高等方法求函数最值

高等方法求函数最值（精选八篇）

高等方法求函数最值 篇1

利用函数的单调性求最值, 题型特征是能在给定区间上确定函数的单调性, 再由单调性求最值。

(1) 判断并证明f (x) 在R上的单调性。

(2) 求f (x) 在[-3, 3]上的最值。

分析:先判断函数的单调性, 再求最值。

解: (1) f (x) 在R上是单调递减函数。

证明:令x=y=0, f (0) =0, 令x=-y。

可得:f (-x) =-f (x) , 在R上任取x1<x2, 则x2-x1>0,

所以f (x2) -f (x1) =f (x2) +f (-x1) =f (x2-x1) 。

又因为x>0时, f (x) <0,

所以f (x2-x1) <0, 即f (x2) <f (x1) 。

由函数单调性的定义知f (x) 在R上单调递减。

(2) 因为f (x) 在R上是单调递减的函数。

所以f (x) 在[-4, 4]上也单调递减。

二、导数法

利用原函数的导数求最值, 题型特征是能确定函数的导数。再确定其单调区间, 然后求出给定区间上的极值, 最后结合端点值, 求出其在该区间上的最值。

例2:已知函数f (x) =-x3+3x2+9x+a。

(1) 求f (x) 的单调减区间。

(2) 若f (x) 在区间[-2, 2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值。

分析:首先求出原函数的导函数, 令f′ (x) <0, 得到函数f (x) 的单调递减区间为 (-∞, -1) , (3, +∞) , 最后求出最值。

令f′ (x) <0, 解得x<-1或x>3。

又因为在 (-1, 3) 上f′ (x) >0, f (x) 在 (-1, 3) 上单调递增。

所以f (x) 在[-2, 2]上是先减后增, 在x=-1的时取得最小值。

最大值可能在端点处取到:f (2) =22+a=20, 所以a=-2。

所以f (x) =-x³+3x²+9x-2, 在该区间上的最小值是:f (-1) =-7。

三、换元法

通过简单的换元把原函数变为简单函数, 其题目特征是函数解析式中含有根式或三角函数公式模型。数学方法中特别重要的方法之一是换元法, 在求函数的最值中同样发挥它独特的优势。

四、数形结合法

此类题型是函数解析式具有鲜明的某种几何意义, 如点到直线的距离公式直线斜率等, 这类题目若运用数形结合法, 便会使问题更加简单, 答案一目了然。

解:原函数可化简得:y=∣x-1∣+∣x+9∣

上式可以看成数轴上点P (x) 到定点C (1) , D (-9) 间的距离之和。

故所求函数的最小值为:10

五、不等式法

例5:求函数y= (sinx+1/sinx) + (cosx+1/cosx) 在R上的最小值。

分析:利用不等式a+b≥2 ab, 求函数的最值。

解:原函数变形为:

当且仅当tgx=ctgx, 即当x=kπ±π/4时 (k∈z) , 等号成立。

所以原函数的最小值为5。

摘要：有关函数的最值问题是高考热点题型之一, 这类问题的解决涉及到许多数学思想, 例如化归、转化、类比、数形结合。而函数的最值是函数题目中常见的一种, 本文概括归纳了五种求函数最值的方法, 并对每种方法的优点及其适用范围做了具体的介绍, 这有利于学生在解题过程中快速求出最值。

怎样求函数最值几种方法 篇2

一.求函数最值常用的方法

最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点, 它涉及到高中数学知识的各个方面, 解决这类问题往往需要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题途径, 而教材中没有作出系统的叙述.因此, 在数学总复习中,通过对例题,习题的分析, 归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.常见的求最值方法有:

1.配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2.判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值.4.利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立.5.换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值.还有三角换元法, 参数换元法.6.数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值.求利用直线的斜率公式求形如的最值.7.利用导数求函数最值.用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题 对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根．先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了．

此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

求函数值域与最值的常用方法 篇3

求函数的值域与最值没有通性通法, 只能根据函数解析式的结构特征来选择相应的方法求解.因此, 对函数解析式结构特征的分析是十分重要的.下面将常见函数解析式的结构模型与对应求解方法加以归纳.

一、二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 及二次型函数 y=a[f (x) ]2+b[f (x) ]+c (a≠0) 可用配方法.

例1 求函数 y=sin2x+4cosx+1的值域.

解:y=-cos2x+4cosx+2

=- (cosx-2) 2+6.

因为-1≤cosx≤1,

所以当 cosx=-1时, ymin=-3;

当 cosx=1时, ymax=5.

所以值域是[-3, 5].

