高中数学中的最值问题

2024-07-19

高中数学中的最值问题（精选十篇）

高中数学中的最值问题篇1

最值问题是一类特殊的数学问题, 是历年高考重点考查的知识点之一, 也是近几年数学竞赛中的常见题型.随着素质教育的不断推进和教学改革的不断深入, 不仅要求学生学会书本知识, 更重要的是引导学生学以致用, 培养学生解决实际问题的能力.在现实生活中常遇到的最大利润、最小投资、最短路程, 等等, 都是最值问题在生活中的应用.同时最值问题作为高中数学的重要内容, 在中学数学教学中也占有比较重要的地位。由于其解法灵活, 综合性强, 能力要求高, 故而解决这类问题, 需要学生能综合运用各种数学技能, 灵活选择合理的解题方法.本文主要对最值问题的解法进行一些有益的总结和探讨.

二、一般函数中的最值问题

1. 判别式法

若函数y=f (x) 经过适当变形后, 可整理成a (y) x2+b (y) x+c (y) =0 (a (y) ≠0) 的形式.由于x是实数, 因此有△=b2 (y) -4a (y) c (y) ≥0, 从而可以求出y的值的范围.但要注意把变形过程中函数值域扩大 (或缩小) 的部分去掉 (或补回) .

例:求函数的最值.

解:∵x2+4≠0, ∴定义域为R, 原式可化为yx2-3x+4y=0,

∴△=9-16y2≥0⇒-3/4≤y≤3/4, ∴y的最大值为3/4, 最小值为-3/4.

对于解析几何中的某些交点问题, 也可以用判别式法来求解.

2. 换元法

用换元法求函数最值, 就是根据函数表达式的特点, 把某一部分看做一个整体或用一个新变元来代替, 达到化繁难为简易, 化陌生为熟悉, 从而使原问题得解.换元法通常有三角代换和代数代换两种.

例:正数x, y满足, 其中a, b为不相等的正常数, 求x+y的最小值.

解:令 (u, v>0) ,

3. 不等式法

不等式法求最值主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题.

(1) (均值不等式) 对于任意n个正数a1, a2, …, an, 有, 当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

(2) (柯西不等式) 设a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为任意实数, 则 (a1b1+a2b2+…+anbn) 2≥ (a12+a22+…+an2) (b12+b22+…+bn2) , 当且仅当时等号成立.

(3) (琴生不等式) 若f (x) 在区间I内上凸, 则对于任意的x1, x2, …, xn∈I, 以及任意的λ1, λ2, …, λn∈R+, λ1+λ2+…+λn=1, 则有:

若f (x) 在区间I内下凸, 则不等式反向.其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.

例: (1997, 全国高中数学联赛) 设a=lgz+lg[x (yz) -1+1], b=lgx-1+lg (xyz+1) , c=lgy+lg[ (xyz) -1+1], 记a, b, c中最大数为M, 则M的最小值为______.

解:由已知条件得a=lg (xy-1+z) , b=lg (yz+x-1) , c=lg[ (xz) -1+y].设xy-1+z, yz+x-1, (xz) -1+y中的最小数为A, 则M=lgA.因为x, y, z∈R+, 有A2≥ (xy-1+z) [ (xz) -1+y]=[ (yz) -1+yz]+ (x+x-1) ≥2+2=4.所以, A≥2, 且当x=y=z=1时, A=2, 故A的最小值为2, 从而M的最小值为lg2.

注:在用均值不等式求函数的最值时, 往往需要配合一定的变形技巧, 才可以把问题转化成求不等式的问题.

另外求一般函数最值问题常用的方法还有单调性法、导数法、配方法等.

三、几何最值问题

几何是中学数学的重要分支, 它本身蕴涵了大量的数学方法, 下面我们主要研究与最值相结合的几何问题.

1. 几何化方向

几何最重要的特征就是研究图形及其性质, 所以我们在求解几何最值问题时可以先画出图形, 然后利用图形的性质进行求解.

例:已知A、B为抛物线y2=2x上两个动点, |AB|=3, 求AB中点P到y轴的距离的最小值.

解:如上图, 分别过A、B、P作抛物线准线的垂线, 垂足分别为G、H、Q, PQ交y轴于R点, 显然|AF|=|AG|, |BF|=|BH| (F为焦点) .在直角梯形 (或矩形) ABHG中, , 而|QR|=P/2=1/2, 所以点P到y轴的距离, 即中点P到y轴的距离的最小值是1.

根据图形的几何性质, 可简化计算、方便求解, 这是几何化的好处之一.

2. 代数化方向

在几何最值问题中, 有时我们可以先求出变量的函数表达式 (或目标函数) , 然后用适当的代数方法加以解决.

例:设球O的半径为r, 求其外切圆锥的全面积S的最小值.

