等效质量

2024-07-20

等效质量（精选七篇）

等效质量篇1

式中,k11和δ11分别为结构在质量m处的刚度系数和柔度系数.用式(1)计算时,结构必须符合以下两个条件之一:(1)只有一个集中质量;(2)有多个(或无穷多)质量,但所有质量的动位移均相等.若不满足上述两个条件之一,则不能按照该公式计算自振频率.此时,一般可以用的动静法推导运动微分方程,从而确定自振频率.

本文提出一种基于虚功原理得到的公式,将不符合上述两个条件的结构等效为一个弹簧-质量体系,从而可用上述公式计算自振频率,扩大了其适用范围.本文结果与按照建立运动微分方程得到的结果完全相同.

1 公式推导

不失一般性,设某单自由度结构中,包含s个集中质点,其质量为mi(i=1,2,…,s);n个集中弹性支座,其刚度系数为ki(i=1,2,…,n).另外,在区间[a,b]有分布质量m(x),区间[c,d]有刚度为k(x)的连续分布弹性支承.为方便起见,先不考虑结构中的弹性杆,即:结构为刚体体系.对于弹性杆的影响,放在后面得到的结果中再予以考虑.

对该结构加上集中惯性力和分布惯性力,式中,为质量mi的加速度,ym(x,t)为分布质量m(x)的加速度.设使结构产生虚位移,则根据虚功原理(虚位移原理),作用于该单自由度结构中的力系的虚功总和为零,即

式中,Si=-kiyki(i=1,2,…,n)为集中弹性支座的集中弹性力,S(x,t)=-k(x)yk(x,t)为连续分布弹性支承的分布弹性力,分别表示与集中惯性力Ii=1,2,…,s)和集中弹性力Si对应的虚位移,和分别表示与分布惯性力I(x,t)和分布弹性力S(x,t)对应的虚位移.将惯性力和弹性力表达式代入式(2),可得

任取结构中的某一固定点作为基准点,设其动位移、加速度和虚位移分别为y*(t),和.将式(3)进行如下处理

由于是单自由度结构,结构上各点的位移和加速度成比例,即各点的位移(包括虚位移)比值与加速度比值相等,故式(4)可表示为

式中

若结构中包含不计质量的弹性杆,则需在以上刚度系数中加入弹性杆的贡献,即

式中,ke为弹性杆对基准点位移y*的弹性刚度.

可见,经过上述处理,将原结构转化为如图1所示的等效的质量-弹簧体系.图中,分别为该体系的集中质量和弹簧刚度,其自振频率可按式(1)计算,为

2 算例

图2所示单自由度结构,除ACB,GIH为刚性杆(EI=∞)外,其他杆均为弹性杆(EI=常数);GH段为质量均匀分布的质量杆(m(x)=m*=常数),其他杆均不计质量;B,G和I处为弹性支座,其刚度系数分别为k1,k2和k3,CB段为连续分布弹性支承(其刚度k(x)=k*=常数),试求该结构的自振频率.

解:以质量m3所在的点F为基准点,则

故

该结构的自振频率为

摘要：基于虚功原理,将不符合单自由度杆系结构自振频率计算公式的单自由度结构,转化为一个等效弹簧-质量体系,从而可用该公式计算其自振频率,扩大了公式的适用范围.由于用本文方法计算自振频率,不必建立动平衡方程,所以较为简便.本文结果与按照建立运动微分方程得到的结果完全相同.

关键词：等效弹簧-质量体系,单自由度结构,自振频率,虚功原理

参考文献

[1]龙奴球.结构力学.北京:高等教育出版社,2001

[2]李镰琨.结构力学.北京:高等教育出版社,2004

等效质量篇2

一般而言,差速行星齿轮机构可以用于合成运动,作为动力合成装置使用,也可以用于分解运动,作差速器使用[1]。本文讨论的动力合成装置是将差动轮系用于合成运动,并用等效力学模型分析其等效转动惯量及其与轮系结构参数的关系。

1 差动轮系的参数关系

差动轮系可用结构简图来表示[2](见图1)。图1中的差动轮系中,a、b、c分别为其中的三个基本构件。差动轮系有两个自由度,可以是一个输入构件两个输出构件,也可以有两个输入构件,一个输出构件。本文讨论后者。其结构简图见图2。

众所周知,差动轮系通过转化机构法[1,2]可以得到以下关系

$i_{a b}^{c} = \frac{ω_{a} - ω_{c}}{ω_{b} - ω_{c}}$ (1)

式(1)中ωa、ωb、ωc—构件a、b、c 的转速;

i $_{a b}^{c}$ —差动轮系转化机构的相对传动比。

将式(1)变形,可得到其三个基本构件的转速关系满足

ωa=Kωb+(1-K)ωc (2)

式(2)中K=i $_{a b}^{c}$ 为该机构的结构参数。

2 等效模型

对于机械系统动力学问题的求解有很多方法,如经典的牛顿第二定律,达朗贝尔原理等。用这些方法求解时要列出每一个运动构件的运动微分方程,这样未知数的数目就会增加,求解很复杂。如果运动可以用一个参数来描述,可以用一个等效构件的运动来代替整个系统的运动,那么就能使问题得到简化[3]。将动力合成装置在一定的条件下作等效处理,以输入端动能相等为原则,将输入端构件的转动惯量进行综合;以输入端输入功率相等为原则[4,5],将输入端构件的转矩进行综合,由此就可以分别得出动力合成装置等效输入端综合转动惯量和综合转矩。这些量综合反映了本动力合成装置的输入端的动力学特性,在此基础上可以进一步将等效输入端与输出端进行综合等效,从而得出动力合成装置的综合物理参数。本文重点讨论等效模型的等效转动惯量。

