代数思想（精选十篇）
代数思想 篇1
1正交变换在二重积分中的应用
1.1正交变换
性质1 n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换。
1.2正交变换法化二次型为标准型
正交变换矩阵的求法——对于n阶实对称矩阵A求正交矩阵T及对角标准形的具体步骤:
(1)求出A的全部特征值。
2应用举例
应当指出,化重积分为累次积分的变量替换,是计算重积分中最常用的方法,但是我们所遇到的重积分不一定都能用它们算出来,所以有时不得不使用其他数学工具和方法。在积分计算中引入正交变换可以简化这类积分的运算,从而卓有成效地解决积分的某些问题,它是解决二重积分的变量替换的一种有力工具,另外在三重积分、曲线积分、曲面积分等中也都有着广泛应用。
3结语
正交变换之所以能够在数学领域发挥重要的作用,是因为它符合数学发展的代数化潮流,集合了数学方法论中丰富的数学思想,因而得到了广泛应用。文中已经举例说明的积分结论,恰恰是在正交变换作用下获得的具有数学美的产物。所以高等数学和线性代数是密不可分的,相互影响相互推进。
摘要：重积分是高等数学的重点,也是难点,是研究空间解析几何经常用到的数学工具,因为重积分的计算技巧性较强而且存在很多困难;如果能够结合线性代数中的正交变换,利用“正交变换”的有关理论来解决某些重积分问题会显得比较简便且颇有成效,而且近年来数学的代数化思想日渐显示它的重要作用,从而推进了各学科之间的联系。
关键词：正交变换,重积分,高等教学
参考文献
[1]北京大学数学系.高等代数[M].2版.北京:高等教育出版社,1988.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.高等教育出版社,2008:172-179.
[3]王庆东,谢勰.正交变换的应用及其数学方法论意义[J].高等数学研究,2008(1):82-84.
[4]高泽民.正交变换在积分中的某些应用[J].石河子大学学报,2005,23(4):422-424.
[5]裴礼文.数学分析中的典型例题与方法[M].2版.北京:高等教育出版社,1995.
[6]王良成,费锡撙.正交变换在积分中的应用[J].天津教育学院学报,1992(5):40-43.
代数思想 篇2
答：代数思想就是充分发挥代数思维在小学数学学习过程中的作用，适时提出有丰富直观背景的学生能够接受的抽象问题，引导学生思考，总结规律，掌握所学知识和技能，使学生在学习小学知识的同时，自觉或不自觉地受到代数思维的训练。
1、要摆正算术思维与代数思维的关系。算术思维是学生运用具体数学，在某种实际背景下，进行思考的思维形式。它是代数思维形成的前提，没有算术思维的一定程度积累就无法培养学生的代数思维，当算术思维达到一定程序之后，又必然向代数思维过渡。因此，教师首先要重点训练学生的算术思维，并时刻注意引出一些一般性结论，帮助学生总结规律，渗透代数思想，而不能盲目提高，过分强调抽象思维。
2、讲求教学方法。在培养代数思想的初期，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。比如，乘法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出乘法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。
模式思想对代数教学意义的探讨 篇3
几何与代数是数学中两个最经典的分支，是数学方法与思想的重要源泉，也是中学数学教学的基本内容.古典的综合几何（欧氏几何）曾统治数学及其教学有2000年的历史.随着解析几何的诞生，把分析的方法（代数方程）引进几何研究，使得初等几何的问题代数化、形式化，从而为数学研究的程序化、机械化、模式化奠定了基础.更进一步，数学的代数化成为20世纪数学发展的一个重要特征1.代数在从其他领域汲取新思想、新方法的同时，不断深入到数学的其他领域以及数学之外的领域，这是由于它的方法与结果形成一种一般模式具有广泛性.从某种意义上讲，数学就是一种模式的科学，正是由于这种代数模式的推动，促进了许多新学科相互交织发展.因此，代数不再被看成是解决一些技巧性很强的个别支离破碎的问题和没有意义的符号游戏，而是由“代数思维”贯穿的整体，这种代数思维的一个很重要的特征就是模式，已经延伸到几何、概率等领域.因此，代数思维已经成为数学教学的基本话语，代数思维的教学是学生在数学及其他领域获得成功经验的必要准备.2
代数教学在我国已有一定的重视，但是对于将代数作为一种数学中的“核心思想（big idea）”的教学进行研究则相对较少.对几何教学以及逻辑思维则视为数学的“核心思想”而忽视了对代数思维的研究.在国际上已经有很多学者对代数思维展开了深入的讨论、研究.主要集中在以发展学生的代数思维这一理念下提出的，旨在通过对代数核心思想的教学，让学生获得对代数整体性认识和概念性理解，将课程被割裂的代数知识整合起来，并将代数与几何及其他学科紧密联系3.特别需要提及的是全美数学教师理事会（NCTM）关于“为每个人的代数”的报告，促使越来越多的数学教育专家关注于代数思维的教学研究，并明确提出将代数核心思想作为贯穿中小学代数教学的主线.4
目前，对代数思想中的核心思想究竟包括哪些，众说纷纭，Randall I. Charles在NCTM 2005年会上归纳的10个代数核心思想具有一定的代表性：数、运算方法和关系、性质、比例、等价、比较、变量、模式、关系和函数、方程和不等式.相关的研究表明，模式作为代数核心思想之一已受到普遍的认同和关注.模式是指现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.本文以“模式”为例，对代数核心思想进行探讨，旨在为我国的核心思想的教学提供借鉴和启发.
