函数与方程的思想方法（精选十篇）
函数与方程的思想方法 篇1
郭民, 史宁中的 《中英两国高中数学教材函数部分课程难度的比较研究》一文是对中英两国高中数学教材中函数部分内容的课程难度进行比较研究, 研究中英两国高中数学教材中函数部分课程难度的差异, 进而分析课程难度对学生学业负担的影响, 为我国数学课程改革提供有益的资源和参照。刘少平 《中美高中数学教材函数内容的比较研究》选取中学数学的核心内容—函数内容, 对我国人教版高中新课标 ( A版) 数学教材与美国Mc Graw - Hill Companies出版社的 《Core Plus Mathematics》教材对比研究, 通过分析两国教材函数内容宏观和微观层面的差异, 教材综合式编排方式, 创新意识和应用能力的培养途径, 进而为我国教材编提出有价值的建议, 为创新意识和应用能力的培养提供崭新的思路。曾荣的 《螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究—基于苏教版高中数学教材必修1、必修4 函数图像变换编写的比较》, 笔者指出教材编写应坚持螺旋上升的原则, 既要在教学内容的深度、广度上做到螺旋上升, 同时也应在知识的呈现方式上做到螺旋上升。
2. “高中数学思想方法” 文献综述
韩雪丽 《数形结合思想方法在高中数学教学中的研究与实践》, 笔者通过阐述数形结合思想方法的含义、国内外究现状、数形结合思想方法的理论基础和数形结合思想方法的研究意义以及在高中教学中应如何使用属性结合思想进行教学, 强调了数行结合思想的重要性以及笔者自己的一些教学实践感悟以及建议。张硕 《高中数学思想方法学习现状的调查研究》通过对高中课本的研究, 统计了各种数学思想方法在高中数学教材中出现的频数, 并自编调查问卷和测试题, 对石家庄高一到高三15 个教学班的学生进行调查和研究, 通过笔者的研究和分析得出数学思想方法水平与教学成绩有较显著相关。
黄东, 苟一泉, 赵中玲 《浅谈高中数学思想方法》总结了一些高中数学中重要的思想方法, 并对每种思想进行举例说明, 通过笔者的总结希望能为读者在认知数学的过程中予以启迪。李燕 《浅谈高中数学思想的培养》笔者从平常的教学中、基础知识的复习中、解题教学中几个方面均需要教师有意的渗透教学思想, 另外需要开设专题讲座, 激发提升对数学思想方法的认识, 主要讲述了如何培养高中生的数学思想意识。骆雯琦 《高中数学思想方法教学现状研究—以江西省戈阳一中高中数学课堂教学为例》笔者对江西省弋阳县2 所高中, 以及52 名数学教师进行了问卷调查, 得出高中数学思想方法教学的现状, 在研究结果基础上, 提出高中数学教师课堂教学策略。李剑评 《浅析高中数学思想在高考考查中的渗透》笔者阐述了高中中常考的几种思想方法, 结合例题加以分析、探究, 并给出了学习思想方法的注意事项。赵文莲 《透过高考试题看高中数学思想方法的学习》主要透视2002 年、2003 年高考试题, 分析考察的数学思想方法, 并提出了几条加强数学思想方法的学习的建议。
3. 总结
( 1) 研究中存在的问题
(1) 对 “高中数学教材”研究的论文和期刊都相当多, 如: 不同内容的研究、同一内容的比较研究、新课标教材特色研究、对教学的研究等。但是对高中的核心内容的研究少之又少, 在别的内容方面进行研究的学者相对很多。
(2) 总的来说, 研究 “数学思想方法”的文献比研究 “高中数学教材”的文献要少很多, 研究的方向主要是思想方法的举例概述以及数学思想方法对教师教学的重要性, 对教师进行教学中的一些建议等。较少系统的研究某一内容中渗透的思想方法的学习以及对学生学习会带来哪些积极的影响。
( 2) 研究展望
基于对以往学者研究过的文献进行综述和分析, 笔者拟采用如下的研究方案对高中函数与方程的思想方法在高中的学习现状和教学渗透策略进行研究。
研究目标: 通过函数与方程的学习现状的调查分析, 以及教学渗透策略的研究, 以期教师能够重视函数与方程思想方法的教学。提高学生的兴趣, 增强学生的学习信心, 提高学生的学习成绩, 实现新课标的要求, 培养学生的能力。
研究内容: 第一: 高中函数与方程思想方法的学习现状调查研究。第二: 通过高中函数与方程思想方法的学习现状的调查研究与分析, 结合具体的教学案例给出课堂中渗透函数与方程思想方法的教学策略。
研究方案: 笔者根据高中数学思想方法频数统计情况, 编制调查问卷和数学测试试卷, 以研究高中数学思想方法的学习现状, 数学成绩与数学思想方法知识的关系, 以及数学思想方法与年级、性别的关系, 以期从中发现高中数学教与学中存在的问题, 并试图寻找以数学思想方法为主线, 以提高学生数学能力为目的的学习和教学方法。其次, 分析函数与方程的思想方法在高中数学教学与学习中起到的作用, 此模块采用理论与实践教学相结合, 分析函数与方程思想方法在高中数学中所起到的作用。
“函数与方程思想”案例分析 篇2
——“函数与方程思想”案例
一．主题
函数与方程是中学数学的重要概念，他们之间有着密切的联系；函数与方程的思想是中学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是历年高考的重点和热点。
1.函数的思想
用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识。
2.方程的思想
在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。
3.函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决。对于函数，当
时，就转化为方程，也可以把函数
看作二元方程，函数与方程可相互转化。
4.函数与方程的思想在解题中的应用
（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当
时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，当
