函数奇偶性教学

函数奇偶性教学（精选十篇）

函数奇偶性教学 篇1

一、以余弦函数图像为背景, 研究偶函数和函数图像的对称轴

观察余弦函数的图像, 由y=cosx的图像关于y轴对称及cos (-x) =cosx引出偶函数概念:如果对于函数f (x) 定义域内的任意一个x都有:f (-x) =f (x) , 则称f (x) 为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。

进一步观察余弦函数的图像:x=π是与y轴相邻的另外一条对称轴。我们是否可以猜想函数有非y轴对称轴的条件。由“cos (π-x) =cos (π+x) 得轴x=π”猜想:如果f (x) 在定义域内满足:f (a-x) =f (a+x) 恒成立, 则f (x) 图像关于x=a对称。这一结论显然成立, 它可以看成把定义中的条件f (-x) =f (x) 右移a的结果;把这一结果左移a就回到定义。这一结论同样在正弦函数图像中得到印证:“

再进一步观察, 可以将上述结论推广:如果f (x) 满足f (a+x) =f (b-x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于对称。

证明:命题等价于

综上所述, 我们得到如下三个关于对称轴的相关结论:f (x) 对定义域内任意一个x;

(1) 若f (-x) =f (x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于y轴x=0对称;

(2) 若f (a+x) =f (a-x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于直线x=a对称;

(3) 若f (a+x) =f (b-x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于直线对称。

二、以正弦函数的图像为背景, 研究奇函数和函数图像的对称中心

观察正弦函数的图像, 由y=sinx的图像关于原点对称及sin (-x) =-sinx引出奇函数概念:对于函数f (x) 定义域内的任意一个x都有:f (-x) =-f (x) , 则称f (x) 为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。

进一步观察正弦函数的图像: (π, 0) 是与原点相邻的y=sinx图像的另外一个对称中心。我们是否可以猜想函数有非原点对称中心的条件。“由sin (π+x) =-sin (π-x) 得对称中心 (π, 0) ”猜想:如果f (x) 在定义域内满足:f (a+x) =-f (ax) 恒成立, 则f (x) 图像关于点 (a, 0) 对称。这一结论显然成立。它可以看成把定义中的条件f (-x) =-f (x) 右移a的结果;把这一结果左移a就回到定义。这一结论同样可以在余弦函数图像中找到印证:“由……

再进一步观察, 可以将上述结论推广:如果f (x) 在定义域内满足:f (b-x) =-f (a+x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于点对称。

综上所述, 我们得到如下三个关于对称中心的相关结论:f (x) 对定义域内任意一个x;

(1) 如果f (-x) =-f (x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于点 (0, 0) 对称;

(2) 如果f (a+x) =-f (a-x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于点 (a, 0) 对称;

(3) 如果f (a+x) =-f (b-x) 恒成立, 则f (x) 的图像关于点对称。

三、以正余弦函数的图像为背景, 研究函数的周期性

观察正弦函数和余弦函数的图像。由正弦函数和余弦函数图像的无限重复性及sin (2π+x) =sinx, cos (2π+x) =cosx, 引出周期函数的概念:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值x时, 都有f (T+x) =f (x) , 那么f (x) 就叫周期函数。T叫做这个函数的周期。

由函数的运算性质, 我们不难得出, 对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值x时, 都有f (T+x) =-f (x) , 则f (x) 为周期函数, 且2T是它的一个周期。

证明:f (2T+x) =-f (T+x) =f (x) 。

这一结论可以由sin (π+x) =-sinx, cos (π+x) =-cosx, 结合正弦函数和余弦函数的图像来深化理解。

由函数的运算性质, 我们可以进一步得出:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值x时, 都有, 则f (x) 也是周期函数, 且2T是它的一个周期。

这一结论还可以结合正切函数图像, 由, 可得:π是y=tan x的周期”来深化理解。

综上所述, 我们得到如下三个关于周期函数的相关结论:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值x时:

(1) 若f (T+x) =f (x) 恒成立, 则f (x) 是周期函数且T是它的一个周期。

(2) 若f (T+x) =-f (x) 恒成立, 则f (x) 是周期函数且2T是它的一个周期。

(3) 若恒成立, 则f (x) 是周期函数且2T是它的一个周期。

进一步观察发现, 正弦函数和余弦函数的图像在一个周期内有两条对称轴。我们是否可以猜想周期函数的另一个判断条件:如果函数f (x) 的图像有两条不同的对称轴x=a和x=b, 那么f (x) 就是周期函数。回答是肯定的, 且2a-2b是它的一个周期。

证明:

类似地, 我们可以猜想周期函数的又一个判断条件:如果f (x) 满足f (x+a) =-f (x+b) 恒成立, 则f (x) 是定义域内的周期函数。

证明:命题等价于f[ (a-b) + (x+b) ]=-f (x+b)

