等效思维

等效思维（精选四篇）

等效思维 篇1

等效思维的实质是在效果相同的情况下, 将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题, 以便突出主要因素, 抓住本质, 找出规律。因此, 应用“等效法”时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素, 以使问题得到简化而便于求解。

在一些重力场、电场或磁场两个场或三个场相复合的问题中, 往往可以简化为只有一个场的问题。而这个场又与学生最为熟悉的运动类型———重力场相类似, 可以将重力场中的相关规律有效地迁移过来。

“等效场”一般有两种模型, 即类平抛运动和类竖直平面内的圆周运动。

一、类平抛运动

我们要分析复合场是那几个场的复合?这几个场有什么特点?当这几个场都是恒力场时, 物体在这几个场所受到的力都是恒力。通过受力分析, 发现这几个力的合力与物体的初速度方向垂直时, 就可以用类平抛的模型。

1.类平抛运动中如何求等效加速度呢?

我们可以先求出合力F, 再根据求出等效场的加速度。

例1. (2011盐城调研试卷) 两块竖直放置的平行金属板A、B, 相距d=1.0 m, 两板间电压为U=2500V, O点与两板距离相等。在O点有一放射源, 释放质量m=2.5×10-3 kg、电荷量q=1.0×10-5 C的带正电微粒。过O点以半径R=0.25 m作一圆, 圆心O′在过O点右下方45°的直线上。P、M、S、N分布在圆周上, O′S与OO′垂直, ∠OO′P=θ, ∠MO′S=∠SO′N=α=30°。不计电荷间的相互作用, 取g=10 m/s2。求:

(1) 初速度为零的微粒运动到平行板的动能;

(2) 初速度v0=2.0 m/s, 方向与x′ox成45°角斜向左上方的微粒打到平行板的时间;

(3) 初速度大小不等, 方向均与xox′成45°角斜向右上方, 经过一段时间通过P点的微粒初速度v0与θ的关系;并确定在穿过圆周MSN段的微粒中, 穿越时的最大动能和最小动能。

解: (1) 带电微粒在电场中受重力和电场力FE=qE=2.5×10-2N G=mg=2.5×10-2N则, 因为FE=G, 所以合力方向与水平方向成45°角斜向右下方。

(2) 带电微粒射出后, 沿+y轴做匀减速运动, 如图所示。

F=ma

因为s1<s, 所以微粒运动一段后, 没有打到左极板又回头运动, 最后打到右极板。

(3) 由于合力F方向与初速度v0方向垂直, 所以从O点到P点微粒做类平抛运动。

可以看出:当θ从0°变化到180°, 微粒穿越圆周时的动能逐渐增大, 因此穿过M点微粒动能最小, 穿过N点微粒动能最大。

最小动能为:

最大动能为:

二、类竖直平面内的圆周运动

1.求等效加速度

物体在恒力场中, 我们可以先求出合力F, 在根据g效=F/m求出等效场的加速度。

2.确定“物理最高点”和“物理最低点”

假设物体在恒定场中能静止, 即处于平衡位置, 则此平衡位置即为“物体最低点”, 与“物理最低点”关于圆心O对称的即为“物理最高点”。

3.物体能过在竖直平面内做完整的圆周运动的条件为:

例2.如图所示, 在匀强电场中一带正电的小球以某一初速度从绝缘斜面上滑下, 并沿与斜面相切的绝缘圆轨道通过最高点.已知斜面倾角为30°, 圆轨道半径为R, 匀强电场水平向右, 场强为E, 小球质量为m, 带电量为, 不计运动中的摩擦阻力, 则小球至少应以多大的初速度滑下?在此情况下, 小球通过轨道最高点的压力多大?