二、形如$y=\frac{a{}_{1}x{}^2+b{}_{1}x+c{}_1}{a{}_{2}x{}^2+b{}_{2}x+c{}_2}$ (其中 a1, a2不全为0, 且定义域为R) 的函数可选用判别式法.

(注:分子、分母不能约分时适用.若分子、分母能约分, 则参看类型五.)

例2 求函数$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$的值域.

解:因为 x∈R, 所以由$y=\frac{x{}^2-x+3}{x{}^2-x+1}$得

(y-1) x2+ (1-y) x+ (y-3) =0.

当 y=1时, 此等式不成立.

故 y≠1, 所以

Δ= (1-y) 2-4 (y-1) (y-3) ≥0,

解得$1\le y\le \frac{11}{3}.$

所以函数值域为$(1‚\frac{11}{3}].$

三、形如$y=ax+b+\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用单调性法;当ac<0时, 可用换元法.

例3 求函数$y=2x-5+\sqrt{15-4x}$的值域.

解:令$t=\sqrt{15-4x}$, 则$x=\frac{15-t{}^2}{4}$, 且 t≥0.所以

$y=\frac{15-t{}^2}{2}-5+t=-\frac{1}{2}(t-1){}^2+3.$

由 t≥0, 得值域是 (-∞, 3].

四、形如$y=ax+b-\sqrt{cx+d}(a‚b‚c‚d$为常数, ac≠0) 的函数, 当ac>0时, 可用换元法;当ac<0时, 可用单调性法.

例4 求函数$y=2x-\sqrt{1-x}$的值域.

解:因为$y{}_1=2x‚y{}_2=-\sqrt{1-x}$均为 (-∞, 1]上的增函数, 所以$y=y{}_1+y{}_2=2x-\sqrt{1-x}$为 (-∞, 1]上的增函数.

所以$y\le 2\times 1-\sqrt{1-1}=2.$

故该函数的值域为 (-∞, 2].

五、形如$y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0)$的函数, 可用逆求法.

例5 求函数的值域:

$(1)y=\frac{1-x}{2x+5}$;$(2)y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}.$

解: (1) 由$y=\frac{1-x}{2x+5}$得$x=\frac{1-5y}{2y+1}.$

因为 2y+1≠0,

所以函数值域为$\{y\in \mathbf{R}|y\ne -\frac{1}{2}\}.$

(2) 由$y=\frac{2{}^x-1}{2{}^x+1}$解得$2{}^x=\frac{1+y}{1-y}.$

因为 2x>0, 则$\frac{1+y}{1-y}＞0.$

从而可得值域是{y|-1<y<1}.

六、形如$y=x+\frac{k}{x}(k＞0)$的函数可用均值定理法.

例6 求函数$y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}(x＜0)$的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{知}y=\frac{3x}{x{}^2+x+1}\\ =\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}(x＜0).\end{array}$

又$x+\frac{1}{x}\le -2\Rightarrow x+\frac{1}{x}+1\le -1\Rightarrow -3\le \frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}＜0.$

故函数的值域为[-3, 0) .

七、对于分段函数或含绝对值符号的函数可用数形结合法.

例7 求函数 y=|x+1|+|x+4|的值域.

解:|x+1|+|x+4|表示数轴上的点到表示数-1, -4的点的距离之和.而此距离之和的最小值为3, 故函数的值域为[3, +∞) .

八、定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值.

其解题程序为第一步求出极值;第二步求出端点值;第三步比较极值与端点值的大小.

例8 求函数 f (x) =x3-3x2+1, x∈[-2, 3]的值域.

解:由 f (x) =x3-3x2+1求导, 并令

f ′ (x) =3x2-6x=3x (x-2) =0,

得极值点 x=0, x=2.

当 x∈ (-∞, 0) ∪ (2, +∞) 时, f ′ (x) >0;当 x∈ (0, 2) 时, f ′ (x) <0.

故 f (x) 在 x=0处取得极大值1, 在 x=2处取得极小值-3.

又 f (-2) =-19, f (3) =1,

所以函数的值域为[-19, 1].

四川省内江市第二中学

高等方法求函数最值 篇4

一、化为复合型代数函数, 利用三角函数有界性求值域

例1求下列函数的值域:

解析 (1) 原函数可看成由外函数y=log2t, 内函数复合而成.

∴-1≤y≤1, ∴函数的值域为[-1, 1].

(2) 由题意1+sinx≠0,

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx复合而成.

又∵-1

-4, 1 (]2.

(3) 原函数可化为:y=sinxcosx-2 (sinx+cosx) +4.令

∴原函数可看成由外函数内函数t=sinx+cosx复合而成,

∴原函数的值域为

(4) 原函数可化为故可看成由外函数内函数复合而成, 其中内函数又可转化正弦函数与对偶函数的复合型函数.

