极限方法

极限方法（精选十篇）

极限方法 篇1

一、问题的提出

本例中数列极限许多学生认为是由于但这种想法似是而非, 严格地讲这是由得出来的, 同一个类型的例子基本上都是这样, 由此可见这个式子的正确使用是我们必须要掌握的。

其中[x]表示x的整数部分, 令x->+∞时, 不等式左右两侧表现两个数列的极限再利用函数极限的夹逼定理得到

接下来我们重点了解一下能不能从数列极限求函数极限研究数列极限和函数极限时, 许多学生会想到海涅定理, 根据海涅定理, 的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{n}都有。

二、得到的重要结果

通过上面的分析, 我们就可以提出下面的定理。

定理1设f (x) 在[a, +∞]上有定义, (a>0) , 如果存在数列{xn}, {yn}满足对于任意x>=a, 当n<=x

证明:对于任意A>0, 由于所以存在N∈N+ (假设N≥a) , 当n>N时, 就会有|xn-A|<ε且|yn-A|<ε取X=N+1, 当x>X时, 总可以找到满足n0>N且n0≤x≤n0+1, 由条件可得xn0≤f (x) ≤yn0, 所以xn0-A≤f (x) -A≤yn0-A, 于是|f (x) -A|≤max{|xn0-A|, |yn0-A|}<ε。

在学习定积分时且遇到下面的问题:

求极限方法 篇2

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

型极限的求解方法 篇3

摘要：极限是高等数学中重要的知识，而极限的求解更是高等数学的难点之一，本文对极限问题中 型极限问题的求解，给出利用有理化、利用重要极限、利用洛必达法则和利用泰勒公式这几种方法，方便大家遇到类似极限轻松解题。

关键词：重要极限；洛必达法则；泰勒公式

在我们刚进入高等数学的学习的过程中，初步接触到一些极限的求解方法，比如借助于定义法和极限的四则运算来求解一些简单的极限。我们知道在利用极限的四则运算中商的运算法则中要求分母的极限不能为零。但是学习时总会遇到分母的极限为零的情形，如果分母的极限为零，分子的极限是一个常数，那么可以用无穷大量与无穷小量的关系求解。时常还会遇到分子和分母的极限都是零的情形，我们把这类极限称之为“ ”型。下面就介绍一下一些 型极限的求解方法，以供参考。

方法一 利用有理化或约零因子求 型极限。

例1求

解析 通过观察发现，当 时，分子和分母的极限都是零，是一个 型极限，这时候无法用极限的四则运算法则来求。可以先将待求极限的分子先进行因式分解，在用四则运算法则求极限

下面看一个利用有理化求解极限的例子

例2求

解析 上式极限也是一个 型的极限，显然无法用因式分解约零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要极限求 型极限

我们这个极限 称之为重要极限，根据对这个极限内容深刻理解，可以推广到 ，下面看如何利用这个重要极限来求解 型极限。

例3 求

解析 这待求极限看似与重要极限形式不同，实际上先将这个极限的形式变形一下就可以借助重要极限来解答了。

令 ，则 ，且当 时 ，所以有

类似地还有这样的极限 ， 也可以利用重要极限来求解。

方法三 利用洛必达法则来求解 型极限

定理1：若函数 和 满足

上述定理就给出了洛必达法则的使用条件和使用方法。

例4 求

解析 容易验证 与 在点 的邻域内满足上述定理的（1）（2），又因

从而有洛必达法则可知

如果 仍是 型极限，可以再次用洛必达法则，当然这时候 和 在 的某邻域内必须满足定理1中的条件。

方法四 利用泰勒公式求解 型极限

例5 求

解析 本题可以用洛必达法则求解，但是过程角为繁琐，若应用泰勒公式求解可大为简化求解过程。考虑到极限式的分母为 ，可用麦克劳林公式表示极限的分子（取 ）

所以

以上就是我们学习时经常遇到的一z些 型的极限和相对应的方法，当然 型的极限的求解还有其他的方法，我们在学习的过程不断尝试更多的解决 型的极限的方法，这样才能不断提高知识宽度和深度，从而在遇到这类极限的时候，才能迎刃而解。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系。高等数学第三版，高等教育出版社 2001年

求极限的方法 篇4

一、“变换代入法”

有的函数可通过初等代数变换 (如因式分解或分子.分母有理化, 或分子和分母同除以代数式, 化简去掉零子或无穷大因式, 再利用极限运算法则和连续函数定义undefined代入即可.

