偏导数的应用

偏导数的应用（精选五篇）

偏导数的应用 篇1

一、函数的导数在经济学的应用范围分析

1. 产量变化函数分析

产品产量的增加带动着单位成本的增加的同时,在经济学中可以称之为产量变化分析,如果产量发生了变化,那么相应的产品也会发生着很大的变化. 例如, 单位产品的每个月的产量和利益收入之间的函数导数之间的关系为:L (x) =400 - 20x, 求解出当每一个月的产量为5t、10t、20t时的产量利益

答:产量变化的概念是:产量利益和全部利益函数之间的一个导数,表示出产品产量为X吨的时候,全部利益的一个变化情况,根据题目中交代的数据,可知以下情况:

L(x) = 400 - 20x

则:当x为5,10,20时,

L(5)400-20*5=300,

L(10)400-20*10=200,

L(20)=400-20*20=0.

当每一个月产品的产量为5 吨时,如果在多生产1 吨的产量的话,利益将会减少100 元,当每一个月的产量为10 吨时,如果在多生产1 吨的话,利益将增加100 元,当每月的产量为20 吨时,利益保持不变.

2. 产量弹性函数分析

弹性函数主要是对两个变量之间的某一个变量在变化时所进行的一种变化,该函数主要显示出两个变量中另一个变量在相应的进行数值变化着,因此,可以说弹性函数主要是描写了一个变量对另一个变量之间所进行的相对应的一种变化数值. 加入设弹性函数关系为Y = 400 - 4x,在这个函数关系中Y为产品的需要数,产品的单价为x,笔者主要通过这个函数关系来分析弹性数值的一个变化. 笔者通过对这个弹性函数的关系进行了理论意义上的一个深层次的解析,在解析过程中发现当产品的单价x在降低的时候,产品的需要数量Y就会发生很大的变化,即如果单位对产品的价格做一系列的改动,那么相应的利益也会发生很大的变化,因此,笔者认为产量弹性函数对产量的增加变动直接影响到产量价格的变化. 当产量随着价格的变化而发生变化时, 单位的效益也发生着大面积的变化. 综上所述, 产品产量价格的变化对产品在市场上的需求产生一定的影响,同时也对对生产的产地也会带来相应的影响这些影响主要表现为:使得提供原材料地方进行生产方式的调价或者变化;从而促使当地的产品生产率获得更大的提高,从而为产品提供出更好的生产空间;企业在制造、生产时可以及时的获得市场经济中适合销售的高质量产品. 因此通过对产量变化函数和产量弹性函数之间的一个分析,对单位产品价格的变化影响效益的增加有着很重要的实践作用.

二、函数的偏导数在经济学中的应用分析

1. 产品边际生产效益

笔者在实践中采用W = W(H,M)来表示出单位生产某一种产品的生产函数, 在这个函数中产品的产量为W,H为单位在中产品生产中具体投入的劳动力情况,M为单位生产启动资金,因此单位在生产中投入的劳动力H具体情况的产品边际生产效益就是W (H,M) 所对应的H的偏导数为W(H,M),W′(H,M) 偏导数主要含义是资金M和单位产品劳动力H在相同的情况下如果在多投入一定的单位产品劳动力时W(H,M)发生的变化范围,因此W′(H,M)偏导数是单位产品产量中W(H,M)对单位生产启动资金M的一个产品边际生产效益,即在单位投入一定生产劳动力H和启动资金M在相同不点的情况下同时投入一定的产品启动资金是对单位产品W(H,M)之间的一个变化数值的范围.

2. 产品边际效益的需要

X、Y两种不一样的产品的边际需要量为X1、Y1, 价格分别为X2、Y2,产品边际效益需求量的函数为X1= X1*(X1*X2),Y1=Y1* (Y1*Y2),X和Y这两种不一样的产品的边际效益的需要量为X1和Y1关于X2和Y2的一种偏导数的方式来表达,此时产品X的边际效益的需要量X1的各种变化范围和Y产品的边际效益需要量之间发生着相应的数值范围内的变化,当这两个不相同的产品中有一个产品的价格有变化,都将使得其中一个产品的边际效益需要量减少, 则另一个需要量增加, 所业这两个产品的边际效益的需要量是可以相互取代的,当两个不相同的产品中价格在降低的同时,他们两者的产品需要量都会增加,因此边际效益的需要量是可以互相进行补助的. 因此, 研究单位产品的边际效益的需要量为经济学以后的发展提供着重要的作用.

