代数分析法

2024-07-31

代数分析法（精选十篇）

代数分析法篇1

一、高等代数方法应用于数学分析极限

二、奇异矩阵的正则化

在有些数学分析问题上, 解题过程中, 运用高等代数中的有关方法来处理, 通过结合两者互通点, 在解题上通常会使问题简单化。两门专业课结合, 使高等数学知识结构更加完善, 学生在知识掌握方面才更加牢固。

参考文献

[1]王莲花, 鞠红梅, 李战国.数学分析在高等代数中的某些应用[J].河南教育学院学报, 2008年03期.

[2]凌征球, 龚国勇, 龚文振.高等代数在数学分析解题中的某些应用[J].高等代数在数学分析解题中的某些应用, 2010年05期.

[3]董立华, 周小双.数学分析与高等代数有关问题和方法的相互渗透[J].榆林学院学报, 2011年06期.

考研数学线性代数主观题分析篇2

考研数学中线性代数部分的两道大题一道考在矩阵方程这一部分，另一道考在二次型这一块，与以往出题方式有点不同。

其中，第20题(数一、数三)表面上考矩阵方程，实质上是线性方程组求解的问题。考查学生的思维能力，需要学生对各知识模块熟练掌握且能灵活应用知识间的联系，这类考法在线性代数里不是很常见，难度虽不大，但是需要学生有思路。因此如果能转化到线性方程组求解，这个题就很容易做了.

第21题(数一、数三)，考查的是二次型，第一问是求二次型的矩阵，这个问题没有难度，但是有较大的计算量，需要学生有一定的计算功底，且需要熟练掌握矩阵的乘法，第二问是考查二次型在正交变换下的标准型，这个问题涉及了向量内积、向量正交、实对称矩阵的正交变换、求矩阵的特征值等几个知识点，此题综合性较强，也有一定的技巧性，需要学生能综合灵活应用所学知识，由于只需要求二次型的标准型，而且是在正交变换下，所以只要求得二次型矩阵的特征值即可，这是此题解题的思路和关键，本题集中体现了线性代数命题的特点：涉及的基本概念比较多，不同的概念之间的.联系比较复杂。考生需要具备比较全面的知识储备才能比较顺利地突破考题所设置的所有关卡。

代数分析法篇3

关键词：高中数学高考试题代数运算

近几年，全国各个省份的高考数学试题中以“高等数学”为背景的试题不断出现，题目以高等数学为背景，或结合中学数学的知识，在考查学生中学数学知识、方法的基础上进一步考查了学生的创新能力和数学思维能力.这类试题虽然取材于高等数学，但一般都经过“初等化”处理或给出与高等代数有关的定义、定理，要求考生作解答.解答此类型试题只需根据已有知识经验，并结合平时解题时的数学思想方法，并不需要学习有关高等数学的知识.以高等数学为背景的数学试题无论从背景知识还是解题思路方面往往较新颖，因为考生并没有与此相关的知识储备，也没有遇到过类似的背景知识，所以对考生的阅读理解能力的要求更高；试题要求考生有较强的知识迁移能力，能够对比题目所给出的信息，在头脑已有的知识库中搜索相关的知识方法，运用在中学阶段所学习的知识方法解决此类问题.本文以高等数学中的“代数运算”为出发点，分析并设计以其为考点的高考试题.

1.以“代数运算”为背景的高考试题分析

【2012福建·理15】对于实数a和b，定义运算“·”：a·b=a■-ab，a≤b，b■-ab，a>b，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个不相等的实数根x■，x■，x■，则x■，x■，x■的取值范围是？摇？摇？摇？摇.

参考答案：（■，0）

评注：本题考查了数形结合、分类讨论的数学思想方法.解题的关键在于充分理解新定义运算的具体涵义，并结合所学习关于函数的相关知识解题.代数运算经常与函数零点相结合，考查函数方面的知识，2011年天津高考数学文科试题第9题也是类似的命题方式.

2.以“代数运算”为背景的高考试题设计

命题模式：引入一个符号，规定其运算法则，并结合函数、不等式等知识命题，考查函数的零点、周期性、最值、对称性等和不等式的基本性质、均值不等式、柯西不等式等.代数运算的符号可以用任意的符号表示，比如“？茌”、“？茚”、“.”、“·”、“？莓”，题目核心在于运算法则的规定.解答时需充分理解题意，把握试题情景，并结合之前所学习的知识解决，试题考查的着重点在于“旧知识”的考查.解题的突破点是新背景的理解和旧知识的运用.

【改编】（改编自2005年辽宁卷第7题）从函数的角度）在R上定义运算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.函数f（x）=（x-a）？茚（x+a），若f（x）<-■对任意实数x成立，则实数a的取值范围是？摇？摇？摇？摇.

参考答案：（-■，■）

【改编】（从不等式的角度）在R上定义运算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.关于不等式（x-a）？茚（x+a）<-■

对任意实数x成立，则实数a的取值范围是？摇？摇？摇？摇.

参考答案：（-■，■）.

评注：本题受2005年辽宁高考数学试题的启发，引入新的运算法则“？茚”，并且与函数和不等式相结合，主要考查数形结合思想、不等式的解法、函数的图像和计算等能力.从函数角度的命题思路要求考生从函数的最值出发解不等式，或者从函数角度解决问题.从不等式角度命题的思维角度与从函数的角度命题是有很大的区别的，倘若题目中出现了“不等式”，学生根据关于不等式的知识经验，自然就会想到用解不等式的方法解题.若题中出现“函数”，则学生思维首先定位到函数，运用函数的方法解题.此题型在解答时要先准确把握所给信息本质，然后应用类比等法充分挖掘其内涵，运用新旧知识间的内在联系及迁移规律，将新运算转化为熟悉的数学运算[1].

