时滞稳定

2024-06-19

时滞稳定（精选十篇）

时滞稳定篇1

关键词：电力系统,时滞,Hopf分岔

工程中许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述。其中相当一部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后的现象, 即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态, 也依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态, 我们将这类动力系统称为时滞动力系统。近年来, 时滞动力系统已成为许多领域的重要研究对象。在电路、光学、神经网络、生物环境与医学、建筑结构、机械等领域, 人们对时滞动力系统作了大量的研究, 取得了许多重要成果, 并且巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为[1]。

1时滞系统的稳定性分析

稳定性是系统最基本的品质。对于线性动力系统而言, 系统的稳定性与平衡点的稳定性相一致。对于线性时不变系统, 其稳定性可通过研究其特征方程根的分布来确定。然而, 时滞动力系统的特征方程是含有指数函数的超越方程, 原则上有无穷多个根, 因此其根的分布情况变得相当复杂。

2算例系统

考虑励磁环节并计及阻尼后, 系统模型可以表示为如下4阶微分方程:

在现代电力系统中, 因励磁控制回路的控制参量可取自系统远端母线, 使得GV测量值中可能存在一定的时滞[3], 于是式 (4) 中引入时滞环节后改写为:

式中τ为发电机机端电压取值的延时时间

本系统的原始数据如下:

τ=0时, 系统的平衡点应当满足x&=f (x) =0。利用MATLA对该方程组求得平衡点:δ0=0.6074 (RAD) , ω0=0, E0′=1.1827Efd (0) =1.4238, 进一步可以得出不计时滞时系统特征方程的

解得的四个特征根实部均为负, 证明在不考虑时滞存在的情况下, 该系统在平衡点处是渐近稳定的[4]。前面得到系统的平衡点0x=[0.6074, 0, 1.1827, 1.4238]T, 给予系统一小扰动∆x0=[0.05, 0, 0, 0]T。τ=τc时, 利用MATLAB的数字仿真可以直观地观察系统的稳定性随时滞τ的变化。由于系统方程为四阶带时滞微分方程, 故可采用MATLAB中的隐式Runge-Kutta算法dde23 () , 直接求解时滞微分方程。代入不同大小的时滞, 通过观察系统各状态量变化曲线分析系统稳定性。

由于系统在τ=0时, 平衡点处就是渐近稳定的, 所以在时滞增大到τ=0.0099时, 系统稳定性不发生切换, 平衡点处仍然是渐近稳定的。而当时滞增大到τ=0.0896时, 有一对特征根由复平面的左半平面穿越虚轴到达右半平面, 系统稳定性发生切换, 不再处于稳定状态, 其功角开始随时间作周期性振荡。继续增加时滞量, 当其增加至τ=0.3501时, 仍有一对特征根由复平面的左半平面穿越虚轴到达右半平面, 此时系统不再发生稳定性切换, 其状态量偏移平衡点越来越远, 越来越快, 最终系统变得不稳定。

研究表明, 较小的延时对系统小扰动稳定性的影响较小, 而在延时较长的情况下, 时滞环节的存在可能会根本改变系统小扰动稳定性的状况 (主导频率与主导特征值发生改变) 。对于一小扰动稳定的时滞系统来说, 当时滞增大到某一临界值时, 系统便会发生Hopf分岔, 由原来的小扰动稳定状态转变为临界稳定, 系统各状态量开始作等幅周期振荡。若继续增大时滞, 系统状态量函数变开始呈发散振荡状态, 最终导致系统的失稳。

近年来, 控制混沌已经成为一个重要的研究方向, 通过对时滞系统的特性分析, Nakajima等人已经成功得出了利用时滞反馈控制混沌的方法理论, 类似的研究成果屡见不鲜。然而, 尽管人们对时滞电力系统已经作了相当多的研究工作, 但对它的认识还很不够, 对非线性时滞电力系统的复杂动态行为的理论研究还相当地少。例如, 对在什么情况下可以忽略小时滞系统中的时滞、Taylor展开式的有效性等这样的一些非常基本的问题还未解决好, 其原因可能是针对时滞系统的研究还没有足够强针对性的方法。对于各类时滞系统, 如何获得有效的途径对其动态过程及稳定性进行分析, 还是一个富有挑战性的研究课题。

参考文献

[1]胡海岩.非线性时滞动力系统的研究进展[J].数字化期刊, 1999 (4) :22-23, 29.

[2]张子泳, 胡志坚, 胡梦月, 等.含风电的互联电力系统时滞相关稳定性分析与鲁棒阻尼控制[J].中国电机工程学报, 2012 (34) :23-25.

[3]安海云.基于自由权矩阵理论的电力系统时滞稳定性研究[J].天津大学, 2011:22-21.

[4]贾宏杰, 陈建华, 余晓丹.时滞环节对电力系统小扰动稳定性的影响[J].电力系统自动化, 2006 (5) :11-12.

时滞稳定篇2

时滞系统的鲁棒稳定性与BIBO稳定

根据Lyapunov稳定性的理论,研究了非线性扰动多时滞系统的稳定性,利用Lyapunov函数方法并结不等式的`技巧分析了系统二次稳定性,运用Gronwall不等式分析了系统在闭环状态下的BIBO稳定,分别得到了系统稳定的充分条件,并且所得的结果推广了文献的有关内容.

作者：曹科才钟守铭刘碧森作者单位：电子科技大学应用数学学院,成都,610054 刊名：电子科技大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF UNIVERSITY OF ELECTRONIC SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA 年，卷(期)：2003 32(6) 分类号：O231 关键词：非线性时滞系统 BIBO稳定 Gronwall不等式 Lyapunov函数

混合时滞神经网络的稳定性分析篇3

【关键词】混合时滞神经网络稳定性分析

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）04-0237-02

人工神经网络是基于人脑的功能，通过建构与生物神经元类似的电路结构，从而在微观的层次上实现对人类智能的仿真。神经网络是由神经元的相互连接而形成的，反映在数学中，神经元实质上就是适当的函数，也被称为激活函数。神经网络在模式识别、优化计算、智能控制以及联想记忆等领域得到了广泛的应用，发展前景非常的广阔[1]。

一、混合时滞神经网络发展的脉络

稳定性研究的开始可以追溯到十九世纪末期的Lyapunov理论和Poincare理论，在我国对稳定性进行充分研究的是著名物理学家钱学森，钱学森在其著名的《工程控制论》中，明确指出，稳定性是系统控制的第一要求。美国的著名数学家LsSalle也说过，吸引全世界的数学家注意的点就是稳定性。由此可见，稳定性在数学研究中具有极其重要的作用[2]。

大部分的动力系统都会随着时间的演化不仅依赖于系统的当前状态，并且还会依赖于系统过去的某个时刻，这就是被科学家们称作的时滞动力系统。在工程系统中，时滞一般是指对测控过程中的测量时滞、形成控制决策所需要的时滞以及信号传输中的时滞等，这也是为什么大部分的动力学系统都需要时滞动力系统来进行描述的主要原因。事实上，时滞系统的初始状态空间是一个无限维的空间，而且没有特殊的性质，因此对其进行理论分析非常困难 [3]。

二、混合时滞神经网络稳定性的发展研究分析

系统的稳定性在神经网络的应用中非常的广泛，如最优化的问题研究、模式识别研究以及图像处理研究等，都需要运用系统的稳定性。在上个世纪，有很多文献都给出了不同类型神经网络的稳定性判据，最著名的当属Hopfield神经网络。神经网络规模的应用范围也在不断的扩大，人们对时滞神经网络模型的研究也越来越深入。时滞通常是由定时的时滞发展到连续分布的时滞。当前神经网络稳定性的研究领域运用的主要方法就是Lyapunov泛函，然后再利用不同的不等式来对不等式进行分析，从而得到具有稳定性的数据[4]。

在优化问题的应用中，需要根据问题的基本特征，对设计所要求的神经网络达到唯一的、全局的渐进稳定的平衡点。当神经网络应用于实时的计算时，为了有效的提高收敛的速度，就需要神经网络必须具有非常高的指数收敛度。这也是时滞神经网络的全局渐近稳定性与全局指数稳定性研究如此吸引人的最为主要的原因。时滞反馈网络的应用和研究需要大量的具有稳定性的数据作为基础，因此，人们需要在不断扩展的网络模型的条件下放宽对网络中所有参数和激励函数的限制。只有这样，才能更好的促进神经网络研究的快速发展[5]。

目前，对时滞反馈神经网络解的稳定性进行判别和分析的主要方法是Lyapunov方法，在进行判别和分析时，需要同时结合泛函数的分不等式稳定性理论来推导网络解的稳定性，通过这一方法能够将稳定性的研究放到某个适当的定义系统的轨迹上，而且通过对这些泛函数的研究分析，能够得到稳定性的相应条件。这些稳定性条件的最常用的表述形式就是我们经常用的线矩不等式、系数矩阵的范数不等式以及Hanalay微分不等式。在这一研究领域，由于线矩不等式方法对系统的参数的限制比其它方法要少，而且比较容易验证，因此，这种方法在稳定性理论的研究中应用的非常的广泛[6]。

