离散选择模型（精选八篇）
离散选择模型 篇1
1模型的描述
给出一个模型
2 似然函数
让我们考虑在Y0和Y是离散的情况, 对连续的Y0可被偏导数替换差异[2], 给定两个内因解释变量, 概率分布函数写为
假设1 (条件独立性)
假设1的优势如下:
3 结论
文中提出的方法通过使似然函数更灵活而不是完全依赖数据, 于是成了非半参数方法的另一方法, 特别地, 它补充了Blundell and Powell认为当内因解释变量是连续的, 非半参数控制函数估计量的说法。
摘要：我们将呈现有限的多重离散内因解释变量模型的一种灵活的参数方法, 每一内因解释变量的联合分布和结构误差通过使用Copula和他们的边缘分布被模拟出来, 但是内因解释变量的这些问题未详细解释说明, 偏Copula方法可以应用于任何离散内因解释变量模型, 也可以用于修正选择偏差并发现其产生的效应。
关键词：Copula,内因解释变量,样本选择
参考文献
[1]Myoung-Jin Keay Partial copula methods for models with multiple discrete endogenous explanatory variables and sample selection.Economics Letters 144 (2016) 85-87.
离散选择模型 篇2
关键词 折现率；离散时间风险模型；破产概率；破产赤字
中图分类号 F222.3，O211 文献标识码 A
Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk
Model with Discount Rate
Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2
（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；
2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）
Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.
Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin
1 引 言
通常，风险模型按照收取保费的方式的不同可分为连续模型和离散模型两种.连续模型采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的量连续地收取保费.离散模型采用离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一个单位区间内只收取一次保费.讨论得最多的离散时间模型是将单位时间收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布的随时机变量的模型[1].文献[2]对此模型加以推广把单位时间内的保费收入视为独立同分布的随机变量，并将利率因素引入风险模型，以加强模型的现实描述能力.文献[3，4]中作者讨论了带常利率的离散时间风险模型，并得到了描述破产严重性的破产量：破产前盈余分布，破产前最大盈余分布，破产持续时间分布以及破产前盈余，破产后赤字，破产前最大盈余的联合分布等.文献[5]研究了含有投资和通货膨胀因素的离散时间风险模型，并得到了很好的结果.本文在引入折现率的条件下研究离散时间模型，运用递推方法，得到了破产前盈余，破产后赤字以及它们的联合分布所满足的微分积分方程，作为推论得到了破产概率所满足的微积分方程.
2 模型描述
考虑保费收入与理赔支出为随机变量的离散时间风险模型.假定在所考虑的时间内有固定的折现率δ，u为保险公司初始准备金，保费在每一时期的期初收取，理赔在每一时期的期末支付，则在时刻n保险公司的累积盈余折到初始时刻时的盈余为：
4 总 结
综上所述，在离散时间风险模型中的利率为折现率这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知，只要知道随机变量Z的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.
参考文献
[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.
[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.
[3] 孙立娟，顾岚.离散时间保险风险模型的破产问题[J].应用概率统计，2002，18（3）：293-299.
[4] 孙立娟，顾岚，刘立新.离散时间模型下最大赤字问题[J].经济数学，2001，4（18）：1-9.
[5] 高明美，赵明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].经济数学，2002，4（19）：8-13.
[6] 刘家有，刘再明.保险公司在固定利率下的离散型破产概率[J].数学理论与应用，2004，24（1）： 101-104.
离散变速度QAM调制模型研究 篇3
图1表示自适应通信系统的功能框图, 指示信号是发送端发送的用来便于接收端信道估计的信号, 这样信道的衰减参数a和φ功能够在信道的估计单元恰当的估计出来。根据信道的估计值undefined, 判决单元选择传输的功率和速率, 然后将选择好的参数来配置解调单元和通过反馈回路传送给发送单元。另外我们假设通信系统保持系统配置的时间为τi[s]。
2 自适应M-QAM调制
在AWGN信道上采用M-QAM调制方案, 并且采用格雷编码方案, 这样系统的误码率BER近似为:
undefined (1)
需要注意的是在M>4和BER<10-2时, 近似BER是精确误码率的上限。在接下来的分析中, 我们将会经常用到这个近似式, 这是由于便于把M-QAM调制后的信道容量表示为载干比CNR和误码率BER。
假设系统中具有理想的Nyquist脉冲和给定的载干比 和BER, 我们便得到连续速率的M-QAM调制的频谱利用率近似的反变换:
R/W=log2 (M) =log2 (1+3 /2K0) (2)
K0=In (5BER0) 。自适应连续 (ACR) M-QAM调制方案来改变每个符号所代表的比特数目以用来适应信道的实时变化, 很明显看出符号所代表的比特数目并不一定是整数。尽管连续调制是可能的, 当实践证明研究自适应离散 (ADR) M-QAM调制方案更有实用意义, 即将星座图尺寸M, 限制与2n (n是正整数) 。后面提到的方案的主要思想是通过改变调制星座图尺寸的大小来适应信道的变化特性。具体的分配方法如下:接收端载干比分成N+1个区域, 星座图尺寸Mn也分配到第n个区域 (n=0, 1, …, N) 。当接收端的载干比CNR的估计值落在第n区域中时, 系统采用星座图尺寸Mn的调制方案来传输信号。
可以得到NMF信道上的ACR M-QAM调制方案的频谱利用率
undefined
而NMF信道上采用ADR M - QAM调制方案的频带利用率 (< R >ard, /W) 是N+l个区域一上的数据速率 (log2[Mn]=n) 加权之后的和。图2表示出ADR – MQAM和ACR - MQAM这两种调制方案在目标误码率为BER0 =10-3时对于m=2情况的分析结果。另外图中还显示出其他两种情况:功率固定而速率变化导致的单位带宽上的信道容量和在原始信道上仅采用非自适应方案, 即为2 - QAM (BPSK) 所带来的频带利用率。在NMF信道上采用2-QAM (BPSK) 时, 系统的频带利用率将会由上式所推导。从图中可以看出ACR-MOAM所带来的频带利用率跟单位带宽仙农容量相差在5dB之间, ADR - MQAM所带来的频带利用率比之将仅会严重1。2dB左右, 然而采用BPSK这种方案时, 系统的频谱利用率将会受到非常严重的损失。
3 自适应调制技术在衰落信道中的应用
本系统利用自适应调制方案来解决信道的时变性所带来的问题。该系统利用64QAM作为最大的调制层数, 当信道条件满足它所需要的要求时。在信道上将传输包含六个比特信息的符号流, 而当信道条件相当恶劣时采用BPSK调制方式TDD系统用于上下行链路的同步传输, 基站和移动台使用相同的频率, 可以假定上下行链路之间的信道情况是相关的, 而业务量主要集中下行链路中, 为不对称业务。由移动台对下行链路的SNR进行测量, 并将测量结果输入到预测器中。预测器进行定期的预测, 移动台进行相应的判决。根据SNR选择何种调制方式。这种判决为查表方式, 即根据要求的BER和SNR选择何种调制方式。移动台的判决被存储到缓存器中, 然后借助上行控制链路将其发送到基站。最后由基站来决定下行链路的调制采用何种方式, 再将这一判决结果送到移动台, 移动台据此准备接收。由于采用TDD系统, 下行链路的信道情况可以由上行链路的分析进行测量。但由于上下行链路的业务是不对称的, 这就需要在上行链路中经常传输导频信号。所以, 建议将下行链路的检测和预测部分放在移动台上。尽管由于上行链路的业务量不大, 所需传输时间不长, 但是必需要保证其传输质量, 因此上行链路的调制同样要适应信道情况变化。
为了评估所建议的系统结构, 作者进行了一些仿真实验。仿真的对象是基站与一个移动台的通信, 在仿真中忽略了移动台之间的相互影响, 同时我们假设给定时刻之后的一定时间长度的信道条件己知。本次仿真结果适合于FDD与TDD方式的通信系统, 适合的前提条件为信道的预测是正确无误的。对于接收机对SCR的预测问题, 我们采用每次的调制层数的选择是针对于512个连续的调制符号。这就意味着信道评估单元与预测单元是工作在BW/512这样的速率下, BW是信道带宽。这样数据比特流被调制以及在噪声信道中传输。方差变化的高斯白噪声用来仿真信道条件的不同模型。信号的接收端将己调信号解调从而得到相应的比特数据, 并与原始数据相比较, 得到误比特数的相对值和绝对值。设计了七种仿真, 前三种是采用不同误差判决值的自适应调制解调方案的情况, 后四种分别是采用BPSK, 4QAM, 16QAM和64QAM的情况。每一种情况在时间上分成29个间隔, 每个间隔又包含的48个时隙 (每个时隙由512个符号组成) 。灰色表示发送的比特数, 而黑色表示错误的比特数。 BERmax:传输中最大的误比特数 (针对时隙而言) ;BER:传输中平均误比特数;BERmin:传输中最小的误比特数 (针对时隙而言) 。根据仿真结果可以看出, 采用自适应调制技术使误比特率保持在某个常量附近, 相反采用一般调制方式在遇到信道衰落时产生误比特率的大幅恶化。
参考文献
[1]张贤达.通信信号处理[M].北京:国防工业出版社, 2000.