∴原函数的值域为 (0, 1/2].

二、将原函数收成一个三角函数式, 如y=Asin (ωx+φ) +B, 再利用三角函数性质求其值域

例2 (1) y=1+sinxcosx.

(2)

(3) y=sin2x+2sinxcosx+3 cos2x.

(4)

解析 (1) 逆用二倍角公式, 原函数可化为根据三角函数有界性, 得原函数值域为

(2) 利用辅助角公式, 原函数可化为.

又∵根据三角函数单调性可知原函数值域为[1, 2].

(3) 先逆用二倍角公式, 再利用辅助角公式, 原函数可化为:可得

(4) 由利用辅助角公式可得:

这里

根据三角函数有界性知|sin (x+φ) |≤1,

通过解关于y一元二次不等式得原函数的值域为

上述两种解决三角函数值域 (最值) 问题的方案都用到了一些基本的数学思想, 如化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想等, 如果能恰当使用这些思想方法, 将会大力加强学生对基本概念内涵与外延的理解, 提升对数学通性通法的掌握和运用, 从而提高学生的基本能力和一般能力.下面针对这几种思想方法, 我们再看几个值域问题的特殊解决方案.

三、巧用函数与方程的转化思想

例3求函数的最大值、最小值.

解析将问题转化为一元二次方程在闭区间有解的充要条件:

原函数解析式可化为sin2x+ (4-y) sinx+3-2y=0.

令t=sinx, t≤1, 则原问题转化为关于t的一元二次方程t2+ (4-y) t+3-2y=0在区间[-1, 1]有解, 求参数y的问题, 设f (t) =t2+ (4-y) t+3-2y, 故有f (-1) ·f (1) ≤0.解得0≤y≤8/3.故原函数值域为[0, 8/3].

四、巧用建立函数模型, 数形结合思想

例4求函数的最大值、最小值.

解析由于函数属于分式函数, 且同时出现一次的正、余弦函数, 故联想到线性规划知识, 原函数解析式可变为原问题转化为过点 (3, 2) 作单位圆的切线, 求切线斜率的最值问题:设切线方程为y-2=k (x-3) , 即kx-y+3k+2=0.

设圆心到切线的距离为d, 则

解得

故原函数值域为

六种求三角函数最值的思维方法 篇5

求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时, 常常通过恒等变换, 使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换, 一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为的形式, 只要能转化, 问题就迎刃而解。

2应用平均值定理求最值

3应用二次函数判别式求最 (极) 值

此题也可用放缩法解

注意在用放缩法时, 等号必须成立。

4应用函数的有界性

5应用函数的单调性

6利用数形结合

前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法, 但在解题中并不固定于一种方法。如

解:

方法二:用第一种方法化为的形式,

由上述例题可知数学问题形式多样, 千姿百态, 不要墨守成规, 往往用多种方法互相配合使用解答同一道数学题, 不仅能更牢固地掌握和运用所学知识, 而且, 通过多种方法实现一题多解, 分析比较, 寻找解题的最佳途径和方法, 这样能够提高自身思维能力。

摘要：三角函数是数学中重要的函数概念, 它和其它数学知识有着密切的联系, 且常常在学习和研究其他数学知识时有着广泛的应用。在三角函数的学习中, 三角函数最值的求法有着重要的地位。在求三角函数最值时的正确思维方法对学好三角函数知识是有意义的。

三角函数求最值问题 篇6

1.有关向量问题的最值

例1.给定两个长度为1的平面向量, 它们的夹角为120°, 如下图所示, 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动, 若, 其中x, y属于R, 则x+y的最大值是多少?

分析:当点C在圆弧上运动时, x, y都是变化的, 如何刻画这个变化呢? 引入一个辅助角是解决问题的关键, 同时选取作为基底 , 易找到的分解关系.

解:设∠AOC=θ将在方向上分解, 如图1:

所以在三角形OCE中, OE=x, CE=y.

由正弦定理得

遇到旋转角的问题时常引入辅助角解决问题, 这样的优点:一是可以将所求的问题转化的三角函数问题解决, 这是我们所熟知的;二是未知数只有一个, 也便于问题的求解.

2.有关三角形问题的最值

例2.若AB=2, , 则三角形ABC的面积最大值是多少?

分析:如图2, 三角形ABC的面积大小取决于边BC, 可设BC为一个参变量, 但要注意变量的取值范围, 利用三角函数的三角形面积公式, 即可求出面积.

