数学解题中的直觉思维

数学解题中的直觉思维（精选九篇）

数学解题中的直觉思维 篇1

1. 由直觉感知结果, 缩短推理环节

通过对已知条件的分析, 借助于已有的知识积累, 由直觉直接得出结论。

例1. (2009年浙江省高中数学竞赛试题) 已知两平面向量, 则下列关系式正确的是 ()

分析:3, 4, 5和5, 12, 13是两组勾股数, 由直觉可感知, 。若以aρ, bμ为邻边, 则可以构成一个菱形, 由向量加减法几何意义可知:aρ+bμ与aρ-bμ是菱形的两对角线, 故 (aρ+bμ) ⊥ (aρ-bμ) 。答案为 (D) 。

直觉思维需要有坚实的数学知识作保证, 在平时教学中, 教师要有意识地进行渗透, 引导学生记住一些常见的勾股数, 如3, 4, 5;5, 12, 13;6, 8, 10;7, 24, 25;8, 15, 17等。

2. 由直觉引发猜想, 探寻解题途径

著名数学大师波利亚断言:“要成为一个好的数学家, 你必须是一个好的猜想家。”通过对所研究的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面的观察和分析, 启动直觉思维, 提出合理的猜想。

例2. (2009年浙江省高中数学竞赛试题) 在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别为AA1, CC1上的点, 且AE=C1F, 则四边形EBFD1的面积的最小值为。

分析:易感知四边形EBFD1为平行四边形, E、F分别为AA1, CC1上的动点, 而B、D1为定点, 线段BD1长为定值, 四边形EBFD1的面积可看作是△BFD1面积的2倍, 过F作BD1的垂线FH, 要使四边形EBFD1的面积最小, 只需FH长度最小, 即求CC1上的点到BD1的最小距离。显然, 当FH为两异面直线CC1与BD1的公垂线段时, 其长度最小。由直觉引发猜想并可证明:当E、F分别为棱AA1与CC1中点时, 四边形EBFD1为菱形, EF⊥BD1, H即为EF与BD1的交点, 有FH⊥BD1, 又FH∥AC, CC1⊥AC, 可知:FH⊥CC1, 故此时FH为异面直线CC1与BD1的公垂线段, FH的最小值为, 又, 故四边形EBFD1面积的最小值为。

这里, 解题的突破口在于猜想, 而引发猜想的却是直觉, 直觉思维为拓宽解题思路, 寻找解题方法起了十分重要的作用。

3. 由直觉引发类比联想, 找准解题突破口

在分析问题的过程中, 注意选用类比联想, 就可以调动大脑中贮存的相似问题的解题策略, 出现“顿悟”。

例3.设对任意的实数x和非零常数M, 函数f (x) 满足, 试证明:f (x) 为周期函数。

分析:要证明f (x) 是周期函数, 只能从定义出发, 但本题难在不能直接找到函数的一个周期, 故证明的关键所在是:能否找到f (x) 的一个周期。通过类比联想, 与形式相似的一个函数是y=tanx, 有, 而y=tanx是以π为周期的周期函数, π恰好是的4倍, 故猜想:4m是f (x) 的一个周期。

故f (x) 是周期函数, 4m是它的一个周期。

4. 数形结合, 诱发直觉

华罗庚说过:“数缺形时少直觉, 形缺数时难入微”。通过深入的观察, 由形思数, 由数想形, 利用图形的直观诱发直觉, 有利于提高直觉思维的敏捷性和准确性。

例4.若a

分析:数轴上两点间的距离公式AB=|xA-xB|, 而数a, b, c在数轴上的大致位置如图所示:

求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值, 即在数轴上求点x, 使它到a, b, c的距离之和最小, 显然当x定在a, c之间, |x-a|+|x-c|最小, 所以当x=b时, y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小为c-a。

例5.在边长为20cm的正方形中, 画半径为1的小圆, 最多可画多少个?

分析:正方形可分成边长为2cm的100个小正方形, 故可画出100个小圆。 (如图1) 。答案过于简单, 100个小圆是否最多?换一种画法 (如图2) 第1排10个, 第2排9个, 依次类推, 这样上、下两排圆心间的水平距离缩小, 能否多画一排呢?由于相邻两排圆心所在直线平行, 且易得两平行线间距离为, 若画11排, 则垂直总高度为:

若画12排, 则垂直总高度为:

故最多可画11排。又由19.32<20可知:最下面还空出约0.78的距离, 故后面几排每排可画10个圆, 由, 可知:最后的3排每排可画10个小圆, 故最多可画小圆:7×10+4×9=106个。

牢固的基础知识和解题经验的不断积累是形成直觉思维的基础, 联想猜测是诱发直觉思维的重要手段之一, 通过丰富的想象, 大胆而合适的猜测, 能增大思维的跨度, 探寻最佳解题途径, 使问题迎刃而解。但同时应看到直觉思维有具有尝试的特点, 其结论不一定完全可靠, 其结论具有似真性, 若将似真性当做肯定性, 就可能会误入歧途;但若忽视或放弃直觉思维———直觉似真的猜测, 就可能与妙解失之交臂。因此, 只有将直觉思维与逻辑思维有机地结合在一起, 相互补充才能相映成辉。

摘要：直觉思维是数学思维的重要内容之一。由直觉思维可直接感知结果、可引发猜测和联想, 可寻找思维起点和探寻解题途径, 但它又具有不确定性, 应把直觉思维和逻辑思维进行有机结合。

关键词：直觉思维,直觉感知,猜测联想,数形结合

参考文献

[1].任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社, 1990.