[2]沈兰荪.调制解调的数字实现[J].电信科学, 1993, 9 (6) :27-31.
期权定价模型的离散化矩估计 篇4
期权(option;option contract)又称为选择权,是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。从其本质上讲,期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价,使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易,行使其权利,而义务方必须履行。在期权的交易时,购买期权的一方称作买方,而出售期权的一方则叫做卖方;买方即是权利的受让人,而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。
Black-Scholes公式是在1997年由两位美国经济学家,罗伯特·默顿(RoBert Merton)和迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)创立,全称为布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model),为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。目前过节上利用这一理论对波动率估计的方法主要有两种:第一种方法利用实际股票市场收益率的历史方差或标准差进行估计,第二种方法是利用期权隐含的波动率(implied volatility)。
在本文中假设波动率,σ12=exp{Xt},Xt=2lnt是一个随机过程,这样得到的随机扩散模型中就有两个噪声序列。
在非线性的随机扩散模型时,往往要解随机微分方程,这需要运用矩估计理论解决这实际过程中遇到的问题。首先,将其改写成严平稳遍历的且α混合的双线性自回归EV模型,然后进行矩估计,最后再通过例证来证明该估计是强相合渐近正态估计量。
1 期权定价模型及波动率的矩估计
1.1 模型简介
期权定价模型Black-Scholes公式:
dSt=St(μ(St,t)dt+σ(St,t)dBt)
这里Bt是标准Brown运动,μ(St,t)为预期收益率;σ(St,t)为波动率。利用公式解得它的解为:
考虑波动率为:σ2(t)=exp(Xt)
即Xt=2lnσ(t),Xt=m(Xt-1)+ηt,{ξt}i.i.d~N(0,1)和{ηt}是i.i.d~N(0,ση2)
Fabienne(2004)[1],Franke(2003)[5]和Feldmann(1998)[2]对这个模型进行了研究,目的是证明﹩m﹩的线性性。这种想法与Hull和White(1987)[6]建立的连续时间的模型相一致。他们把模型扩展为:
其中Wt=(WtS,Wtσ)是一个二维的Brown运动。Renault和Touzi(1996)研究了这个模型,特别地:
定义Xt=ln(σt)是一个Ornstein-Uhlenbeck过程:
从而可以导出一个离散化的高斯AR(1)过程:Xt=e-kXt-1+ηt,其中{ηt}是i.i.d~N(0,s2)s是已知的k和γ的函数[1]。为使问题简化,我们首先假定μ(t)=μ0是一个常数,其次如果X0,ξ和η相互独立,则μ0=E(ht)。
这就得到:
在此对系数λ做一下说明。标准的情况考虑λ=1时的ln(ht2),但ht常常很小,lnht2就会很大。实际上很多情况lnht2都是这样的。明智的做法是使幂比1小而不大于1,例如在模拟时或根据经验选择λ=1/10,这不会改变自回归方程的结构。
1.2 平稳自回归EV模型及假设条件
下面讨论把前面的随机扩散模型(1)和(2)转换为严平稳遍历且α混合的自回归errors-in-variables(EV)模型,并给出一些条件,以便对模型进行估计。
把(1)中的ht变为ht2λ再取对数后为:
其中ω=E(ln(ξt2))。
假设ω已知,令Yt=ln(ht2λ)-λω,εt=λ(ln(ξt2))-ω,则有:
假设模型(3)中m(·)是二次的,即m(Xt-1)=β0+β1Xt-1+β2X2t-1。则模型(3)和(4)就是一个平稳自回归且α混合的双线性EV模型
一般的平稳性都指的是弱平稳性,假如时间序列有有限二阶矩,则它比严平稳弱。弱平稳主要用于线性时间序列,而如果我们的兴趣是在非线性关系(如二次的),则时间序列存在前两阶矩有时是不够的。
要验证一个由非线性模型定义的时间序列是否是严平稳决不是容易的。证明(或证明不成立)某个简单的非线性模型(比如平方函数)能够生成一严平稳过程仍是有待解决的问题。常用的方法是将时间序列表成一个(通常是向量值的)马尔可夫链,并建立马尔可夫链的遍历性,再利用遍历的马尔可夫链是严平稳的这一事实得到时间序列模型的严平稳性[4]。
因此我们给出如下条件:
假设2.1对某个正整数k和实数v>2
(1){Xt},{Yt}是严平稳遍历的α混合的马尔可夫链;
(3)fX,fY在不含0的定义域[a,b]上有k阶有界导数;
(4)Xt△=(Xt,Xt+1,Xt+2,Xt+3)τ,Yt△=(Yt,Yt+1,Yt+2,Yt+3)τ,并且{Xt}和{Yt}是严平稳遍历的α混合向量序列;
(5)若g∈L1{Ω,F,P}是连续函数,则E(g(Yt)v<∞。
1.3 二次线性函数m(·)的矩估计
在双线性EV模型(3)和(4)中,{ηt}与{εt}相互独立。E(η1)=E(ε1)=0,var(η)=ση2<+∞,var(ε)=σε2<+∞,而且对于任意奇数k>1,Eεk=0。
虽然εt与Yt不独立,但是εt与Y1,Y2,…,Yt-1独立,由m(·)是二次函数,可得:
把(5)代入到(4)中可得
为了估计m(·),{Yt}必须是可观测的。下面基于观测到的Y1,Y2,…,Yn+3用矩估计方法估计m(·)。
设:
于是r1=E(YtYt+1)=E{I1+I2+I3+I4+I5},
其中I1=β0Yt+β1Y2t+β2Y3t,I2=-2β2Y2tεt,I3=β2Ytε2t,I4=-β1Ytεt,I5=Ytεt+1+Ytηt+1
令g(Yt-1,εt-1)=β0+β1Yt-1+β2Y2t-1-2β2Yt-1εt-1+β2ε2t-1-β1εt-1,则g(Yt-1,εt-1)与εt独立,且EYt-1=EYt=Eg(Yt-1,εt-1),则有:
所以r1=E(YtYt+1)=β0EYt+β1EYt2+β2EYt3-3β2EYtσε2-β1σε2
同理可证:
若W是可逆矩阵,有β=W-1r。矩阵W一般不容易直接计算,但由于本文主要研究大样本的情况,所以当n→∞时,我们可以用样本均值近似总体期望值。那么就是β的矩估计量。由此,我们得到了Black-Scholes期权定价模型波动率的估计为
2.4估计量的相合性和渐近正态性
根据假设2.1和m(·)是二次函数的假定,我们可以证明β赞=W赞-1r赞估计量是强相合和渐近正态的。在这两个性质的证明中主要用到Birkhoff遍历定理和α混合的中心极限定理。
2结论
Black-scholes期权定价模型虽然在金融领域应用广泛,但是还有许多方面有待研究,波动率σ的估计问题就是其中一个重要的方面。本文中把σ看作是一个随机扩散过程Ornstein-Uhlenbeck过程决定的,这种想法与实际相符的程度还需要进一步的探讨。另外如果一个波动率确实是由一个随机过程决定的,到底是个什么样的过程,这一问题也有待研究。
摘要：在本文中,把期权定价模型中的漂移项为一个常数,波动率假定为一个Ornstein-Uhlenbeck过程,在一定的条件下,把模型转变成唯一个双线性自回归EV模型,然后对其中的m(·)函数进行离散化后,通过矩估计的方法估计m(·)函数的系数,从而得到波动率σ的矩估计。
关键词：随机扩散过程,波动率,平稳遍历,矩估计,α混合
参考文献
[1]Fabienne Comte.Kernel deconvolution of stochastic volatility models[J].Time Series Analysis,2004,563-582.
[2]Hull,J.and White.A.The pricing of options on assets with stochastic volatilities[J].Finance,1987,3:281-300.
[3]BLACK,F.and SCHOLES,M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Polit.Econ,1973,3:637-54.