结束语

偏导数的应用 篇2

定理17.7 若 fxy (x,y) 和fyx(x,y) 都在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

现将该定理的条件做变动:若fxy (x,y) 在[a ,b]上连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

知识储备:1 若二元函数在点(x0,y0)处连续,则在x=x0 ,y=y0处连续。

2 若二元连续函数存在重极限和累次极限,则它们必定相等。

3 fxy(x0,y0)=

fyx(x0,y0 )=

證:不妨设(x0,y0)为(a, b)上的任意一点,令

F(△x, △y)=f(x0+△x ,y0+△y)- f(x0+△x ,y0)- f(x0 ,y0+△y)+f(x0+y0)

Φ(x)=f(x, y0+△y ) - f(x, y0)

于是F(△x, △y)=φ(x0+△x)-φ(x0) (1)

由于函数f存在关于x的偏导数,所以函数可导。应用一元函数的拉格朗日中值定理有

φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1 △x) △x=[fx(x0+θ1△x, y0+△y)-fx(x0+θ1△x,y0)] △x (0<1 <1)

又由函数存在关于y的偏导数,故对以y自变量的函数fx(x0+θ1△x,y)应用一元函数的拉格朗日中值定理,又使上式化为

φ(x0+△x)- φ(x0)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(0<1 , 2 <1)

由(1)则有 F(△x, △y)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(2)

将△x,△y除到左边, 可得

(3)式的左边= fxy(x0,y0)

因为fxy (x,y) 在任意点(x0,y0)处连续,则fxy (x,y)在分别在x=x0, y=y0 处连续

由fxy (x,y)在x=x0处连续,可知

lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy (x0,y0+θ2△x)

fxy (x0,y0+θ2△x)在y=y0 连续

lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0) 即有

lim△y→0 lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0)即

lim△x→0 lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)=fxy(x0,y0)(4)

同理可知,对于(3)式,令△y 0,△x0,可得

(3)式的左边= fyx(x0,y0) ,右边= fxy(x0,y0) (5)

由(4),(5)两个式子可知,有fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),命题得证。

说明: 1 在目前的数学分析习题当中,如果不加说明,通常认为混合偏导数在区间上连续,从而混合偏导数与求导顺序无关。

2 有关多元函数的相关证明,通常将其和一元函数建立联系,从而利用一元函数的性质来证明多元函数。例如本题当中就很好的利用了一元函数中值定理及连续性的性质。

多叉树方法来解决多元复合函数求偏导数问题

例题1 设Z=f(x,x/y),求Zx, Zxy

解 这里z是以x和y为自变量的符合函数,它也可改写成如下形式:z=f(u,v),u=x,v=x/y

反馈:多元函数求偏导数,通常的做法是用链式法则进行相关求解,然而在多数计算情况下,我们经常是漏掉某个项,或缺少“交叉项”,往往是因为某个小处而造成计算结果的错误。现给大家推荐一种通俗、直观的方法,即图论中的二叉树法,来进行多元复合函数求微分或偏导数。

解:仍旧以上面的例题为例

利用换元的结果,其二叉树分布如下

对于上述例题,用换元的方法即可进行求解,多叉树法的优点也不是多明显,接下来的一道例题,如果用换元法,很有可能会遗漏某个环节或交叉项,而如果将其和多叉树结合起来,计算过程相对会更顺利一些。

例题3:Z=z(f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),g1(g2(x,6y),g3(x,2y)),h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y))),求Zx,Zy

分析:令a= f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),b= g1(g2(x,6y),g3(x,2y))c= h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y)),d= f2(x,y),e= f3(xy,x+y),

f= g2(x,6y),g= g3(x,2y),h= h2(x2+y,y),i= h3(8x,y)),j= xy,k= x+y,l= x2+y,则对应的多叉树为

由多叉树图可知,对x的一阶偏导数共有7个路径,分别是zadx,zaejx,zaekx,zbfx,zbgx,zchlx,zcix.