1 模式的概念界定
人们通常使用的“模式”一词，来源于“模型”.“模”包含了实物模型的意义，“式”包含了形式、样式的意义，“模式”一词便兼有实物和形式的意义5.对于作为代数核心思想的“模式”一词，主要有以下几种不同的观点：
①Randall I. Charles在NCTM 2005年会上，提出模式作为10个代数核心思想之一，是指一些数学情境中的数字和对象，可被用来定义关系和进行概括，是将现实情境和数学问题联系起来的桥梁.
这一观点，是本文最初的出发点，虽对“模式”做出的定义比较笼统，但揭示出了“模式”是来源于“情境”中，需要人们进行理性思维和提炼才能认识.正是由于它这种与“情境”的渊源和蕴涵的理性思维的性质，使得它成为将二者紧密连接起来的关键.
②刘长明、孙连举在对全美数学教师理事会2000年公布的《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称NCTM2000《标准》）进行分析中，认为“模式指的是存在于现实情境中的数量形式，关系指的是模式中的数量之间的联系，函数是对关系的抽象概括，是模式中的一种”6.
虽然“理解模式、关系和函数”是NCTM2000《标准》中贯穿13个年级的代数教学的主题之一，但它并没有对“模式”做出明确的定义或说明.刘长明、孙连举的分析，进一步阐明了“模式”是“数量形式”.但对“数量形式”这一说法，目前从数学哲学观点看还存在着一些争议.
③徐利治、郑毓信教授认为，数学模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式.当然，凡是数学模式在概念上都必须具有一义性、精确性,一定条件下的普适性及逻辑上的演绎性.”7
这一观点是从数学哲学的角度对“模式”进行了界定，较之前两个观点更抽象，是更一般的“模式”，不仅包括内容上的“模式”，而且还包括数学方法以及思维的“模式”.作为本文对象的“模式”是要求学生掌握的代数核心思想之一，是学生认识规律的方法，不研究作为方法以及思维的“模式”的性质.这一观点所界定的“模式”反映事物的“关系结构”比“数量形式”的说法更加明确，也与观点①更为接近.
综合考虑以上观点，本文采取的观点是，模式是现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.
2 模式思想对代数教学的意义
2.1 有助于学生获得概念性理解
我国《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称我国高中《标准》）中倡导让学生获得概念性理解.NCTM2000《标准》则将强调概念性理解和理解模式贯穿始终.以模式为代数核心思想之一的代数教学有助于学生获得概念性理解.
代数作为数学最主要的分支之一，是以代数结构作为研究对象的一门学科.所谓代数结构，就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合.学生从小学、中学到大学，正是以“感性”或“直观”概念作为特例，逐步地拓展范围，逐步地提高抽象层次.代数学这种高度抽象的理论与方法，较之其他数学分支尤为明显.高中阶段代数领域的学习与初中比较，有进一步符号化、知识点多、进度快的特点.学生在初中初步接触符号化，从用字母表示数开始，逐步学习变量、代数式、方程和函数变量说的概念.进入高中阶段，重新定义函数,研究函数的性质、典型函数的特点都要用到符合化的语言，公式的推导也要求能够进行纯粹的符号运算而且推理更加严密.如数列部分，大量的符号本身就已经成为学生学习和教师教学的一个难点.因此，在高中代数教学中，使学生摆脱机械的操作与记忆，获得概念性理解就显得尤为重要了.而要获得概念性理解，就要深入理解研究对象的结构和本质，模式正是对事物关系结构的反映.
2.2 有助于代数学习与现实生活的联系
在对模式进行的概念分析中，我们已经看到，模式正是来源于情境中，是将代数与现实世界联系起来的桥梁.荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔提倡要让学生学习多方面联系的数学，这包括数学内部的联系以及数学与外部的联系两方面.数学内部的联系使得数学构成统一的整体，数学与外部的联系对学生来说却是“更自然与更重要的”，而且为了教有联系的数学“还是应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系”8.中国高中《标准》代数部分中在每一部分都要求提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，以激发学生学习代数的兴趣，增强学生的应用意识.同时，随着对数学本身的不同理解，数学不再单单是“思维的体操”，而且它的工具价值越来越受到重视.学生不仅要借助现实情境来理解代数，而且要在情境中体会数学的用途，为适应社会和选择不同职业作好准备.
2.3 有助于发展学生的抽象概括能力
代数的高度抽象性是其显著特征之一.12到18岁的中学生正处在抽象思维迅速发展的时期.因此不能仅仅看重中学生数学创新、发散等思维能力的发展，也要重视抽象思维能力的培养，否则将事倍功半.就高中代数内容而言，抽象程度与初中相比显著提高.对于高中学生来说，抽象概括能力也应在代数学习中得到提升.
在代数思维的理论框架中，模式属于基本思想中的学习方程和数学建模的工具，与属于代数思维工具中的概括相互对应.适当的模式可以给学生提供观察和口头概括的机会，进而用代数符号记录结果.学生在对所给情境中的隐藏的模式进行识别或是建构的过程中，实际上就是在进行思维抽象层次的提升，模式分析则又是一次抽象层次的提升.如NCTM2000《标准》中，给出了三个不同的问题情境后，分别要求学生建构其中的模式，发现函数表达式，这是对现实问题的一次抽象.在这个基础上，又要求学生比较这些函数（也就是在比较这些模式内部或不同模式之间）的相同点和不同点，比如增减性或增长率等，这又是一次抽象.这样的过程，才可以使学生的思维上升到一定高度.