我国货币政策状态的离散选择分析 篇5
在经济领域中, 宏观经济状况是一个庞杂的系统, 但是传统意义上描述宏观经济状况的经济指标体系范围却相对狭小, 不外乎包括经济增长率、通货膨胀率、失业率等等。然而, 如何确定和探悉不同经济指标之间的互动关系是经济学者不断追寻的问题, 也是多年来宏观经济理论和实证的主要内容之一。无论是作为重要政策分析工具的IS-LM曲线, 还是市场均衡分析的AS-AD曲线, 还是研究通货膨胀率与失业率之间替代的菲力普斯曲线等, 都在致力于分析宏观经济指标之间相互影响的作用机制, 但这些曲线机制却无一不在引起大量的争论, 远未达到理论和实证的统一 (Turnovsky, 1996) 。
在这些经济指标关系的研究中, 货币政策的作用机制是现代宏观经济理论研究的核心问题之一, 因为货币政策的调控力度和方向是保证一国或地区宏观经济稳定健康发展的重要条件。传统经济学关注货币政策实施对价格水平和实际产出的传导机制和影响, 偏重于货币政策的外生属性。但是, 随着经济的发展和研究的深入, 货币政策的内生属性逐渐为人们所认识, 认为货币政策的实施受到宏观经济形势变化的影响。因此, 在货币理论分析中, 采用货币政策的反应函数描述货币政策状态对宏观经济状况的反应, 这个反应函数可以度量货币政策指数和宏观经济状况的互动关系。党的十七大报告中“经济发展方式”代替了过去的“经济增长方式”, 从关注经济速度的提高和总量的扩张逐渐向经济中各种关系的协调偏重, 宏观经济调控方式也有所变化, 2007年货币政策的调控力度和频率都渐强, 依据宏观经济运行状况提高法定存款准备金率和调升定期存款利率, 对货币供给的流动性产生了重要影响。在我国经济增长高涨且具有结构性通货膨胀的条件下, 货币供给量是中央银行掌控经济状况的重要变量之一, 探究影响货币供给量的因素就显得格外关键。本文利用离散选择模型对广义货币供给量进行分析, 并得出相应的结论。
2 货币政策状态的离散选择模型
一般而言, 货币政策状态通常分为两种状态:扩张和收缩, 货币政策状态在一定程度上反映了货币当局对宏观经济发展状况的对策。鉴于货币政策状态的两种类型, 传统的计量经济方法不适用, 本文采用离散序列来描述我国2000年以来的货币政策状态。离散选择模型 (discrete choice model) 针对的是因变量是离散的情况, 因为在现实经济条件下, 部分经济变量只能对若干选项进行取舍, 如就业和失业状况, 此时传统计量经济方法无法确保因变量的取值, 所以离散选择模型应运而生 (Green, 2003) 。在对货币政策进行计量分析时, 通常采用货币供给量M1作为货币政策指标, 但是随着我国经济的迅速发展, 货币供给量M1已远远不能涵盖经济发展的需要, 货币的内涵与外延日益丰富与扩大, 货币的层次也不断升级, 因此采用广义货币供给量M2度量货币政策的状态。
本文采用我国广义货币供给量同比增长率, 样本区间是2001年1月至2007年6月, 并对其进行Hodrick-Prescott滤波分解 (Hodrick和Prescott, 1980) 。Hodrick-Prescott滤波是宏观经济学中广泛采用的平滑方法, 目的是获得序列的长期趋势成分的平滑估计, 即寻求使下式最小化的s, 即
设平滑后的序列M2t是HPM2t, 通过二者之间的偏离可以取得广义货币供给量的波动成分, 即
D (M2) t= (M2) t- (HPM2) t (2)
图1体现了M2增长率及其趋势成分 (HPM2) 和波动成分 (DM2) , 从中可知, 货币供给增长率具有一定程度的波动性, 而且体现了局部聚类现象。根据柱状图形表示的货币供给波动成分可以判断货币政策所处的状态。
当货币供给增长率波动成分大于零的时候, 增长率当期值高于趋势水平, 设定货币政策处于扩张阶段, 即当 (DM2) t>0的时候, (CM2) t=1。当货币供给增长率波动成分小于零的时候, 增长率当期值低于趋势水平, 设定货币政策处于收缩阶段, 即当 (DM2) t<0的时候, (CM2) t=0。图2给出了货币政策状态的变化过程, 其中类似条形码的图形表示货币政策状态的持续和交替过程。
在传统经济学中, 利率是货币供给量的主要影响因素, 也是中央银行调控货币供给的重要调控措施之一。而新近的货币内生属性理论强调产出对货币供给量的影响。对于经济逐步开放的中国而言, 随着外汇储备的迅猛增长, 外汇占款在我国货币供给过程中具有不容忽视的作用。鉴于此, 本文采用利率 (it) 、国内生产总值增长率 (GDPt) 和外汇储备增长率 (FERt) 作为自变量, 探究这三者与货币政策状态之间的关系。
采用上述同样的方法, 对利率、国内生产总值增长率和外汇储备增长率进行分解, 采用H-P滤波表示利率、国内生产总值增长率和外汇储备增长率的趋势状态, 并从中得出波动成分, 即
D (i) t= (i) t- (HPi) t (3)
D (GDP) t= (GDP) t- (HPGDP) t (4)
D (FER) t= (FER) t- (HPFER) t (5)
图3、图4和图5是国内生产总值增长率、外汇储备增长率和利率的趋势水平和波动情形。
二项选择模型 (binary choice model) 可以表示为下述形式:
P (CM2t=1) =F[β0+β1DGDPt+β2DFERt+β3Dit] (6)
P (CM2t=0) =1-F[β0+β1DGDPt+β2DFERt+β3Dit], t=1, 2, …, T (7)
在上述模型中, P (CM2t=1) 和P (CM2t=0) 分别表示在t时刻货币政策出现扩张或者收缩状态的概率, 在离散选择模型中F (x) 表示某种概率分布函数。当基于正态分布的累积分布函数的时候, 此模型被称为Probit模型;当基于逻辑分布的累积分布函数的时候, 模型则被称为Logit模型。本文选用Probit模型, 并利用极大似然估计进行模型参数估计并计算检验统计量。
在建立离散选择模型和货币政策反应函数时, 需要选择恰当的变量滞后阶数。为此本文计算了货币冲击同利率、国内生产总值增长率和外汇储备增长率波动之间的相关性, 并依据结果选择利率波动滞后1期、国内生产总值增长率波动滞后8期和外汇储备增长率波动滞后5期。估计所得的离散选择模型如下,
括号中给出了参数检验的t统计量值, *号表示在10%的水平下显著。利率波动的参数不显著体现了我国利率未完全市场化, 对利率波动的反应不灵敏。国内生产总值增长率波动参数显著且符号为负, 反应了货币政策是反周期的, 当出现正向冲击时, 将出现反向的货币冲击, 导致货币扩张的概率P (CM2t=1) 降低。外汇储备增长率波动的参数显著且符号为正, 体现了当出现正向冲击时, 货币扩张的概率P (CM2t=1) 上升, 这与我国近年来外汇占款对货币供给量影响加强有关。
3 结 论
不同于常用的线性计量方法, 本文采用新的方法定量分析了利率、国内生产总值增长率和外汇储备增长率波动对货币政策状态扩张或收缩概率的影响。从上述计量实证检验可知, 在我国宏观经济运行过程中, 货币政策的制定和实施还是依据现实经济状况而定的, 2007年我国经济快速发展, 股市一度高涨, 银行信贷增长迅速, 截至2007年10月末, 商业银行各项贷款同比增长17.69%, 其中多数股份制银行贷款增速均超过20%, 许多商业银行在三季度就已经完成了全年预定的信贷指标。根据经济现状, 中央银行2007年10次上调存款准备金率, 从年初的9%上升到14.5%, 累计冻结资金约2.02万亿元, 6次上调存贷款利率, 一年期存款利率由年初的2.52%上升到4.14%, 一年期贷款利率由年初的6.12%上升到7.29%, 调控力度可以说是空前的, 这体现了货币政策对现实经济的反应。而且, 我国货币政策产生反应的可能时滞大约半年左右, 这在政策调控上是比较迅速的, 表明中央银行和相关决策部门对于宏观经济形势的监测和判断是比较及时, 且掌握了一定的相关方法和手段。
外汇储备增长率的波动对货币政策状态扩张的概率影响显著, 体现了随着我国加入WTO以来, 对外经济发展迅速, 外贸顺差和外商直接投资等因素促使外汇储备大幅上扬, 继而使得基于外汇占款的货币供给量上涨, 由此说明随着开放程度的深入和扩大, 国际收支因素对我国经济运行的影响日益重要。在1993年以前, 再贷款是中央银行发行基础货币的主要渠道, 占基础货币供给量的83.5%, 而外汇占款的影响是-7.3%。但是, 从1994年开始, 外汇占款占基础货币供给量的比例迅速攀升至77.6%, 而再贷款仅占21.5% (阎庆民等, 2001) 。McCandless和Weber (1995) 在不同货币统计口径下, 对110个国家长达30年的数据进行了检验, 就得出了结论, 货币供给增长率与通货膨胀之间几乎是一一对应的关系, 这一关系是唯一确定的, 不可能依赖于独立的、具有国别特征的事件。外汇储备的快速增长使得货币供给增加, 从而加大了通货膨胀压力, 增加了货币政策操作空间的压力。