对y的一阶偏导数共有8个路径,分别是zady,zaejy,zaeky,zbfy,zbgy,zchly,zchy,zciy.

运用多叉树方法求解偏导数的一般步骤:

1 运用换元的方法,有外至内依次进行换元,直至换到所要求的自变量。

2画出由多个变元构成的多叉树。

3依据问题,从左至右依次找出所求变量的路径。

4 按照复合函数的链式法则求偏导数。多数情况下,在涉及二阶以上的偏导数时,会涉及到乘积求偏导数问题,要按照乘积求导法则进行求导。

多元函数运用多叉树法,为求解多元函数微分及偏导数提供了一个很好的途径,不仅有助于学生对于多元函数求偏导数有更加清楚的认识和理解,而且大大提高了学生求解多元函数偏导数的速度和质量,不失为一种好的方法。

数学的学习,不单纯只是接受的过程,更重要的是一个思考的过程,正是在这样的过程中,我们才会真正体会到数学所蕴藏的乐趣,望大家勤于思考,刻苦钻研,最终定能够收获丰硕的果实。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001.

[2] 许绍浦.数学分析教程[M].南京大学出版社.

[3] 陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社.

偏导数的应用 篇3

一、函数的导数在经济学的应用范围分析

1．产量变化函数分析

产品产量的增加带动着单位成本的增加的同时，在经济学中可以称之为产量变化分析，如果产量发生了变化，那么相应的产品也会发生着很大的变化．例如，单位产品的每个月的产量和利益收入之间的函数导数之间的关系为:L(x)=400-20x，求解出当每一个月的产量为5 t,10 t,20 t时的产量利益

答:产量变化的概念是:产量利益和全部利益函数之间的一个导数，表示出产品产量为X吨的时候，全部利益的一个变化情况，根据题目中交代的数据，可知以下情况:

L(x)=400-20x，则:当x为5,10,20时，

当每一个月产品的产量为5吨时，如果在多生产1吨的产量的话，利益将会减少100元，当每一个月的产量为10吨时，如果在多生产1吨的话，利益将增加100元，当每月的产量为20吨时，利益保持不变．

2．产量弹性函数分析

弹性函数主要是对两个变量之间的某一个变量在变化时所进行的一种变化，该函数主要显示出两个变量中另一个变量在相应的进行数值变化着，因此，可以说弹性函数主要是描写了一个变量对另一个变量之间所进行的相对应的一种变化数值．加入设弹性函数关系为Y=400-4x，在这个函数关系中Y为产品的需要数，产品的单价为x，笔者主要通过这个函数关系来分析弹性数值的一个变化．笔者通过对这个弹性函数的关系进行了理论意义上的一个深层次的解析，在解析过程中发现当产品的单价x在降低的时候，产品的需要数量Y就会发生很大的变化，即如果单位对产品的价格做一系列的改动，那么相应的利益也会发生很大的变化，因此，笔者认为产量弹性函数对产量的增加变动直接影响到产量价格的变化．当产量随着价格的变化而发生变化时，单位的效益也发生着大面积的变化．综上所述，产品产量价格的变化对产品在市场上的需求产生一定的影响，同时对生产的产地也会带来相应的影响，这些影响主要表现为:使得提供原材料地方进行生产方式的调价或者变化;从而促使当地的产品生产率获得更大的提高，从而为产品提供出更好的生产空间;企业在制造、生产时可以及时的获得市场经济中适合销售的高质量产品．因此通过对产量变化函数和产量弹性函数之间的一个分析，对单位产品价格的变化影响效益的增加有着很重要的实践作用．