解:如图, 作圆锥的轴截面PAB, 设球O与圆锥底面直径AB及母线PA分别切于点E、F.再设AE=AF=t, ∵△PAE∽△POF, ∴PE∶PF=AE∶OF, 即, 由此得:, 即2πt4-St2+r2S=0.

∵t2是实数, ∴△=S2-8πr2S≥0, 即S≥8πr2.当S=8πr2时, 易得.

∴当圆锥底面半径时, S有最小值, 最小值为8πr2.代数化也是求解几何最值问题常用的方法之一.

3. 三角化方向

由于圆、椭圆等曲线的参数方程, 以及立体几何中常常要求解三角形等, 而所有这些都离不开三角函数, 并且这些题目在应用三角函数的知识求解的时候较简便, 所以我们将三角化方向从代数化方向中独立出来专门进行讨论.

例:设实数x, y满足x2+4y2=4, 则x+y的最大值______.

解:因为x, y满足椭圆方程, 设x=2cosθ, y=sinθ (0≤θ≤2π) ,

于是.由于-1≤sin (θ+φ) ≤1,

以上对最值问题的求解方法作一简单探讨, 由于最值问题的解题方法灵活多样, 因此教师在教学最值问题的求解方法时, 应重视思想方法的渗透, 把构建和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务, 而学生在学习过程中也应该把握其灵活的解题思想.

参考文献

[1]薛金星.中学教材全解[M].西安:陕西人民教育出版社, 2006.

[2]况亦军.高中数学多功能宝典[M].广州:华东师大出版社, 2008.

[3]翁凯庆.高中数学新课程研究[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]陈传理等.竞赛数学教程[M].北京:高等教育出版社, 1995.

[4]王朝旋.高中数学解体方法[M].武汉:武汉大学出版社, 2008.

隐含在不等式中的最值问题篇2

这是求函数最值中比较复杂的一类问题，它往往与恒成立问题有联系，换元与整体思维在解决问题的过程中起主导作用，通过对以下两个问题的探讨，我们可以从中发现解决这类题目的方法规律。

例1.若不等式22x2x1t10对一切实数x都成立，求实数t的最大值。解：原不等式可化为t(21)2

令a2，f(a)(a1)2(a0)

则f(a)的值域为(1，)

t1时原不等式对xR都成立，故t的最大值是1

注：tf(x)恒成立，应考虑f(x)的最小值，而tf(x)恒成立应考虑f(x)的最大值。

x2x2

11m 0总能成立。abbcca

acac解：将m与a，b，c分离并整理得m。abbc例2.已知abc，求实数m的最大值，使不等式

要使此不等式成立，只需m不大于右边式子的最小值。

ab0，bc0

abbcabbcabbc

bcabbcab222·4 abbcabbc

m4可使原不等式当abc时恒成立右边

m的最大值是4

练一练

已知对任意实数x，二次函数f(x)axbxc恒非负，且ab，求

小值。2abc的最ba

bt1 a

例谈中学数学中的最值问题篇3

【关键词】求最值数学能力常用方法映射与反演几何性质函数均值不等式

引言：在中学数学中，最值问题一直以来都是一个比较重要的问题。不仅涉及到一些著名的数学问题，还广泛应用于现实生活中。因此处理好最值问题对于研究其它问题有很大的帮助。那么怎样来处理最值问题呢？

徐治利先生曾说过：“如果谁能对于一些重要的关系结构巧妙地引进非常游泳且具有可行性反演的可定映射，就能作出比较重要的贡献。”

在此主要谈谈如何利用“映射反演”的方法来处理中学数学中一些常见的最值问题。所谓的“映射”作为广义讲，就是指实现化难为易的某种对应方法或变换手段；而“反演”就是把变换后求得的解答再转换为原来问题要求的解答。

中学数学中的最值问题一般常见的可分为三类：

（一）与函数直接相关的。常见的有二次函数、三角函数求最值的问题。对于一些比较常见的一般来说都可以用下列方法解决：利用函数单调性、判别式法、换元法及导数极值的应用。

例1：求在R上的最值。

法一：利用函数单调性，易知函数在为增函数，在为减函数，所以函数只有最大值既时；

法二：利用判别式法，把y看成常数既方程在R上有解即；

法三：利用导数求极值，易知函数在R上是连续的。即极值点为为极值点，又则在取得最大值。

对于一些比较简单的最值问题，以上的方法一般来说都可以解决，而且做法也比较简单。但对于一些比较复杂的问题就比较困难，这时候如果采取“映射反演”的方法把这些问题转化为上述比较简单的问题或一些比较简单的做法，做起来会事半功倍的。