解析:小球的受力如图所示, 从图中可知:

此即为小球沿斜面下滑的最小速度。

设C点的速度为vc, 则

小于球通过最高点C时, 向心力由重力和轨道压力提供, 因而有:

三、类平抛和类竖直上抛的综合运用

例3.如图所示, 与水平面成37°倾斜轨道AB, 其沿直线在C点与半径R=1 m的半圆轨道CD相切, 全部轨道为绝缘材料制成且放在竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场, MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量为m=0.4 kg的带电小球从A点无初速开始沿斜面下滑, 至B点时速度为, 接着沿直线BC (此处无轨道) 运动到达C处进入半圆轨道, 进入时无动能损失, 且刚好到达D点, 从D点飞出时磁场立即消失, 不计空气阻力, g=10 m/s2, cos37°=0.8, 求:

(1) 小球带何种电荷。

(2) 小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点距C点的距离。

(3) 小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功。

解析: (1) 正电荷

(2) 依题意可知小球在BC间做匀速直线运动。

在C点的速度为:

在BC段其受力如图所示, 设重力和电场力合力为F。

F=qvCB

又F=mg/cos37°=5 N

解得:

在D处由牛顿第二定律可得:

将代入上式并化简得:8vD2-7vD-100=0

解得:

小球离开D点后作类平抛运动, 其加速度为:a=F/m

(3) 设CD段摩擦力做功为Wf, 由动能定理可得:

克服摩擦力做功:W克=-Wf解得:W克=27.6 J

说明:本题应用的等效力场的方法, 是一种常用的解决力、电综合题的分析方法, 要求同学熟练掌握。

等效思维 篇2

时较难掌握。本文试图通过简单的图形模式和题型的示例，得出一些规律，有助这类问题的理解。

一、等效平衡的含义

从普通意义讲，对于一个可逆反应只要平衡体系中相同组分具有相同的百分含量，则这些平衡体系互为等效平衡。然而任何平衡体体系都是建立在一定条件（如各物质的物质的量浓度，物质的状态，温度，压强，体积等）之下的，涉及多个比较参数。从高中化学教学上来看，等效平衡通常涉及的有恒定温度、恒定体积的等效平衡和恒定温度、恒定压强的等效平衡。一般不涉及改变温度问题。

二、恒定温度，恒定体积，即温度不变，体积不变的等效平衡问题

1.反应前后气体分子数不相等的可逆反应

例1在一定温度下，把2 mol SO2 和1 mol O2通入一定容积的密闭容积中，发生反应：

2SO2+O22SO3

当反应进行到一定程度时达到平衡状态。维持温度不变，用a 、b、 c分别代表初始加入的SO2、 O2、SO3的物质的量。如果a、b、c取不同的数值，它们必须满足一定的关系，才能保证达平衡时反应混合物中三种气体的百分含量仍和上述平衡完全相同。完成下列问题：

规律：定温、定容下，气体分子数目前后相等的可逆反应。只要换算成对应物的物质的量的比例与原平衡相同则等效。

三、恒定温度、恒定压强的等效平衡

例3在一定温度下，把2体积N2和6体积H2通入一带活塞的体积不变的容器中，活塞一端与大气相通，发生如下反应：N2+3H22NH3，ΔH<0

若反应达平衡后，得混合气体体积为7体积。设a、b、c分别代表N2，H2，NH3的初始加入体积，如果反应达平衡后，混合气体中各物质的体积分数均与上述平衡完全相同，那么：

（1）若a=1，c=2，则b= ，此时反应起始将向 反应方向进行。规定起始向逆向进行，则c的范围 。

（2）在装置中，若控制平衡混合气体为6.5体积，可采取的措施 ，原因 。

解析该题是典型的等温、等压的等效平衡问题，只要按化学计量数换算成与原平衡中告知物质的物质的量的比例相同，则平衡等效。

（1）N2 + 3H2 2NH3

原起始：2 6 0

若 1 b 2

则 1+2×12b+2×32 0

1+2×12b+2×32=26 b=3

因为：6+2-7=1， V（NH3）=1<2的量故逆向移动。

因2体积N2，6体积H2，产生NH3的最大趋于4体积，故1

（2）因6.5<7，而压强不变，只能降温。

规律：定温、定压下的等效平衡问题，只要能换算成告知原平衡中物质的物质的量的比，即比例相同，与原平衡等效。

（收稿日期：2015-01-13）

利用等效思维解决超重失重问题 篇3

等效思维的实质是相互替代,效果相同。等效的结果,不仅可以使非理想模型变为理想模型,使复杂问题变成简单问题,而且可以使感性认识上升到理性认识。

在《超重和失重》教学过程中,运用等效思维分析某些超重和失重问 题,可以使问 题的分析 和解答变 得简捷,而且对知识的灵活运用有很大的帮助。

一、超重和失重的概念

如图1、2所示,当物体具有向上的加速度时,由牛顿第二定律知悬绳 对悬挂物 的拉力或支持面 对被支持 物的支持力满足F-mg=ma,由牛顿第三定律 知物体对 悬绳拉力或对支持面的压力F′=mg+ma,就好比物体的重力增加了ma一样,这种现象称为超重。