二、函数的偏导数在经济学中的应用分析

1．产品边际生产效益

笔者在实践中采用W=W(H,M)来表示出单位生产某一种产品的生产函数，在这个函数中产品的产量为W,H为单位在产品生产中具体投入的劳动力情况，M为单位生产启动资金，因此单位在生产中投入的劳动力H具体情况的产品边际生产效益就是W(H,M)所对应的H的偏导数为W'(H,M),W'(H,M)偏导数主要含义是资金M和单位产品劳动力H在相同的情况下如果在多投入一定的单位产品劳动力时W(H,M)发生的变化范围，因此W'(H,M)偏导数是单位产品产量中W(H,M)对单位生产启动资金M的一个产品边际生产效益，即在单位投入一定生产劳动力H和启动资金M在相同点的情况下同时投入一定的产品启动资金是对单位产品W(H,M)之间的一个变化数值的范围．

2．产品边际效益的需要

X,Y两种不一样的产品的边际需要量为X1,Y1，价格分别为X2,Y2，产品边际效益需求量的函数为X1=X1·(X1·X2),Y1=Y1·(Y1·Y2),X和Y这两种不一样的产品的边际效益的需要量为X1和Y1关于X2和Y2的一种偏导数的方式来表达，此时产品X的边际效益的需要量X1的各种变化范围和Y产品的边际效益需要量之间发生着相应的数值范围内的变化，当这两个不相同的产品中有一个产品的价格有变化，都将使得其中一个产品的边际效益需要量减少，则另一个需要量增加，所以这两个产品的边际效益的需要量是可以相互取代的，当两个不相同的产品中价格在降低的同时，他们两者的产品需要量都会增加，因此边际效益的需要量是可以互相进行补助的．因此，研究单位产品的边际效益的需要量为经济学以后的发展提供着重要的作用．

结束语

在本篇文章中，笔者通过以上这些方法来阐述了函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围，该解决方式在数学领域的发展中起到了很重要的促进作用，从而发挥了经济学科在高等数学学科中越来越重要的知识实践性作用，因此，数学中的函数的导数和偏导数在经济学中的应用范围为经济学管理专业的学生以后的学习提供了很大的发展和思维空间，已经成为了经济学科发展的一个不可少的知识内容．

参考文献

[1]刘双.多元函数连续性、偏导数和可微性关系的研究[J].才智,2014(2).

[2]龚江涛.函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析[J].魅力中国,2014(4).

多元复合函数求偏导数的树图方法 篇4

一、知识回顾——一元复合函数求导法则

定理1 若u=φ (x) 在点x处可导, y=f (u) 在点u=φ (x) 处可导, 则复合函数y=f[φ (x) ]在点x处可导, 且其导数为 (f[φ (x) ]) ′=f′ (u) φ′ (x) =f′ (φ (x) ) φ′ (x) 或undefined

注1 一元复合函数的求导公式称为链式法则.从字面上我们可以理解到, 变量之间的关系可以用一条链子连接起来, 若每段链条表示因变量与自变量之间的导数运算, 则一元复合函数的求导公式由下面的图示可以得到一个形象的描述.

二、多元复合函数求偏导数

对于多元复合函数, 有以下几种复合方式:

(1) 外函数为多元函数, 内函数为一元函数;

(2) 外函数和内函数均为多元函数.

下面我们针对不同的情况, 给出多元复合函数求偏导数的方法.

定理2 如果函数z=f (x, y) 可微, 又设x=φ (t) , y=Ψ (t) 对t的导数存在, 则复合函数z=f (φ (t) , Ψ (t) ) , 对t的导数存在, 且undefined

对于这种外函数为二元函数, 内函数为一元函数的情形, 首先将复合函数中的自变量、中间变量和因变量之间的关系用以下“树图”来描述:

自变量t分别通过中间变量x和y与因变量z建立联系, 在“树图”上体现为有两条链条可以连接因变量z和自变量t, 因此函数z对自变量t的导数应该为两部分的和, 我们称之为“分线相加”;若每段链条表示端点变量间的导数运算, 每条链条由两段构成, 因此每条链条上为两种导数运算相乘, 我们称之为“连线相乘”.综合上述分析, 学生会很容易得到这个复合函数的求导公式.