时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。
时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。
（2）数列的通项与前
项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。
项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。
（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
（4）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。
二．背景
此案例的背景主要是：这是一堂与函数与方程思想有关的中学数学课，虽然本节教材是实施新的课程改革，但是这节内容与老教材的内容基本一致。选用此案例的原因是虽然该案例的授课老师授课时是一节平常课，采用的上课方式是组讨论式，但是该授课老师以前曾有过用此节内容开公开课的经历，当时采用的上课方式是普通的启发式教学。通过此案例我们可以将其进行分析比较，进而得到结果。
三．情景描述
四．教学反思研究
例谈函数与方程思想的教学策略 篇3
高考中的函数方程思想可以分成逐渐提高的四个层次：
第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等。
第二层次：带参变数的方程或不等式的讨论，常常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题。
第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系、函数的性质、集合的关系等。
第四层次：构成方程或不等式求解问题。
其中，第三、四层次已经进入到方程、不等式观点应用的境界，既把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
运用函数与方程的思想时，要注意函数、方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：
（1）深刻理解函数f（x）的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础。
（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。掌握二次函数基本性质、二次方程实根分布条件、二次不等式的转化策略。
函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。
方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程。
高中数学中函数与方程思想的研究 篇4
在数学的世界里, 函数思想博大精深, 高中数学设定的函数知识这一部分知识点多, 知识面广, 对学生的理解能力和应用能力都是一个挑战, 对教师的教学能力也是一个不小的挑战. 在应用函数和方程思想时主要有几个常见的问题, 如根据变量控制构造函数关系; 分析不等式、方程, 求出其最小值、最大值等问题, 利用函数思想分析数学问题, 选定合适的主变量, 从而求出函数关系; 有时也需要根据实际问题, 建立数学模型, 把实际问题转换成函数关系式, 运用学过的函数性质以及不等式的知识解出答案.
一、函数与方程思想的分析
1. 函数思想的实质
函数思想的核心内容是立足于函数关系的相关性质, 从函数图形出发, 对函数的图形和性质进行分析. 在解题过程中, 要认真地理解题目中给出的各种已知条件, 将实际问题转化成函数方程问题. 方程问题和函数问题的转变可以依据函数图像的性质判断来得出问题求解的条件. 将求解方程根的问题与函数问题相结合, 能够快速地获得解题思路, 用最简单的办法找到问题的关键所在, 从而得到问题的答案. 方程的思想要求我们从函数关系出发, 建立正确的相关函数表达式, 通过进一步对函数表达式的分析, 得到相关问题的答案. 也就是, 从函数问题向方程问题转换, 我们可以把y = f ( x) 转变为f ( x) - y = 0, 这样在具体的解题过程中, 涉及直线、函数的值域、圆锥曲线等问题时, 都可以应用二元一次方程组来让解题过程游刃有余, 达到事半功倍的效果.
2. 函数思想在解题中应用的两个方面
函数思想在解题过程中主要表现在两个方面: 利用有关函数的性质, 解决求值、不等式求解、方程求解、确定参数的取值范围等问题以及建立合理的函数关系式或者构造中间函数来研究问题, 把要解决的问题转化成函数有关问题的探讨, 这样就把实际问题转化成了函数问题, 降低了问题的难度. 用函数与方程思想解决问题一直都是近些年来各大城市高考的重点.
3. 函数思想与方程思想的联系
在高考中, 函数思想的主要应用就是函数的概念, 有时也包括函数性质和图像的应用, 其中一共有显化、转换、构造、建立函数关系解题这四个方面. 而方程思想就是寻找问题之中变量之间的等量关系, 从而建立方程或者方程组解决问题, 用解方程或者运用方程的性质去解决问题. 函数思想与方程思想之间有很密切的联系, 正是因为函数与方程思想的这些联系, 在数学解题时, 我们可以相互转换来得出问题的答案.
二、函数与方程思想的例题分析
高中数学的很多问题可以将原有的隐含的函数关系显化出来, 从而用函数的知识来解决问题. 例如: x1满足方程2x + 2x = 5的条件, 且x2满足方程2x + log ( x - 1) 2 = 5, 求解x1+ x2的取值. 解这个题的核心思想是建立函数关系来显化问题, 以建立的函数关系和函数图像作为解决问题的入手点来解决具体问题, 为了能够深刻理解构建函数的方法和意义, 建立方程和整体运用函数思想的情况, 我们来分析一下这道题.