在经济全球化的浪潮中, 国家收支状况对我国货币政策的实施具有显著的影响, 根据我国经济发展的实际情况, 建立和完善与开放经济相适应的货币政策调节机制是实施有效宏观经济调控的重要前提。长远而言, 对外汇储备应进行有效管理, 避免单一追求外汇储备的增长速度, 中央银行对货币供给的调控应结合现实经济状况, 调控方式逐步向公开市场业务转化, 培养和发展资本市场和货币市场, 渐进实现利率市场化, 完善有利于金融体系稳定和安全的宏观调控措施, 从而保证我国经济持续健康发展。
参考文献
[1].阎庆民, 李木祥.中国货币政策传导机制及其效应研究[M].成都:西南财经大学出版社, 2001
[2].Greene, William H.Econometric Analysis, 5rd Edi-tion, NJ:Prentice-Hall, Inc., 2003
[3].Hodrick, R.J.and Prescott, E.C.Post-warU.S.Business Cycles:an Empirical Investigation, WorkingPaper, Carnegie University, 1980
[4].McCandless, G.T.and W.E.Weber.Some mon-etary facts, Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Re-view, 19 (3) , 1995
离散选择模型 篇6
资本市场是由大量长、短期交易者所组成的异质性市场[1],长期交易价格的变化强烈地影响短期交易价格的变化,市场波动表现出类似于充分发展湍流场的层次结构[1,2,3]。基于市场这一特征,引发了从湍流理论的角度建立资本市场模型的研究兴趣,尤其是构建与充分发展湍流场中速度差与空间尺度级串结构相似的波动级串模型(volatility cascade model),这是一种完全不同于传统计量经济学从单一时间序列角度建立资本市场价格变化模型的思路,而是将时间和空间尺度统一起来的资本市场波动建模思路。这一研究工作以Mandelbrot[4,5]、Calvet[6,7]和Bacry[8,9]等为代表,他们将多重分形和波动层次结构特征结合起来考虑,通过对经验数据的拟合假设出分割概率的分布,从而建立波动级串模型,并且已开始从离散型向连续型方向拓展。但这类研究有一个值得关注的方面,就是其模型构建的核心——分割概率的分布,仅仅通过对经验数据的拟合来假设出每层分割概率的分布缺乏充分的理论依据,因为针对差异显著的不同市场的数据特征,分割概率将出现多个不同的分布,构建出的模型仅仅针对某一特定类型的市场而难以“泛化”。那么如何解决这一出现的问题。国内以刘连寿[10,11]为代表的高能碰撞随机级串模型的研究成果给这一问题提供了新的视角和思路,即通过构建特定基元分割概率的表达式,将分割概率向更为微观的控制参数转换,进而通过讨论微观控制参数来实现对波动层次结构和动力学特征的刻画。
本文拟从构建新的线性基元分割概率出发,通过对关键参数设定的讨论来建立波动级串模型,描述资本市场价格变化的动力学特征。
1 基于湍流理论的资本市场波动级串模型
资本市场价格变化与充分发展湍流场速度差的动力学特征上存在诸多相似性[2], 因此能够借鉴充分发展湍流场空间尺度级串结构的理论构建资本市场波动级串模型。首先定义资本市场价格变化,如果指数价格序列记为P(t),t=1,2,…,n,则时间标度Δt条件下的对数收益率序列能够定义为:
其中,Rt(Δt)表示在标度Δt条件下时刻t上的对数收益率。收益率波动的度量可以使用绝对收益率|R|、平方收益率R2和平方根收益率R1/2等指标来进行, 考虑到指标的稳定性(较少受到极端值影响), 本文选择绝对收益率|R|作为波动的度量指标。通过文献[12]、[13]所描述的随机波动模型,将收益率和波动关联起来。
其中,εt为服从自由度为3的t分布。大量文献的经验研究均显示波动具有长程相关性和多重分形特征,表明波动在一定条件下具有某些内在的规律性(收益率没有类似的特征),并且发现波动具有类似于充分发展湍流能量耗散的级串方向和结构特征:大标度上的波动影响(控制)小标度上波动的变化,波动由低频(大标度)向中高频(较小标度)逐步衰减。在这一研究基础上可以借鉴充分发展湍流中描述能量传递的级串理论来建立资本市场波动模型,从时间和空间2个维度准确刻画多标度条件下波动的传递方向和结构,其中最简单、最基础的是离散型固定整数分割级串结构,其建模原理如下[8,9,10,11,14]:
假设波动一定会出现在时间标度T内(积分标度),如果将积分标度T分割为λ(每层分割数)个子时间标度T(1)i(i=1,2,…,λ),则波动出现在T(1)i(第1层第i个子时间标度) 的概率P(1)i=w(1)i,其中wi称为基元分割概率(独立于时间标度);对上层每一子时间标度继续以λ进行分割,到第n层时,波动出现在某一小时间标度中的概率
其中,α为描述波动起伏的参量,γ为随机控制参量。用于计算基元分割概率的线性式(3)满足平权性和归一化的要求[10,11],并且能够取λ>2的分割数(线性式将极大简化高阶矩的计算,有助于高阶矩的解析计算,式(3)较之文献[10]设计的基元分割概率更为简洁)。
k层结构上的波动记为
通过递归演算,任意m层结构上的波动
通过波动乘积级串模型,不同标度条件下的波动能够用积分标度波动进行表述,表示过程由模型中两个关键参量λ、γ进行控制。接下来的部分将针对λ、γ做详细讨论。
2 资本市场波动级串模型控制参数的讨论
从资本市场级串模型构建的基本思路来看,波动在整个变化过程中受两个主参量λ、γ的控制,因此讨论λ、γ的设定显得尤为重要。
2.1 每层分割数λ的设定
一系列讨论级串模型的文献大多将基元分割数λ设定为固定整数[8,10,12,13,14],最常见的是设定λ=2的二叉级联分割,在物理系统研究中加上这样的人为限制显然不符合实际的要求。有研究[11]注意到了这一缺陷,开始讨论将分割数λ取为固定非整数类型,所获得的结果显著优于λ取固定整数的情况。受这一研究思路的启发,将λ取为一定范围内的随机数(每层分割的λ都随机取值)进行考察(可以看成是一个逐渐放松约束的过程:固定整数分割→随机整数分割)。当然这一设想在资本市场波动级串结构中是否显著优于固定整数分割,需要通过Monte-Carlo仿真试验来加以比较。
2.2 基元分割概率wi的分布
第二个重要参量γ实际控制了基元分割概率wi的分布状况,在大量有关基元分割概率讨论的文献中,都将γ直接定义为[-1,1]上的均匀分布(为保证wi平权性和归一化的条件,不同分布γ对应的α值域有所不同,例如γ服从为[-1,1]的均匀分布,则
3 资本市场波动级串模型的Monte-Carlo仿真比较
考虑到数据的代表性和可比较性,本文选取上证综指(SSECI)1-day间隔的数据集作为研究对象:1996年1月2日至2006年6月1日1-day间隔的收盘指数,共计2512个数据点。原始数据来源于天软数据库(Tinysoft)。在进行Monte-Carlo仿真试验前,一个重要的步骤就是确定波动的积分标度(波动独立的最小积分标度)。
3.1 积分尺度的确定
确定波动积分标度一个最为简单的方法就是考察自相关函数,通常认为自相关函数约等于0的位置对应积分标度。利用SSECI的1-day数据集度量中国股市的代表性积分标度。
图1显示,波动的ACF表现出随滞后阶数的增加逐渐降低的趋势, 在滞后阶数Γ≈269时, ACF=0, 因此可以确定出积分标度T≈1year, 这一结果与文献[8]利用股票和汇率市场11个样本序列计算的积分标度结果近似。得到了积分标度, 能够计算积分标度T上的平均波动<|R(0)T|>=0.2098。
3.2 λ、γ不同参数设定的Monte-Carlo仿真试验
完成了对波动积分标度的度量,需要考虑的一个更为重要的问题就是判断出控制参数λ、γ的最优设定,这一点可以通过Monte-Carlo仿真试验(MC实验)结果来给予判定。为避免已往研究资本市场多标度行为大多运用可视化图形定性说明的缺陷,运用Kolmogorov-Smirnov检验和Wilcoxon秩和检验方法对不同实验条件下的控制参数MC结果进行定量分析,选择出最优波动级串模型。
从简化问题的角度出发,首先针对λ变化的情况进行1000次MC仿真试验,表1给出了两类实验条件下的仿真结果。