例1 z=x2-y2, x=sint, y=cost, 求undefined

解 自变量为t, x, y是中间变量, z是因变量.此复合函数中的变量关系可用下列树图来描述:

综合可得undefined

例2 设undefined, 求undefined

解 u为x, y的函数, 而y又是x的函数.此函数中的变量关系可用下列树图来描述:

综合可得undefined

注2 例题2中既有u对x的全导数undefined, 又有u对x的偏导数undefined, 学生很容易混淆.事实上树图中可明确看到:若链条为单链条段, 则链条段表示全导数;若链条段为分支链条段, 则链条段表示偏导数.

定理3 设函数u=u (x, y) , v=v (x, y) , 在点 (x, y) 处具有偏导数, 而函数z=f (u, v) 在相应的点 (u, v) 处具有一阶连续偏导数, 则复合函数z=f[u (x, y) , v (x, y) ]在点 (x, y) 处的两个偏导数存在, 且有

undefined

对这种多元函数和多元函数复合的函数, 复合函数中的各种变量可用如下树图来描述:

根据“分线相加, 连线相乘”的原则, 复合函数的偏导数公式容易得到.

例3 求z= (x2+y2) xy的偏导数.

解

引进中间变量u=x2+y2, v=xy, 则z=uv, z是x, y的复合函数.复合函数中的变量关系可用以上树图描述.因此

undefined

推论 设函数u=u (x, y) , v=v (x, y) , w=w (x, y) 都在点 (x, y) 处存在偏导数, 而函数z=f (u, v, w) 在相应的点 (u, v, w) 处具有连续偏导数, 则复合函数z=f (u (x, y) , v (x, y) , w (x, y) ) 在点 (x, y) 的两个偏导数都存在, 且可用下列公式计算:

undefined

复合函数中的变量关系用树图表示为:

例4 设u=f (x, xy+yz+zx, xyz) , 求undefined

解 引入中间变量:ξ=x, η=xy+yz+zx, ζ=xyz, 则u=f (ξ, η, ζ) .变量之间的关系可用树图描述为:

记undefined, 则有

undefined

对于多元复合函数求高阶偏导数, 树图法同样具有其优越性.

例5 设z=f (xy, x2+y2) , 其中f具有二阶连续偏导数, 求undefined

解 设y=xy, v=x2+y2, 则z=f (u, v) .变量之间的关系可用树图描述为:

undefined

因为undefined和undefined仍是u, v的函数, 而u, v又都是x, y的函数, 所以undefined和undefined都是以u, v为中间变量的x, y的函数, 从而它们仍是x, y的函数.变量之间的关系可用树图描述为:

undefined

同理可得

undefined

记undefined, 则

undefined

三、总 结

通过上面的一些例题, 我们可以看到, 多元复合函数的复合关系是多种多样的, 我们不可能也没有必要把所有的公式都记下来.树图法及“分线相加, 连线相乘”的八字原则总结了多元复合函数求导的规律.

参考文献

[1]王莉萍, 刘红卫.多元复合函数求导的变式问题[M].湖北广播电视大学学报, 2007, 27 (9) :151-153.

[2]四川大学数学系高等数学教研室编.高等数学 (第二册) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

偏导数的应用 篇5

全局灵敏度(又称重要测度)指标可以全面反映模型输入变量的不确定性对模型输出响应不确定性的贡献程度,它在工程设计及概率安全评估中具有很重要的作用[1,2,3,4,5,6]。依据全局灵敏度指标的大小,为基本变量进行重要性排序,进而在设计和优化中优先或者重点考虑重要性程度高的基本变量或者忽略重要性程度低的基本变量,对系统工程设计和优化具有重要的指导作用。