参考文献
［1］ 张继平主编．新世纪代数学［M］．北京：北京大学出版社，2002：2
［2］ Kriegler, S. (2001). Just what is algebraic thinking? submitted for algebraic concepts in the middle school ［J］. A special edition of Mathematics Teaching in the Middle School
［3］ Woodbury, S. (2000). Teaching toward the big ideas of algebra ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.6, Dec2000:226-229
［4］ 曹一鸣，王竹婷，数学“核心思想”代数思维的教学研究［J］，数学教育学报，Vol.16, No.1, 2007:8-11
［5］ 曹一鸣著.数学教学模式导论［M］.北京:中国文联出版社,2002：33
［6］ 刘长明,孙连举.中美初中学段“数与代数”领域内容标准的比较研究［J］.数学教育学报, Vol.13, No.4, 2004: 45-48.47
［7］ 徐利治. “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题［A］，徐利治论数学方法学［C］，济南:山东教育出版社,2001：124
［8］ ［荷兰］弗赖登塔尔著.陈昌平,唐瑞芬等编译.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社,1995：74
研习代数式,感受数学思想及方法 篇4
1. 感受用字母表示数的思想
用字母表示数的思想,是基本的数学思想之一.字母表示数是代数的基本特征, 也是代数式产生的根本,它能将一些基本的数量关系简明地表示出来,而且能给运算带来方便. 求代数式的值就是反过来把代数式中的字母用数替换,再按它的运算关系计算出结果,通过求代数式的值可以更好地感受到字母表示数的意义. 课本中的文字表述题、实际应用题都体现了这种思想.
例1 (2014·四川乐山)苹果的单价为a元/千克,香蕉的单价为b元/千克,买2千克苹果和3千克香蕉共需_______元.
【考点】列代数式.
【分析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价,再相加即可.
解:单价为a元的苹果2千克用去2a元, 单价为b元的香蕉3千克用去3b元,共用去: (2a+3b)元.
从特殊的、具体的、确定的数到一般的、抽象的字母或者含有字母的代数式,这是数学发展史上的一大飞跃. 用字母表示数掌握的好坏直接关系到列代数式、代数式的运算、列方程解应用题等内容的学习.
2. 感受整体(换元)思想
在研究问题的过程中,不是从问题的某个局部入手,而是将问题看作一个完整的整体,把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过研究整体形式、整体结构或整体处理,达到简洁地解决问题的目的,这就是整体思想.
求代数式2(a+b)+4(2a+b)+2的值.
(2)已知t=-1/2 ,求代数式的值.
【考点】代数式求值.
【分析】第(1)题将所求的代数式先去括号化简为2(5a+3b)+2,再将已知的值5a+ 3b作为一个整体代入. 第(2)题把(t2-t-1) 当作一个整体进行合并同类项,化简为4(t2t-1),然后再代入求值显然简洁了许多.这两题都渗透了“整体”和“换元”的思想.
解:(1)2(a+b)+4(2a+b)+2=2(5a+3b) +2,把5a+3b=6代入得:2(5a+3b)+2=2×6+ 2=14.
(2)把t=-1/2代入得:4(t2- t-1)=-1.
以上两小题均采用了整体代入的思想,作为整体思想,对于刚进入中学的七年级学生而言是一个新接触的内容,所以这里是个难点,平时要多练习、多思考、多总结.
3. 感受归纳思想
求代数式的值问题有些没有直接给出代数式,而是只给出一些有规律的数、式子或图形,让我们去求很大数值时的对应值, 就需要我们根据具体的数、式或图归纳出它的规律,并用代数式表示,然后再归纳求值.
例3 (2014·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第2 015个图案由_______个▲组成.
【考点】规律型:图形的变化类,代数式求值.
【分析】仔细观察图形,结合大三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律,利用发现的规律求解即可.
解:观察发现:
第一个图形有3×2-3+1=4(个)三角形;
第二个图形有3×3-3+1=7(个)三角形;
第一个图形有3×4-3+1=10(个)三角形;
…
第n个图形有3(n+1)-3+1=3n+1(个)三角形;
所以第2 015个图形有3×2 015+1=6 046 (个)三角形.
故答案为:6 046.
通过这一思维过程感受“从具体到抽象,由特殊到一般”的不完全归纳的思想方法. 利用归纳出的规律求出当n=2015时代数式3n+1的值.
4. 感受数形结合的思想
“数形结合”是数学中最重要也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想,本章有很多内容都体现了数形结合的数学思想.
例4 (2014·贵州六盘水)如图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为81,则第2 014次输出的结果为().
A. 1B. 27C. 9D. 1
【考点】代数式求值、图表型.
【分析】根据运算程序进行计算,然后得到规律.从第4次开始,偶数次运算输出的结果是1,奇数次运算输出的结果是3,然后解答即可.
依此类推,偶数次运算输出的结果是1,奇数次运算输出的结果是3,∵2014是偶数,∴第2014次输出的结果为1. 故选D.
数形结合思想就是根据题设条件求解目标,将抽象的数学语言和直观的图形联系起来,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,利用图形特点和数的转化去解决问题.它是一种重要的思想方法,本题程序问题体现了这种方法.
5. 感受分类讨论思想
分类讨论思想体现在数学学习的不同阶段,刚开始学习有理数和实数时就涉及分类讨论单位问题.在学习“代数式”中也涉及分类讨论.
例5某地出租车司机收费标准如下: 3公里以内(含3公里)收费10元,超过3公里的部分每公里收费2元(不足1公里以1公里计算).若乘坐n公里(n为整数),请用代数式表示应付多少车费?
【考点】列代数式.