表1显示,相对于λ取固定分割数(λ=2是一种典型的二叉数结构)的实验条件1-1,实验条件1-2中随机λ的取值能够极大地降低KS距离,改善分布的拟合效果。图2刻画了表1两种实验条件下与SSECI的1-day经验数据的概率密度比较(从前10次MC实验中随机选取的一次实验结果)。与图2(a)相比较,图2(b)表现出了更为显著的拟合效果(代表实验条件1-2),进一步说明λ取随机分割整数能够显著改善波动级串模型的拟合优度。
概率密度比较图能够准确地定性说明不同实验条件下的仿真结果与经验数据分布的拟合效果,但还不能够充分说明模型的内在动力学特征,后者可以通过对自相关函数ACF考察来给予粗略地说明,图3和图4分别描绘出了实验条件1-1和1-2的自相关函数的变化过程(前10次实验中分别随机选取的两次仿真结果)。
对λ取固定分割整数的实验条件1-1,图3仿真结果的自相关函数在0值附近“振荡”,没有表现出类似于SSECI的1-day经验数据所具有随时间标度逐辰衰减的动力学特征(图1);当λ由固定分割整数调整为[2,4]随机分割整数后(实验条件1-2),自相关函数出现了明显的逐步衰减特征(图4),只是相对于经验数据在更长的滞后时间上表现出独立性特征(具有更大的积分标度T)。说明λ取随机分割整数的波动级串模型具有更为显著的拟合效果和动力学特征。在这一分析结果基础上,针对γ服从不同分布的情况进行讨论,了解γ的不同分布是否会对波动仿真结果产生明显影享,试图找到拟合优度更高的级串模型参数设计。
表2给出了λ服从[2,4]均匀整数分布条件下,γ服从normal、log-normal、possion和t分布的1000次MC仿真实验的结果(γ取[-1,1]之间服从特定分布的随机数)。
从实验结果可以发现,相对与实验条件1-2而言,虽然表1四类实验条件下的Wilcoxon秩和检验均显示与经验数据无显著差异,但KS距离没有减小,表明γ服从的四种分布不能进一步改善波动的拟合效果。图5刻画出了表2中四种实验条件仿真结果与1-day经验数据概率密度的比较图。与实验条件1-2的仿真结果的比较发现(图2(b)),表2四类实验条件和经验数据间的概率密度存在较大的差异。
对于表2给出的四类实验条件,仍然选择自相关函数ACF来考察各自内在的动力学特征。从图6中能够看出,四种实验条件中,仅有实验条件2-2(γ服从(0,1)log-normal分布)表现出随滞后时间逐步衰减的动力学特征,其他三种实验条件均表现出类似图3(实验条件1-1)自相关函数在0值附近“振荡”的自相关特征,没有呈现出1-day经验数据所具有的内在动力学特征(图1)。
综合上述仿真实验结果的分析,实验条件1-2相对于表1和表2种其它五类实验条件具有更为显著的拟合效果和更为真实的动力学特征。因此,在接下来的分析中,将实验条件1-2作为最优资本市场波动级串模型来加以进一步的探讨和研究。
4 最优资本市场级串模型与经验数据的比较
大量的文献研究显示资本市场收益率,尤其尾部的分布不同于正态分布,呈现出衰减指数2<α<4的负幂律特征,并且在美国、德国、澳大利亚和日本等成熟市场中均表现出普适性(universality)[15,16,17],同时收益率还表现出多重分形特征。因此,还需要利用MC仿真实验来分析实验条件1-2的最优波动级串模型是否能够模拟出经验数据中具有的这两类典型动力学特征。
4.1 SSECI的1-day数据和实验条件1-2收益率正负尾部衰减特征比较
对于随机变量是否服从幂律分布特征P(X>x)～x-a的分析,可以通过对其概率密度(PDF)和累积分布(CDF)的log-log图的幂回归拟合来进行判断。变更标度Δt则可以获得不同标度条件下随机变量幂律分布的分析结果。为比较分析不同时间标度Δt条件下收益率的行为特征以及对正、负尾做出区分,使用式(6)的标准化对数收益率g来给予度量。
其中,gΔt表示标度为Δt的标准化对数收益率,<G△t>TL表示在整个时间长度TL上G△t的均值,σΔt表示标度为Δt时G△t序列的标准差。采用上述幂回归的方法,在最小二乘原则下对1-day数据集标准化对数收益率g的累积分布的特征进行分析。图7给出了对比分析结果。
图7是实验条件1-2和经验数据的正、负尾衰减的累积分布比较图。实验条件1-2的MC仿真结果在正、负尾部均表现出了2<α<4的负幂律衰减特征,但衰减速率均低于经验数据(这一现象有可能是仿真样本量过小所导致),这一现象并不妨碍实验条件1-2所具有幂律衰减动力学特征的结论。
4.2 SSECI的1-day数据和实验条件1-2收益率波动多重分形特征比较
利用文献[18]、[19]所提出的多重分形消除趋势波动法MF-DFA这一目前广泛使用的分析非平稳序列相关性特征的有效方法(文献[15]讨论了这一方法与自相关函数、恭率谱方法的差异)来分析实验条件1-2的波动多重分形特征。
从图8上证综指1-day经验数据和实验条件1-2的收益率多重分形特征比较中发现,实验条件1-2的MC仿真结果同样表现出了与经验数据相似的多重分形特征,并且与经验数据在不同阶q的波动指数十分近似,说明实验条件1-2产生的仿真结果具有经验数据中所涵盖的内在多重分形动力学特征。因此,建立在实验条件1-2基础上的级串模型很大程度上能够作为经验数据的可靠拟合模型,刻画隐含在经验数据中的内在动力学特征。如何将波动级串模型应用到实践,尤其是风险管理中,将是下一步研究工作的重点。
5 结论
本文在收益率波动层次结构理论基础上,构建了类似于湍流理论的波动级串模型,通过对关键控制参数λ(每层分割数)和γ(随机控制参数)不同设定的MC仿真分析发现,与固定整数分割相比较,参数λ取随机分割整数(实验条件1-2)能够显著地改善波动级串模型对于经验数据的拟合优度,同时模型还表现出了明显的类似于经验数据的自相关函数逐步衰减的动力学特征。在λ取随机分割整数的基础上,进一步研究了参数γ服从normal、log-normal、possion和t分布的四种情况,MC仿真实验结果显示,参数γ的这四种分布均不能进一步改善基于均匀分布波动模型的拟合效果。
此外,对建立在实验条件1-2上的波动级串模型的幂律衰减和多重分形特征的研究表明,这一最优波动级串模型还能够很好地复制出经验数据所具有的2<α<4的负幂律衰减以及多重分形的两类典型动力学特征。说明建立在实验条件1-2基础上的最优级串模型很大程度上能够作为经验数据的可靠拟合模型,刻画隐含在经验数据中的内在动力学特征,同时该模型重要的实践价值还在于,可以将一些重要的实际问题,尤其是风险管理问题转换到对两个关键控制参数λ和γ的研究上来,极大地简化了问题的复杂程度,这一研究将是未来工作的重点。
摘要：在收益率波动层次结构理论上构建了一种新的波动级串结构模型,通过对基元分割概率中两个关键控制参数不同设定的Monte-Carlo仿真分析发现,分割数取随机整数能够显著地改善模型的拟合优度,自相关函数也表现出类似经验数据衰减的动力学特征,随机控制变量选取normal、log-normal、possion和t分布不能进一步改善基于均匀分布级串模型的拟合效果。此外,选取的最优波动级串模型还能够很好地复制出2<α<4的负幂律衰减和多重分形特征,表明该级串模型能够作为经验数据的可靠拟合模型。
离散选择模型 篇7
岩石是一种含有大量细、微观裂纹的高度非均匀材料,其变形破坏过程实质上是岩石材料中裂纹的形成、扩展、相互作用直至最后贯通破坏的动态演化过程.由于演化过程涉及到不连续位移场的描述问题,有关岩石破坏过程的数值模拟至今仍是计算破坏力学中极具挑战性的难题[1,2,3].
传统的有限元模型[4]、离散元模型[5]、非连续变形分析模型[6]均采用界面裂纹扩展方法,裂纹沿着单元的边界扩展.该方法实现比较方便,但初始网格划分会对模拟结果产生较大影响,特别是在裂纹扩展路径难以预测的情况.另外一些数值模型采用网格重划分方法[7,8],将裂纹看作移动边界,在裂纹扩展过程中不断地进行网格拓扑调整.这种数值方法可以实现裂纹沿任意方向的扩展,但计算工作量相对前者较大,尤其是在模拟三维问题的情况.近年来发展的扩展有限元法[9,10,11]能够在无需网格重划分的情况下模拟裂纹扩展,但在处理大位移和非线性材料特性方面仍有大量工作有待开展.
本文在三维不规则、可变形块体离散元模型中,引入了一种基于块体细化的界面裂纹扩展方法,用以模拟岩石材料的脆性破裂过程.一方面,根据研究对象内部应力场状态,在计算过程中动态地选取裂纹可能扩展到的块体,并沿潜在破坏方向将该块体细化为子块体,消除裂纹扩展对初始网格的依赖性;另一方面,根据实际裂纹尖端应力场的分布情况,采用界面裂纹扩展技术实现裂纹的扩展.为验证模型的可靠性及适用性,文末将进行两个典型算例的计算及讨论.