例2：

以上的问题对于这一类型最值问题主要的方法在于寻求一个数学模型，然后把相应的最值问题进行变形，变形为简单常见的求函数最值情形。

（二）均值不等式的应用。对于均值不等式类型的最值问题一般来说主要把对应的最值问题转化为均值不等式的模型。

对于例5来说直接做比较困难，对于三项之和虽然为定值但是等号取不到也就是说按照这种构造行不通。对于这个问题如果把这个式子两边同时平方，这时候三项之和为定值，且等号能取到。由此对于一般的均值不等式的如果能够转化为上述模型解决起来会事半功倍。

（三）一些重要的几何性质的应用：利用映射与反演把一些比较复杂的有关几何的最值问题转化为一些比较简单的几何问题。如：三点共线、两点间线段最短、对成问题等等。

例4：立体几何问题平面几何问题

（1）（2）

图1-1

从图1-1可以看出圆台侧面与扇环的点与点之间存在一一对应关系。圆台侧面上最短的细绳即为扇环内的长度。因此对于立体几何的问题如果能转化为平面几何问题，此时对应的问

题会更简单更易于入手。除了立体几何与平面几何的转换外，又如：

两线段的和最小的问题点与点的共线与对称问题

例5：

由此可见对于中学数学中的最值问题，如果能利用映射与反演的方法来做，往往都会使问题简单化、明了化，更易于入手。但并不是所有的最值问题都可以按照这种方法来做。要应用映射与反演原则来解题一般要考虑以下几点：

1、能否在同一关系结构中构造出该问题的模型；

2、能否用另一知识、知识系统中的语言来改述与解决这个问题；

3、能否用特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映射到其他领域中去解决，然后再反演回原来的系统得出结果。

【参考文献】

[1]《数学教学中培养中学生阅读能力的实验与思考》许世红罗华《数学教育学报》2001.2第10卷底1期

[2]《身边的数学》梁智勇黄孟宜潘欣等《中学生数学》2000.7

[3]《数学步步高同步学案》王朝银2010.5

2010年高考数学的最值问题篇4

以最值为载体, 可以考查中学数学中的诸多知识点, 考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法, 还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力, 因此, 它在高考中占有比较重要的地位, 尤其是导数的引入, 更是为最值问题的研究注入了新的活力.

综观2010年全国各省市19套高考理科数学试卷, 可以深刻体会到:高考命题在既有利于高等院校选拔人才, 又有利于中学数学教学的指导思想下, 始终坚持“源于课本、高于课本、稳中求变、应用创新”的原则, 以现行教材为依据, 求实、求变、求新、求活.从数学基础知识、数学思维方法和学科能力出发, 多层次、多角度、多视点地考查了学生的数学素质和学习潜能.

由于最值问题与函数的值域, 变量的取值范围及恒成立问题等在本质上的一致性和处理方法的相通性, 它们之间又能互相转化, 因此本文把这一类型问题综合在一起研究, 以2010年全国各省市19套高考理科数学试卷为例, 具体分析这一类型问题在高考中的命题特点.

在19套试卷中, 最值问题所占分值平均为24.95分, 2009年为21.84分, 比2009年增加3.11分, 分值最大的是福建卷和辽宁卷, 达40分, 有8套试卷在30分以上, 最少的是陕西卷和安徽卷, 各占10分, 涉及题目平均4.26题, 2009年为3.63题, 比2009年增加0.63题, 最多的是辽宁卷, 多达8题, 最少的有4套试卷, 各占2题, 其中湖北卷有4个大题涉及最值问题.

从表1不难看出, 高考对最值问题的考查常常以高中数学的主干内容——函数、方程、不等式、数列、立体几何和解析几何等知识为背景, 与函数思想、划归转化、分类讨论和数形结合等思想方法相衔接, 以初等函数的性质为基础, 导数、均值不等式和函数的单调性等为工具, 其立意新颖、构思巧妙、抽象程度高, 源于教材而又略高于教材, 充分体现了高考命题遵循考试大纲但不拘泥考试大纲的精神.

一、三角函数中的最值

三角函数的最值问题出现的频率最高, 但一般都为中档题, 解题方法多数较为常规, 变化不是很大, 主要方法有: (1) 通过辅助角公式化为一个角的三角函数, 再利用三角函数的有界性与单调性求解; (2) 用换元法将其转化为代数函数的最值问题, 但要注意新元的范围; (3) 利用二次函数在闭区间上的最值求解, 对于含参数的问题要注意讨论所有可能的情况.

例1 (山东卷17) 已知函数其图象过点

(1) 求φ的值;

(2) 将函数y=覼 (x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的, 纵坐标不变, 得到函数y=g (x) 的图象, 求函数y=g (x) 在上的最大值和最小值.