三、混合时滞神经网络的稳定性分析研究

最近几年，随着人们对稳定性研究的进一步发展，人们对于驱动-响应系统的同步问题更加的重视，而且经过大量的实践和理论分析，人们发现驱动-响应系统是包含同样的激活函数的。但是，在实际的模型中，驱动-响应系统却含有不同的激活函数，需要对非恒同的情况进行分析研究，也就是说驱动-响应系统的激活函数含有不相匹配的参数，致使对混沌系统的同步控制变得更加的复杂。由此可知，研究混合时滞神经网络的稳定性是非常有必要的[7]。

如下混合时滞神经网络

其中，是神经元的状态，

。在（1）中，是定义在上的实值内部函数。代表离散时滞，表示分布时滞；代表外部输入；；，，，分别代表连接权矩阵，离散时滞连接权矩阵和分布时滞连接权矩阵。

对于如下两种情形的时滞，

第一种情形是，如果所有的和给定的标量、h>0和，

是一个可微函数，且满足以下条件：，，

是一个连续函数且满足以下条件

。。

第二种情形是，如果所有的和给定的标量、h>0和，且和都是连续的函数，且函数和函数满足以下条件：

。

假设是系统（1）的平衡点，那么会得到如下系统

根据上面的条件我们可以得出对于混合时滞神经网络系统（2），在满足一定条件的第一种情况和第二种情况下，它的平衡点是全局指数稳定的 [8]。

时滞神经网络的稳定性在理论和实践方面都得到了广泛的研究，但是对混合时滞的神经网络模型稳定性的研究并不是很多。除此之外，在神经网络稳定性的研究领域，虽然有很多大量的判别条件，不过由于大部分的条件都需要采用计算矩阵范数的方法来进行，在进行验证的时候也比较的困难，而且限制条件也非常的严格，在实际中的应用比较少。通过利用线性矩阵不等式研究神经网络的稳定性能够在很大程度上克服以上提及的缺点，所得到的条件更少保守，并且更容易得到充分的验证[9]。

线性矩阵不等式的研究在最近几年受到人们的广泛关注的原因，既有理论方面的原因，也有实践方面的原因。从理论上来说，人们可以利用很多的矩形运算技巧来对线性矩阵不等式问题进行研究和推理；但是，从实际的观点来说，线性矩阵不等式问题也可以凭借数值算法并借助电脑的强大的运算能力从而快速、有效的求出数值解，最终使得线性矩阵不等式的求解变得更加的容易控制，从而使问题的解决更加可行。假设可以将一个复杂的问题转换成线性矩阵不等式问题，那么就能够利用Matab的LMI Toolbox进行求解了。endprint

运用线性矩阵的不等式对混合时滞条件下的神经网络的稳定性进行研究分析，可以充分掌握神经网络的全局指数的稳定性。通过建构新的Lyapunov-Krasovkii泛函，利用随机微分与矩阵变换技巧导出线性矩阵不等式的稳定性数据。由于线性矩阵不等式的稳定性数据比利用矩阵范数进行估计的判据更为保守，因此，人们可以利用MATLAB提供的线性矩阵不等式工具箱进行求解验证，从而真正应用于实践[10]。

人们按照Lyapunov的稳定性理论，建构了新型的Lyapunov-Krasovskii泛函。从而对混合时滞条件下神经网络的稳定性进行了科学、合理的分析。在对混合时滞条件下的神经网络的稳定性进行分析时，线性矩阵不等式的应用为对时滞稳定性的进一步研究提供了有利的条件。同时，对网络中所包含的随机扰动采用了随机微分公式的讨论模式，从而使得混合时滞条件下的神经网络能够应用Lyapunov的稳定性讨论技巧与方法。在模型中对激活函数或者连接权矩阵的限制对混合时滞条件下的神经网络的研究深有帮助，而且采用线性矩阵不等式的表示方式，比之前的矩阵范数的判别条件要更加的有利。

四、结语

综上所述，混合时滞条件下的神经网络的稳定性分析是以Lyapunov的稳定性理论与线性矩阵不等式技术为基础，同时利用积分不等式的方法，对混合时滞条件下的神经网络的稳定性进行了科学、合理的分析，并给出了时滞依赖指数稳定性的基本准则，从而将对混合时滞条件下的神经网络的稳定性的研究又向前推进了一大步。

参考文献：

[1]武志鹏.带有混合时滞的神经网络的稳定性分析[D].山西大学，2008.

[2]刘晓琳.混合变时滞神经网指数稳定性分析[D].曲阜师范大学，2009.

[3]王宁，孙晓玲.基于LMI的混合时滞随机神经网络指数稳定性[J].计算机仿真，2010，07：125-129.

[4]张金.具混合时滞的随机神经网络的稳定性分析[J].苏州大学学报（自然科学版），2011，02：16-22.

[5]吴文娟，刘德友，张静文，刘海涛.具有混合时滞的随机Hopfield神经网络的稳定性分析[J].兰州理工大学学报，2011，03：89-93.

[6]陈一鸣，徐增辉，赵所所，周志全.具有混合时滞随机离散神经网络的渐近稳定性分析[J].郑州大学学报（理学版），2011，04：33-38.

[7]耿立杰，李海颖，张晓静，苏广.具有混合时滞的随机反应扩散神经网络指数稳定性[J].工程数学学报，2014，05：687-696.

[8]龙述君，张永新，向丽.具有混合时滞的随机细胞神经网络的稳定性分析[J].四川师范大学学报（自然科学版），2012，06：796-801.

[9]毛凯，时宝.具有混合时滞的BAM神经网络全局指数稳定性分析[J].哈尔滨理工大学学报，2012，06：6-13.

时滞稳定篇4

考察系统:

$\frac{d y}{d x} = A (t) x + f (t, x (t), x (t - ξ)$ , ∫ $_{0}^{t}$ h (s, x (s-ξ) ) ds) . (1)

与其等价的系统为:

${\begin{cases} \frac{d y}{d x} = B (t) y + C (t) z + Y (t, y (t), z (t) ‚ \\ \int_{0}^{t} h_{1} (s, y (s), z (s), y (s - ξ), z (s - ξ)) d s) ‚ \\ \frac{d y}{d x} = D (t) y + E (t) z + Ζ (t, y (t), z (t) ‚ \\ \int_{0}^{t} h_{2} (s, y (s), z (s), y (s - ξ), z (s - ξ) d s) . \end{cases} (2)$

其中ξ≥0为一常数, 初始条件为x (t) =φ (t) , t0-ξ≤t≤t0.

B (t) 为m×m阶, Y (t, y (t) , z (t) ,

∫ $_{0}^{t}$ h1 (s, y (s) , z (s) , y (s-ξ) , z (s-ξ) ) ds) 为m×1阶, Z (t, y (t) , z (t) , ∫ $_{0}^{t}$ h2 (s, y (s) , z (s) , y (s-ξ) , z (s-ξ) ) ds) 为 (n-m) ×1阶函数矩阵, 于t∈I连续, 且满足存在唯一性定理条件.

定理1 若 (2) 满足下列条件:

其中h (1) (·) , h (2) (t-φ, ·) 非负且关于“·”单调不减, α≥1, 且h (1) (T) +∫ $_{0}^{+ \infty}$ $h^{(2)} (s, Τ) d s < r ‚ α Τ^{1 - \frac{1}{α}} \leq 1$ , 则当 (3) 的零解一致稳定和关于y指数渐进稳定时, (2) 的零解一致稳定和关于y一致指数Lipschitz渐进稳定.

证明对于系统 (3) 在定理条件下, 对一切t≥0, ‖x‖<∞满足如下条件:

‖y‖≤V (t, x) ≤M‖x‖, V (3) (t, x) ≤-aV (t, x) . (4)

|V (t, xn) -V (t, x′) |≤M‖x″-x′s‖, (a, M=const>0) . (5)

对于这个函数, 沿着 (2) 求导, 可表示为如下形式:

这里〈, 〉是内积记号.

由定理条件及 (5) 在t≥t0有如下估计:

$\begin{array}{l} | R (t, x (t), x (t - ξ), \int_{0}^{t} h (s, x (s), x (s - ξ) d s) | \leq \\ Μ [r ∥ y (t) ∥ + h^{(1)} (∥ y (t - ξ) ∥^{α} + \end{array}$

选取r为适当小的常数,

故有定理1, 存在λ>0, 使得对一切t≥t0, 有

$V (t, x) < \sup_{t_{0} - ξ \leq σ \leq t_{0}} {V (σ, x (σ, t_{0}, φ))} \exp (- λ (t - t_{0})) . (6)$

考虑系统 (2) 的任一解, 由不等式 (6) 和 (4) 中第一式, 有‖y (t) ‖≤V (t, x) ≤M‖φ‖exp (-λ (t-t0) ) , 由 (3) 中定理的证明, 可得‖x‖<ε, 故可推得系统 (2) 的零解一致稳定性和关于关于y一致指数Lipschitz渐进稳定.

