欧拉定理

欧拉定理（精选三篇）

欧拉定理 篇1

设△ABC的外接圆半径为R, 内切圆半径为r, 则有欧拉不等式R≥2r.为证明此不等式, 我们需要做三点准备:

①设a, b, c为△ABC三边长, 则有 (a+b-c) (b+c-a) (a+c-b) ≤abc.

②海伦公式:$S{}_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{l}{2},l$为△ABC周长.

$③S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$, 正弦定理$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=2R.$

对于①, 由于△ABC中有a+b>c, b+c>a, c+a>b,

$\begin{array}{l}\text{从}\text{而}\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}\le \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2}=b,\\ \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)}\le \frac{(a+b-c)+(a+c-b)}{2}=a,\\ \sqrt{(b+c-a)(a+c-b)}\le \frac{(b+c-a)+(a+c-b)}{2}=c.\end{array}$

三式相乘有 (a+b-c) (b+c-a) (a+c-b) ≤abc.

我们可以看到, ①中的不等式与海伦公式是颇有联系的, 从海伦公式出发我们得到

$(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=\frac{16S{}^2}{a+b+c}$.再由③中的式子有$a+b+c=l=\frac{2S}{r},ab=\frac{2S}{\text{s}\text{i}\text{n}C}.$

依次代入①中的不等式有

$\frac{16S{}^2}{\frac{2S{}^2}{r}}\le \frac{2S}{\text{s}\text{i}\text{n}C}c\Rightarrow 8r\le 2\frac{c}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=4R$, 故此得到R≥2r.

从而欧拉不等式得证.

2.欧拉定理的三角证法

设△ABC外接圆半径为R, 圆心为O, 内切圆半径为r, 圆心为O1, 则有欧拉定理$d={\rm O}{\rm O}{}_1=\sqrt{R(R-2r)}$.下面推导的主要思想在于用三角函数的语言把各种条件翻译出来并最终转化为三角恒等式的证明.

为得出欧拉定理的三角证法, 先看一结论:△ABC中, 圆O为其外接圆, 圆O1为其内切圆, OE⊥BC, OD⊥AC, OF⊥AB, R, r分别为其外接圆和内切圆的半径, 令OD=x, OE=y, OF=z, 则有x+y+z=R+r.

此结论借助托勒密定理予以证明, 易知O, E, B, F四点共圆, 从而OF·BE+OE·BF=EF·OB, 而$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}b$, 故$\frac{1}{2}az+\frac{1}{2}cy=\frac{1}{2}bR$, 即az+cy=bR, 同理ax+by=cR, cx+bz=aR, 同时我们注意到$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)r=\frac{1}{2}(bx+ay+cz)$, 把以上三式和此式左右分别相加得到 (a+b+c) (x+y+z) = (a+b+c) · (R+r) .故x+y+z=R+r.

在△ABC中, 根据性质设∠OAB=∠OBA=α, ∠OBC=∠OCB=β, ∠OCA=∠OAC=γ, 则根据上面证得的结论有

$x+y+z=R\sin \alpha +R\sin \beta +R\sin \gamma =R+r\Rightarrow \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =1+\frac{r}{R}\Rightarrow \frac{r}{R}=\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1$, 此式就是证明欧拉定理的关键, 将通过它来确定要证明的三角恒等式到底是什么.

下面我们来用上面所设的角度和长度把OO1表示出来, 最直观的想法无疑就是在△OO1B中应用余弦定理, $\angle {\rm O}{}_{1}B{\rm O}=\alpha -\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{\alpha -\beta }{2},B{\rm O}=R,B{\rm O}{}_1=\frac{r}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}$, 所以${\rm O}{\rm O}{}_1^2=R{}^2+\frac{r{}^2}{\sin {}^2\frac{\alpha +\beta }{2}}-\frac{2Rr}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$, 初步设想用得到的式子与欧拉定理OO${}_1^2$=R (R-2r) 对等起来, 如此以来可把$\frac{r}{R}$完全用角度来表示进而转化为三角恒等式证明, 但如此一来有一种“不和谐”因素, 余弦定理仅应用了一个三角形之中, 而这样的三角形实际上是有三个的, 数学是有一种对称美的, 为此我们把其他两个表达式也写出来:

$\begin{array}{l}{\rm O}{\rm O}{}_1^2=R{}^2+\frac{r{}^2}{\sin {}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}}-\frac{2Rr}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}\cos \frac{\alpha -\gamma }{2},\\ {\rm O}{\rm O}{}_1^2=R{}^2+\frac{r{}^2}{\sin {}^2\frac{\beta +\gamma }{2}}-\frac{2Rr}{\sin \frac{\beta +\gamma }{2}}\cos \frac{\beta -\gamma }{2}.\end{array}$

把余弦定理得到的三等式相加可知3OO${}_1^2$的数学表达式, 另一方面从欧拉定理得到3OO${}_1^2$=3R2-6Rr, 两式联立得目标等式如下:

3R2+r2$\frac{1}{\sin {}^2\frac{\alpha +\beta }{2}}+\frac{1}{\sin {}^2\frac{\beta +\gamma }{2}}+\frac{1}{\sin {}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}}$-2Rr·$\frac{\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}+\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\beta +\gamma }{2}}$$=3R{}^2-6Rr\Rightarrow \frac{r}{R}=$

$\frac{\frac{\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}+\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\beta +\gamma }{2}}-3}{\frac{1}{1-\sin \alpha }+\frac{1}{1-\sin \beta }+\frac{1}{1-\sin \gamma }}.$

结合最开始推出的$\frac{r}{R}$表达式, 我们把欧拉定理的证明转化为三角恒等式

$\frac{\frac{\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}+\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\beta +\gamma }{2}}-3}{\frac{1}{1-\sin \alpha }+\frac{1}{1-\sin \beta }+\frac{1}{1-\sin \gamma }}=\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1,$

其中$\alpha +\beta +\gamma =\frac{\text{π}}{2}.$

$\begin{array}{l}\text{而}\frac{\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha +\gamma }{2}\cos \frac{\alpha -\gamma }{2}}{\sin {}^2\frac{\alpha +\gamma }{2}}=\frac{\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \gamma )}{\frac{1-\cos (\alpha +\gamma )}{2}}=\\ \frac{\sin \alpha +\sin \gamma }{1-\sin \beta }.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{从}\text{而}\text{左}\text{式}=\\ \frac{\left(\frac{\sin \alpha +\sin \gamma }{1-\sin \beta }-1\right)+\left(\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{1-\sin \gamma }-1\right)+\left(\frac{\sin \beta +\sin \gamma }{1-\sin \alpha }-1\right)}{\frac{1}{1-\sin \alpha }+\frac{1}{1-\sin \beta }+\frac{1}{1-\sin \gamma }}=\frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1)(\frac{1}{1-\sin \alpha }+\frac{1}{1-\sin \beta }+\frac{1}{1-\sin \gamma })}{\frac{1}{1-\sin \alpha }+\frac{1}{1-\sin \beta }+\frac{1}{1-\sin \gamma }}=\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1=\text{右}\text{式}.\end{array}$

至此欧拉定理得证!

摘要：本文运用与通常不同的方法对欧拉不等式和欧拉定理进行了完整的证明, 它在一定程度上摆脱了几何图形;在一些结论的基础上用代数方法对欧拉不等式进行了证明, 在几何图形中通过引入角度来对线段进行度量进而给出了欧拉定理的三角证法.

欧拉定理 篇2

学案

一、知识点：

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体球面的多面体，叫做2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：VF

E2．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令f(p)VFE，f(p)（1）简单多面体的欧拉示性数f(p)2．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)0（3）多面体所有面的内角总和公式：①(EF)360 或②(V2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r

大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做7． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截

球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的9．两点的球面距离公式： ABR（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得11．球的体积公式：V

4R

312 S4R

2二、练习：n面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－

44．有没有棱数是75．是①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为

． R（R为地球半径），则这两地间的球面距

2练习参考答案：n面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵VFE2，∴FE2V5，即n5．

2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵V8，E8312，∴FE2V6，即n6． 2

3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4 证明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有没有棱数是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数n1,n2nF也都是奇数，则，结果仍为奇数，可右端是偶数，这n1n2nF2E，但是上式左端是奇数个“奇数相加” ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为．

答案：①一个或无数个②49m③3④2R（R为地球半径），则这两地间的球面距24⑤

39.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．

分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．

解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ O1AOO1BOAOC45．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OAcos45＝

22R．

∴ 两点间的纬线的长为：2

22R2

4R．

∵A、B两点的经度相差90°，∴ AO

1B90．

在Rt△AO1B中，AB2AO1R，∴ OAABOB，AOB

3．∴ 两点间的球面距离是：

3R．

16．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA

14，AC，又∵4R2324，∴R9，∴ACa8，∴S表6423214576．

17．正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积． 分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等． 解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．