解:设BC=a, 则, △ABC的面积为S, 由三角形两边之和大于第三边有

由射影定理得

AB=ACcos A+BCcos B

得2a2cos2A=4-4acos B+a2cos2B

又由正弦定理得

得2sin2A=sin2B

从而2cos2=cos2B+1, a2 (cos2B+1) =4-4acos B+a2cos2B

当a2=12, 即时, 满足边的范围, 因此S有最大值.

三角形面积的最值的求解利用常规求法很难做到, 我们常利用三角函数的有界性, 这样在做题目时便有法可循, 能降低难度.

3.有关曲线问题的最值

例3.求经过A (1, 1) , 且以y轴为准线、离心率为2/3的椭圆的长轴的取值范围是多少?

分析:如图3, 要求长轴的取值范围, 引入曲线的参数方程, 将长轴2a用cosθ表示出来利用cosθ的范围在[-1, 1]之间, 便可求出2a的取值范围.

解:设椭圆的参数方程为

由e=2/3, 知

椭圆的中心横坐标为

由椭圆过定点A知

则, 所以当cosθ=-1时, 2a取最大值4,

当cosθ=1时, 2a取最小值4/5, 所以4/5<2a<4.

曲线最值问题, 利用几何性质去解, 会很困难, 甚至解不出, 引入参数方程, 三角函数的有界性可以很好地帮我们解决此类问题, 这样做一是使问题突然变得简单易解, 二是参数减少到一个, 便于分析.

4.有关数列问题的最值

例4.a是1+2b与1-2b的等比中项, 则的最大值是多少?

分析:由a是1+2b与1-2b的等比中项可得

即a2+ (2b) 2=1, 联系三角形的恒等式cos2θ+sin2θ=1类比换之就可使题目得到简化.

解:令a=cosθ, 2b=sinθ, θ∈R, 满足a2+ (2b) 2=1

因为θ∈R, 所以|sin2θ|∈[0, 1]

所以, 则的最大值为, 当时取到最大值.

在数列中, 有时我们也可以引入三角函数, 达到事半功倍的效果, 此题最大的亮点在于能够找到a2+ (2b) 2=1满足三角函数的一个恒等式cos2θ+sin2θ=1, 从而为引入三角函数明确了方向, 任何最值问题, 只要与三角函数联系上了, 就变得明朗起来, 将用三角替换便得到解决.

5.在实际生活中的应用

例5. 某市现有从市中心O通往正东方向和北偏西方向30°方向的两条主要公路, 为了解决市交通拥挤的问题, 市政府决定修建一条环城公路, 分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上, 选取A, B间为直线段, 要求路段AB与市中心O的距离为10km, 且使A, B间的距离最短, 请你确定A, B两点的最佳位置.

构造数学模型如图4, 已知∠=120°, A, B为∠上的动点, OD⊥AB, |OD|=10, 求|AB|的最小值.

分析:转化为三角函数关系

再令1-3t=m, m∈[0, 1]

当m=1时, 即θ=0时, |AB|的最小值为, 此时|OA|=|OB|=20km.

通过以上五个不同方面的例题的分析和归纳总结, 可以看出利用三角函数的特点和性质灵活运用于数学问题中的妙处及重要作用. 它的应用领域非常广泛. 常见的如在函数、数列、圆锥曲线、三角形中等方面求解最值问题, 都能够用到三角函数, 只要我们仔细挖掘所给信息与三角函数的性质和特点之间的联系, 将信息巧妙变通, 把所给量与三角函数联系起来, 转化成关于三角函数的求解, 明确的指定角范围, 得到关于三角函数的等式, 建立关系, 运用三角函数的有界性, 根据所给题目的要求, 灵活取值, 代入等式中, 便可求出所要的最值.

参考文献

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[7]曲一线.五年高考三年模拟[M].北京:首都师范大学出版社, 2010.

速求三角函数的值域(最值) 篇7

关键词：有界,配元,换元,单调

一、有界性法

有些函数式可化成一个角的三角函数y=Asin(ωx+φ)形式,利用正(余)弦函数的有界性(|sinx|≤1,|cosx|≤1)求解,可分为如下四类.

1.形如y=asinx+bcosx型的函数式可用辅助角公式化为

求解.

2.形如

型的函数式可反解出sinx(或cosx)用正(余)弦函数有界性求解.

3.形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型的函数式可用降幂公式化为形式1求解

4.形如型的函数式可化为形式1求解.

二、配元法

形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)的函数式,可化成一个角的一种三角函数形式的一元二次函数,利用配方法求解,但需注意变量范围.

例5求函数y=cos2x-3cosx+2的值域.