从题中我们可以看出x1和x2给出的条件都是超越方程的类型, 其特点是方程的根不能由直接计算得出结果, 要想得出方程的根, 解题人就要找出两个方程间的联系, 通过对两个方程进行一定的函数转化来把握方程之间的关系, 这样解题就有了眉目. 所以首先要把2x + 2x = 5确定为方程1, 再对方程2x + 2x = 5进行转化, 方程左右同时减去2x, 再同时除2, 得到转化结果为2x - 1 =5/2- x. 然后将2x +log ( x - 1) 2 = 5设为方程2, 同理也可转化方程2, 在方程2左右同时减去2x, 把方程2转化为log ( x - 1) 2 = 5 - 2x. 之后我们把两个方程进行联立, 再分析两个方程之间的关系, 将方程继续转化为函数并建立相关函数. 方程1的a ( y = 2x - 1) 和b y = (5/2-x) 要看作方程的函数图像在坐标轴上的相交点A的横坐标的值, 把方程2中的c ( y = log ( x - 1) 2) 和d ( y =5 /2 - x) 看作方程图像在坐标轴内B点的横坐标值. 通过如题对函数的构建, 可以再对两个方程对应的函数做进一步的处理, 即a是由函数y = 2x向右平移一个单位所得到的, 同理c函数是由函数y = log2x向右平移一个单位所得到的. 综上所述就可以得出结论: 方程1对应的函数b的图像与方程2对应的函数d的图像有着互相垂直的关系, 而且两个图像的交点坐标为 (7/4, 3/4) , 最后可以根据点A与点B相对距离的关系, 可以得出方程x1+ x2=7/2. 到了这个地步, 这道题也就有了结果, 在这道题中可以看到一种函数方程运用的方法, 即当通过方程无法直接得出答案的时候, 要考虑函数的应用, 从函数的应用入手解决问题; 反之则要考虑方程思想的应用, 只有将函数与方程思想有机地结合起来, 在面对实际问题中灵活地运用, 才能很好地解决问题.
三、结 语
函数与方程思想是高中数学的重要内容, 更是高考的重要考点, 函数与方程思想的教学也是高中教师的一个挑战, 希望能够引起广大教师的重视.
摘要：函数是高中数学最基础的概念之一, 也是高中数学比较重要的知识点, 随着课程改革的不断推进, 高中数学越来越重视函数和方程思想能力的运用.从函数和方程思想的角度去解决各种问题能够极大地提高解题能力, 把问题化难为简.函数与方程思想也是历年考试的重点考点.本文通过介绍函数与方程的思想, 并举出几个例题, 来研究高中函数与方程思想的应用.
方程的根与函数的零点教案 篇5
1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：
1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：
1、问题引入
探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程
方程的根
二次函数
图像与X轴的交点
x2-2x-3=0
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
(-1，0)，(3，0)
x2-2x+1=0
x1=x2=1
y=x2-2x+1
(1，0)
x2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
(图1-1)函数y=x2-2x-3的图像
(图1-2)函数y=x2-2x+1的图像
(图1-3)函数y=x2-2x+3的图像
归纳：
(1)如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点;
(2)如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根;
二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
2、函数的零点
(1)概念
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
(2)意义
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
(3)求函数的零点
①代数法：求方程f(x)=0的实数根
②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
3、函数零点的存在性
(1)二次函数的零点
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0的实数根
y=ax2+bx+c的零点数
△0
有两个不等的实数根x1、x2
两个零点x1、x2
△=0
有两个相等的实数根x1=x2
一个零点x1(或x2)
△0
没有实数根
没有零点
(图2-1)方程ax2+bx+c=0的判别式△0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
(图2-2)方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
(图2-3)方程ax2+bx+c=0的判别式△0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
(2)探究发现
问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点?
解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5
f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4
f(2)*f(1)=-4*5=-200
问题2：在区间[2,4]呢?
解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3
f(4)=42-2*4-3=5
f(4)*f(2)=(-3)*5=-150
归纳：
f(2)*f(1)0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1;f(2)*f(4)0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。
结论：
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
①图像在上的图像是连续不断的
②
③函数在区间内至少有一个零点
4、习题演练
利用函数图像判断下列二次函数有几个零点
①y=-x2+3x+5，②y=2x(x-2)+3
解：①令f(x)=-x2+3x+5,
做出函数f(x)的图像，如下
(图4-1)
它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根，则函数y=-x2+3x+5有两个零点。
②y=2x(x-2)+3可化为
做出函数f(x)的图像,如下：
(图4-2)
浅析函数与方程思想及其实际运用 篇6
[关键词] 函数；方程思想；运用
数学思想与数学方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各个数学问题中，具有内隐性；相对于显性的数学知识点，数学思想具有一定深度和难度. 数学思想的伴生性和内隐性决定了数学思想不能以直接的方式而只能以渗透的方式来传递给学生. 数学思想的深度和难度以及学生现阶段具有的知识水平，决定了中学阶段并不能穷尽数学思想，而只能接触一些与现阶段知识相契合的数学思想. 通常在高中阶段遇到的数学思想有：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合和分类讨论思想.这其中又以函数与方程思想运用得最多，因为高中数学是以函数为基本脉络的. 文章尝试从函数与方程思想在不同知识层面的运用来浅析函数与方程思想.