例1 求f (x) =|x-2|, 求undefined

解undefined

例2 (0801) 求undefined

解undefined

例undefined.

解undefined

二、“公式法”

利用两个重要极限公式:undefined和代数函数当x→∞极限:

undefined

利用上述公式关键是认清它们的标准形式和蕴涵的条件, 并能熟悉它们的扩充和变形形式, 如:

undefined

对于不符合条件不能使用, 例如undefined不能用上述公式, 可利用无穷小量的性质求得undefined.考题一般需要通过代数、三角变换或变量替换后, 化为符合公式条件下才应用.两个重要公式几乎每次都考到.有时单独使用, 更常与其他方法 (如利用函数的连续性质等) 综合使用, 特别是对于连续的复合函数, 极限符号可以先与函数符号交换, undefined, 再根据函数的形式选择相应的方法.

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例6 (1001) 求undefined

undefined

例undefined

解undefined

三、“求导法”

对于未定式极限undefined, 常直接利用洛必达法则 (先分别求出分子和分母的导数再求极限) .其他未定式极限:0·∞, ∞-∞, ∞0, 0∞, 1∞, 可通过通分、对数数恒变形等手段化为undefined.利用洛必达法则是求未定式极限的常用有效的办法.但必须注意只有undefined, 且undefined存在方可直接利用, 而且只要条件符合可多次使用.用法则失败时, 要考虑用其他办法解决.用洛必达法则时常常结合使用其他方法 (如用无穷小替换定理) .此方法每年必考.

例8 (0901) 求极限undefined

解undefined

例undefined

undefined

例10 (0907) 求极限undefined

undefined

例undefined

解 原式undefined

例undefined

undefined

另解undefined

∴原式undefined

四、“无穷小法”

利用无穷小的性质 (如无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量) 及无穷小替换定理也是常用的方法.无穷小替代, 注意不能进行和差分别代换, 只能整体代换.常用的无穷小替换有:undefined

此方法常和其他方法结合使用.

例13 (0807) 求极限undefined

解 原式undefined

例14 (1001) 求限极undefined

解undefined原式=0.

例15 (0904) 求极限undefined

undefined

又undefined原式=0.

例undefined

解 此题属1∞型.设undefined

undefined

五、“求单侧极限法”

对于分段函数分段点两侧表达式不同的分段点极限要分别求出左右极限, 然后才能判断函数在该点的极限是否存在.

例17 (1001) 已知

undefined

在x=1处连续, 则k=____.

解 此题关键是求undefined是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

A.2 B.1 C.4 D.∞

解 x=2是分段点但两侧表达式相同.

undefined

例19 (1004) 已知

解 x=1是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

六、其他方法

另外对于一些特殊复杂的数列, 要采取相应的特殊方法, 如用夹逼准则、单调有界数列必有极限法则或用等比和等差求和公式先求和再求极限等方法.

例undefined

A.0 B.1 C.不存在D.∞

undefined

又undefined原式=1.

例undefined

A.6 B.3 C.2 D.∞

解 根据等比数列前n项和公式得undefined

∴原式undefined

极限是高数最基本的概念.导数、定积分定义式是极限形式, 级数也与极限密切相关.因此, 利用这些导数、积分、级数知识可丰富求极限的方法.如利用导数、定积分定义、中值定理、泰勒公式、级数也可求极限.对于有些特殊极限还可利用定义和柯西准则.解答题中求极限一般需诸法并用.

例22 (0807) 设f′ (1) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例23 (0810) 设f′ (0) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例24 (1004) 设函数

undefined

试确定常数a和b的值, 使得在x=0处连续.

解 此题是综合题, 关键是求undefined,

因为x=0是分段点且两侧表达式不同,

所以要分别求出左右极限.

undefined (变换代入法) .

undefined (用公式法) .

undefined

摘要：极限运算是高等数学中的最基本运算, 本文结合近年来的全国自考高数 (一) 题目谈谈求极限常用方法.