2.1 等效模型的建立

为了研究方便,这里以构件b、c作为输入构件,构件a为输出构件,建立力学模型(见图3) :

图3中:Ma,Mb,Mc,Ja,Jb,Jc,ka,kb,kc—分别是作用在构件a、b、c上的转矩、构件的转动惯量和等效刚度;

Jd,kd,Md,ωd—等效输入端转动惯量、刚度、转矩及转速;

J,k,M—等效输出端转动惯量、刚度、转矩。

2.2 等效模型参数处理

由差动轮系运动学可知,输出的转速是由两个输入转速共同决定的。因此,综合输入端的等效输入转速ωd不仅取决于构件b 的转速ωb,还取决于构件c的转速ωc。假设输入构件对等效转速的影响相同,则之间关系及对ωb,ωc的偏导数为

$ω_{d} = ω_{b} + ω_{c} ‚ \frac{\partial ω_{d}}{\partial ω_{c}} = 1 ‚ \frac{\partial ω_{d}}{\partial ω_{b}} = 1$ (3)

式(3)表明:任一输入构件转速的变化都会影响到综合转速ωd的变化,且变化是线性同步的。

3 等效转动惯量

动力合成装置用于混合动力汽车,可以在三种模式下工作:单独驱动模式、混合驱动模式和充电模式。由于该动力合成装置工作在不同的模式下,因此在本文中对使用符号作如下规定:下标中的数字“1”代表单独驱动模式,“2”代表混合驱动模式,“3” 代表充电模式;“d”表示等效的物理量。

本文将讨论在这三种模式下,动力学模型的等效转动惯量。行星轮的转动惯量作以下处理:若系杆固定不动,则将行星轮的转动惯量平均分配在齿圈及太阳轮上;若系杆转动时,将行星轮的转动惯量固结在基本构件系杆上。

3.1 单独驱动时等效转动惯量

输入端综合等效转动惯量的计算是以等效前后输入端的动能相等为原则,因此有

$\frac{1}{2} J_{1 c d} ω_{d}^{2} = \frac{1}{2} J_{c} ω_{c}^{2} + \frac{1}{2} J_{b} ω_{b}^{2}$ (4)

式(4)中:J1cd—单独驱动时输入端构件c为动力源时的综合等效转动惯量;

Jb、Jc—输入构件b、c的转动惯量;

单独驱动模式下,双动力源中有一个动力关闭,那么ωb或ωc为零。

假设与构件c连接的动力源驱动,则ωd=ωc,可得:J1cd=Jc。

综合前面几式可得

$J_{1 c} = J_{1 c d} (\frac{ω_{c}}{ω_{a}})^{2} + J_{a}$ (5)

由 ωa=Kωb+(1-K)ωc及传动比的定义可知 $\frac{ω_{c}}{ω_{a}} = i_{c a} = \frac{1}{1 - Κ}$ ,因此化简式(5)可得到构件c与动力源连接时的转动惯量为

$J_{1 c} = (\frac{1}{1 - Κ})^{2} J_{c} + J_{a}$ (6)

同理可得到当构件b与动力源连接时的输出端等效转动惯量为

$J_{1 b} = \frac{1}{Κ^{2}} J_{b} + J_{a}$ (7)

以上两式中,K=i $_{a b}^{c}$ 均为该装置的结构参数。

由式(6)、式(7)可以看出,该装置在一个动力源单独驱动时系统的输出端等效转动惯量与K值有关。

3.2 混合驱动模式下等效转动惯量

混合驱动模式下,双动力源都参与动力输出,即构件b、c都为输入构件。在输入端的综合等效转动惯量为J2d,根据等效前后输入端能量相等的原则可得

$\frac{1}{2} J_{2 d} ω_{d}^{2} = \frac{1}{2} J_{b} ω_{b}^{2} + \frac{1}{2} J_{c} ω_{c}^{2}$ (8)

式(8)中 J2d—混合驱动模式下输入端综合等效转动惯量。

综合式(1)及式(8)可得

$J_{2 d} = J_{b} (\frac{ω_{b}}{ω_{d}})^{2} + J_{c} (\frac{ω_{c}}{ω_{d}})^{2}$ 。化简得到

$J_{2 d} = J_{b} (\frac{i_{b c}}{i_{b c} + 1})^{2} + J_{c} (\frac{1}{i_{b c} + 1})^{2}$ (9)

式(9)中ibc—两输入构件的速比。

整个系统的等效转动惯量可由式(10)求得

$\frac{1}{2} J_{2} ω_{a}^{2} = \frac{1}{2} J_{2 d} ω_{d}^{2} + \frac{1}{2} J_{a} ω_{a}^{2}$ (10)

将式(9)代入式(10)中可得

$J_{2} = [J_{b} (\frac{i_{b c}}{i_{b c} + 1})^{2} + J_{c} (\frac{1}{i_{b c} + 1})^{2}] (\frac{ω_{d}}{ω_{a}})^{2} + J_{a}$ (11)

式(11)中

$\frac{ω_{d}}{ω_{a}} = \frac{ω_{b} + ω_{c}}{ω_{a}} = i_{b a} + i_{c a}$ (12)