同理,当物体具有向下的加速度时,由牛顿第 二定律得mg-F=ma,由牛顿第三定律知物体对悬绳拉力或对支持面的压力F′=mg-ma,如物体重力减轻了ma一样,这种现象称之为失重。当a=g时,物体对悬绳拉力或对支持面压力完全消失,如物体没有重力一样,这种现象称为完全失重。

从以上分析可看出,超重的实质是物体具有向上的加速度,表现为物体对悬绳的拉力或对支持面的压力比重力大。失重的实质是物体具有向下的加速度,表现为物体对悬绳的拉力或对支持面的压力比重力小。因此,当物体处于超重或是失重状态时,与物体向上运动或是向下运动无关,只取决于物体加速度方向是向上或是向下,而处于超重、失重状态下的物体受到的重力并没有变化。

二、利用等效思维解决超重和失重问题

系统中加速度不同的超重和失重问题,我们常用的办法是把某个物 体从系统 中“隔离”出来,作为研究 对象,分析受力情况,依据牛顿第二定律列方程。如 果问题复杂,涉及未知量较多,只“隔离”一个物体不够,还必须“隔离”第二个、第三个物体等。笔者在平时教学实践中发现用隔离法处理超重和失重问题,定量推导比较繁琐,对学生能力要求较高,学生不易掌握。受力分 析和运动过程分析只要有一步错误,就不能得出正确答案。

但是如果在教学中用等效思维法分析系统的超 重和失重问题,则会变繁为简,准确快速得出结论。

1.利用等效思维解决超重和失重问题的基本思路

一是运动等效,即竖直方向的加速运动问题等效为学生熟悉的平衡(静止)问题;二是重力等效。

对于系统而言,如果系统的一部分处于超重或失重状态,其他部分既不处于超重状态,也不处于失重状态,可设系统中处于超重或失重部分的质量为m,在竖直方向上的加速度或加速度分量为a,其余部分的质量为M,则系统竖直方向的运动问题就可以等效为平衡(静止)问题,等效重力G′=Mg+m(g±a),系统处于超重状态时取“+”号,系统处于失重状态时取“-”号。

2.利用等效思维解决超重和失重问题的应用举例

【例1】如图3所示,质量为M的楔形物 块静止在 水平地面上,其斜面的倾角为θ。斜面上有一质量为m的小物块,小物块与斜面之间存在摩擦。用恒力F沿斜面向上拉 小物块,使之以加 速度a匀加速上滑。在小物块运动的过程中,楔形物块始终保持静止。地面对楔形物块的支持力为()。

A.(M+m)g

B.(M+m)g-F

C.(M+m)g+Fsinθ+ma

D.(M + m )g - Fsinθ +masinθ

分析:对系统中 加速度不 同的问题,我们常用隔离法。

对小物块受力分析,如图4,小物块以加速度a匀加速上滑,由牛顿第二定律得:N=mgcosθ

F-f-mgsinθ=ma

联立上式,可得f=F-mgsinθ-ma

对楔形物块 受力分析,如图5,楔形物块静止,有:

很明显,这种定量推 导比较繁 琐。从等效思 维出发,运用超重和失重的观点进行分析,则会变繁为简。

【解答】把楔形物块和小物块看成一个系统,对于系统而言,楔形物块既不处于超重状态,也不处于失重状态。小物块具有斜向上的加速度,处于超重状态。竖直方向上的加速 度分量为asinθ,小物块的 等效重力 为G′m=m(g+asinθ),则系统的等 效重力G′=Mg+m(g+asinθ)。

该题就可等 效为这样 一道题。如图6所示,用与水平面成θ角的恒力F斜向上拉重力为G′=Mg+m(g+asinθ)的物体,物体始终保持静止。地面对物体的支持力为多少?