【自编】（集合的运算封闭角度）定义集合上的运算“？莓”，如果？坌a，b∈A，都有a？莓b∈A，则集合A关于运算“？莓”是封闭的.比如Z、Q、R关于的加法、减法与乘法都是封闭的.下列说法错误的是（B）

A.Q关于除法运算不是封闭的

B.a，b∈Z，a？莓b=a（b+1），则Z关于运算“？莓”是封闭的

C.a，b∈Q，a？莓b=b■+2b■，则Q关于运算“？莓”不是封闭的

Da，b∈Q，a？莓b=■（a+b），则Q关于运算“？莓”是封闭的

评注：本题的背景是“集合上的代数运算”.题干中给出了集合上的代数运算的定义，代数运算的定义为：“集合A上的二元映射？莓：A×A→A也称为A上的代数运算或A关于“？莓”运算封闭”.二元映射“？莓：A×A→A”中又隐含着笛卡尔积“A×A”的概念，在中学阶段并没有相关介绍，因此题目不按照原始的定义出发，而是经过了“初等化”，让没有学过笛卡尔积的学生也能够理解代数运算的含义.这其中充分体现了以高等代数为背景的高考试题的命题原则.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

3.结语

利用著名数学家高斯解决问题有趣的故事激发学生对等差数列的思考及兴趣，可达到很好的教学效果.把“数学名题”适当地应用到高中数学的教学过程中，不仅能丰富学生的知识面，而且能提高学生的数学素养，达到数学教育的目的.

参考文献：

[1]单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002.

代数分析法篇4

一“纯代数法”在线性规划问题中的原理

代数法源于几何作图法, 是对几何法的“断章取义”, 也即“归纳升华”, 省去了繁琐的作图;只要可行域封闭的情况下, 就能用“纯代数法”, 再加上思维够严密——增加“检验不等式”, 将会节省大量的时间来完成线性规划问题的解答;在应试的角度上代数法优于几何法, 但从新课改的角度上看, 要把学生培养成为跨世纪的人才, 几何作图法是不可或缺的。

对于普通高考数学全国卷中的线性规划问题, 一般都是可行域封闭的情况, 解“纯代数法”的基本步骤如下: (1) 列二元一次方程组求解:各个二元一次不等式变成等式, 互相联立, 得到各组解 (交点) ; (2) 检验可行解:将各组解代入各个不等式, 看它们是否都成立;不等式成立就是我们需要的可行解, 只要有一个不等式不成立就把此解去掉; (3) 求值比较:将 (2) 中的可行解代入目标函数Z, 把得到的Z的值相互比较, 最大 (小) 的数就是要求的最大 (小) 值, 也可得到取最值的最优解。

二普通高考数学全国卷中的线性规划问题

1.2012年的全国新课标高考试卷 (理)

设x, y满足约束条件:则z=x-2y的取值范围为_____。

如果用“几何作图法”: (1) 取点; (2) 描点; (3) 作出4条直线; (4) 找出可行域; (5) 求交点; (6) 画平行的目标函数直线; (7) 根据可行域找目标函数直线的截距的最值——Z的相应最值——Z的范围。仅看步骤就很麻烦了, 而且还要熟练掌握基本的直线作图方法, 把目标函数也要看成Z已知的一条条平行直线, 最后还要转换成截距, 我区的学生要按部就班地把这道题完成, 并把答案完整地写出来, 没有一定的数学基础和一定的时间, 本题基本得不到分数。

但用“纯代数法”就不会这么麻烦, 直接可从上面的第5步开始:

检验:将上面的6个解代入上面的4个不等式, (0, 3) 和 (-1, 0) 使其中的不等式不成立, 因此去掉, 从而剩下其余的4个解即为可行解。

求值比较:把第2步的4个可行解分别代入目标函数得z=x-2y的4个值分别为0, -2, 3, -3。最大为3, 最小为-3, 因此z=x-2y∈[-3, 3]。

2.2011年普通高考数学新课标全国卷 (文)

若变量x, y满足约束条件则z=2x+3y的最小值为 () 。

列方程组求解:得解 (4, 2) ;得解 (1, 5) ;得解 (1, 1) 。

检验:将上面的3个解代入上面的3个不等式, 都满足不等式, 三个解都是可行解。

求值比较:将三个可行解分别代入目标函数z=2x+3y, 得到的三个值分别为14, 17, 5;因此最小值为5, 答案为C。

3.2010普通高考数学全国卷Ⅱ (文理同)

若变量x, y满足约束条件, 则z=2x+y的最大值为 () 。

同理:运用纯代数法得三个可行解 (-1, -1) , (-1, 4) , (1, 1) 代入目标函数z=2x+y得三个值分别为:-3, 2, 3, 因此最大值为3, 答案为C。

限于篇幅, 笔者仅举以上3个例子来运用“纯代数法”, 并在例1中简要对比了“几何作图法”, 已足够能说明“纯代数法”的妙用。

三结束语

代数分析法篇5

近期学习了义务教育课程标准解读中《数与代数内容分析与教学建议》的七个专题，下面我就对照一下自己平时的教学谈以下几点权作体会。

一.数学是什么

这一问题历来都有各种不同的回答。可是，作为一个数学教育工作者，如果连“数学是什么”都没有搞清楚，那还是真有点说不过去，但要仔细、深入地去研究这个问题，还确实有些难度。有人说，数学是一种工具；也有人说，数学是一种语言；还有人说，数学是一种文化......。那么古今中外的数学家们也是各执一词，教师们可以参看书的2---5页内容。那么归总起来，数学是一种多元的复合体。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中有关“数学是什么”的叙述有：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”可见，《课标》中也是将数学看成一个多元的复合体，不能简单地将数学等同于命题和公式汇集成的逻辑体系。数学通过模式的建构与现实世界密切联系，现代技术渗透于数学之中，成为数学的实质性内涵。

