数列的递推公式研究

2024-08-13

数列的递推公式研究（精选四篇）

数列的递推公式研究篇1

一、递推公式概念

如果数列{ an} 的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做这个数列的递推公式.

二、递推公式的类型及求通项公式的方法

1. an + 1= an+ f ( n) 型

方法: 利用迭加法得: an= a1+ f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( n-1) , ( n≥2) . 这里要求f ( n) 是一个可求前n项和的式子, 如: 3n- 2, 2n, 1/ (n ( n + 1) ) 等.

2. an + 1= anf ( n) 型

方法: 利用迭乘法可得: an= a1f ( 1) f ( 2) …f ( n - 1) , ( n≥2)

这里要求f ( n) 是一个可求前n项积的式子, 如: (n + 2) / (n + 1)等.

3. an + 1= pan+ q ( p、q为常数且p≠0, q≠0) 型

方法1: 用不动点法求通项

步骤如下:

( 1) 在递推关系中, 将an + 1, an均换成x, 得特征方程: x = px+ q, 解出特征根: x =q/ (1 - p) .

( 2) 利用特征根将递推关系式变为: an + 1-q/ (1 - p) = p ( an-q/ (1 - p) ) .

( 3) { an-q/ (1-p) } 是以a1-q/ (1-p) 为首项, p为公比的等比数列.

( 4) 求出{ an-q/ (1-p) } 的通项公式, 从而求出an的表达式.

方法2: 利用作差法求通项

步骤如下:

( 1) 由

( 2) { an + 1- an} 是以a2- a1为首项, p为公比的等比数列.

( 3) 求{ an + 1- an} 的通项, an + 1- an= (a2- a1) pn - 1.

( 4) 把an + 1= pan+ q代入上式求出an的表达式.

4. an + 1= pan+an+ b ( p, a为常数且p≠1, p≠0, a≠0) 型

方法: 待定系数法.

令 an + 1- x ( n + 1) + y = p ( an- xn + y) 与 an + 1= pan+ an + b比较解出系数x, y构造等比数列求解.

5. an + 1= pan+ qn ( p、q为常数且p≠0、q≠0)

方法: 两边同除以qn + 1, 化为利用第三种类型求出an/qn, 从而解出an.

6. an + 1= (san+ t) / (pan+ q) 型

方法: 不动点法.

需要研究特征方程x = (sx + t) / (px + q) 的解的情况:

( 1) 若方程有且只有一解λ, 则可把原递推关系两边同时减去λ后取倒数便可解.

( 2) 若方程有两解λ1、λ2, 则可把原递推关系两边同时减去λ1、λ2后得两个递推式, 将两式相除即可解.

( 3) 若方程无解, 则数列必为周期数列.

7. an + 2= pan + 1+ qan ( p、q为常数且p≠0, q≠0)

方法: 不动点法.

需研究特征方程解的情况:

( 1) 如果方程有两个相等的根α, 则递推关系可变形为an + 2- αan + 1= α ( an + 2- αan) , 可知{ an + 1- αan} 为等比数列, 求出{ an + 1- αan} 的通项后转化为第五种类型求解.

( 2) 如果方程有两个不等的实根α、β, 则递推关系可变形为an + 2- αan + 1= β ( an + 1- αan) 或an + 2- βan + 1= α ( an + 1- βan) , 可知{ an + 1- αan} 、{ an + 1- βan} 为等比数列, 求出{ an + 1- αan}或{ an + 1βan} 的通项后转化为第五种类型求解.

( 3) 若方程无实根, 则数列{ an} 为周期数列.

三、应用举例

数列的递推公式研究篇2

设an+x=A (an-1+x) , 则an=Aan-1+ (A-1) x。

注:1.当A=1时, 数列{an}是公差为B的等差数列, 其通项公式为an=a1+ (n-1) B。

2.A=0时, 数列{an}是常数数列an=B。

例1 (04海淀) :已知数列{an}的首项=a1=a (a是常数, a≠-1) , an=2an-1+1 (n∈N, n≥2) 。问{an}是否可能是等差数列, 若可能, 求出{an}的通项公式, 若不可能, 说明理由。

解:这个数列{an}是an=A{an-1}+B型的数列, 由 (*) 式可得, an= (a+1) 2n-1-1。

由于a+1≠0, 所以{an}不是等差数列。

例3 (06福建) :已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N*) 。 (1) 求数列{an}的通项公式;

(1) 解:数列{an}是an=Aan-1+B型数列, 由 (*) 式易得an=2n-1。

(2) 证明:先证不等式的右半部分:

例4 (07全国) :设数列{an}的首项a1∈ (0, 1) , , n=2, 3, 4…。

(1) 求{an}的通项公式;

数列的递推公式研究篇3

后来, 这个传说就演变为汉诺塔游戏:

(1) 有三根杆子A、B、C, 其中A杆上有若干金片从下向上是由大到小;

(2) 每次移动一块金片, 小的只能叠在大的上面;

(3) 把所有金片从A杆全部移到C杆上.

下面我们来计算一下, 僧侣们需要搬动多少次才能把金片从A杆全部移到C杆?

汉诺塔的破解很简单, 就是按照移动规则向一个方向移动金片, 可以先写出前几项进行观察, 在观察中发现规律, 我们可以发现, 要把n个金片从A杆全部移到C杆, 则必然要把n-1个金片从A杆全部移到B杆, 于是我们可以构造出递推关系.