根据平衡知识,我们很容易得到地面对物体的支持力为N地=Mg+m(g+asinθ)-Fsinθ。

【例2】如图7所示,天平左盘上放着盛水的杯子,杯底用细绳系着 一木质小球,右盘上放着砝码,此时天平处于平衡状态,若细绳断裂,小球加速上升,则在此过 程中,天平平衡状态将发生怎样的变化()。

A.仍然平衡B.右盘上升,左盘下降

C.左盘上升,右盘下降D.无法判断

分析:由于某一物体所处状态的变化而引起系统是否再平衡的问题,若用隔离法对物体进行受力分析,再通过对运动过程的分析,定量推导比较繁琐,加之题目中既有超重又有失重问题,容易得出错误答案。但是从整体思想出发,运用超重和失重的等效思维进行分析,则会变繁为简,快速得出结论。

解答:对于由多物体组成的系统,若系统中 既有加速上升又有 加速下降 的问题,可以等效 为系统整 体的“重心”运动的超重和失重问题。以水、杯子和小球组成的系统为研究对象,小球加速上升,水加速下降,由于小球的密度小于水的密度,系统的“重心”加速下降,系统处于失重状态,对左盘的压力小于系统的重力,对比变化前,左盘上升,右盘下降。

在应用等效思维处理超重和失重问题时,首先要明确是否等效,并找准等效关系;其次要明确两个不同的物理现象或物理过程是在什么条件下、什么范围内、什么意义上具有等效性,这是等效思维的关键所在,离开这一点,等效就失去了意义,应用就会出错。

三、对利用等效思维解决超重和失重问题的反思

高考的宗旨是考查物理的基础知 识、基本技能、基本思想和方法,利用等效思维解决超重和失重问题,是建立在熟练掌握常规方法基础上的。因此在教学过程中,我们应该注意 讲清解决 超重和失 重问题的 常规方法,并通过启发和引导,向学生逐步渗透等效思维方法,这样更有利于学生对超重和失重本质和物理思想的理解。

摘要：等效思维是研究物理问题的重要方法,在高中物理教学中让学生掌握并运用等效思维方法具有重要意义,文章结合例题介绍了等效思维在解决超重和失重问题中的应用。

等效思维 篇4

一般而言,差速行星齿轮机构可以用于合成运动,作为动力合成装置使用,也可以用于分解运动,作差速器使用[1]。本文讨论的动力合成装置是将差动轮系用于合成运动,并用等效力学模型分析其等效转动惯量及其与轮系结构参数的关系。

1 差动轮系的参数关系

差动轮系可用结构简图来表示[2](见图1)。图1中的差动轮系中,a、b、c分别为其中的三个基本构件。差动轮系有两个自由度,可以是一个输入构件两个输出构件,也可以有两个输入构件,一个输出构件。本文讨论后者。其结构简图见图2。

众所周知,差动轮系通过转化机构法[1,2]可以得到以下关系

$i{}_{ab}^c=\frac{\omega {}_a-\omega {}_c}{\omega {}_b-\omega {}_c}$ (1)

式(1)中ωa、ωb、ωc—构件a、b、c 的转速;

i${}_{ab}^c$—差动轮系转化机构的相对传动比。

将式(1)变形,可得到其三个基本构件的转速关系满足

ωa=Kωb+(1-K)ωc (2)

式(2)中K=i${}_{ab}^c$为该机构的结构参数。

2 等效模型

对于机械系统动力学问题的求解有很多方法,如经典的牛顿第二定律,达朗贝尔原理等。用这些方法求解时要列出每一个运动构件的运动微分方程,这样未知数的数目就会增加,求解很复杂。如果运动可以用一个参数来描述,可以用一个等效构件的运动来代替整个系统的运动,那么就能使问题得到简化[3]。将动力合成装置在一定的条件下作等效处理,以输入端动能相等为原则,将输入端构件的转动惯量进行综合;以输入端输入功率相等为原则[4,5],将输入端构件的转矩进行综合,由此就可以分别得出动力合成装置等效输入端综合转动惯量和综合转矩。这些量综合反映了本动力合成装置的输入端的动力学特性,在此基础上可以进一步将等效输入端与输出端进行综合等效,从而得出动力合成装置的综合物理参数。本文重点讨论等效模型的等效转动惯量。

2.1 等效模型的建立

为了研究方便,这里以构件b、c作为输入构件,构件a为输出构件,建立力学模型(见图3) :

图3中:Ma,Mb,Mc,Ja,Jb,Jc,ka,kb,kc—分别是作用在构件a、b、c上的转矩、构件的转动惯量和等效刚度;