参考答案: (1) (2) 函数y=g (x) 在上的最大值和最小值分别为

评注:高考中有关三角函数的试题, 解题特点往往是先利用公式进行三角恒等变形, 再利用三角函数的图象函数的图象和性质求解, 这一直是高考的热点, 而本题的图象变换特别是在给定区间上求函数的最值, 看似简单, 反而往往是学生难以掌握和易出错的地方, 教学中要给予重视.

二、应用问题中的最值

高考应用题中的最值问题在客观题或解答题中频繁出现, 分为两类:一类是用线性规划来解决;另一类是用基本初等函数, 如一、二次函数、反比例函数和等的性质或导数来解决, 建立目标函数是关键.

例2 (安徽卷13) 设x, y满足约束条件若目标函数z=abx+y (a>0, b>0) 的最大值为8, 则a+b的最小值为___________.

参考答案:a+b的最小值为4.

评注:本题综合考查线性规划问题和由基本不等式求函数最值的问题, 近年来线性规划问题与其他数学知识的整合有逐年增加的趋势.

三、立体几何中的最值

立体几何的最值问题是近几年高考中较为常见的一类题型, 过去常常以选择题或填空题的形式出现, 而今年有向解答题延伸的趋势, 其命题特点是设问灵活, 具有一定的难度, 解法具有开放性, 需要对图形进行展开、折叠、翻转或割补等变形, 创造性地解决问题.

例3 (全国Ⅱ卷9) 已知正四棱锥S-ABCD中, 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为 ( ) .

参考答案:选C.

评注:本题有两个难点, 其一是建立体积的目标函数, 其二是避开根号求被开方数的导数.

四、解析几何中的最值

解析几何中的最值问题是高考的热点问题之一, 在客观题或解答题中频繁出现, 考查角度多种多样, 解法更是灵活多变, 常常与主干知识如三角函数、不等式、向量及导数完美整合.考查常见的问题有: (1) 直线、圆和圆锥曲线的基本量的取值范围或最值; (2) 线段 (如弦) 或几条线段的和 (或差) 的最值; (3) 三角形或四边形的面积或周长的最值.而解法几乎涉及所有求最值的方法: (1) 用一次或二次函数求最值; (2) 用判别式求最值; (3) 用三角函数或参数方程求最值; (4) 用函数的单调性求最值; (5) 用均值不等式求最值; (6) 用导数求最值.

例4 (浙江卷21) 已知m>1, 直线l:椭圆F1, F2分别为椭圆C的左、右焦点.

(1) 当直线l过右焦点F2时, 求直线l的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A, B两点, △AF1F2, △BF1F2的重心分别为G, H.若原点O在以线段GH为直径的圆内, 求实数m的取值范围.

参考答案:

(1) 直线l的方程为

(2) m的取值范围是 (1, 2) .

评注:本题第 (2) 问的解答有两个难点:第一是利用A, B, F1, F2四点的坐标, 求出△AF1F2, △BF1F2的重心G, H的坐标;第二是巧妙利用原点O在以线段GH为直径的圆内, 转化为∠GOH>90觷, 得x1x2+y1y2<0, 避开繁琐计算, 这是解答本类问题的最简便方法.

五、创新题中的最值

创新题中的最值问题常出现在选择题和填空题中, 一般难度不大, 但常常伴有学生未学过的概念或定理, 需要学生阅读一段材料, 学会其中的内容, 解决所提问题.

例5 (湖北卷10) 记实数x1, x2, …, xn中的最大数为max{x1, x2, …, xn}, 最小数为min{x1, x2, …, xn}.已知△ABC的三边边长为a、b、c (a≤b≤c) , 定义它的倾斜度为则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的 ( ) .

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

参考答案:选B.

评注:本题考查学生的综合数学能力, 难点是读懂理解“倾斜度”的定义, 利用特殊值法灵活处理, 降低难度.

六、利用导数求最值

用导数求最值是求函数最值的最重要的基本方法之一, 在高考解答中频繁出现, 近几年高考有向其他主干知识渗透整合的趋势, 如用于解决三角函数、解析几何和数列中的最值问题, 教学中要给予重视.

例6 (全国Ⅰ卷20) 已知函数

(1) 若求a的取值范围;

(2) 证明:

参考答案:

(1) a的取值范围是[-1, +∞)

(2) 略

评注:本题考法较新颖, 在所求问题的设置上打破常规, 不是单纯考查利用导数研究函数的几何意义、单调性、极值和最值等, 而是将这些知识融入一个不等式恒成立求参数范围的问题中, 这符合“稳中求变”的高考命题原则.

七、恒成立问题

高考数学的恒成立问题常常把不等式、函数、数列、三角、几何等内容有机地结合起来, 渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法, 有利于考察学生的综合解题能力, 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

解决此问题的基本方法是:

例7 (2010天津卷16) 设函数对任意恒成立, 则实数m的取值范围是______.