数学学习中的直觉思维 篇2

关键词：数学直觉思维；逻辑思维；创造；问题解决

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）18-175-02

我们在教学中常遇到这样的情况：在课堂上刚写完一道题目，还来不及解释题意，有的学生立刻报出了答案，若要问他为什么，他则回答说：“我想是这样的。”这时其他学生笑他瞎猜，其实这种现象就是数学直觉思维。在过去的数学教学中，老师往往过于强调学生要“言之有理，言之有据”，而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养。

随着社会的进步，时代的发展，人们对于数学教育的认识也在不断加深。学生学习的三大能力之一的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉了两个字，但是教育理念发生了极大的变化，概念的内涵变得更加丰富，它标志着数学教学从注重能力转向了注重创造性思维的培养。

一、什么是直觉思维

直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态，它具有迅捷性、跳跃性、简约性、创造性等特点。数学直觉思维作为直觉思维的一种特殊形式，在数学学习中起到重要作用，能够完善思维结构，提高学习者的思维品质，并且通过直觉思维能够很好的找到解决问题的思路方法，增强学习者的信心，提高他们的学习兴趣。

二、数学直觉思维在数学学习中的作用

在数学学习过程中，直觉思维是必不可少的，它是分析和解决实际问题的能力的一个重要组成部分，是一个有着潜在开发学生智力意义的不可忽视的因素。

1、直觉思维作为逻辑思维的补充，能够完善数学思维结构

数学最初的概念就是基于直觉，而数学在一定程度上就是在问题解决中得到形成与发展的，问题的解决当然也就离不开直觉思维。逻辑思维主要立足于“分析问题、解决问题”。而直觉思维主要立足于“提出问题、独辟蹊径”，因而，直觉思维为逻辑思维提供了动力并指引方向，而逻辑思维则对直觉思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化，直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，只有将两者结合起来，数学思维才更加完善。

2、直觉思维有利于培养创造性思维，提高学生思维品质

直觉思维作为数学思维的一种形式它是基于研究对象的整体把握，不专注于细节的推敲，是自由的，不受逻辑规则的制约，是思维的大手笔，正是它的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，是人的思维和认知结构无限延伸。这种功能往往体现在通过直觉提出的猜测中，有相当多的猜测是既非类比又非归纳的产物，与各种已知定理也无关系，数学家们仅凭直觉认为事物就应该如此，这种猜测有许多后来被证明是正确的，例如，康托曾凭直觉猜测，在可数集基数与实数集R的基数C之间没有其他的基数。这就是著名的康托连续统假设。

3、用直觉思维进行大胆猜想，有助于发现解题思路

我们要解决的许多数学问题大都是不熟悉的，如果利用直觉思维对其结论或思路进行某种猜想，可以帮助我们对于阻塞、中断的思路进行填补或另辟蹊径，找到解决问题的方法或思路。如无穷远点和无穷直线是靠数学想象得到的数学中典型的“理想元素”。

例1.在Rt ABC中， ACB=90 ，CD AB于D，AF平分 CAB交CD于E，交CB于F，且EG//AB交CB于G，则CF与GB的关系是：

（A）CF>GB （B）CF=GB

（C）CF

从图中观察、比较我们发现CF与GB的长度相当，可猜测到CF=GB，下面只要证明CF=GB即可。由条件可知 ACB=90 ，而AF平分 CAB，想到过F作FH AB，垂足为H，连结EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG ，故有CF=EH=GB，从而得证。

由此我们可看出猜想对解决问题的重要性，而猜想正是直觉思维的一种重要表现形式。

4、用直觉思维整体感知，可以全面提高学习者把握问题实质的能力

我们常常遇到这样的情况：在解决数学问题时拘泥于局部的研究往往不得要领，而回头来整体考虑则豁然开朗。因此，对于面临的问题情境首先从整体上考虑其特点，着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系，从而抓住问题的本质。

例2 .

分析：本题中数据较大，直接计算显然繁复，注意到题中出现的三个数是连续整数，因而考虑整体设元。

解：令1234567890= ，

原式=

原式=1234567890

由此可以看出，对于整体性的把握有助于抓住问题的实质，更好的解决数学问题。

例3.求函数 的最小值。

分析与解：该函数很复杂，直接从代数角度无法下手，而配方的 。从整体上考虑，联想到两点的距离公式，它的几何意义：动点 到两定点 ， 时函数有最小值即 ， 的距离和：

这道题我们通过整体感知，很容易就抓住数学本质，联想到距离公式，问题就很容易解决。因此培养直觉思维对数学学习来说无疑很重要。

5、数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信心

在数学学习中有不少学生面对复杂问题时束手无策，一看是复杂的题型往往心灰意冷，甚至会使许多同学丧失信心，碰到类似题目没有任何激情再去研究，其实这时候直觉思维可以起到很好的作用，通过直觉思维可以打开思路，寻求到解题方法，这大大增强了学生的学习信心和兴趣。

例4. 求函数的值域。

分析与解：其实我们可以轻松的发现此函数与万能公式结构完全相同，注意到自变量的取值范围与正切函数值域也相同，这样我们就可以轻松的解决题目。设 ，则 。所以函数的值域为 。

数学是一门滴水不露的学科，直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，两者同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，斯图加特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑”， 受控制的精神和富有灵感的逻辑，只有两者结合在一起，才能体现出它的魅力所在。

参考文献：

[1] 刘云章，马 复.数学直觉与发现[M].安徽教育出版社. 1991.