摘要：主要研究一类时滞微分系统的双重稳定性, 给出考察系统的等价系统及线性其次系统, 通过定理证明了等价系统 (2) 的零解一致稳定和渐进稳定性.

关键词：时滞微分,一致稳定性,渐进稳定性

参考文献

[1]廖晓昕.稳定性理论, 方法和应用[M].武汉:华中科技大学出版社, 2001.

[2]尤秉礼.常微分方程补充教程[M].北京:人民教育出版社, 1981.

时滞稳定篇5

研究了变时滞非线性系统的鲁棒无源稳定性问题.首先,利用T-S模糊模型来描述这个非线性、时滞系统,通过构造适当的李亚普诺夫函数,利用线性矩阵不等式(LMI)的性质得到了关于这个问题的一个充分条件.这种基于线性矩阵不等式的.充分条件可以通过求解线性矩阵不等式的控制工具箱得到数值结果.仿真结果表明,该方法是有效的.

作者：王艳君郗多明杨丽芸杨洪玖仇计清 WANG Yan-jun XI Duo-ming YANG Li-yun YANG Hong-jiu QIU Ji-qing 作者单位：王艳君,杨丽芸,杨洪玖,仇计清,WANG Yan-jun,YANG Li-yun,YANG Hong-jiu,QIU Ji-qing(河北科技大学理学院,河北石家庄,050018)

郗多明,XI Duo-ming(河北工程大学理学院,河北邯郸,056038)

时滞稳定篇6

关键词广义CohenGrossberg神经网络；全局渐近稳定性；线性矩阵不等式；同胚

中图分类号 O175.1 文献标识码 A

Global Asymptotic Stability of Generalized

CohenGrossberg Neural Networks with Delays

QUAN Zhiyong， WU Qifeng

（College of Mathematics and Econometrics， Hunan University，Changsha， Hunan 410082， China）

Abstract By means of Homeomorphism theory， linear matrix inequality and constructing a Lyapunov functional， we studied the global asymptotic stability of the equilibrium point for a class of CohenGrossberg neural networks. In our results， the criteria for the global asymptotical stability are better than that in existing papers.

Key words generalized CohenGrossberg neural networks； global asymptotic stability； linear matrix inequality； Homeomorphism

1 引言

由于CohenGrossberg神经网络（CGNN）在并行计算、联想记忆，特别是最优化计算等领域的重要作用，近年来，有或无时滞的 CGNN特别是一维CGNN的稳定性问题已为国内外学者所广泛关注和研究，各种有趣的结果也被发表[1-6].然而，只有几个作者讨论了二维CGNN模型的稳定性问题[7-10].在许多应用中，由于二维CGNN考虑两个神经网络之间的相互作用，因此对二维CGNN稳定性的研究比对一维CGNN稳定性的研究更有趣.这促使我们研究二维CGNN的稳定性.

本文将用不同于文献[7]中的方法，即通过应用同胚映射原理、不等式、线性矩阵不等式和构造的Lyapunov泛函，对文献[7]中具有多时滞的广义二维CGNN的全局稳定性继续讨论，得到了全局渐近稳定性的新结果.当把网络降低为一维CGNN时，获得的的结果不同于现有文献中的结果.在本文的结果中，去除了对行为函数在文献[1-3]中的单调性假设和文献[4，5]中的可微性假设，对激励函数去除了在文献[1-5]中的有界性假设和文献[2-5]中的单调性假设.同讨论的二维CGNN相比，在所得结果中，也去除了文献[10]中对行为函数的单调性和可微性假设及对激励函数的单调性假设和逆Lipschitz条件.由于用于研究全局渐近稳定性的方法不同于文献[7，8]中所用方法，因此关于全局渐近稳定性的结果也不同于文献[7，8]中所得到的结果.也就是说，在本文的结果中，文献[7，8]中对行为函数的Lipschitz条件和文献[8]中对行为函数的反函数的Lipschitz条件为两个不等式所替代，而参数限制条件为两个线性矩阵不等式所替代.因此得到了CGNN全局渐近稳定性的新结果.

2 模型及假设

5 结论

本文首先利用同胚映射原理讨论了具多时滞广义CohenGrossberg神经网络平衡点的存在性和唯一性，继而应用平衡点的存在性结果、线性矩阵不等式和构造的Lyapunov泛函研究了上述系统的全局渐近稳定性，所得结果优化了现有文献中关于全局渐近稳定性的判据，而且所给判据是有效而实用的.

参考文献

[1] S ARIK， Z ORMAN. Global stability analysis of CohenGrossberg neural networks with time varying delays [J]. Phys. Lett. A，2005，341（5-6）：410-421.

[2] B T CUI， W WU. Global exponential stability of CohenGrossberg neural networks with distributed delays [J]. Neurocomputing，2008，72（1-3）：386-391.

[3] Z ORMAN， S ARIK. New results for global stability of CohenGrossberg neural networks with multiple time delays [J]. Neurocomputing，2008，71（16-18）：3053-3063.

[4] W WU， B T CUI， X Y LOU. Some criteria for asymptotic stability of CohenGrossberg neural networks with time varying delays [J]. Neurocomputing，2007，70（4-6）：1085-1088.

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nlc202309041802

[6] Z S WANG， H G ZHANG， W YU. Robust stability criteria for interval CohenGrossberg neural networks with time varying delay [J]. Neurocomputing， 2009，72（4-6）：1105-1110.

[7] Z Q ZHANG， D M ZHOU. Global robust exponential stability for secondorder CohenGrossberg neural networks with multiple delays [J]. Neurocomputing， 2009，73（1-3）：213-218.

[8] H J JIANG， J D CAO. BAMtype CohenGrossberg neural networks with time delays [J]. Mathematical and Computer Modelling， 2008，47（1-2）：92-103.

[9] H Y ZHAO， L WANG. Hopf bifurcation in CohenGrossberg neural network with distributed delays [J]. Nonlinear Analysis： Real World Applications，2007，8（1）：73-89.

[10]X B NIE， J D CAO. Stability analysis for the generalized CohenGrossberg neural networks with inverse Lipschitz neuron activations [J]. Computer and Math Appli， 2009， 57（9）：1522-1536.

[11]M FORTI， A TESI. New conditions for global stability of neural networks with application to linear and quadratic programming problems [J]. IEEE Trans Circuit System I， 1995，42（7）：345-366.

时滞稳定篇7

Chemostat(恒化器)是一个用来连续培养微生物的实验装置[1],是简化的湖泊模型,可用于模拟湖泊和海洋中单细胞藻类浮游生物的生长。文献[2]研究了增长函数为Tissiet型的Chemostat动力系统模型,详细分析了解的渐近行为。然而,在微生物连续培养过程中,微生物的增值与所消耗掉的营养并不是瞬时完成的,即存在时间滞后现象[1,3,4]。大量的研究结果表明:在一些系统模型中,时滞可能会破坏系统平衡点的稳定性产生周期振荡;而在另外一些系统模型中,时滞对系统平衡点的稳定性和系统的持久性却是无害的。因此,在模型中引入时滞是有必要的.本文将在文献[2]的基础上,进一步考虑具有时滞的Chemostat动力系统模型:

式(1)中S(t)和X(t)分别表示在t时刻培养皿中营养和微生物的浓度,S0为输入的初始营养浓度,Q表示流出率,δ表示营养的消耗率,μm,km,ki为正常数,τ≥0为时滞。对系统(1)无量纲化,令X=δS0x,S=S0y,t=T/Q,m=μ/Q,a=km/S0,b=S0/ki,并且仍用t记T,则系统(1)化为

考虑到生物意义,假设系统的初始条件为

式(3)中φ1(t)和φ2(t)是[-τ,0]上的连续函数。

1 解的存在性、非负性和有界性

本节讨论系统(2)满足初始条件(3)的解的存在性、非负性和有界性,有如下结论:

定理1系统(2)满足初始条件(3)的解(x(t),y(t))在[0,+∞)上存在、非负、有界,且集合G={φ=(φ1,φ2)∈C|φ1≥0,0≤φ2≤1}关于系统(2)是正向不变的。

证明由泛函微分方程解的局部存在性定理知[5],对某个常数γ>0,x(t)和y(t)在[0,γ)上存在。容易证明当t∈(0,γ)时,x(t)≥0和y(t)≥0恒成立。下面证明x(t)和y(t)在[0,γ)上有界。事实上,由系统(2)和x(t),y(t)在[-τ,γ)上的非负性,对任意的t∈[0,γ),有