求数列极限的方法总结 篇5

数学科学学院数学与应用数学

11级电子 张玉龙 陈进进指导教师 鲁大勇

摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同 的方面罗列了它的几种求法。

关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多 样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了

1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对 任意给定的 ε 〉0,总存在一个正整数 N，当 n〉N 时,都有 Xn ? a < ε ,我们就称 a 是数列{Xn}的极限.记为 lim Xn = a.n→∞ 例 1: 按定义证明 lim 1 = 0.n → ∞ n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,则让 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],当 n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0.n → ∞ n!

2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1.n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim

3.利用夹逼性定理求极限若 存 在 正 整 数 N, 当 n>N 时 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a.n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的极限.n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夹逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0.n →∞ n

4．换元法 通过换元将复杂的极限化为简单.an ?1 例 4.求极限lim n，此时 n →∞ a + 2 有，令 解：若 5.单调有界原理

4.例 5.证明数列 证： 令 我们用归纳法证明 若 ≤２ 则 则 有极限，并求其极限。，易知｛ ｝递增，且 ≤2.显然。中两 故由单调有界原理｛ ｝收敛，设 →，则在 边取极限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，从而

5.6.6.先用数学归纳法,再求极限.1 ? 3 ? 5 ? L ?(2n ? 1)例 6:求极限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设 S * = ? ?L? 则有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7.7.利用两个重要极限 lim = 1 , lim(1 +)x = e.x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim(1 +)x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim(1 +)2 ?(1 +)2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8.8.利用等价无穷小来求极限 将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:当 x → 0 的时候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此时, e x ? 1 ~ x 2 ,所以 x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9.9.用洛必达法则求极限.适用于 和 型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是 待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10.10.积分的定义及性质 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim(p > 0)n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim(p > 0)= lim ∑()p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设 f(x)= x ,则 f(x)在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f(ξ i)=()p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11.11.级数收敛的必要条件.2 x sin x.2 设 ∑ u n 等于所求极限的表达式 , 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 极限为 0.例 11:求 lim n → +∞ n!nn ∞ u 1 1 n!= <1 ,则 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n(1 +)n n n!所以该级数收敛,所以 lim n =0 n → +∞ n

12.12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数 的恒等变形。sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13.13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。(?1)x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为 lim x =0 x→∞ 2(?1)x 所以 lim x =0 x→∞ 2

14.14．利于泰勒展开式求极限。解:设 ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4)1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 +)5 ?(1 ?)5 ?(令 t=)x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t)? ?1 ? t + o(t)? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t)5 ?(1 ? t)5 ? = t → +0 t t 5 ? ?

15.15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数 的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x

16.16.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{ an }有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。解：因为 lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 设 bn = an，因为知 lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的极限就等于{ bn }的极限 即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞

活到寿命极限的12个方法（上） 篇6

1、多晒太阳——可以使你增加3.3岁

晒太阳可以延缓衰老，其中起作用的是维生素D。研究显示，体内维生素D水平较高者比维生素D较低者的机体平均年轻4岁左右。人体所需的维生素D，其中有90%都需要依靠晒太阳而获得。经常见不到阳光的人可能会发生很多危险。一项情感障碍研究显示，缺少光亮可能导致抑郁症或其他相关问题出现，比如酗酒、自杀等等。有条件的话，去海边晒一个星期的太阳，会让你走出这种阴暗的情绪。有研究显示，连续5天，每天30分钟的海边日光，可以治好一半以上的抑郁症患者。

2、喝奶——可以使你增加7.2岁

牛奶，人称“白色血液”，营养丰富、容易消化。撇开三聚氰胺的阴影，其实它是一种纯天然的最有营养的抗衰老和补给身体的食品。真正的好牛奶中含有钾，可使动脉血管壁在血压高时保持稳定，预防高血压和心脏病，睡前喝一杯牛奶还有催眠之妙用。已经有很多临床实验证实，牛奶还有非常多的功效，比如提供能量，使肌肤更有活力，减少疼痛，使过敏体质得到改善，加速身体复原，振奋情绪等。

3、赞美——可以使你增加2岁

发自内心、恰如其分的赞美，能使你更好地与邻居或朋友交往，从而增进你们之间的感情。赞美不仅能使人的自尊心、荣誉感得到满足，更能让人感到愉悦和鼓舞，从而会对赞美者产生亲切感，相互间的交际氛围也会大大改善。研究人员发现，永远在心底里对所有的人和事都抱着一颗感恩的心，无时无刻不在赞美着别人的人能把每一天都过得快乐充实，也活得更健康。