这个条件是 (2) 的推广。也就是说, f (x) 是周期函数, 且2a-2b是f (x) 的一个周期。

同理 (3) 式推广为:如果f (x) 满足恒成立, 则f (x) 是周期函数, 且2a-2b是f (x) 的一个周期。

综上所述, 我们又得到如下三个关于周期函数的重要结论:对于函数f (x) , 如果当x取定义域内的每一个值时:

(4) 若f (a+x) =f (a-x) 且f (b+x) =f (b-x) 恒成立, 则f (x) 是周期函数, 且2a-2b是f (x) 的一个周期。

(5) 若f (x+a) =-f (x+b) 恒成立, 则f (x) 是周期函数, 且2a-2b是f (x) 的一个周期。

0) 恒成立, 则f (x) 是周期函数, 且2a-2b是f (x) 的一个周期。

通过以上研究过程及其教学, 多数学生碰到这类问题时都会有一个清晰的思路。以上结论不用死记硬背, 学生通过理解就会水到渠成, 而研究过程本身就是最好的理解。

四、参考习题

(1) (2006年安徽) 函数f (x) 对于任意实数x满足条件

(2) (2006年重庆) 已知定义在R上的函数y=f (x) 满足条件是奇函数, 给出以下四个命题:

(1) 函数f (x) 是周期函数;

(2) 函数f (x) 的图象关于点对称;

(3) 函数f (x) 是偶函数;

(4) 函数f (x) 在R上是单调函数。

在上述四个命题中, 真命题的序号是---- (写出所有真命题的序号) 。

(3) (2006年天津) 已知函数f (x) =asinx-bcosx (a、b为常数a≠0, x∈R) 是 () 。

A.偶函数且它的图像关于点 (π, 0) 对称

B.偶函数且它的图像关于点 (, 0) 对称

C.奇函数且它的图像关于点 (, 0) 对称

D.奇函数且它的图像关于点 (π, 0) 对称

(4) 已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数且f (2) =0, 对任意的x∈R, 都有f (x+4) =f (x) +f (4) 成立, 则f (2006) 的值为 () 。

函数奇偶性教学反思 篇2

本节课讲授的内容是函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的一个很重要的性质，尤其是对其定义的把握是非常重要的。本节授课主要以学案与幻灯片相结合的形式，从不同的角度，逐步引导学生得出奇偶函数的定义及其图像特征。

学案方面：学案的设计好坏是能否有效引导学生对一节的知识达到从初步了解到很好理解的关键。由于学生的基础比较差，因此，本节学案的编写主要以由简到难，由具体到抽象，由个别到一般的形式呈现，一边回顾一边总结，层层递进，通过自己绘制图像，观察图像，完成学案，逐步引导学生得出奇偶函数的定义。

幻灯片方面：首先列举了一些生活中随处可见的对称图形的例子，让学生体会对称美，同时复习了初中关于对称图形的内容。然后具体以两个函数为例，分析其图像特征，观察体会其中的对称，最后总结得出奇偶函数的定义及图形特征。

学生活动方面：1.课前以小组为单位讨论完成学案；2.课堂展示完成情况；3.积极参与问题的回答。

通过本节课的讲授也呈现出了一些之前考虑欠缺的问题：1.留给学生自主学习学案的时间不足，致使有部分同学的学案完成情况不是很好；2.课堂上学生的活动较少，学生的参与度不是很高，形式比较单一，主要以回答问题，讲述完成学案成果为主，像通过具体分析函数的图像得出奇偶函数的定义这一过程，实际可大胆放给学生来完成等，这样更容易激发学生的学习热情，更容易调动学生。

“函数奇偶性”教学片段的思考 篇3

关键词：函数奇偶性；数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0044-03

近期观摩了几位老师《函数的奇偶性》的教学，颇有感悟，所思为文，谨与各位老师共同探讨。

一、理解课标，分析教材

关于普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）（以下简称人教版教材）P33～36的教学内容，《数学课程标准》明确要求：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。《数学课标解读》中特别说明：在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图象对函数概念和性质的理解，对数学的理解、数学思考的辅助功能；要注意几何直观的局限性，避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法。

《教师教学用书》中也明确指出：研究函数性质时的“三步曲”为：第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质。教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数单调性的方法，利用图象、表格探究数量变化特征，通过代数运算、验证发现的数量特征，在这个基础上建立奇（偶）函数的概念。

综上可见，从研究对象来看，奇偶性是从形到数，再从数到形，思维对象在数形之间不断地转换；从思维方式来看，有尝试、归纳、猜想、直观等合情推理，也有严谨的演绎推理，思维方式在直觉与逻辑之间转换；从语言形式来看，有自然语言、图形语言、符号语言，问题表征在三种语言间转换，学生思维在这三对转换之间不断地由粗糙到精致、由直观到逻辑、由肤浅到深刻、由零碎到系统，得以自然的生长。