评注:本题是较为典型的含参数的不等式恒成立问题, 分离变量转化为用最值方法求解是本题的难点, 解决这一类问题有时要注意对参数范围的讨论.

高中数学中的最值问题篇5

（1）xR；（2）[0,3]；（3）[1,1]

变式迁移1求f(x)x22ax1在区

间[0,2]上的最大值和最小值。

例2．已知函数f(x)x23x5，求

x[t,t1]时函数的最小值。

2.已知二次函数f(x)ax22ax1在区间[－3,2]上的最大值为4，求a的值．

例3．(1)已知关于x的方程

x22mx4m260的两根为,，试求(1)(1)的最值．

(2)若3x2y9x,且pxy有最大值，求p的最大值． 222222

例4.求下列各函数的值域： 1.y322xx2 2.yx2x1

随堂练习：

抛物线中的最值问题篇6

点与点、点与线之距离的最值问题

例1 在抛物线[y2=2pxp>0]上求一点，使它到直线[l]：[Ax+By+C=0]（其中[A≠0，pB2<2AC]）的距离最短，并求出此最短距离.

法1 由已知，直线[l]与抛物线相离，

设直线[l1]：[Ax+By+m=0]与抛物线相切，

联立[Ax+By+m=0，y2=2px]消去[x]得，

[A2py2+By+m=0].

由[Δ=B2-4?A2p?m=0]得，[m=pB22A].

故直线[l1]的方程为：[Ax+By+pB22A=0].

由两平行线间的距离公式得，

[dmin=pB22A-CA2+B2=pB2-2AC2AA2+B2=2AC-pB22AA2+B2].

进而得所求抛物线上的点为[pB22A2，-pBA].

法2 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]，则[y02=2px0].

点[P]到直线[l]的距离

[d=Ax0+By0+CA2+B2=A?y022p+By0+CA2+B2=A2p?y0+pBA2+p2AC-pB2A2A2+B2.]

又[pB2<2AC]，故[d=A2p?y0+pBA2+2AC-pB22AA2+B2]，

注意到[y0∈R]，

因此，当[y0=-pBA]时，[dmin=2AC-pB22AA2+B2]，

可得所求点的坐标为[pB22A2，-pBA].

法3 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]到直线[l]的距离最短.

在抛物线[y2=2px]中，两边同时对[x]求导得[2y?y=2p]，即[y=py].

故[y|y=y0=py0].

由[py0=-AB]得，[y0=-pBA]，即所求点[P]的坐标为[pB22A2，-pBA].

根据点到直线的距离公式得[dmin=2AC-pB22AA2+B2].

线段之和（或积）的最值问题

例2 过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB?CD]的最小值.

法1 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.

设直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，

则直线[CD]的方程为[y=-1kx-p2].

联立[y=kx-p2，y2=2px]消去[x]得，[ky2-2py-kp2=0].

则[Δ=4p2k2+1>0]恒成立.

记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，得[y1+y2=2pk]，[y1y2=-p2].

故[AB=1+1k2y1+y22-4y1y2=2p1+1k2]，

同理[CD=2p1+k2].

[∴AB+CD=2p1+1k2+2p1+k2=2p2+k2+1k2，]

[AB?CD=4p21+1k21+k2=4p22+k2+1k2]，

当[k2=1]即[k=±1]时，

[AB+CDmin=8p]，[AB?CDmin=16p2].

法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.

设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，直线[AB]的斜率为[k]，

则[y1-y2x1-x2=k].

又[y12=2px1]，[y22=2px2]，

两式相减得[y12-y22=2px1-x2]，

即[y1+y2=2p?x1-x2y1-y2]，

故[y1+y2=2pk.]

又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，

所以[y1+y2=kx1+x2-p]，即[x1+x2=2pk2+p].

由抛物线的定义得，

[AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2]

[=x1+x2+p][=2pk2+2p，]

同理[CD=2p1+k2].

以下略.

点拨一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB?CD]的最小值. （留与同学们解答）

三角形、四边形等多边形之面积的最值问题

例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.

法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，

则直线[OB]的方程为[y=-1kx].

联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].

所以[SΔAOB=12OA?OB]

[=124p2k4+4p2k2?4p2k4+4p2k2=2p22+k2+1k2]，

当[k2=1]即[k=±1]时，[SΔAOBmin=4p2].

法2 设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，由[OA⊥OB]得，

[x1x2+y1y2][=0].

又[y12=2px1]，[y22=2px2]，于是得[x1x2=4p2].

[SΔAOB2=14OA2?OB2=14x12+y12x22+y22=14x12+2px1x22+2px2]

[=14x1x22+2px1x2x1+x2+4p2x1x2]

[≥14x1x22+2px1x22x1x2+4p2x1x2]

[=144p22+2p?4p224p2+4p2?4p2=16p4].