[2] 王仲春，李元中. 数学思维与数学方法论[M].高等教育出版社.1989.

[3] 许 昌.数学教学中的直觉思维能力的培养[J].新课程研究. 2006.8.

[4] 何念如.浅谈数学直觉思维及其培养[J].高等函授学报（自然科学版）.2005.8.

直觉思维在解题中的应用 篇3

人类有直觉思维、形象思维和逻辑思维三种思维方式, 其中直觉思维在人的思维发展中占据重要地位, 在数学解题过程中, 有很多情况下直觉思维可以发挥其独特的作用, 准确的解决一些常规解题思路难以解答的数学难题. 但是并不是人人都拥有直觉思维能力, 需要高中数学教师在教学和引导学生练习的过程中培养学生的知觉思维, 掌握解题技巧并能够熟练应用, 从而将复杂的数学问题简单化, 提高解题效率. 下面就如何在解题中培养学生的直觉思维进行了探讨.

一、直觉思维在审题中的应用

在审题阶段, 学生通常需要根据题目给出的资料对已知条件、未知条件以及问题进行准确的判断. 当学生将以上信息输入大脑之后, 会将其和已有的认知结构相联系. 此时如果过于关注细节的处理, 对思维则会产生极大的限制, 阻碍学生解题思路的前进. 这时候就需要学生运用直觉思维进行大胆的联想和猜想, 再逐渐验证猜想. 当学生面对一些问题无从下手时, 就需由联想来产生解题灵感, 使本来困难、受阻的题目, 迎刃而解. 这需要学生面对题目时要仔细的观察, 利用直觉思维从整体上把握题目, 形成正确的猜想. 在直觉思维的运用过程中, 教师要积极引导学生形成基本的知识模型和知识组块, 只有这样, 才能有效的让学生根据已有的知识, 发挥直觉, 准确把握解题方向.

例如下面这个问题: 若a, b, c, d∈R, 且a2+ b2= 1, c2+d2= 1, 求证: - 1≤ac + bd≤1, sin2α + cos2α = 1.

解析通过观察题目可以利用三角函数知识猜想a =sinβ, b = cosβ, c = sinγ, d = cosγ. 这样的假设满足题目所给的条件, 然后将假设的a, b, c, d的值带入要求证明的两个式子中进行验证, 就可以得出准确的结论.

二、直觉思维在解题方案选择时的应用

经过审题之后对问题有力清晰的认识之后, 如果现有的知识经验可以用于解题, 但是还未得到有效的验证, 或者该题目与许多知识模块都存在一定的联系, 解题思维多且复杂, 不知如何选择最佳的解题思路时, 学生可以运用直觉思维来进行解题, 从而优化解题思路, 使复杂的问题简单化. 在这样的情况下, 要求学生要借助观察、实验、类比等具体的思维方法, 深入分析题目的细节, 结合已有知识经验进行大胆联想.

例如这一问题:锐角三角形ABC, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 已知, 求的值.

题目直接表明问题余弦定理、正弦定理等三角函数等价变化的知识相关, 但是问题的关键在于如何实现边角的互化, 消除差异.对许多学生而言, 边角互化过程的难度较大.但是, 如果学生仔细、深入的观察问题的外在形式可以发现, 条件和问题中的a、b和A、B变换存在一定的对称关系, 从而产生解题的直觉, 形成解题思路.利用特殊化法, 可以将题目变换成:a=b, 已知, 求的值.从而快速得出cos C=1/3, 然后顺利求出, 再求出, 将所求的值代入问题, 即可求出问题的答案.

三、直觉思维在论证阶段的应用

直觉思维虽然在解题过程中的作用巨大, 但是直觉思维得出的答案仍只是对问题的猜测, 还需要应用逻辑思维进行进一步论证, 实现直觉思维的猜想. 验证过程中并非所有的解题方案都可以得到有效的论证, 因而需要直觉思维的应用, 监控解题方案的论证过程. 通过直觉思维及时掌握解题方案的方向是否正确. 如果出现偏离, 在直觉思维的辅助可达到有效的调整, 从而提高解题效率. 尤其在论证解题方案存在障碍, 直觉思维的应用可以帮助学生突破障碍.

四、直觉思维在回顾解题过程中的应用

回顾解题过程是提升数学能力的重要途径, 不但可以检查解题正误、总结解题方法、优化解题过程, 还可以发现使解题变得尽可能直观的方法. 这种直观不但可以帮助学生更好地理解问题本质, 还可以提升他们的数学学习兴趣, 增强数学学习动力. 教师在教学中可以引导帮助学生体会问题本质的直观理解, 体验数学的美.

综上所述, 直觉思维在数学解题过程中的应用具有广泛性, 无论是审题、解题、论证, 还是回顾解题的过程, 直觉思维都发挥着重要的作用, 它可以引导学生大胆联想, 发散思维, 培养良好的数学思维和解题习惯, 有时还能使复杂的问题简单化, 从而提高学生的解题效率, 大大提高数学的学习效果.

摘要：大学数学以一门难度比较高的学科, 学习起来比较复杂, 需要学生具有良好的数学思维, 掌握必要的数学方法才能高效的解决数学问题.其中直觉思维在数学学习的过程中占据着重要地位, 需要教师加强对学生的引导, 让学生学会恰当准确的应用直觉思维去解数学难题.本文主要对直觉思维在数学解题中的应用进行了阐述.