将式(2)两边同除ωb、ωc可得

$i_{b a} = \frac{i_{b c}}{Κ i_{b c} + 1 - Κ} ‚ i_{c a} = \frac{1}{Κ i_{b c} + 1 - Κ}$ (13)

将式(12)、式(13)代入式(10)可得混合驱动模式的等效转动惯量为:

$J_{2} = (\frac{i_{b c}}{Κ i_{b c} + 1 - Κ})^{2} J_{b} + (\frac{1}{Κ i_{b c} + 1 - Κ})^{2} J_{c} + J_{a}$ (14)

3.3 充电时的等效转动惯量

混合动力汽车需要紧急充电时可以利用发动机来充电,即充电模式。这时,假设两输入构件转速相反即ibc<0,此时等效转动惯量为输入构件与输出构件之间的等效。

设构件b与发动机相连,则构件c与电动机相连。同前文分析的方法相同可得:J3d1=Jb 则系统的综合等效转动惯量满足

$\frac{1}{2} J_{3 b} ω_{c}^{2} = \frac{1}{2} J_{3 d 1} ω_{d 1}^{2} + \frac{1}{2} J_{c} ω_{c}^{2}$ 。

式中 J3d1—充电模式输入端综合等效转动惯量;

J3b—充电模式输出端等效转动惯量。

化简得

J3b=i $_{b c}^{2}$ Jb+Jc (15)

同理,当构件b与电动机相连时,构件c与发动机相连,其等效转动惯量为

$J_{3 c} = \frac{1}{i_{b c}^{2}} J_{c} + J_{b}$ (16)

由于此模式下Kωb=(K-1)ωc,即ωb/ωc=(K-1)/K=ibc,则式(15)、式(16)可改写为

$J_{3 b} = (\frac{Κ - 1}{Κ})^{2} J_{b} + J_{c}$ (17)

$J_{3 c} = (\frac{Κ}{Κ - 1})^{2} J_{c} + J_{b}$ (18)

从式(15)、式(16)可以看出,充电时,其等效转动惯量与两输入轴之间的速比ibc有关。

4 结论

单独驱动模式下系统的输出端等效转动惯量与K值有关。由于K在一定结构中是定值,因此,输出端等效转动惯量在单动力源驱动时也是一个定值。当动力源与构件b相连和与构件c相连时,K值对动力合成装置的输出端等效转动惯量影响是相反的。

混合驱动模式下,动力合成装置输出构件的等效转动惯量与三个基本构件的转动惯量有关。当系统一定时(即K为定值),在等效转动惯量的组成中,构件b、c的转动惯量随输入构件速比ibc的变化而变化。

充电模式下,由于0<K<1,则式(17)中K/(K-1)随着K的减小而增大,因此转动惯量就随K的减小而增大,这时如果从电动机转速及加速大小来衡量充电效果的话,电动机反转的加速性能就变差,而且K越小的机构,与电动机连接的构件c获得的速度也越小,充电效果就越差。

参考文献

[1]薛隆泉.行星式无级变速传动.西安:陕西科学技术出版社,1997:14—19

[2]崔亚辉.功率分汇流行星传动的研究.西安:西安理工大学,1998:7—18

[3]孙桓.机械原理.北京:高等教育出版社,2000

[4]张策.机械动力学.第2版.北京:高等教育出版社,2004

点击等效平衡问题篇3

一、判断平衡移动的方向

例1 (2003全国卷) :某温度下, 在一容积可变的容器中, 反应2A (g) +B (g) 葑2C (g) 达到平衡时, A、B和C的物质的量分别为4mol、2mol和4mol。保持温度和压强不变, 对平衡混合物中三者的物质的量做如下调整, 可使平衡右移的是

A.均减半B.均加倍

C.均增加1mol D.均减少1mol

解析:本题考查了等效平衡问题。在等温等压条件下, 把加入的物质按照反应方程式中计量数转化为反应物或生成物, 物质的量之比保持一致即为等效平衡。选项A、B中三者比例为2:1:2, 与题中比例一致, 为等效平衡, 平衡不移动。C可设想为两步加入, 第一次加入1mol A、0.5mol B、1mol C, 此时平衡不移动, 第二次再加0.5mol B (此法与一次性各加入1mol等效) , 提高反应物浓度, 平衡向右移动。D中均减少1mol, 也可设想为两步进行, 先将A减少1mol, B减少0.5mol, C减少1mol, 此时平衡不移动, 再将B减少0.5mol, 降低反应物浓度, 平衡向左移动。故选C。

二、确定方程式中的系数

例2:有可逆反应:2A (g) +3B (g) 葑x C (g) +4D (g) , 若按下列两组配比:

分别放在容积不变的同一密闭容器中, 在一定温度下反应达平衡后, C的质量分数相等, 则方程式中的x为:

解析: (1) 若为量等同平衡, 则x≠1, 除用“一边推”各组分的量分别相等求x外, 还可将 (1) 看作是 (2) 正向反应进行的结果, 故: (1.2mol-0.6mol) : (2.4mol-1.2mol) =x:4, x=2。 (2) 若为量分数等同平衡, 则x=1, “一边推”后两种配比的投料比应相同, 而 (1) 正推后投料比n (C) :n (D) =1.6:4; (2) 正推后投料比n (C) :n (D) =1.3:4;故不可能。因此选B。