基于方差的重要性测度体系在20世纪90年代中期被提出,目前依然是最主流的重要性测度体系,它以输出响应在给定输入变量条件下均值的方差(也即输出响应条件均值的方差)来度量,从平均的角度直接反映单个输入变量及多个输入变量的交互作用对输出响应方差的贡献[2,6]。基于方差的重要性测度具有“输入-输出函数关系分解”与“输出响应方差贡献分解”的一一对应关系,这种优越的对应关系使得基于方差的重要性测度能够在全面反映单个输入变量对输出响应方差影响和多个输入变量对输出响应方差交互影响的同时,还能够反映输入-输出函数的结构关系。Sobol’[2]提出基于方差的全局灵敏度指标包括主测度指标Si和总测度指标Sitot。前者反映的是随机输入变量xi对输出响应的主影响;后者反映的是随机输入变量xi对输出响应的总影响,它包括主测度指标Si以及多个随机变量对输出响应的交叉影响。目前求解Sobol’测度指标的方法有很多,如基于Monte Carlo(MC)或Quasi Monte Carlo(QMC)模拟的方法[2,7,8],随机抽样的高维模型替代法(HDMR)[9,10,11]等,这些方法需要计算函数方差及条件方差,多涉及双重抽样分析,计算量较大。Sobol’等[12]提出了基于偏导数的测度指标(derivative-based global sensitivity measure,DGSM),并获得DGSM和Sitot的不等式关系,DGSM不需要进行条件方差的计算,且DGSM与Sitot确定的变量重要性排序基本一致。Iooss等[13]在此基础上,推导得出了服从Boltzmann分布的多种DGSM指标。

本文在上述研究基础上,以主测度指标Si作为Sitot的下限,并基于泛函和Euler-Lagrange等式,建立了基于偏导数的Sitot的新上限,得出了不同变量分布形式下(均匀、正态、指数、Beta、三角分布等)总测度指标Sitot的基于偏导数的新上限计算公式。通过算例分析,得知在大多数情况下,新上限优于DGSM,能够给出更优的Sitot的界限。

1 Sobol’的测度指标

文献[1,2,6]利用方差分析(analysis of variance,ANOVA)给出了基于方差的重要性测度指标。因而,一般的ANOVA分解被认为是基于方差的重要性分析的基础。ANOVA分解的前提是假设各子项期望为零且各子项正交,在这种假设下ANOVA的分解唯一,即功能函数Y=f(x)的唯一分解式为

其中,x=(x1,x2,…,xn)为定义在Rn空间上的n维随机向量,假设随机变量间互相独立,代表随机变量xi的概率密度函数,则随机向量的联合概率密度函数为,常量f0为函数f(x)的均值,;子项fi(xi)仅依赖于变量xi,表征该变量的主影响,它可以通过下式求得:

fij(xi,xj)表征两变量(xi,xj)的相互作用,它可以通过下式求得:

类似地,可得到s(s=3,4,…,n)个变量的分解项,也可称之为s阶交叉项,可通过对除这s个变量外的所有变量求数学期望后减去这s阶变量的任意子集影响及常数项f0得到。

考虑式(1)各分解项的正交特点,功能函数Y=f(x)的方差:

可以由各分解项方差之和表示,即

定义与变量xi有关的子项之和为ui(x)[14],即

则变量xi对输出响应变异性的总贡献Ditot为

定义输入变量xi的主测度指标Si以及总测度指标Sitot分别为

其中,E(·)为期望算子,var(·)为方差算子,下标“-i”表示除xi以外的变量,即x-i=(x1,…,xi-1,xi+1,…,xn),从而可得到输入变量xi的重要性测度两个指标的计算表达式分别为

依据总测度指标Sitot的大小,可以对基本变量进行重要性排序,进而在设计和优化中重点考虑重要性程度高的基本变量以加快优化迭代的收敛速度;或者忽略重要性程度低的基本变量,以有效降低结构设计的变量维数。

求解Sobol’测度指标的方法有很多,如基于MC或QMC模拟的方法(如式(11)、式(12)),随机抽样的高维模型替代法(HDMR)等(如式(5)),这些方法多涉及双重抽样分析,计算量较大。我们更期望找到较简单的计算方式以获得总测度指标的区间,进而确定变量的重要性排序。

2 文献中的Sobol’总测度指标的上下限

2.1 下限(lower bound,LB)