我们要正确认识数学中的规定。数学中的规定和生活中的规定一样，是有好处、有必要的。例如，十字路口中的红绿灯，规定红灯停、绿灯行。如果没有这个规定的话，那么交通事故就会连续不断，社会就会不得安宁。数学中运算顺序的规定，就像生活中的红绿灯，它保证了数学中的“秩序”。我们教师在教学中要讲清数学名词和符号的形成、意义和运用，让学生了解数学史，增强学习的信心，激发学生的求知欲和追求真理的勇气，提高思维品质，令辉数学中的思想方法。这样才能使学生逐步形成正确的数学观念，进而逐步具有良好的数学意识，从而会从数学的角度去分析问题，解决问题，提高数学素养。

二.“接受”还是“发现”

新课程改革为初中数学课堂教学带来了众多的变化，特别是学习方式的改变，被教师们认为是改革的重要方面。挖掘学生潜能、促进学生自我发展、着眼学生全面成长、促进学生认知、情感、态度与技能等方面的和谐发展，所有这些都在提醒我们教师在教学中，要格外的强调和倡导资助探究学习，甚至出现了什么都要自主探究一番，而一提到“接受”就似乎有“谈虎色变”的感觉。

案例有这样一个教学反思的片断，来自某一教学研讨会上的公开课《数字与编码》的环节。在教学身份证编排规律时，某教师采用小组合作的方式，让小组自己想办法研究身份证号码的编排规律。当学生遇到困难请教老师的时候，老师一味地说让学生自己去研究发现，结果学生有的冥思苦想，有的无所事事，有的一脸的无奈。那么另一位教师，当学生向他请教时，他一步步启发学生，从身份证的用途、男女区分、地区、出生年月等方面加以区分编排，学生们兴奋满足地倾听着，情不自禁的讨论便排起自己的身份证号码来。两位教师对待自己的做法各有理由，我们不妨分析一下水的更适合我们的学生。

第一位教师说：“我有一个习惯，当学生问我的时候，我从来不把答案告诉他们，而是采用探究的学习方式，让他们去经理、体验、去探究。新课程的一个重要理念就是转变学生的学习方式，我认为教育不要告诉！”

第二个教师说：“我声明一下，我不反对采用探究的学习方式。但让学生看着这些数字编码去思考编排规律难度比较大，浪费时间，收效很差，我刚好知道这些知识，所以我就告诉学生了，干吗让学生花费大量的时间去探究，这不是为难我们的学生吗？事实上那些探究的学生最终也没有探究出个所以然来。”

这个教学反思的片断可以带给我们好多的思考：什么时候、什么内容适用探究的学习方式？如何将探究和接受学习有机的结合起来，在教学中充分发挥它们各自的优势？这些问题的解决有赖于对学生数学学习的研究，有赖于对探究学习和接受学习正确地认识。下面我们进行一下教学分析：接受学习与发现学习

对于初中数学学习方式的研究由来已久，而新课程中也多次提到要转变学生的学习方式，强调“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。” 学习方式是指学生在完成学习任务过程时基本的行为和认知取向。根据学习方式又可分为接受学习和发现学习。

接受学习是指学习内容基本上是以定论的形式传授给学生的，对学生来讲，学习不包括发现，只要他们将所学的内容内化就可以了。例如，学习“三角形”这个概念时，通过实物抽象出三角形之后，就可以给出三角形的定义：“由三条线段位成的图形叫做三角形。”而发现学习的基本内容不是以现成的定论呈现给学生的，而是要学生自己通过观察、探索等活动主动去发现这些知识，然后再进行内化。例如，学习“能被3整除的数”，通过观察一组能被3整除的数，从中发现它们的共同特征，进而归纳出能被3整除的数的一般特点，这个学习过程就是发现学习。而探究学习是指从学科领域或现实生活中选择和确定主题，在教学中创设一种类似于学术研究的情境，通过学生自主、独立的发现问题、实验、操作、调查、信息搜集与处理、表达交流等探索活动，获得知识、技能，发展情感与态度，特别是探索精神与创新能力的发展的学习方式和学习过程。因此我国初中数学教育中提倡的探究学习与发现学习基本相同。而探究学习有利于学生创新能力的培养。

要使学生学习有价值的话，要尽可能进行有意义的学习。我们要寻找中间地带。在学生的实际数学中，这俩种学习方式都是需要的，他们各有优势也各有不足。发现学习有俩个主要功能：一是“愉快”，既能使学生在发现的过程中产生“兴奋感”，二是“迁移”能力得到提高。但根据研究，探究发现学习有利于基础好、智力好的学生进行教学，而不利于基础差、智力差的学生进行教学，他会是好的学生更好，差的学生更差。因此在教学中是让学生去“接受”还是“发现”，必须考虑教学目的、学科特点和学生的年龄特征，更好地把接受式与发现式结合起来。在当前的教学中，有的教师无论什么内容都要让学生探究一番，无论是接受学习还是发现学习，都可能导致机械学习，要是的学习有意义，需要学生积极地参与，学生的参与是课堂教学的一部分，而重视学生的参与学习的程度，也能够促进学生主动地去建构所学的知识。

教学建议：

中国古代最伟大的教育家孔子曰：“不愤不启，不悱不发。”这句话的意思是，“不到百般思索仍然搞不通的地步，我是不开导的，不到想说可怎么也说不清楚的地步，我是不提醒的。”可见我们要在关键的地方对学生进行启发，重视学生思维的发展，要求达到举一反三的程度。要鼓励学生再创造，让学生学会观察，只有这样一步一步地观察，才能最终发现其中的规律。因此观察对于数学学习来说是基本的方法。还要给学生机会质疑，这是在培养学生问题意识和质疑能力。

三.还有其他方法吗？---算法多样化问题

新课程改革的过程中不可避免地会面临许多问题，就像“摸着石头过河”我们摸到了那些石头，摸得怎么样呢？在教学中，教师通过创设情境让学生自己提出问题，并鼓励学生用多种方法来计算试题，这些都是很好的做法，说明教师注意了学生的差异性，但教师还要硬领学生对同伴的方法进行理解，让同学之间互相交流，达到思维的相互沟通；本案例中虽然有好几种方法，但是其实质还是通过拆数，蒋新知转化为旧知，引导学生进行辨析，进行必要的比较、归类。并让学生在此基础上作出自我调整，使得学生的建构活动富有意义而不是杂乱无章的。否则，只会使算法多样化停留在表面，并带来一系列的问题，如一节课下来，为什么很多同学只记住了自己的算法，对别人的算法却一问三不知。