1 三维不规则、可变形块体离散元模型
将求解区域划分为有限多个完全独立的块体集合.在几何形态上,每个块体为凸多面体,拥有独立的几何和拓扑信息;在力学性质上,每个块体为可变形体,通过内部的四面体网格划分,建立独立的动力学求解方程.块体与块体之间在未形成裂纹前完全连续,在出现裂纹后允许发生滑动或分离.
1.1 单个块体的几何、力学描述
考虑到裂纹在萌生及扩展过程中,初始块体可能被裂纹所切割,形成各种不规则形状的子块体.因此,将块体看作一个具有任意不规则形状的凸多面体,并借助顶点、棱边和表面三类几何元素来描述其几何、拓扑信息,如图1所示.其中,顶点代表块体的角点,表示空间中的单个位置,有X,Y,Z坐标值;棱边代表连接两角点之间的线段;表面代表由封闭棱边围成的外边界和零个内边界定义的二维多边形.
将块体看作内部没有任何不连续面的连续体.基于连续介质力学思想,块体的力学行为可采用三维动力学基本微分方程来描述,即
式中,σij,εij,ui和fi分别表示应力、应变、位移和体积力;ρ和μ分别表示质量密度和阻尼系数;Cijst为刚度张量;和分别为位移和力的边界条件;和分别为初始时刻的位移和速度.
为求解块体域内的动力学问题,采用四面体网格划分,将块体离散为四面体单元.如图2所示,每个四面体单元都包括1个位于块体体心处的节点、1个位于块体面心处的节点和2个位于块体表面内边端点处的节点.使用形函数插值方法,四面体单元内位移(uh,vh,ωh)由其4个节点位移(ui,vi,ωi)进行逼近,即
利用变分原理,联立方程(1)～(5),即可导出块体的动力学求解方程
式中,,和u(t)分别是块体内所有节点的加速度列阵、速度列阵和位移列阵,M,C,K和F(t)分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点外部荷载列阵,由各自的单元矩阵和列阵组装集成.
1.2 块体之间的作用方式
在相邻两块体的界面上,位于角点和面心处的节点尽管位置相同,但分属于不同块体.它们两两构成一对邻居节点.在离散元模型中,块体之间的相互作用正是利用连接于这些邻居节点之间的弹簧来实现的.考虑到块体之间既允许完全连续,也允许存在裂纹,将连接相邻块体的弹簧分为两种类型:连接型和接触型.
当相邻两块体之间完全连续时,邻居节点之间的弹簧为连接型弹簧,遵循线弹性本构关系
式中,un和us分别为邻居节点的相对位移在界面法向和切向上的分量;Fn和Fs分别为邻居节点间作用力在界面法向和切向的分量;E和G分别为界面的弹性模量和剪切模量;L和Ac分别为界面的等效厚度以及弹簧的代表面积.
当相邻两块体之间存在裂纹时,邻居节点之间的弹簧为接触型弹簧.为模拟裂纹面的分离或滑动,接触型弹簧遵循如下非线性本构关系
式中φ为界面的内摩擦角.
当连接型弹簧满足张拉-压剪复合破坏准则时,连接型弹簧将发生张拉或压剪模式的弹脆性破坏,转变为接触型弹簧.其中,张拉模式的弹脆性破坏采用最大张拉力准则模拟
压剪模式的弹脆性破坏采用莫尔-库仑准则模拟
式中,σt和C0分别为界面的抗拉强度和抗剪强度.
2 动态松弛方法
不同于有限元方法组装总刚度矩阵,三维不规则、可变形块体离散元模型在建立块体的动力学求解方程后,无需组装总刚度矩阵,而是采用动态松弛方法进行求解.动态松弛方法通过在动态计算中引入阻尼项,使得初始不平衡的振动系统逐渐衰减到平衡位置,是一种将静力学问题转化为动力学问题进行求解的显式方法.该方法基本流程如下:
(1)从已知的初始状态开始,在每一个时间步长(如第N步)结束后,固定研究区域内所有块体;
(2)根据式(8)或式(9),计算每个块体界面上节点的弹簧力,并将和已知外力求和得到节点合外力
(3)根据式(7),计算每个块体上节点的不平衡力
(4)根据每个块体上节点的不平衡力,计算这些节点的加速度
(5)根据加速度和时步Δt,同时放松所有的节点
(6)在新位置上固定所有节点,循环下一次迭代,直到满足收敛条件结束.
3 基于块体细化的界面裂纹扩展方法
在岩石材料脆性破裂过程中,由于裂纹产生的位置和它扩展的方向是在研究对象加载过程中动态生成的,裂纹经常不可避免地要从某些单元的内部穿越.传统界面裂纹扩展技术由于无法对初始网格拓扑进行调整,计算出的裂纹扩展路径往往并不准确.为消除裂纹扩展对初始网格的依赖性,将裂缝可能扩展到的块体进行细化,提前创建出潜在的裂纹扩展路径.
3.1 细化块体选取标准
在研究岩石材料脆性破坏问题时,通常将岩石的破坏方式分为两种:(1)由拉应力引起的张拉破坏,主要的破坏准则为Griffith准则
最有利破裂方向角与最大主应力所成角度
(2)由剪应力引起的剪切破坏,主要的破坏准则为Mohr-Coulomb准则
最有利破裂方向角与最大主应力所成角度
为创建潜在裂纹扩展路径,需要在块体真正破裂前就对其进行预先细化.基于Griffith准则和MohrCoulomb准则,本研究采用如下块体细化标准选取拟细化的块体
式中,和分别为张拉和剪切破坏发生前允许块体细化的阈值。块体选取后,它们的细化方向将沿式(14)和式(16)给出的破裂方向.考虑到块体在进行剪切模式细化时,同时存在两个剪动方向相逆的共轭剪裂方向,选择沿剪裂方向滑动趋势更为明显的一个作为细化方向.
从创建潜在裂纹扩展路径的角度讲,一个块体细化出的子块体数越多,沿块体边界扩展的界面裂纹可选择的扩展路径就越多,数值模拟给出裂纹路径准确度也越高.另一方面,块体细化数目的增多将导致计算规模的增大以及网格质量的下降,计算精度将随之降低.综合以上两方面的考虑,对于每一个选定细化的块体,使用间距相等、方向沿该块体破裂方向的3个切割平面,将该块体细化为4个子块体.
3.2 块体细化技术
在确定细化块体及其切割平面后,采用扩展有限元中使用的level set函数[9]来实现块体快速、有效的细化.具体算法如下:
(1)对于给定的切割平面方程Φ(x)=0,给出切割面Γ、切割面上方Ω+和切割面下方Ω-的level set函数
(2)利用level set函数遍历块体所有表面,检查各表面与切割面之间的关系:(a)当表面节点集合If中元素的坐标满足条件
该表面未被切割面切割,将归属于位于切割面上部的子块体;(b)当If中元素的坐标满足条件
该表面未被切割面切割,且归属于位于切割面下部的子块体;(C)当If中元素的坐标满足条件
该表面将被切割面切割为上、下两个子面,并分别归属于位于切割面上部和下部的子块体.为产生位于切割面上部和下部的两个子面,采用与式(19)同样的方法,使用level set函数检查该表面上每条边的归属.如果边未被切割面穿过,则该边归于上子面或下子面中的某一个;如果被穿过,则该边被切割成两条子边,分属于两个子面,每条子边包含细化块体上的一个节点及与切割面的交点.交点坐标由下式获得
式中,x1,x2为细化块体边上两个节点的坐标;(d)将所有交点构成一个单独的表面,分别归属于上部和下部子块体,构成切割面上部块体和下部子块体之间的接触表面.
(3)分别根据归属于上部和下部子块体的表面,形成上部和下部子块体.同时,为子块体添加质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵等力学信息以及两子块体界面间的弹簧信息.
尽管块体细化技术必然产生新的单元和节点,模型的拓扑结构随着裂纹的发展而不断变化,但由于采用动态松弛方法,新产生的子块体只需要代替原有块体即可.与传统有限元每计算一步需要集成一次整体刚度矩阵相比,块体细化技术将不会导致求解计算效率的降低.
3.3 节点插值技术
当1个细化块体被分裂为4个子块体后,将出现这几个子块体同时共有一个邻居块体情况,如图3所示.在子块体与邻居块体之间的界面上,子块体上的一些节点位置与其相邻块体的节点不重合,无法形成邻居节点关系.以图4为例,子块体表面A'E'F'D'上的节点E'和另一子块体表面B'C'F'E'上的节点F',在表面ABCD上都找不到与之对应的邻居节点.由于在这些新产生的、没有邻居的节点上无法产生弹簧力,如何计算它们的位移和速度将成为困难.
