医院存在和发展的重要因素, 因此对于医生的激励主要由医院来实施。医院可以用津贴制度来切断医生收入与医疗服务提供量之间的关系, 把医疗服务提供方的诱导需求降到最低的限度。这可能会使医生工作的积极性有所降低, 但可以通过津贴的形式来增加其收入。津贴的多少可以由医院各自制定的指标来进行评定。

通过运用津贴来激励医生的工作热情, 防止医生提供过度医疗、浪费资源的行为, 避免道德风险的发生。在短期内, 与经济机制结合起来的激励机制对于提高医德有较为明显的效果。

②非货币激励。

物质要求只是人类最基本的要求, 当人们物质要求已达到的情况下, 精神要求就变得更为重要了。对医生进行非货币激励, 如给表现突出的医生以表彰、授予荣誉称号等可以给医生带来实现自身人生价值的满足, 而且还能够使医生长久地保持其工作的热情。因此非货币激励是长期提高医德的重要激励方式、必不可少的激励方式。

3 医药市场相关制度

要想有效解决医药市场信息不对称问题, 除了有好的机制外, 还需要一系列相关制度, 而这些制度都需要政府来监管。下面分别进行阐述。

(1) 医药分离制度。

医药分离具体地说是实行药品经营与医疗服务部门互相独立的做法, 由医院开处方, 患者凭处方自由选择药店购药。医药分离的贯彻和实施无论对于政府来说还是对于医疗机构来说都是一大挑战。医院的大部分资金来源于其销售的药品, 医药分离必然会切断药品销售与医疗机构之间的利益联系, 剥夺他们的权利, 这必然会遭到医院、医务人员的强烈抵制, 政府实施医药分离就会受到很大的阻力。但医药分离制度的实施是解决医药市场信息不对称导致道德风险的有效措施。医药分离还可以减少药品推销过程中的折扣和回扣, 使医药在一个充分、公平的市场内得以竞争, 从而降低药品价格。药品分离制已经提出很久了, 但现在看来它走的并不顺利, 要想使医药彻底分离还需要政府加大其实施的力度, 同时政府还应加大医院的门诊费用和处方费用来加快医药分离制度的实施进程。任何制度的实施过程都不是一帆风顺和顺理成章的, 总会要出现这样或者那样的问题, 但一切事物的发展就是不断发现问题和解决问题的过程, 因此我们不能因为医药分离制度现在还不够完善而不去实施, 实施的过程其实就是制度不断完善的过程。

(2) 合理规制药品价格。

政府对药品市场的价格制定是一项十分重要和复杂的任务。政府对药品的一些专业信息不够了解, 价格定高的话, 就失去了定价的意义;价格定低的话, 药品生产经营者没有利润, 就会减少药品的生产和经营, 从而造成药品品种的短缺甚至消失。因此政府必须科学合理地对药品进行定价。具体可以从以下几个方面入手:

①建立一支专业的药品规制价格队伍。这支队伍可以由药剂师和药理学专家组成, 由他们对药品生产者即将出厂的药品进行成本、质量和药效动力学分析, 然后可依据以往相关种类、相关药效的药品价格对其进行初步定价。其整个过程遵循公正、公开、公平的原则, 提高药品定价的科学性。

②建立动态的药品规制价格机制。药品初次价格的制定是不完善的, 并不能够完全反映整个药品市场的竞争情况。随着药品进入市场, 在有序的竞争中药品的价格会有所改变, 因此要充分发挥市场机制积极地对药品资源配置起作用, 不断地完善药品的合理定价。

③对药品生产者建立约束机制。对于一些不按市场经济规律和要求办事的药品生产企业给予一定的经济处罚。对于在药品生产经营过程中存在严重欺骗行为的药品生产经营企业给予严肃查处, 严重者可采取令其停业等严厉处罚。约束药品生产经营者的行为, 逐渐规范药品经营行为, 确保国家政府对药品市场领域进行有效的监管和控制。

(3) 建立健全公开透明的信息制度。

医药信息是一种高价值的信息, 而这些信息多掌控在医方和药方手中, 患者作为消费者有权力知道和了解一些相关信息。政府作为监控信息发布、传播、利用和调控部门有义务建立一个高效的信息传递系统, 这不仅可以减少患者搜寻信息的成本, 还对医方和药方信誉的建立具有重要的作用。

加大医院、医生的信息披露就是医院或医生通过适当的方式公开患者关注的医疗信息, 除了一些医疗服务收费标准及其常用药品的价格外, 还应该将一些医疗质量的统计数据公布给患者, 如统计出科室每个医生治疗某单种疾病的治愈率或手术成功率, 通过统计数据可以得出每个医生擅长诊治的疾病, 同样医院也可以通过这样的数据统计得出医院擅长治疗哪一系统的疾病, 将这些信息公开给患者, 患者不仅可以理性地选择医院, 还可以理性地选择相关的医生。这样的信息披露不仅可以降低医患双方的信息不对称, 还为医院和医生树立起了激励机制, 使医院和医生自觉地提高所提供的医疗服务质量。

(4) 健全和完善医疗保险制度。

医疗保险从总体上看, 可分为社会性医疗保险和商业性医疗保险。从我国的国情看, 是以社会性医疗保险为主。医疗保险是指当人们生病或受到伤害后, 由国家或社会给予的一种物质帮助, 即提供医疗服务或经济补偿的一种社会保障制度。

医疗保险是社会保障体系的重要组成部分。我国医疗保险制度从20世纪50年代到现在, 经过几十年的努力建设已经取得了初步成果, 但随着社会主义市场经济体制的不断完善, 医疗保险制度仍需要进行不断的改革和完善。

① 完善医疗保险的监督体系。良好的监督体系是医疗保险事业得以健康、稳定发展的重要保证。医疗保险的监督体系:由财政部门对其医疗保险的基金进行监督和管理;有审计部门对其基金收支情况进行审计;医疗保险部门定期向社会公布收支情况, 提高管理透明度, 方便群众特别是被保险人对其进行监督管理;同时政府、医疗部门、卫生管理部门等都可以形成医疗保险的社会监督部门。

② 扩大医疗保险医院和医疗保险药店的范围, 取消医疗保险定点医院和药店的终身制。医保医院和医保药店范围的扩大使被保险人可以选择的医保医院和医保药店的范围扩大了, 这样可以通过公平服务竞争和市场调节促进医保医院和医保药店提高医疗服务质量, 降低医疗服务收费价格, 为广大被保险人提供更多的方便。