4、幽默——可以使你增加8岁

幽默使人与人积极交往。 幽默能降低紧张，制造轻松的气氛。一项研究成果显示，幽默可以使你更健康、更长寿、更快乐。具有幽默感的人当患上重大疾病时被治愈或好转的可能性比其他人要高出30%。笑可以使人产生更多的保护性荷尔蒙，调节血压，减小压力，增强免疫系统。鉴于笑能给你带来这么多的好处，让自己多一些笑声，可以使你的寿命增加8岁。所以，从现在开始多看喜剧电影，多听相声，也讲笑话给别人听吧。

5、经常测血压——可以使你增加25岁

高血压是困扰老年人最常见的疾病，老年人经常在家自测血压是大有益处的。及早发现身体的隐患，可以采取积极方法应对，等身体真出问题了才想起来去测血压就晚了。研究表明：一个能拥有相对较低血压（115/75）的人通常比那种血压相对较高（140/90）的人多活25年。在家自测血压，每日固定时间测一次。根据你的实际年龄，如果你的血压过高，可以通过锻炼，减少脂肪、盐、酒的摄入量等降下来。

6、买只宠物陪伴——可以使你增加11.4岁

有一只猫或狗在身边陪你，可以使你降低心脏病、中风发作的风险，还可以使正身患重症的人尽快好起来。一项研究显示，养狗往往可以降低血压和胆固醇水平，养狗的人和那些没有狗的人比起来，养狗的人简直太幸运了。而且，养狗比养猫更有好处，因为狗可以“强迫”你每天早晚必须出去散步，这是《宠物的治疗功效》一书的作者医学博士贝克尔的研究。

浅析分式极限求解方法 篇7

一、用公式法求分式极限

在分式求极限中,公式法是求分式极限一种比较经典的方法,常出现的形式有:直接运用公式和公式与初等数学(约分、通分、有理化等)中的恒等变形相结合.

1. 直接运用公式法

对于公式法,即若分式中分子分母的极限都存在,且分母的极限不为零,则有商的极限等于极限的商.

2. 公式与初等数学中的恒等变形相结合法

对某些类型的分式求极限,如、等类型不能直接运用分式求极限公式求分式的极限,可先通过对函数进行恒等变形,再运用公式求分式极限.

解当x=3时,分子、分母都为0,故可约去公因子x-3(此时x-3又称零因子),即

解当x→0时,分子、分母的极限均为0,但分子为无理式,于是对分子有理化后得

说明若“”有零因子,应先约去零因子,再运用分式求极限公式求分式极限;若分式中有无理式,应先对其进行有理化(分子有理化或分母有理化),再求极限.

说明若分式相减呈“∞-∞”未定型,应先通分并整理,再求极限.

说明若有理分式,当x→∞时呈未定型,应先分子、分母同除以x的最高次幂,再求极限.通过对求多种有理分式在当x→∞时的极限进行分析得到以下结论:

二、运用无穷小的性质求分式极限

无穷小量的性质在求分式极限中有着重要意义.在分式求极限中,运用无穷小的性质求分式极限是一种较常用的方法,出现频率较高的有:利用无穷小的运算性质求分式极限,利用无穷小与无穷大的关系求分式极限,利用第一重要极限求分式极限与利用等价无穷小代换求分式极限等.

1. 利用无穷小及相关知识求分式极限

关于无穷小的运算性质:有限个无穷小的代数和仍是无穷小、无穷小与有界量之积是无穷小、推论常数与无穷小的积仍是无穷小、有限个无穷小的积仍是无穷小,可直接或间接运用到分式求极限中.

解当x→∞时,上式三项均为无穷小,由有限个无穷小的代数和仍是无穷小,得

说明请注意有限个无穷小的代数和仍然是无穷小,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

例7求xli→m∞xarctanx.

解因为,所以为x→∞时的无穷小;又因为,所以arctanx为有界函数.因此仍为x→∞时的无穷小,即

2. 利用无穷小与无穷大的关系求分式极限

在自变量的变化过程中,无穷大的倒数是无穷小,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.这一关系在求分式极限中凸显了数学的严谨性.