【分析】根据题意当n小于或等于3时车费始终等于10元,当n大于3时车费为10+2(n3),本题要进行分类讨论.
解:当0<n≤3时,车费=10元;
当n>3时,车费=10+2(n-3)=(2n+4)(元).
代数思想 篇5
1．（1）×；
（2）×；
（3）×；
（4）×。
数学代数学习中数形结合思想的运用 篇6
关键词：数形结合；研究环境；例题类型
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）14-231-01
在数学的学习中，“数形结合的思想”作为一种数学研究的重要方法，在教育教学的过程中，应该予以着重强调。在数学学习的初级阶段，应该让学生拥有这种思考问题的意识，在解决实际数学问题中能够有意识应用这种研究方法，使一些复杂的代数问题变得简单，使一些抽象的代数问题变得更加直观。作为教师，在课堂中，讲解比较抽象的代数概念时，也应该有意识的应用“数形结合的思想”进行讲解。因此，在实际应用过程中让学生领悟到“数形结合思想”的真正意义所在和使用方法，以至于可以让学生在日常解决问题时使用“数形结合法”时能够融会贯通。
一、对于数形结合法研究环境的探索
在研究“数形结合思想”时，我们必须要首先引入研究的环境。在研究“数系”时，我们引入“数轴”的概念；在研究“函数”时，我们引入“平面直角坐标系”的概念。注意在教育教学过程中，我们必须向学生强调引入全新研究环境的概念，对于“数形结合法”的实践的重要作用——为了让所研究的代数符号，在空间中有具体且唯一的图形概念与之对应。
这就是我们要说的“数轴”与“平面直角坐标系”，下面我分别具体列述它们的意义：“数轴”作为引入“负数”概念的重要理解方法，在浙教版数学教材七年级上册中有具体的涉及。数轴作为一条具有“正方向”、“单位长度”、“原点”三要素的一条特殊的直线，能够清楚的表达数系内的一切有理数。任何代数形式的图像化，具有一个通性，即“代数形式与图形，在相同的研究环境下，有且唯一”，这一通性使数学研究保持其严密性、客观性。而保持这种通性的方法只有完善研究环境。
在有理数系研究中，我们利用数轴作为研究环境。其中“正方向”确定了一组数的大小情况；“原点”，确定了整个数轴在整个有理数系中的相对位置；“单位长度”均分数轴，以此确定每一个数的具体位置。由此，我们可以保证每一个数在数轴中的表示“有且唯一”。且图形统一为落在数轴上的各个点。这种表示方法，满足“代数形式与图形转换”时的“通性”，保证了通过数轴研究有理数系的严密性、客观性。在有关数轴的研究中，我们通常不研究在数轴中的单一的、孤立的数据，通常是一组有限个或者是无限个数据。在研究有限多个数据或无限多个数据时，利用数轴的研究方法具有其优越性。数轴可以利用一串有限多个或无限多个的点、又或是一段线段来直观地表示具有某一特定性质，如在某一特定区间中的数。这种研究方法在集合的运算及不等式运算中应用得相当普遍。
作为研究环境，在满足“数形结合”环境的通性，即“代数形式与图像图形有且唯一的对应”的情况下应该具有其应有的“可替代性”。在代数研究需要的情况下，我们可以重新定义坐标的图形意义。在高中数学中，平面直角坐标系与极坐标系可以发生合理的转换。对于极坐标方程 有特定的平面直角坐标系方程 与之对应。在“原点与极点重合”、“单位长度相等”的情况下，保证两种代数表达法所对应的图像完全重合。表面上是代数形式的种类出现了变化，实际上是研究环境出现了变化，使图像所对应的代数形式更加简便，方便精确的研究。一般的二维平面直角坐标系只能够解决一般的平面图形，对于立体图形我们利用三维空间直角坐标系来进行数形结合。将在空间直角坐标系中的各个点进行代数化，转变成 的三维坐标形式，进行代数形式计算。因此具体的图形计算，在研究环境的帮助下全部可实现代数化。
二、数形结合题型的范例式分类
在利用到“数形结合思想”的题目中，也可以大体的分为几个类型，“定义类”、“代数转化图像类”、“图像转化代数类”。在实际教育教学过程中，应该让学生主观的建立题型的整理能力。在“数形结合法”适用的题型中，我们也应该注意类型的区别，这样在实际的应用中才能够准确地答题。
1、定义类
例如：利用了绝对值的定义，将比较抽象的代数形式，通过基本的定义转化成了比较直观的图形，即线段长度的比较，充分的体现出了“数形结合”的优越性。在教育教学的过程中，我们在引入负数和绝对值概念时，对于数轴的概念必须着重强调。数轴是研究实数系的重要工具，使实数系中的各个数在数轴上有与之唯一对应的图像表示，是数系问题利用“数形结合法”的桥梁。在高中数学，集合的学习中，对于一般形式的集合，我们可以通过韦恩图来数形结合表示集合的相关运算。这种求公共部分的方法，属于求公共部分的原形，是学生理解“数形结合”理念中，图像的交集与代数式形式的交集的第一步。
2、代数转化图像类
例如：在函数的计算中，关键的点坐标是必须抓住的。这是提供学生正确的函数解析式的第一步。而这些点的获取一般我们可以通过研究函数解析式的方法得到，如“连列解析式求交点”等，但是这种一般的方法对于代数计算量的要求往往是极大的。在这种情况下，往往可以从“数形结合法”得到突破。学生们可以暂时脱离函数的大框架，对于关键点进行几何的定位，求得一些边长来作为关键点的横纵坐标，再联系函数解析式轻松解得关键点的坐标。
3、图像转化代数类
例如：在实际的解题过程中，我们可以将复杂的几何问题，通过设定适当的研究环境（建系），来求的具体的数值。