关键词：直觉思维,高职数学,解题,应用

参考文献

[1]王婷.谈直觉思维在数学解题中的应用[J].大学数学教与学, 2011, 17:23-24.

[2]墨胜云.例谈直觉思维在中学数学解题中的应用[J].中学时代, 2014, 04:116.

直觉思维培养在数学教学中的应用 篇4

关键词：直觉思维；教学质量；学习欲望

所谓直觉是不经过逻辑和意识的推理而了解事物的能力，而对于学生而言，其自身感觉细胞较为敏感，想象力较为丰富，对此，在日常教学中培养学生的直觉思维能够有效地提升学生的创造能力和创新能力。正如，阿基米德在进入洗澡缸的时候，发现溢出的水同自身体积一样，由此而得出了阿基米德定律，这正是直觉的成果。数学直觉是从感性到理性的过程，是培养学生分析思维能力的重要基础。

一、直觉思维的发展特征

数学是不同于其他学科的，其具有严格的逻辑性，而直觉思维又不是严格意义上的逻辑思维，看似这两者之间是矛盾的，但其中却蕴含着千丝万缕的联系。

1.直觉思维的偶然性

直觉思维的偶然性，是指在数学直觉思维中，其是一种潜意识的思维活动，并不是自觉自发的。直觉思维的一种表现则是灵感，让学生能够在偶然的情况下受到一定的启发，诸如：牛顿在偶然中发现了地心引力。正是这样直觉思维的偶然性能够更好地发挥学生的想象力和创造能力。

2.直觉思维的简约性

数学范畴中的直觉思维是对整体的把握，舍弃部分的细节，通过自身的想象力来从已知的范畴中达到解决问题的效果，其中间的过程是模糊的，对整体的完美把握和对部分的不确定认知的结合正是直觉思维的一大特征。例如，等腰三角形和直角三角形在学生学习的过程中，在没有进行严格推理的过程前，学生能够直观地得出等腰三角形的两腰相等，直角三角形则有一个直角。

二、数学的直觉思维培养措施

培養学生的直觉思维能力，是需要教师在日常教学中进行潜移默化渗透的，因此教师需要长时间的努力，不断地改变传统的数学教学模式，不断地创设民主的教学氛围，更好地提升学生的主观能动性，完美地激发学生的创新创造能力。

1.加强知识储备

对数学的直觉思维的认知不是对事物问题的一种表面认知，而是通过对数学对象的抽象思考，所得出的一种直接的感悟，这样的感悟是需要有一定数学知识积累的，并且能够逐渐地在提升数学素养的同时形成一种全新的思维能力，由此可知，数学直觉思维是可以通过后天培养所形成的，人们的数学直觉是能够不断提高的。

2.举一反三

正如前文所述，直觉并不是凭空臆想出来的，是需要具有一定的扎实的数学基础知识的，正是这些扎实的数学基础产生直觉的源泉。知识储备越是丰富，越是能够产生更加独特的见解。为此，在日常的数学教学中，教师在进行解决问题的过程中，应当学习举一反三，学会解答一道题应该要达到能够解答一类题的效果，经过这样长时间的训练，不仅能够更好地培养学生的解决问题的能力，而且能够更好地转变学生的思维能力。

3.学生尝试成功的体验

对于学生而言，体验成功的喜悦，便是促使学生不断追求意识和成功的重要力量。所以，教师应当在课堂教学中，积极地激发学生强烈的成功意愿，适当地给予学生创造成功的机会，让学生在日常生活中体会到成功的喜悦，使得学生获取更加强烈的学习欲望，并以此来培养学生的直觉思维能力。除此之外，教师更应当积极地运用自身幽默的语言和各种形态来激发学生的直觉思维能力。例如：教师可以为学生营造这样的问题情境：几个球队在进行足球比赛，两两队伍都要进行比赛，一共进行了90场比赛，请问共有多少支队伍参加比赛呢？为了解决这一问题，教师可以让20位学生站在前面，两两进行握手，计算总共握手多少次，然后让学生自行设计握手的方式，这样的设计易于计算，直觉告诉我们，每次一位学生同剩下的19位学生进行握手，一共进行了9次，但是A和B握手同B和A握手是一样的，通过这样的实践，能够更好地让学生体会到成功的喜悦。

综上所述，在现代数学教学中，教师应当重视对学生直觉思维能力的培养，所谓的直觉思维是指不经过详细分析而直接得出的直观感受。为此，在数学教学中，教师应当强化学生的数学知识储备，鼓励学生举一反三，逐渐让学生体会成功的喜悦，以此来更好地培养学生的直觉思维能力，提升数学教学质量。

参考文献：

[1]周佳燕，王献忠.多种“读”法培养直觉思维 提高学生语文素养[J].才智，2015（1）.

[2]赵花丽.探究直觉思维的培养 提高学生的创新能力[J].新课程研究（中旬刊），2012（12）.