从上述案例中，我们不难看出，提倡算法多样化是尊重学生的一种表现。，也是挖掘学生潜力的手段，更是展示学生创造思维的载体。教学目的在于使每个学生在数学上得到不同的发展，教师不能简单的对待算法多样化。《课标》把培养学生的算法思维摆到了十分重要的地位，明确提出“淡化笔算，强调估算，鼓励和提倡算法多样化”，算法多样化不但是《数学课程标准》所倡导的理念，也成为各种课程标准教材的具体要求。多样化和优化：如果算法多样化有利于促进学生思维的发展，那么算法的优化则有利于培养学生高水平的数学思维。在倡导算法多样化时，教师应确定哪些是基本算法？哪些是特殊算法？哪些是同一思维层面上的不同表现形式？通过引导学生进行反思，比较异同，发现其中的规律，选择最优的算法。这样经历从“多样化到优化”，不仅训练了学生思维的灵活性，提升其策略的多样性，也帮助学生形成优化意识，提高他们的计算能力。

教学建议：

实施算法多样化的教学，要根据学生的实际情况和具体教学内容来定，一般来说从以下几个方面来进行。

1.创设情境，自主探索2.算法交流，分析比较3.沟通优化，促进发展4.联系实际，灵活运用

四.估算，怎样为好？

在计算教学中，我们习惯了算出问题的精确结果，这样的计算成为精算。但随着科学技术变迁日益加快，信息大量涌入社会，人们的工作节奏和生活节奏大大的加快，人们在日常生活中估算的次数逐渐的增多，如外出购物时对要付钱数的估计，考试结束后对可能得到的分数的估计，走进一个会场对会场中可容纳人数的估计等，都要用估算的方法。因此估算能力越来越成为现代社会成员中一种必不可少的基本素质养。

教学建议：

估算要以准确熟练的基本口算为基础，估算与精算又相互渗透、相辅相成。因此估算具有综合知识的特征。但是估算教学并非无章可循，估算的方法灵活多样，答案也并非唯一，无论答案的表现形式还是精确程度，都要切合估算的目的或解决问题的需要。因此在估算教学中应该注意以下问题：

1.创设情境，激发估算的欲望

2.鼓励估算方法多样化

3.加强估算的准确性

4.培养估算的习惯

五.如何把握教学的起点？

在以往的初中数学课堂中，我们常常看到这样的情景，上课一开始，学生似乎都懂了，都会了，而这时教师往往做法是，继续按照课前的设计，通过几道题的提出，如：“你是怎么想的？”“为什么呀？”将学生拉到教师的思路上来，让学生懂了，还装着不懂。这样的做法，从教师的角度看来，好像是体现了教师的“机智”，但应该注意到的是，教师对学生情况的不了解，课前所思考设计的教学起点与学生实际的学习起点不相吻合。显然，不考虑学生的学习起点就进行教学，对学生的发展是不利的。那么教师应该如何把握教学中的起点呢？

下面我们进行一下教学分析：

美国心理学家奥苏伯尔巴教学心理学概括为一句话就是“影响学生的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”这就是谈的教学起点问题。

１.学生已有的知识经验

学生已有的知识基础，可被看作是学生学习的知识起点。

案例例如，在《圆柱的体积》这一课题的教学中，有两位教师分别是这样处理的。教师甲：

(1)教师演示，将圆柱体切割组拼转化为长方体，然后推导出圆柱的体积计算公式。

（2）根据公式解答课本中的例题。（已知圆柱的底面半径和高，求体积）

教师乙：

（1）出示例题中的圆柱体图，已知底面半径和高，求其体积。你能解答吗？学生讨论，尝试解答（由于学生已具有“长方体的体积=底面积×高”的知识基础，所以部分学生能通过迁移，运用这种方法计算圆柱的体积）

（2）教师肯定这种做法是正确的。（学生雀跃，初步体验到猜想和尝试成功的喜悦）这样计算的道理何在呢？为什么圆柱体积计算方法与长方体类似？（提出问题，引发思考）

过去我们推导圆面积公式时是怎样做的？（无限等分、切割组拼、化圆为方）我们能否也用类似的方法将圆柱体转化为已学过的形体来探求它的体积计算公式呢？

（3）学生观察、思考、讨论交流，最后形成共识。（先将圆柱的底面平均分，然后沿高切开，在组成长方体）

（4）教师分发实验材料，学生分组实验，最后推导出圆柱的体积计算公式。

由上个案例不难看出，教师乙由于注意到学生已有的知识经验，特别是在方法上，学生已经初步掌握了财乡、类比、转化等方法，所以教师及时调整了教材、教学的顺序，给学生留下了思考的空间，满足了学生探究学习的愿望。

2.要关注学生的认知发展水平和已经具备的技能和能力。

3.重视情感态度方面的基础

无论是教师还是学生，当他们走进课堂中的时候，也同时把情感带进了课堂。一些有经验的教师经常会把发展学生的情感态度作为教学的前提条件之一，因为课堂上遇到的每一件事情都可能与教师和学生的情感相关联。遵循学生的兴趣发展规律，有利于教师因人而异地组织教学，提高教学质量。

把握好教学的起点，我们给出了这样的教学建议：

（1）了解你的学生（2）注重课堂反馈信息

六.复习：是单纯回忆还是鼓励创造？

复习课是初中数学教学中的基本课型，对学生学习数学起到巩固提高的作用。一般来说，初中数学教学中的复习可以有日常复习、单元复习、期末复习、毕业总复习等形式。而究竟如何才能上好一节复习课，将复习的功能发挥到最大，仍然是目前教师们最普遍关注的问题。