浅谈几何与代数方法的有机结合思想 篇7
坐标系法是解析几何的基本方法, 自17世纪上半叶, 法国数学家笛卡尔以力学的要求为背景, 用代数化方法研究几何内容的课题开创了坐标法的传统, 即几何的代数化方法。
坐标系法的基本思想是:引进适当的坐标系, 使坐标平面上点与数对 (x, y) 一一对应, 进而曲线与含有两个变量的方程建立一一对应关系, 这种对应关系就是映射, 在这种映射下, 几何关系问题转化为代数关系问题, 然后通过代数运算求出结果, 再把所得的结果翻译回去, 就可以得到几何关系问题所需要的结论。
坐标本身是几何代数化的产物, 是点与数的统一体, 它既是点的位置的数量关系表现, 又是数量关系的几何直观, 因此, 它具有形与数的二重性。有了坐标概念, 就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。
再如, 求两条曲线的交点, 如果两条曲线的方程给定, 那么通过联立方程组就可求得交点的位置, 因为方程组的解恰恰是两条曲线交点的坐标。
坐标系法的另一研究与应用方向就是代数的几何化, 即将代数问题转化为几何问题, 其基本的思想是:通过建立适当的坐标系, 使数对 (x, y) 与坐标平面上点一一对应, 进而建立含有两个变量的方程与曲线一一对应关系, 这种对应关系就是映射, 在这种映射下, 代数关系问题转化为几何关系问题, 然后通过研究曲线的变化与性质, 再把所得的结果翻译回去, 就可以得到代数关系问题所需要的结论。
2 几何与代数有机结合思想的理论价值及影响
2.1 促进了人们对空间图形认识的变化, 从而把几何学推到一个新的阶段
几何与代数的有机结合不仅为几何学提供了新的方法, 使许多难以解决的几何问题变得简单易解, 更重要的是为几何学发展注入了新的活力, 增添了崭新的内容。
首先, 传统逻辑学的基础主要是推理, 基本上是定性研究, 如直线的平行性、曲线的相交、图形的全等。几何与代数的有机结合, 使得图形性质的研究变成方程的讨论和求解, 而方程的研究主要是数量上的分析, 这就把几何学从定性研究阶段推到定量分析阶段。
其次, 在传统几何学中, 空间概念是在人们的社会实践活动中逐渐抽象出来的, 这种空间概念具有明显的直观性与经验性, 如一维的直线、二维的平面和三维的立体。几何与代数的有机结合, 使得空间的几何结构实现了数量化, 而数量化的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维, 它可以是n维以至无穷维的, 这就把几何学从现实空间图形的性质推广到抽象空间图形的性质。
第三, 传统几何学主要研究固定不变的图形, 如各种各样的直线形和曲线形, 这些图形虽然可以移动和相互变换, 但图形本身的结构却是不变的, 即传统几何学是一种静态的几何学。几何代数化的出现, 使得曲线变成了具有某种特定性质的点的轨迹, 即可把曲线看作是由点通过运动而生成的, 这就使人们对形的认识由静态发展到了动态。
2.2 为代数学提供了新的工具, 开拓了代数学的新的研究领域
几何与代数的有机结合不仅直接影响和改进了传统的几何学, 扩大了几何学的研究对象, 丰富和发展了几何学的思想方法, 而且也使代数学获得了新的生命力。
首先, 几何学的概念和术语进入代数学, 使许多代数课题具有了直观性。与几何学相比, 代数学具有更高的抽象性, 许多抽象的代数式和方程使人难以把握它们的现实意义。几何代数化的出现, 为抽象的代数式和方程提供了形象而直观的模型。
其次, 几何学思想方法向代数学的移植和渗透, 开拓了代数学新的研究领域。如以线性方程为主要对象的线性代数, 就是在线性空间概念的基础上构造起来的, 这里的“线性”、“空间”等概念并不是代数学本身所固有的, 而是从几何学中借用的。
2.3 为微积分的创立准备了必要条件, 加速了微积分形成的历史进程
几何与代数有机结合的思想形成的标志是解析几何的创立, 笛卡尔在创立解析几何过程中, 不仅提出了代数与几何相结合的思想, 而且把变数引进了数学。变数的引进, 对于数学的发展有着极为重要的意义, 特别是为微积分的创立准备了重要工具, 加速了微积分形成的历史进程。从这种意义上看, 可把解析几何的产生看作是微积分创立的前奏。
2.4 为数学的机械化证明提供了重要启示
定理的机械化证明, 是现代数学新兴的一个研究领域。从机械化算法上看, 它的方法论基础是利用代数方法把推理程序机械化。因此, 定理的机械化证明的思想渊源可追溯到几何的代数化。
此外, 几何与代数的有机结合思想还给数学研究从方法论上提供了许多重要启示, 如把点与数对、曲线与方程相对应的思想加以发展, 提出了函数与点、函数集与空间相对应的思想, 在此基础上创立了泛函分析这一新的理论。
参考文献
[1]李玉琪.数学方法论[M].海口:南海出版公司, 1990.
巧借数形结合思想将代数问题几何化 篇8
关键词：代数问题,数形结合,解法
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”, 使复杂问题简单化、抽象问题具体化, 从而达到优化解题途径的目的的一种思想.一般来讲, 对于有一些代数问题, 若单纯从代数方法上来寻求解决的途径, 往往较为困难或复杂, 若能根据题设条件, 利用“数形结合”这一重要的思想方法, 将代数问题转化为几何问题, 往往可增强问题的直观性, 取得事半功倍的效果.