由于时滞线性系统

满足初始条件u(t)=φ1(t),v(t)=φ2(t)(-τ≤t≤0,φ1,φ2如同式(3))的解(u(t),v(t))在[0,+∞)上存在且唯一。因此,由泛函微分方程解的比较原理[6,7]知,对任意的t∈[0,γ),有x(t)≤u(t),y(t)≤v(t)。因此,(x(t),y(t))必在[0,γ)上有界。由泛函微分方程解的延拓定理[5—7]可知,(x(t),y(t))在[0,+∞)上存在,并且进一步可证是非负的。由系统(2)的第2个方程,显然有lit→m+s∞upy(t)≤1。进一步还可以证明对任意的t≥0,y(t)≤1。事实上,如果存在t1>0使得y(t1)>1,则由拉格朗日中值定理知,存在t2∈(0,t1),y(t2)>1使得y′(t2)>0。因此,由系统(2)的第二个方程得

2 平衡点的局部稳定性

系统(2)平衡点的分类与文献[2]一致,对于系统(2)平衡点的存在性和局部稳定性,有如下结论:

定理2(1)如果0<m≤1或者m>1,b<2,me-b(1-b)≥1,me-b≤a+1,或者m>1,me-b<a+1,by02+aby0-a<0(其中y0表示f(y)=me-by×(1-by)-1=0在[0,1]上的根),即系统(2)不存在正平衡点,则对任意的时滞τ≥0,当me-b<a+1时,E0是局部渐近稳定的;当me-b>a+1时,E0是不稳定的;当me-b=a+1时,系统(2)关于E0的线性近似系统的零解是稳定的;

(2)如果m>1,me-b>a+1或者m>1,me-b×(1-b)<1,me-b=a+1,即系统(2)仅存在惟一的正平衡点E1+,则对任意的时滞τ≥0,E1+是局部渐近稳定的;

(3)如果m>1,me-b<a+1,me-b(1-b)<1,by02+aby0-a=0,即系统(2)仅存在唯一的正平衡点E3+,则对任意的时滞τ≥0,系统(2)关于E3+的线性近似系统的零解是稳定的;

(4)如果m>1,me-b<a+1,me-b(1-b)<1,by02+aby0-a>0,即系统(2)存在两个正平衡点E21+和E22+,则对任意的时滞τ≥0,E21+是局部渐近稳定的,E22+是不稳定的。

证明考虑系统的平衡点Ei+=(x*,y*)(i=1,21,22,3).做变换X=x-x*,Y=y-y*,则系统(2)在Ei+处对应的线性化系统为

式(6)中F(x,y)=mxye-by/(a+y),

系统(6)的特征方程为(λ+1)(λ+1+B-Ae-λτ)=0。显然,λ=-1是特征方程的一个特征根。只需考虑超越方程

首先考虑E0=(0,1)的局部稳定性。式(7)化为

由文献[4]知

(i)如果me-b<a+1,对任意的时滞τ≥0,方程(8)的根均具有负实部。因此,对任意的时滞τ≥0,E0是局部渐近稳定的。

(ii)如果me-b>a+1,对任意的时滞τ≥0,方程(8)存在具有正实部的根。因此,对任意的时滞τ≥0,E0是不稳定的。

(iii)如果me-b=a+1,属于临界情形。此时方程(8)化为λ+1-e-λτ=0。显然,对任意的时滞τ≥0,λ=0是方程(8)的根。设f(λ)=λ+1-e-λτ。由于则λ=0是单根。进一步证明方程(8)除λ=0外,对任意的时滞τ≥0,方程(8)的根均具有负实部。因此,对任意的时滞τ≥0,系统(2)关于E0的线性近似系统的零解是稳定的。

与上面的讨论类似,可以得到定理2中的结论(2)—(4)。定理证毕。

3 边界平衡点E0的全局渐近稳定性

现利用Lyapunov-LaSalle不变性原理[5],进一步讨论E0的全局渐近稳定性。

定理3如果定理2的情形(1)成立,则对任意的时滞τ≥0,当me-b<a+1时,E0是全局渐近稳定的;当me-b=a+1时,E0是全局吸引的。

证明定义G上的泛函

显然,V(φ)在珔G上连续,且在G上V(φ)沿式(2)的解的导数满足

式(10)中f(y)=mye-by-a-y。由于系统(2)只有边界平衡点E0时,对任意的y∈[0,1],f(y)≤0。因此,对任意的t≥0,V′(φ)|(2)≤0。这表明V(φ)是G上的一个Lyapunov函数。定义E={φ∈G|V′(φ)|(2)=0},由式(10)得

设M是E中的最大不变集,由于E0=(0,1)∈M,则M是非空的。下面分两种情况讨论:

(1)如果me-b<a+1,则对任意的y∈[0,1],有f(y)<0。因此,E={φ∈G|φ1(-τ)=0}。对任意的φ∈M,设(x(t),y(t))是系统(2)以φ为初始函数的解。由M的不变性,对任意的t∈R,(xt,yt)∈ME;因此,对任意的t∈R,x(t-τ)=0,即对任意的t∈R,x(t)≡0,有φ1≡0。由系统(2)的第2个方程,当t→+∞时,y(t)→1,因此φ2≡1,从而M={(0,1)}={E0}。于是由Lyapunov-LaSalle不变性原理,对任意的τ≥0,E0是全局吸引的。又由定理2,当me-b<a+1时,E0是局部渐近稳定的。因此,对任意的时滞τ≥0,E0是全局渐近稳定的。

(2)如果me-b=a+1,则f(y)=0与y=1是等价的。因此,当f(φ2(-τ))=0时,必有φ2(-τ)=1成立。从而,

对于任意的φ∈M,设(x(t),y(t))是系统(2)以φ为初始函数的解。由M的不变性,对任意的t∈R,(xt,yt)∈ME,因此,对任意的t∈R,x(t-τ)=0或y(t-τ)=1成立。如果对某个t∈R,有y(t-τ)=1成立,则由G的不变性知y(t)在t-τ取得极大值。因此,y′(t-τ)=0。由系统(2)的第二个方程得

如果y(t-τ)=1,则x(t-τ)=0。因此,对任意的φ=(φ1,φ2)∈E和t∈R,总有x(t-τ)=0成立,即φ1(-τ)=0。重复情形(1)的证明,我们也可以得到M={E0}。由Lyapunov-LaSalle不变性原理知,对任意的τ≥0,E0是全局吸引的。定理证毕。

4 结束语

与文献[2]中常微分方程模型相比,本文对于时滞系统模型(2)的研究表明,时滞τ的引入对于系统边界平衡点与正平衡点的局部渐近形态和边界平衡点的全局渐近形态并没有影响,即时滞是无害的(Harmless).从系统(2)的生物意义考虑,如果流出率Q太大,则微生物连续培养必然失败.因此,控制流量是微生物连续培养能够成功的一个关键因素.限于篇幅,对于系统(2)正平衡点的全局渐近性态的研究将另文发表.

参考文献

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[6]秦元勋,刘永清,王联.带有时滞的动力系统的运动稳定性.北京:科学出版社,1963

带时滞的多寡头古诺模型及其稳定性篇8

关键词：有限理性,寡头竞争,时滞,混沌,纳什均衡

寡头市场由少数几家厂商控制,这些厂商经营相同或相似的产品,每个厂商都追求利润最大化。双寡头市场是一种现实中普遍存在的经济市场,在这种市场中,厂商不仅要根据市场需求、成本函数还要根据对手的行为来进行产量决策。有着比垄断市场更为复杂的经济行为。近年来,一些学者对双寡头市场进行了研究,Bischi等给出了有限理性调整型垄断市场的一般形式,并研究了这种特性下系统的全局以及局部稳定性[1]。Ahmed等运用Jury条件研究了有限理性调整的Puu模型,并研究了具有有界理性特征的贝叶斯模型[2]。Agiza等研究了当成本函数为非线性时的有限理性调整的双寡头模型[3],并推广到了三寡头模型[4]。Fang Chen, Jun Hai Ma, Xiao Qiang Chen等研究了我国3G市场的三寡头市场模型[5]。A.A.Elsadany研究了在最优反应中竞争对手的产量上加入时滞,并给予权重分配的有限理性调整型双寡头竞争,并数值仿真得出了在相同参数下,将混沌推迟在0.332附近时出现的结论[6]。巩永华等研究了不同博弈构式下的三寡头竞争模型[7]。另外,在其他的一些文献中研究了有限理性调整型厂商参与竞争的寡头市场模型[8,9,10],但是现实很多情况中市场是具有记忆性的,做出产量调整决策时考虑到上一时期甚至上上时期的产出为参考是非常有必要的。