三、考查逆向建立平衡

例3:在密闭容器中, 对于反应:2SO2 (g) +O2 (g) 2SO3 (g) , SO2和O2起始时分别为20mol和10mol;达平衡时, SO2的转化率为80%。若从SO3开始进行反应, 在相同的温度下, 欲使平衡时各成分的百分含量与前者相同, 则起始时SO3的物质的量及其转化率为

A.10mol和10%B.20mol和20%

C.20mol和40%D.20mol和80%

解析:按题意“若从SO3开始进行反应, 在相同的温度下, 欲使平衡时各成分的百分含量与前者相同”, 建立相同的平衡, 需SO3的物质的量为20mol, 原平衡中SO2的转化率为80%, 达到平衡时SO3的物质的量应为16mol, 可知, 从SO3开始建立与之相同的平衡, 达平衡时SO3的物质的量亦为16mol, 故SO3的转化率为。故选B。

四、比较转化率

例4 (1998年全国卷) :体积相同的甲、乙两个容器中, 分别都充有等物质的量的SO2和O2, 在相同温度下发生反应:2SO2+O2葑2SO3, 并达到平衡。在这过程中, 甲容器保持体积不变, 乙容器保持压强不变, 若甲容器中SO2的转化率为p%, 则乙容器中SO2的转化率 ()

解析:利用平衡中的等效转化分析法, 将两平衡态先相联系, 再依据平衡移动原理相互转化, 便能快速方便地获得结果。设乙容器压强保持1.01×105Pa, 因甲容器中体积保持不变, 2SO2+O2葑2SO3的正反应是个气体体积缩小的反应, 达到平衡时, 混合气体的总压强小于1.01×105Pa。又减小压强, 平衡向逆反应方向移动, 则甲容器中SO2转化率低, 乙容器中 (定压) SO2的转化率高。故选B。

摘要：本文针对等效平衡这个知识点, 从问题的求解角度进行全新诠释, 将等效平衡的应用进行分类解释。

运用等效电源巧解题篇4

一个电源如果不计内阻或内阻r为零, 我们可认为这个电源为理想电源, 实际上任何电源都有一定的内阻r, 故一个实际电源 (电动势为E、内阻为r) 可等效为一个理想电源E与一个电阻r的串联, 那么这个理想电源E和内阻r串联所组成的电源叫做这个实际电源的等效电压源.

等效电压源定理内容是:两端有源网络可等效为一个电压源, 其电动势等于网络的开路电压, 内阻等于从网络两端看除去电源电动势以外网络的总电阻.如图1所示, 两端有源网络与电阻串联, 网络可视为一个电压源, 等效电压源的电动势等于a、b两点开路时端电压;等效内阻等于有源网络中除去电源电动势的总电阻.利用等效电压源定理求解某些电路问题显得非常简捷.

一、利用等效电压源巧求实验误差

用伏安法测电源的电动势和内电阻可以有两种连接方式, 如图2甲和图2乙所示电路.根据闭合电路欧姆定律, 由两次测量列方程为:

E测=U1+I1r测, E测=U2+I2r测

解得:E测 $= \frac{Ι_{2} U_{1} - Ι_{1} U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}} ‚ r$ 测 $= \frac{U_{1} - U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}}$

若考虑电流表和电压表的内阻, 对图2 (甲) 电路应用闭合电路欧姆定律有:

$E = U_{1} + (Ι_{1} + \frac{U_{1}}{R_{V}}) r, E = U_{2} + (Ι_{2} + \frac{U_{2}}{R_{V}}) r$ , 式中E, r为电源电动势和内阻.

解得: $E = \frac{Ι_{2} U_{1} - Ι_{1} U_{2}}{(Ι_{2} - Ι_{1}) - \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{V}}} > E$ 测,

$r = \frac{U_{1} - U_{2}}{(Ι_{2} - Ι_{1}) - \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{V}}} > r$ 测.

对图2 (乙) 电路应用闭合电路欧姆定律有;

E=U1+I1r+I1RA,

E=U2+I2r+I2RA

解得 $E = \frac{Ι_{2} U_{1} - Ι_{1} U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}} = E$ 测,

$r = \frac{U_{1} - U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}} - R_{A} < r$ 测

从以上分析可以看出:选用图2 (甲) 所示电路测得的电动势和内阻均偏小, 但由于电压表的内阻一般较大, 所以误差较小.而选用图2 (乙) 所示的电路测得电动势是准确的, 而测得电源内阻的绝对误差等于电流表的内阻RA, 而电池的内阻一般与电流表内阻很接近, 测得内阻的误差很大.因此要同时测量电源的电动势和内阻时, 应选用图2 (甲) 所示的电路进行测量;如果只要求测量电源的电动势, 应选用图2 (乙) 所示电路进行测量较精确.

以上分析较复杂, 但若用等效电压源分析实验系统误差非常简捷.

将图2 (甲) 等效为图3 (甲) 所示电路, 其中, $E^{'} = \frac{R_{V} E}{r + R_{V}}, r^{'} = \frac{R_{V} r}{r + R_{V}}$ , 所以测得的值实际上是E′和r′.

将图2 (乙) 等效为图3 (乙) 所示电路, 其中, E″=E, r″=r+RA, 所以测得的值实际上是E″和r″.