【例1】 (2005·全国卷I) 在直角坐标平面上, 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( ) .
D.2分析:一次函数的图像是一条直线, 因而只需画出不等式所表示的平面区域 (如图1) , 则易求面积.
即所表示的平面区域如图1所示.
由方程组得B、C两点的坐标分别为 (-1, -2) 和且A (0, 1) , M (0, -1) ,
评注:该题巧妙地利用了数形结合思想将代数问题转化为平面几何问题, 使问题的解变得显而易见.
【例2】设B={ (x, y) | (x-1) 2+ (y-3) 2=a2, a>0}, 求a的最大值与最小值.
分析:该题表面上是考查代数中有关集合、二次函数等的知识, 实际上是考查学生能否灵活利用数形结合思想将代数问题几何化, 从而找到答案.
解:∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心, 为半径的半圆;集合B中的元素是以点为圆心, a为半径的圆.如图2所示:
又∵∴半圆O和圆O′有公共点.显然, 当半圆O和圆O′外切时, a最小, 此时,
当半圆O与圆O′内切时, 半圆O的半径最大, 即最大.此时,
评注:该题仍是巧妙地利用了数形结合思想将代数问题转化为平面几何问题, 使问题的解变得显而易见.
【例3】求函数
分析:这是一道典型的代数问题, 但用常规的代数解法较繁琐.若对已知题目进行充分的分析, 联想到己知直线上的两点求直线“斜率公式”, 利用数形结合思想将问题几何化, 此题解法“跃然纸上”.
【例4】已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c, (ab≠0, α-β≠kπ, k∈Z) .
分析:我们要善于发现条件的几何意义, 还要根据图像的性质, 分析清楚结论的几何意义.这样才能巧用数形结合思想解题.
证明:在平面直角坐标系中, 点A (cosα, sinα) 与点B (cosβ, sinβ) 是直线l:ax+by=0与单位圆x2+y2=1的两个交点 (如图4) .从而有|AB|2= (cosα-cosβ) 2 (sinα-sinβ) 2=2-2cos (α-β) .
【例5】 (第15届俄罗斯数学竞赛题) 已知x, y, z∈ (0, 1) , 求证:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1.
分析:该题是一道典型的不等式证明题, 其证明方法很多, 但是笔者认为, 把它转化为几何问题来解较为理想.
证眀:构造边长为1的正△ABC, D, E, F为边上三点, 并设BD=x, CE=y, AF=z, 如图5所示.显然有
评注:能如此简洁、直观地证明这道竞赛题, 真是妙不可言.
化归思想在中学代数中的教学研究 篇9
一、化归思想的含义
化归思想方法, 是一种常用的思想方法。它是把代数中需要解答的问题甲, 经过适当的转变, 变成其他一个容易解答或已经解答的问题乙, 通过问题乙的解答, 实现问题甲的解答。比如, 在解决多边形的问题时, 我们可以通过增加合适的辅助线, 把多边形转换成三角形, 由于三角形的问题比较简单, 因而通过三角形问题的解决, 实现多边形问题的解决, 这即是化归思想的一种典型应用。
二、化归思想方法的特点
(1) 多项性。为了化归转换, 可以改变问题的内部形式, 也可以改变问题的外部形式。例如, 通过割补法, 计算平面图形面积, 这就是变更问题的条件;计算一个函数的值域时, 转变成计算它的反函数的定义域, 这是变更问题的结论;反证法是整体上改变问题的结构形式, 寻找解决的新途径。
(2) 重复性。在问题的解决过程中, 通过多次的化归, 使问题实现规范化。
例:计算函数f (θ) =2cosθ+43sinθ+3的最值。
解:f (θ) =23·cosθ+2sinθ+1, 设x=cosθ, y=sinθ, 则x, y满足x2+y2=1, 原函数就转化成f (x, y) =23·x+2y+1的最值。设k=y+1=y- (-1) , 那么, k是单位圆上动点x+2x- (-2)
M (x, y) 和定点N (-2, -1) 连线的斜率。
所以k∈[0, 43], 所以f (θ) ∈[0, 2]。
上例采用两次转化的方式, 把代数问题转化成简单的解析几何问题, 从而达到了代数和解析几何的互相转化。
(3) 层次性。它不但能实现数学各分支的沟通, 而且可以在宏观上实现学科间的转化, 能够运用各种方法及技术。
三、化归思想的教学策略
1. 注重公式、概念等基本数学模型教学, 加强化归基础
在中学代数里, 基本概念、运算系统、公式定理及方程解法等都属于数学模型。可以将数学模型划分成三种:概念型数学模型, 方法型数学模型, 结构型数学模型。从一定程度上来说, 中学代数的教学, 其实也是数学模型的教学, 构建相应的模型, 将需要解决的问题规范化、程序化, 即通过模型的转换实现化归的过程。
2. 设置合理化解题建议, 树立学生化归意识
解决一些代数问题时, 选择正确的解题思路非常重要, 这就要求从不同角度、不同方向变更题目的形式, 化繁为简。在平时的代数教学过程中, 要培养学生总结问题方法的能力, 引导学生尝试用不同的技巧解决问题, 帮助学生树立信心。
3. 掌握化归的一般方法
(1) 对需要解决的问题实施变形。例如反证法, 它就是将整个问题实施变形, 从而将问题变得简单易解。
例:对于函数f (x) 定义域内的任意两个实数a, b, 当a
证明:如果方程最少有两个不相同的实根x1, x2, 可以设x1
(2) 将问题中的未知问题实施变形。
例:过圆外一点P (a, b) , 作圆x2+y2=r2的切线, 求经过两切点的直线方程。
分析:首先, 对于结论不急于求解, 可以先写出经过P (a, b) 的圆的切线方程, 这个非常容易求得。设切点是A (x1, y1) , B (x2, y2) , 那么两个切线方程是:x1x+y1y=r2, x2x+y2y=r2, 因为两条切线均经过点P (a, b) , 得x1a+y1b=r2, x2a+y2b=r2。这样, 对于问题的求解就变得非常简单起来。
化归的方法有许多种, 经常采用的方法有恒等变换法, 包括配方法、分解法、待定系数法等;另一种是映射反演法, 如对数法、换元法、坐标法和反射法等。
综上所述, 本文对化归思想方法的含义和特点进行了阐述, 并对在中学代数教学中如何实施化归思想提出了一些策略。在中学代数教学中, 把化归思想落在实处, 从而让学生真正熟悉并掌握它, 对于教师及学生而言, 还需要投入更多的关注和精力。
参考文献
[1]沈文选, 杨清桃.数学思想领悟[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008.