由题设AGAE2GE26a． 3

aRR，得R a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a2Rrr6，得r∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246aR3

∴ V球O1434663raa． 33241728

积相3另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体

等法，可以得到ROG11AG

h，h，44111r(h)ha。

欧拉定理 篇3

关键词：爆点高度,欧拉定理,海伦定理,测量

0 引言

地空导弹是由地面发射用来攻击敌方来袭飞机、导弹等空中目标的一种导弹武器, 是现代防空武器系统中的一个重要组成部分。防空导弹在空中爆点到地面的垂直高度, 是考量导弹综合性能的一个重要的指标。

测量爆点高度目前常用的方法是用三台经纬仪测量三个测点到爆点的角度, 然后计算出爆点的高度, 有些也是采用声光综合测试的方法, 但这些方法主要用于测量垂直发射的爆炸, 如烟花爆竹等, 对于像导弹这样有多向射程的爆炸就不能适用了。

1 数学模型

欧拉四面体定理指的是任意四面体, 只要知道这个四面体的六条棱长, 就可以计算出该四面体的体积。如图1所示。

图1中, 在空间四面体O-ABC中, A (a1, b1, c1) 、B (a2, b2, c2) 、C (a3, b3, c3) 是四面体的三个顶点, O (0, 0, 0) 是另外一个顶点, 也是坐标原点。其中六条棱长分别为e、f、g、l、m、n。欧拉定理推导出这个四面体O-ABC的体积V为:

平方后得

根据矢量数量积的坐标表达式及数量积的定义得:

根据余弦定理得:

将以上各式带入 (1) 式:

要想知道O点到地面三角形的垂直高度, 还需要知道地面三角形的面积S。根据海伦公式知道, 如果一个三角形的三条边长分别为l、n、g

这就是利用欧拉定理和海伦公式计算四面体高度的基本原理。

2 系统原理

在实际试验中, 首先在地面发射点周围选取三个测量点O、A、C, 如图1。在每个测试点安装一个噪声传感器, 用于测量爆炸声音传送到测量点的时间t1、t2和t3。在某个位置安装一个CCD, 用于记录爆炸时刻的准确时间ti。下图2是测量到数据的示意图。

由于光速很快, 安装CCD的位置只要有利于能拍摄到爆点即可。O、A、C三个点稍微远离, 这样测到的时间差比较大。

图2中t0是发射时刻, ti是空中爆炸时刻, t1、t2、和t3是接收到爆炸声音的时刻。

从图中可以看出:

从发射到爆炸的总时间为T=ti-t0;

A点接收到的爆炸时间为T1=t1-ti;

B点接收到的爆炸时间为T2=t2-ti;

C点接收到的爆炸时间为T3=t3-ti;

如果暂时不考虑其它影响因素, 那么可以计算出:

爆点到A点的距离为:m=T1*340 (m) ;

爆点到B点的距离为:e=T2*340 (m) ;

爆点到C点的距离为:f=T3*340 (m) ;

地面上三个点之间的距离l、n、g等可以直接测量得到。这样, 四面体的六个棱长全都得到了, 按照公式2、公式3和公式4, 即可得到爆点的高度。

3 影响测量的其它因素

以上的计算模型都是在理想情况下进行的, 而实际试验现场的情况往往要复杂得多。影响测量准确度的主要因素有以下几个方面:

1) 风速

由于风速的影响, 声音从爆点传到测量点的时间会发生变化。顺风时测量到的时间比理想值短, 逆风时测量到的时间比理想值长。为了能够得到比较准确的测量结果, 我们可以通过测量风速和高空标定的方法来对测量数据进行修正和补偿。

2) 温度

声音在不同的温度环境下传播的速度也是不同的。导弹发射比较高, 大气温度垂直分布规律给了我们一个修正测量结果的理论依据, 可以通过测量到的时间经过风速补偿后, 依据温度分布规律再反向逆算修正, 能得到比较准确的计算结果。

3) 环境噪声

噪声环境对测量结果有一定的影响, 主要是爆点太高的时候声音传到测量点比较小, 需要保持测点附件相对安静, 后续数据处理时也要对环境噪声进行相应的滤波处理。

4 结论

本文研究的爆点测高方法适用于大多数高空爆炸的测量, 烟花爆竹也可以用此方法。如果爆炸点不能通过CCD拍摄识别, 那么这种方法就不适用。

参考文献

[1]百度百科:欧拉四面体公式.