二、利用等效电压源巧求最大功率

如图4所示的简单电路, 电源电动势为E, 内阻为r, 负载电阻为R.根据全电路欧姆定律.电阻R上获得的功率为:

$Ρ = Ι^{2} R = (\frac{E}{R + r})^{2} R$

对上式做简单变换, 得 $Ρ = \frac{E^{2}}{\frac{(R - r)^{2}}{R} + 4 r}$

可以看出, 当R=r时, 负载电阻R上的功率P有极大值, 即负载总电阻与电源内阻相等时, 负载上可获得最大功率, 最大功率为:

$Ρ_{\max} = \frac{E^{2}}{4 r} = \frac{E^{2}}{4 R}$

如果我们讨论的不是总负载上的功率, 而是支路负载上的最大功率, 或者说, 对于混联电路, 如何求出某个支路的电阻值变化时能获得最大的功率?这时极值的求得往往很麻烦.通过等效电压源的原理来分析支路负载电阻上的功率, 可使问题大为简化.

例1 如图5所示, 电源电动势为E, 内阻为r, 负载为电阻R1和R2并联.R1为可变电阻, R2为固定电阻.求负载电阻R1多大时获得的功率最大?最大值是多少?

解析:将固定电阻R2和电源看成一个电压源, 等效电压源的电动势为将负载R1两端开路时的端电压U, 即: $E^{'} = U = \frac{R_{2} E}{r + R_{2}} .$

等效电压源内阻为R2与r的并联, 即

$r^{'} = \frac{r R_{2}}{R_{2} + r}$ , 如图6所示.

故当R1=r′时, 即 $R_{3} = \frac{r R_{2}}{r + R_{2}}$ 时, 负载电阻R1获得的功率最大, 最大值为: $Ρ_{\max} = \frac{E^{'}^{2}}{4 r^{'}} = \frac{E^{2} R_{2}}{4 r (r + R_{2})}$

例2 如图7所示, 电源电动势为E, 内阻为r, R1、R2为固定电阻, R3为可变负载电阻.问R3为何值时能获得最大功率?最大功率是多大?

解析:将电阻R1、R2和电源看成一个电压源, 等效电压源的电动势为R3两端电压U, 即 $E^{'} = U = \frac{R_{2} E}{r + R_{1} + R_{2}}$

等效电压源内阻为R1与r串联后再与R2的并联, 即 $r^{'} = \frac{(r + R_{1}) R_{2}}{r + R_{1} + R_{2}}$ , 如图8所示.

故当R3=r′时, 即 $R_{1} = \frac{(r + R_{1}) R_{2}}{r + R_{1} + R_{2}}$ 时, 负载电阻R3获得的功率最大, 最大值为:

$Ρ_{\max} = \frac{E^{2} R_{2}}{4 (r + R_{1}) (r + R_{1} + R_{2})} .$

三、利用等效电压源巧解设计性实验

例3 测量电源B的电动势E及内阻r (E约为4.5 V, r约为1.5 Ω) .

器材:量程3 V的理想电压表○V , 量程0.5 A的电流表○A (具有一定内阻) , 固定电阻R=4 Ω, 滑动变阻器R′, 电键K, 导线若干.

(1) 画出实验电路原理图.图中各元件需用题目中给出的符号或字母标出.

(2) 实验中, 当电流表读数为I1时, 电压表读数为U1;当电流表读数为I2时, 电压表读数为U2.则可以求出E=__, r=__. (用I1, I2, U1, U2及R表示)

解析: (1) 由于电源的电动势较大, 如果按照教材的方法设计电路, 将会使电路的电压超出电压表的量程, 从而不能完成实验.但可以在电路中串联定值电阻R, 这等效于将电源内阻增大, 如图9所示.

(2) 应用闭合电路欧姆定律有:

E=U1+I1r+I1R,

E=U2+I2r+I2R

解得 $E = \frac{Ι_{2} U_{1} - Ι_{1} U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}}, r = \frac{U_{1} - U_{2}}{Ι_{2} - Ι_{1}} - R .$

等效平衡的判断与应用篇5

化学平衡状态与条件息息相关, 而与建立平衡的途径无关。对于同一可逆反应, 当外界条件一定时, 该反应无论从正反应开始, 还是从逆反应开始, 或是正逆反应同时进行, 只要达到平衡时条件保持不变, 加入物质的量满足一定的配比, 则可达到同一平衡状态, 称为“等效平衡”, 此时平衡混合物中各物质的质量分数相等。

等效平衡中有一类特殊的平衡, 不仅任一相同组分的质量分数均相等, 而且其物质的量均相等, 这类平衡又称为等同平衡。

二、判断等效平衡的方法———极端转化法

(1) m+n≠p+q, 反应前后气体分子数发生改变

恒温恒容时, 终极端转化后, 一侧物质的物质的量浓度与原平衡相同, 两平衡等效。

恒温恒压时, 终极端转化后, 一侧物质的物质的量浓度的比值与原平衡相同, 两平衡等效。

(2) m+n=p+q, 反应前后气体分子数不变

无论是恒温恒容还是恒温恒压, 只要终极端转化后, 一侧物质的物质的量浓度的比值与原平衡相同, 两平衡等效。

三、等效平衡的应用

(一) 条件的相互推断

【例1】某温度下, 向某密闭容器中加入1molN2和3molH2, 使之反应合成, 平衡后测得NH3的体积分数为φ (NH3) 。若T不变, 只改变起始加入量, 使反应平衡后NH3的体积分数仍为φ (NH3) 。若N2、H2、NH3的加入量用X、Y、Z表示应满足:

1.T、V恒定时

(1) 若X=0, Y=0, 则Z=。

(2) 若X=0.75, Y=, Z=。

(3) X、Y、Z应该满足的一般条件的表达式为。

2.T、P恒定时

(1) 若X=0, Y=0, 则Z=。

(2) 若X=0.75, 则Y=, Z=。

(3) X、Y、Z应满足的一般条件是。

解析:1.T、V恒定时

(1) 若X=0, Y=0时, 将1mol N2和3mol H2全部折算为NH3时应为2mol, 故此时的Z=2mol。

(2) 若X=0.75mol时, 由化学计量数可知Y=3 X=3×0.75mol=2.25mol, 把0.75mol N2和2.25mol H2全部折算为NH3时应为1.5mol, 所以Z=2-1.5=0.5mol。

(3) 依化学方程式得Zmol NH3全部折算为N2和H2时, 其物质的量分别为Z/2mol和3Z/2mol, 则X、Y、Z满足的条件为Y=3 X, X+Z/2=1, Y+3Z/2=3。

2.T、P恒定时

(1) 若X=0, Y=0, 由等温等压下等效平衡建立的条件可知, Z值应为大于零的任意数, 即Z>0。

(2) 若X=0.75mol时, 由化学计量数可知Y=3 X=3×0.75=2.25mol, Z的取值应大于或等于零, 即Z≥0。

(3) X、Y、Z应满足的条件为Z≥0, Y=3 X (其中X、Y不为0时, Z才取0) 。

(二) 确定平衡的移动方向

【例2】某温度下, 在一容积可变的容器中, 反应2A (g) +B (g) 幑幐2C (g) 达到平衡时, A、B和C的物质的量分别为4mol、2mol、4mol。保持温度和压强不变, 对平衡混合物中三者物质的量作如下调整, 可使平衡右移的是 () 。

A.均减半B.均加倍C.均增加1mol D.均减少1mol

解析:选项A、B中三者比例与原平衡比例相同, 为等效平衡, 平衡不移动。C可设想为两步加入, 第一步加入1mol A、0.5mol B、1mol C此时平衡不移动, 第二步加入0.5mol B, 平衡向右移动。D可设想为:第一步减少1mol A、0.5mol B、1mol C, 此时平衡不移动, 第二步再减少0.5mol B平衡向左移动, 答案为C。

(三) 判断平衡时的转化率变化

【例3】t℃时, 在一密闭容器中充入2mol A和3mol B, 发生如下化学反应:aA (g) +B (g) 幑幐C (g) +D (g) , 平衡后测知各物质浓度有如下关系:{c (A) }a×c (B) =c (B) ×c (D) , 然后在温度不变的情况下, 扩大容器容积至原来10倍, 结果A的百分含量始终不变, 则这时B的转化率是 () 。

A.60%B.40%C.4%D.无法确定

化学等效平衡思想的生成篇6

依托教材生成丰富的教学资源在这里就显得尤为重要。教师不仅要使用教材, 更需根据课程标准和考试说明将教材内容进行整合、创生与开发, 这样有助于每一个学生进行有效的学习和共同发展。

一、教材中认识等效平衡

教材中有这样一些内容可提炼出等效平衡的思想, 例如, 某温度下, 在10L真空容器中发生反应

将1molI2 (g) 和1molH2 (g) 通入密闭容器中, 可逆反应达到平衡后, 体系中有0.2molI2 (g) , 求该温度下此反应的平衡常数。

随后可继续让学生思考以下两个问题:

1.各取2molI2 (g) 和2molH2 (g) , 相同的条件进行反应, 当达到化学平衡时, 反应体系的混合物里I2 (g) 、H2 (g) 、HI (g) 物质的量各为多少?

2.如果反应是从生成物开始反应, 在相同条件下加入2molHI (g) , 达到化学平衡时, 反应体系的混合物里I2 (g) 、H2 (g) 、HI (g) 物质的量又各是多少?

第1问先用“三段式”找出平衡时各组分的物质的量关系, 再用温度不变时, 平衡常数和题设条件计算出的平衡常数相等, 即K1=K已知, 很容易计算出达到平衡时体系中各组分物质的量为题设条件的二倍。

同理, 第2问利用“三段式”和平衡常数的倒数关系, 即K2=1/K已知也很容易解决, 细心的同学还可发现平衡时体系中各组分物质的量和题设条件完全相同。

学生解决这两个问题后, 教学指导意见要求的基本教学任务已经完成, 但是为了分解今后教学中的难点, 借助此问题的解析, 教师可引导学生“小题大做”, 指导学生进入等效平衡思想的学习。

二、合作中生成等效平衡的概念

从上面例题出发, 继续引导小组合作探究上述三种情况下体系中各组分的含量 (物质的量分数、体积分数、质量分数) , 通过计算, 学生会惊奇的发现, 同种物质在三种平衡体系中物质的量可以不相等, 但各组分的含量却相等。由此得到感性认识:同一个可逆反应, 在一定的外界条件下, 平衡和反应过程无关 (反应无论从正反应方向开始, 还是从逆反应方向开始都可) , 只要反应物 (或生成物) 的物质的量的极值符合一定的条件, 达到平衡时, 各组成成分的含量相同, 这样的化学平衡称等效平衡。所以引出等效平衡的概念为:同一可逆反应, 一定条件下, 改变起始时反应物或生成物物质的量或物质的量浓度, 达到平衡时, 混合物中各组分的含量 (体积分数、物质的量分数、质量分数) 相同, 这样的平衡称等效平衡。