Jd,kd,Md,ωd—等效输入端转动惯量、刚度、转矩及转速;

J,k,M—等效输出端转动惯量、刚度、转矩。

2.2 等效模型参数处理

由差动轮系运动学可知,输出的转速是由两个输入转速共同决定的。因此,综合输入端的等效输入转速ωd不仅取决于构件b 的转速ωb,还取决于构件c的转速ωc。假设输入构件对等效转速的影响相同,则之间关系及对ωb,ωc的偏导数为

$\omega {}_d=\omega {}_b+\omega {}_c‚\frac{\partial \omega {}_d}{\partial \omega {}_c}=1‚\frac{\partial \omega {}_d}{\partial \omega {}_b}=1$ (3)

式(3)表明:任一输入构件转速的变化都会影响到综合转速ωd的变化,且变化是线性同步的。

3 等效转动惯量

动力合成装置用于混合动力汽车,可以在三种模式下工作:单独驱动模式、混合驱动模式和充电模式。由于该动力合成装置工作在不同的模式下,因此在本文中对使用符号作如下规定:下标中的数字“1”代表单独驱动模式,“2”代表混合驱动模式,“3” 代表充电模式;“d”表示等效的物理量。

本文将讨论在这三种模式下,动力学模型的等效转动惯量。行星轮的转动惯量作以下处理:若系杆固定不动,则将行星轮的转动惯量平均分配在齿圈及太阳轮上;若系杆转动时,将行星轮的转动惯量固结在基本构件系杆上。

3.1 单独驱动时等效转动惯量

输入端综合等效转动惯量的计算是以等效前后输入端的动能相等为原则,因此有

$\frac{1}{2}J{}_{1cd}\omega {}_d^2=\frac{1}{2}J{}_c\omega {}_c^2+\frac{1}{2}J{}_b\omega {}_b^2$ (4)

式(4)中:J1cd—单独驱动时输入端构件c为动力源时的综合等效转动惯量;

Jb、Jc—输入构件b、c的转动惯量;

单独驱动模式下,双动力源中有一个动力关闭,那么ωb或ωc为零。

假设与构件c连接的动力源驱动,则ωd=ωc,可得:J1cd=Jc。

综合前面几式可得

$J{}_{1c}=J{}_{1cd}\left(\frac{\omega {}_c}{\omega {}_a}\right){}^2+J{}_a$ (5)

由 ωa=Kωb+(1-K)ωc及传动比的定义可知$\frac{\omega {}_c}{\omega {}_a}=i{}_{ca}=\frac{1}{1-{\rm K}}$,因此化简式(5)可得到构件c与动力源连接时的转动惯量为

$J{}_{1c}=\left(\frac{1}{1-{\rm K}}\right){}^{2}J{}_c+J{}_a$ (6)

同理可得到当构件b与动力源连接时的输出端等效转动惯量为

$J{}_{1b}=\frac{1}{{\rm K}{}^2}J{}_b+J{}_a$ (7)

以上两式中,K=i${}_{ab}^c$均为该装置的结构参数。

由式(6)、式(7)可以看出,该装置在一个动力源单独驱动时系统的输出端等效转动惯量与K值有关。

3.2 混合驱动模式下等效转动惯量

混合驱动模式下,双动力源都参与动力输出,即构件b、c都为输入构件。在输入端的综合等效转动惯量为J2d,根据等效前后输入端能量相等的原则可得

$\frac{1}{2}J{}_{2d}\omega {}_d^2=\frac{1}{2}J{}_b\omega {}_b^2+\frac{1}{2}J{}_c\omega {}_c^2$ (8)

式(8)中 J2d—混合驱动模式下输入端综合等效转动惯量。

综合式(1)及式(8)可得

$J{}_{2d}=J{}_b\left(\frac{\omega {}_b}{\omega {}_d}\right){}^2+J{}_c\left(\frac{\omega {}_c}{\omega {}_d}\right){}^2$。化简得到

$J{}_{2d}=J{}_b\left(\frac{i{}_{bc}}{i{}_{bc}+1}\right){}^2+J{}_c\left(\frac{1}{i{}_{bc}+1}\right){}^2$ (9)