二、教学片断，持续思考

（一）“生活问题数学化”与“数学问题生活化”

大部分老师通过生活中的实例，展示一些美丽的具有对称性的图片，通过感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，让学生在对具体问题的体验中感知概念。有的老师从具体函数图象引入，回顾单调性的研究过程，从数学的问题出发，引入本节课。两种方式均是在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，努力建立已有基础与发展区之间的联系。前者从一般轴对称和中心对称到特殊对称，从生活中的“形”到数学中的“形”，从“形”规律到“式”的规律。后者采用“开门见山”的导入方式，充分利用教材的编排顺序，直接点明要学的内容，沿用单调性的研究方法，使学生的思维迅速定向，明确目标、突出重点。情境引入环节，是“数学问题生活化”，还是“生活问题数学化”，值得我们探讨。

（二）“奇偶性的定义”与“奇偶性的性质”

有些教师从几何的角度给出定义：如果函数的图象是给出的，并且图象是关于y轴对称，这样的函数就是偶函数；如果图象是关于原点对称，这样的函数就是奇函数。人教版教材也是从几何直观的角度导出函数奇偶性的定义的。那么，我们是否可以用观察图象来判断函数的奇偶性呢？

问题的关键在于，函数图象是怎么画出来的呢？学生刚从初中升入高中，所接触的函数只是一些最基本的初等函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。而这些函数的图象是比较简单的，可以通过描点连线得到。但是这样得到的图象是不精确的、粗糙的。另外，函数图象千姿百态，并不是都简单易画的（当然我们可以借助图形计算器），那我们该如何判断函数的奇偶性呢？

经过这样的思考，显然只有严格推理，才能明确函数的奇偶性。即便是我们很清楚的正比例函数、反比例函数也要通过定义去判断去验证。正是函数具有奇函数或偶函数性质，函数的图象才一定会关于原点对称或关于y轴对称。至此，谁为定义谁为性质一目了然。

（三）“判断奇偶性”与“x的任意性”

大多数老师把“判断函数奇偶性”作为教学的重难点，总结判断的步骤。从教学出发，应该把“x的任意性”作为重点，重头戏应该是用几何直观感受对称，进而用代数形式给这种对称关系进行一般性刻画。前者，是从评价出发，受考试影响的结果。后者，是从认知出发，努力寻找将已有知识纳入到新学知识的途径，利用已有的研究方法来研究新的知识，让新的知识能够在已有的方法中持续生长。如，回顾研究函数单调性的过程与方法，重温单调性中“任取”的突破过程，这样做都是为了让知识能够自然而顺利的生长。如果只是停留在对知识的死记硬背，追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，那么学生对知识的理解只能是机械的、零碎的。

（四）“整体到局部” 与“局部到整体”

如果把函数的一个个具体的知识看作“树木个体”，把与函数相联系的知识与方法看作“森林整体”的话，教学中就要处理好“树木个体与森林整体”的关系，要求既能够从“个体”认识“整体”，也能够从“整体”认识“个体”，两个方面都不可缺少。为此，既要注重与函数相关知识与方法的认识，又要注意对函数某一个特殊性质的分析与理解。所以，在函数奇偶性教学中，要在函数概念“大背景”下展开教学与学习。

遗憾的是，很多教学没有在认识函数整体上下功夫。例如，函数图象认识，从奇偶性角度，就是知道函数图象部分，再由部分推断函数整体；反之，由整体推断部分，具体的说就是“已知奇偶函数的一半图象，求另一半图象”。如果按照以下教学流程很难体现以上教学思想①展示生活或数学中的对称现象；②从具体到一般，形成奇（偶）函数的概念；③通过例题或练习，规范判断函数奇偶性的步骤；④课堂小结，布置作业。这个教学流程应该说基本完成了函数性质教学要求，但从更高要求，或者从提升学生研究函数能力角度看，对函数整体性认识是有些欠缺的。事实上，人教版教材中不仅设置了一些从整体认识函数图象与性质思考题（P35），还给出了相应的练习题（P36练习中的第2题）。教材中如此安排，目的是想告诉学生：奇偶性是研究函数的一种工具，奇偶性就是对称性，要从整体上理解函数的奇偶性。在已知函数奇偶性的前提下，若知道半个定义域的情况，可得出整个定义域内的整体情况，体会由局部到整体的数学思想。对于教材的把握，我们应该深入理解教材编写者的意图，活学活用教材，把蕴涵的思想和方法显化。

三、课堂感悟，教学启示

教学是一门遗憾的艺术。一节课成功与否，是要看有没有高水平的思维活动，有没有围绕学科概念的本质和主要的思想方法，有没有在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，培养学生的思维能力，帮助其逐渐形成良好的学习方法。教学过程中，要精心设计带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，使学生从被动地“听”发展为主动地获取和体验数学概念，促使学生掌握知识、形成能力。

随着时间的推移，数学中的具体知识将会被多数人遗忘，但数学中所承载的文化将会影响久远。学生在数学的课堂上，不仅学会具体知识，还应掌握一定的研究方法，这对教师的要求将会更高。教学中，数学教师要不断地以课标、教材为本进行教学研究，要从课堂教学研究向学科的整体把握转变，不断地进行回顾反思，促使教学水平不断提高。

参考文献：

[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[Z].江苏：江苏教育出版社，2004，3.