函数与方程思想的理论分析
所谓函数与方程思想其实包含着两类思想，即函数思想和方程思想，这两类思想之间存在着一定的相关性，它们之间可以相互转化，例如对于函数y=f（x），通过移项可将其转化成一个二元方程y-f（x）=0，若令y=0，则函数转化成一个一元方程f（x）=0. 因此，在教学过程中通常将函数思想与方程思想并列说明.
具体说来，函数思想是指解题过程中，以函数为桥梁运用它的概念与性质来解读、转化和解决问题，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以变量（未知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关函数的模型，来分析和研究数学问题中的各个变量之间的关系，从而达到解决问题的功能. 方程思想是指解决问题中分析问题的各个数量之间的等量关系，以等量关系为前提，建立方程或方程组、不等式或不等式组，并利用方程（不等式）的性质和方程（不等式）的求解达到解决问题目的，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以定量（已知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关方程或不等式的模型，来分析和研究问题定量与变量之间的关系，以达到解决问题的目的.
作为高中知识脉络的主线，函数几乎可以出现在任意知识章节中，结合常见考题可以发现同函数与方程思想结合的问题类型通常有如下几类：首先，不等式与函数的相互转化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多项式可看成函数y=ax2+bx+c，而函数y=f（x）可令y>0，则函数又可转化成为不等式，函数与不等式之间可转化的特性，决定了解决不等式问题时常可借助函数的手段来处理. 其次，数列的函数特性，数列的本质是一个离散型函数，其通项公式与前n项求和公式均可看成是以正整数为自变量的函数，因此用函数的观点来处理数列问题是一种常见的手段. 第三，有关解三角形和三角函数求值的问题，解三角形中的正余弦定理带有明显的方程思想，而三角函数本身作为一种特殊的函数本身就具有函数的特点. 第四，解析几何中也是方程思想运用得比较多的地方，比如在处理直线与曲线位置关系时，常将两者的方程联立转化成一元二次方程来处理，再比如在解析几何中求解几何最值时，通常的处理方式是将待求的几何量表示成某个变量的函数表达式，利用函数性质求解最值.
当然上述的理论分析仅仅是从知识的逻辑体系上来分析函数与方程思想，这只能是对函数与方程思想的抽象认识，要深刻理解函数与方程思想，需要更为具象的实例作为支撑.
函数与方程思想的实例运用
扫描近年来的高考题和各市调研试题可以大致将函数与方程思想运用的热点问题归结为如下几类：其一，函数与方程思想在不等式中的运用；其二，函数与方程思想在数列中的运用；其三，函数与方程思想在解析几何中的运用.
1. 函数与方程思想在不等式中的运用
（2015年新课标Ⅱ全国卷） 设f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范围是多少？
解析：根据题设xf ′（x）-f（x）<0，可以构造函数h（x）=，所以当x>0时，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上单调递减；h（-x）=，函数f（x）为奇函数，所以h（-x）==h（x），函数h（x）为偶函数，所以h（x）在（-∞，0）上单调递增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由构造函数h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）与x同号. 所以当x>0时，h（x）>0，即0 反思：利用题设所给条件构造一个与已知函数相关的新函数，利用新函数的图象和性质解决不等式问题，这是典型的函数思想. 在解决不等式问题时，有时直接令题设中的多项式为某一变量的函数，有时根据要求构造与已知表达式相关的函数，利用函数的性质和图象解决问题，是一种常见的思路. 2. 函数与方程思想在数列中的运用 （2015年保定一模）设等差数列{an}满足a1=1，an>0，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值为多少？ 解析：数列{an}为等差数列，所以Sn=n=n·，=. 又数列{}也为等差数列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，将待求表达式看成关于自变量n的函数，函数f（n）在（0，+∞）上单调递减，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值为121. 反思：将待求数列的表达式看成是关于正整数n的函数，利用函数的单调性求解待求表达式的最值，是典型函数与方程思想. 数列在本质上可以看作定义域为正整数集或其子集的离散型函数，与数列基本量相关的表达式实质就是相应函数的解析式，因此，解决数列问题应当注意利用函数思想解决问题. 3. 函数与方程思想在解析几何中的运用 （2014年福建） 设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是多少？ 解析：根据圆方程和椭圆方程可知圆与椭圆没有公共点，所以可将椭圆上的点视为圆外的点，根据几何意义可知圆外任意一点到圆的最大距离是此点与圆心的距离与半径之和. 所以不妨设Q点坐标为（x，y），所以点Q与圆心的距离d1=. 