三、探究中提炼等效平衡的条件

是不是满足反应物 (或生成物) 的物质的量的极值成比例或相等就一定是等效平衡呢?利用教材P45表格数据, 学生可直观得到答案:不是。等效平衡的形成是有条件的, 再引导学生重审等效平衡例题的解析过程, 不难发现:等效平衡产生的根本原因与平衡常数有对应的关联。等效平衡是根据平衡常数计算得来的一类特殊的化学平衡, 同一个可逆反应只有当温度不变时, 平衡常数K值才会有关联。因此, 等效平衡只能在等温条件下进行讨论, 即外界条件只能有两种情况: (1) 等温等容 (压强随气体物质的量的变化而变化) , (2) 等温等压 (体积随气体物质的量的变化而变化) 。

1.等温等压条件

任一可逆反应:mA (g) +nB (g) 葑pC (g) +qD (g) , 在等温等压条件下, 气体的体积与气体的物质的量成正比, 当投料方式成比例改变时, 容器的体积也会以相同的比例发生变化, 我们可将容器虚拟构建成体积完全相同的几部分 (如下图所示) , 容器I与容器Ⅱ虚拟构建的几部分是完全等同的可逆反应。因此, 当投料方式成比例改变时, 容器体积也会随之以相同比例发生变化, 整个体系各组分的浓度没有发生变化, 平衡在整个过程中不会发生移动, 因此反应物的转化率没有改变, 即:各反应物会以相同比例的物质的量进行转化, 生成物的物质的量也会以相同比例改变, 但各组分的含量不会发生变化, 构成等效平衡。

2.等温等容条件

等温等容条件下, 体系的压强会随物质的量的变化而变化, 有的可逆反应平衡状态不会随压强改变发生移动, 而有的化学平衡却会随压强改变发生移动。因此, 等温等容条件下, 就要分两种情况来探究等效平衡。

像H2 (g) +I2 (g) 葑2HI (g) 这类前后气体系数和相等的可逆反应, 以不同方式投料, 运用极限转换法转换后, 各物质的物质的量成比例改变时, 各组分的浓度会以相同的比例改变, 反应速率也会随之改变, 但正、逆反应速率改变的程度相等, 平衡不发生移动, 反应物的转化率也不会改变, 达到平衡时, 各组分的物质的量浓度会同比例改变, 但是各组分的含量不变, 形成等效平衡。

像2A (g) +B (g) 葑3c (g) +D (g) 这类前后气体系数和不相等的可逆反应, 运用极限转换法转换后, 若起始时加入物质的物质的量比值相等, 各组分的浓度会同比例的改变, 反应速率也会随之改变, 但正逆反应速率改变的程度不相等, 平衡移动导致平衡时各组分的物质的量浓度不会同比例改变, 此时不是等效平衡。这种情况, 只有当运用极限转换法, 起始加入物质的物质的量完全相同时, 才能够成等效平衡。

3.等效平衡的理解

(1) 等效平衡只与外界条件和始态有关, 而与途径无关。外界条件相同时, 无论反应从正、逆反应哪一方向开始, 无论是将反应物一次性投入还是分次投入, 只要起始量按上述条件加入, 就可达到等效平衡状态。

(2) “等效平衡”不同于“完全相同的平衡状态”。“完全相同的平衡状态”是指在达到平衡状态时, 任何组分的含量对应相等, 并且反应的速率相同, 各组分的物质的量浓度相同。“等效平衡”只需平衡混合物中各组分的含量对应相同, 反应的速率、各组分的物质的量、浓度等可以不同。

(3) 虽是等效平衡, 但转化率与起始量有关, 反应热与参加反应的量有关, 故它们可以不同。

四、题目重组中运用等效平衡

概念的理解不能只靠理论讲解, 要以疑设题、以练帮思、以练释疑, 将大量试题进行归类改编, 用精炼的题目解惑等效平衡的难点是非常有必要的。

以反应N2O4 (g) 葑2NO2 (g) , H=akJ/mol为例。

题目1.若在恒温恒压下, 向甲、乙两体积可变的容器中, 分别充入甲:lmolN2O4 (g) ;乙:2molN2O4 (g) 当达到平衡后, 试比较:

(1) 甲、乙两个容器中放出的热量与a的关系; (2) 甲、乙两个容器中N2O4的转化率的大小关系; (3) 甲、乙两个容器中平衡常数的大小关系; (4) 甲、乙两个平衡体系中反应速率的大小关系; (5) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的浓度的大小关系; (6) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的物质的量的大小关系; (7) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的体积百分含量的大小关系。

题目2.恒温恒容下, 向甲、乙两个容积相等的密闭容器中, 分别充入甲:lmolN2O4 (g) ;乙:2molN2O4 (g) 当达到平衡后, 试比较:

(1) 甲、乙两个容器中放出的热量与a的关系; (2) 甲、乙两个容器中N2O4的转化率的关系; (3) 甲、乙两个容器中平衡常数的大小关系; (4) 甲、乙两个平衡体系中反应速率的大小关系; (5) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的浓度的大小关系; (6) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的物质的量的大小关系; (7) 甲、乙两个容器中NO2、N2O4的体积百分含量的大小关系。

新课程理念下, 教材不是唯一的教学资源, 教师可根据课程标准和考试说明对教材内容进行整合, 调整教学思路, 从教材中生成新的教学资源, 更好地服务于教学。

参考文献

[1]王祖浩.化学反应原理 (苏教版) .南京:江苏教育出版社, 2008.