一般来说，对于低年级学生，老师可以帮助学生复习，教给学生复习的方法；对于中年级学生，老师带着复习，教给学生复习的思路；对于高年级学生，放手让学生自己整理复习，通过自己总结和小组交流，“再创造”出知识的网状结构，有助于学生认知结构的形成，将数学知识形成一个完整的体系，从而保持长久的记忆。

这里我们给出这样的教学建议：

1.创设情境，再现知识

2.归纳整理，实施创造

3.重点复习，突破重难点

代数分析法篇6

【关键词】微课程线性代数独立学院教学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）05-0142-02

近年，微课的热潮已风靡全球，在传统教学中发挥着越来越重要的作用。在这个极速变化的时代，无处不在的互联网给教师和学生的学习提供了新的可能。基于微课程的移动学习、远程学习、在线学习，已越来越普及，微课程教学必将成为一种新型的教学模式和学习方式。

一、高校数学微课程的应用发展

数学课作为高等院校的重要基础课，在高等教育中发挥着重要的作用。近年来，作为一种全新的教学改革，很多高校数学教师探讨了关于微课程应用于《高等数学》、《概率论与数理统计》、《线性代数》的模式、方法，发挥的积极作用以及遇到的问题。诸多文献资料[1-4]普遍指出，将抽象的数学内容通过有声有色的微课程来展现，对提高学生对其内涵的理解，深度的把握，将起到积极的作用。当前，诸多高校开设了关于数学微课的MOOC课程，比如南京大学范红军教授团队开发的“概率论与数理统计”在线课程，电子科技大学黄廷祝教授于在中国大学MOOC网开设的线性代数与解析几何在线课程等。

2015年，在教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会的指导下，“首届全国高校数学微课程教学设计竞赛”圆满成功，竞赛内容涵盖大学数学基础课程（高等数学、线性代数、概率论与数理统计）的全部知识点。全国决赛的优秀作品已经通过爱课程网发布，供所有学习者观看学习。这一赛事的举办，意味着高等院校数学微课程将进入集成精品化的时代。

二、独立学院的线性代数教学现状

目前，全国近300所独立学院，其学生和普通高校的本科生有一定的相似性，但其生源和学生特点决定了独立学院学生是一个明显有别于普通高校本科生的一个不同的学生群体，其基础知识薄弱，个体差异较大，学习积极性较差。“线性代数”作为众多独立学院的重要公共基础数学课，其课程的基本概念、理论和方法较其他数学课程又具有更强的逻辑性和抽象性，定义、定理难以理解，比如行列式、秩、线性相关性、向量空间、特征值、对角化等等，并且课时普遍都较为紧张（线性代数与解析几何压缩在48学时内，线性代数32学时内），课内信息量大，是教师难教、学生难学的一门数学课[5-6]。

此外，基于独立学院办学的特殊性，学生除了在线性代数课堂以及答疑时间能和老师面对面交流、讨论，其他时间都难以和老师见面，学生有问题而得不到解答，久而久之学习积极性就会下降，不解的东西就会越来越多，导致越学越难，还可能放弃该课程。

三、线性代数微课程应用于教学

微课程的出现为独立学院线性代数教学现状开启了一扇门。在“首届全国高校数学微课程教学设计竞赛”中，获奖的微课作品知识点主要为：矩阵的引入、矩阵乘法、逆矩阵、矩阵的秩、克拉默法则、向量组的线性相关性、矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵、矩阵的对角化等，这些微课设计对抽象定义、定理创设情境，再现定义、定理形成的过程，深入浅出、形象生动、趣味性和启发性极强。比如矩阵乘法，让学生身临其境进入建筑工地，通过在工程造价中的实际问题，让学生思考，进而得到乘法的原理以及计算方法。笔者通过项目组成员，将这些线性代数微课程以如下三种模式应用于独立学院实际教学：

1.翻转式：课前布置学生先行观看微课设计视频，课堂老师提问、交流、探讨，以完成教学任务。

2.现场式：在课堂先播放该知识点视频，之后根据本节的知识展开讨论，实现教学目的。

3.解惑式：在课堂采取传统的讲授方法，学生在课后反复观看微课设计视频，体会理解重点、难点。

经过应用发现，学生在学习中能通过具体化、生活化的微课程领会线性代数抽象内容的内涵本质，提高对课程内容的理解和掌握，但独立学院学生本身的特点也决定了三种模式的实际效果：

1.翻转式的微课程教学在独立学院这个群体中难以实施进行，因为这个群体的学生大部分学习的积极主动性很差，缺乏自我管理的能力，学生在课前几乎没有去观看微课程视频，布置的任务没有去完成。

2.现场式是最为有效的一种模式。课堂上，学生在老师的带领下先观看短小的视频。微课程将抽象的内容具体化，虽然只有10分钟左右，但其中包含了知识点的切入、展开、讨论、思考、总结等内容，这本身符合人类思维的习惯，也更符合这个学生群体的特点，他们更喜欢热闹，他们能学会，能理解，但需要别人的带领和管理。新颖的方式督促学生积极的思考，大大提高了学生的逻辑思维能力。

3.解惑式的教学模式没有起到普遍的教学效应，但对于上进心较强的学生起到了积极的作用。独立学院中不乏有很多高考失利者和自我追求上进者，他们在这个环境中更希望有学习的机会，更希望有指导者帮他们成长，而优秀的微课程就满足了他们的需求，这部分学生通过课后反复观看视频，对该知识点蕴含的思想有了深入的了解，促进了其对整个线性代数的内涵的理解，进而为今后进一步发展奠定了基础。

四、应用分析和改革方向

基于实际应用的效果，线性代数微课程在独立学院教学中能发挥极大的辅助作用。实际上，微课程最大的魅力就在于设计，特别是数学类微课程，是围绕着提供的具体知识点目录的条目展开的，具备独立性、示范性、代表性，针对了教学过程中的重点、难点问题，正是学生所需要的，且微课程较为短小，学生更容易接受短时间内读完一个“数学故事”。特别是独立学院的大学生，思维更为活跃，更希望接受新鲜事物，在学习上更喜欢多样的不拘一格的教学和学习模式。微课程将不宜在课堂内展开证明的线性代数繁难例题切片化，指出易错点，突破点，学生通过视频再将其合体，更受独立学院学生的欢迎。微课程让他们有资源学习，更能根据自己的实际情况，有选择的去学习，从而喜欢学习。