[2]徐爱勇.一样的“哈姆雷特”，异样的“精彩”：从《双曲线的标准方程》两节课谈起[J].数学教学，2012，（2）：12～14.

[3]普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2009，5.

[4]普通高中课程标准实验教师教学用书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2010，5.

函数奇偶性小议 篇4

一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件, 然而这一点却往往被许多学生所忽略。

例1:判断下列函数的奇偶性:

解析: (1) 由于函数定义域为[0, +∞) , 没有关于原点对称, 故该函数既不是奇函数也不是偶函数。

(2) 此题若忽略了函数定义域而直接求f (-x) , 则很难与f (x) 进行比较判断, 最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上, 函数定义域为[-2, 0) ∪ (0, 2], 满足关于原点对称, 此时函数可进一步化简为, 易知有f (-x) =-f (x) , 故函数为奇函数。

例2:偶函数f (x) 的定义域为 (k, 2k+3) , 则函数g (x) = (k+2) x2+ (k-1) x+3的单调递减区间为_____。

解析:f (x) 既是偶函数, 则其定义域必关于原点对称, 于是k+2k+3=0, 得k=-1, 从而g (x) =x2-2x+3, 单调递减区间为 (-∞, 1]。

二、函数奇偶性除了注意其定义域之外, 判定时也应注意形式多变, 方法多样, 只有做到对症下药, 解题时才可以得心应手。

例3:判断下列函数的奇偶性:

注:第 (1) 题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用:;第 (2) 题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。

例4:定义在R上的函数f (x) 满足:对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) -f (y) , 证明函数f (x) 为偶函数。

解析:对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f (-x) 与f (x) 的关系, 依题意, 令x=y=0, 可得f (0) =0, 再令y=-x, 则f (0) =f (x) - (-x) =0, 即f (-x) =f (x) , 所以f (x) 为偶函数。

三、函数奇偶性有着较多的性质, 在解题中有着广泛灵活的运用。

例5:已知函数是奇函数, 则a的值为_____。

解析:若直接采用f (-x) =-f (x) 两边进行比较求解, 很难得出结果。

方法二:利用奇函数的性质f (0) =0 (当x=0时函数有意义) , 即得:。

例6:若f (x) 为奇函数, 且在 (-∞, 0) 内是增函数, 又f (-2) =0, 则xf (x) <0的解集为 () 。

A. (-2, 0) ∪ (0, 2)

B. (-∞, -2) ∪ (0, 2)

C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

D. (-2, 0) ∪ (2, +∞)

解析:本题可根据题设条件先作出函数f (x) 在 (-∞, 0) 内的大致图像, 如上图, 由对称性 (奇函数的图像关于原点对称) 及单调性 (在 (-∞, 0) 内是增函数) 得出f (x) 在 (0, +∞) 的图像, 如上图。∵f (x) 为奇函数, 且f (-2) =0, ∴f (2) =0。由图像可知:当-20, ∴xf (x) <0;当0

例7:设f (x) 是奇函数, g (s) 是偶函数, 且f (x) -g (x) =x2-x, 求f (x) 与g (x) 的表达式。

《函数的奇偶性》教学反思 篇5

高一数学组：文亚妮

2011年10月12日下午，我在高一（4）班上了《函数的奇偶数》这节新课，采用的是永威的“先学后教，当堂训练”的教学模式。上完课，结合评课情况，我想从以下几个方面进行反思小结。优点：

1、灵活应用教材，对部分内容进行调整和补充。

从本节课的教材来看，先通过观察一些具体函数的图像，形成对函数奇偶性的直观认识，再通过具体函数值的比较，认识到函数自变量的值相反数时函数值相等或相反的规律，最后得出奇偶性的形式化定义，这样的设计符合学生认识事物的一般规律。这一部分我认为很好，所以我采用了，但对于定义中，定义“要关于原点对称”这一点，教材中没有涉及到习题，因此我补充了此类习题，以弥补了课本中的不足。