浅析高考等效平衡问题的复习篇7

等效平衡问题是指利用等效平衡 (相同平衡或相似平衡) 来进行的有关判断和计算问题，即利用与某一平衡状态等效的过渡平衡状态 (相同平衡) 进行有关问题的分析、判断，或利用相似平衡的相似原理进行有关量的计算。所以等效平衡也是一种思维分析方式和解题方法。这种方法往往用在相似平衡的计算中。建立相同平衡或相似平衡与外界条件有关，一是恒温恒容，一是恒温恒压[1]。

1. 在恒温、恒容下，只要能使各物质的初始物质的量分别相等，就可以建立相同平衡。

两个平衡的所有对应平衡量 (包括正逆反应速率、各组分的物质的量分数、物质的量浓度、气体体积分数、质量分数等) 完全相等。只要能使各物质初始物质的量之比相等就可以建立相似平衡。即两平衡的关系是相等关系。两平衡中各组分的物质的量分数、气体体积分数、质量分数、各反应物的转化率等对应相等；而两平衡中的正逆反应速率、各组分平衡时的物质的量及物质的量浓度等对应成比例。

2. 在恒温、恒压下，只要使各物质初始浓度相等即可建立相似平衡。

即两平衡的关系是相似关系。两平衡中各组分平衡时的物质的量浓度、物质的量分数、气体体积分数、质量分数、各反应物的转化率等对应相等；每个平衡中，正、逆反应速率彼此相等；两平衡中正与正，反与反速率各自对应成比例；而两平衡中各组分平衡时的物质的量等对应成比例。

二、等效平衡应当注意的问题

1. 平衡等效，转化率不一定相同

若是从不同方向建立的等效平衡，物质的转化率一定不同。如在某温度下的密闭定容容器中发生反应2M (g) +N (g) =2E (g) ，若起始时充入2molE，达到平衡时气体的压强比起始时增大了20%，则E的转化率是40%；若开始时充入2molM和1molN，达到平衡后，M的转化率是60%。

若是从一个方向建立的等效平衡，物质的转化率相同。如恒温恒压容器中发生反应2E (g) =2M (g) +N (g) ，若起始时充入2molE，达到平衡时M的物质的量为0.8mol，则E的转化率是40%；若开始时充入4molE，达到平衡后M的物质的量为1.6mol，则E的转化率仍为40%。

2. 平衡等效，各组分的物质的量不一定相同

原料一边倒后，对应量与起始量相等的等效平衡，平衡时各组分的物质的量相等。

原料一边倒后，对应量与起始量比不相等 (不等于1) 的等效平衡，平衡时各组分的物质的量不相等，但各组分的物质的量分数相等。

三、解决方法和实例

1. 等效平衡的判断方法可用“一边倒”法，即将生成物的量完全转化为反应物的量，此时反应的总量应与建立已知平衡的量相同。

像本例的情况也可用原子守恒法，即所有的元素的原子数必须与已知状态相同。

2. 在恒温恒压下，对于同一可逆反应，两初始状态按化学计算数换算成方程式左右两边中同一边物质，若物质的量之比相同，则达到平衡后，两平衡为等效平衡。

（这类等效平衡可形象地理解为整体与局部的关系。即在恒温恒压下，当两初始状态符合局部与整体的关系时，那么相对应的平衡状态也就符合局部与整体的关系）[2]。

3. 实例讲解

(1) 互为等效平衡的常规判断

例1将2.0 mol SO2气体和2.0 mol SO3气体混合于固定体积的密闭容器中，在一定条件下发生反应：2SO2 (g) +O2 (g) 2SO3 (g) ，达到平衡时SO3为n mol。在相同温度下，分别按下列配比在相同密闭容器中放入起始物质，平衡时SO3等于n mol的是 ()

A 1.6 mol SO2+0.3 mol O2+0.4 mol SO3

B 4.0 mol SO2+1.0 mol O2

C 2.0 mol SO2+1.0 mol O2+2.0 mol SO3

D 3.0 mol SO2+1.0 mol O2+1.0 mol SO3

解析：恒温恒容条件下，对于2SO2 (g) +O2 (g) 2SO3 (g) 可逆反应，不同的投料方式如果根据化学方程式中计量系数比换算到同一边时，反应物（或生成物）中同一组分的物质的量完全相同，则两平衡体系互为等同平衡。2.0 mo SO2和2.0 mol SO3换算同一边时等同于4.0 mol SO2和1.0 mol O2，故选B。

(2) 求算化学方程式的计量数

例2在恒容的密闭容器中充入2molA和1molB的气体后发生反应：2A (g) +B (g) xC (g) 。达到平衡后，C的体积分数为W%；若维持容器体积和温度不变，按0.6molA、0.3molB和1.4molC为起始物质的量，达到平衡后，C的体积分数仍为W%。则x值可能为（）

A 1 B 2 C 3 D 4

解析：此题关键是分析要全面。若反应前后体积不相等，则两种投料方式换算到同一边后各组分应完全相同（即恒温恒容时一般可逆反应的等效平衡换算）：

起始量Ⅰ： 2mol 1mol 0

起始量Ⅱ： 0.6 mol 0.3 mol 1.4mol

Ⅱ等效于（0.6+1.4×2/x) mol (0.3+1.4×1/x) mol 0

参考文献

[1]唐煌, 闰辉.浅议高中裕学等效平衡, 教育战线[J], 2009.

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