代数思想 篇10
线性代数是高等学校理工科类、经济管理类专业的一门重要的数学基础课程,也是全国硕士研究生入学统一考试必考的课程之一,它具有较高的抽象性与逻辑性和广泛的实用性。作为数学教学三大基础课之一的“线性代数”,由其自身的内容与特点所决定,具有无可替代的极其重要的作用,它是学生学习后续课程的重要理论基础,也是学生解决工程应用问题的重要工具,是培养“创新意识、创新精神”及“数学建模能力”的主要理论载体[1,2]。
1 线性代数教学存在的问题
1.1 教学内容过于偏重理论
目前传统的线性代数教材仍然是以理论为主导,偏重理论体系的完整性,过多强调证明和推导,加上该课程本身所固有的抽象性和逻辑性及人工计算的繁琐性使得学生学起来有一定困难,学习兴趣不高,而且弱化了该门课程的计算功能以及在后续课程的作用[3]。而要解决这些问题,应当引入更多的应用实例,让学生对线性代数课程内容从感性认识上升到理性认识,进而加深对知识的理解,提高学习的积极性。
1.2 课程内容缺乏与工程实际及专业课的联系
由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域,某非线性问题在一定条件下,可以转化为线性问题,特别是在计算机日益普及的今天,该课程的地位与作用更显得重要,解大型线性方程组,求矩阵的特征值,特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题。因此线性代数课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科,这就要求学生必须具备线性代数基本理论知识,并熟练地掌握它的计算方法,同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练,为学习有关专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础。
1.3 教学手段相对滞后
由于课程偏重理论,缺乏实际应用,再加上矩阵的笔算十分困难,如果不借助先进的软件工具,必然影响线性代数知识在专业课及实际中的应用。MATLAB是目前国际上先进的软件计算工具,引入MATLAB软件可大大提高矩阵的运算效率,并能实现海量数据的连续运算[4]。因此,线性代数课程教学需要先进软件工具的帮助,需要采用先进的教学手段。
2 国内外开展数学建模活动的情况
数学建模(Mathematical Modelling)是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解的过程。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领域广泛应用的媒介,是数学向科学技术转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视,它已成为体现现代科技工作者必备的重要能力之一[5,6]。
美国数学建模竞赛(MCM)始于1985年,由美国数学及其应用联合会主办,得到了SIAM,NSA,INFORMS等多个组织的赞助。MCM与其他著名数学竞赛的区别在于其着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。竞赛每年都吸引大量著名高校参赛。2009年MCM/ICM有超过2000个队伍参加,遍及五大洲。MCM已经成为最著名的国际大学生竞赛之一。
1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10大城市的大学生数学模型联赛,74所院校的314个队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物,决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛,每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。2009年全国有1137所院校、15042个队、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛。数学建模竞赛已成为全国高校规模最大的课外科技活动。
综上所述,如何在信息技术条件下把数学建模的思想、线性代数的应用及MATLIB软件三者有机融为一体,让学生利用数学知识和计算机手段来解决实际问题,引导学生探索建立数学模型的一般方法和规律,学会评价数学模型,提高应用能力,是当代教育工作者亟待解决的一个重要课题。
3 系统设计
3.1 系统运行环境
线性代数智能实验系统面向高校所有学习该课程的学生,应具备多人同时上机实验的功能、自动生成实验数据的功能及自动保存实验结果等功能,是一个典型的网络系统。考虑到系统的并发性,建立了两层的Client/Server模式,应用于实验室局域网的环境中。系统采用大型网络数据库Microsoft SQL Server作为后端数据库管理系统,采用Power Builder9.0作为前端的开发工具。Microsoft SQL Server是基于客户端/服务器模式的新一代大型数据库管理系统,它在电子商务、数据仓库和数据库解决方案等应用中起着重要的核心作用,而Power Builder是目前最具有代表性的数据库前端开发工具之一,它以优良的性能和普及率领导着数据库应用技术的发展潮流[7,8]。
3.2 系统功能设计
根据线性代数课程教学大纲要求掌握的知识点,结合线性代数在物理、化学、工程技术、经济管理等领域中一些典型的应用,我们精选了10余个线性代数课程实验题目,设计了自动生成实验数据的算法及实验结果给分的算法。学生登录实验系统后,可选择一个实验进行操作,系统根据选择的题目自动生成实验数据,给出该实验的分析过程、数学建模过程及Matlib的解题过程。每台计算机中都装入了Matlib计算软件,学生在Matlib命令窗口中输入相应的命令及实验数据,得出实验结果。最后,由系统根据解题算法自动判别实验结果的正误并给出分数。部分实验题目见表1。