又因为点Q在椭圆上，所以坐标满足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化简后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以当y=-时，h（y）取最大值50，即d1最大值为5，所以PQmax=6. 反思：将两点之间的距离表示成一个关于y的多项式，利用y的取值范围确定多项式的取值范围，显然这是典型的函数求值域的思想. 在解析几何中，求解几何最值是高考的高频热点，而处理这类问题的指导思想就是函数思想：将待求量表示成一个或几个变量的表达式，利用函数求最值的方式来处理几何最值. 方程思想是从问题的数量关系分析入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式等) , 然后通过解方程 (组) 或不等式 (组) 来使问题获解。 函数思想与方程思想是密切相关的, 如函数问题可以转化为方程问题来解决;方程问题也可以转化为函数问题来解决。如解f (x) =0方程, 就是求函数y=f (x) 的零点, 解不等式f (x) >0 (或f (x) <0) , 就是求函数y=f (x) 的函数值为正 (或负) 时相应的自变量x的取值范围。再如方程f (x) =g (x) 的解的问题可以转化为函数y=f (x) 与y=g (x) 的交点问题, 也可以转化为函数y=f (x) -g (x) 与x轴的交点问题, 方程f (x) =a有解, 当且仅当a属于函数f (x) 的值域, 函数与方程的这种相互转化关系十分重要。 函数与方程思想可以解决很多问题, 函数思想在解题中的应用主要表现在以下两个方面: (1) 借助有关初等函数的性质, 解有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; (2) 在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数, 把研究的问题化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易、化繁为简的目的。方程思想在解题中的应用主要表现在以下四个方面: (1) 解方程或解不等式; (2) 带参变数的方程或不等式的讨论, 常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用; (3) 需要转化为方程的讨论, 如曲线的位置关系等; (4) 构造方程或不等式求解问题。 题型一:方程问题中的函数思想 例2方程x2-2ax+3=0的两根分别在 (0, 1) 和 (1, 4) 之间, 则实数a的取值范围是_________。 【点评】从上面的四道例题, 我们发现方程的解的问题很多时候都可以转化为两个函数的交点问题或者一个函数的零点问题。 题型二:不等式问题中的函数思想 解析:由于2a+5b≥2-b+5-a, 可得2a-5-a≥2-b-5b, 所以考虑设函数f (x) =2x-5-x, 可以得到f (x) 单调递增, 由f (a) ≥f (-b) 可得a≥-b, 即a+b≥0, 所以答案为B。 【点评】从上面两个例题我们可以得出很多不等式问题可以转化成函数问题。第一个例题转化成了函数的最值问题, 第二个例题更加特别, 需要自己构造一个函数, 由单调性得到结论, 比较灵活。 题型三:数列问题中的函数与方程思想 【点评】由上面三个例题我们发现, 在数列问题中, 很多题目其实就是函数问题, 不同地方时它的n不是连续的, n要取整数。特别是例8它是浙江省的一道高考题, 它用到的知识点仅仅是方程有解, 需要Δ≥0, 在考场上难倒了一大片学生。 题型四:最值问题中的函数思想 例10如图, 某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练。已知点A到墙面的距离为AB, 某目标点P沿墙面上的射线CM移动, 此人为了准确瞄准目标点P, 需计算由点A观察点P的仰角θ的大小。若AB=15, AC=25, ∠BCM=30°, 则tanθ的最大值为_______。 (仰角为直线与平面所成角) 【点评】以上两个例题的难点都在函数求最值的处理上, 例10是2014年浙江省高考理科填空题的最后一题, 只要弄清题意其实最后探讨的是二次函数的最值问题。像例11这样的解析几何题也是非常多见, 在最后的最值处理上学生一般都比较为难, 可以利用换元, 让式子变得简单点, 该题最后也是个求二次函数的最值问题。 题型五:一些综合问题中的函数与方程思想 函数的思想主要表现在用运动变化的观点、集合与对应的观点去分析和研究数学问题中的数量关系, 建立函数关系和构造函数, 运用函数的图像与性质去考虑问题、研究问题、解决问题.方程的思想主要表现在研究数学问题中已知量和未知量之间的等量关系, 通过设未知数、列方程 (组) 、解方程 (组) 等步骤, 达到求解目的的解题思路和策略. 函数与方程联系密切, 如y=f (x) 也可以改写成二元方程y-f (x) =0, 函数有意义则方程有解, 方程有解则函数有意义;方程f (x) =0又可看成函数f (x) 的一个特定的值.因此函数思想与方程思想是紧密相连的. 函数与方程、不等式是通过函数值等于、大于或小于零而相互关联的, 它们之间既有区别又有联系, 因此函数与方程思想是研究变量与函数、相等与不等过程的基本数学思想. 例1 已知方程 (x2-2x+m) (x2-2x+n) =0的四个根组成一个首项为 分析 只要求出m, n即可, 要求m, n需要两个方程, 直接求方程有一定困难, 而题中已知的是方程的四个根的情况, 由韦达定理知, 方程的根与m, n有关系, 故必须设出四个根. 