从而[SΔAOB≥4p2]. 当且仅当[x1=x2=2p]时取等号.

因此[SΔAOBmin=4p2].

点拨一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）

弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题

例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到[y]的最短距离.

法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.

故可设直线[AB]的方程为[x=ty+m].

联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].

则[Δ=4ppt2+2m>0].

记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[∴y1+y2=2pt]，[y1y2=-2pm].

从而[x1+x2=ty1+y2+2m=2pt2+2m].

[AB=1+t2y1+y22-4y1y2=4p1+t2pt2+2m，]

又[AB=l].

[∴4p1+t2pt2+2m=l2]，即[m=l28p1+t2-12pt2].

线段[AB]的中点[M]到[y]的距离

[d=xM=x1+x22=pt2+m=l28p1+t2+12pt2].

即[d=p2l2p2t2+1+t2].

设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].

[∴d=p2l2p2μ+μ-1].

若[l2p≥1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2].此时[t2=l2p-1].

若[0

综上可得[dmin=l-p2， l≥2p，l28p， 0

法2 设线段[AB]的中点[Mx0，y0].

直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（其中[t]为参数，直线的倾斜角[α∈0，π]）.

代入[y2=2px]整理得，

[sin2αt2+][2y0sinα-pcosαt][+y02-2px0=0].

记点[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2].

由韦达定理与参数的几何意义知，

[t1+t2=-2y0sinα-pcosαsin2α]，[t1t2=y02-2px0sin2α].

因为[M]是线段[AB]的中点，及[AB=l]，

所以[t1+t2=0]，[t1t2=-l22].

[∴y0=pcosαsinα，]且[y02-2px0=-14l2sin2α].

线段[AB]的中点[M]到[y]的距离

[d=x0=l28psin2α+y022p=l28psin2α+p2cos2αsin2α]

[=l28psin2α+p21sin2α-p2].

令[μ=sin2α]，由[α∈0，π]知，[0<μ≤1].

从而[d=l28pμ+2pl2μ-p2] .

若[2pl≤1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2]，此时[sin2α=2pl].

若[2pl>1]即[0

立体几何中的最值问题四则篇7

一、利用配方法求最值

【例1】如图1, 正方形ABCD、ABEF边长都是1, 且平面ABCD、ABEF互相垂直, 点M在AC上移动, 点N在BF上移动, 若 $C Μ = B Ν = a (0 < a < \sqrt{2})$ .求当a为何值时, MN的值最小.

解析:过M作MH⊥AB, 垂足为H, 连结NH, 在正方形ABCD中, AB⊥CB, 所以BC//MH.因为平面AC⊥平面AE, 所以MH⊥平面AE, 即MH⊥NH.因为CM=BN=a, AB=CB=BE=1, 所以 $A C = B F = \sqrt{2}$ , 即 $A Μ = \sqrt{2} - a ‚ Μ Η = A Η = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} a ‚ B Η = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ , 由余弦定理求得 $Ν Η = \frac{\sqrt{2}}{2} a .$

所以 $Μ Ν = \sqrt{Μ Η^{2} + Ν Η^{2}} = \sqrt{(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} a)^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2} a)^{2}} = \sqrt{a^{2} - \sqrt{2} a + 1} = \sqrt{(a - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + \frac{1}{2}} (0 < a < \sqrt{2}) .$

当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时, $Μ Ν = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , 即M、N分别移到AC、BF的中点时, MN的值最小, 最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

二、展成平面求最值

【例2】如图2-1, 四面体A-BCD的各面都是锐角三角形, 且AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c.平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S, 则四边形PQRS的周长的最小值是 ( ) .

A.2a B.2b

C.2c D.a+b+c

解析:将四面体的侧面展开成平面图形.由于四面体各侧面均为锐角三角形, 且AB=CD, AC=BD, AD=BC, 所以, A与A′、D与D′在四面体中是同一点, 且AD瘙綊BC瘙綊A′D′, AB瘙綊CD′, A、C、A′共线, D、B、D′共线, AA′=DD′=2BD.又四边形PQRS在展开图中变为折线S′PQRS, S′与S在四面体中是同一点.因而当P、Q、R在S′S上时, S′P+PQ+QR+RS最小, 即四边形PQRS周长最小.又S′A=SA′, 所以最小值L=SS′=DD′=2BD=2b.故选B.

三、利用向量求最值

【例3】在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中, P是AF上的动点, 则GP+PB的最小值为______.