式(9)中ibc—两输入构件的速比。

整个系统的等效转动惯量可由式(10)求得

$\frac{1}{2}J{}_2\omega {}_a^2=\frac{1}{2}J{}_{2d}\omega {}_d^2+\frac{1}{2}J{}_a\omega {}_a^2$ (10)

将式(9)代入式(10)中可得

$J{}_2=\left[J{}_b\left(\frac{i{}_{bc}}{i{}_{bc}+1}\right){}^2+J{}_c\left(\frac{1}{i{}_{bc}+1}\right){}^2\right]\left(\frac{\omega {}_d}{\omega {}_a}\right){}^2+J{}_a$ (11)

式(11)中

$\frac{\omega {}_d}{\omega {}_a}=\frac{\omega {}_b+\omega {}_c}{\omega {}_a}=i{}_{ba}+i{}_{ca}$ (12)

将式(2)两边同除ωb、ωc可得

$i{}_{ba}=\frac{i{}_{bc}}{{\rm K}i{}_{bc}+1-{\rm K}}‚i{}_{ca}=\frac{1}{{\rm K}i{}_{bc}+1-{\rm K}}$ (13)

将式(12)、式(13)代入式(10)可得混合驱动模式的等效转动惯量为:

$J{}_2=\left(\frac{i{}_{bc}}{{\rm K}i{}_{bc}+1-{\rm K}}\right){}^{2}J{}_b+\left(\frac{1}{{\rm K}i{}_{bc}+1-{\rm K}}\right){}^{2}J{}_c+J{}_a$ (14)

3.3 充电时的等效转动惯量

混合动力汽车需要紧急充电时可以利用发动机来充电,即充电模式。这时,假设两输入构件转速相反即ibc<0,此时等效转动惯量为输入构件与输出构件之间的等效。

设构件b与发动机相连,则构件c与电动机相连。同前文分析的方法相同可得:J3d1=Jb 则系统的综合等效转动惯量满足

$\frac{1}{2}J{}_{3b}\omega {}_c^2=\frac{1}{2}J{}_{3d1}\omega {}_{d1}^2+\frac{1}{2}J{}_c\omega {}_c^2$。

式中 J3d1—充电模式输入端综合等效转动惯量;

J3b—充电模式输出端等效转动惯量。

化简得

J3b=i${}_{bc}^2$Jb+Jc (15)

同理,当构件b与电动机相连时,构件c与发动机相连,其等效转动惯量为

$J{}_{3c}=\frac{1}{i{}_{bc}^2}J{}_c+J{}_b$ (16)

由于此模式下Kωb=(K-1)ωc,即ωb/ωc=(K-1)/K=ibc,则式(15)、式(16)可改写为

$J{}_{3b}=\left(\frac{{\rm K}-1}{{\rm K}}\right){}^{2}J{}_b+J{}_c$ (17)

$J{}_{3c}=\left(\frac{{\rm K}}{{\rm K}-1}\right){}^{2}J{}_c+J{}_b$ (18)

从式(15)、式(16)可以看出,充电时,其等效转动惯量与两输入轴之间的速比ibc有关。

4 结论

单独驱动模式下系统的输出端等效转动惯量与K值有关。由于K在一定结构中是定值,因此,输出端等效转动惯量在单动力源驱动时也是一个定值。当动力源与构件b相连和与构件c相连时,K值对动力合成装置的输出端等效转动惯量影响是相反的。

混合驱动模式下,动力合成装置输出构件的等效转动惯量与三个基本构件的转动惯量有关。当系统一定时(即K为定值),在等效转动惯量的组成中,构件b、c的转动惯量随输入构件速比ibc的变化而变化。

充电模式下,由于0<K<1,则式(17)中K/(K-1)随着K的减小而增大,因此转动惯量就随K的减小而增大,这时如果从电动机转速及加速大小来衡量充电效果的话,电动机反转的加速性能就变差,而且K越小的机构,与电动机连接的构件c获得的速度也越小,充电效果就越差。

参考文献

[1]薛隆泉.行星式无级变速传动.西安:陕西科学技术出版社,1997:14—19

[2]崔亚辉.功率分汇流行星传动的研究.西安:西安理工大学,1998:7—18

[3]孙桓.机械原理.北京:高等教育出版社,2000

[4]张策.机械动力学.第2版.北京:高等教育出版社,2004