但是，独立学院学生的特点决定了微课程教学不能在这个群体实现最理想的效果，即学生积极主动性较弱是执行的致命障碍。为解决这一问题，应从本质上出发，立足独立学院的培养定位，对学生的日常教学和管理做全方位的改革。就课程本身而言，我们要借助当前的微课浪潮，利用尖端的计算机技术，将线性代数的应用更直观的拍摄出来。那么，如何采集问题、如何引入实例、如何制作展现将是下一步有待解决的问题。此外，应将新型的教学模式不断应用于实际教学，以分析微课程学习的时机、方式、方法、要求等。

五、结语

线性代数微课程具有其独特的教学效果，应根据学生本身的特点和课程本身的特点制作有效的微课程视频。同时，使用微课程教学前教师应充分考虑实际教学情况，为其注入本土化灵魂的同时应扬长避短，力求用微课程打造出“浅、显、易、趣”的数学课堂，打通数学“沉闷、无趣”的拥堵，为数学教学开辟一条新路。当然，教学改革是一个长期的过程，时代在不断进步，独立学院学生的心理和认知特点也在不断变化，因此，应与时俱进的分析独立学院线性代数教学过程的问题，结合实际用微课程打造出让线性代数不再难学、不再抽象的新境界，开辟中国特色的微课程教学模式。

参考文献：

[1] 赵景服，高冉，张洪涛. 浅谈微课在《高等数学》教学中的设计与开发[J]. 学苑教育，2016，01：49.

[2] 向宇. 微课在高校经管类概率论与数理统计教学中的运用[J]. 新课程研究（中旬刊），2015，01：66-67.

[3] 王倩. 微课程在高等数学教学中的实际应用[J]. 现代商贸工业，2015，22：181-183.

[4] 裴秀艳. 浅谈“双主体”“交互式”的高等数学微课教学模式[J]. 数学学习与研究，2015，15：13-14.

[5]王发兴，郑莹. 应用型本科院校线性代数教学改革的几点构想[J]. 课程教育研究，2014，08：149.

[6]郑莹，王发兴. 工科院校线性代数的教学现状及几点建议[J]. 学苑教育，2014，24：52.

代数分析法篇7

下面就是本文所要证明的定理(在李群中也有类似特性,见[1]).

定理设M,N∈GL(2m,F),且M = M',N = - N',令L = g(2m,M,F) ∩g(2m,N,F),则m≤dim L≤m2.

证由代数同构可设g(2m,M,F) = D2m(M),g(2m,N,F) = C2m(N),则L = C2m(N) ∩D2m(M). 由[2]知,对于C2m(N),D2m(M)可固定其中一个,不妨固定N.

摘要：本文在特征为0的代数闭域F上的n维向量空间中,讨论了正交代数和辛代数的交集,并给出了交集的具体结构,也给出了在什么条件下交集的维数可以取到最大值和最小值.

代数分析法篇8

关键词：Novikov代数,李代数,实现

Novikov代数是由数学家Osborn命名的, 是在研究哈密尔顿算子时产生的, 并且与流动力学的Poisson括号、Yang-Baxter方程算子以及李群的左不变仿射结构等相关联。 1985 年, Balinskii和Novikov最先给出Novikov代数的定义并说明它是与流体动力学的Poisson括号相关联的。Novikov代数的显著特征是它的左乘算子形成一个李代数, 右乘算子是交换。这事一种比较新的代数结构。发展至今Novikov代数已经有了一定的进步, 获得了很多重要的成果。李代数是由挪威数学家Lie十九世纪末在研究连续变换群时引入的一个概念。李代数在数学和物理中具有重要意义。李理论以其实际的应用价值和广阔的发展空间吸引了大批的学者。到了二十世纪五十年代复数域和实数域上的李代数理论已经显示出它在数学中显著地位了。受Kac1986 的影响, 我国李理论的科研队伍不断地壮大, 出现了很多在国际上具有很大影响力的李理论工作者。发展至今, 李代数的结构和表示理论已经有了长足的进。在Killing, Cartan和Weyl等人的努力下, 有限维单李代数和半单李代数的分类和表示已经有了丰富的结果。之后Kac和Moody将Killing, Cartan和Weyl的结果和方法推广到了无限维李代数上。因为Novikov代数与李代数是现代数学前沿领域中具有重要地位的学科之一, 它们与数学和物理的许多分支有很大的联系, 如, 群论、拓扑、微分几何、理论物理、古典力学以及经典力学等。Novikov代数与李代数在上面这些领域中有许多的应用。它们的发展将会促进许多学科的发展。结构和分类问题一直都是代数研究的核心问题, 到目前为止一般的Novikov代数以及由Novikov代数决定的李代数的分类和结构问题尚无完整结果。研究由Novikov代数实现的李代数的各种问题对Novikov代数和李代数的发展都将起到促进作用。本文是在研究2 维Novikov代数仿射化得到的无限维Virasoro型李代数的导子和中心扩张的基础上研究由三维Novikov代数实现的一类无限维李代数。本论文所做的这一工作对李代数结构理论的发展具有促进作用。另外Novikov代数与物理联系密切, 所以本文对物理的发展也有一定的作用。

李代数 (Lie algebra) 是一类重要的非结合代数, 非结合代数是环论的一个分支, 与结合代数和李群有着密切联系。在更早些时候, 它曾以含蓄的形出现在力学中, 其先决条件是”无穷小变换”概念, 这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。