从总测度指标Sitot的定义可以看出:Sitot≥Si,故而Sitot的下限是Si。

2.2 上限(upper bound,UB)

Sobol’等[12]提出的基于偏导数的测度指标(DGSM)定义为对模型输出偏导数平方的积分。假设模型函数Y=f(x),其输入变量x=(x1,x2,…,xn)是相互独立的随机向量,其联合概率密度函数和累积分布函数分别为ρX(x)和FX(x),如果f/xi存在并且平方可积,变量xi的DGSM指标υi为

由文献[13]可以得到不同变量分布的总测度指标Sitot的上限如表1所示。将DGSM和Sitot两种测度联系在一起的定理如下[15]。

定理1在以下假设条件下:(1)随机输入变量相互独立;(2)函数f(x)为实函数;(3)f(x)的一阶导数为实函数;(4)随机变量xi的分布是Boltzman概率测度,有

其中,FXi(xi)为随机变量xi的累积分布函数。

定理2在以下假设条件下:(1)随机输入变量相互独立;(2)函数f(x)为实函数;(3)f(x)的一阶导数为实函数;(4)随机变量xi的分布是log-concave概率测度,有

其中,Cheeger常数,m为测度函数v(x)的中位数。

3 Sobol’总测度指标Sitot的新上限公式及推导

3.1 均匀分布

根据文献[16]中理论225,如果函数u是可积的(0,1点可以除外),在(0,1)之间也是可积的,那么有

并且当且仅当u是常数的时候等号成立。

假设输入变量xi服从区间(0,1)的均匀分布,即xi~U(0,1),则的上限为

其中,Hn为n维的超立方体空间,ui为与变量xi有关的项。

由于AN OVA中分解式∫10udx=0,再对其进行积分,即可得到(0,1)区间上的均匀分布变量的总测度指标的新上限。

根据变量代换可得出(a,b)区间上的均匀分布变量的总测度指标的新上限为

3.2 其他变量分布类型

假设对于其他分布,构造如下形式的上限:

其中,A(xi)是关于xi的表达式,多数情况下选取为多项式形式,显然A(xi)的选取与随机变量xi所服从的分布相关,使得成立。

假设Φ=Φ[u]是一个关于u(t)的泛函,即

将积分不等式转化为变分法求泛函极值的问题,当u(t)满足∫Ru(t)ρ(t)dt=0时使得泛函Φ[u]最小。假设泛函有极值函数u*=t-μ,其中μ是随机变量t的平均值,此极值函数需满足Euler-Lagrange方程:

即。要使不等式成立,应满足泛函。也就是说,泛函的最小值minΦ[u]=Φ[t-μ]=0。推导得出的A(xi)的表达式列于表2。

表2中的常数K1、K2、K3和K4分别为

4 算例及分析

将文献[12?13]提出的基于偏导数的测度指标DGSM称为γUB1,本文所提出的新上限称为γUB2,通过对不同分布、不同类型的功能函数进行测试,验证其正确性与有效性。

4.1 数值算例

4.1.1 均匀分布算例

算例1~3的函数及测度指标结果显示列于表3,其中所有输入变量均服从(0,1)区间上的均匀分布,变量之间相互独立。

从算例1~3的结果可以看出,对于均匀分布变量来说,大多数情况下,随机变量的γUB2能够比γUB1获得更好的总测度指标的上限。以算例3为例,随着幂指数α的增大,γUB2比γUB1增长速率明显低很多,如图1所示。从算例结果可以看出,对于可加模型函数,γUB2=Sitot,且γUB2和γUB1确定的变量重要性排序和总测度指标一致。

4.1.2 指数分布算例

算例4~6的函数及测度指标结果参见表4,其中输入变量x1,x2,x3,x4分别服从均值为1,2,3,4的指数分布,变量之间相互独立。

从算例4~6的结果可以看出,对于指数分布变量来说,对于非线性程度不大的情况,随机变量γUB2可比γUB1更精确地对总测度指标Sitot作出估计和评估,γUB2获得的总测度指标上限的有效性随着模型函数非线性程度的增大而大大降低(图2)。但是对于高次幂相加模型函数,γUB1有更精确的估计值,但此时γUB1和γUB2都大于1。γUB2和γUB1确定的变量重要性排序和总测度指标一致。