2、以学生为主题，展开教学。

函数奇偶性的研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，理解奇偶性概念的过程。在这个过程中，让学生通过自主探究活动，来体验数学概念的形成过程，学习数学思考的基本方法，有助于培养学生的数学思维能力。基于这一点，我在教学设计和课堂教学中，以学生为主体，先让学生利用6分钟时间进行自学，自学时完成自学指导中的四个思考题，对于不清楚的，作上标记，为后教带来素材。当学生在做练习2的第1小题时遇到了困难，我及时引导孩子小组交流，分散了难点，很快完成了习题的解答，学生参与度很高，大大提高了学生的学习积极性。

2、对于学生的每一道习题，及时评价。

练习1、2，我都采用了让学生先做，叫部分学生板演，最后让学生自查，找出存在的问题，及时纠错，及时点评，比如我表扬刘高兴同学不但字写得漂亮，而且思路清楚；表扬数学课代表表达很清楚，有条理性等等。及时肯定学生的长处，并指出存在的问题，引导学生不但要想的明白，而且要写得清楚，做到步步有据。不足:

1、在讲习题时，没有一题多解。上课时我总想，按照课前的预想完整的上完本节课，而对于能一题多解的题目由于时间关系没有展开来讲，我想如果让我再重讲一遍的话，我会拓展学生的思维，让学生从多角度思考和解决问题。

2、在讲35页的思考题时，漏掉了第2问。上完课时，我才发现我漏讲了，在后面的自习课上，我及时做了补救。

谈函数奇偶性的复习 篇6

一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性

例1 判别下列函数的奇偶性

(1) f(x)=(1+x)1-x1+x；(2) g(x)=lg(1-x2)｜x+2｜-2．

解：(1) ∵函数定义域为｛x｜－1＜x≤1}

∴它不关于数轴上原点对称，故f（x）是非奇非偶函数

(2) ∵函数定义域为1-x2＞0｜x+2｜-2≠0

∴其定义域为｛x｜－1＜x＜1且x≠0}

此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x

可验证g（x）是奇函数

二、 证明函数的奇偶性时，要对函数（或证明函数奇偶性过程中）加以化简或转化

例2 判断下列函数奇偶性

(1) f(x)=lg(x2+1-x)；(2) g(x)=axax+1-12（a＞0且a≠0）．

解：(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R

∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1

=-lg(x2+1-x)=-f(x)

∴函数f（x）R上为奇函数

(2) g(x)=axax+1-12

∴g(x)=ax-12(ax+1)，定义域为R

又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)

∴函数g（x）为R上奇函数

三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性

例3 判断下列函数奇偶性：f(x)=-x2+2x+1,x＞0x2+2x-1,x＜0．

解：y＝f（x）的图象为右图，

可知它关于原点对称

∴该函数是奇函数

四、 会证明抽象函数的奇偶性

类型（一）：用赋值法产生“f（0）”

例4 定义R上函数f（x），对任意x1，x2均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．

解：令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）

∴f（0）＝0

∴0＝f（0）＝f［x＋（－x）］＝f（x）＋f（－x）

∴得f（－x）＝－f（x）

∴f（x）为R上奇函数

类型（二）：用赋值法产生“f（－1）”

例5 已知定义域为D＝｛x｜x≠0｝上函数f（x），对x1，x2∈D均有f（x1•x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．

解：令x1＝x2＝1，得f（1）＝f（1•1）＝f（1）＋f（1）f（1）＝0

∴f（1）＝f（－1×（－1））＝f（－1）＋f（－1）知f（－1）＝0

∴f（－x）＝f（－1•x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）

故函数f（x）是R上偶函数

类型（三）：联想具体函数加以猜想

例6 已知定义R上f（x），对任意x，y均有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）且f（0）≠0，求f（x）奇偶性．

解：(1) 通过题意的条件和其特征，加以联想，如f（x）＝cosx就满足条件

即：cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cosxcosy

∴可猜出f（x）是偶函数

(2) 令x＝y＝0，知f（0＋0）＋f（0－0）＝2f（0）f（0）又f（0）≠0

∴f（0）＝1

∴由题意知f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）f（x）

∴f（x）＋f（－x）＝2f（x）

∴得f（－x）＝f（x）

∴函数为R上偶函数

类型（四）：通过代换或换元来证明函数单调性

例7 已知定义为R的函数f（x）满足：f（x）对任意x1，x2∈R均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，问f（x）＋1的奇偶性．

解：令F（x）＝f（x）＋1，下面只要判断F（－x）与F（x）的关系，由题意知，f（x＋（－x））＝f（x）＋f（－x）＋1

∴F（－x）＋F（x）＝［f（－x）＋1］＋［f（x）＋1］

＝f（－x）＋f（x）＋2

＝［f（－x）＋f（x）］＋2

＝［f（－x＋x）－1］＋2

＝f（0）＋1

又令x1＝x2＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋1

知f（0）＋1＝0

∴F（－x）＋F（x）＝0

∴得F（－x）＝－F（x）

∴F（－x）是奇函数，则f（x）＋1是奇函数

五、 利用函数奇偶性求解析式

例8 已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）＝x3－x2＋1，求f（x）解析式．

解：设x＜0

∵函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）又－x＞0

∴f（x）＝－f（－x）＝－［（－x）3－（－x）2＋1］＝x3－x2－1

∴f（x）解析式为f(x)=x3-x2+1,x＞00,x=0x3-x2-1,x＜0

不要忘记f（0）＝0

六、 函数奇偶性综合运用

类型（一）：与函数的单调性联系

例9 已知f（x）是R上奇函数，且函数是（－∞，0）上减函数，求f（x）在（0，＋∞）上单调性.