1阶汉诺塔的移动:A→C, 需1次;

2阶汉诺塔的移动:A→B, A→C, B→C, 需3次;

3阶汉诺塔的移动:A→C, A→B, C→B, A→C, B→A, B→C, A→C, 需7次;

……

则n阶汉诺塔的移动, 必然经过把n-1个金片从A→B, 再把第n个金片从A→C, 然后再把n-1个金片从B→C;

设n (n≥2) 阶汉诺塔的移动需要an次, 所以要把n-1个金片从A→B需要an-1次, 把第n个金片从A→C需要1次, 再把n-1个金片从B→C又需要an-1次, 所以an=2an-1+1,

所以an+1=2 (an-1+1) .

所以{an+1}是以a1+1=2为首项, 公比q=2的等比数列.

所以an+1=2n,

所以an=2n-1.

所以僧侣们需要搬动264-1次才能把金片从A杆全部移到C杆, 这是个非常大的天文数字, 看来, 众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动.

上面神话故事的破解过程告诉我们, 为求出数列的通项公式, 有时需要研究数列的递推关系, 要研究数列的递推关系就必须弄明白构成数列的前一项和后一项的关系式, 所以研究构成数列的前一项和后一项的关系式成为我们解答数列递推关系的关键所在.下面我们介绍近年高考中几个以图象为背景的递推数列通项的求法.

例1 (2010年湖北高考理科卷) 如图2, 在半径为r的圆内作内接正六边形, 再作正六边形的内切圆, 又在此内切圆内作内接正六边形, 如此无限继续下去.设Sn为前n个圆的面积之和, 则

分析:要求Sn, 则必须求解每个圆的面积, 要求每个圆的面积, 则必须求解圆的半径, 所以假设圆On的半径为rn, 研究前后两个圆的半径rn与rn-1的关系, 得到递推关系式, 并利用等比数列的定义求解.

解:记rn为第n个圆On的半径, 则,

所以{rn}是以r1=r为首项, 公比为的等比数列.

【评述】等差、等比数列是数列的基础, 若一个递推的数列问题是一个等差、等比数列的问题, 则可以利用等差、等比数列的有关公式、性质进行求解.

例2 (2010年安徽高考文科卷) 设C1, C2, …, Cn, …是坐标平面上的一列圆, 它们的圆心都在x轴的正半轴上, 且都与直线相切.对每个正整数n, 圆Cn都与圆Cn+1相互外切, 以rn表示Cn的半径, 已知{rn}为递增数列.

(1) 证明:{rn}为等比数列.

(2) 设r1=1, 求数列的前n项和.

分析: (1) 求直线倾斜角的正弦, 设Cn的圆心为 (λn, 0) , 得λn=2rn, 同理得λn+1=2rn+1, 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, 即{rn}中rn+1与rn的关系, 证明{rn}为等比数列.

(2) 利用 (1) 的结论求{rn}的通项公式, 代入数列, 然后用错位相减法求和.

解: (1) 将直线的倾斜角记为θ, 则有,

所以

设Cn的圆心为 (λn, 0) ,

所以λn=2rn.

同理可得λn+1=2rn+1,

从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,

将λn=2rn代入,

解得rn+1=3rn.

所以{rn}为等比数列.

(2) 由于r1=1, q=3,

所以rn=3n-1.

则有Sn=1+2·3-1+3·3-2+…+n·31-n, (1)

(1) - (2) , 得

【评述】对于数列与几何图形相结合的问题, 通常利用几何知识, 并结合图形, 得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系, 然后根据这个递推关系, 结合所求内容变形, 得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题, 若数列的通项公式是由等差与等比数列的积构成的数列时, 通常是利用前n项和Sn乘以公比, 然后错位相减解决.

例3 (2003年高考北京春季卷) 如图4, 在边长为l的等边△ABC中, 圆O1为△ABC的内切圆, 圆O2与圆O1外切, 且与AB、BC相切……圆On+1与圆On外切, 且与AB、BC相切, 如此无限继续下去.记圆On的面积为an (n∈N) .

(1) 证明{an}是等比数列;

(2) 求的值.

分析:要求an就必须找出an与an-1的关系式, 所以假设圆On的半径为rn.

解: (1) 证明:记rn为圆On的半径, 则

故{an}成等比数列.

(2) 又因为

数列的递推公式研究篇4

1改进的递推公式法

应用行列式的性质, 把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式 (如阶、阶等) 的线性关系式, 称这种关系式为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式 (如一阶、二阶) 的值, 便可递推求得所给阶行列式的值, 这种计算行列式的方法称为递推公式法。如下例所示:

解:将Dn按第一列展开, 得

该二阶齐次线性递推式的特征方程是x2=9x-20, 其根为4, 5。即

于是

同理

即

联立两式得

注:运用此方法计算高阶行列式时, 一定要观察该高阶行列式是否具有较低阶的相同结构。如果有, 则可以使用递推公式法计算;如果没有, 则很难找出递推关系式, 从而不能使用此方法。当观察到一个高阶行列式中的低阶相同结构, 并找出一递推关系式时, 不要盲目去代, 一定要看此递推关系式是否可以简化计算, 如果不能, 就要适当地变换原高阶行列式, 找出新的递推公式, 以简化计算。见下例:

例2:计算行列式

解:先将行列式变形, 即

同理

故

定理1一般地, 对于形如Dn=a Dn-1-b Dn-2的递推公式, 考虑二次方程x2-ax+b=0的两个复根α、β, 其中α+β=a, αβ=b, 有

证明:不妨设

将Dn按第一列展开, 得

由 (1) 式知

给 (3) ×α- (2) ×β, 得

则

2) 当α=β时, D2=4α2-α2=3α2, D1=2α, 由 (1) 式知

于是, 由 (5) 得