因为即x-3在x→3时为无穷小,而,由无穷小的运算性质可得时为无穷小,又由无穷小与无穷大的关系可知,在x→3时为无穷大,即,所以

说明对于型(k为非零常数)求极限,应先说明其倒数是无穷小,再利用无穷小与无穷大的关系说明其为无穷大.

3. 利用第一重要极限求分式极限

第一重要极限即,在求分式极限中比较常用,通常是和等价无穷小代换结合在一起来用.

例9求.

解设t=x-1,x→1等价于t→0,做变量代换后有

说明关于用第一重要极限求分式极限,要求分式极限可化为第一重要极限形式,或者能化成含第一重要极限的形式,其变形多用变量代换.

4. 利用等价无穷小代换求分式极限

常用的等价无穷小代换,当x→0时,有

说明等价代换是对分子或分母的整体代换或者是其乘积因子的代换,其他如“+”、“-”连接部分不可用,且等价无穷小形式很丰富,请灵活运用.

三、运用洛必达(L'Hospital)法则求分式极限

洛必达法则将求“函数之比”未定型极限转化为“求导数之比”的极限,在求分式极限运算中占相当大的分量.

说明应用洛必达法则求函数极限的习题类型,且将洛必达法则与其他数学方法相结合求极限的类型更是丰富.仅其与等价无穷小结合使用,便在历年的考研高等数学1,2,3中均有显著体现,本文限于篇幅暂不详细举例.关于洛必达法则还有三点需要注意,详见高等数学教材洛必达法则一节,请大家务必仔细阅读.

关于函数极限尤其是分式极限一直是高等数学中的重点也是难点,本文通过例题简要做了归纳,希望能对您学好高等数学有所帮助.

摘要：结合典型例题对求分式极限的方法进行系统归纳,如直接公式法、间接公式法、运用无穷小相关知识、重要极限与洛必达法则等.

关键词：分式极限,公式法,无穷小,第一重要极限,洛必达法则

参考文献

[1]侯风波.高等数学[M].上海:上海大学出版社,2009.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

复杂极限的计算方法 篇8

高等数学这门课程是以极限为工具去研究函数的三性:连续性、可微性和可积性, 因而极限计算的能力是学好这门课程的基本功.计算极限的常规方法有利用四则运算, 利用两个重要极限及其变形, 利用等价无穷小量的代换和利用洛必达法则等等.笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生都能较好地掌握这些基本的极限计算方法, 但是碰到复杂极限的计算问题时往往会束手无策.鉴于此, 本文将专门讨论复杂极限的计算问题, 主要介绍五种方法:利用泰勒公式, 利用两边夹法则的推广形式, 利用变量替换, 利用导数和利用积分.

二、利用泰勒公式求极限

对于未定式的极限, 通常可以用洛必达法则计算, 但是洛必达法则并非对所有未定式的极限都是有效的, 例如:

三、利用两边夹法则的推广形式

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量, 作适当的放大和缩小, 使放大、缩小所得的新变量, 易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在, 且等于此公共值.实际上, 当使用两边夹法则时, 若放大与缩小所得之量的极限值不相等, 但二者只相差一个任意小量, 则两边夹法则仍然有效.

四、利用变量替换求极限

当未知的极限较复杂时, 可考虑将其化简, 或转化为已知的极限, 可根据极限式的特点, 适当引入新变量, 以替换原有的变量, 使原来的极限过程转化为新的极限过程.

五、利用导数求极限

此种方法是利用导数的定义式计算极限.

六、利用积分求极限

定积分是积分和的极限, 因此求某个表达式的极限, 若能将表达式写成某可积函数的积分和, 那么极限就等于此函数的积分.

本文通过实例说明了计算复杂极限时可以尝试的五种方法:利用泰勒公式, 利用两边夹法则的推广形式, 利用变量替换, 利用导数和利用积分.希望对读者有所帮助.

参考文献

[1]李晋明.大学生数学竞赛指南[M].北京:经济管理出版社, 2011, 11-21.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993, 14-19.

谈极限的求解方法 篇9

1. 几种常用的极限求解方法

（1）利用四则运算法则求极限

对和、差、积、商形式的函数求极限，经常使用四则运算法则：

但在使用此法则时，往往需要对函数进行恒等变形(常见的变形有：约分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函数的恒等变换等).