证明：设x1＞x2＞0 ∴－x1＜－x2＜0 由题意知f（－x1）＞f（－x2）

∴f（x1）－f（x2）＝［－f（－x1）］－［－f（－x2）］

＝f（－x2）－f（－x1）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）是（0，＋∞）上减函数

类型（二）：与函数周期联系

例10 f（x）是定义R上的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，求函数f（x）的最小正周期．

解：由题意知，f（x）满足f（－x）＝f（2＋x）

又f（x）是偶函数

∴f（－x）＝f（x）得f（2＋x）＝f（x）

∴函数f（x）的最小正周期为2

类型（三）：与函数的图象联系

例11 已知函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（x）是（1，＋∞）上增函数，比较f（0）与f（3）大小．

解：∵函数y＝f（x＋1）是偶函数，y＝f（x＋1）图象关于直线x＝0对称

∴函数y＝f（x）图象关于直线x＝1对称

∴f（0）＝f（2），又f（x）是（1，＋∞）上是增函数

∴f（2）＜f（3）

即f（0）＜f（3）

函数奇偶性教学 篇7

一、利用函数的奇偶性求值, 培养学生构造的数学思想

构造, 就是按照人们某种期望的目标或需要去设计某个函数、方程或结构的工作, 也是数学中常用的一种创造性思维方法。

评析:解题过程中构造了奇函数g (x) , 再利用奇函数的定义解题就非常方便了。此题同时体现了构造的数学思想, 构造的数学思想很重要, 在实际生活中我们也会经常去构造一个我们所熟悉的模式, 同时达到把我们所不熟悉的转化成我们所熟悉的问题来思考的目的。在导数的问题中, 我们经常会去构造一个函数;在数列中我们经常会去构造我们所熟悉的等差数列和等比数列;在三角函数中我们会有意识地利用辅助角公式去构造一角一函数的既有模式, 总之构造法可以帮助我们多方位地思考问题, 特别是对于提高我们的广度和深度有很大的好处。

二、利用函数的奇偶性求解析式, 培养学生转化的数学思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法, 转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想, 不少数学思想都是转化思想的体现。

评析:此题解决过程中把x<0转化为-x>0体现了转化的数学思想。转化与化归是一种最基本、最重要的数学思想方法, 它无处不在, 它可以帮助我们把不熟悉的问题进行转化, 转化成我们所熟悉的问题, 把我们没有掌握的问题转化成我们已经掌握的问题。比如处理立体几何问题时, 将空间问题转化到一个平面上解决;在解析几何中, 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题;复数问题化归为实数问题等。

三、利用函数的奇偶性解不等式, 培养学生分类讨论的数学思想

分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下, 按照数学对象的相同点和差异点, 将数学对象区分为不同种类的思想方法。掌握分类的方法, 领会其实质, 对于加深基础知识的理解, 提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

例3.f (x) 是定义在R上的偶函数, 且在 (-∞, 0) 上单调递增, 解不等式f (2a2+1) <f (a2+3) 。

评析:本题解法可以结合函数图像, 利用偶函数的图像关于y轴对称来解决, 也可以去讨论两个变量所在的区间, 体现了一种分类讨论的思想。分类讨论是一种重要的数学思想, 是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题, 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合, 分类标准等于增加一个已知条件, 实现了有效增设, 将大问题转化为小问题, 优化解题思路, 降低问题难度。它要求我们对事件发生的各种情况要讨论周全, 分别研究各种情况下的可能结果。分类讨论在导数和解不等式中都会重点考察, 对学生来说既是重点又是难点, 为了分散难点, 突出重点, 在平常的教学中就要注意对学生渗透。

四、利用函数的奇偶性求对称中心和对称轴, 培养学生数形结合的数学思想

数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一, 利用数形结合来解决数学中的有关问题, 有着明显的优越性。“形”的直观与“数”的精确相辅相成, 能优化解题, 化解难点知识。