Lie是从探讨具有个参数的有限单群的结构开始的, 并发现李代数的四种主要类型。法国数学家Cartan在1894 年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家Killing都发现, 全部单李代数分成4 个类型和5 个例外代数, Cartan还构造出这些例外代数。Cartan和德国数学家Weyl还用表示论来研究李代数, 后者得到一个关键性的结果。李代数这个术语是1934 年由Weyl正式引进的。随着时间的推移, 李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20 世纪80年代, 李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具, 它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展, 其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

随着李代数的发展, 产生了一类与它联系非常密切的代数这类代数。这类代数是Gel’fand和Dorfman在研究一类特殊性质的算子是否是哈密顿算子时产生的。数学家Osborn将这类代数命名为Novikov代数。1985 年, Balinskii和Novikov最先给出Novikov代数的定义并说明它是与流体动力的Poisson括号相关联的。Novikov代数的显著特征是它的左乘算子形成一个李代数, 右乘算子是交换。这是一种比较新的代数结构, 在二十多年研究中, 已经获得了很多成果。1987 年Zelmanov给出了Novikov代数的各种理论和分类问题的研究, 他指出特征0 单有限维Novikov代数是一维的。 Burde, Dekimpe以及Verkammen对Novikov代数给了进一步地研究。1992 年Osborn完成了特征0 域与特征p域上具有幂等元的无限维单Novikov代数的分类。1995 年徐晓平在Osborn的研究基础上给出了特征p代数闭域上单Novikov代数的分类。白承铭等人给出了复数域上的一维和二维Novikov代数以及具有一个幂零李代数的Novikov代数的分类。Burde和Graaf给出了具有结合李代数的Novikov代数的分类。裴玉峰等人研究了由一个2 维Novikov代数仿射化得到的无限维Virasoro型李代数的导子和中心扩张等问题。陈良云给出了Novikov代数的函数实现。更多结果请参看。目前的文献多数研究的是Novikov代数的分类以及由一维和二维Novikov代数得到的限维李代数的导子以及中心扩张等问题。对于由高维Novikov代数得到的无限维李代数的导子以及中心扩张目前尚无结果, 其主要原因在于高维Novikov代数结构复杂。

参考文献

[1]N.Jacobson.Lie algebras[M].New York Dover Pub.1979.

[2]苏育才, 卢才辉, 催一敏.有限维半单李代数简明教程[M].北京:科学出版社, 2008.

概率关系代数研究篇9

数据库是对客观世界一部分(可能是一个企业、一个单位等等)的抽象描述。各种数据是对客观事物的属性、数量、位置或对它们的相互关系的形式表示，是各种信息的载体。目前己经有许多形式的代数或者逻辑等方法对客观事物的描述提供了可用的工具，也为数据库各种模型的建立提供了一些理论基础。

随着信息化进程的推进，数据库正在日常生活和经济发展中发挥着越来越重要的作用，而数据库查询处理的方法和工具都是以数据的确定性为前提[1]。当前，在很多领域发现了大量的不确定性数据[2,3,4,5]，如在面部轮廓识别系统中，即使是同一个人，不同照片的面部轮廓也不可能完全相同，如果使用关系模型进行严格的匹配，将很难得到准确的结果。

传统的基于精确数值的关系数据库技术已经非常成熟了，因此当前的关于概率数据库的研究一般都以传统关系数据为研究基础。但是概率关系模型中的许多操作又和传统的关系模型是不一样的，因此要采用各种不同的手段实现概率关系的各种操作。本文基于概率关系的可能世界基本概念和概率关系可能世界的基本性质，对概率关系的元组进行了分类，分为相互不相容的元组和相互独立的元组，提出了概率关系合并操作和概率关系代数，为有效地对概率关系查询奠定了基础。

1 可能世界

概率是解决不确定信息的比较适用的方法。经典关系数据库处理不了具有概率的数据，所以要对此种数据库在这方面加以推广，也就是非经典关系模型。从1988年Klir和Folger将不确定性数据分为模糊型和概率型后，对概率关系的研究不断深入，许多科研工作者都提出了自己对概率关系模型的描述，使得概率关系模型越来越趋于完善。

在概率关系中，把一个对象称为一个元组，一个对象在某些不确定方面所构成的组合称为该元组的一个可选元组。每一个可选元组的出现是不确定性的。因此一个元组会有很多可选元组，对于概率关系中的所有元组，从每一个元组中抽取一个可选元组，这样的可选元组组成的一个关系，称之为一个可能世界。

概率关系实际上由一组可能世界组成，每个可能世界包含了每个元组的一个可选元组，如果一元组中包含空(用φ表示)可选元组，在可能世界中不把其明确写出。可能世界有以下性质：

(1)可能世界的数目是每个元组的可选元组数目之积，每一个可能世界出现的概率也是每个可选元组的概率之积。

(2)可能世界的概率之和为1。每一个可选元组都会存在于一组可能世界当中，这些可能世界的概率之和等于此可选元组的概率。

当一个概率关系中每一个元组都含有一个空可选元组且其概率不为零，则其可能世界中含有一个由所有元组的空可选元组组成的可能世界，称这为空可能世界。空可能世界的概率是所有空可选元组的概率之积。

性质1：对于一个N个可选元组的概率关系，最多会出现2N个可能世界。

性质2：若一个概率关系中有一个确定性的元组，即其所有可选元组的概率之和为1，则这个概率关系没有空可能世界。

2 概率关系的元组分类

在关系R中取值不确定的属性称之为不确定性属性，用R.E表示。

在关系数据库R中，如果两个元组的确定性属性取值相同，并且它们的取值的概率都是小于等于1，那么就把这两个元组称之为不相容的元组。也就是说，对于同一个元组的两个相同的可选元组x和y，可以有：

式(1)中，p(x)代表元组x的概率。

在关系数据库R中，如果两个元组的确定性属性取值不相同，并且它们的取值概率都是小于等于1，那么就把这两个元组称之为相互独立的元组。设x和y分别是不同元组的可选元组，则可以有：