为解决上述问题,采用了节点插值技术:
(1)对应于这些新产生的、没有邻居的节点,在邻居块体上设置插值节点,并在节点之间建立弹簧。例如,对应于节点E'和F'在表面ABCD上分别设置插值节点E和F,并在节点E'-E和F'-F之间设置弹簧;
(2)由于插值节点不是独立节点,为满足邻居块体内位移和速度的连续性,插值节点的位移和速度需要由邻居块体其他3个节点的位移u和速度v根据线性插值函数
来获得.式(20)中,Ni为邻居块体第i个节点的权重,ui和νi为第i个节点的位移和速度.如插值节点E的位移由A,B,O三个节点的位移插值;
(3)根据式(12a),(12b)计算出插值节点的不平衡力Fout-of-balance,并将该力利用插值函数
,i=1,2,3 (22)
分别施加于邻居块体的那3个节点上.如插值节点E处计算的不平衡力将分别返回A,B,O三个节点上.
4 计算实例
4.1 岩样单轴压缩破坏
为了验证程序的适用性,首先开展单轴受压岩石试件破坏过程模拟.岩样的长、高和厚度尺寸分别为0.3 m,0.3 m和0.03 m,岩石材料参数见表1.该试件前后两面进行法向位移约束,底面3个方向进行位移约束,顶面水平两个方向进行位移约束,竖直方向施加30 MPa的面力.初始时刻该岩样被划分为100个正方体块体,每个块体的边长为0.03m.采用MSC.Patran作为位移场显示工具.
荷载一次加载,弹性阶段计算收敛之后判断单元破坏切割,得到的切割图像如图6.允许接触面弹簧破坏之后的X方向位移云图,如图7.从图7的计算结果可以看出破坏形态是呈X型,与实验结果一致.
4.2 三点弯曲梁预设偏裂缝扩展
用预设裂缝的三点弯曲梁算例验证程序.所用材料为岩石,岩石材料参数见表2.岩样的长、高和厚度尺寸分别为1.23 m,0.30 m和0.03m,初始时刻岩样被划分为410个均匀的正方体块体,每个块体边长0.03 m (如图8所示).前后方向法向位移约束,底面左端和右端处3个方向位移固定,顶面正中处施加P=2.5×104 N竖向压力,在底面偏离正中0.18 m处预设裂缝,裂缝高度0.03m.采用MSC.Patran作为位移场显示工具.
在计算中分步骤控制切割细化的过程,即在前一步细化之后,等计算能量收敛并且细化单元之间的弹簧充分破坏之后,再进一步细化,共细化3次,其偏裂纹扩展结果如图9,接触面弹簧破坏之后的X方向位移云图如图10.可以发现,偏裂缝有向中间发展的趋势,扩展的路径在位移云图的X向正负位移的分界线上可以体现出来.计算得到的裂缝扩展路径与实验结果一致.
5 结论
本文采用离散元的思路研究岩石脆性材料的破裂,离散元在计算的弹性阶段可以得到与其他数值方法一致的结果,在处理破裂问题时,离散元相比其他数值方法更简洁、方便.在计算过程中采用动态松弛法,避免了组装总刚度矩阵,简化了计算.当细化网格时,只需要用新生成的单元代替原单元,也非常适合用动态松弛法处理.引入了基于块体细化的界面裂纹扩展方法,这种方法根据内部应力场分布而动态选取裂纹扩展到的块体单元,并将该单元细化,从而生成潜在破坏面.单轴压缩和三点弯曲梁预设偏裂缝2个算例表明,本方法可以得出与实验现象一致的结果.
摘要：发展一种能够模拟岩石材料脆性破裂过程的三维不规则、可变形块体离散元模型.一方面,在裂纹扩展过程中动态地将潜在破坏的连续块体沿潜在破坏方向细化为若干子块体,并在子块体之间的界面上设置连接型弹簧;另一方面,连接型弹簧在满足张拉-剪切复合破坏准则时发生脆性破裂,转变为接触型弹簧,实现材料由连续到非连续的破裂.借助动态松弛技术完成求解,通过计算实例验证该方法的适用性.
关键词：岩石材料,脆性破坏,离散元,张拉-剪切复合破坏
参考文献
[1] de Borst R.Some recent issues in computational failure mechanics.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2001,52:63-95
[2] Jing L.A review of techniques advances and outstanding issues in numerical modeling for rock mechanics and rock engineering.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2003,40(3):283-353
[3]张楚汉.论岩石、混凝土离散-接触-断裂分析.岩石力学与工程学报,2008,27(2):217-235(Zhang Chuhan.Discrete-contact -fracture analysis of rock and concrete.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2008,27(2): 217-235(in Chinese))
[4] Goodman RE.Methods of Geological in Discontinuous Rocks.San Francisco:West Publishing Company,1976
[5] Cundall PA.Formulation of three dimensional distinct element model,partⅠ-a scheme to detect and represent contact in system composed of many polyhedral blocks.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1988,25(3):107-116
[6]焦玉勇,张秀丽,刘泉声等.用非连续变形分析方法模拟岩石裂纹扩展.岩石力学与工程学报,2007,26(4):682-691(Jiao Yuyong,Zhang Xiuli,Liu Quansheng,et al.Simulation of rock crack propagation using discontinuous deformation analysis method.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2007,26(4):682-691(in Chinese))
[7] Carter B J,Wawrzynek PA,Ingraffea AR.Automated 3-D crack growth simulation.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2000,47:229-253
[8] Bremberg D,Dhondt G.Automatic crack-insertion for arbitrary crack growth.Engineering Fracture Mechanics, 2008,75:404-416
[9] Dolbow J,Moes N,Belytschko T.An extended finite element method for modeling crack growth with frictional contact.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001,190:6825-6846
[10] Liu XY,Xiao QZ,Karihaloo B L.XFEM for direct evaluation of mixed mode SIFs in homogeneous and bi-materials. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004,59:1103-1118
离散选择模型 篇8
关键词：事件模型,操作符,可扩展标记语言,事件描述语言
以互联网和计算机为代表的信息技术与制造技术相互融合,推动了制造业信息化的变革性发展。信息技术、智能技术与先进制造技术的集成和深度融合,催生了新型智能制造模式———制造物联[[1,2],有利于制造过程的智能化提升和改造,促进“智慧制造”的实现。
制造物联产生的海量多源数据实时感知、高效处理与融合,有利于促进制造过程实时决策及优化控制[3]。基于制造物联的生产过程数据之间存在时序、因果及逻辑等关联关系,制造信息管控系统有效的数据处理机制有助于时序数据的合理处理,实现制造过程事件之间因果关系的认识。制造过程数据良好的结构模型建立与描述是实现制造过程管控、优化的保证。统一的制造过程数据模型,利于分析产品与组成之间、加工过程与关联的制造资源之间存在的按有效机制组织形成的逻辑关系。
事件“结构”描述是制造过程数据关联关系的有效表达方式。制造过程数据结构描述[4]主要包括:(1)产品数字化表达和产品组成之间关联关系的描述;(2)生产加工过程数字化表达以及产品结构层次与制造过程结构层次之间关联关系的表达;(3)制造环境与制造过程之间相互关系的数字化描述;(4)制造环境与制造资源之间的关联描述。
在事件模型描述方面,目前国内外有关学者面向复杂制造过程提出了使用统一信息模型来描述完整的产品制造过程数据,有限状态自动机、NFA、Petri网模型和类编程语言的描述方式研究比较多,类SQL语句常用于描述数据流中的关系型扩展事件模型,重点采用改进的XML语言描述算子类复杂事件模型[5]。但制造过程数据描述[6]方法尚存不足:(1)以静态数据视图形式组织管理制造过程关联对象数据,无法反映制造过程事件之间存在的时序逻辑关系及加工物料的演变过程。(2)制造过程数据之间复杂关系与约束等关联表达能力不够,缺乏逻辑推理操作方法。对不同元素之间的关联关系无法进行统一形式化描述。(3)数据语义表达不一致,制造过程数据模型未能反映制造数据过程语义。