解 设方程x2-2x+m=0的根为x1, x2, 方程x2-2x+n=0的根为x3, x4, 则 不妨设 回顾 本题的解法贯穿着方程思想.当直接求未知数出现困难时, 通过列方程或方程组, 甚至考虑引进新的未知量, 列方程或方程组来解决问题是极常用的思路和策略. 例2 等差数列{an}, 公差d≠0, a2是a1与a4等比中项, a1, a3, ak1, ak2, ak3, …, akn成等比数列, 求数列{kn}的通项kn. 分析 通常一个等差数列需要两个量才能确定, 以方程思想理解, 即要有两个独立的等量关系, 而题中只有“a2是a1与a4等比中项”一个等量关系, 因此, 数列{an}不确定.但从函数思想角度, 可以通过建立未知量与{an}的关系来解决问题. 解 由题意知a 即 (a1+d) 2=a1 (a1+3d) . 又 d≠0, ∴a1=d. 又 a1, a3, ak1, ak2, ak3, …, akn成等比数列, 故该数列的公比为 又 在等差数列中有akn=a1+ (kn-1) d, ∴a1·3n+1=a1+ (kn-1) d, ∴kn=3n+1. 回顾 本题解完后看起来不难, 但是一开始可能会对题意理解不清或产生错误.题意是从等差数列中抽取一部分项组成等比数列, 关键是搞清楚等比数列中的akn的双重身份, 即等差数列的第kn项.这样就可以准确地把握整个问题, 将其中变量的关系疏理清楚, 通过等差数列与等比数列之间的关系列出相关等式. 例3 在直角坐标平面中, 已知点P1 (1, 2) , P2 (2, 22) , …, Pn (n, 2n) , n为正整数, 平面上任意一点A0, 记A1为A0关于P1的对称点, A2为A1关于P2的对称点. (1) 求向量 (2) 当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f (x) 的图像, 其中f (x) 是以3为周期的函数, 且x∈ (0, 3]时, f (x) =lgx, 求以曲线C为图像的函数在 (1, 4]上的解析式. 解 (1) 设A0 (x, y) , 则A1 (2-x, 4-y) , ∴A1关于P2的对称点的坐标为A2 (2+x, 4+y) . 故 (2) 设曲线C是函数y=g (x) 的图像, 则 g (x) =g (x+3) . 由 于是当x∈ (1, 4]时, x-3∈ (-2, 1], g (x) =g (x-3) =lg (x-1) -4. 回顾 本题信息量大而杂, 合理地组合有关条件和目标是成功解题的关键.运动变化、集合与对应的观点等函数与方程的思想, 为理清问题、抽象数学模型、寻找解决问题的思路起到了关键的作用. 总之, 在数学的学习和复习中, 要做到熟练掌握基础知识, 充分理解各知识点间的内在联系, 要总结、归纳函数、方程的观点和方法解决常见数学问题的解题规律.在解题中, 充分、合理地运用函数与方程的思想方法, 会产生意想不到的效果. 一、方程思想与函数思想概述 方程与函数思想就是用方程、函数的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系, 从而解决问题的一种数学思维方式, 是很重要的数学思想。方程与函数关系密切, 方程问题也可以转换为函数问题来求解, 反之亦然。 1. 方程思想概念 方程思想是动中求静, 研究运动中的等量关系。在解决数学问题时, 将未知转化为已知的手段就是通过设元, 然后寻找已知与未知之间的等量关系, 构造方程或方程组, 然后求解方程, 当一个问题可能与某个方程建立关联时, 可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。 利用方程思想解决问题, 首先要具有正确列出方程的能力, 有些数学问题需要利用方程解决, 而正确列出方程是关键, 因此要善于根据已知条件, 寻找等量关系列方程。其次要具备用方程思想解题的意识, 要善于挖掘隐含条件, 要具有方程的思想意识。最后, 要掌握运用方程思想解决问题的要点。除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外, 经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式, 在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。 2. 函数思想概念 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的一种思想方法。函数思想是解决数学题型问题中的一种常用的思维策略。 在平时解题的过程中, 要善于去挖掘其中的隐含条件, 根据隐含条件构造出函数解析式, 利用函数的性质, 是函数思想解题的关键应用。 观察问题、分析问题和判断问题, 然后系统去追寻题目中的相互关联, 构造函数的原型。另外, 一些代数问题、不等式问题等也可以转化为函数的相关问题, 因此可以借助于函数的思维解决一些非函数的难题。 方程思想和函数思想是两个相互联系、相互渗透的可又不同的数学概念。一个函数若有解析表达式, 那么这个表达式就可以看成是一个方程。一个方程, 它的两端可以分别看成函数。因此, 许多有关函数的问题也可以用方程的思想来解决, 相反, 许多有关方程的问题也可以用函数的思想来解决。 二、函数思想和方程思想解题类型归纳 1. 证明不等式的应用 在解决不等式的问题的时候, 我们可以以函数为桥梁, 将方程和不等式实现在函数之间的相互转化, 方程与不等式同函数有着内在的联系。我们在研究函数性质的时候, 用到了很多不等式及方程反面的知识, 如求定义域实际上就是求解不等式, 证明函数的单调性归根到底就是不等式的证明问题, 等等;另一方面有关方程和不等式的问题, 又可以统一到函数思想的研究, 如解方程就是函数f (x) 零点, 解不等式f (x) <0就是求函数f (x) 的正负区间。