数学教学中的直觉思维及培养 篇5

一、数学直觉的含义

简单的说, 数学直觉是具有意识的人脑对数学对象 (结构及其关系) 的某种直接的领悟和洞察。

从思维方式上来看, 思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来, 其实这是一种误解, 逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为, 逻辑重于演绎, 而直观重于分析。从侧重角度来看, 此话不无道理, 但侧重并不等于完全, 数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如, 在日常生活中有许多说不清道不明的东西, 人们对各种事件作出的判断与猜想离不开直觉, 甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映, 它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现, 再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉, 数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的, 问题解决也离不开直觉。

二、直觉思维的培养

一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出:“数学直觉是可以后天培养的, 实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过训练提高的。

1.渗透数学的哲学观点及审美观念。

直觉的产生是基于对研究对象整体的把握, 而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如, (a+b) 2=a2+2ab-b2, 即使没有学过完全平方公式, 也可以运用对称的观点判断结论的真伪。

美感和美的意识是数学直觉的本质, 提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识, 审美能力越强, 则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑, 大胆地提出了反物质的假说, 他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑, 他曾经说, 如果一个物理方程在数学上看上去不美, 那么这个方程的正确性是可疑的。

2.重视解题教学。

教学中选择适当的题目类型, 有利于培养、考查学生的直觉思维。例如选择题, 由于只要求从四个选择中挑选出来, 省略解题过程, 允许合理的猜想, 有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学, 也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确, 可以从多个角度由果寻因, 由因索果, 由于答案的发散性, 有利于直觉思维能力的培养。

3.设置直觉思维的意境和动机诱导。

这就要求教师转变教学观念, 把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定, 对其合理成分及时给予鼓励, 爱护、扶植学生的自发性直觉思维, 以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导, 解除学生心中的疑惑, 使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

直觉思维在数学教学中的重要性 篇6

笔者认为, 在数学学习的过程中, 要真正体现学生的主体地位, 就必须使学生的认识过程是一个创造性的过程;教学也必须渗透“直觉加证明”的发展问题和解决问题的科学思维;教师必须意识到直觉思维的重要性, 必须探究符合培养直觉思维的教学模式.

一、设置直觉思维的意境和动机诱导

美国的氢弹之父泰勒也曾说过:“直觉不一定都是对的, 恐怕百分之九十是错的, 但是只需要百分之十是对的就行了.”数学直觉思维由于受到学生的心理因素和认知水平的限制, 时常会产生错误的现象, 这就要求教师转变教学观念, 把主动权还给学生, 对于学生的大胆设想给予充分的肯定, 对其合理成分及时给予鼓励、爱护, 扶植学生的自发性直觉思维.

如在八年级下册的“你能证明吗”这节内容时, 就教材上的“做一做”, 出现了两种截然不同的直觉结果.

问题1:设想用铁丝绕半径为1厘米的小球一周 (类似于地球的赤道) 形成一个大圆, 再用一根比这个圆周长长1米的铁丝做成另一个圆, 使得两圆相套形成同心圆, 试问:圆周间能放下一个拳头吗?

学生:能——小球的周长约为6.28厘米, 而铁丝的长度比它大1米, 围成的大圆的周长远大于小球的周长, 所以两圆之间的空隙肯定很大, 能放下一个拳头.

此时直觉会帮助学生正确的回答问题.事实上, 通过验证, 计算两圆间的距离为 (厘米) , 发现事实如直觉所产生的结果.

问题2:设想用铁丝绕地球赤道作一个圆, 再在它的外面套一个周长比它大1米的同心圆.试问:圆周间能放下一个拳头吗?

学生:不能——地球的周长很大, 铁丝的周长仅增加1米, 比起地球赤道长来可以忽略不计, 所以, 铁丝围成的圆肯定紧贴在地球赤道上.

直觉告诉学生, 认为第二个圆也是紧紧贴着赤道, 所以误导了学生, 作了错误的回答.但通过验证, 计算两圆间的距离 (设地球的半径为R米) , 也为 (厘米) , 发现事实与直觉刚好相反.

作为一个教师, 不鼓励胡猜、乱猜、瞎猜, 在教学中不仅应当注意“保护”学生已有的猜想能力和直觉思维, 而且应更加注意帮助学生学会合理的猜想方法, 并使他们的直觉思维不断得到发展和趋向精致.如上所述, 学生的数学直觉结果有可能是正确的, 也有可能是错误的, 尽管其结果有可能是错误的, 但只要有一个结论, 我们就可以对此进行论证, 从而促进学生利用学过的基础知识对错误的直觉进行必要的反思、验证, 以弥补数学思维上的“缺陷”, 尤其在数学新方法的探索和数学新知识的发现过程中, 数学直觉更能体现出学生的创新能力.“引”学生大胆设问, “引”学生各抒己见, “引”学生充分活动, 让学生猜问题的结论, 猜解题的方向, 猜知识之间的联系, 让学生真正“触摸”到自己的研究对象和内容, 推动思维的主动性.

二、扎实的基础是产生直觉的源泉

直觉不是靠“机遇”, 直觉的获得虽然具有偶然性, 但绝不是无缘无故的凭空臆想, 而是以扎实的知识为基础.若没有深厚的功底, 是不会迸发出思维的火花的.比如我们平时打篮球, 在快速运动中来不及去作逻辑判断, 动作只是下意识的, 而这下意识的动作正是平时训练产生的一种直觉.

如图为某蓄水池的横断面示意图, 分深水区和浅水区.如果这个蓄水池以固定的流量注水, 下列图像中大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系的是 ( ) .

这是一道考查直觉思维的典型试题, 试题的背景来源于日常生活, 在题形的设计上采取了一个新的角度, 摒弃具体的计算与画图, 突出观察思维和分析能力的考查.解答本题的思路不必抓细微的定量关系, 而应该观图看势, 抓住其特征, 进行分析、思考和判断.

三、增强学生的信心, 是培养学生直觉思维的原动力

学生对数学产生兴趣的原因有两种, 一种是教师的人格魅力, 二是来自数学本身的魅力.不可否认情感因素的重要作用, 但笔者认为, 兴趣更多的来自数学本身.成功可以培养一个人的自信, 而直觉发现会伴随着很强的“自信心”.从马斯洛的需要层次来看, 它使学生的自我价值得以充分实现, 也就是最高层次的需要得以实现, 比起其他的物质奖励和情感激励, 这种“自发”的自信将会更稳定、更持久.