评析:这两个例题求函数的对称中心和对称轴, 利用的是函数奇偶性体现出来的图像特征, 奇函数的图像关于原点对称, 是一个中心对称图形, 偶函数的图像关于y轴对称, 是一个轴对称图形。本题体现了数形结合的数学思想, 数形结合是一种重要的数学思想, 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。解析几何更是研究和体现数形结合的思想方法, 同时在求方程的解的个数及函数的零点问题时也会用到。数诉诸于形, 可以使问题变得形象生动、更直观, 形诉诸于数, 可以使问题变得严谨精确和规范严密。它可以让学生知道数学严谨的同时, 体会数学本身体现出来的对称美。

综上所述, 我们可以看到, 函数奇偶性作为函数的重要性质, 无论是求值, 求解析式, 还是解不等式和求对称性等, 函数奇偶性的性质都有着广泛的应用, 在学习过程中, 我们既要掌握它的代数定义, 也要熟练应用它的图像的对称性。特别要注意有意识地在教学中渗透数学思想和数学方法, 不仅仅是在函数奇偶性的教学中, 在其他的章节中也是这样。数学思想和数学方法是无处不在的, 只有让学生掌握了这一点, 才让学生掌握了一种数学思维的智慧, 不仅仅对于培养学生思维的广阔性、全面性、多角度地研究问题很有帮助, 而且会让他们在生活中体会这种智慧, 拥有这种智慧, 而受益终生。

摘要：数学思想蕴涵于数学知识中, 又相对超脱于我们所学的数学知识。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中, 能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。在教授数学知识的基础上强化数学思想、方法的教学是中学数学教育改革和实现素质教育的必由之路。本文主要针对函数奇偶性的应用及此过程中涉及到的数学思想进行阐述。

函数奇偶性判定例谈 篇8

关键词：函数,奇偶性,定义域

判定函数的奇偶性,一般都依照定义严格进行,其基本思路是:(1)先考查定义域是否关于原点对称;(2)考查表达式f(-x)与f(x)是否相等或互为相反数.简言之:一看定义域,二看解析式.但要准确迅速判断某些函数的奇偶性,并不是一件容易的事情.有时需要对函数的解析式进行适当的变形,利用变形后的解析式判断函数的奇偶性,有的时候,变形还可能使定义域扩大,从而对结论的准确度产生影响.本文以一题为例,谈谈函数奇偶性的教学.

题目 : 判断函数的奇偶性.

先看定义域,要使f(x)有意义,需设实际上 ,,即对一切x∈R,f(x)恒有意义,则f(x)的定义域为R,关于原点对称.

再看解析式,分析研讨过程如下:

一、草率的“断言”

观察f(-x)与f(x)的解析式的分子和分母,都不一样,学生易得出:f(-x)≠f(x),从而断言f(x)为非奇非偶函数.

二、尝试的“醒悟”

教师提出问题:f(-x)与f(x)解析式的分子和分母都不同,就意味着f(-x)≠f(x)吗?会不会分子与分母均不同,反而能出现f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的结论呢?取特殊值先作出初步断定.

学生很容易想到求f(0)、f(1)、f(-1)、f (2)、f (-2),…实际上,可求出f (-1) =-f(1)、f(-2)=-f(2) …学生很 容易猜测,这个函数是奇函数.为此尝试证明f(-x)=-f(x).

三、解题的“疏漏”

方法1:直接证明f(-x)=-f(x).

关键:乘以再除以同一个解析式

过程:

到此为止,学生自认为已证得f(-x)=-f(x),所以是奇函数.

反思:函数f(x)的定义域应是全体实数,但我们所乘的项若有意义,需使分母即 x≠0.所以上述只证明了在x≠0时,有f(-x)=-f(x),而忽略了x=0的情形.

补证:当x=0时,有f(0)=0,f(-0)=0,所以有f(-0)=-f(0),从而对一切x∈R,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

方法2:证明

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

反思:既然f(x)作为f(-x)/f(x)的分母,应有f(x)≠0,即x≠0,但当x=0时,f(x)仍有意义,f(0)=0,所以对x=0时,应单独说明.

方法3:化简解析式f(x).

关键:分母有理化.

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

反思:在进行分母有理化时,分母所乘的项,即x≠0,但函数f(x)的定义域中会有0,所以上述解析式并不是f(x),实际上,再进行说明是奇函数即可.

评注:利用变形后的解析式判断奇偶性,一定要注意定义域的变化,上述变形定义域中丢掉了元素0,有的时候,变形还可能使定义域扩大,如:,定义域[0,+∞),不关于原点对称,为非奇非偶函数,但若化成y=x2定义域就扩大了,y=x2也成了偶函数.

四、优美的“证法”

前三种证法,均容易丢失x=0时的情形,正确解法中还需单独补充说明,我们能否找到不需进行补充说明的方法呢?

方法4:证明f(-x)+ f(x)=0.

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

评注:此解法有效避免了定义域缩小的问题,减少了讨论问题,体现出了解题的简洁美.