因此在实际解题过程中, 我们应该善于利用函数思想, 以其为桥梁, 来解决的方程、不等式问题。 例1.已知二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , 方程f (x) -x=0的两根满足 (1) 当时x∈ (0, x1) , 证明x<f (x) <x1; (2) 设函数的图像关于x=x0对称, 证明 证明: (1) 设f (x) -x=a (x-x1) (x-x2) , 当x∈ (0, x1) 时, 由于x1, x2有 (x-x1) (x-x2) >0, 又有a>0∴f (x) -x>0, 即x<f (x) 又x1-f (x) =x1-x+[x-f (x) ]=x1-x+a (x1-x) (x-x2) = (x1-x) [1+a (x-x2) ], 由于∴x1-x>0, 1+a (x-x2) =1+ax-ax2>1-ax2>0。∴x1-f (x) >0, f (x) <x1。 点评:本例题是有关二次方程中实根的分布问题, 实质上是二次函数f (x) =ax2+bx+c的零点分布问题, 把已知条件“f (x) -x=0的两根满足来转化为二次函数f (x) -x=0的函数值符号。通过构造二次函数转化为二次方程的实根分布问题, 实现了函数、方程和不等式之间的互相转化。 证明:由a3-a2=b3-b2得, a3-b3=a2-b2, (a-b) (a2+ab+b2) = (a-b) (a+b) 又因为a-b≠0, 则可得:a2+ab+b2=a+b令ab=t2-t则, 可见a、b是方程x2-tx+ (t2-t) =0的两不相等的正根, 故有 从而得 点评:对于同时包含有, 的式子的问题, 常常可将看作为某个一元二次方程的两个根, 进而我们可以构造出一个一元二次方程, 然后利用方程中的有关理论来求解。 2. 数列问题的应用 方程思想和函数思想是数列的两大精髓。从基本量出发, 知三求二, 这是方程思想的体现;将数列看成一种特殊的函数, 等差、等比数列的通项公式和前项和公式都是关于的函数, 则蕴含了函数的思想, 借助有关函数、方程的性质来解决数列问题, 常能起到化难为易的功效。 例3.已知数列﹛bn﹜是公差为1的等差数列, (1) 若求数列﹛an﹜中的最大项和最小项; (2) 若对任意的n∈N*都有bn≤b8成立, 求a1的取值范围。 当时, f (x) 为减函数, 且f (x) <1; 当2时, f (x) 为减函数, 且f (x) >1。 所以数列﹛bn﹜的最大项为b4=3, 最小项为b3=-1。 (2) 由题意得, an=n-1+a1, 所以考察函数的增减性: 当x<1-a1时, f (x) 为减函数, f (x) <1; 当x>1-a1时, f (x) 为增函数, 且f (x) >1; 所以要使b8是最大项, 当且仅当7<1-a1<8, 所以a1的取值范围是-7<a1<-6。 点评:通过上本例题我们可以发现, 在数列的教学中, 应该重视方程函数思想的渗透, 应该把函数概念、图形、性质有机的融入到数列中, 通过数列与函数知识的相互交汇, 使学生的知识网络得益不断优化与完善, 同时也是学生的思维能力得以不断地发展提高。 3. 求解综合题的应用 在一些大型的综合题当中, 函数与方程思想的应用也相当广泛。 例4.已知二次函数f (x) =ax2+bx (a, b为常数, 且a≠0) 满足条件:f (x-1) =f (3-x) 且方程f (x) =2x有等根。 (1) 求f (x) 的解析式; (2) 是否存在实数m, (m<n) , 使f (x) 的定义域和值域分别为[m, n]和[4m, 4n], 如果存在, 求出m, n的值;如果不存在, 说明理由。 解: (1) 因为方程ax2+bx-2x=0有等根, 所以△= (b-2) 2=0, 得b=2。 由f (x-1) =f (3-x) 知此函数图像的对称轴方程为得a=-1, 故f (x) =-x2+2x。 所以m=-2, n=0, 这时, 定义域为[-2, 0], 值域为[-8, 0]。由以上知满足条件的m, n存在m=-2, n=0。 点评:通过本例题, 我们可以看到, 在求解这种综合提的时候, 首先要明确题目要求解的问题, 然后根据已知条件, 结合方程和相关函数的性质, 也可以利用属性结合的方法来进行求解。 三、方程思想和函数思想在解题中的总结 教会学生们一种严密的数学思维, 培养和提高他们解决数学问题的能力, 是我们数学学科教学中的重要任务。从以上的例子我们可以看出, 方程思想和函数思想在高中数学解题中有着相当广泛的应用, 如果学生能够掌握和利用函数与方程思想来解题, 将会达到事半功倍的奇效。 在教学中, 我们应该培养学生做到, 当看到一个题目的时候, 首先要想一想可否将题目中的代数式抽象成为一个函数, 或者将方程化作函数, 亦或者将字母看成变量;如果上步可行的话, 接下来我们应该考虑, 是否能够利用转化得到的函数的一些性质或者属性来解决问题;如果上步不可行的话, 是否可以考虑构造辅助函数来转化问题。如果题目中包含有等式, 我们可否将其转化为一个方程, 然后利用方程的思想对其进行求解。总之, 方程思想和函数思想是高中数学最常用也是最重要的思想方法, 因此在高中的教学中, 要加强学生对这种思想的应用, 使他们熟练掌握这些思想 摘要：方程思想与函数思想是高中数学中的关键思想方法, 综合知识面广、出题类型繁多、解题时需要应用的技巧多, 因此也成为了历年高考的重点。本文首先介绍了函数与方程思想在高中数学中的背景, 然后以例题的形式, 结合具体的例子讲述了函数思想与方程思想在解题中的应用。