比如:甲、乙两个人同时从A地出发到B地, 甲在前一半路程用速度v1, 在后一半路程用速度v2 (v1≠v2) ;乙在前一半时间用速度v1, 在后一半时间用速度v2, 那么两个人中___________先到达B地.

分析:在解题的过程中, 分别求出甲、乙两人所用的时间, 采用比较法进行严格的推理, 可以得到正确的结论.但是对于初中生而言, 是很困难的, 但就有学生思索后回答:“如果两种速度差别比较大时, 较快的速度在一半的时间内可以走绝大部分的路程, 显然乙用的时间最短.”这种方法没有通过逻辑证明的形式, 而是通过学生的直觉思维获得, 那么成功带给他的震撼是巨大的, 内心将会产生一种强大的学习动力.

数学解题中的思维导向 篇7

一、辨析题目的条件与结论的关系

这是解题思维过程中的第一步。当收集到问题的已知、特征、图形等条件时, 就需要着手对这些条件进行整理、归类、分离和辨析, 看看这些条件的属性、含义及其明显的特征, 并注意挖掘题设隐含条件, 仔细观察题目的结构组合形式, 再逐一分析, 寻找途径。例如以下这道问答题:“四人分苹果, 贝贝拿了所有苹果的一半加半个, 晶晶拿了剩下的一半加半个, 欢欢拿了晶晶剩下的一半加半个, 盈盈分得了最后剩下的一半加半个。苹果全部分完了, 并且四人拿到的都是整个的苹果, 一共有多少苹果?”这类型的题目采用推理的方法是:盈盈拿了最后剩下的一半加半个, 苹果分完。那么她拿走的是1个苹果。欢欢拿苹果时的数是 (1+0.5) ×2=3, 静静拿苹果时的数是 (3+0.5) ×2=7, 贝贝拿苹果时的数是 (7+0.5) ×2=15, 一共有15个苹果。这个例子充分说明对题设和结论的特征进行挖掘和辨析是完全必要的, 只有抓住题目的已知条件和结论的自身特征, 从特征中进行充分的观察和分析, 就可以找到解题途径。

二、培养发散性思维, 展开联想与回忆

在对题目进行整体的观察和辨析中, 要启发学生进行联想与回忆。联想就是发现诸个题目中具有相似的典型特征, 从思维的角度上说, 就是思维的发散, 要求学生触类旁通、以点带面, 把多种相似的问题与某一种模式对应起来。回忆则要求学生根据题目形式回想与哪一个定理定义描述的相似, 或者与某种解法相似, 顿悟出都可用某种知识或方法解答, 加深了对知识的认识。例如以下这道选择题:“甲、乙两只装满硫酸溶液的容器, 甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克, 乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克。从两只容器中各取 () 千克的硫酸溶液, 分别放入对方的容器中, 才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样。”A.48%%B.208%%C.240%%D.160这道题目的解答思路是, 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变, 而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同, 而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变。根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值, 从而计算出应交换的溶液的量:甲容器中纯硫酸的重量为600×8%=48 (千克) ;乙容器中纯硫酸的重量为400×40%=160 (千克) ;两容器中纯硫酸的重量和为48+160=208千克, 硫酸溶液的重量和为600+400=1000千克。两容器中溶液混合后浓度为208÷1000=20.8%。所以应交换的硫酸溶液的量为: (600×20.8%-600×8%) ÷ (40%-8%) =240 (千克) , 应从两容器中各取出240千克放入对方容器中, 才能使两容器中硫酸溶液的浓度一样。所以答案选C。联想与直觉的判断是紧密相连的, 当学生面临的题目构造与某些题目相似时, 往往会回想起其他的题目, 或者说唤起了他记忆深处的东西。当然, 这种快速的联想和回忆与知识是否丰富有关, 基础知识愈是扎实, 经验愈是丰富, 方法素质愈高, 所富有的联想就愈有价值, 直觉判断的准确性也就愈高。正如以上所说, 联想的产生需要对题设条件进行仔细观察, 巧妙地逻辑分解或组合, 一般化或特殊地对概念进行数、形、义的辨析, 才能产生正确的联想回忆。

三、关注题干中的特殊条件

欲解决题目一般情况, 先解决其特殊情况。由于特殊情况与一般情况是具有共性的, 先解决特殊情况可以提供的关键步骤, 提供思维途径, 可以猜测预见结论。例如以下这道选择题:“火车进山洞隧道, 从车头进入到车尾进入洞口, 共用a分钟, 又当车头开始进入洞口直到车尾出洞口, 共用b分钟, 且b:a=8:3, 又知山洞隧道长是300米, 那么火车车长为 (%%) 米。”先理解从车头进入洞口到车尾进入洞口的路程仅为列车的长度, 当车头开始进入洞口直到车位出洞口路程包含了列车长度和隧道长度, 所以二者之比=列车长度和隧道长度:列车的长度=8:3, 所以车长=[300/ (8-3) ]×3=180。由以上可见, 在特殊情况下, 由于新增加了条件, 使得问题易于解决, 而且由于特殊情况与一般情况具有共性, 提供了解决一般情况的恰当方法基础, 通过特殊情况的研究而解决问题的方法, 又大量地应用于求解选择题上。