(2）利用等价无穷小求极限

等价量代换是求解极限问题常用方法之一，解题时要注意使用无穷小量进行替换.在具体求极限过程中，要遵循以下等价无穷小替换原则：对函数的因子可进行等价无穷小替换，该因子首先必须是无穷小量.下面列出几个常用的无穷小量等价替换：

当x→0时，sinx～x;tanx～x;1-cosx～21x2;ex-1～x;ln (1+x)～x;姨1+x-1～21x

(3）利用两个重要极限求极限

两个重要极限分别是

其中第一个重要极限可理解为siyny=1，第二个极限xli→m∞ (1+x1) x=e可以理解为yli→m∞ (1+y1) y=e或者lyi→m0 (1+y) 1y=e.这两个重要极限是求极限的一种重要手段，要根据题目中给出的条件灵活选择适当的形式，使运算更加简洁.

(4）利用洛比达法则求极限

假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f (x) 和ɡ (x) 满足：

i) f (x) 和ɡ (x) 的极限都是0或都是无穷大

ii) f (x) 和ɡ (x) 都可导，且ɡ (x) 导数不为0

iii) xli→mf′ (x) x0ɡ′ (x) 存在(或是无穷大)

则极限xli→mf (x) x0ɡ (x) 也一定存在，且有xli→mf (x) x0ɡ (x) =xli→mf′ (x) x0ɡ′ (x) ，此称为洛必达法则.

洛必达法则是处理 (00) 型或 (∞∞) 型的未定式极限的重要方法，在具体求解中，如果利用洛必达法则处理的结果还是 (00) 型或 (∞∞) 型的，则可继续利用洛必达法则去化简，直到化为最简为止.

(5）利用函数的连续性求极限

由函数f (x) 在x0点连续的定义知xli→mx0f (x) =f (x0) ，由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，实质上就是求函数在该点处的函数值，因此利用函数的连续性求极限就是代入xli→mx0f (x) =f (x0) 进行计算.

2. 几种特殊的极限求解方法

(1）变“无限多个”为“有限多个”求极限

利用极限的四则运算法则求极限，不仅要求每个函数的极限存在，而且只能是有限多个函数的和、差、积.若是求“无限多个”函数极限，用恒等变换将“无限多个”函数的和、差、积变为“有限多个”函数的和、差、积后，再利用四则运算法则求出极限.

例1求lni→m∞ (1+a+a2+a3+……+an) (0

分析:本题为“无限多个”函数之和的极限，它们构成等比数列，用等比数列求和公式便可将“无限多个”函数之和变为“有限多个”函数，再用四则运算法则便可求得结果.

解：原式=lni→m∞1-a1-an+1=11-a(其中n→∞liman+1=0, 0

(2）利用泰勒展开式求极限

利用泰勒公式求极限一般是用麦克劳林公式的形式，并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，再通过比较求出极限.

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法.同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性.而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生，尤其是高中学生较为头痛的问题.求极限不仅要准确理解极限的概念和性质，而且还要掌握和了解求解极限的各种方法.本文总结和给出了几种求解极限的方法，利用这些方法可以求解常见的极限，并可以加深对极限的理解.

浅议极限运算方法 篇10

一、利用极限四则运算法则及初等函数的连续性求极限

1. 当分母不为零时,可根据初等函数的连续性,用直接代入法求极限

例1

2. 当出现“

”型时,可用分解因式法或有理化方法消去零因子,然后求极限

例2

例3

3. 当出现“

”型时,可用分子分母同除以x的最高次方,然后求极限

例4

4. 当出现“∞-∞”型时,可转换成“

”或“

”型,然后求极限

例5

5. 当出现数列求和时,可先利用数列的求和公式将其变形,然后求极限

例6

二、利用两个重要极限求极限

例7

例8

三、利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量这一性质求极限

例9

解因为不存在,故不能直接用极限的四则运算法则求极限,注意到,且,所以

例10.

解因,所以

四、利用变量代换求极限

例11

解令t=arctanx,当x→0时,t0,

所以

例12

解令t=ex-1,则x=ln(t+1),当x→0时,t→0,

所以

五、利用等价无穷小求极限

例13

解当x→0时,有arctanx～x,ln(1+sinx)～sinx,

所以

例14

解当x→0时,有sin6x～6x,sin3x～3x,

所以

参考文献

[1]李林曙,黎诣远.微积分[M].北京:高等教育出版社,2005(7).