4.2 工程算例

工程算例1悬臂梁结构在自由端受到载荷P作用,以自由端位移不超过0.004m建立极限状态方程为

其中,弹性模量E=200GPa。将梁的长L、宽b和高h看作随机变量,其均值分别为0.5m,0.02m,0.05m,标准差为0.05m,0.002m,0.005m,其中,L和h为对数正态分布变量,b为正态分布变量,载荷P为(200,400)N的均匀分布变量。该算例的测度指标对比表参见表5。

从表5可以看出,两种上限给出的变量重要性排序是一致的,且都能够很好地找出对输出响应影响小的两个参数b和h,均匀分布时指标γUB2比γUB1好,正态分布时指标γUB1≤γUB2,当且仅当为正态线性函数时,等号成立。

工程算例2基于材料的蠕变和疲劳试验数据,并考虑一级载荷水平,文献[17]采用如下非线性极限状态方程来定义失效与安全的边界线:

其中,θ1和θ2为从试验数据中得到的两个参数;Nc与Nf分别为蠕变寿命和疲劳寿命;nc和nf分别为蠕变载荷和疲劳载荷作用的实际周次。

文献[17]依据试验分析,假定上述极限状态方程中的基本随机变量Nc、Nf、nc、nf均服从对数正态分布,θ1和θ2服从正态分布(表6),则该算例的测度指标对比参见表7。

从表7可以看出,通过比较Si和Sitot可以看出,变量间的交叉影响较小;上限γUB1和γUB2都能较好地估计Sitot的上限,并找出影响较小的变量θ1和θ2;对于变量Nc与Nf,γUB1可以得到更好的Sitot界限。

工程算例3单层单跨结构(图3)的极限状态方程为

其中,u3为节点3的水平位移,A1、A2为柱和梁的截面面积,它们服从对数正态分布,P为外加载荷,服从Gamma分布,均值和变异系数向量分别为μX=(0.36 m2,0.18 m2,20kN),VX=(0.1,0.1,0.25),弹性模量E=200GPa,柱和梁的截面惯性矩分别为,该算例的测度指标对比参见表8。

从表8可以看出,通过Sitot可以看出变量的重要性排序是A1,A2,P;上限γUB1和γUB2都能辨别出重要变量为A1,非重要变量为A2和P;但是由γUB1得到的A2和P的重要顺序是反的。

5 结语

本文围绕Sobol’总测度指标和基于偏导数的测度指标进行了如下工作:建立了(0,1)区间上均匀分布变量的偏导数测度指标,并将其作为Sobol’总测度指标的新上限,在此基础上基于泛函和Euler-Lagrange等式,推导出了正态分布、指数分布、Beta分布、三角分布等分布形式的偏导数测度指标公式。采用QMC方法,在输入变量服从不同分布,不同的功能函数情况下,计算出不同测度指标,并比较它们之间的关系,从理论和数值上证实了所提指标的可靠性。通过算例比较分析得出,对于均匀分布来说,大多数情况下,γUB2优于γUB1,对于指数分布来说,当函数非线性程度不高时,γUB2的优越性还是很明显的,但随着函数非线性程度的提高,γUB1的优势逐渐显现出来。此外,γUB2和γUB1确定的变量重要性排序和总测度指标基本一致。

摘要：以Sobol’主测度指标Si作为总测度指标Stoti的下限,建立并推导了基于偏导数的测度指标作为Stoti的新上限。基于泛函和Euler-Lagrange等式,进行了不同变量分布形式下(均匀、正态、指数、Beta、三角分布等),Sobol’总测度指标Stoti的基于偏导数的上限分析,并给出了新上限详细的推导过程和具体的计算公式。通过简单数值和工程算例,验证了新上限的精度及效率,为更准确地界定总测度指标Stoti的取值区间提供了参考。