五、结论的“推广”

将中的根号内的“1”都换成“a”,其它“1”都换成“a”,“x”都换成“bx”,也就是:

讨论函数的奇偶性.

显然a、b不同时为0,否则函数f(x)无意义.学生很可能由前面的推证,脱口而出,f(x)为奇函数.实际上,该函数是奇函数、偶函数,还是非奇非偶函数,需对字母a、b进行讨论.

1.当a=0且b≠0时,函数即为

(1) 当 b>0 时,

要使函数f(x)有意义,需使x +x≠0,则x>0,即函数f (x) 的定义域为(0,+∞),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x>0).

(2) 当 b<0 时,

要使函数f(x)有意义,需使x -x≠0,则x<0,即当函数f(x)的定义域为(-∞,0),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x<0).

综上所述,当a=0且b≠0时,函数f(x)为非奇非偶函数.

2.当b=0且a≠0时,函数即为

(1)当a>0时,f(x)=0, f(x)既是奇函数,也是偶函数.

(2)当a<0时,|a| +a=-a+a=0,函数f(x)无意义.

3.当 a≠0 且 b≠0 时,

(1) 当 a>0 时,对一切x∈R恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,关于原点对称 . 有

而当x=0时,f(0)=0,仍有f(-0)=-f(0),所以函数f(x)为奇函数.

(2)当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,易证f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

综上所述,当a≠0且b≠0时,函数f(x)为奇函数.

巧用函数的单调性和奇偶性 篇9

函数的单调性和奇偶性是函数非常重要的两个性质, 但是由于高一学生刚步入高中阶段, 还没有很好地领悟到高中数学和初中数学的区别, 所以对于函数单调性和奇偶性的学习具有片面性, 在解题时不注意将它们综合利用, 本篇文章将给大家说明如何巧用单调性和奇偶性来解题.

一、定义

(1) 单调性增函数:

也可表示为:

增函数:对于

减函数:对于

(2) 奇偶性:具有奇偶性的函数, 其定义域一定是关于原点对称的, 所以判断函数的奇偶性之前, 先看函数的定义域是否关于原点对称, 这一点大家一定要注意.

奇函数:图像关于原点对称的函数, 即对于定义域内任意的x, 都有f (-x) =-f (x) ;

偶函数:图像关于y轴对称的函数, 即对于定义域内任意的x, 都有f (-x) =f (x) .

对于奇函数如果在原点有定义, 则一定有f (0) =0.

二、综合应用

例1已知f (x) 是定义在R上的偶函数, 若对任意的x1, x2∈[0, +∞) (x1≠x2) , 有则f (-2) , f (1) , f (3) 的大小关系.

解由题意可知, f (x) 是[0, +∞) 上的减函数, 是定义在R上的偶函数, 所以有

例2设f (x) 是定义在[-1, 1]上的函数, 且对任意a, b∈[-1, 1], 当a≠b时, 都有

(1) 当a>b时, 比较f (a) 与f (b) 的大小;

(2) 解关于x的不等式:

解 (1) 由题可知, f (x) 是定义在[-1, 1]上的增函数, 所以, 当a>b且a, b∈[-1, 1]时, 有f (a) >f (b) .

(2) 要比较函数值的大小, 我们知道函数的单调性就是反应自变量取值变化对函数值的影响, 所以我们有如下的解题过程:

例3若函数f (x) 为定义在R上的奇函数, 且x∈ (0, +∞) 时, f (x) =2x, 求f (x) 的表达式.

解因为f (x) 为定义在R上的奇函数, 所以有f (0) =0.

当x∈ (-∞, 0) 时, -x∈ (0, +∞) , 则f (-x) =2-x.

又f (x) 为定义在R上的奇函数,

从上面的三个例题可以看出, 如果我们能掌握和应用好函数的单调性和奇偶性和它们的变形表示形式, 在解题时就能利用它们来简化运算.

摘要：单调性和奇偶性是函数非常重要的两个性质, 在解题时如果可以灵活地运用, 就可以简化运算, 本篇文章将通过三个例题来说明函数的单调性和奇偶性在解题时是如何应用的.

分段函数的奇偶性证法一例 篇10

例1判断函数

的奇偶性．

传统解法为：

解当x>0时，-x<0,

f(x)=x2+3x-4,

f(-x)=-(-x)2+3(-x)+4

=-(x2+3x-4)=-f(x).

当x<0时，-x>0,

f(x)=-x2+3x+4.

f(-x)=(-x)2+3(-x)-4

=-(x2+3x+4)=-f(x).

综上，f(-x)=-f(x).

所以，f(x）为奇函数．

还可以这样来考虑：

众所周知，由函数f(x）记号的意义，可将对应法则f中的“x”理解为以下“括号”：

现将括号内统一填入-x得

所以f(-x)=-f(x).

所以f(x）为奇函数．