本文建立并分析一类在调整函数中引入时滞并分配权重的有限理性调整型厂商参与竞争的寡头模型,更为有效延迟混沌出现。第1节建立需求函数为线性的带时滞有限理性调整型厂商的双寡头竞争。第2节推广并结合实际对我国3G通信市场三寡头模型作了分析。并进行了数值仿真。第3节结论。

1 带时滞双寡头模型建立及分析

在一个古诺双寡头竞争中,qi(t)表示第i个厂商在t时期的产量,i=1,2。 p(qi(t)+qj(t)), i,j=1,2, i≠j表示t时期产品逆需求函数,具有如下形式:

$p (t) = f (Q) = a - b Q (t) (1)$

其中,Q(t)=q1(t)+q2(t)为总产量,a,b为非负的参数,a表示市场上该产品的最高价格。Ci(qi(t))表示第i个厂商的成本。那么第i个厂商的利润函数为:

$Π_{i} (t) = f (Q (t)) q_{i} (t) - C_{i} (q_{i}) (2)$

厂商i在t+1时期的使利润最大化的产量是基于对对手j的预期反应采取的,厂商i的最优反应为:

$\begin{array}{l} q_{i} (t + 1) = r_{i} (q_{j}^{e} (t + 1)) \\ = \arg \max [p (q_{i} (t) + q_{j}^{e} (t + 1)) q_{i} (t) - C_{i} (q_{i} (t))] (3) \end{array}$

q $_{j}^{e}$ (t+1)为厂商i对竞争对手j的下一步的预期产量。在古诺模型中qej(t+1)=qj(t)。

假设厂商为有限理性调整型厂商,它们根据边际利润 $\frac{\partial Π_{i} (q_{i} (t), q_{j}^{e} (t + 1))}{\partial q_{i} (t)} ‚ i, j = 1, 2, i \neq j$ 来调整自己的产量,有如下形式:

$\begin{array}{l} q_{i} (t + 1) = q_{i} (t) + α_{i} (q_{i} (t)) \frac{\partial Π_{i} (q_{i} (t), q_{j}^{e} (t + 1))}{\partial q_{i} (t)}, \\ i, j = 1, 2 . i \neq j (4) \end{array}$

αi(qi)为第i个厂商的调整参数函数。在很多文章[4,5,6,8,9,10]的研究中都采取了αi(qi)=αiqi(t)这种形式。若考虑根据qi(t-1),qi(t-2),…等时期的产量,并分配不同的权重,则更加符合实际情况。因此,本文的有限理性调整型厂商的产量具有如下形式:

$\begin{array}{l} q_{i} (t + 1) = q_{i} (t) + α_{i} (q^{D}) \frac{\partial Π_{i} (q_{i} (t), q_{j}^{e} (t + 1))}{\partial q_{i} (t)}, \\ i, j = 1, 2, i \neq j (5) \end{array}$

$q^{D} = \sum_{i = 0}^{Τ} q_{i} (t - l) ω_{l}, ω_{l} \neq 0, \sum_{l = 0}^{Τ} ω_{l} = 1, l = 0, 1, 2, \dots, Τ ‚ ω_{l}$ 为权重。

令T=1, Ci(qi(t))=ciqi(t), ci(i=1,2)为厂商i单位产品的总变动成本。代入(5)中则有

${\begin{cases} q_{1} (t + 1) = q_{1} (t) + α_{1} [ω_{1} q_{1} (t) + (1 - ω_{1}) q_{1} (t - 1)] \\ \cdot (a - c_{1} - 2 b q_{1} (t) - b q_{2} (t)) \\ q_{2} (t + 1) = q_{2} (t) + α_{2} [ω_{2} q_{2} (t) + (1 - ω_{2}) q_{2} (t - 1)] \\ \cdot (a - c_{2} - 2 b q_{2} (t) - b q_{1} (t)) \end{cases} (6)$

令mi(t+1)=qi(t)则为如下的四维系统:

${\begin{cases} m_{1} (t + 1) = q_{1} (t) \\ m_{2} (t + 1) = q_{2} (t) \\ q_{1} (t + 1) = q_{1} (t) + α_{1} [ω_{1} q_{1} (t) + (1 - ω_{1}) m_{1} (t)] \\ \cdot (a - c_{1} - 2 b q_{1} (t) - b q_{2} (t)) \\ q_{2} (t + 1) = q_{2} (t) + α_{2} [ω_{2} q_{2} (t) + (1 - ω_{2}) m_{2} (t)] \\ \cdot (a - c_{2} - 2 b q_{2} (t) - b q_{1} (t)) \end{cases} (7)$

四个均衡点为:

$\begin{array}{l} E_{0} = (0, 0, 0, 0) \\ E_{1} = (\frac{a - c_{1}}{2 b}, 0, \frac{a - c_{1}}{2 b}, 0) \\ E_{2} = (0, \frac{a - c_{2}}{2 b}, 0, \frac{a - c_{2}}{2 b}) \\ E_{*} = (q_{1}^{*}, q_{2}^{*}, q_{1}^{*}, q_{2}^{*}) \end{array} (8)$

其中, $q_{1}^{*} = \frac{a + c_{2} - 2 c_{1}}{3 b} ‚ q_{2}^{*} = \frac{a + c_{1} - 2 c_{2}}{3 b} .$

E0,E1,E2为有界均衡,当

${\begin{cases} 2 c_{1} - c_{2} < a \\ 2 c_{2} - c_{1} < a \end{cases} (9)$

时E*为Nash均衡点。

对于系统中任一点(m1,m2,q1,q2)处的雅可比矩阵有下列形式:

$\begin{array}{l} J (m_{1}, m_{2}, q_{1}, q_{2}) = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ A_{1} & 0 & B_{1} & C_{1} \\ 0 & A_{2} & B_{2} & C_{2} \end{matrix}] (10) \\ A_{1} = α_{1} (1 - ω_{1}) (a - c_{1} - 2 b q_{1} - b q_{2}) \\ A_{2} = α_{2} (1 - ω_{2}) (a - c_{2} - 2 b q_{2} - b q_{1}) \\ B_{1} = 1 + α_{1} ω_{1} (a - c_{1} - b q_{2}) - 4 b α_{1} ω_{1} q_{1} \\ - 2 b α_{1} (1 - ω_{1}) m_{1} (t) \\ B_{2} = 1 + α_{2} ω_{2} (a - c_{2} - b q_{1}) - 4 b α_{2} ω_{2} q_{2} \\ - 2 b α_{2} (1 - ω_{2}) m_{2} (t) \\ C_{1} = - α_{1} b [ω_{1} q_{1} + (1 - ω_{1}) m_{1} (t)] \\ C_{2} = - α_{2} b [ω_{2} q_{2} + (1 - ω_{2}) m_{2} (t)] \end{array}$

均衡点处的稳定性可通其在过雅可比矩阵处的特征值并利用Jury条件判定可知:E0为不稳定点,此时各厂商的产量均为0,无经济学意义。E1,E2为鞍点。当满足一定的Jury条件时E*是渐近稳定的。用类似的方法,可以研究在三寡头模型中的情况。

图1中文献[6]研究的模型中厂商1的产量随α1的变化图在0.337附近出现分岔,而本文研究的模型中厂商1的产量随α1的变化是在0.65附近出现的分岔现象,表明系统(7)的时滞作用更为明显。

2 带时滞三寡头模型的

实际应用及分析

2008年开始, 3G技术开始大力发展。我国的3G通信市场是由中国移动、中国联通、中国电信三寡头垄断的市场, 三家公司取得了不同的3G网络通行证, 分别为TD-SCDMA、WMCDA、CDMA2000网络,而3G市场的竞争主导实质上为是产品价格的竞争,且产品之间有一定的替代性。文献[5]给出联通的的生产函数(即售出函数)为:

$Q_{1} ´ (t) = a_{1} - b_{1} Ρ_{1} (t) + c_{1} Ρ_{2} (t) + d_{1} Ρ_{3} (t) (11)$

其中,a1,b1,c1,d1>0, c1,d1表示厂商之间产品价格的替代程度。Pi(i=1,2,3)为价格。

根据假设可以得到联通公司在t时期的利润函数为:

$Π_{1} (t) = Ρ_{1} (t) Q^{'}_{1} (t) (12)$

由于市场信息的不完备性,商家会考虑采用有限理性调整型策略。三家厂商价格竞争是比较透明的,因此考虑三家厂商均采用此策略。将t-1时期的产品销售量作为参考的依据加入模型中,使模型更符合实际。则得到的我国3G市场的竞争模型为:

${\begin{cases} Μ_{1} (t + 1) = Ρ_{1} (t) \\ Μ_{2} (t + 1) = Ρ_{2} (t) \\ Μ_{3} (t + 1) = Ρ_{3} (t) \\ Ρ_{1} (t + 1) = Ρ_{1} (t) + α_{1} (ω_{1} Ρ_{1} (t) + (1 - ω_{1}) Μ_{1} (t)) \\ \cdot (a_{1} - 2 b_{1} Ρ_{1} (t) + c_{1} Ρ_{2} (t) + d_{1} Ρ_{3} (t)) \\ Ρ_{2} (t + 1) = Ρ_{2} (t) + α_{2} (ω_{2} Ρ_{2} (t) + (1 - ω_{2}) Μ_{2} (t)) \\ \cdot (a_{2} + b_{2} Ρ_{1} (t) - 2 c_{2} Ρ_{2} (t) + d_{2} Ρ_{3} (t)) \\ Ρ_{3} (t + 1) = Ρ_{3} (t) + α_{3} (ω_{3} Ρ_{3} (t) + (1 - ω_{3}) Μ_{3} (t)) \\ \cdot (a_{3} + b_{3} Ρ_{1} (t) + c_{3} Ρ_{2} (t) - 2 d_{3} Ρ_{3} (t)) \end{cases} (13)$

当模型中参数取值为α2=0.5,α3=0.55,a1=2.1,b1=0.5,c1=0.15,d1=0.1,a2=1.6,b2=0.12,c2=0.4,d2=0.18,a3=2.3,b3=0.1,c3=0.1,d3=0.5,ω1=ω2=ω3=0.6时,图2为系统(13)与不考虑市场时滞的模型的对比图。

图2表示的是未加入时滞时联通公司随α1的变化图与加入时滞以后系统(13)中联通公司随α1的对比变化图。前者在0.83左右出现分岔,而后者将其推迟到0.92附近。可以看出混沌分岔等现象延迟了。由于是面对客户群直接宣传,处于市场竞争中的三家公司其价格对对手而言都是比较透明的,三家公司在竞争中并不能立即达到纳什均衡点,必须要经过很多轮的博弈。因此,当一个竞争公司加速对价格的调整速度时,比如联通公司不断推出更新更优惠的套餐吸引客户,引起移动和电信两家公司降价以对。如此就会使竞争加剧,从而出现分叉混沌等现象。这种现象的出现对三个公司而言都是不利的。短时间来看可能会在一段时间内一个公司获利获的大批的客户,客户会根据价格来选择公司,但是一旦出现混沌现象价格的跳动过于频繁则不利于客户群的稳定,无论是对于厂商还是客户都是不利的。无法根据情况制定下一步的策略还容易盲目的陷入价格战里。现实中三家公司往往会采取延长优惠周期、维系固定客户群、定期推出优惠活动、提高技术稳定网络等手段使市场保持稳定。而本文中考虑市场记忆性加入时滞则可以延缓混沌现象的产生,使三寡头之间可以继续进行博弈获得利润。争取了更多的时间来考虑对策。对整个市场而言是有利的。

3 结论

本文建立了在调整函数中引入时滞的有限理性双寡头模型,通过与传统的模型对比表明在调整参数中引入时滞有效的使混沌延迟。并将之推广运用到我国3G市场的三寡头模型中,也得到了在有限理性调整型厂商中时滞的引入使整个系统的分岔混沌延迟的结论,分析了经济学行为。通过数值仿真验证了结论的正确性。

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时滞稳定篇9

在自然界中,系统状态对时间的导数由当前时刻的状态和过去时刻的状态共同决定,这类现象称为时滞[1-2]。在电力系统的许多环节中都存在时滞, 它的存在会为电力系统引入新的动力学特性,削弱电力系统的稳定裕度,恶化控制器的性能[3-4],因此研究其对电力系统稳定性的影响具有重要意义。

关于时滞问题的一般理论于20世纪80年代末90年代初形成[1，5],包括: 采用Smith预估器对时滞进行补偿的手段[6-7]、基于Pade近似的稳定性判别方法[8]、基于参数变换的稳定性分析技术[9-10]、对于时滞系统的模态及分岔的分析[11]以及借助线性矩阵不等式( LMI) 对时滞系统进行分析与综合的技术[12]等。其中,LMI方法已形成较为完整的理论, 而为降低LMI方法的保守性,提高求解效率,在LMI稳定判据推导过程中添加松散项,即形成了所谓的自由权矩阵方法[13-16]。

在对时滞问题进行分析与综合的过程中,待求解变量数与系统中状态变量的数量近似呈平方关系,因此,当系统中状态变量较多时,求解时滞问题就会面临待求变量过多,计算时间过长的困难[12]。为克服此困难,一种可行的方法是对系统原有的模型进行简化,减少系统中状态变量的数目[17]。目前,已经有能够对状态空间模型进行简化,并近似保留系统的输入—输出关系的方法,包括: 文献[18]通过均方根实现均衡模型截断( 简记为Balance方法) ,文献[18-19]通过Schur方法实现均衡模型截断( 简记为Schur方法) ,文献[20]通过Hankel最小度逼近实现模型简化( 简记为Hankel方法) ,文献[21]通过Schur方法实现均衡随机模型截断( 简记为Bst方法) ,文献[22]通过互质因子实现均衡模型截断( 简记为Ncf方法) 。这些方法已在复杂动态系统分析中获得成功应用[18-22],但由于时滞系统属无穷维系统,特征方程含有超越项,如何采用上述方法实现时滞系统降维简化,目前尚未见前期研究。

本文首先将单时滞模型转换为含输入—输出环节的状态空间模型; 进一步利用模型降维方法,形成对应的简化模型; 最后,基于简化模型,并改进文献[12]中的判据,得到效率更高的时滞稳定新判据。利用WSCC 3机9节点和IEEE 10机39节点系统验证所提出方法的有效性。

1电力系统的线性时滞模型

含单个时滞环节的电力系统模型可表示为:

式中: z∈Rn,为系统状态变量; y∈Rm,为代数变量; zτ= z( t - τ) ,为系统时滞状态变量; yτ= y( t - τ) ,为时滞代数变量; τ 为时滞常数。

设( z0,y0) 是式( 1) 的平衡点,则在平衡点附近将式( 1) 线性化,可得如下结果:

若Gy与Gyτ可逆,则式( 2) 可简化得到:

由于在后文中只讨论状态变量的增量 Δz而不是状态变量本身,为简便起见,将采用x表示状态变量的增量,即x( t) = Δz( t) ,则式( 3) 可改写为:

在实际电力系统中,式( 4) 中x包含的变量数量可能很多。如考虑一个包含1 000台发电机的电力系统,若每台发电机动态采取四阶微分方程描述, 则x包含的变量个数为4 000,由于在对时滞问题进行分析时,待求变量数与x的数目近似呈平方关系[12],会因待求变量过多而导致计算时间过长问题; 另一方面,式( 4) 中Aτ通常非常稀疏,非零元素极少,且通常集中分布在特定的行或列上[8]。而在原有时滞稳定性判据中,均未考虑Aτ的稀疏性,而将其按满阵进行计算,无形中增加了诸多无谓计算。

2线性时滞模型的简化

本文简化思路: 首先,调整模型中状态变量的排列顺序,将包含时滞环节的电力系统线性模型扩展为包含输入—输出关系的状态空间表达式,此时系统的时滞项被抽象为输入; 进一步,对扩展后的模型进行简化,再将简化模型转化为能用时滞稳定判据处理的形式。

2. 1线性模型的扩展

第1节中的式( 4) 可改写为包含系统历史轨迹的数学模型:

式中: x包含的变量个数为n; φ( ξ) 定义了x在区间[- τ,0]上的历史轨迹。

现将x分为两组,即xreserve与xabandon,其划分规则如下。

1) 对于某个变量xi,1≤i≤n,若矩阵Aτ中存在非零元素Aτ( i,j) 或Aτ( j,i) ,1≤j≤n,则有: xi∈ xreserve。

2) 对于某个变量xi,1 ≤ i ≤ n,若始终满足式( 6) ,则xi∈xabandon。

式中: i,j = 1,2,…,n。

根据上述划分依据来调整变量的排列顺序,可将式( 5) 改写为式( 7) :

式中: φreserve( ξ) 与 φabandon( ξ) 分别定义了xreserve与xabandon在区间[- τ,0]上的历史轨迹。

设xreserve中变量数为r,则xabandon中变量数为n - r,式( 7) 中第一式可改写为:

根据xreserve与xabandon的划分依据,中所有的非零元素均包含在都为零矩阵,则式(8)可改写为:

由式( 9) 可以看出,xabandon( t - τ) 不影响各变量对时间的导数,因此式( 7) 中第二式可简化为:

进一步,由式(9)和式(10)将构成如下模型:

式中:φreserve(ξ)定义了xreserve在区间[-τ,0]上的历史轨迹。

式( 11) 与式( 5) 相比只是调整了变量的排列顺序,因此两式完全等价。式( 11) 还不是状态空间表达式,无法直接用于模型降维。为此构造如下状态空间表达式:

式中: 状态x包含n个变量; 输入u包含r个变量; 输出y包含r个变量; I为r × r阶单位矩阵。

若取u( t) = xreserve( t - τ) ,将其代入式( 12) 可得:

将式( 13) 与式( 11) 中的第一式比较可知,取输入u( t) = xreserve( t - τ) 时满足:

由式( 14) 可以看出,式( 11) 是式( 12) 的特殊形式, 只是将系统时滞变量xreserve( t - τ) 抽象为其输入,而将不包含时滞的分量xreserve( t) 抽象为系统输出。

2. 2线性时滞模型的简化

式( 12) 中需要保留的状态变量数量为r,即xreserve所包含的状态变量的个数。使用文献[18-22]中的模型简化方法介绍对式( 12) 进行简化,结果如式( 15) 所示,附录A中给出了以Schur方法[19]为例对式( 12) 进行简化的具体步骤。

与式( 12) 描述的系统相比,式( 15) 描述的系统状态数量从n减少到了r,同时式( 15) 近似地保留了式( 12) 中的输入—输出关系,详见算例部分仿真结果。

式( 15) 中没有包含任何时滞变量,但是通过选择合适的输入u( t) ,可以将式( 15) 转化为线性时滞模型,具体步骤如下。

注意到在式( 12) 中取u( t) = xreserve( t - τ) 时, 根据式( 14) 有y( t) = xreserve( t) ,若式( 12) 与式( 15) 输入—输出关系一致,则式( 15) 同样选取u( t) = xreserve( t - τ) ,可得:

将u( t) = xreserve( t - τ) 与式( 16) 代入式( 15) ,消去式( 15) 中的输入与输出部分,可得:

由于式( 17) 所描述系统的输入和输出均具有物理意义,而状态变量xreduce没有明确的物理意义, 考虑到在实际计算中Creduce一般是可逆的( 不可逆的情形在2. 3节中讨论) ,因此可将xreduce消去,补充xreserve的历史轨迹 φreserve( ξ) 后,可得简化后的线性时滞系统模型:

式中: Areserve= CreduceAreduceC-re1duce,Breserve= CreduceBreduce, 均为r × r阶矩阵。

式( 5) 与式( 18) 具有相似的数学描述,只是维数得以降低,因此式( 5) 与式( 18) 具有相同的时滞稳定性判据。

2. 3Creduce不可逆情形的处理

假设矩阵Creduce的秩为rC,则可在Creduce中选择rC个行向量,保证其秩为rC。设由这rC个行向量形成矩阵Creduce1,其在式( 17) 中对应的输出变量构成xreserve1,Creduce中剩下的r - rC个行向量形成矩阵Creduce2,其在式( 17) 中对应的输出变量构成xreserve2。根据这种定义可知: Creduce1是rC× r阶矩阵,Creduce2是( r - rC) × r阶矩阵,xreserve1是rC维列向量,xreserve2是n - rC维列向量。根据矩阵秩的性质可知,存在( r - rC) × rC阶矩阵K,使式( 19) 成立。

进一步,由式( 17) 中第二式可得:

将式( 19) 代入式( 20) ,得到:

则xreserve2( t) = Kxreserve1( t) ,进一步,由此得到:

再将式( 22) 代入式( 17) ,得到:

式中:阶单位矩阵。

将式( 23) 推广至一般的状态空间表达式,得到:

式中:输入包含rC个变量;输出包含rC个变量;状态xreduce包含r个变量。

对于式( 24) 所描述的系统,可以使用模型简化方法将状态变量减少为rC个,若简化后的输出矩阵可逆,则可仿照式( 18) 的做法得到简化后的时滞模型; 若简化后仍然不可逆,则可仿照本小节的方法构造输入、输出和状态阶数更低的状态空间表达式,然后继续简化。由于每次简化后的输出矩阵的秩都大于0( 否则简化后的传递函数矩阵将成为零矩阵) , 则经过有限次简化后一定能得到满秩的输出矩阵, 进而得到如式( 18) 所示的简化模型。

3时滞稳定裕度求解

对于式( 5) 描述的系统,文献[12]给出了一种基于LMI技术的稳定判据,本文对其加以改进,舍弃了其中对于时变特性、模型不确定性和外部扰动的处理,可得定理1所示判据( 证明详见附录B) 。

定理1: 对于式( 5) 所描述的时滞系统,若存在适当维数的对称正定矩阵P,P1,P2,Q,Q1,Q2,使得式( 25) 成立,则式( 5) 所描述的单时滞系统是渐进稳定的。

注意到M出现在式( 25) 中增广矩阵的前n行n列,则当式( 25 ) 中的矩阵不等式成立时,由Sylvester顺序主子式判别法可知,- M的n个顺序主子式均大于零,因此必有M < On × n。同时,由上一节分析可知: 只要将A0置换为Areserve,将Aτ置换为Breserve,将On × n置换为Or × r,将O3n × 3n置换为O3r × 3r,则定理1同样适用于式( 18) 所描述的线性时滞系统。

采用定理1计算式( 5) 所描述系统的时滞稳定裕度,等价于求解如下优化问题:

式( 26) 具有两个未知量的乘积项( 如 τ- 1Q) , 不等式约束是非线性的,为避免这一问题,可将 τ 固定,进而将式( 26) 转化为如下新的优化模型:

式中: I3n × 3n为3n × 3n阶单位矩阵。

比较式( 26) 和式( 27) 可知,当式( 27) 的目标函数 λ≤0时,式( 27) 的最优解是式( 26) 的可行解; 当式( 27) 的目标函数 λ = 0时,式( 27) 的最优解也是式( 26) 的最优解; 当式( 27) 的目标函数 λ > 0时, 式( 26) 无解。进一步可知,求解式( 26) 等价于对 τ 进行一维搜索,使得式( 27) 取最优解时的目标函数恰为 λ = 0。本文将基于这一结论,采取二分搜索算法通过如下3个阶段求解式( 26) 。

阶段1: 找出式( 26) 目标函数 τ 的下界,记为 τLower Bound。实际求解时,若对于一个很小的 τ( 本文取 τ = 10- 5) ,式( 27) 目标函数 λ≤0,则有:

若即使对于很小的 τ,式( 27) 目标函数仍为 λ > 0, 则认为 τ = 0时,式( 26) 无解,求解过程结束。

阶段2: 找出式( 26) 目标函数 τ 的上界,记为 τUpper Bound。具体求解方法如下: 根据式( 29) 计算 τTest, 将 τTest代入式( 27) 中进行求解。若解出目标函数值 λ > 0,则执行操作 τUpper Bound= τTest,然后进入阶段3; 若解出目标函数 λ≤0,则执行操作τLower Bound= τTest,τTest= 2τLower Bound,然后重新进入阶段2继续求解式( 27) 。

阶段3: 采用二分搜索算法求解式( 26) 。具体步骤如下。

步骤1: 取定求解精度 ε,本文取 ε = 10- 5。

步骤2: 判断 τUpper Bound- τLower Bound≤ε 是否成立。若不成立,取 τTest= ( τUpper Bound+ τLower Bound) /2,进入步骤3; 若成立,取 τ = τLower Bound作为式( 26) 目标函数的最优解,求解过程结束。

步骤3: 将 τTest代入式( 27) 求解,判断求解得到的目标函数 λ≤0是否成立。若成立,则执行操作 τLower Bound= τTest,返回步骤2; 若不成立,则执行操作 τUpper Bound= τTest,返回步骤2。

4算例分析

本文采取WSCC 3机9节点系统对前述算法进行验证。此外,对于IEEE 10机39节点系统的分析见附录C。

在WSCC 3机9节点系统算例中,考虑发电机G1为无穷大母线,G3控制回路中存在时滞。发电机G2和G3均分别采用五阶微分方程进行描述,因此系统中共有10个状态变量。按照第2节中的划分依据,可确定简化后模型中保留的状态变量为7个。系统接线图、支路、节点参数以及简化过程中形成的各种模型的矩阵见附录D。

传递函数矩阵是动力系统性态的一个重要表征,其第i行和第j列元素表示第j个输入变量到第i个输出变量的传递函数。由于式( 5 ) 与式( 18 ) 中只包含状态不包含输入与输出,无法形成传递函数矩阵,因此将比较式( 12) 和式( 15) 中的传递函数矩阵的相似程度( 它们分别为式( 5) 和式( 18) 的等价表达式) ,分别用Goriginal( s) 与Greduce( s) 表示:

本算例中,Goriginal(s)与Greduce(s)都是7阶方阵,且Goriginal(s)中传递函数最高阶数为10阶,而Greduce(s)中传递函数最高阶数为7阶。为简单起见,这里只列出Goriginal(s)与Greduce(s)第1行第1列传递函数中最靠近虚轴(最关键)的两对共轭极点及对应的留数(其他情况与之类似),如表1所示。