四、重视习题的转化与总结

转化和总结是思维的灵活性之一, 它可以拓宽解题思路, 及时灵活地转化解题模式。这在解题中转化和总结的方法也是常见的。例如, 列方程解稍复杂的百分数实际问题要点, 解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同;解答“已知比一个数多 (少) 百分之几的数是多少, 求这个数”的实际问题, 可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义, 直接解答。例题:“果园里的梨树和苹果树共有360棵, 其中的苹果树的棵数是梨树的棵数的20%。苹果树和梨树各有多少棵?”此题解答如下:设梨树有x棵, 苹果树有20%x棵, x+20%x=360, x=300, 20%x=300×20%=60, 所以梨树有300棵, 苹果树有60棵。

数学解题中的直觉思维 篇8

1.直觉思维概述

数学中, 直觉思维是指个体在以往存储的知识经验的基础上, 充分调动一切和所求问题相关联的意识, 发挥形象和联想, 对数学对象 (结构及关系) 进行直接领悟和洞察的思维活动, 是数学思维的重要内容之一.直觉思维本身具有简约性、创造性、偶然性、不可靠性等特点, 这些特点决定了我们需要直觉这个可珍贵的“珍珠”的帮助, 引导我们解决问题, 但在运用过程中更应注意直觉思维的不利因素, 切实根据直觉思维的特点合理利用, 才能真正地让直觉思维发挥出巨大作用.

2.直觉思维的运用

莱布尼茨曾说:“人们依靠直觉洞察力往往一眼看出我们靠理论的力量在花了许多精力以后才能找出的东西.”许多数学问题的发现与解决来源于直觉思维, 如:著名的哥德巴赫猜想、四色猜想、黎曼几何的创立等都是直觉思维的典范.

解数学题是数学教学的一个重要组成部分. 数学解题过程是一个创造性的思维活动过程, 通过解题可以把学生所学到的知识进行巩固和深化, 培养学生的思维品质.直觉思维以高度省略、简化、浓缩的方式洞悉问题的实质, 对于提高学生的思维素质, 培养数学创新能力极为重要.许多杰出的科学家都曾因此给予高度的评价. 爱因斯坦直截了当地说:“真正可贵的因素是直觉.”因为当我们面临一个数学问题时, 应该先对结果或解题途径做一大致的估测, 而不是先动手计算和论证.直觉作为一种解题方法将是一种非常有效的武器.

2.1直觉思维在中学数学中的运用举例.

2.1.1直觉洞察, 联想发现, 抓住核心, 直入本质.

分析:本题是一道关于不等式的问题, 若从代数上直接进行逻辑演绎, 则得到结论相当困难.但是若先对问题中的不等式进行直观的洞察, 再与中学所学过的知识进行联想, 会发现不等式中的结构与余弦定理很类似, 再联想到“三角形两边之和大于第三边”可得 (如图1) .

在平面中任意取一点O, 设OA=a, OB=b, OC=c, 且两两夹角为120°, 连接AB, AC, BC, 构成△ABC, 由余弦定理, 可得

由AB+BC>AC, 即得所求不等式.

2.1.2直觉类比, 诱发思路.

分析:本题为三角函数问题, 由直观洞察可以发现题中要证明的等式的结构与常见的数列求和问题

项相消法, 有

故左边=tan1-tan0+tan2-tan1+…+tann-tan (n-1) =tann

2.1.3直觉猜想, 逻辑证明.

例3:设对任意实数x和非零常数t, 函数f (x) 满足f (x+t) =1+f (x) 1-f (x) , 证明f (x) 周期函数, 并求出它的周期.

分析:为了证明f (x) 是周期函数, 只有从定义出发, 找到一个T, 使f (x+T) =f (x) , 但是从题目中我们不易直接找出这个T.这时我们可以联想到与满足题中等式的一个函数y=tanx, 有tan (x+π4) =1+tanx1-tanx, 又y=tanx是以π为周期的周期函数, 而π刚好是π4的4倍, 因此猜想:4t是函数f (x) 的一个周期.但是仅仅有直觉得到猜想是不够的, 接下来需要用逻辑推理对所得猜想进行证明.

故f (x) 是一个以4t为周期的周期函数.

2.2直觉思维的误用.

前面列举了直觉思维有许多可以应用的地方, 但也有一些数学问题看起来是显然的, 通过直觉感知可以得到结果.可是有些题目如果你再经过仔细深入地思考, 就会发现有些因素被直觉掩盖在了下面, 不利于对其进行深入科学的研究.因此在利用直觉思维时要谨慎, 对待直觉思维得到的结论时要多问几个为什么, 深挖背后的原因, 找到逻辑的支持和证明, 从而更深层次地考虑和解决问题.

下面举一个直觉思维误用的例子:

分析: (错解) 画出函数f (x) = (116) |x|和g (x) =|log116x|的大致图像, 便得到两个实根, 选了B.

这个答案看似没有什么问题, 但是若再多问一个为什么, 图形画得准确吗? 仔细观察, 可发现x=12和x=14都是原方程的解, 这就表明了上述错解中的图像确实不准确, 再精确地作图 (借助几何画板) , 可得到在0到1上有3个根, 在大于1的范围上有一个根, 因此共有4个根, 应选D.

3.中学生直觉思维的培养

前面我们了解了中学数学中直觉思维的基本特征和它的运用.在中学生数学学习过程中, 直觉思维与逻辑思维同样起到不容忽视的作用, 拥有良好的直觉思维能力是提高学生各种综合能力的必备条件.根据中学生思维的不成熟性等特点, 可发现中学生的直觉思维能力不强, 但是我们可以借助中学生思维的敏锐性、可塑性等优点, 进行合理、恰当的培养和训练, 引导学生用直觉思维发现问题和解决问题.