构建可扩展的、合理、一致的制造过程数据描述方法,有利于实现产品工艺、生产制造以及管理相关过程数据的规范化、统一表达与集成。本文针对制造过程事件关联关系统一描述方面,基于制造物联事件体系的层次结构分析,定义复杂事件的常用操作符和语法语义,建立基于可扩展标记语言(e Xtensible markup language,XML)的面向制造过程的事件描述语言(XML-based event description language,XE-DL),完成基于XEDL的制造物联复杂事件数据模型语义描述,为制造过程信息集成的统一语义环境建立提供参考。
1 制造物联复杂事件结构模型分析
1.1 事件概念与类型
制造物联过程关键生产节点上产生的有利于决策及优化控制的制造信息称为制造物联事件,主要包括原始事件和关键事件[[7,8]]。原始事件是发生在一个时间点的不可再分事件,关键事件(critical event)是采用事件操作符将原始事件(primitive event)或复杂事件进行规则运算形成的对制造过程具有指导意义的新的复杂事件。用CE统一表示关键事件和复杂事件,PE表示原始事件。关键事件的表达式记为:CE=f(PE1,PE2,…,CE1,CE2,…),逻辑运算符f定义事件之间的逻辑关系,可多层嵌套。
事件类型用于描述在抽象层次上具有共同属性事件的元数据,事件主体(E)通常包括属性(attribute)、内容(content)和时间(time)三个基本要素,记为:E=(ID,a,c,Tb,Te),ID即identification用来唯一标识事件类型;a表示事件的属性集合,即attribute={a1,a2,…,an},n≥0;c表示引发关键事件的原因事件集合即子事件实例(event,用e表示)集合,content={e1,e2,…,en},n≥0;Tb、Te表示事件起始时间和结束时间。
1.2 事件结构关系
一般来说,制造过程事件之间存在的关联关系有:(1)时间关系即时序关系,利用时间模型来描述;(2)逻辑层次关系,使用层次模型来描述;(3)因果关系,使用语义操作符进行表达。制造物联过程不同环节节点之间形成的关联关系如表1所示。
为促进制造过程数据的集成和交互,采用统一的结构形式来表达制造过程不同环节数据之间存在的复杂关联关系,原始事件与关键事件之间的映射通过XML描述模板实现[7](如图1所示)。
1.3 事件关联模型
基于生产过程事件类型与关联分析,建立面向生产过程的复杂事件结构模型(如图2所示),使用关系操作符描述多层次事件之间的时序、逻辑层次等关系,揭示构成多层次复杂事件的子事件及其蕴涵的信息,阐明复杂事件发生的子事件实例选取及匹配,实现多层次事件之间存在的时序、语义关系认知。
事件CE1与事件CEn之间存在相似事件类型聚合的关联,事件PE、CE1n上一层次事件为CE1,事件CE1与事件CE1n、PE存在泛化关系。关键事件CE11发生的聚合过程[9]为:(1)原始事件PEn发生,事件值为TRUE;(2)原始事件PEm不发生,事件值为FALSE,经非操作符聚合后事件值变为TRUE;(3)处理后的2个原始事件经顺序操作符聚合后事件值变为TRUE;(4)经过时间约束操作符聚合后事件值为TRUE,表示事件CE11发生。
2 事件操作符定义及语义分析
关键事件表达式CEexpression由事件操作符(operator)和操作数(operand)组成,操作数表示事件类型,操作符将事件类型进行组合。事件操作符定义[10,11]主要包括3个部分内容:(1)操作数的实例数量;(2)事件实例的使用策略和消耗策略;(3)事件层次结构描述。
2.1 基本事件操作符
事件基本操作符[12]具体定义如下:
(1)“与”操作符———conjunction,conjunction(e1,e2,…,en)表示所有成分事件发生后触发的复杂事件E。
(2)“或”操作符———disjunction,disjunction(e1,e2,…,en)表示任何一个成分事件发生所触发的复杂事件E。
(3)“非”操作符———negation,使用NOT(E)表示没有触发事件类型E。
事件实例使用策略(use)操作符包括4个:primitive(原始)、recent(最新)、continuous(连续)、cumulative(累积);事件实例消耗(consume)策略操作符4个:reserve(保留)、removeearly(移除更早)、removecurrent(移除当前)、removeall(移除所有)。按照操作数使用策略或消耗策略将“超过操作符所连接操作数的事件实例个数(length)”的事件实例进行处理或删除,保留符合条件的事件实例。事件实例使用策略指定特定的事件实例进行事件聚合,事件实例的消耗策略决定实例参与复杂事件计算以后是否保留或删除[10]。
2.2 复杂事件关系操作符
为实现事件之间时间、层次、因果等复杂关联关系的描述,定义以下复杂事件操作符。
2.2.1 时间操作符
事件时序关系用事件实例的开始和结束时间关系表示。原始事件一般是瞬间发生的,时间形式为时刻,关键事件的发生时间以区间形式表示。时序关系主要包括“顺序发生、同时发生”2种。
同时性操作符———synchronal,记synchronal(e1,e2,…,en)为事件同时发生触发复合事件E。
顺序操作符———sequence,记sequence(e1,e2,…,en)为按照时序发生事件后触发复合事件E。
时间区间二元关系操作符定义如下:
时间约束操作符———within,记within(E,T1,T2)为复合事件E在[T1,T2]时间区间内发生。
时间距离操作符———distance,记distance(e1,e2)为触发复合事件E发生的两个事件实例结束时间间隔。
时间范围操作符———interval,记interval(e1,e2)为触发复合事件E发生的事件实例最早开始与事件实例最晚结束的时间间隔;如果操作符只有一个操作数,则interval(e)表示该事件实例的开始和结束时间间隔。
2.2.2 层次操作符
事件之间逻辑层次关系体现在事件的包含关系上,主要分为泛化和关联等2种关系[[10,11]]。事件关联是指与事件E关联的事件类型集合,记为association(E)。事件泛化是事件类型E的泛化事件类型集合,记generalization(E)为连接操作符的相似事件操作数集合。
2.2.3 因果操作符
因果关系指事件之间的相互作用关系,分为直接因果关系和间接因果关系。
直接因果关系指原因事件实例e直接触发结果事件E发生,操作符记为directcausality,用directcausality(e,E)表示;间接因果关系指原因事件e经中间事件ei间接触发结果事件E,操作符记为indirectcausality,用indirectcausality(e,ei,E)表示。因果关系与时间关系存在着内在的一致性,原因事件的开始时间早于结果事件的开始时间。
2.3 语义空间定义
语义空间用于描述事件环境信息,界定事件环境信息多维空间中具有相对独立语义的某种相关信息[10],包括语义空间名称、初始化信息、终止信息,记为semanticspace(name,initiator,terminator)。其中,初始化信息记为initiator(event,location,role,state,condition),主要包括语义空间的初始化事件、初始位置、初始角色、初始状态、条件要求;终止信息记为terminator(event,location,role,state,condition,type),包括表示语义空间结束的事件、位置、角色和相应的条件,type为语义空间结束时,关联但未报告事件的处理方式:discard(放弃复合)和terminate(检测后再结束)。
3 基于XML的事件描述语言
3.1 XEDL基本语法定义及结构
基于XML的事件描述语言基本语法定义包括3个方面:(1)XEDL文本符合XML规范,起始行为:<?xml version="1.0"encoding="utf-8"?>;(2)以XEDL为根:<XEDL>…</XEDL>;(3)根下包括事件结构、事件策略和事件属性三部分。
XEDL语法结构包含原始事件注册表和关键事件模式集合2部分,语法描述如下:
3.2 基于XML的制造过程事件描述语法
3.2.1 原始事件XML描述语法
传感节点触发的原始事件用唯一标识符ID表示,一种原始事件表示同一类或相似状态的变化。原始事件主体包含来源传感设备、发生时间、发生位置及其他属性。
原始事件XML描述语法如下:
3.2.2 关键事件XML描述语法
关键事件为复杂事件模式描述,包括3个方面描述内容:原因事件实例集、实例策略、逻辑运算函数。
关键事件结构XML语法描述如下:
(1)原因事件实例策略描述。
事件实例的使用、消耗策略与原因事件一同描述,XML语法如下:
(2)逻辑运算函数描述语法
4 基于XEDL的制造物联事件模型描述案例及对比分析
4.1 基于XEDL的制造物联事件模型描述
以油制辣椒生产为例,制造物联车间数据模型包括环境数据模型、任务数据模型、工艺数据模型、在制品数据模型、制造资源数据模型。本文以油制辣椒产品质量问题为例进行事件模型描述,首先,考虑产品生产的语义空间;然后,描述产品质量问题涉及的工艺/任务时序和嵌套关系。
基于XEDL的油制辣椒质量模型描述如下:
4.2 不同事件模型描述分析比较
针对支持事件模型不同特性描述方面,与常用的Esper[13]、“SASE+”[14]事件模型描述比较(如表2所示),基于XEDL的事件模型描述在事件时序关系和逻辑运算关系表达方面能力更强,支持属性自定义,具备选择不同事件流控制策略功能。基于制造物联多层次事件模型设计和统一的XML Schema描述规范,XEDL满足无二义性、较强可读性、准确描述事件数据关系及数据类型和属性、便于计算机解析处理等功能要求。
5 结束语
在制造业信息化的发展背景下,为突破智能制造发展的底层数据标准化处理及统一表达瓶颈,进行生产过程多层次事件复杂关联关系分析及统一描述研究。论文采用复杂事件操作符和XML语法语义,建立了基于XML的面向制造过程事件的可扩展事件描述语言,并结合油制辣椒生产过程事件描述,实现了基于XML模板的制造过程事件统一语义表达与扩展。