解析:以A为坐标原点, 分别以AB、AD、AE所在直线为x, y, z轴, 建立如图3所示的空间直角坐标系, 则B (1, 0, 0) , G (1, 1, 1) .由题意设P (x, 0, x) , 则 $\vec{B Ρ} = (x - 1, 0, x), \vec{G Ρ} = (x - 1, - 1, x - 1)$ , 则

$\begin{array}{l} G Ρ + Ρ B = \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 3} + \sqrt{2 x^{2} - 2 x + 1} \\ = \sqrt{2} (\sqrt{(x - 1)^{2} + (0 - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} + \sqrt{(x - \frac{1}{2})^{2} + (0 - \frac{1}{2})^{2}}) . \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (0 - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}} + \sqrt{(x - \frac{1}{2})^{2} + (0 - \frac{1}{2})^{2}} \end{array}$

可以看成x轴正半轴上一点 (x, 0, 0) 到xAy平面上两点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ 的距离之和, 其最小值为 $\sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .所以GP+PB的最小值为 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} .$

四、利用函数的有界性求最值

【例4】如图4, 已知在△ABC中, ∠C=90°, PA⊥平面ABC, AE⊥PB于E, AF⊥PC于F, AP=AB=2, ∠AEF=θ, 当θ变化时, 求三棱锥P-AEF体积的最大值.

解析:因为PA⊥平面ABC, BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC.又因为BC⊥AC, PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC, 所以BC⊥AF, 又AF⊥PC, PC∩BC=C, 所以AF⊥平面PBC, 即AF⊥EF.EF是AE在平面PBC上的射影, 因为AE⊥PB, 所以EF⊥PB, 即PE⊥平面AEF.

在三棱锥P-AEF中, AP=AB=2, AE⊥PB, 所以

$\begin{array}{l} Ρ E = \sqrt{2} ‚ A E = \sqrt{2} ‚ A F = \sqrt{2} \sin θ, E F = \sqrt{2} \cos θ . \\ V_{Ρ - A E F} = \frac{1}{3} S_{△ A E F} \cdot Ρ E = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \sin θ \times \sqrt{2} \cos θ \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{6} \sin 2 θ . \end{array}$

因为 $0 < θ < \frac{π}{2}$ , 所以0<2θ<π, 0<sin2θ≤1,

圆锥曲线中的最值和范围问题探究篇8

一、主要知识及主要方法

1. 与圆锥曲线有关的最值问题, 大都是综合性问题, 解法灵活, 技巧性强, 涉及代数、三角、几何等多方面的知识, 现把这类问题的求解策略与方法介绍如下

(1) 平面几何法

平面几何法求最值问题, 主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.

(2) 目标函数法

建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题, 是常规方法, 其关键是选取适当的变量建立目标函数, 然后运用求函数最值的方法确定最值.

(3) 判别式法

构造一个二次方程, 利用判别式Δ≥0.

(4) 圆锥曲线定义的应用

(1) 运用圆锥曲线的定义解题常用于:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求过焦点的弦长、焦半径.

(2) 要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验, 以便提高灵活应用定义解题的能力.

a.在利用圆锥曲线定义求轨迹时, 若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义, 则根据圆锥曲线的定义, 写出所求的轨迹方程;若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定的轨迹, 则利用圆锥曲线的定义列出等式, 化简.

b.涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题, 常用第一定义结合正弦定理或余弦定理来解决问题;涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者, 常用第二定义解决问题.

c.研究有关点之间的距离的最值问题时, 常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离, 再从几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.

2. 与圆锥曲线有关的范围问题的讨论常用以下方法解决

(1) 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.

(2) 不等式 (组) 求解法:利用题意结合图形 (如点在曲线内等) 列出所讨论的参数适合的不等式 (组) , 通过解不等式组得出参数的变化范围.

(3) 函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数, 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.

(4) 利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用, 往往需要创造条件, 并进行巧妙的构思.

(5) 结合参数方程, 利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程, 它们的一个共同特点是均含有三角式.因此, 它们的应用价值在于:

(1) 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;

(2) 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;

二、典例分析

(Ⅰ) 求W的方程;

(Ⅱ) 当直线AB的斜率不存在时, 设直线AB的方程为x=x0,

当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y=kx+b,

(1-k2) x2-2kbx-b2-2=0. (1)

依题意可知方程 (1) 有两个不相等的正数根, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则

解析:先让Q点在椭圆上固定, 显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大, 因此要求|PQ|的最大值, 只要求|O1Q|的最大值.设Q (x, y) , 则

因Q在椭圆上, 则x2=9 (1-y2) (2)

将 (2) 代入 (1) 得

点睛 (1) 与圆有关的最值问题往往与圆心有关; (2) 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法, 其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等, 值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视.

例3长度为a (a>0) 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动, 点P在线段AB上, 且→AP=λ→PB (λ为常数且λ>0) .