在本文的最后, 就函数与方程思想在解题中应该注意的一些问题和解题时的步骤做了总结。 关键词：高中数学,方程思想,高考,函数思想 参考文献 [1]张同君.中学数学解题研究[M].长春:东北师范大学出版社, 2002 [2]成世泰.例谈含参不等式的解法[J].数学教学研究, 2004.04 [3]丁赛军.数列中的数学思想.高中数学教与学, 2003.11 [4]浅析函数与方程思想在高中数学课堂教学中的应用.韩若莹《新课程学习 (中) 》.2012.04.18 [5]严碧友.函数与方程思想应用面面观[J].中学生数理化 (高中版) , 2004.03 一、依课标,现体系,乍现数形结合 ( 一) 课程标准( 7 ~ 9 年级) 学段目标 1. 知识技能: 体验从具体情景中抽象出数学符号的过程,掌握方程、不等式、函数进行表述的方法; 2. 数学思考: 通过用方程、不等式、函数表述数量关系的过程,体会模型思想,建立符号意识; 3. 问题解决: 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法; 4. 情感态度: 在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值. ( 二) 北师大版教材对于“方程、不等式、函数”内容的编排如下 通过7 ~ 9年级学习目标和课程内容编排可以看出: 教材内容螺旋上升,逐步深化,同一类问题从不同角度理解分析,实现了从“四基”到“四力”( 四基: 基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验,四力: 提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力) ,实现了从初步感知→联系实际→梯度深化→寻求关联→构建体系→探寻本质. 在学习递进中,数学思想方法的教学呈阶梯式层次结构: 二、借一次,分层次,初论以数解形 案例1一次函数y = 2x + 5,当x取何值y > 0,y = 0,y< 0? ( 北师大版八年级下册课本习题) 学生已经学习了一次函数和一元一次不等式,能够用“数”和“形”两种方式来解决,通过列表、描点、连线画出函数图像,体会静态点、动态线( 点动成线) ,线是点的集合的思想,方程与函数的动静变化跃然纸上. 基本题型: 通过三个一次的对比使学生经历了“从简单到复杂,从特殊到一般,从具体到抽象”的递进过程,体会分类讨论、数形结合的思想和方法,体验到回归“基本概念、基本性质、基本算理”的解题通法. 三、用二次,渐深化,再论以形助数 1. 基本题型 从数的角度解一元二次不等式: ( 学生采取的解法) 因式分解法———有理数乘法法则、因式分解. 对比两种解法,入手点虽有不同但殊途同归,都达到了降次转化的目的,两种解法类比一元二次方程的解法去解一元二次不等式,达到了方法的正向迁移,两种解法提取的知识储备略有差异,但都回归到了基本法则、基本概念、基本性质通法. 2. 特殊到一般 3. 归纳总结,抽象概括 在构建数学知识体系时,首先要关注问题的内在联系,把握知识的梯度和整体的规律,优化组织架构,探寻问题本质,将零碎的知识有机融合. 四、揽全局,寻通法,数学思想渐升华 数学思想方法是数学的灵魂,思想有角度、有深度、有生命,知识可以用文字陈述并掌握. 而深邃的思想则要通过数学符号化的过程来获得. 数学思想蕴含于数学内容中, 在三个一次与三个二次的对比归纳中,在数形共同分析、解决问题的过程中,对比优势,体会“数”“形”二者之间的互补作用,突出特殊的转化作用,从整体上认识函数的本质属性,“数形迁移、动静转换”. 在运用“配方法”“因式分解法”解一元二次不等式中,通过降次化繁为简、化生为熟、化未知为已知,新旧知识在此“血脉相承”. 通过将教材不同层级的内容———“三个一次”与“三个二次”的类比、抽象、深化,加强同类知识之间的横向与纵向的联系. 从函数的角度对方程和不等式重新进行分析,引导学生关注函数的本质,渗透“运动变化和联系对应”,将”三个数学对象融为一体,统一认识,“见树木更见森林”,在更高的起点上对函数、方程、不等式进行动态分析,从而达到知识的融会贯通. 在构建知识体系的过程中,渗透函数的统率作用,帮助学生逐步形成认识、分析问题时“先从特殊对象切入,再拓展推广到一般”的策略,提高多角度、灵活分析和解决问题的能力. 通过“三个一次”“三个二次”的对比,构建知识体系,关注内在联系,通过类比解决一元二次不等式的新问题,学生调动知识储备去感悟通则,解题通法由此生成. 学生在迁移创造的过程中实现了元认知,既体现了其形成的有形过程,又经历了无形的数学创造性文化的熏陶过程,在这个过程中,知识的种子生根、发芽,数学知识在融合中创新,数学方法在创新中发展,数学思想在发展中升华. 摘要：函数、方程、不等式是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型,它蕴含着丰富的数学思想和方法.通过对“三个一次”“三个二次”的对比分析,构建知识体系,关注内在联系,迁移创造,数形结合,梯度深化. 【函数与方程的思想方法】相关文章： 函数与方程的解题方法及总结08-20 方程的根与函数的零点教案06-02 高三函数与方程教案08-11 函数与方程复习教案08-14 《方程的根与函数的零点》说课稿04-29 函数与方程公开课教案12-15 方程的根与函数的零点优秀教学设计04-28 方程的根与函数的零点评课稿04-30 高一数学函数与方程专项检测题07-11 二次函数与一元二次方程关系案例与反思11-30函数与方程思想应用例析 篇7
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