由表1可以看出: 1各种模型简化方式均能较好地保留原系统两对最关键共轭特征值及所对应的模态。在各类方法中,Balance,Schur,Hankel方法保留的结果略好于Bst和Ncf方法; 2表1中列出Balance方法与Schur方法的特征值与留数完全一致,原因在于两种简化方法得到的矩阵Areserve与Breserve完全一致,故后文讨论中只讨论Schur方法。

为进一步分析简化效果,采用如下冲激函数:

图1以状态变量 Δδ2为例,绘制了简化前后系统的冲激响应曲线。不难看出,在时间区间[0,5], 简化前后的冲激响应曲线几乎重叠在一起; 而对局部曲线进行详细观察,可发现在区间[0,0. 05]内, Hankel方法的响应曲线偏差较大,但在0. 01 s后偏差迅速衰减; 其他几种简化方法的偏差较少,且Schur和Bst两种方法的冲激响应曲线非常相似。

采用第3节的LMI判据及文献[9]方法,分别求解系统在简化前后的时滞稳定裕度,所得结果分别如表2和表3所示。

由表2可知,简化方法中Schur方法( Balance方法和Schur方法误差相同) 的误差最小,Hankel方法与Ncf方法误差则较大; 从计算时间上看,采用简化模型的计算时间均小于原模型用时的10% ; 同时待求变量由原来的330个减少到168个。

而由表3可知,Schur方法与Ncf方法的误差最小,Hankel方法与Bst方法误差则较大; 从计算时间上看,采用简化模型后的计算时间约为原来的40% 。在复杂电力大系统中,时滞变量数远小于系统动态方程的维数,因此在复杂电力大系统中采用本文方法进行时滞系统稳定性分析时,模型降维产生的加速效果将更为明显。

本文目的是探讨时滞模型降维方法的可行性, 故仅利用单时滞系统进行了讨论,如何将相关方法推广应用到多时滞系统和随机时滞系统,则是后期研究的重点。

5结语

本文给出了一种有效的单时滞模型降维方法, 在保留系统关键动态的同时,大大减少了模型维数和待求变量个数。

利用典型单时滞电力系统算例验证了本文方法的有效性: 模型简化后时滞稳定裕度计算效率将提高2 ~ 10倍,而由此引入的误差小于6% 。本文方法对分析电力系统时滞稳定性与评估电力系统控制器性能具有一定参考意义。

附录见本刊网络版( http: / /aeps. sgepri. sgcc. com. cn / aeps / ch / index. aspx) 。

摘要：在利用线性矩阵不等式(LMI)判据求解电力系统时滞稳定裕度时,由于电力系统动态模型的维数通常很高,会导致待求解变量过多和求解时间过长。针对此问题,文中首先将包含单时滞环节的电力系统线性模型扩展为包含输入、输出环节的状态空间表达式;进一步,基于成熟的状态空间表达式降维方法,对扩展模型进行简化,在保留系统关键动态特性的基础上,大幅减少待求变量数;最后,基于简化模型,借助LMI及参数变换,形成新的更为高效的时滞稳定判据。将该方法应用于含时滞环节的WSCC 3机9节点和IEEE 10机39节点系统中,借助二分搜索算法对比了两种电力系统单时滞稳定裕度的求解结果,算例表明时滞系统经过模型简化后,稳定裕度计算结果与简化前相比误差较小,而所需计算时间有较大幅度减少。

时滞稳定篇10

数十年来,PID类控制器参数整定办法大量涌现[3],大多数整定方法都是针对自衡过程而言,针对不稳定过程的控制不易实现[4]。除了镇定问题,不稳定过程可能达到的性能也与稳定过程明显不同[5,6]。为了对不稳定过程进行有效控制,采用非误差反馈结构。Jung C S等[7]提出预滤波器结构,并使用直接综合法进行设计。Huang H P和Chen C C[8]提出三环节结构等效于二自由度结构中的预滤波型结构。Park J H等[9]提出添加内环的控制结构,王亚刚和许晓鸣[4]也使用了添加内环的控制结构。这些控制结构都等价于设定值加权的PID结构,Chen C C等[5]对传统的误差反馈结构整定的PID给出了设定值加权PID加权系数解决办法。

1 问题描述不稳定过程双环控制系统结构如图1所示。

图中P(s)是过程模型,r是设定值,u是控制输出,d是负载干扰,y是被控变量,偏差信号e=r-y。M(s)、Q(s)和Kq是控制器的3个环节,其中Kq为比例系数,Q(s)为一阶微分环节,M(s)为比例积分环节,即:

undefined (1)

若取Kq为0,则Q(s)M(s)构成常规串联型控制器:

undefined (2)

对应到理想并联型PID控制器:

undefined (3)

其关系式为:

其中Kc、Ki和Kd分别为比例、积分和微分增益,Ti和Td分别为积分和微分时间常数。

若Kq不为0,则三环节控制结构最后等价为设定值加权PID控制器:

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其变换式为:

其中Kc、Ki和Kd分别为比例、积分和微分增益,而a和b分别为比例和微分加权系数。

被控过程为两种不稳定模型:

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对不稳定过程而言,设计的首要目标是保证系统有足够的稳定程度,其次是尽量保证系统性能。为此,选择时域指标中的阻尼系数表征稳定程度,用积分增益代表系统性能[10]。

2 PID控制器的直接时域设计法

考虑过程模型(8),选择Q(s)与稳定时间常数环节相消,Kq取0,并对时滞部分用1/1 Pade近似,有:

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Kq=0,Tq=λ (9)

此时,主回路开环传递函数为:

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而主回路特征式可以表达为:

undefined (11)

由式(10)获得的归一化特征多项式与式(11)展开多项式的对应系数相等,经过简单的计算可得:

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undefined (14)

依式(4)、(6)可见,Km大则积分增益大,所以Km代表对负载干扰d的抑制能力[10]。选取使Km大的ωr是合理的。由式(12)使Km最大的条件为:

undefined (15)

由给定的Tr和ξ,可以求解出ωr。

对于式(15)左端,给定ξ时,在ωr的有效范围内可以用二次多项式拟合。如ξ=0.707时,有undefined即:

undefined (16)

由此,选定ξ,依式(9)、(12)～(14)和式(16)计算可以得到常规理想PID控制器式(3)。

整个设计过程总结如下:

a. 简单地选择一阶微分环节Q(s)抵消过程的稳定时间常数环节,可以简化整个设计过程;

b. 阻尼系数ξ的大小反映了控制系统的相对稳定程度,一般取值在0.5～1.2之间,建议取0.707;

c. 常规误差控制器不能同时使干扰抑制和设定值跟踪最优化[11],需要改进为二自由度控制器,如设定值加权控制器式(5)。

工程应用中控制作用不希望含设定值微分,即仅在反馈通道有微分运算,或微分加权系数为0。为此,将式(4)中的微分增益通过图1中的反馈通道Kq实现。即KqTq=Kd,所以,Kq=KmTm。

于是获得设定值加权PID控制器式(5)及其参数:

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(17)

若被控过程为式(7),则式(17)演变为常规PI控制器参数运算式。

3 仿真例子

为了比较不同方法的控制效果,依据Tan Wen[10]建议的比较方法,以积分增益Ki度量系统的响应能力,而度量系统的鲁棒性采用undefined。

式中S和T是系统的灵敏度函数和余灵敏度函数。Ki大表示抑制干扰能力强,εm小表示鲁棒性好。

3.1 二阶不稳定时滞过程例子

选取Huang H D和Chen C C[12],Prashanti G和Chidambaram M[13]以及Wang H和Jin X[14](τc=3)所建议的方法。各PID控制器参数见表1,相应指标见表2。二阶不稳定时滞过程及其摄动过程分别为:

undefined (18)

undefined (19)

设定值和负载阶跃响应如图2所示,摄动后响应如图3所示。由表2、图2、3可知,HC-PID和PC-PID采用了较强的控制,负载阶跃响应的最大偏差较小,但出现明显振荡现象,系统的鲁棒性较低。WJ-PID则相反,采用了较弱的控制,负载阶跃响应的最大偏差很大。笔者提供的方法(this-PID)综合表现更优。

3.2 高阶不稳定时滞过程例子

考虑三阶不稳定时滞过程及其二阶近似模型[8]分别如式(20)、(21)所示。选取参考文献[8]、[14]、[15](τc=3)所建议的方法。

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各控制器参数见表3,对应控制系统相应的指标见表4。图3为过程式(17)对应的设定值和负载干扰阶跃响应。图4为系统摄动情况下,即过程式(20)变化为式(22)时所对应的设定值和负载干扰阶跃响应。

由图4、5以及表4可见,HC-PID和Lee-PID使用了更强的控制作用,所对应控制系统在标称情况下有所振荡,在系统摄动情况下响应很差,甚至出现不稳定。WJ-PID的鲁棒性最好,但抑制干扰能力弱。

4 结束语

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