(1) 求点P的轨迹方程C, 并说明轨迹类型;

(2) 当λ=2时, 已知直线l1与原点O的距离为2a, 且直线l1与轨迹C有公共点, 求直线l1的斜率k的取值范围.

解析: (1) 设P (x, y) 、A (x0, 0) 、B (0, y0) , 则

如图1, 设点F0, F1, F2是相应椭圆的焦点, A1, A2和B1, B2是“果圆”与x, y轴的交点, M是线段A1A2的中点.

(1) 若△F0F1F2是边长为1的等边三角形, 求该“果圆”的方程.

(3) 若P是“果圆”上任意一点, 求|PM|取得最小值时点P的横坐标.

(2) 设P (x, y) , 则

即当|PM|取得最小值时, P在点B1, B2或A1处.

三、总结

高中数学中的最值问题篇9

问题1:我们学习了哪些求最值的方法?

学生思考回答:导数法, 判别式法……

教师总结:抛物线;导数;线性规划;基本不等式;三角函数等.

问题2:你们是否在立体几何中遇到过求最值的问题?

学生回答:很少或基本没有……

师:好.下面我们一起来探讨一下立体几何中的最值问题.

【例题】如图1, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, E、H分别是棱A1B1, D1C1上的点 (点E与B1不重合) , 且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1, CC1相交, 交点分别为F, G.

(1) 证明:AD∥平面EFGH;

(2) 设AB=2AA1=2a.在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点.记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E, F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时, 求p的最小值.

分析:本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系, 以及几何体的体积、几何概念等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.显然本题在第2问中考查了最值的问题.

第 (1) 问学生很快解答完毕.对于第 (2) 问, 学生感到茫然, 我在想, 立体几何中考查最值问题, 是不是将成为新的考查重点?于是我将教学重点放在这个问题的解答上, 通过引导、点拨、整理、归纳, 给出如下解答.

(1) 证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AD∥A1D1.又∵EH∥A1D1, ∴AD∥EH.∵AD平面EFGH, EH平面EFGH, ∴AD∥平面EFGH.

(2) 解:设BC=b, 则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b, 几何体EB1F-HC1G的体积

∵EB21+B1F2=a2, ∴EB21+B1F2≤ (EB21+B1F2) /2=a2/2, 当且仅当时等号成立, 从而

问题3:第2问是不是还有其他的解法呢?

学生尝试寻找, 教师解答如下.

解:设BC=b, 则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=AB·AD·AA1=2a2b, 几何体EB1F-HC1G的体积

设∠B1EF=θ (0°≤θ≤90°) , 则EB1=acosθ, B1F=asinθ, 故当且仅当sin2θ=1, 即θ=45°时等号成立, 从而当且仅当sin2θ=1, 即θ=45°时等号成立.所以p的最小值等于

反思感悟:

数学教育的根本是培养和发展学生的数学素养, 使学生感悟数学的思想方法, 创造性地培养思维品质, 提升观察力, 展示数学的审美价值.数学教学过程是一系列数学问题的提出、探究、解决并提出新问题的活动过程, 是每一次课堂活动的聚焦点和源动力, 是引导学生学习的航标灯, 是维持课堂活力的加油站, 也是学生可持续发展的启动器.因此, 我们应该在这一过程中让学生的数学思维得到充分的发展.

函数的最值问题篇10

一、观察法

对于简单的函数, 可由已知解析式将其适当变形后, 直接求出它的最值.

例1:求函数上的最小值.

分析:观察表达式, 属于非常规题, 如何使之规范化?这里可以把进行转换, 设想转换的目标为:二次方程, 利用判别式法, 抑或转化为二次函数型.若按前一种想法, 只要将函数表达式去分母化为有理式y2x2-7x+2=0, 其判别式为 (-7) 2-8y2≥0, 这样一来只能求出最大值, 事与愿违.继而考虑后一种想法, 启发学生把x移到根号内并配为

至此, 注意到, 问题就明朗化了.

二、判别式法

函数经过适当变形后, 可整理为关于x的二次型:a (y) x2+b (y) x+c (y) =0, 由于x为实数, 因此这类函数可以用判别式法求最值.

例2:求函数的最值.

解:∵分母 (x-1) 2+1≠0

∴定义域为R, 原式化为

(y-1) x2- (2y-1) x+ (2y-1) =0

当y≠1时, 此二次方程有实根

∴△= (2y-1) 2-4 (y-1) (2y-1) = (2y-1) (-2y+3) ≥0

三、利用单调函数法

如果函数在定义域内的各单调区间上是有界的 (可能只有上界无下界或只有下界而无上界) , 则可求出各区间的最大值, 再由它们的并集确定原函数的值域, 从而求得函数的最值.

例3:求函数f (x) =|2x-1|-|x-1|的最值.