下面以平板稳态温度的计算为例说明设计的方法及实验步骤。
在钢板热传导的研究中,常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设图1中钢板已经达到稳态温度分布,上、下、左、右四个边界的温度值如图所示,而T1、T2、T3、T4表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换,那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值,如。请计算该钢板的温度分布[9]。
3.2.1 实验分析
本实验可利用线性方程组建立平板热传导的数学模型来计算平板稳态温度的分布,在该网格图中,每个中间节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系:T=k上T上+k下T下+k左T左+k右T右,如T1=k上×20+k下T3+k左×10+k左T2。实验中假设某节点的温度值近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值,则系数
3.2.2 建立数学模型
设上、下、左、右四个边界的温度值分别为a,b,c,d,令系数,根据已知条件可列出线性方程组:
将其化简为矩阵形式如下:
3.2.3 实验数据生成及实验结果检验算法
通过计算可得:
则实验结果为:
3.2.4 实验步骤
根据已知条件可得到以下线性方程组:
将其化简为矩阵形式如下:
在MTALIB命令窗口中输入:A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4];b=[30;50;60;80];U=rref([A,b])
计算结果为:
得到方程组的解为:T1=21.25℃,T2=26.25℃,T3=28.75℃,T4=33.75℃。
系统将学生通过MATLIB命令得出的结果与系统中通过计算实验结果算法得出的结果相比对,如果正确,则给出相应的实验成绩并记录在案,否则不给分。
4 成果的应用
2007年,由东北大学校基金支持,我们课题组自主研发了“线性代数课程考试系统”,并于2008年正式应用于我校的线性代数课程,到现在已实践了五个学期,试点班级超过200个,使用的学生超过6000人。该项目于2009年在“辽宁省第十届教育软件大赛”中获高等教育组优秀奖,同年,在“第九届全国多媒体课件大赛”中获高教理科组优秀奖。
2009年1月,教育部高教司设立了“使用信息技术工具改造课程项目”,其中由西安电子科技大学申报的“用MATLAB及建模实践改造线性代数课程”项目得到批准。这是教育部历史上对一门课程改革支持力度最大的一次,全国共18项(包括理工、金融与管理、艺术三类),数学类仅此一项[10]。该项目由西安电子科技大学牵头,联合东北大学、北京航空航天大学、西安交通大学、东南大学、华南理工大学、哈尔滨工程大学等16所高校,共同推动线性代数课程的改革。计划在两年内,把数学软件充分地应用于工科线性代数课程的改造,精简理论,强化实践,大大提高本课程的教学质量,提高学生的科学计算能力,进而对后续课产生辐射效应。我校作为该项目的合作院校,主要负责研发线性代数智能实验系统和线性代数智能考试系统,该项目已于2009年底完成并开始在西安电子科技大学投入使用,目前据统计使用该系统的学生人数已经超过10000人,并计划在全国高校中推广使用。
5 结论
实验教学是实现创新人才培养目标的重要教学环节,实验教学水平的高低,直接影响学生培养的质量。我们根据线性代数课程的特点,精选实验,描述每个实验的数据生成算法及实验结果给分的算法。系统中所有的实验数据均借助于软件的算法模块由计算机在现场随机生成,可以做到每个实验的类型相同,难度相同,但所有的实验数据均不相同,因此,系统不需要题库的支撑。丰富的应用实例不仅可以激发学生的学习兴趣,提高应用线性代数知识解决实际问题的能力,而且可以加深学生对线性代数理论知识的理解,深刻体会MATLIB软件工具的强大功能。实践证明,这种实验教学模式提高了学生的动手能力和分析问题的能力,保证了实验教学的质量,优化了实验效果,使实验教学水平上了一个新台阶[11,12]。
参考文献
[1]高淑萍.线性代数课程MATLAB实验内容的教学与研究[J].中国电子教育,2007(4):59-62.
[2]方文波,马俊,欧贵兵等.基于线性代数智能在线测试系统的考试改革及实践[J].中国大学教学,2008,2:42-44.
[3]张向华.线性代数课程建设和教学改革探讨与实践[J].东北农业大学学报(社会科学版),2010,8(6):99-100.
[4]李绍刚,段复建,陈利霞.线性代数中Matlib实验教学的探讨与实践[J].长春大学学报,2010,20(6):21-24.
[5]胡瑞平,扬宏华.试论数学建模实验室功能的拓展[J].实验室研究与探索,2010,29(7):160-161.
[6]齐小刚,刘三阳.数学建模教育与创新精神培养的研究探索[J].实验技术与管理,2009,26(5):27-29.
[7]郑阿奇,殷红先,张为民.PowerBuilder实用教程(第二版)[M].电子工业出版社,2004.
[8]郑阿奇,刘启芬,顾韵华.SQL Server实用教程[M].电子工业出版社,2002.
[9]杨威,高淑萍.线性代数机算与应用指导(MATLIB版)[M].西安电子科技大学出版社,2009.
[10]陈怀琛,高淑萍,杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究,2009,12(3):23-25.
[11]扬韧,谢海英.数学类专业创新实验的探索[J].实验室研究与探索,2010,29(12):103-104.