3.1充足的知识准备是直觉产生的前提.

良好的直觉是建立在充足的知识储备之上的. 有了大量已知的知识, 经验, 方法做基石, 再加上正确的逻辑思维习惯, 才能在某些特定的情景中, 联想已有知识, 激发出直觉感悟.但是这种知识储备并不是大量机械的知识简单累积在一起, 而是一种有机、合理、有效地组织在一起的知识体系, 是在理解各个知识板块之间内在联系的基础上的有机结合.因此, 教师在向学生传授基础知识的过程中, 不能仅仅以学生了解, 掌握现有知识为目的, 要在讲授时, 总是知识内在的联系, 讲清楚知识的由来与核心思想, 让学生可以举一反三、融会贯通.注重各种思想方法地总结和类型的归纳, 而这些总结与归纳应由教师引导学生完成, 并教会学生如何思考, 发现问题.

3.2善于观察, 鼓励猜想.

数学直觉思维的培养 篇9

一、数学直觉思维定义的理解

很多学生遇到过这种情况:有些选择题不会做, 而凭感觉进行了选择, 结果做对了。老师应鼓励这样做题的学生, 其实他是凭借自身现有的知识, 做出的选择, 是数学直觉思维的表现。

直觉思维是指不受某种固定的逻辑规则约束而直接领悟事物本质的一种思维形式。数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式, 直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。逻辑思维是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程。又称理论思维。思维者是按部就班地经过推理、严密的论证, 最后得出正确的结论。所谓数学直觉思维就是大脑基于有限的数据资料和知识经验, 充分调动一切与问题有关的显意识和潜意识, 在敏锐想象和迅速判断的有机结合下, 从整体上领悟数学对象的本质, 洞察数学结构和关系的一种思维。

二、数学直觉思维的培养

徐利治教授曾说:“数学直觉是可以后天培养的, 实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”我觉得可以从以下几个方面入手, 帮助学生提高数学直觉思维能力。

(一) 产生数学直觉思维的基础

丰富的知识储备和经验是产生直觉的源泉。直觉和经验二者是密切相关的。若没有广博的知识, 是不会产生顿悟和灵感的。就好比踢足球, 传球时是不会逻辑判断的, 只能是跟着感觉走。这是平时训练中产生的一种直觉, 基本功练得越好, 球技越高。数学学科也一样, 学生拥有丰富的基础知识和基本技能, 能帮助他们思维方式由单向型向多向型转变, 同时对逆向思维和抽象思维的培养也很有帮助。

(二) 直觉思维的培养应与逻辑思维培养有机结合起来

直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式。数学逻辑值中有直觉思维的成分, 当然数学直觉中也具有逻辑性。怎样结合起来培养呢?教师应适时地提出问题, 创设情景, 引导学生大胆的猜测, 以培养学生的直觉思维。例如, 在立体几何中证明线面垂直问题时, 首先认为线垂直于面, 朝者这个方向进行合理的论证, 从而得出结论。数学直觉思维在教学中的应用越来越广泛。如下图所示, 小圆圈表示网络的结点, 结点之间的连线表示它们有网线相联, 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点B传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递, 则单位时间内传递的最大信息量为 ()

(A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19

首先引导学生直觉地意识到单位时间内传递的最大信息量应为每条线路单位时间内传递的最大信息量之和, 又每条线路中收到的信息量不超过每个相邻结点间可以通过信息量的最小值。因而最大信息量为3+4+6+6=19。

(三) 培养学生的观察力

观察是信息输入的前提, 是思维探索大门开启的钥匙。中学数学中规律的发现以及理解能力、记忆能力、抽象能力、想象能力和运算能力的提高等都离不开观察。数学王子高斯10岁时, 老师让计算1+2+3+…+100。其他同学还在按部就班一个个相加时, 高斯用巧妙的方法迅速给出正确答案。人的观察力并非与生俱来, 而是在学习过程中发展的。因此教师在数学教学过程中, 要重视激发学生的观察兴趣, 帮助掌握合理的观察方法, 积极地培养学生的观察力, 让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学经验, 促进学生观察力的发展和提高, 努力培养学生浓厚的数学兴趣。

(四) 重视解题训练中的教学

直觉是一种非逻辑思维, 直觉是大脑思维过程的高度简化, 但是它却清晰地触及到事物的“本质”。所以在数学解题中更应该让学生发挥他们的直觉思维。

例如, 数学选择题, 由于四个选项中必有一个正确, 容许学生合理的猜想, 有利于直觉思维的发展。平时教学中更应教给学生解选择题的各种方法。实施开放性问题教学, 也是培养直觉思维的有效方法。在数学教学中, 应当精心安排教材, 做好教学设计, 引导学生开展各种丰富多彩的探索活动, 大胆鼓励学生通过观察、联想、类比、归纳、特殊化等方法, 凭直觉进行猜想, 当你凭直觉获得成功时, 内心将会产生强烈的震撼, 从而更加相信直觉思维, 产生浓厚的学习数学兴趣, 从而更加相信自己的能力。

我国著名教育家叶圣陶说过:“发明千千万, 起点在一问。”问是智慧的火花, 是打开知识大门的金钥匙。平时教学中, 要启发学生大胆地提出疑问, 逐步引导学生有目的地为解决问题设疑、质疑。