每一个概率表都可以存储在一个标准的关系数据库中，只是需要在元组的最后加上一个概率属性ps表示概率即可。但由于概率关系的元组之间的性质是不相同的，因此不可以用确定性的关系数据库规则进行处理概率数据库的数据。概率数据库的意思也可以理解成包含概率属性的一组可能世界，在可能世界里有一个概率属性。

本文主要强调每一个确定性的属性都是关键字的一个部分。通常，每一个概率表R都有一个关键字R.key，通过定义，这种关键字属性的集合在每一种可能世界里形成一个关键字。很显然，在R.key中的属性是确定性的，而其它的属性是不确定性的。当一个概率表只有确定性属性的时候，也就是说数据库中的每一个元组发生的概率都小于等于1,并且任意两个元组之间是相互独立的事件。

3 概率关系代数

设x是概率关系模式R上的元组，若A∈R，而且x(A)不是空值，则称x在A上有定义，记作，否则称为在A上没有定义，记作。若S∈R，且对存在A∈S，有，则称x在上有定义，记作，否则记作。若y也是R上的元组，而且对于所有A∈R，只要就必有x(A)=y(A),则称x归类y，记作x≥y。

设R是概率关系模式，R'=R-{pS},对R上的任意两个元组x及y,x与y相等，记作x=y，当且仅当(x(R')≥y(R'))∧(y(R')≥x(R'))。

这个定义是值相等在含空值关系中的推广。在含空值的关系中，不允许值相等的元组出现在同一个关系中。如果由于某些运算发生了两个值相等的元组在同一个关系中，则必须运用合并运算进行合并。

加合并主要运用在投影运算中，两个值相等的元组x,y的加合并记作，定义如下：

若x与y相互不相容，则z(ps)=x(ps)+y(ps);

若与相互独立，则z(ps)=1-(1-x(ps))(1-y(ps))。

最大值合并用在并运算的定义里，两个值相等的元组x,y的最大值合并记作z=x茚y，定义如下：

值相等，加合并以及最大值合并操作并限制于两个元组。设在关系模式R上有m个元组x1,x2,…,xm，如果对于任意的i,j,1≤i,j≤m,都有xi=xj，则称这m个元组的值相等，并且对于它们的加合并操作可定义为：

同样，它们的最大值合并操作可定义为：

现在把关系运算推广到含空值的关系中去。这个推广的一个重要的性能是上述两种解释的语义都能用这种关系运算来表达，推广的关系运算支持空缺概率的任一种解释。这样用户既可以用单个值也可以用区间来表示不确定性的参数，而关系运算都能得到与用户选择的类型一致的计算结果。本文所举事例都是按方法1来计算的,也就是说,所查询到的元组的概率是一个区间。

(1)投影运算

设r是关系模式R上的关系，S奂R，则r在S上的投影记作πs(r)，定义如下：

当T奂R时，有：

(2)改名运算

当关系模式中的某些属性的名称相同时，就需要把一个关系中的属性重命名。设r是关系模式R上的关系，A与B是两个相同的属性，A∈R,B R,A与B有相同的域，令Q=(R-{A})∪{B}，则A改名为B后，r变为：

(3)交运算

设r和s是关系模式R上的关系，S奂R，则r和s在S上的交运算记作r⌒s，定义如下：

(4)笛卡尔积

笛卡尔积是两个没有共同属性时的自然连接运算。设R,S满足以下关系的关系模式：

r和s分别是R和S上的关系，则r和s的笛卡尔积记作r×s，是(R⌒S)上的关系，并且r×s=r∞s。

以上介绍了四种基本的代数运算，其它的代数运算如θ连接运算、α截取运算、条件运算等都可以由这四种运算表达。

4 结束语

本文基于概率关系的可能世界基本概念和概率关系可能世界的基本性质，为了能够有效地对概率关系查询进行评估，对概率关系的元组进行了分类，分为相互不相容的元组和相互独立的元组，并提出了四种概率关系运算，下一步的工作将研究概率数据查询的实现。

参考文献

[1]孟小峰,周龙骧,王珊.数据库技术发展趋势[J].软件学报,2004,15(12):1822-1836.

[2]Klir G J,Folger T A.Fuzzy sets,uncertainty,and information cost and database design.ACM Trans.Database Syst,1988,11(2):159-185.

[3]Imielinski T,Witold L J.Incomplete information in relational databases.J.ACM,1984,31(4):761-791.

[4]Abiteboul S,Kanellakis P,Grahne G.On the representation and querying of sets of possible worlds.In IGMOD,1987.

代数式难点解读篇10

A. 50B. 64C. 68D. 72

【分析】先根据图形探求其中的规律,根据规律即可求出第6个图形中五角星的个数.

解:第1个图形一共有2个五角星,第2个图形一共有2+(3×2)=8(个)五角星,第3个图形一共有8+(5×2)=18(个)五角星……第n个图形一共有1×2+3×2+5×2+7×2+…+2(2n-1)=2[1+3+5+…+(2n-1)]=[1+(2n-1)]×n=2n2(个)五角星,则第6个图形一共有:2×62=72(个)五角星. ∴选D.

【点评】本题考查用字母来表示图形变化的规律,找出第n个图形五角星个数的表达式是解题的关键.

【点评】本题是一道代数式求值的问题,不同在于代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中,首先应从题设中获取代数式ax3+bx的值,然后利用“整体代入法”求解.

例4把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm,宽为n cm)的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示. 则图2中两块阴影部分的周长和是( ).

A. 4m cmB. 4n cm

C. 2(m+n)cmD. 4(m-n)cm

【分析】本题需分析图形,找出线段长度之间的联系,从而得出上面的阴影周长和下面的阴影周长,再进行整式运算即可求解.

解:设小长方形卡片的长为a,宽为b,

∴选B.

【点评】本题考查了整式的加减运算,也渗透了数形结合思想.

例5的值与x的取值无关,则-a+b的值为( ).

A. 3B. 1C. -2D. 2

【分析】将原式去括号、合并同类项,根据结果与x的值无关,即可确定a与b的值,进而求出-a+b的值.