解:y=(cosx-3/2)2-1/4,因为-1≤cosx≤1.所以1/4≤(cosx-3/2)2≤25/4.所以原函数的值域为[0,6].

三、换元法

例6求函数y=(cosx-2)(cosx-2)的值域.

四、单调性法

解:因为y=sinx与y=-2/sinx在x∈(0,π/2]上均单调递增.所以y=sinx-2/sinx在(0,π/2]上递增.所以y∈(-∞,-1].

五、基本不等式法

闭区间上二次函数求最值探讨 篇8

一、定轴动区间

所谓的定轴动区间就是说这时候二次函数的对称轴是可以确定的, 而闭区间不确定, 有一定的变量存在, 是不确定的。二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题, 要考察区间与对称轴的相对位置关系, 分类讨论常成为解题的通法, 这些问题其实仔细思考就很容易解决。通过二次函数的性质和图像, 我们不难观察到:二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

例1.求f (x) =-x2+2x-2在闭区间[t, t+1]上最大值和最小值是多少。

分析:根据二次函数最值出现的可能:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。在这个例题中, 这个二次函数是开口向下的, 在闭区间上, 它的最大值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到, 有三种可能, 所以分三种情况讨论;而它的最小值不可能是二次函数的顶点, 只可能是闭区间的两个端点, 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到, 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

解:由二次函数f (x) =-x2+2x-2, 可以很简单的得出二次函数的对称轴是x=1。

(1) 求二次函数的最大值f (x) max

当t+1<1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t<1≤t+1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t≥1时, f (x) max=f (t) =-t2+2t-2

(2) 求二次函数的最小值f (x) min

当时,

这样, 这道题的最值就由分别讨论得出来了, 这就是定轴动区间的情况, 求最大值的时候主要考察对称轴有没有在区间里, 因为当图像开口向下的时候, 区间两端点和对称轴上都有取得最大值的可能性, 而最小值的取值不可能在图像顶点, 只可能是区间两端点, 所以只分两种情况就可以了。

二、定区间动轴

所谓的定区间动轴是和定轴动区间正好相反的一种情况, 这种情况是区间固定, 而图像的对称轴是不固定的情况。这种情况下, 想要求得二次函数的最值也是要分情况讨论而定, 这种分类其实本质上和定轴动区间的情况一样。

例2.求f (x) =x2+2ax+1在区间[-1, 2]上的最小值和最大值是多少?

分析:从这个二次函数来讲, 其图像的开口向上, 其最小值有可能在顶点和区间两端出现, 这就需要考查对称轴是否在区间内部;最大值只能出现区间的两端点。

解:由二次函数f (x) =x2+2ax+1, 可得对称轴方程为:x=-a.

(1) 求二次函数的最小值f (x) min

当-a<-1, 即a>1时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

当-1≤-a<2即-2<a≤1时, f (x) min=f (-a) =1-a2;

当-a≥2, 即a≤-2时, f (x) min=f (2) =4a+5;

(2) 求二次函数的最大值f (x) max

当即时, f (x) max=f (2) =4a+5;

当即时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

三、逆向求值问题

所谓逆向求值问题就是已知了一个二次函数在某一段区间上的最值, 而求二次函数系数上的某个变量的值的运算, 实质上是二次函数求最值的逆向运算, 是二次函数求最值运算的一种变化的题型, 这种题型在考试中也是经常出现的。

例3.已知二次函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间上的最大值为3, 求实数a的值是多少?

分析:这个问题, 若从求最值入手, 需分a>0与a<0两大类五种情形讨论, 过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到, 因此先计算这些点的函数值, 再检验其真假, 过程就简明多了。

解: (1) 当最大值在图像的顶点处的时候, 即令, 得到;此时抛物线的开口向下, 对称轴x=-2, 不在区间上, 所以是不符合题意的。

(2) 令f (2) =3, 得到, 此时抛物线的开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

(3) 令, 得到, 此时抛物线的开口向下, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

综上所述, 或者都是符合题意的。

总之, 二次函数在闭区间上求最值一直是教师和同学感到棘手的问题, 其实只要分析清楚题目, 看清题目是属于哪一个类型, 然后再分类解决就可以了。在平时学习中, 同学们一定做好知识的梳理工作, 勤于思考, 学会融会贯通, 举一反三。

摘要：二次函数是初中数学学习的重难点问题, 特别是关于在闭区间求最值的问题成为许多同学所困扰的问题, 笔者将此问题分为:定轴动区间, 定区间动轴和逆向求值问题等三个问题来加以讨论。

关键词：初中数学,闭区间,二次函数,最值

参考文献

[1]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习, 2009 (11)